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Universidad Politécnica De Texcoco
Título de la Investigación: Propuesta del fortalecimiento del taller de
Matemáticas para el aprendizaje educativo en las licenciaturas Geografía e
Historia para el uso de prácticas y teóricas en la
(Escuela Normal De Texcoco)
Alumnos: José Horacio Hernández Díaz (1205IR007)
Luis Horacio Hernández Díaz (1205IR005)
Tesina de Estadía para la obtención del Título en Ingeniería Robótica
Asesor Técnico de la Universidad Politécnica De Texcoco: Thania Elizabeth
Frías Carmona
Directora de la Escuela Normal De Texcoco: Delfina Santos Estrada Montes
De Oca
Asesor de la Institución de la Escuela Normal De Texcoco: Juan Manuel
Muñoz Araujo
10VIR1
Texcoco De Mora, México 17 De Diciembre 2015
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Dedicatoria
Damos gracias a Dios por este día por haber finalizado nuestros estudios que a pesar de
nuestra discapacidad rompimos barreras ,estos se los dedicamos a nuestro padres
Jerónimo Hernández Cervantes y María Díaz Pérez y nuestros hermanos Armando
Hernández Díaz y Roque Joaquín Hernández Díaz también, a las esposas de nuestros
hermanos Marisol y Cristina, a nuestro sobrinos Marisol Coriely ,Nadia Abril y Cristian
Remi gracias familia los llevaremos en el corazón.
Especialmente También se la dedicamos a las personas que ya no están entre nosotros
con mucho cariño.
También damos gracias a las personas que nos apoyaron sin ellos no hubiéramos logrado
para llegar a esta meta.
Gracias a todos ustedes que nos ayudaron con su apoyo que Dios los bendiga.
3
Agradecimientos
Damos gracias a la Universidad Politécnica De Texcoco por brindado su apoyo durante
estos 3 años damos gracias al rector de la Universidad Politécnica de Texcoco Carlos
Oscar Espinosa Castañeda, directora académica Rocío Hidalgo Galnares , Thailing Núñez
Bentacurt y a la presidenta de ingeniería Robótica Thania Elizabeth Frías Carmona y a
nuestros maestros de nuestra carrera, personal de trabajo etc.
También damos gracias a nuestros compañeros de clase por bridado su apoyo en estos 3
años en la carrera día a día
Gracias Universidad Politécnica De Texcoco siempre los llevaremos en nuestros
corazones.
Agradecemos especialmente a la Escuela Normal De Texcoco por su apoyo en este
trabajo de investigación para realizar nuestras prácticas profesionales especialmente
damos las gracias a la directora de la Escuela Normal De Texcoco Delfina Santos Estrada
Montes De Oca, al profesor de nuestra Estadía Juan Manuel Muñoz Araujo de la
institución por haber sido buenos con nosotros a pesar de nuestra discapacidad nos
aceptaron y nos abrieron las puertas de su institución como directivos
,docentes,administrativo,personal de trabajo etc.
También damos gracias a los alumnos de las licenciaturas de Historia y Geografía por su
apoyo y su dedicación día a día
Gracias Escuela Normal De Texcoco siempre los llevaremos en nuestros corazones .
Finalmente damos gracias al gobernador del Estado De México a Eruviel Ávila Villegas y a
la licenciada Patricia Jiménez por haber dado su apoyo y compresión en nuestros
términos de nuestros estudios de nivel superior, a las 2 instituciones, a la licenciada y al
gobernador muchas gracias.
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Índice
Introducción--------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------7
Capítulo I: Marco Teórico, conceptual y Referencial ----------------------------------------------------------11
Capitulo II: Métodos y Materiales--------------------------------------------------------------------------------26
Capitulo III: Presentación, Análisis de los Resultados de la Investigación y solución del Problema
de la Investigación-----------------------------------------------------------------------------------------------------65
Conclusiones-------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------72
Recomendaciones ------------------------------------------------------------------------------------------------------73
Bibliografías---------------------------------------------------------------------------------------------------------------74
Anexos--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------76
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RESUMEN
La Matemática es una ciencia formal que, partiendo y siguiendo el razonamiento lógico,
estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas como números, figuras
geométricas o símbolos.
En la Escuela Normal de Texcoco se imparten 3 Licenciaturas: la Licenciatura en Geografía
y la Licenciatura en Historia. Dichas Licenciaturas cuentan con un Taller en el cual los
alumnos pueden desarrollar prácticas y que sirven como herramienta para obtener el
conocimiento.
En las Licenciaturas de Geografía y de Historia de la Escuela Normal de Texcoco hoy en
día cuentan con talleres de retroalimentación de diferentes materias relacionado con su
licenciatura para la formación docente en educación básica.
Por lo cual, en esta investigación se desarrolla un Taller de fortalecimiento académico en
el área de matemáticas y asesoramiento de un software, actividades para que los
alumnos de la Escuela Normal de Texcoco tengan la oportunidad de hacer sus propios
Talleres de clase y poder utilizarlos a lo largo de la licenciatura con un enfoque
competitivo y estratégico profesionales .
El interés de esta investigación es asesorar a estudiantes en Geografía e Historia en
talleres didácticos de fortalecimiento académico de matemáticas además en este trabajo
se pretende para darle solución para la formación de docentes en educación básica
teniendo como fundamentó pedagógico el desarrollo de competencias con un sentido
humano y ético que les permita mejorar su práctica educativa influyendo en el entorno
socio-cultural en el proceso de enseñanza de las Matemáticas en las Licenciaturas de
Historia y Geografía en la Escuela Normal de Texcoco.
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ABSTRACT
The mathematics is a formal science that, starting from axioms and following the logical
reasoning, studies the properties and relationships between abstract entities such as
numbers, geometric figures or symbols.
In the Normal School of Texcoco 3 Degrees taught, them 2 Degrees, Bachelor Degree in
Geography and History. Such Degrees have a workshop in which students can develop
practices and serve as a tool for knowledge.
In the Bachelor of Geography and History of the Normal School of Texcoco today include
feedback workshops different subjects related to their degree for teacher training in basic
education.
Therefore, this research develops a workshop on academic strengthening in the area of
mathematics and advice software, activities for students of the Normal School of Texcoco
have the opportunity to make their own workshops class and to use them degree along
with a competitive approach and strategic professionals.
The interest of this research is to assist students in geography and history workshops
academic building also mathematics in this paper aims to provide a solution for the
training of teachers in basic education acting pedagogical skills development with a
human sense and ethical to allow them to improve their educational practice influencing
the socio-cultural environment in the teaching of mathematics in the Bachelor of History
and Geography in the Normal School of Texcoco.
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INTRODUCCIÓN
En este proyecto se pretende dar fortalecimiento a los conocimiento de los alumnos de
las Licenciatura en Historia y Geografía en el área de las matemáticas a través de un taller
que permita obtener las competencias y habilidades para responder a problemas reales
de la vida cotidiana, problemas que se encuentran estructurados en tres niveles de
conocimiento Básico, intermedio y avanzado, que le permiten al alumno dar respuesta a
los diferentes problemas diseñados en la plataforma de la Dirección General de Educación
Superior para Profesionales de la Educación de la DGESPE , bajo un software que solo
plantea el problema y le da algunas ideas al alumno del Poder resolver. Siendo esta la
única ayuda que tiene el alumno para dar respuesta a los problemas, ante tal situación se
implementó, la asesoría personalizada y el acompañamiento en la solución de los
problemas estructurados en seis campos: aritmética, prealgebra, algebra, geometría
analítica, temas de tratamiento de la información y temas de geometría en el plano
cartesiano.
