Analisis1 Civil 2

EscuelaProfesional:Ing. Civil

Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 1

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rsida

d Naci

onal de

San M

artn

Unidad N 3LMITES Y CONTINUIDAD



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LMITES1.- Introduccin.- Sea la funcin f(x)=x2,supongamos que la variable x toma los valores{2,9; 2,99; 2,999;..}, es decir x se aproximaal valor 3.La funcin y=f(x) toma los valores {(2,9)2;(2,99)2; (2,999)2..}, acercndose cada vez masal valor de 32=9.Por lo que podemos decir que el limite def(x)=x2 es 9, cuando x se acerca a 3.



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LMITES2.- Definicin.- Se dice que el nmero real L esel lmite de f(x) cuando x se aproxima a a( ), lo cual se denota como ,si y solo si para todo nmero >0 (epsilon)existe otro nmero (delta), talque , para todoxDf y entoncesSimblicamente:

ax

ax0 Lxf )(

Lxfax )(0 DfxLxfax /0,0)(lim

Lxfax )(lim



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LMITESGrficamente:

a aa

LLL

X

Y)(xfy



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artn Ejemplos:

Aplicando la definicin de lmites, demostrar lossiguientes lmites:

LMITES

21

213lim)2 0

x

xx

3)1(lim)1 21 xxx

511lim)3

2

2

xx

x

5)32(lim)5 1 xx1)23(lim)4 21 xxx



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LMITES3.- Propiedades sobre Lmites.- Sean f y g dosfunciones tales que:

y y k constanteI.II.III.IV.

V.

Lxfax )(lim Mxgax )(limkkax lim)(lim.)(.lim xfkxfk axax )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf axaxax

)(lim).(lim)().(lim xgxfxgxf axaxax

)(lim)(lim

)()(lim xg

xfxgxf

ax

axax



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LMITESVI.

VII.

nax

nax xfxf

)(lim)(lim

nax

nax xfxf )(lim)(lim



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LMITES4.- Reglas para determinar Lmites:

I. Si f(x) existe, entonces el se halladirectamente.

Ejemplos: Hallar1)2)3)4)5)

)(lim xfax

xx 5lim1 )32(lim2 xx )123(lim 21 xxx 24 25lim xx

)44(lim 22 xxx



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LMITESII. Si f(x) y g(x) son polinomios enteros, f(a)

existe y g(a)0; el lmite de la fraccinse halla directamente.

Ejemplos: Hallar22lim)1 3

x

xx

)()(lim xgxf

ax

44lim)2 2

2

2

xx

x

11lim)3 22

x

xx

22

1 113lim)4

x

xx



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LMITESIII. Si f(x) y g(x) son polinomios enteros y

f(a)=g(a)=0; para determinar el ,simplificar la fraccin por elbinomio (x-a) y despus hallar el lmite.

234lim)1 2

2

2

xxx

x

)()(lim xgxf

ax

124lim)2 24

xx

xx

927lim)3 2

3

3

xx

x

)()(

xgxf

633842lim)4 2

23

2

xxxxx

x



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LMITESIV.Si algunos de los polinomios son

expresiones irracionales, para determinarel lmite se traslada la parte irracional delnumerador al denominador o viceversa.

22lim)1 2

x

xx

xx

x

5153lim)2 4

233 2

8 )8(44lim)4

x

xxx 4

8222lim)5 34

xxxx

x

224 4

011lim)3 x

xxx



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LMITES5.- Lmites Laterales:

El lmite de la funcin f(x) cuando x seaproxima hacia a por la izquierda es L1.

El lmite de la funcin f(x) cuando x seaproxima hacia a por la derecha es L2.

1L2L

a ax xa

)(xfy

X

Y



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LMITES5.1. Lmite Lateral Izquierdo: El lmite de la

funcin f(x) cuando x se aproxima haciaa por la izquierda es:

5.2. Lmite Lateral Derecho: El lmite de lafuncin f(x) cuando x se aproxima haciaa por la derecha es:

axaLxfax

/0,0)(lim 1 1)( Lxf

axaLxfax /0,0)(lim 2 2)( Lxf



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LMITESObservacin: Para que exista debe

cumplirse:

Nota: No existe en los siguientes casos- Cuando no existe uno de los lmiteslaterales.

- Cuando los lmites laterales existenpero son diferentes.

)(lim xfax

)(lim)(lim xfxfaxax

)(lim xfax



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artn Ejemplos:

Determinar si existen los siguientes lmites:

LMITES

112lim)1

1

xxx

x

1;11;3)()(lim)2

2

1 xxxxxfsixfx

415lim)3 5

x

xx

2;282;)()(lim)4

2

2 xxxxxfsixfx

3213lim)5

2

3

xxx

x



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LMITES6.- Lmites al infinito: Considerando

Para valores de x cada vez ms grande f(x)se aproxima a 3, entonces

Para valores de x que decrece cada vez msf(x) se aproxima a 3, entonces

3)(lim xfx

3)(lim xfx

1234

1

1

13)( xxf

X

Y



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artn

LMITES6.1. El lmite de la funcin f(x) cuando x crece

sin lmite es6.2. El lmite de la funcin f(x) cuando x

decrece sin lmite es6.3. Teorema: Sea n un nmero entero

positivo cualesquiera, entonces se cumple:

Lxfx )(lim

Lxfx )(lim

01lim) nx xa 01lim) nx xb



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LMITES6.4. Para resolver lmites al infinito de la razn

de dos polinomios enteros respecto a x.

es conveniente dividir previamente los dostrminos de la razn por , donde n es lamayor potencia de estos dos polinomios.En muchos casos puede emplearse unprocedimiento similar, cuando se trata defracciones que tienen expresionesirracionales.

