Demostración de Identidades Trigonométricas

Identidades Una identidad trigonométrica es una igualdad que se verifica para cualquier valor del ángulo, es decir , demostrar identidades significa transformar uno de los miembros de la igualdad hasta encontrar el otro .

Formas de verificación

1) A -------> B Partiendo de A a B mediante procesos de

manipulación algebraicos llegamos a B. 2) B -------> AOtra manera seria su recíproco partiendo de B

utilizando procesos algebraicos se llega a A. 3) A --------> C A = B B --------> C

Se trabaja con la expresión “A” llegando a un resultado “C”, luego se trabaja con “B” llegando al mismo resultado “C”, dado que entre “A y B”,(luego de aplicar procesos algebraicos), se obtiene el mismo resultado “C” se puede decir que “A” y “B” son equivalentes.

Empecemos demostrando

el primer ejemplo.

Ejemplo 1

Como 1º paso debemos verificar si se trata de

una identidad.

¿Cómo lo hacemos ?

Dándole un valor arbitrario a α .Por ejemplo α =

30º.Remplazamos en la

identidad y debemos llegar a la igualdad numérica.

Es decir:

Remplazamos α=30º

Una vez hecho esto , remplazamo

s por los valores

numérico del ángulo

de 30º.Aplicamos propiedad

distributiva del producto con

respecto a la suma .

También aplicamos

propiedad de la raíz de un producto.

Sumamos y restamos.

Resolvemos la raíz.

Simplificamos la expresión

fraccionaria.Y obtenemos

la igualdad.

Una vez comprobada que se trata de una identidad, procedemos a resolver remplazando fórmulas

equivalentes de modo que lleguemos a la expresión deseada.

Descomponemos la identidad en función del

seno y del coseno. (Según nos convenga)

Aplicamos propiedad distributiva del producto con respecto a la suma, simplificamos con lo que

nos queda:

Aplicamos propiedad

cancelativa, ya que

tenemos dos elementos iguales con

distinto signos.

De este modo aplicando métodos algebraicos y remplazando por su fórmulas equivalentes, obtuvimos

la igualdad.

¿Pudieron comprender?Excelente!!!

Continuemos con el ejemplo número dos!.

Ejemplo 2:

Empecemos comprobando si se trata de una identidad remplazando en μ por el

ángulo de 45º

Remplazamos por los valores numéricos del ángulo de 45º. Y simplificamos en el

miembro izquierdo la potencia con la raíz.

Hacemos medio con medio y extremo con

extremo en el denominador. Simplificamos

según corresponda. Sumamos y

obtenemos la igualdad.

Ejemplo 2:

Descomponemos en función de seno y de

coseno.

Simplificamos en el

denominador de la primera

fracción . Sacamos común

denominador, y remplazamos el numerador

por su equivalente.

Volvemos a remplazar por el equivalente de 1/cos2 μ = sec2 μ

Llegando a la igualdad.

Pasemos al ejemplo número

tres.

Ejemplo 3 :

Desarrollo el cuadrado de un binomio en el numerador.

Y en el denominador

descompongo en seno y coseno.

En el numerador remplazo seno y

coseno por la igualdad 1 . En el

denominador simplifico según

corresponda.Sacamos común denominador y de esta manera

llegamos a la igualdad.

¿ Pudiste comprender?Vamos con un ejemplo

más.

Ejemplo 4:Antes de empezar recuerden verificar que

sea identidad remplazando un

ángulo arbitrario . Si ya manejan bien el

procedimiento pueden hacerlo directo con la

calculadora. Descomponemos en las funciones seno y coseno.

En el miembro derecho

resolvemos la multiplicación.

En el miembro izquierdo en el

numerador sacamos factor común .

Hacemos extremo con extremo y

medio con medio.

Simplificamos los senos.De este modo

llegamos a la igualdad.

Te dejo algunos ejercicios para que practiques lo aprendido.

Llegamos al final de este

tutorial!! Espero te haya

sido útil.

a-

b-

c-

d-

Autora : Quintana Daiana Anabel

Fin