Para desarrollar las actividades es necesario partir de una planeación del área de
matemáticas atreves de los contenidos y diseño de los aprendizajes esperados, contenidos
que pretenden el cumplimiento de los objetivos específicos establecidos en este proyecto
de asesoramiento y fortalecimiento del taller de matemáticas, diseñado para los alumnos
de las Licenciaturas en Geografía e Historia de la Escuela Normal de Texcoco.
Sin embargo, Se expone como el objeto de estudio de la matemática como ciencia y el
comportamiento del mismo en el transcurso del desarrollo de las matemáticas. Se estudia
el surgimiento y desarrollo de las matemáticas, su relación con otras ciencias y se plantea
una periodización de la historia de las matemáticas, Finalmente este taller de
fortalecimiento de las matemáticas servirá para que las generaciones futuras que se
utilizara para el desarrollo de las teóricas y prácticas en las licenciaturas de Geografía e
Historia en la (Escuela Normal de Texcoco) para un fin determinado al momento de
utilizarlo en los talleres de fortalecimiento académico en las licenciaturas de Geografía e
Historia al momento de dar un conocimiento exacto y preciso, En este proyecto se
propone solucionar el problema dar fortalecimiento atraves de un software y actividades
del taller presentado la planeación del área de fortalecimiento en el área de matemáticas
para las licenciaturas de Geografía e Historia de(la Escuela Normal de Texcoco) para un
conocimiento específico y exacto para la formación de docentes en educación básica
teniendo como fundamentó pedagógico el desarrollo de competencias con un sentido
humano y ético que les permita mejorar su práctica educativa influyendo en el entorno
socio-cultural.
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DISEÑO TEÓRICO
Problemática:
Actualmente en la Escuela Normal de Texcoco cuenta con 1 taller de asesoramiento de
matemáticas para ser utilizada en las licenciaturas Geografía e Historia, sin embargo el
taller de fortalecimiento no es suficiente para satisfacer los requerimientos de una sesión
teórica y práctica para un grupo completo.
Pregunta científica:
¿Cómo solucionar el insuficiente número de talleres de asesoramiento en matemáticas
en las licenciaturas de Geografía e Historia en la Escuela Normal de Texcoco?
Objeto de la investigación:
El proceso de enseñanza de las matemáticas en las Licenciaturas de Historia y Geografía
en la Escuela Normal de Texcoco.
Campo de la investigación:
El insuficiente número de talleres de asesoramiento en Matemáticas en las licenciaturas
de Geografía e Historia en la Escuela Normal De Texcoco.
Objetivos
Objetivo General:
Proponer el desarrollo de las 6 habilidades matemáticas impartidas en la Escuela Normal
de Texcoco por medio de fortalecimiento de talleres didácticos, se convierte en una vía
que facilitará el aprendizaje de los alumnos de las Licenciaturas de Geografía e Historia de
la Escuela Normal de Texcoco.
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Objetivos Específicos:
• Fundamentar teórica y metodológicamente el insuficiente número
de talleres en las licenciaturas de Geografía e Historia
• Diagnosticar el problema relacionado con el insuficiente número de
talleres en las licenciaturas de Geografía e Historia.
• Identificar las causas del insuficiente número de talleres en las
licenciaturas de Geografía e Historia
• Proponer el desarrollo de las 6 habilidades matemáticas impartidas en la
Escuela Normal de Texcoco por medio de fortalecimiento de talleres
didácticos que faciliten el aprendizaje de los alumnos de las licenciaturas
de Geografía e Historia de la Escuela Normal De Texcoco.
Tareas de la investigación:
• Fundamentación teórica y metodológicamente del insuficiente
número de talleres en las licenciaturas de Geografía e Historia
• Diagnostico del problema relacionado que presentan el insuficiente
número de talleres en las licenciaturas de Geografía e Historia.
• Identificación de las causas del insuficiente número de talleres en las
licenciaturas de Geografía e Historia
• Propuesta del Fortalecimiento en taller de matemáticas para el
aprendizaje educativo en las licenciaturas Geografía e Historia para el uso
de prácticas y teóricas.
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Variables de la investigación:
Variable independiente
La Propuesta del desarrollo de las seis habilidades matemáticas en la Escuela Normal de
Texcoco por Medio de fortalecimiento de talleres didácticos para los alumnos de las
Licenciaturas de Geografía e Historia.
Variable dependiente
El insuficiente número de talleres en matemáticas en las licenciaturas de Geografía e
Historia en la Escuela Normal de Texcoco al momento de no dar una clase a un grupo
completo de licenciatura.
Hipótesis
La Propuesta del desarrollo de las seis habilidades matemáticas en la Escuela Normal De
Texcoco por Medio de fortalecimiento de talleres didácticos se convierte en una vía que
facilitara el aprendizaje de los alumnos de las Licenciaturas de Geografía e Historia
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CAPITULO I
. MARCO TEÓRICO, CONCEPTUAL Y REFERENCIAL
1.1 . El proceso de enseñanza aprendizaje
Se coincide con el criterio que se realiza en el Proyecto Territorial: Perfeccionamiento de
la enseñanza-aprendizaje de la historia local en programa Historia de México de 9no
grado, del ISP de las Tunas, (2005) en el que se plantea que “… para Marx lo fundamental
es el conocimiento comprensivo del proceso total, puesto que la “orientación concreta del
pensamiento hacia la conexión total de los fenómenos está presente aun allí donde la
exposición no lo deja traslucir a primera vista…”. El ejemplo más brillante de la noción de
totalidad en Marx, lo encontramos en su texto Introducción General a la Crítica de la
Economía Política, de 1857, considerado por Pierre Villar como el único intento hasta
ahora realizado por escribir un tratado de teoría de la historia. Muchas de las categorías
que le han dado vida y dinámica a la historia proceden de Marx: clase social, lucha de
clases, modo de producción, ideología, conciencia, fuerzas productivas, relaciones de
producción. Marx introdujo la “historia razonada”; o sea, una historia que “ni separa ni
mezcla el momento económico, el social, el político y educacional.
El proceso de enseñanza aprendizaje: se concibe como el espacio en el cual el principal
protagonista es el alumno y el profesor cumple con una función de facilitador de los
procesos de aprendizaje. Son los alumnos quienes construyen el conocimiento a partir de
leer, de aportar sus experiencias y reflexionar sobre ellas, de intercambiar sus puntos de
vista con sus compañeros y el profesor. En este espacio, se pretende que el alumno
disfrute el aprendizaje y se comprometa con un aprendizaje de por vida.
Sin embargo, el proceso de enseñanza aprendizaje en las matemáticas que el profesor
tanto como el alumno tenga la capacidad de competir con estrategias matemáticas y
cognoscitivas para resolver problemas precisos para un conocimiento específico en la vida
cotidiana para tener una educación de calidad.
Por lo cual, La educación matemática: es un término que se refiere tanto al aprendizaje,
como a la práctica y enseñanza de las matemáticas, así como a un campo de la
investigación académica sobre esta práctica en Escuelas Normales del Estado De México.
Finalmente, es importante que las licenciaturas de Historia y Geografía de la Escuela
Normal De Texcoco tengan esa competencia y esa habilidad en las matemáticas para su
formación de enseñanza y educativa.
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1.2 Competencias en el contexto educacional
Se entienden como actuaciones integrales para identificar, interpretar, argumentar y
resolver problemas del contexto con idoneidad y ética, integrando el saber ser, el saber
hacer y el saber conocer.