)()(lim xQxP

x

nx



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artn Ejemplos:

Determinar los siguientes lmites al infinito:

LMITES

11lim)1 2

2

xx

x

10lim)2 3 xx

x

xxxx 65lim)3 2xxx

xx

42

24lim)4 2 3712lim)5 22 xxxxx



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LMITES7.- Lmites infinitos: Considerando

Cuando x se aproxima a 3 por la derecha, lafuncin f(x) crece sin lmite.

Cuando x se aproxima a 3 por la izquierda,la funcin f(x) decrece sin lmite.

3

31)( xxf

)(lim3 xfx

)(lim3 xfx

X

Y



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LMITESTeoremas:

nx x1lim)1

0

parnsiimparnsi

xnx ;;1lim)2

0

0;lim)30

axa

x

0;lim)40

axa

x

0;0lim)50

aax

x



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artn Ejemplos:

Determinar los siguientes lmites infinitos:

LMITES

12lim)1

1

xx

x

42lim)2 22

xx

x

xxx

x

3lim)3 3

39lim)4

2

3

xx

x

416lim)5

2

4

xx

x



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LMITES8.- Lmites Notables:

01lim)1 xx1lim)2

0

xxsen

x ex x

x

/1

01lim)3

constantekexk kx

x

,1lim)4

1)1ln(lim)50

x

xx



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LMITES9.- Lmites Trigonomtricos:

Para el calculo de lmites trigonomtricos, sehace uso de algunas formulas e identidadestrigonomtricas, asimismo de algunos lmitesconocidos como:

0lim) 0 xsena x1lim) 0 xcosb x

1lim) 0 xxtagd x

1lim) 0 xxsenc x



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artn Ejemplos:

Hallar lo siguientes lmites trigonomtricos

LMITES

xxsen

x4lim)1

0

xsenxxsenx

x 23226lim)2 0

xsenxtagx

x cos1lim)5 4/

20cos1lim)3 x

xx

xxsen

x

)2/(1lim)4

20cos2coslim)6 x

xxx



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artn

LMITES10.- Lmites Logartmicos:

Para resolver lmites logartmicos esconveniente saber que existe y es positivo el

; entoncesAplicndose frecuentemente:

)()( xflimlnxflnlim axax)(lim xfax

1 x

x)ln(1lim0x



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artn Ejemplos:

Determinar los lmites logartmicos:

LMITES

)2ln()12ln(lim)1 xxx xxxx ln)1ln(lim)2 x

e xx

1lim)3 0

xx

x eex 1lim)4 0



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LMITES10.- Lmites Especiales:

Son de la forma:y se pueden presentar los siguientes casos:a) Si existen los lmites finitos:

entoncesb) Si

entonces se halla directamente

Cx xax )()(lim

BxyAx axax )(lim)(lim CAx Bxax )()(lim )(lim1)(lim xyAx axax )()(lim xax x



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LMITESc) Si

se aplica Formas de indeterminacin de los lmites:

Si aparecen en el clculo del lmite algunasde las formas, se debe calcular el lmiteaplicando algn artificio.

)(lim1)(lim xyAx axax Ce xxax )(1)(lim

;0;.0;;;0

0 0



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artn Ejemplos:

Hallar los siguientes lmites especiales:

LMITES

1

03lim)1

xx x

xsen

x

x xx

131lim)3

x

x xx

1lim)4

xsenx

x xxxx

1332lim)2 2

2

0



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artn 1. Definicin: Considerando una recta L, y se

tiene un punto A que se desplaza a lo largode la curva y=f(x), cuando la distancia entrela recta L y el punto A tiende a cero,entonces la recta L ser una asntota.

ASNTOTAS

X

Y L)(xfy

A AA



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artn 2. Asntota vertical: La recta x=a es una

asntota vertical de la curva y=f(x) si secumple una de las siguientes condiciones.

ASNTOTAS

)(lim)

)(lim))(lim)xfc

xfbxfaax

axax

X

Y

X

Y

aa

)(xfy

)(xfy



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artn 2. Asntota horizontal: La recta y=k es una

asntota horizontal de la curva y=f(x) si secumple una de las siguientes condiciones.

ASNTOTAS

kxfckxfbkxfa

x

xx

)(lim)

)(lim))(lim)

X

Y y=k )(xfy

X

Y y=k )(xfy



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artn 3. Asntota oblicua: La recta y=kx+b es una

asntota oblicua de la curva y=f(x) si existenlos lmites:

ASNTOTAS

bkxxfbkxxfa xx )(lim))(lim)

X

Y )(xfy

X

Y

)(xfy bkxy bkxy



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artn Ejemplos:

Hallar las asntotas de las siguientes curvas:2)2(

1)1 xy

4)2 22

xxy

ASNTOTAS

9)3 22

xxy

1)4 22

xxy



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FUNCIONES CONTINUAS YDISCONTINUAS

1. Funcin continua: Sea la grfica de y=f(x)

Se observa que a valores cercanos de a deldominio corresponden valores de la funcincercanos al valor f(a), entonces es continua.

a

)(af

X

Y)(xfy



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artn


Si esto ocurre para todos los valores deldominio de la funcin se dice que la funcines continua en todo su dominio.Luego una funcin y=f(x) es continua en x=a,si se cumple tres condiciones:1) Si f(a) est definida2) Si existe.3) Si

)(lim)(lim)(lim xfxfxf axaxax )()(lim afxfax



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artn Ejemplos:

1) Dada la funcindeterminar si es continua en x=1

2) Dada la funcin

determinar si es continua en x=2 y en x=33) Averiguar y demostrar si es continua

1;121;2)(

2

xxxxxf

53;1532;62

21;16)(

3

2

xxxx

xxxxf


xxy

11 3



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artn 2. Funcin Discontinua:

y=f(x) presenta una interrupcin en x=a y paravalores prximos de a no se obtiene siemprevalores prximos a f(a). Luego f(x) es unafuncin discontinua.

