Transformada de Fourier

Transformada de FourierTransformada de Fourier

http://www.fiec.espol.edu.ec

http://www.fiec.espol.edu.ec/

Transformadas de FourierTransformadas de Fourier Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 –

1830)1830) Contribuyo a la idea de que una Contribuyo a la idea de que una

función puede ser representada por función puede ser representada por la suma de funciones sinusoidales la suma de funciones sinusoidales

)2sin()2cos()(1 1 T

ktbTktactf

k kkk




Trasformada de FourierTrasformada de Fourier Es interesante descomponer una Es interesante descomponer una

señal en sinusoides por la:señal en sinusoides por la:• FIDELIDAD SINUSOIDALFIDELIDAD SINUSOIDAL

Eso garantiza que si entra un Eso garantiza que si entra un sinusoide a un sistema lineal solo sinusoide a un sistema lineal solo variará su fase y su amplitud pero su variará su fase y su amplitud pero su frecuencia sera la mismafrecuencia sera la misma

Transformadas de FourierTransformadas de Fourier Dependiendo del tipo de función que Dependiendo del tipo de función que

se desee transformar se utilizan se desee transformar se utilizan diferentes métodosdiferentes métodos

Transformadas de FourierTransformadas de Fourier

Aperiodiodicas Aperiodiodicas ContinuasContinuasTransformada de FourierTransformada de Fourier

Periódicas ContinuasPeriódicas ContinuasSeries de FourierSeries de Fourier

Aperiódicas DiscretasAperiódicas DiscretasT. Discreta en Tiempo de T. Discreta en Tiempo de FourierFourier

Periódicas DiscretasPeriódicas DiscretasTransformada Discreta de Transformada Discreta de FourierFourier

Transformada de FourierTransformada de Fourier Nosotros manejamos señales con un Nosotros manejamos señales con un

número finito de muestrasnúmero finito de muestras Hay dos opcionesHay dos opciones

• Convertirlas a Aperiódicas DiscretasConvertirlas a Aperiódicas Discretas• Convertirlas a Periódicas DiscretasConvertirlas a Periódicas Discretas

Para sintetizar una señal aperiódica Para sintetizar una señal aperiódica se necesita un número se necesita un número infinitoinfinito de de sinusoidessinusoides

Transformada de FourierTransformada de Fourier Por lo tanto nos concentraremos en Por lo tanto nos concentraremos en

la Transformada Discreta de Fourierla Transformada Discreta de Fourier Llamada más comúnmente por su Llamada más comúnmente por su

siglas en ingles DFTsiglas en ingles DFT Para hacerlo debemos pensar en la Para hacerlo debemos pensar en la

señal digital como periódica, o sea señal digital como periódica, o sea que se repite indefinidamenteque se repite indefinidamente

Transformada de FourierTransformada de Fourier Existen dos maneras de atacar Existen dos maneras de atacar

matemáticamente la DFTmatemáticamente la DFT• DFT Sinusoidal (Real)DFT Sinusoidal (Real)• DFT Exponencial (Complejo)DFT Exponencial (Complejo)

DFT RealDFT Real Se basa en calcular los coeficientes Se basa en calcular los coeficientes

de la siguiente ecuación:de la siguiente ecuación:

2/

0

2/

0

)/2sin()/2cos(][N

kk

N

kk NknbNknanx

][][Im][][RenbnXnanX

DFT RealDFT Real

DFT RealDFT Real

DFT ComplejoDFT Complejo Se basa en la identidadSe basa en la identidad

De tal manera que:De tal manera que:)()cos( xisenxeix

Real vs. ComplejoReal vs. Complejo La verdadera transformada de La verdadera transformada de

Fourier es compleja por naturalezaFourier es compleja por naturaleza Hacerla real permite estudiarla Hacerla real permite estudiarla

mejor, pero introduce ciertos mejor, pero introduce ciertos problemasproblemas

Nosotros utilizaremos las dos Nosotros utilizaremos las dos dependiendo de la aplicacióndependiendo de la aplicación

El dominio de la frecuenciaEl dominio de la frecuencia Aplicar la transformada de fourier a Aplicar la transformada de fourier a

una señal en el dominio del tiempo una señal en el dominio del tiempo tiene como efecto expresar esa señal tiene como efecto expresar esa señal en el dominio de la frecuenciaen el dominio de la frecuencia

X[n]=DFT(x[n])X[n]=DFT(x[n]) Por lo tanto el eje x de la Por lo tanto el eje x de la

transformada de fourier representa transformada de fourier representa frecuenciafrecuencia

El dominio de la frecuenciaEl dominio de la frecuencia

El dominio de la frecuenciaEl dominio de la frecuencia El eje x se puede expresar de 4 El eje x se puede expresar de 4

maneras:maneras:• Fracción de la frecuencia de MuestreoFracción de la frecuencia de Muestreo• Número de MuestraNúmero de Muestra• Frecuencia Natural (radianes)Frecuencia Natural (radianes)• Frecuencia AbsolutaFrecuencia Absoluta