En las actuales condiciones de desarrollo, donde los grandes desafíos imponen a los seres
humanos ser cada día más eficaces y eficientes en su desempeño, se ha introducido con
fuerza cada vez mayor el término de competencia, en el contexto de las diferentes
profesiones y perfiles ocupacionales existentes. Las distintas competencias de los
profesionales de la educación establecidas como resultado del propio modelo del
profesional de la educación y teniendo en cuenta las cualidades, funciones y tareas que
son ingerentes, son las siguientes:
1. Competencias Didácticas.
2. Competencia para la Orientación Educativa.
3. Competencia para la Investigación Educativa.
4. Competencia para la Comunicación Educativa.
5. Competencia para la Dirección Educativa.
En este sentido, debe considerarse la relación existente entre las competencias y el
modelo de desempeño socialmente establecido en cada época histórica y en cada
contexto particular, las sociedades contemporáneas exige al profesional de la educación
enfrentar situaciones complejas.
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1.3 Contenidos conceptuales del programa de matemáticas en escuelas normales
Conjunto: colección de objetos bien definidos, de tal manera que se pueda decir siempre que si un objeto pertenece o no al conjunto al cual nos referimos. Nomenclatura: Se determinan entre llaves {} Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas. Conjunto A, B, C,…., Z
Los conjuntos también se representan por medio de Diagramas de Venn Diagramas de Venn-Euler: formas gráficas de representar conjuntos.
Elemento: que pertenece a un conjunto. Ejemplo: a, e, i, o u son los elementos del conjunto de las vocales. • Universo: U : Conjunto que determina un marco de referencia. Ejemplo: U={letras del alfabeto} es el universo del conjunto A= {vocales} • Cardinalidad: Determina el número de elementos de un conjunto. Ejemplo: La
cardinalidad del conjunto A= {vocales} es 5 y se representa A = 5 • Subconjunto: A ⊂ B Si cada elemento de A es un elemento de B y B tiene igual o más
elementos que A, esto es la cardinalidad de B es mayor o igual que la cardinalidad de A, se dice que A es un subconjunto de B. Entonces, A ⊆ B A subconjunto de B A ≤ B pueden ser
iguales o no los conjuntos • Conjunto vacío: φ es aquel conjunto que no contiene elementos. Si A = { } ⇒ A = φ ∧ A =
0 . Si A = { 0 } ⇒ A ≠ φ ∧ A = 1 • Conjunto potencia, P(A): es la colección de todos los subconjuntos de A. Esto es, si A
={1,2,3,4} entonces P(A) = { {0}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3},
{1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} }. P(Α) = 16 . En general, Si A = n ∧ n ≠ 0 ⇒ P(A) = 2n .
Tipos de conjuntos numéricos:
Naturales: Conjunto de números enteros positivos incluyendo el cero
N = {0, 1,2,3,4,...}
Enteros: Conjunto de números enteros positivos y negativos
• Conjunto de números enteros positivos (no incluye el cero)
Z = ,... − 3,−2,−2,0,1,2,3,...- Z + = {1,2,3,...} = {x∈ Z x > 0} Z = = {n∈ Z + Z = 0,1,2,3,..., n −1}
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Racionales: Conjunto de aquellos números que se pueden representar por medio de una
fracción b/a. Conjunto de números racionales positivos conjunto de números racionales distintos de cero
Q = { b a ∧ b∈ Z ∧ b ≠ 0}
Q+ = {r r ∈Q ∧ r > 0}
Q* = {r r ∈Q ∧ r ≠ 0}
Reales: Números enteros o fracción, positivos o
Negativos incluyendo el cero
• Números reales positivos
• Reales distintos de cero
Figura 1: Recta numérica
Complejos: Conjunto de números que son reales e Imaginarios
C = {x + yi x, y ∈ R ∧ i2 = −1}
C* = {x + yi x, y ∈ R ∧ x, y ≠ 0}
Intervalos: Cerrado, Semicerrado, Semiabierto y Abierto
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[a,b] = { x∈ R / a ≤ x ≤ b } intervalo cerrado
[a,b) = { x∈ R / a ≤ x < b } intervalo semiabierto
(a,b] = { x∈ R / a < x ≤ b } intervalo semiabierto
(a,b) = { x∈ R / a < x < b } intervalo abierto
Irracionales: Un número irracional no puede expresarse dela forma a/b siendo a y b
enteros.
Sin embargo, Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales
que no siguen ningún patrón repetitivo Debido a ello, los más celebres números
irracionales son identificados mediante símbolos. Algunos de éstos son: π (pi): relación
entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro.
I = {π, e,φ}
Operaciones Básicas:
Son una operación es un conjunto de reglas que permiten obtener otras cantidades o
expresiones.
Suma: consiste en obtener el número total de elementos a partir dos o más cantidades.
a+b=c
Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c
Propiedades de la suma:
1. Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
2. Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
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3. Elemento neutro:
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo
número.
a + 0 = a
Elemento opuesto
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.
a − a = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
La suma de números naturales no cumple esta propiedad.
Resta:
La resta o sustracción es la operación inversa a la suma.
a - b = c
Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al
resultado, c, lo llamamos diferencia.
Propiedades de la resta:
No es Conmutativa:
a − b ≠ b − a
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Multiplicación:
Multiplicar dos números consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas
veces como indica el otro factor.
a · b = c
Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.
Propiedades de la multiplicación:
1. Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado
(a · b) · c = a · (b · c)
2. Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a
3. Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da
el mismo número.
a · 1 = a
4. Elemento inverso:
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad.
La suma de números naturales y de enteros no cumple esta propiedad.
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5. Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
número por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
6. Sacar factor común:
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto
extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
División:
La división o cociente es una operación aritmética que consiste en averiguar cuántas veces
un número está contenido en otro número.
D : d = c
Los términos que intervienen en un cociente se llaman, D, dividendo y d divisor. Al
resultado, c, lo llamamos cociente.
Tipos de divisiones:
1. División exacta:
Cuando el resto es cero.
D = d · c
2. División entera:
Cuando el resto es distinto de cero.
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D = d · c + r
Propiedades de la división
1. No es Conmutativo:
a : b ≠ b : a
2. Cero dividido entre cualquier número da cero.
0 : a = 0
3. No se puede dividir por 0.
Potenciación:
La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales.
a · a · a · ... = an
Base
Es el número que multiplicamos por sí mismo.
Exponente
Indica el número de veces que multiplicamos la base
Propiedades de las potencias:
1. a0 = 1
2. a1 = a
3. Producto de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
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am · a n = am+n
4. División de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
Ley de signos
La ley de signos es válida sólo en la multiplicación y en la
División, y es precisamente cuando tenemos más de un
Signo y debemos concluir con uno solo, por lo que se
Marcan las siguientes reglas.
Multiplicación División
Signos iguales siempre dan positivo (+), signos
diferentes siempre dan negativo (- ).
(+) (+) = +
(+) ( - ) = -
( - ) ( + ) = -
( - ) ( - ) = +
Números Naturales:
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = ,0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…-
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
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Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para
ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que
se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo
del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de
división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto
Propiedades de la adición de Números Naturales
La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y
elemento neutro.
1.- Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)
2.-Conmutativa
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Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a + b = b + a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7 + 4 = 4 + 7
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
3.- Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a + 0 = a
Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales
La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributivo del producto respecto de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a • b) • c = a • (b • c)
Por ejemplo:
(3 • 5) • 2 = 15 • 2 = 30
3 • (5 • 2) = 3 • 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 • 5) • 2 = 3 • (5 • 2)
2.- Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a • b = b • a
Por ejemplo:
5 • 8 = 8 • 5 = 40
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3.-Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a • 1 = a
4.- Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
a • (b + c) = a • b + a • c
Por ejemplo:
5 • (3 + 8) = 5 • 11 = 55
5 • 3 + 5 • 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 • (3 + 8) = 5 • 3 + 5 • 8
Propiedades de la Sustracción de Números Naturales
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 – 2 = 4.
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).