)(af

a)(ag

)(xfy


Y

X



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artn Una funcin f(x) es discontinua en x=a,

cuando no se cumple una o variascondiciones expresadas de continuidad.En la grfica

Si una funcin es discontinua en x=a demodo que existe, perose llama discontinuidad evitable.

)(lim)(lim xfxfaxax

)()( afag


)(lim xfax )()(lim afxfax



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artn Ejemplos:

Determinar si las funciones son discontinuas1)

2)

3)

21)( xxf

24)(

2

x

xxf

)2)(3(3)(

xxxxf




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Unidad N 2DERIVADAS DE FUNCIONES

REALES



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DERIVADAS1.- Incremento de una funcin.- Es ladiferencia entre dos valores: uno inicial y elotro final.x: Incremento de la variable independiente xy: Incremento de la funcin y

Es la frmula del incremento de una funcin.

)2).....(()1().........(

xxfyyentoncesxfySi

)()(:)1()2( xfxxfyRestando



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DERIVADASAl cociente del incremento de la funcin entreel incremento de la variable x se le denominaincremento relativo de la funcin.

xxfxxf

xy

)()(



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DERIVADAS2.- Derivada de una funcin.- Dada la funciny=f(x), se llama derivada de y respecto de x, allmite de ; cuando . tiende a cero, se ledenota por:y se lee derivada de y respecto a x.

xy

dxdy

xy

dxdy

x 0lim

xxfxxf

dxdy

x)()(lim0

x



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DERIVADAS3.- Observaciones:1) Para hallar la derivada se hace:

-Determinar el incremento de la funcin- Dividir por el incremento de x:- Hallar el lmite cuando x tiende a cero.

2) Otras notaciones utilizadas para expresar laderivada de y respecto a x son:

xy

)(;');(' yDyxf x



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DERIVADAS3) La derivada de una funcin es el lmite del

incremento relativo de la funcin respecto asu variable independiente, cuando elcambio en esta ultima es tan pequeo comose desea (tiene a cero)

Ejemplos:Aplicando lmites derivar:

xxy 2)1xy )2

senxy )3



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artn 4.- Interpretacin geomtrica de la Derivada.-

dy

y

x

DERIVADAS

X

Y

P(x,y)

Q(x+x,y+y)

x

y

x+x

y+y

S

T

T :Recta Tangente a y=f(x) en PS :Recta Secante a y=f(x) en Q

y=f(x)

dx



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artn De la grfica: es la pendiente de la secante que une un

punto fijo P cualquiera de la curva con otroQ.

Cuando (P permanece fijo y Q se muevesobre la curva, acercndose a P hasta que llega ala posicin lmite) sucede:1) La secta secante S tiende a ser la rectatangente T.2) La inclinacin tiende a ser la inclinacin .

DERIVADAS

xy

0x



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artn 3) El punto Q tiende a ser el punto de tangenciaP de la recta tangente a la curva y=f(x)

4) Finalmente se convierte en:

Simblicamente:

DERIVADAS

mtagdxdy

tagxy

mtagydxdy

xxfxxf

xy

xx

')()(limlim 00

EscuelaProfesional:Contabilidad


Universidad Nacional de San Martn

X0

Y

x1x = x2 x1

x2

y

( x1, f(x1) )

(x2, f(x2))

P

Q)(xfy




X0

Y

x1x = x2 x1

x2

y

( x1, f(x1) )

(x2, f(x2))

P

Q)(xfy




X0

Y

x1x = x2 x1

x2

y( x1, f(x1) )

(x2, f(x2))

P

Q

)(xfy




( x1, f(x1) )

X0

Y

x1x = x2 x1

x2

y(x2, f(x2))

P

Q

)(xfy




X0

Y

x1x = x2 x1=0

x2

( x1, f(x1) ) = (x2, f(x2))P Q

)(xfy



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DERIVADAS5.- Frmulas de derivacin: El proceso dehallar una derivada por incrementos pasndoloal lmite es generalmente laborioso, de modoque se ha establecido reglas y frmulas quepermiten hallar rpidamente la derivada de unafuncin.5.1. Reglas de derivacin:

Si c: constante; u=f(x); v=f(x) derivables:0)()1 cdx

d



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DERIVADAS

1)()2 xdxd

1)()3 mm mxxdxd

)()()()4 vdxdudx

dvudxd

)()()5 vdxdccvdx

d )()().()6 udx

dvvdxduvudx

d



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DERIVADAS

)(.)()9 1 udxdumudx

d mm

)(.)()()10 udxd

uvulnvdx

duudxd vv

0;)(

)()7 2

vvvdx

dcvc

dxd

0;)()(

)()8 2

vvvdx

duudxdv

vu

dxd



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DERIVADAS5.2. Derivadas de principales funciones:

xyxy1'ln)1

aayay xx ln')2 xx eyey ')3

axyxy a ln1'log)4 xysenxy cos')5

senxyxy 'cos)6xytagxy 2sec')7 xyctgxy 2csc')8



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DERIVADAStagxxyxy .sec'sec)9