Inversa de la DFTInversa de la DFT Así como podemos ir del dominio del Así como podemos ir del dominio del

tiempo al dominio de la frecuenciatiempo al dominio de la frecuencia Usamos la inversa de la DFT para Usamos la inversa de la DFT para

pasar de la frecuencia al tiempopasar de la frecuencia al tiempo Por lo tanto podemos ver que al Por lo tanto podemos ver que al

pasar del tiempo a la frecuencia solo pasar del tiempo a la frecuencia solo estamos expresando la misma estamos expresando la misma información de otra manerainformación de otra manera

Inversa de la DFTInversa de la DFT Eso nos lleva a un concepto muy Eso nos lleva a un concepto muy

importante en analisis de señales y importante en analisis de señales y sistemas: Dualidadsistemas: Dualidad

Cálculo de la DFTCálculo de la DFT Hay 3 métodos para calcular la DFTHay 3 métodos para calcular la DFT

• DFT por ecuaciones simultaneasDFT por ecuaciones simultaneas• DFT por correlaciónDFT por correlación• FFTFFT

Hoy veremos los dos primerosHoy veremos los dos primeros

DFT por ecuaciones DFT por ecuaciones simultaneassimultaneas

Tenemos N valores en tiempo y hay Tenemos N valores en tiempo y hay que calcular N valores en frecuenciaque calcular N valores en frecuencia

Debemos escribir N ecuaciones Debemos escribir N ecuaciones lineales independienteslineales independientes

2/

0

2/

0

)/2sin()/2cos(][N

kk

N

kk NknbNknanx

2/

0

2/

0

)/2sin()/2cos(]1[N

kk

N

kk NkbNax

DFT por ecuaciones DFT por ecuaciones simultaneassimultaneas

Se puede resolver usando los Se puede resolver usando los métodos como Eliminación de Gaussmétodos como Eliminación de Gauss

Pero en la práctica es muy lentoPero en la práctica es muy lento Solo se utiliza de manera teóricaSolo se utiliza de manera teórica

DFT por correlaciónDFT por correlación Correlacionamos la señal original con Correlacionamos la señal original con

cada una de las funciones cada una de las funciones sinusoidales basesinusoidales base

Esto significa multiplicar cada punto Esto significa multiplicar cada punto de la señal de entrada por la función de la señal de entrada por la función sinusoidal y luego sumar todos los sinusoidal y luego sumar todos los puntospuntos

DFT por correlaciónDFT por correlación

1

0

1

0

)/2sin(][][Im

)/2cos(][][Re

N

i

N

i

NkiixkX

NkiixkX

M

i

ibianc0

][][][

DFT

por

cor

rela

c ión

DFT

por

cor

rela

c ión

Notación PolarNotación Polar Tal como representamos a la función Tal como representamos a la función

en frecuencia con una parte real y en frecuencia con una parte real y una imaginaria podemos expresarla una imaginaria podemos expresarla en forma de Magnitud y Faseen forma de Magnitud y Fase

Mag X[0] y Fas X[0] son calculadas a Mag X[0] y Fas X[0] son calculadas a partir de Re X[0] y Im X[0] y asi con partir de Re X[0] y Im X[0] y asi con las demas muestraslas demas muestras

Notación PolarNotación Polar Esta forma de representar la función Esta forma de representar la función

en frecuencia nos ayuda a en frecuencia nos ayuda a visualizarla mejorvisualizarla mejor

Notación PolarNotación Polar Se calcula de la siguiente maneraSe calcula de la siguiente manera

Notación PolarNotación Polar

Notación PolarNotación Polar Usamos la notación polar para Usamos la notación polar para

visualizar la señalvisualizar la señal Usamos la notación rectangular para Usamos la notación rectangular para

hacer los cálculoshacer los cálculos

Análisis EspectralAnálisis Espectral Como ya vimos, en muchas señales, Como ya vimos, en muchas señales,

la información no esta codificada en la información no esta codificada en la forma de la señal, sino en su la forma de la señal, sino en su frecuenciafrecuencia

Ejemplo de esto:Ejemplo de esto:• SonidoSonido• Radar SubmarinoRadar Submarino• ColorColor

Análisis EspectralAnálisis Espectral Para analizar este tipo de señales el Para analizar este tipo de señales el

dominio del tiempo es insatisfactoriodominio del tiempo es insatisfactorio Trate de analizar su voz simplemente Trate de analizar su voz simplemente

viendo a forma de la señal en tiempoviendo a forma de la señal en tiempo Se utiliza la transformada de fourier Se utiliza la transformada de fourier

para representar estas señales en para representar estas señales en frecuencia y asi poderlas analizarfrecuencia y asi poderlas analizar