Propiedades de la resta:
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a – b que b – a)
Propiedades de la División de Números Naturales
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre
un número de personas.
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Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número
de personas), cociente (el número que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
Propiedades de la división
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a
.
Preálgebra: Es un nombre común para un curso de matemáticas, se enseña
normalmente en el objetivo de preálgebra es preparar al estudiante para el estudio del
álgebra.
Preálgebra incluye varios temas generales:
Revisión de la serie aritmética naturales
Nuevos tipos de números como números enteros, fracciones, decimales y números
negativos
Factorización de números naturales
Propiedades de las operaciones como la asociatividad y distributividad
(Entero) raíces simples.
Reglas de evaluación de expresiones, como la precedencia del operador y el uso de los
paréntesis
Fundamentos de ecuaciones, incluidas las normas para la manipulación invariantes de
ecuaciones
La comprensión de la manipulación de la variable
La manipulación y la aritmética con el plano de coordenadas estándar de 4 cuadrantes
cartesiana
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Preálgebra puede incluir temas de geometría, somete especialmente que una mayor
comprensión del álgebra en aplicaciones al área
El álgebra lineal: Es una rama de las matemáticas en el campo de la algebra general que
estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en su
enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las
matemáticas, como el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la investigación de
operaciones, las gráficas por computadora, la ingeniería, la tecnología, la ciencia, la
educación etc.
De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios
vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (que
tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto
entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades
26
CAPITULO II
METODOS Y MATERIALES
En esta segunda parte se va a hablar los métodos que se aplicaron en la Escuela Normal
De Texcoco para la realización para el taller didáctico de las matemáticas que contiene las
seis habilidades hecho para los alumnos de las escuelas normales para realizar los pasos
del diseño metodológico.
Población
Definición: es cualquier conjunto de elementos que tenga una o más propiedades más
comunes. En este proyecto la población está conformada por un total de 16 alumnos de
las licenciaturas de Geografía e Historia de la Escuela Normal De Texcoco que conforman
el taller de fortalecimiento académico en el área de matemáticas de las 2 licenciaturas.
Muestra:
Es un grupo relativamente pequeño de unidades de población, que supuestamente
representa en mayor o menor medida las características de dicha población. En este
proyecto la muestra se corresponderá con el total de la población que son los 16 alumnos
del taller de fortalecimiento académico en el área de matemáticas que llevan las 2
licenciaturas de Geografía e Historia. De la Escuela Normal De Texcoco y se obtuvo el
porcentaje total de 7 preguntas de la encuesta.
Unidades de estudio:
Se observó a los a los alumnos de Geografía e Historia trabajando en el software de la
DGESPE de las 6 habilidades matemáticas, actividades extras en el taller de matemática
Se realizó una encuesta a los alumnos de la Escuela Normal De Texcoco de Geografía e
Historia sobre el uso del software de la DGESPE de fortalecimiento de matemáticas y las
actividades en clase en el taller de matemáticas.
27
Métodos Teóricos de la investigación:
Método de modelación:
En este proyecto se llevó a cabo el desarrollo las matemáticas atraves de actividades y
una plataforma de programa de la DGESPE, bajo un software que solo plantea el problema
y le da algunas ideas al alumno bajo 6 habilidades matemáticas para las licenciaturas de
Historia y Geografía en la Escuela Normal de Texcoco.
Aquí se ve la presentación Programa de DGESPE Diseñado para fortalecer el conocimiento
matemático de los estudiantes de las Escuelas Normales y contiene 6 habilidades de
estrategia: aritmética, prealgebra, algebra, geometría analítica, temas de tratamiento de
la información y temas de geometría en el plano cartesiano.
28
Método sistémico estructural - funcional:
La función instructiva o educativa del proceso de asesoramiento y fortalecimiento
académico en clase en las licenciaturas de Historia y Geografía en la educación está
determinada por la estructura de los contenidos que se enseñan en un software y las
actividades que determinan el objetivo a alcanzar los métodos a desarrollar.
Método de dirección:
En este proyecto se llevó a cabo la solución el proceso de asesoramiento y
fortalecimiento académico en clase en las licenciaturas de Historia y Geografía en la
educación, sin embargo también la solución del insuficiente números de talleres a través
de actividades y un software del programa de matemáticas de la DGESPE para las
licenciaturas de Historia y Geografía en la Escuela Normal de Texcoco
29
MÉTODOS EMPÍRICOS
Conllevan toda una serie de procedimientos prácticos con el objeto y los medios de
investigación que permiten revelar las características fundamentales y relaciones
esenciales del objeto; que son accesibles a la contemplación sensorial. Los métodos de
investigación empírica, representan un nivel en el proceso de investigación cuyo
contenido procede fundamentalmente de la experiencia, el cual es sometido a cierta
elaboración racional y expresado en un lenguaje determinado.
Se realizó una encuesta a los alumnos de la Escuela Normal de Texcoco de Geografía e
Historia sobre el uso del software de la DGESPE de fortalecimiento de matemáticas y las
actividades en clase en el taller de matemáticas .
Método de medición:
En este proyecto se realiza los ejercicios del software del programa DGESPE de
fortalecimiento de matemáticas con problemas y resultado precisos y da una evaluación al
momento de realizar y calificar el programa del software de los ejercicios realizados de la
DGESPE de las 6 habilidades matemáticas en la Escuela Normal de Texcoco.
30
Aquí se ve el Programa DGESPE de fortalecimiento de matemáticas con problemas y
resultado precisos y da una evaluación al momento de realizar y calificar el programa del
software de los ejercicios realizados de la DGESPE de las 6 habilidades matemáticas en la
Escuela Normal de Texcoco.
31
32
33
34
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180° podemos plantear la ecuación x +
2x + 60 = 180 . Al resolverla encontraremos el valor de x.
35
Figura 2
La figura informa que los ángulos cuyas medidas son x y 4y son opuestos por el vértice, de esto
obtenemos que 4y = x.
4y = x
4y = 40
y = 10
La respuesta correcta es 10.
Tema Raíz→
Temas de álgebra.→
Generales de Álgebra.→
[45]
Operaciones con
polinomios,
evaluación y
simplificación. Leyes de
exponentes.
3
¿Cuál es el valor de si ?
Correcta respuesta elegida: 81
+ Información
Corregir
Partimos de que
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad y considerando que se obtiene:
36
Esto es , elevando al cuadrado nuevamente
Se llega al mismo resultado elevando a la cuarta potencia la ecuación
Al aplicar la ley de los exponentes
se tiene
Dificultad: Intermedia → Tema Raíz→ Temas de álgebra.→ Generales de Álgebra.→ [45] Operaciones con polinomios, evaluación y
simplificación. Leyes de exponentes.
37
38
→ Tema Raíz→
Temas de Tratamiento
de la información.→
[113]
Interpretación de datos.
1
¿Cuál de las siguientes ciudades de Baxterville
tenía una población en 1986 equivalente a de la población que tenía en 1999?
I. Richmont
II. Pierdson III. Freemond
Población en varias
ciudades de Baxterville (miles)
39
Correcta
respuesta elegida: Solamente III
+ Información Corregir
Se pide determinar qué ciudad tenía una población en 1986 equivalente a de la población que tenía en 1999, es decir, que tenía en 1986 la mitad de la población de 1999. Observando la gráfica se puede advertir
que la población de la ciudad de Freemond se incremento de 300 a 600 mil habitantes. Ninguna otra opción
cumple con lo que se enuncia en el problema.
40
→ Tema Raíz→
Temas de
Tratamiento de la información.→
[112] Conteo.
2
¿Cuántos apretones de manos ocurren entre 10 amigos cuando se saludan todos?