211')11 xyarcsenxy

211')13 xyarctagxy

11'sec)15 2 xxyxarcy

ctgxxyxy .csc'csc)10

211'arccos)12 xyxy

211')14 xyarcctgxy



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DERIVADAS1

1'csc)16 2 xxyxarcy

xysenhxy cosh')17

xhytaghxy 2sec')19 senhxyxy 'cosh)18

xhyctghxy 2csc')20



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DERIVADAS6.- Derivacin Compuesta.- Es la derivacin

en cadena o la derivada de la derivada deuna funcin.Dadas las funcionesentonces la variable y se puede expresaren funcin de x, es decir:

La derivada de la funcin compuesta seobtiene derivando ambas funciones f y g,y luego multiplicandolas.

)(),( xguufy

)()()]([)( xgfxgfufy



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DERIVADASSi:

Por lo que:

)(

)()()(

xgdxdu

ufdudy

xguufy

)()( xgufdxdu

dudy

dxdy

)()]([ xgxgf



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artn Ejemplos:

Derivar las siguientes funciones:

DERIVADAS

xxxy ln1)1 2

42 )1()2 xy 4)3 2 xy

xey 2)4 )12(2)5 xy

senxy )6



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DERIVADAS)ln()7 senxy

1)8 2 xxy

1)9 2 xxy2)cos23()10 xy

)12cos()11 xy)1()12 22 xseny

xsenxy cos1

1)13

xtagy 2)14 )sec()15 2 xxy



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DERIVADAS)log()16 senxy )2()17 xarcseny 1)18 2 xarctagy

xx earcsenearcseny 21)()19 xxseny 2ln2)20



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DERIVADAS7.- Derivada de Orden Superior.- La

derivada de una funcin y=f(x) recibe elnombre de primera derivada. Si la primeraderivada es a su vez una funcinderivable, se presenta como derivadasegunda de la funcin original, y se ledenota como:En general la derivada de orden superior nser:

dxdy

dxd

dxydy 2

2

1

1n

nn

n

dxyd

dxd

dxyd



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artn Ejemplos:

DERIVADAS

IVyencontrarxxxySi ,26126)1 33 ,)2 2 yencontrareySi x

,416)3 yhallarxySi

)(,ln)()5 xfhallarxxxfSi ,1)4 2 yhallarxySi



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artn

DERIVADAS8.- Derivacin Implcita.- Una funcin

expresada en forma implcita es f(x,y)=0Para derivar implcitamente se hace:1) Se deriva con respecto a x cada uno de

los trminos de la funcin.2) Se agrupa trminos semejantes y se

simplifica.3) Se despeja dx

dy y



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artn Ejemplos:

Derivar implcitamente:

DERIVADAS

012)1 yxxy25)2 22 yx

0)3 3222 yxxyyx

02)5 23 yyxyx0132cos)4 32 yxxysenyx



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artn

Unidad N 3APLICACIONES DE LA

DERIVADA



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artn

APLICACIONES DE LA DERIVADA1. Ecuacin de la Tangente.- Si y=f(x) es una

funcin derivable en x=a, entonces laecuacin de la recta tangente a la grafica de fen el punto P[a,f(a)] es dado por:

))(()( axafafy



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APLICACIONES DE LA DERIVADA2. Ecuacin de la Normal.- Si ,

entonces la ecuacin de la recta normal quepasa por el punto P[a,f(a)], es dado por:

)()(1)( axafafy

0)( af



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San M

artn

APLICACIONES DE LA DERIVADAEjemplos:1. Hallar las ecuaciones de la tangente y de la

normal a la curva en el punto (2,2).2. Hallar las ecuaciones de la tangente y de la

normal a la curva en el punto(2,3).

3. Hallar la ecuacin de la tangente a la grficade , que es paralela a la recta

xxy 33

32 2 xy

322 xxy

038 yx



Unive

rsida

d Naci

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San M

artn

APLICACIONES DE LA DERIVADA4. Hallar la ecuacin de la normal a la curva:

en el punto (2,1).5. Hallar la ecuacin de la recta normal a la

curva que sea paralela a322xy

01932 33 xyyx0yx



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rsida

d Naci

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artn

APLICACIONES DE LA DERIVADA3. Funciones Crecientes y Decrecientes.- Unafuncin y=f(x) puede tener intervalos: Crecientes: Si para cualquier valor de x dedicho intervalo la pendiente es positiva, o seasi y(x)>0.

Decrecientes: Si para cualquier valor de x dedicho intervalo la pendiente es negativa, osea si y(x)



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artn

APLICACIONES DE LA DERIVADAGrficamente:

a



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artn

APLICACIONES DE LA DERIVADA4. Aplicacin de derivadas para determinar siun funcin es creciente o decreciente.-Se hace:1) Derivar la funcin y=f(x)2) Igualar a cero la primera derivada f(x)=0, f(x)= para determinar los valores crticos.3) Determinar los intervalos de anlisis apartir de los valores crticos encontrados.4) Aplicar la siguiente condicin:



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d Naci

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artn

APLICACIONES DE LA DERIVADA Si en el intervalo analizado,entonces la funcin es creciente.

