IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Objetivos:

Identificar las identidades trigonométricas fundamentales.

Aplicar las identidades fundamentales, en la demostración y simplificación de expresiones trigonométricas.

RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO

Usando el círculo Trigonométrico unitario se deduce que las funciones trigonométricas son:

yy

sen 1

xx 1

cos

xytan

y1

csc

x1

sec

yxcot

1csc. sen

1sec.cos

1cot.tan

sen1

csc

csc1sen

cos1

sec

sec1

cos

Del gráfico anterior se deduce lo siguiente:

RELACIONES INVERSAS:

αα

tan

1cot

cot

1tan

También del gráfico anterior se deduce lo siguiente:

Si xytan ; pero ; ysen xcos

costan

sen

sen

coscot

yxcot ; pero ; xcos ysen

RELACIONES DE COCIENTES:

En el rectángulo se tiene: 122 xy (teorema de Pitágoras)

De lo que se deduce lo siguiente:

1cos22 sen

22 sectan1

22 csccot1

RELACIONES PITAGÓRICAS:

Las relaciones deducidas anteriormente reciben el nombre de identidades trigonométricas fundamentales, y son las fichas con las cuales vamos a jugar para simplificar expresiones trigonométricas y demostrar identidades trigonométricas.

DEFINICIÓN: Una identidad trigonométrica es una igualdad que se cumple para cualquier valor del ángulo.

DEMOSTRAR una identidad es un proceso de comprobar si una identidad es realmente una identidad, para lo cual se hacen transformaciones, se usan las identidades fundamentales.

SIMPLIFICAR una expresión trigonométricas consiste en convertir la expresión original en otra más simple y elemental.

CONSEJOS AL DEMOSTRAR:

1. Algunas veces, conviene expresar las funciones en términos de seno y coseno.

2. También, realizar operaciones aritméticas y algebraicas(factorización y/o simplificación).

3. Ó utilizar algún artificio si es necesario.

4. Trabajar con el miembro más complejo para convertirlo en el otro.

DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜1 :𝐷𝑒𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 9𝑠𝑒𝑐2𝜃−5 𝑡𝑎𝑛2𝜃=5+4 𝑠𝑒𝑐2𝜃Demostración , ya que

, destruyendo paréntesis

Reduciendo términos semejantes

Ordenando

Con lo que hemos demostrado la identidad trigonométrica

ejemplo 2: demuestre la siguiente identidad trigonométrica

DEMOSTRACIÓN

sustituyendo

, cancelando seno nos queda

Con lo que hemos demostrado la identidad trigonométrica

xSecxCscxSenxTan 22

𝑡𝑎𝑛2 𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙𝑐𝑠𝑐𝑥=𝑡𝑎𝑛2 𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙1

𝑠𝑒𝑛𝑥

Ejemplo 3.- demostrar la siguiente identidad.

Como , si los sustituimos, tenemos

que :

Simplificamos senos,

y tenemos que:

Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica.

xCscxSenxCosxSen 22

xSenxCscyxCosxSen

1122

xSenxSen

11

xSenxSen

11

11

Ejemplo 4.- Demostrar la siguiente identidad:

Como , sustituimos y nos queda:

Multiplicando medios y extremos obtenemos:

Que equivale a: Sen² x + Cos² x = 1

Como Sen² x + Cos² x = 1 , sustituyendo llegamos a: 1 = 1

Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica.

11 22

xCosxCsc

xSenxCsc

22 1

1

11 2

2

xCos

xSen

11 22 xCosxSen

Ejemplo 5.- Demostrar la siguiente identidad:

Sacando común denominador tenemos:

Como ,obtenemos la siguiente igualdad:

Con lo que hemos demostrado la identidad trigonométrica

xCscxSen

xCos 22

2

1

xCscxSen

xSenxCos 22

22

xSenxCscyxSenxCos

2222 1

1

xSenxSen 22

11