Correcta
respuesta elegida: 45
+ Información Corregir
Cuando 10 amigos se saludan todos podemos saber cuántos apretones de manos ocurren. Cada uno de los amigos realiza 9 saludos porque no puede saludarse a sí mismo. Si suponemos que hacen en forma
ordenada los saludos, el primer amigo saluda a sus 9 amigos, el segundo saluda a 8 amigos porque ya fue
saludado por el primero, el tercer amigo saluda a 7 porque ya fue saludado por los dos primeros, el cuarto saluda a 6, el quinto a 5, el sexto a 4, el séptimo a 3, el octavo a 2, el noveno a 1 y el décimo ya fue
saludado por todos.
Entonces el total de saludos es 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45.
La suma que se realiza es de los primeros números naturales, con igual al total de amigos, así que
una fórmula para determinar el total de apretones para n amigos es .
Otra forma de saber el total de apretones es que cada uno de los 10 amigos debe saludar a 9, en
consecuencia se tienen 90 saludos pero el saludo del amigo A al amigo B es el mismo que de B a A, es decir
están contados dos veces por lo tanto el total de saludos es que es la respuesta correcta.
41
→ Tema Raíz→
Temas de
Tratamiento de la información.→
[112] Conteo.
3
El menú de una fuente de sodas ofrece hamburguesas, tortas y hot dogs, así como refrescos, licuados o jugos. ¿De cuántas maneras se puede elegir un alimento y una bebida?
Correcta
respuesta elegida: 9
+ Información Corregir
Mediante un diagrama de árbol se pueden encontrar todas las posibles parejas que se pueden formar al
escoger un alimento y una bebida del menú de una fuente de sodas que ofrece hamburguesas (H), tortas (T) y hot dogs (Hd), así como refrescos (R), licuados (L) o jugos (J).
El diagrama es el siguiente:
Del diagrama podemos deducir que son nueve parejas posibles: (H, R), (H, L), (H, J), (T, R), (T, L), (T, J),
(Hd, R), (Hd, L) y (Hd, J). A partir del árbol se concluye que 9 es la respuesta correcta.
42
Tema Raíz→
Temas de
Tratamiento de la información.→
[114]
Probabilidad.
5
Se trazó una circunferencia con radio igual a 3 unidades y centro en el punto (0,0). ¿Cuál es la probabilidad
de que un punto tomado al azar dentro de la circunferencia esté dentro del triángulo que forman los puntos (-3,0), (0,3) y (3,0)?
Correcta
respuesta elegida:
+ Información Corregir
Para encontrar la probabilidad de que un punto tomado al azar dentro de la circunferencia esté dentro del
triángulo, debes encontrar el área del triángulo y dividir ésta entre el área del círculo.
Radio: 3 unidades Base del triángulo: 6 unidades
Altura del triángulo: 3 unidades
Área del triángulo:
Área del círculo:
Probabilidad:
43
→ Tema Raíz→
Temas de
Tratamiento de la i nformación.→
[115]
Estadística.
6
Compara los valores numéricos a que conducen los enunciados A y B y elige la opción que creas correcta.
A B
El promedio de y
Correcta
respuesta elegida: A>B
+ Información Corregir
El promedio de y es
y 140 es mayor que .
44
→ Tema Raíz→
Temas de
Tratamiento de la información.→
[113]
Interpretación
de datos.
7
La gráfica muestra el número de casos de viruela en 4 continentes que tenían 1960 y en 1970 ¿En qué
porcentaje decrecieron los casos de viruela en el total de casos de los cuatro continentes de 1960 a 1970?
Las unidades están dadas en miles.
Correcta
respuesta elegida: 75
+ Información Corregir
Las unidades están dadas en miles. A partir de la información de la gráfica se tiene:
Casos totales en 1960:
Por lo tanto la cantidad original es 460.
45
Casos totales en 1970:
Cambio real:
Cambio porcentual:
→ Tema Raíz→
Temas de geometría.→
Medida.→
[106] Cálculo de áreas por
descomposición
y
recomposición
de figuras. Referencias
de pregunta:
Geom p2
1
La figura de la derecha ilustra un rectángulo con un triángulo de color en su interior. El vértice superior (el punto rojo) del triángulo es un punto sobre el lado superior del rectángulo. En estas condiciones es
un hecho demostrado que:
El área del triángulo es la mitad del área del rectángulo.
(Si se coloca el cursor sobre el punto rojo, se pulsa el botón izquierdo del ratón y se arrastra sin soltarlo
el punto se mueve).
En esta otra figura el rectángulo es el mismo que el de la figura anterior y los dos triángulos (café y
verde) están como se ven y ellos se tocan en su vértice de color rojo. La línea punteada es paralela a los lados del rectángulo. (Si se coloca el cursor sobre el punto rojo, se pulsa el botón izquierdo del ratón y
se arrastra sin soltarlo el punto se mueve).
Si A, B y C representan los valores de las áreas de los triángulos sobre los que se encuentran estas
letras.
¿Cuál de las siguientes opciones es correcta?
Correcta
respuesta elegida: A es igual que: B + C
+ Información Corregir
46
CORRECTO
Si en esta figura la línea punteada es paralela a los lados del rectángulo, entonces se
forman dos rectángulos y cada uno presenta un caso particular de: Por lo tanto el área del triángulo B es la mitad del área del rectángulo que lo contiene y también el área de C es la mitad del
área del rectángulo que lo contiene. En consecuencia, la suma de las áreas de B y C es la mitad del área
del rectángulo mayor. Por lo tanto, A = B + C
47
Tema Raíz→
Temas de geometría.→
Congruencia
y semejanza.→
[100]
Problemas de aplicación de
semejanza y
Pitágoras.
3
¿Cuál es el área de un triángulo equilátero si su altura es ?
Correcta
respuesta elegida:
+ Información Corregir
La altura del triángulo equilátero ABC es , entonces calcularemos su área.
La medida de sus lados la representamos como x, al trazar la altura CD se determinan dos triángulos
rectángulos como se muestra a continuación.
48
El lado que sirve como base queda dividido en dos partes de unidades.
Utilizando el teorema de Pitágoras (la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa) en el triángulo rectángulo DBC calcularemos el valor de x, la expresión inicial queda como sigue.
Desarrollando
49
Conocido el valor de x se sabe la medida de la base del triángulo y como la altura es calculemos el área.
→ Tema Raíz→
Temas de geometría.→
Congruencia y semejanza.→
[93] Criterios
de
congruencia de triángulos.
Referencias
de
pregunta: Geom p7
4
En la figura de la derecha la recta BP es bisectríz del ángulo ABC. Si por un punto cualquiera P de la
bisectríz se traza el segmento PW perpendicular al lado BA del ángulo y también se traza PY
perpendicular al lado BC, entonces, los segmentos PW y PY tienen la misma longitud como se puede
observar (Si se coloca el cursor sobre el punto rojo P, se pulsa el botón izquierdo del ratón y se arrastra sin soltarlo el punto se mueve).
De la figura se observa además los siguientes aspectos (los puntos A y C se pueden mover):
Por ser el rayo BP bisectrtíz se sabe que los ángulos WBP y YBP miden lo mismo (se ve en la
figura);
por ser los segmentos PW y PY perpendiculares a los lados del ángulo, los ángulos PWB y PYB
miden cada uno 90°,
50
y se observa que el segmento BP es un lado comun de los triángulos BWP y BYP.
La pregunta: La conclusión de que los segmentos PW y PY miden lo mismo deriva de que los triángulos BWP y BYP
son congruentes. ¿Cuál de los siguientes criterios se aplica para establecer la congruencia de este par de
triángulos?