Si en el intervalo analizado,entonces la funcin es decreciente.

0)( xf0)( xf



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artn

APLICACIONES DE LA DERIVADAEJERCICIOS:Determinar los intervalos de crecimiento ydecrecimiento de las siguientes funciones:1)2)

43 23 xxy22 )1()2()( xxxf

1)32

xxy

21)4 xxy



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APLICACIONES DE LA DERIVADA5. Mximos y Mnimos .-Los mximos y mnimos son los puntosextremos de una funcin.Los puntos extremos de una funcin sedeterminan a partir de los valores crticoscuando se hace f(x)=0 f(x)= (no existe). Si la derivada cambia de signo, de positivo anegativo entonces la funcin tiene mximo.

Si la derivada cambia de signo, de negativo apositivo entonces la funcin tiene mnimo.



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APLICACIONES DE LA DERIVADAPor lo que:La ordenada f(x)=M; ser un mximo si laprimera derivada cambia de signo, depositivo a negativo, es decir si la funcincambia de creciente a decreciente.

La ordenada f(x)=m; ser un mnimo si laprimera derivada cambia de signo, denegativo a positivo, es decir si la funcincambia de decreciente a creciente.

Este procedimiento se denomina Criterio dela Primera Derivada



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artn


X

Y)(xfy

a b c d e f

Pto. Mximo

Pto. mnimo

M

m



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artn

APLICACIONES DE LA DERIVADAEJEMPLOS:Determinar los puntos mximos y mnimos delas siguientes funciones:1)2)3)

4)

542 xxy35 53)( xxxf

1)(2

xxxf

xxxxy 1224 234



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artn

APLICACIONES DE LA DERIVADA6.Criterio de la Segunda Derivada paracalcular mximos y mnimos.- Derivar a la funcin por primera vez (f (x)) Determinar los valores crticos. Derivar por segunda vez (f (x)) Remplazar los valores crticos encontradosen la segunda derivada.

Si Si

mximoptounesxfxxf .)](,[0)( mnimoptounesxfxxf .)](,[0)(



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artn

APLICACIONES DE LA DERIVADAEJEMPLOS:Determinar los puntos mximos y mnimos delas siguientes funciones, aplicando el criterio dela segunda derivada:1)2)

3)

42 23 xxy22 )1()2()( xxxf

12

xxy



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artn

APLICACIONES DE LA DERIVADA7.Concavidad, Convexidad, Punto deInflexin.- Un arco de curva y=f(x) es cncavo en unintervalo (a,b), si este arco de curva estasituado debajo de la tangente trazada encualquier punto de dicho intervalo.La condicin para que una curva seacncava es que f(x)



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artn

APLICACIONES DE LA DERIVADA Un arco de curva y=f(x) es convexo en unintervalo (c,d), si este arco de curva estasituado encima de la tangente trazada encualquier punto de dicho intervalo.La condicin para que una curva seaconvexa es que f(x)>0 para el intervaloconsiderado.



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artn


a



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artn

APLICACIONES DE LA DERIVADA8. Procedimiento para determinar los Puntosde Inflexin de una funcin.-1) Derivar por primera vez y=f (x)2) Derivar por segunda vez y=f (x)3) Determinar los posibles puntos de inflexin

(valores de x) haciendo4) Determinar los intervalos a partir de los

valores de x encontrados.5) Aplicar la condicin:

)(0)( xfxf



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artn

APLICACIONES DE LA DERIVADA La curva ser cncava si: La curva ser convexa si:

6) Para el valor de x en el cual la curva pasade cncava a convexa o viceversa habr unpunto de inflexin [x,f(x)]

0)( xf0)( xf



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artn

APLICACIONES DE LA DERIVADAEJEMPLOS:Determinar los intervalos de concavidad,convexidad y puntos de inflexin si:1)2)3)4)

8126 234 xxxyxxxxf 164)( 34

1xxy

xxy 3



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artn

APLICACIONES DE LA DERIVADA9. Trazado de la grfica de cualquier funcin.-Se procede de la siguiente manera:1) Determinar las intercepciones con los ejes2) Determinar las simetras3) Determinar las asntotas, por mtodo

algebraico analtico.4) Determinar la extensin de la curva.5) Determinar los puntos mximos y mnimos.6) Determinar los puntos de Inflexin.7) Trazado de la curva.



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artn 1) Determinacin de las intersecciones con

los ejes:-Con Eje X: en se considera y=0 yse resuelve la ecuacin resultante.-Con Eje Y: en se considera x=0y se resuelve la ecuacin resultante.2) Determinacin de las Simetras:-Con Eje X: Se reemplaza en y=-ysi la ecuacin original no varia entoncesexiste simetra.

Para trazar la grafica de una relacin dada porla ecuacin se aplica lossiguientes pasos:

0),( yxE

0),( yxE

0),( yxE

APLICACIONES DE LA DERIVADA



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artn -Con Eje Y: Se reemplaza en x=-x

si la ecuacin original no varia entoncesexiste simetra.-Con Origen: Se reemplaza en ,x=-x, y=-y simultneamente, si la ecuacin novaria entonces existe simetra.