Análisis EspectralAnálisis Espectral

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

4

Time(seconds)

Vowel A

Análisis EspectralAnálisis Espectral Obtenemos la transformada de Obtenemos la transformada de

FourierFourier Obtenemos la parte real y la Obtenemos la parte real y la

graficamosgraficamos


0 1000 2000 3000 4000 5000 600010

4

105

106

107

108

109

1010

1011

1012

Frequency(Hz)

Pow

erVowel A (256 samples - hamming)

Análisis EspectralAnálisis Espectral Vamos tomando grupos de muestras Vamos tomando grupos de muestras

y realizamos la misma técnica y y realizamos la misma técnica y luego las graficamos juntasluego las graficamos juntas


Seconds

Hz

Sida.txt, 256, hamming

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

Análisis EspectralAnálisis Espectral A representar una función en sus A representar una función en sus

componentes de frecuencia se le componentes de frecuencia se le llama Análisis Espectralllama Análisis Espectral

Nos permite saber que frecuencias Nos permite saber que frecuencias están presentes dentro de una señalestán presentes dentro de una señal

Análisis EspectralAnálisis Espectral Al tomar un grupo de muestras Al tomar un grupo de muestras

estamos multiplicando la función por estamos multiplicando la función por una ventana cuadradauna ventana cuadrada

Eso provoca distorsiones en las Eso provoca distorsiones en las frecuencias obtenidasfrecuencias obtenidas


Multiplicación por VentanaMultiplicación por Ventana

VentanasVentanas Existen varias ventanasExisten varias ventanas

• CuadradaCuadrada• Barlett (triangulo)Barlett (triangulo)• Welch (parabola)Welch (parabola)• Hann (Hanning)Hann (Hanning)• HammingHamming

VentanasVentanas

0 1000 2000 3000 4000 5000 600010

2

104

106

108

1010

1012

Vowel O - SQUARE (256 samples)

Frequency(Hz)

Pow

er

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000102

104

106

108

1010

1012

Vowel O - BARTLETT (256 samples)

Frequency(Hz)

Pow

er

0 1000 2000 3000 4000 5000 600010

2

104

106

108

1010

1012

Vowel O - WELCH (256 samples)

Frequency(Hz)

Pow

er

0 1000 2000 3000 4000 5000 600010

2

104

106

108

1010

1012

Vowel O - HANN (256 samples)

Frequency(Hz)

Pow

er

Cuadrada Barlett

Welch Hann

ResoluciónResolución Si tomamos más puntos tendremos Si tomamos más puntos tendremos

una mejor definición en frecuenciauna mejor definición en frecuencia Pero empeorara la definición en Pero empeorara la definición en

tiempotiempo Si tomamos menos puntos, tendremos Si tomamos menos puntos, tendremos

una mejor definición en tiempouna mejor definición en tiempo Pero empeorara la definición de la Pero empeorara la definición de la

frecuenciafrecuencia

ResoluciónResolución

Seconds

Hz

Sidai.txt, 64, hamming

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500


Seconds

Hz


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500


Seconds

Hz


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500


Seconds

Hz


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500


Seconds

Hz


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

Respuesta en FrecuenciaRespuesta en Frecuencia Asi como en el dominio del tiempo un Asi como en el dominio del tiempo un

sistema puede ser caracterizado por sistema puede ser caracterizado por su Respuesta a Impulsosu Respuesta a Impulso

En la Frecuencia un sistema se En la Frecuencia un sistema se caracteriza por su Respuesta en caracteriza por su Respuesta en FrecuenciaFrecuencia

La relación entre las dos es la La relación entre las dos es la transformada de Fouriertransformada de Fourier

Respuesta en FrecuenciaRespuesta en Frecuencia

Respuesta en FrecuenciaRespuesta en Frecuencia Muchas veces podemos entender Muchas veces podemos entender

mejor el funcionamiento de un mejor el funcionamiento de un sistema si analizamos la Respuesta a sistema si analizamos la Respuesta a Frecuencia en vez de la Respuesta a Frecuencia en vez de la Respuesta a ImpulsoImpulso

Respuesta en FrecuenciaRespuesta en Frecuencia

Convolución en FrecuenciaConvolución en Frecuencia SiSi

• x[n] * h[n] = y[n]x[n] * h[n] = y[n] EntoncesEntonces

• X[f] ? H[f] = Y[f]X[f] ? H[f] = Y[f]

RespuestaRespuesta• MultiplicaciónMultiplicación

Convolución en FrecuenciaConvolución en Frecuencia Convolucionar dos señales en el Convolucionar dos señales en el

dominio del tiempo, significa dominio del tiempo, significa multiplicarlas en el dominio de la multiplicarlas en el dominio de la frecuenciafrecuencia

Y viceversaY viceversa

Con

vol u

ción

en

Fre c

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Convolución en FrecuenciaConvolución en Frecuencia

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