Correcta
respuesta elegida: ALA (Ángulo-lado-ángulo)
+ Información Corregir
CORRECTO
ALA (Ángulo-lado-ángulo) es el criterio de congruencia de triángulos que se aplica. Pero para hacerlo antes
hay que determinar si los ángulos de los triángulos con vértice en P son de la misma medida, es decir, si
son congruentes los ángulos WPB y YPB.
Es un hecho matemático demostrado que la suma de los ángulosinternos de todo triángulo es 180°, entonces aplicando este principio a los dos triángulos se concluye que los ángulos de los triánguloscon
vértice en P son de la misma medida, es decir son congruentes.
En efecto: medida de WBP + medida de PWB + medida de WPB = 180° = medida de YBP + medida de PYB + medida de YPB
y como medida de WBP=medida de YBP y medida de PWB=medida de PYB=90°, entonces medida de
WPB=medida de YPB. Esto último significa que los ángulos de los triángulos con vértice en P son de la
misma medida, es decir son congruentes.
Hecho lo anterior ya se puede aplicar el criterio ALA a los triángulos BPW y BPY
La siguiente página trata sobre la Congruencia de triángulos
51
→ Tema Raíz→
Temas de aritmética.→
Números enteros.→ [7]
Operaciones
básicas, leyes
de los signos,
cálculo
mental y estimación de
resultados.
2
Si suponemos que d es un número impar cualquiera, ¿cuál de las siguientes opciones puede ser resultado
de la operación ?
Correcta
respuesta elegida: 12
+ Información Corregir
Si asignamos valores enteros impares adecuados a po/demos arribar a la respuesta que buscamos. Una estrategia más general se basa en analizar la información matemática que nos da la expresión
, un ejemplo de este tipo de análisis se presenta a continuación:
- Como es un número impar, entonces necesariamente es un número par y es un número par.
De lo anterior deducimos que el producto dará como resultado un número par.
- Por otra parte, las expresiones y nos indican que representan números consecutivos.
- Tomando en cuenta lo anterior, basta con encontrar la opción donde se muestra un número par que pueda
expresarse como el producto de dos números consecutivos. Los números pares que se presentan en las opciones de respuesta son 12, 14 y 16 de ellos sólo el 12 puede expresarse como el producto de dos
números consecutivos (3 y 4). En consecuencia la respuesta correcta es 12.
52
→ Tema
Raíz→
Temas de aritmética.→
Números naturales.→
[1] Orden y
recta numérica.
3
La temperatura a las 3 a.m. era 13° bajo cero. Al mediodía la temperatura subió a 32°. ¿Cuál es el
promedio del incremento de temperatura por hora?
Correcta
respuesta elegida: 5°
+ Información Corregir
En las nueve horas que hay entre las 3 a.m. y el mediodía, la temperatura cambió de -13o a 32°. Para saber el promedio del aumento de temperatura por hora debemos saber la diferencia entre
las temperaturas y dividirla entre el número de horas transcurridas.
El promedio del cambio e temperatura por hora es de 5°
→ Tema
Raíz→
Temas de aritmética.→
Números naturales.→
[4] Números primos y
compuestos.
4
Asumamos que y son números primos. ¿Para cuál de las siguientes relaciones no existe un solo ejemplo que arroje como resultado un número primo?
Correcta
respuesta elegida:
+ Información Corregir
53
Analizaremos una por una las relaciones que se dan como opciones de respuesta:
: 2 es primo, 3 es primo; 3+2=5 es primo. Existe al menos un caso que cumple esta relación.
: 5 es primo, 3 es primo.; 5-3=2 es primo. Existe al menos un caso que cumple esta relación.
: 3 es primo, 2 es primo; 3(2)+1=6+1=7 es primo. Existe al menos un caso que cumple esta
relación.
: 5 es primo, 3 es primo; 5(3)+2=15+2=17 es primo. Existe al menos un caso que cumple esta
relación.
: El producto tiene como divisores a , , y 1, es decir tiene cuatro divisores y un número primo sólo tiene dos divisores por lo tanto en ningún caso podremos obtener un número primo usando la relación
. Por ejemplo: 2 es primo, 3 es primo, (2)(3)=6 los divisores de 6 son 2, 3, 6 y 1.
Tema Raíz→
Temas de aritmética.→
Números naturales.→
[2] Operaciones
básicas,
cálculo
mental y estimación de
resultados.
5
El planeta Caleb da una vuelta completa sobre su propio eje en 36 horas. ¿Cuántos grados rota un punto en
la circunferencia de las 9 a.m. del 14 de enero a las 9 p.m. del 17 de enero?
Correcta
respuesta elegida: 840°
+ Información Corregir
Caleb completa una vuelta completa cada 36 horas. Escribe la secuencia que se da cada 12 horas. 9 a.m. de enero 14 – 9 p.m. de enero 14
9 p.m. de enero 14 – 9 a.m. de enero 15
9 a.m. de enero 15 – 9 p.m. de enero 15 9 p.m. de enero 15 – 9 a.m. de enero 16
9 a.m. de enero 16 – 9 p.m. de enero 16
54
9 p.m. de enero 16 – 9 a.m. de enero 17
9 a.m. de enero 17 – 9 p.m. de enero 17 120°
Se suman todos los grados y nos da un total de 840°
→ Tema
Raíz→
Temas de aritmética.→
Números Racionales.→
[20]
Problemas de carácter
aritmético.
1 Los ganaderos Vicente y Santiago tienen 126 reses entre los dos. Si Vicente tiene el doble de reses que
Santiago, seleccionar la opción que indique la cantidad de reses que tiene Vicente.
Correcta
respuesta elegida: 84 reses
Corregir
→ Tema
Raíz→ Temas
de
aritmética.→
Números
enteros.→ *6+
Orden,
representación
en la recta
numérica.
2
Considera que representa a cualquier número entero positivo impar. ¿Cuántos enteros pares son
mayores que cero y menores que ?
55
Correcta
respuesta elegida:
+ Información Corregir
Hay enteros menores que k y mayores que cero. La mitad de ellos, o , son pares.
Por ejemplo, si solo hay un entero par positivo menor que es 2, es decir .
Si , entonces 2, 4, 6 y 8 son los números pares menores que 9. Es decir, .
Podemos seguir enlistando ejemplos pero es claro que nunca podríamos cubrir todos los casos porque
el conjunto de los números enteros impares positivos es infinito.
La demostración general de este resultado se hace empleando el método que se conoce como Inducción
Matemática, este método se aplica para demostrar la validez general de resultados sobre números
enteros.
56
→ Tema
Raíz→ Temas
de
preálgebra.→
[36]
Traducción
de problemas
al lenguaje
algebraico.
3
¿Cuál de las siguientes expresiones representa el siguiente enunciado? “Cuando el cuadrado de es
sustraído de la raíz cuadrada de la suma de y , el resultado es el cuadrado de la suma de y .
Correcta
respuesta elegida:
+ Información Corregir
La expresión se traduce al lenguaje natural como “el cuadrado de sustraído
del cuadrado de la suma de y ”. Por lo tanto esta no es la respuesta correcta.
La expresión se traduce al lenguaje natural como “la suma de los cuadrados de
y da como resultado el cuadrado de la diferencia de y ”. Por lo tanto esta no es la respuesta
correcta.
La expresión se traduce al lenguaje natural como “la raíz cuadrada de la suma de
y sustraída de el cuadrado de da como resultado el cuadrado de la diferencia de y ”.
La expresión se traduce al lenguaje natural como “la raíz cuadrada del
57
cuadrado de la suma de y sustraída del cuadrado de da como resultado el cuadrado de la suma de y ”.
La expresión se traduce al lenguaje natural como “el cuadrado de es sustraído
de la raíz cuadrada de la suma de y dando como resultado el cuadrado de la suma de y ”. Por lo
tanto la respuesta correcta es .