0),( yxE

0),( yxE




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artn 3) Determinacin de las asntotas:

Se pueden presentar:-Asntotas verticales: se ordena lacon respecto a la variable y; hacindose ceroel coeficiente que acompaa al mayor gradoen dicha variable, tiene la forma-Asntotas verticales: se ordena lacon respecto a la variable x; hacindose ceroel coeficiente que acompaa al mayor gradoen dicha variable, tiene la forma


0),( yxE

ax 0),( yxE

by




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artn -Asntota oblicua: Tiene la formaSe reemplaza esta forma en la ecuacin

original , se ordena la ecuacin con respecto ala variable x, se hace cero los coeficientes queacompaan a las dos mayores potencias endicha variable, resolvindose el sistema paradeterminar m y k los cuales al reemplazarseen la forma inicial nos da la asntota.4) Determinacin de la extensin de la curva:Consiste en determinar el dominio y el rangode la ecuacin.


kmxy APLICACIONES DE LA DERIVADA



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artn 5) Determinacin de los mximos y mnimos

Consiste en analizar los intervalos decrecimiento y decrecimiento y calcular losmximos y mnimos6) Determinacin de los puntos de inflexinDeterminar los intervalos de concavidad yconvexidad y calcular los puntos de inflexin.7) Trazado de la grfica.A partir de las caractersticas determinadastrazar en el plano cartesiano la grfica.





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artn

APLICACIONES DE LA DERIVADAEJEMPLOS:Siguiendo los pasos descritos anteriormentetrazar la grfica de las siguientes funciones1)2)3)

4)

22 xxy xxxf 3)(

132 x

xy1

12 xy

1)5 2 xxy



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artn

Unidad N 4OTRAS APLICACIONES



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PROBLEMAS SOBRE MXIMOS YMNIMOSLos mtodos para calcular los mximos y

mnimos de las funciones se pueden aplicar a lasolucin de algunos problemas prcticos.Para resolver problemas se aplicar el criterio dela segunda derivada para lo cual se hace:1) Definir las variables a considerar.2) Determinar las relaciones entre dichas

variables.3) Determinar cual es la funcin que se desea

maximizar minimizar y expresar esta entrminos de una sola variable.



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PROBLEMAS SOBRE MXIMOS YMNIMOS

4) Encontrar los valores crticos de la funcindefinida en 3) y comprobar si corresponde amximo mnimo.

5) Los valores crticos que verifican lamaximizacin minimizacin son lassoluciones del problema.



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artn


Ejemplos:1) Un volante de publicidad debe contener 50

pulgadas cuadradas de zona de impresin,con mrgenes de 4 pulgadas arriba y abajo ymrgenes de 2 pulgadas a cada lado. Culessern las dimensiones para que el volanteutilice la menor cantidad de papel?

2) Un hombre que navega en un bote de remos a2 millas del punto mas cercano de una costarecta desea llegar a su casa; la cual est en la



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citada costa a 6 millas de dicho punto. Elhombre puede remar a razn de 3 millas/hr ycaminar a 5 millas/hr. Qu debe hacer parallegar a su casa en el menor tiempo posible?

3) Se desea construir un deposito rectangular debase cuadrada, abierto por arriba, debe tener1200 cm3 de capacidad. Si el costo de lascaras laterales es de 25 soles/cm2 , y el delfondo es de 60 soles/m2.Cules deben ser lasdimensiones para que el costo sea mnimo?



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artn

PROBLEMAS SOBRE MXIMOS YMNIMOS4) En un cono circular recto de 30 cm de radio,

se inscribe un cilindro circular recto. Hallar elradio del cilindro para que:a) Su volumen sea mximo.b) Su rea lateral sea mxima.

5) Un alambre de 100 cm de largo se corta endos pedazos: uno se dobla para formar uncuadrado y el otro se dobla para formar untringulo equiltero. En donde debe hacerseel corte si las suma de las dos reas esmnima?



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RAZONES DE CAMBIO1. Derivada como razn de cambio.- Si y es

funcin de una cantidad x, se puede expresarla tasa de variacin de y por unidad devariacin de x.Si y=f(x) , entonces la tasa de variacininstantnea de y por unidad de variacin de xen x1 es f (x1) si esta existe.Si una variable y depende del tiempo t,entonces su derivada dy/dt se denomina raznde variacin de y con respecto al tiempo.



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RAZONES DE CAMBIOEstamos interesados en una amplia variedadde tasas de cambio: la tasa a la cual el aguafluye a un depsito, la tasa a la cual el valorde una propiedad esta aumentando, etc.Si y se da de esta manera explicita entrminos de t, el problema es sencillo, soloderivamos y luego evaluamos la derivada enel instante requerido.



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RAZONES DE CAMBIO2. Velocidad instantnea.- Si f es una funcin

definida por s=f(t), y una partcula dedesplaza a lo largo de una recta, talque s es ladistancia dirigida de la partcula desde unpunto fijo sobre la recta en t unidades detiempo; entonces la velocidad instantnea dela partcula a t unidades de tiempo es vunidades de velocidad, donde:

existesitfstfs )('')( velocidadvs '



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RAZONES DE CAMBIOLa velocidad instantnea puede ser positiva onegativa dependiendo del sentido delmovimiento, la rapidez de una partcula encualquier tiempo es el valor absoluto de lavelocidad instantnea, siendo un numero nonegativo; por lo que la rapidez solo indica quetan rpido se est moviendo la partcula, encambio la velocidad instantnea tambinindica el sentido del movimiento.



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RAZONES DE CAMBIO3. Aceleracin instantnea.- En fsica a la tasa

de variacin instantnea de la velocidad se lellama aceleracin instantnea. Por tanto, siuna partcula se mueve a lo largo de una rectade acuerdo con la ecuacin de movimientos=f(t), donde a los t segundos la velocidadinstantnea es v metros por segundo y laaceleracin instantnea es v metros porsegundo, entonces a es la primera derivada dev con respecto a t la segunda derivada de scon respecto a t.