Dificultad: Básica
→ Tema Raíz→ Temas de aritmética.→ Números Racionales.→ *9+ Distintos significados y
representaciones.
4
En una clase de francés hay 12 niños y 18 niñas. ¿Qué fracción representan los niños respecto al total
de alumnos de la clase?
Correcta
respuesta elegida:
+ Información Corregir
58
En la clase hay 30 alumnos, de los cuales 12 son niños. Entonces los niños representan del
total de alumnos en la clase.
Dificultad: Básica
→ Tema Raíz→ Temas de aritmética.→ Números naturales.→ *3+ Múltiplos y divisores.
5
Compara los valores numéricos a que conducen los enunciados A y B y elige la opción que creas
correcta.
A B
Total de números pares positivos
divisibles entre 30
Total de números impares
positivos divisibles entre 30
Correcta
respuesta elegida: A=B
+ Información Corregir
59
Enlista los divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Cuatro de ellos son impares, y cuatro de ellos son pares.
El número de divisores pares positivos de 30 es igual al número de divisores impares positivos de 30.
→ Tema
Raíz→ Temas
de
preálgebra.→
[37] Uso de
fórmulas y en
general
evaluación de
expresiones
algebraicas
simples.
6
En la figura siguiente, las rectas y son paralelas ¿Cuál es el valor de ?
Correcta
respuesta elegida: 45
+ Información Corregir
Como las rectas y son paralelas el ángulo que mide es igual al ángulo formado por la suma de los ángulos que
60
miden y . Entonces tenemos que . De esto obtenemos que .
La respuesta correcta es .
Dificultad: Avanzada
→ Tema Raíz→ Temas de aritmética.→ Números Racionales.→ [9] Distintos significados y
representaciones.
7
En una encuesta reciente el 80% de las personas encuestadas son votantes registrados y el 75% de los
votantes registrados votaron en esta elección. ¿Qué fracción de todos los encuestados fueron votantes
registrados y no votaron en esta última elección?
Correcta
respuesta elegida:
+ Información Corregir
Como estamos tratando con porcentajes y debemos convertirlos a fracciones, un buen número para que represente el total es 100.
Supongamos que 100 personas fueron encuestadas, 80% de100 eran votantes registrados, entonces 80 personas eran votantes registrados y 75% de los votantes registrados votaron en esta elección.
Tenemos entonces que el de 80 personas es 60. Es decir 60 personas votaron en esta elección. Si 60 de los 80 votantes registrados sí realizaron su voto, tenemos que 20 personas registradas como votantes
NO realizaron su voto.
61
La fracción que representa lo que se nos pregunta es o .
La respuesta correcta es .
Tema Raíz→
Temas de
preálgebra.→
[37] Uso de
fórmulas y en
general
evaluación de
expresiones
algebraicas
simples.
9 Si = , ¿cuál es el valor de ?
Correcta
respuesta elegida: 36
62
+ Información Corregir
Si , entonces , o .
La respuesta correcta es 36.
63
64
En la imagen se ve el historial de los ejercicios del software de la DGESPE realizadas en la
Escuela Normal de Texcoco.
La encuesta. es una técnica de adquisición de información de interés sociológico, mediante un
cuestionario previamente elaborado, a través del cual se puede conocer la opinión o valoración
del sujeto seleccionado en una muestra sobre un asunto dado.(de nuestro proyecto de la:
Planeación y Taller De Clase Del Programa De fortalecimiento y asesoramiento de matemáticas
para los 16 alumnos las licenciaturas de Geografía e Historia En la Escuela Normal de Texcoco
El cuestionario. Es un instrumento básico de la observación en la encuesta y en el cuestionario
se formula una serie de preguntas que permiten medir una o más variables. El cuestionario
posibilita observar los hechos a través de la valoración que hace de los mismos el encues tado o
entrevistado, limitándose la investigación a las valoraciones subjetivas de éste.(en este proyecto
se llevó a cabo un cuestionario para los 16 alumnos de las 2 licenciaturas
De Historia y Geografía respondiendo según su criterio sobre la Planeación y Taller De Clase Del
Programa De fortalecimiento y asesoramiento de matemáticas para las licenciaturas de
Geografía e Historia en la Escuela Normal de Texcoco.
65
CAPITULO III
PRESENTACIÓN , ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA INVESTIGACION Y SOLUCION DEL
PROBLEMA DE LA INVESTIGACION :
En este proyecto se analizó la encuesta aplicada pregunta por pregunta que se aplicó a los 16
alumnos de licenciaturas de Geografía e Historia de la Escuela Normal de Texcoco. Y obtuvo el
porcentaje total de las 7 preguntas atraves de gráficos de pastel en cada una de las preguntas.
1. En la pregunta número 1 de la encuesta de que si el software del programa de la DGESPE
de fortalecimiento de matemáticas que si ha sido útil para el uso de teorías y prácticas
para los estudiantes para su formación docente para un futuro determinado. Solo
respondieron 6 de licenciatura en Geografía y 6 de licenciatura en Historia que si ha el
software del programa de la DGESPE para el uso de conocimientos teóricos y prácticos
para su formación docente y 4 de licenciatura en Historia dicen que el programa no ha
sido muy bueno en el uso de la explicación en los temas de las 6 habilidades.(anexos
página 81)
2. En la pregunta número 2 de la encuesta de ¿que si las actividades extras en el taller de
matemáticas ha sido útiles para el uso de conocimiento de lo teórico ha si como practico?
Solo respondieron 6 de licenciatura en Geografía que si ha sido útil para su conocimiento, sin
embargo también para su formación docente y 5 de licenciatura en Historia dicen que sirve para
sus prácticas profesionales y los otro 5 de la licenciatura en Historia no respondieron
nada.(anexos página 81)
66
3. En la pregunta número 3 de la encuesta ¿De las materias que llevas ,¿Cuáles requieren el uso
de las matemáticas? Solo respondieron 6 de licenciatura en Geografía que dicen que las
requieren en todas las materias en la licenciatura y de 9 Historia no respondieron nada y 1 dijo
de licenciatura en Historia para la práctica en docente para calcular los años, meses, estadístico
con matemáticas más avanzadas.(anexos página 82)
4. En la pregunta número 4 de la encuesta de. ¿Cuántas de las materias que llevas requieren el
uso de las matemáticas? Solo respondieron 6 Dé la licenciatura en Geografía en general
requieren en todas sus materias de su licenciatura y de licenciatura en Historia 8 no requieren
el uso de las matemáticas(anexos página 82)
67
5. En la pregunta número 5 de la encuesta ¿si El número de talleres que existen
actualmente en la Escuela Normal de Texcoco son suficientes para el desarrollo teorías y
prácticas? Solo respondieron 6 En la licenciatura en Geografía dicen por que habilitan
más compresión en el proceso de enseñanza-aprendizaje en Escuelas Normales para la
formación de docentes en Educación Básica.
Y la licenciatura en Historia solo respondieron 3 por que fortalece su aprendizaje
educativo y 7 de licenciatura en Historia que si requieren de más aprendizaje educativo
de los docentes y más talleres de todo tipo (anexos página 83)
6. En la pregunta número 6 de la encuesta ¿cómo creían que se podría resolver el
problema de la falta de talleres de matemáticas en la Escuela Normal de Texcoco? Dé la
licenciatura de Geografía solo respondieron 6 que dicen asistir con puntualidad a todos
los talleres como maestros y alumnos de la Escuela Normal De Texcoco
Y de licenciatura en Historia sólo respondieron 10 que dicen la participación de los
alumnos y los maestros con dinámicas y más ejercicios de la DGESPE (anexos página 83)
7. En la pregunta número 7 de la encuesta ¿si los alumnos de la Escuela Normal de
Texcoco hicieran talleres de matemáticas para uso teoría y práctica, las usarían? Dé la
licenciatura de Geografía respondieron 6 para el uso teóricas prácticas para su formación
docente en especialidad en educación básica.
Y de licenciatura en Historia respondieron 10 que dicen que servirá para su proceso de
enseñanza-aprendizaje para su formación docente en especialidad en educación básica
para una educación de calidad (anexos página 84)
68
Resultados de los ejercicios de la Dgespe de fortalecimiento de matemática de las
Escuelas Normales de las 6 habilidades
69
Ejercicios básicos, intermedios y avanzados de puntajes de aciertos de la Dgespe de
fortalecimiento de matemáticas en Escuelas Normales .
70
Imagen 1
71
Imagen 2.
En las 2 imágenes de las 1 y 2 se muestra el Historial de los ejercicios de la DGESPE de
fortalecimiento de matemáticas realizadas en la Escuela Normal de Texcoco básicos y
intermedios.
72
Conclusiones:
La Matemática es una ciencia formal que, partiendo y siguiendo el razonamiento lógico,
estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas como números, figuras
geométricas o símbolos para el desarrollo de teorías y prácticas para las licenciaturas de
Historia y Geografía de la Escuela Normal de Texcoco.
Sin embargo, Se expone como el objeto de estudio de la matemática como ciencia y el
comportamiento del mismo en el transcurso del desarrollo de las matemáticas. Se estudia
el surgimiento y desarrollo de las matemáticas, su relación con otras ciencias como la
ciencia, la tecnología, la educación y se plantea una periodización de la historia de las
matemáticas.
Por lo cual la educación matemática en enseñanza-aprendizaje en Escuelas Normales son
los aprendizajes matemáticos que se logran cuando el alumnado elabora abstracciones de
matemáticas a partir de obtener información, observar propiedades, establecer relaciones
y resolver problemas concretos. Para eso es necesario traer al aula situaciones cotidianas
en los desafíos matemáticos atractivos y el uso habitual de variados recursos y materiales
didácticos para ser manipulados por el alumnado en educación matemática.
Finalmente:
• Se Fundamentó teórica y metodológicamente el insuficiente número de talleres
en las licenciaturas de Geografía e Historia
• Se Diagnosticó el problema que presentan el insuficiente número de talleres en las
licenciaturas de Geografía e Historia.
• Se Identificó las causas del insuficiente número de talleres en las licenciaturas de
Geografía e Historia
• Se propuso el fortalecimiento del entendimiento de las seis habilidades matemáticas
impartidas en la Escuela Normal de Texcoco por medio de talleres, asesorías, actividades
didácticos y el uso y comprensión de los contenidos de un software dedicado para
facilitar el aprendizaje a los alumnos de las licenciaturas Geografía e Historia .
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Recomendaciones:
Recomendar que este proyecto se lleve a cabo en las 36 Escuelas Normales del
Estado de México.
Recomendar que en los talleres de matemáticas de las Escuelas Normales de la
enseñanza-aprendizaje se lleve a cabo actividades extras para los alumnos de las
diferentes licenciaturas durante su formación docente en educación básica.
Recomendar que el software de la DGESPE expliquen los temas de matemáticas
con más ejemplos.
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Bibliografías:
Autores: Escuela Preparatoria Oficial N°81 Estado De México Ecatepec De Morelos
1. https://prepa81orientacion.wordpress.com/materias/pensamiento-numerico-y-
algebraico/211-numeros-naturales-y-operaciones-basicas/
Año 2009
Autor: Gerardo Meneses Benítez
2. http://www.tdx.cat/bitstream/handle/10803/8929/Elprocesodeensenanza.pdf;j
sessionid=4876DA3DA220990EF9FCF84AFC6A3287.tdx1?sequence=32
Año 2013
3. Autora: Aurora A. Soriano Hernández ,Creatividad Fundamental, Año 2010,
volumen 1,Editorial Chicome
4. Autor :Lehmann Charles H.,Algebra, Año 2007,volumen 8,Editorial Limusa
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Referencias:
1. Los Autores: Silva y Lazo señalaron (2005” La Matemáticas es una ciencia formal que,
partiendo del razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre
entidades abstractas como números, figuras geométricas o símbolos.”).
2. El Autor: Gerardo Meneses Benítez (2013”El proceso de enseñanza aprendizaje se
concibe como el espacio en el cual el principal protagonista es el alumno y el profesor
cumple con una función de facilitador de los procesos de aprendizaje. Son los alumnos
quienes construyen el conocimiento a partir de leer, de aportar sus experiencias y
reflexionar sobre ellas, de intercambiar sus puntos de vista con sus compañeros y el
profesor. En este espacio, se pretende que el alumno disfrute el aprendizaje y se
comprometa con un aprendizaje de por vida.”).
3. La Autora: Aurora A. Soriano Hernández (2010” Se entienden como actuaciones
integrales para identificar, interpretar, argumentar y resolver problemas del contexto con
idoneidad y ética, integrando el saber ser, el saber hacer y el saber conocer.”).
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Anexos:
Aquí se ve el Programa DGESPE de fortalecimiento de matemáticas con problemas y
resultado precisos y da una evaluación al momento de realizar y calificar el programa del
software de los ejercicios realizados de la DGESPE de las 6 habilidades matemáticas en la
Escuela Normal De Texcoco.
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Resultados de los ejercicios de la Dgespe de fortalecimiento de matemática de las
Escuelas Normales
78
Ejercicios básicos, intermedios y avanzados de puntajes de aciertos de la Dgespe de
fortalecimiento de matemáticas en Escuelas Normales.
79
Historial de los ejercicios de la DGESPE realizadas en la Escuela Normal De Texcoco de
intermedia y básica.
80
Historial de los ejercicios de la DGESPE de fortalecimiento de matemáticas realizadas en la
Escuela Normal De Texcoco.
81
Pregunta número 1 de la encuesta realizada en la Escuela Normal de Texcoco.
Pregunta número 2 de la encuesta realizada en la Escuela Normal de Texcoco.
ACTIVIDADES EXTRAS EN EL TALLER DE MATEMATICAS EN LA ESCUELA NORMAL DE
TEXCOCO
GEOGRAFIA.
HISTORIA
HISTORIA
4º trim.
SOFTWARE DE PROGRAMA DE MATEMATICAS DE LA DGESPE
GEOGRAFIA
HISTORIA
HISTORIA
82
Pregunta número 3 de la encuesta realizada en la Escuela Normal de Texcoco.
Pregunta número 4 de la encuesta realizada en la Escuela Normal de Texcoco.
MATERIAS QUE REQUIERAN EL USO DE LA MATERIA DE MATEMATICAS EN LA ESCUELA
NORMAL DE TEXCOCO
GEOGRAFIA.
HISTORIA
HISTORIA
4º trim.
De las materias que llevas requieren el uso de las matemáticas
GEOGRAFIA
HISTORIA
83
Pregunta número 5 de la encuesta realizada en la Escuela Normal de Texcoco.
Pregunta número 6 de la encuesta realizada en la Escuela Normal de Texcoco.
El número de talleres que existen actualmente en la Escuela Normal De
Texcoco son suficientes para el desarrollo teorías y prácticas
GEOGRAFIA
HISTORIA
HISTORIA
problema de la falta de talleres de matemáticas en la Escuela Normal De
Texcoco
GEOGRAFIA
HISTORIA
84
Pregunta número 7 de la encuesta realizada en la Escuela Normal de Texcoco.
Alumnos de la Escuela Normal De Texcoco si hicieran talleres de matemáticas para uso de
teoría y práctica
GEOGRAFIA
HISTORIA
85