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RAZONES DE CAMBIOEsto es:

22

dtsd

dtds

dtdadtdvadtdsv



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artn EJEMPLOS:

1) Cierto cultivo de bacteria crece de modo quetiene una masa de gramo despus de thoras.a) Cuanto crecer durante el intervalo

b) Cul es la tasa promedio de crecimientodurante el intervalo ?

c) Cul es su tasa instantnea decrecimiento en t=2?

2)

121 2t

01.22 t

01.22 t

RAZONES DE CAMBIO



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artn 2) Una ciudad es azotada por una epidemia de

gripe asitica. Las autoridades estimas que tdas despus del inicio de la epidemia, elnmero de personas enfermas con la gripeest dado por , cuando elintervalo es .A que tasa se expandela gripe en el instante t=10; t=20; t=40?

3) Si , encuentre la velocidaddel objeto en movimiento cuando suaceleracin es cero.

32 2120)( tttp 400 t

RAZONES DE CAMBIO

234 1252/1 ttts



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artn 4) Un objeto viaja a lo largo de una recta de

modo que su posicin s es metrodespus de t segundos.a) Cul es su velocidad promedio en el

intervalo ?b) Cul es su velocidad promedio en el

intervalo ?c) Determine su velocidad instantnea en

t=2

12 ts

32 t

003.22 t

RAZONES DE CAMBIO



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artn 5) Una piedra se cae desde un edificio de 256

pies, siendo su ecuacin representativa:,Determine:

a) La velocidad instantnea de la piedra en 1seg. y 2 seg.

b) El tiempo que le toma a la piedra llegar alsuelo.

c) Cul es la rapidez de la piedra cuandollega al suelo?

25616 2 ts

RAZONES DE CAMBIO



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artn

RAZONES DE CAMBIO4. Tasas de cambio relacionadas.- Se presenta

cuando la variable y no est dadaexplcitamente en trminos de t, donde y estrelacionada a otra variable x, y ambas estnrelacionadas con t, para resolver esto serequiere derivacin implcita.Para esto se realiza el siguienteprocedimiento:1) Denote mediante t el tiempo transcurrido.

Dibuje un diagrama para toda t>0. Etiquete



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artn

RAZONES DE CAMBIOaquellas cantidades cuyos valores nocambian conforme t aumenta con susrespectivos valores constantes dados.

2) Establezca lo que est dado acerca de lasvariables y que informacin se requiere deellas, la que debe estar dada comoderivadas con respecto a t.

3) Relacione las variables escribiendo unaecuacin general que sea vlida para todoslos instantes t>0.



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artn

RAZONES DE CAMBIO4) Derivar implcitamente con respecto a t, la

ecuacin resultante ser vlida para todat>0.

5) Sustituir en la ecuacin resultante los datosque son vlidos en el instante particular.Luego despeje la derivada.



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artn EJEMPLOS:

1) Fluye agua hacia un tanque cnico a unarazn de 8 pies cbicos por minuto. Si laaltura del tanque es de 12 pies y el radio desu abertura circular es de 6 pies. Qu tanrpido se est elevando el nivel de aguacuando el agua tiene una profundidad de 4pies?

2) Un aeroplano que vuela hacia el norte a 640millas por hora, pasa sobre cierta ciudad al

RAZONES DE CAMBIO



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artn medioda. Un segundo aeroplano que va

hacia el este a 600 millas por hora, estdirectamente encima de la misma ciudad 15minutos mas tarde. Si los aeroplanos estnvolando a la misma altitud. Qu tan rpidose estn separando a la 1.15 p.m.?

3) Un avin vuela hacia el oeste con unavelocidad de 500 pies/seg a una altura de4000 pies y un rayo de luz de un faro derastreo ubicado en tierra, incide en la parteinferior del avin. Si la luz se mantiene sobre

RAZONES DE CAMBIO



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artn el avin, Qu tan rpido gira el rayo de luz

cuando el avin se encuentra a una distanciahorizontal de 2000 pies al este del faro?

4) El radio de la base de cierto cono aumenta arazn de 3 cm por hora y la altura disminuyea razn de 4 cm por hora,. Calcule comovaria el rea total del cono cuando el radiomide 7 cm y la altura 24 cm.

RAZONES DE CAMBIO



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artn

RAZONES DE CAMBIO5. Razones de cambio en la economa.- Las

razones de cambio en el campo de laeconoma, no se miden con respecto altiempo; por ejemplo los economistas serefieren a la utilidad marginal, ingresomarginal y costo marginal, como las razonesde cambio de la utilidad, el ingreso y el costorespecto al numero de unidades producidas ovendidas. La ecuacin que relaciona estas trescantidades es:

)()()( xxx CIU



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artn

RAZONES DE CAMBIODonde:

=Utilidad, =Ingreso, =CostoLa derivada de cada uno de estos da:

)(xU )(xI )(xC

marginalUtilidaddxdU

marginalIngresodxdI

marginalCostodxdC



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artn

RAZONES DE CAMBIOEquilibrio Econmico: El objetivo principalde toda empresa es de maximizar utilidades yminimizar perdidas.El punto de equilibrio ocurre cuando elingreso marginal es igual al costo marginal.La cantidad de equilibrio es el valor de x quemaximiza la utilidad y el punto de equilibrioser: P(x0,U(x0)) donde x0 es la cantidad deequilibrio.



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artn

RAZONES DE CAMBIOPara obtener la utilidad mxima se debehacer:

y comprobarse que

Tambin se debe distinguir el caso en que lafirma opera bajo libre competencia y el casoen que es un monopolio.

0dxdU 0

02

2

xxdxUd



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artn EJEMPLOS:

1) Supongamos que tenemos competencia pura;luego el precio de mercado es una constantep igual a 100. El ingreso total de la empresaes: , donde x es la cantidad vendida.y el costo es:Determine la cantidad de equilibrio y lautilidad mxima.

RAZONES DE CAMBIO

xI 1004050122 23 xxxC



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artn 2) Consideremos ahora el caso de un

monopolio, esto es que el precio de mercadono es constante, puede ser alterado por elmonopolista. , el cual es:y el costo es:Determine el punto de equilibrio.

RAZONES DE CAMBIO

253525.0 2 xxCxp 5.050



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artn EJEMPLOS:

3) Una empresa que fabrica y vende escritoriostrabaja en competencia perfecta y puedevender a un precio de $200 el escritoriotodos los escritorios que produce, si xescritorios se produce y se vende cadasemana y C en dlares es el costo deproduccin, donde .Determine cuantos escritorios debernfabricarse por semana para que obtenga lamxima utilidad semanal.y el costo es:

RAZONES DE CAMBIO

3000402 xxC



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artn 4) La funcin de ingreso total de una Muebleraes en la que I es el ingreso y x

es la cantidad vendida.a) Cual es el ingreso mximo que la empresa

puede esperar, suponiendo que la ecuacinanterior sea valida?

b) Cual es la ecuacin correspondiente a lafuncin de ingreso marginal de etaMueblera?

RAZONES DE CAMBIO2324 xxI



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artn 1. Calculo de lmites indeterminados de lasformas

Si se tiene que:

si existe el lmite, sivuelve a obtenerse interminacin, de nuevose aplica la misma regla hasta obtener ellmite.

REGLA DE LHOSPITAL

y0

0

xg

xfax 0

0)()(lim

)(')('lim)(

)(lim xgxf

xgxf

axax



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artn 2. Otras formas indeterminadas: Paracalcular lmites indeterminados de la forma

0. hay que hacer la sgte. transformacin:

Si la indeterminacin es - se hace:

Luego se procede de la misma manera

REGLA DE LHOSPITAL

)(1)(

)(1)(

)(lim0)(lim

xf

xgxg

xfxgy

xfax

ax

)()(1)()()( xfxgxfhacesexgxf



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artn EJEMPLOS:

Determinar los siguientes lmites

6722lim)1 3

23

1

xxxxx

x

1lnlim)2 1 x

xx

xtagtagx

x 5lim)3 2/ctgxxx )cos1(lim)4 0

xx

xx ln

11lim)5 1

REGLA DE LHOSPITAL



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artn

DIFERENCIALES1. Definicin.- La diferencial de una funciny=f(x) es la parte principal de su incrementolineal con respecto al incremento x=dx de lavariable independiente x.La diferencial de una funcin es igual alproducto de su derivada por la diferencial dela variable independiente x.

dxxfdy )(



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artn

DIFERENCIALESCuando el valor absoluto del incremento x dela variable independiente x es pequeo, ladiferencial dy de la funcin y y de dichafuncin son aproximadamente iguales entre si;pero la diferencial de la funcin no es igual asu incremento.

dxxfy )(dxxfxfxxf )()()( dxxfxfxxf )()()(



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artn

DIFERENCIALES2. Grficamente:

),( yx

X

Y )(xfy

O

M

dxx

x

dy} }yx+x

N T



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artn

DIFERENCIALES3. Frmulas.- La diferencial dy de una funcinse puede hallar aplicando su frmula dedefinicin o bien por medio de las reglas declculo de diferenciales; las cuales son:1)2)3)4)5)

0)( cdcducud )(

dvduvud )(vduudvvud ).(

0;)( 2 vvudvvdu

vud



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artn

DIFERENCIALESEJERCICIOS:Hallar la diferencial de las siguientes funciones:1)2)

3)

4)

2xxy )2()1()( 22 xxxf

122

xxy12

2

xxy



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artn

DIFERENCIALES5)6)7)

8)

9)10)

cos2xy)2/()( xlnsenxf

)( 2xarcseny

142 xy

xsenxy 22 3cos xsenxy

Unidad N 3 LMITES Y CONTINUIDADLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESASNTOTASASNTOTASASNTOTASASNTOTASASNTOTASFUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUASFUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUASFUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUASFUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUASFUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUASFUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUASUnidad N 2 DERIVADAS DE FUNCIONES REALESDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASSlide596Slide597Slide598Slide599Slide600DERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASUnidad N 3 APLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAUnidad N 4 OTRAS APLICACIONESPROBLEMAS SOBRE MXIMOS Y MNIMOSPROBLEMAS SOBRE MXIMOS Y MNIMOSPROBLEMAS SOBRE MXIMOS Y MNIMOSPROBLEMAS SOBRE MXIMOS Y MNIMOSPROBLEMAS SOBRE MXIMOS Y MNIMOSRAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIOREGLA DE LHOSPITALREGLA DE LHOSPITALREGLA DE LHOSPITALDIFERENCIALESDIFERENCIALESDIFERENCIALESDIFERENCIALESDIFERENCIALESDIFERENCIALES

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