Teknik teknik pengintegralan

oleh

Bahan Ajar Kalkulus II

Teknik-Teknik Pengintegralan (disarikan dari buku Purcell, edisi 8)

Muh Hendra S GintingDepertemen Teknik Kimia

Fakultas Teknik USUMedan 2015

Definisi

adalah suatu metode/teknik dalam penyelesaian mencari anti turunan/integrasi

1.Pengintegralan dengan substitusiTeorima A

untuk menentukan ∫ f(x) dx , kita dapat mensubtitusi u = g (x) dengan g fungsi yang dapat diintegralkan. Apabila subtitusi itu mengubah f (x) dx menjadi h(u) du dan apabila H sebuah anti turunan h, maka

Teknik-Teknik Pengintegralan

cugHcuHduuhdxxf )()()(

biasanya digunakan subtitusi fungsi konstanta, fungsi pangkat, eksponen, fungsi trigonometri, dan fungsi invers trigonometri

a.Substitusi konstanta, pangkat

cnxdxxn

n

1.1

1

dxxfkdxxfk )()(.2

Contoh 1

HitunglahPenyelesaian

dxxx 143

misalkan

14 xu)1( 4 xddu

dxxdu 34

34xdudx maka

321

343

41

xduuxdxxx

gunakan aturan konstanta

duudxxx 21

43

411

cudxxx

1

21

43

1211

411

cudxxx 23

43

32

411

cxcudxxx 23

423

43 161

611

gunakan aturan pangkat

b. Substitusi trigonometricxdxx cossin.1

cxdxx sincos.2

cxdxx coslntan.3

cxdxx tansec.4 2

canxdxxec cotcos.5 2

cxdxxx sectansec.6

cecxdxanxecx coscotcos.7

Contoh 2


dxxx

)(cos 22

misalkan

2xu )( 2xddu

dxxdu 2

xdudx2mak

a

gunakan subs trigonometri

xdu

uxdx

xx

2cos)(cos 222

2cos1

)(cos 222

duu

dxxx

uu

22 sec

cos1catata

nmaka

cudxxx

tan21

)(cos 22

ududuu

dxxx 2

222 sec21

2cos1

)(cos

cxdxxx

)(tan21

)(cos2

22

c. Substitusi fungsi invers (balikan) trigonometri

jika yx tan dyydx 2secydx

dy2sec1

perhatikan segi tiga berikut

y x

1

12 xyx tan

1

1cos2

x

y1

1cos 22

x

y

1sec 22 xy

ydxdy 2sec

ydx

dy2sec1

12

xdxdy

12 xdxdy

12 x

dxdy

12 x

dxy

jika yx tan xxarcy 1tantan

maka cxarcxdx

tan12

jika caxarc

aaxdx

tan122

dimana a, c adalah konstanta

Berikut ini dirangkumkan beberapa rumus integral substitusi fungsi invers (balikan) trigonometri

cax

xa

dx 1

22sin.1

cxa

ac

ax

aaxx

dx

11

22cos1sec1.2

cax

aaxdx

1

22 tan1.3

Contoh 3


dx

xx 2567

2

16967

2567

22 xxdxdx

xx

16)96(7

2567

22 xxdxdx

xx

16)3(7

2567

22 xdxdx

xx

ingat

3xumisalkan

dxdu

16)3(7

2567

22 xdxdx

xx

222 47

2567

ududx

xx

cax

aaxdx

1

22 tan1

Maka, a = 4

cau

ududx

xx

1

222 tan41.7

47

2567

cxdxxx

4)3(tan

47

2567 1

2

Contoh 4

Hitunglah

dx

x295

3

Penyelesaianmisalkan

xu 3 22 9xu )3( xddu

3dudx

dxdu 3

maka

du

udx

x 2225

1395

3

ingat

cax

xa

dx 1

22sin

35

1395

3222

du

udx

x

255

cxdxx

53sin

95

3 1

2

cudu

udx

x

5sin

5

1

95

3 1

222

d. Substitusi eksponen

cedxe xx

Contoh 5

Hitunglahpenyelesaian

dxxe x

2

/16

misalkan x

u 1

dxxx

ddu 2

1)1(

duxdx 2maka

gunakan subs eksponen

duxxedx

xe ux

222

/1

66

cedxe xx

cecedxxe xu

x

/12

/1

666

maka cedue uu

duedxxe u

x

662

/1

Latihan 1Hitunglah

dxx 5)2(.1

4.2 2x

dx

dxxx

4.3 2

dxxe x sin..4 cosdxxx

4/

02sin1

cos.5

e. Substitusi fungsi logaritma asli (natural)

cxdxx

ln10x

Jika x menggantikan u

cuduu

ln10u

Contoh 6

Hitunglah

dxx 725

penyelesaianmisalkan

72 xu)72( xddu

dxdu 2

215

725 du

udx

x

2dudx

maka

cuududx

x

ln25

25

725

cxdxx

72ln

25

725

Sifat-sifat logaritma asli 01ln.1

baba lnlnln.2

baba lnln.ln.3

axa x ln.ln.4

Latihan 2Hitunglah

dxx 121.1

dxx 21

1.2

dx

xx

2ln.1.3

f. Fungsi eksponensial berbasis aTinjau aturan diferensial fungsi eksponensialxay

axay x ln.lnln

)ln.()(ln axdyd

dxaydy .ln

yayDdxdy

x .ln xx aayD

dxdy .ln

maka

caa

dxa xx

ln1

sehingga

1a

xaadxdy .ln dxaady x.ln

dxaady xln

adydxa xln

Contoh 7

Hitunglah

dxxx 2.23

penyelesaianmisalkan

3xu

dxxdu 23

23xdudx maka

)( 3xddu

222

32.2

3

xduxdxx ux

222

32.2

3

xduxdxx ux

dudxx ux 231.2 23

cdxxx

x 2ln.32.2

33 2

Contoh 8

Hitunglah

dxx

x

1

2/12

/15

penyelesaianmisalkan x

u 1

makadx

xdu 2

1

1

2/1

22

1

2/12

/1

.55 duxx

dxx

ux

dxxdu 2.

1

2/1

/11

2/1

1

2/12

/1

5ln5

5ln555

x

x

xuu

x

dudxx

)5(55ln1

5ln55 2/11

1

2/1

1

2/12

/1

x

x

xx

dxx

Latihan 3Hitunglah dxx 1510.1

dxx

x

4

1

5.2

2. Integral Subtitusi TrigonometriBila kita mengkombinasikan metode dengan pemakaian kesamaan trigonometri yang tepat, maka kita dapat mengintegralkan banyak bentuk trigonometri, maka integral yang sering muncul adalah :dxxdandxx nn cossin.1

dxxx nn cos.sin.2dxnxxm cos.sin.3 dxnxxm sin.sindxnxxm cos.cos

Jenis 1 dxxdxx nn cos,sintinjaulah kasus apabila n bilangan bulat positip dan ganjil, keluarkan faktor sin x atau cos x.gunakan kesamaan 1cossin 22 xx

Soal no 3 hal 388Hitunglah dxx 3sinpenyelesaian

dxxxdxx sin.sinsin 23

keluarkan faktor sin x

1cossin 22 xxgunakan aturan

xx 22 cos1sin

dxxxdxx sincos1sin 23

xdxdxx coscos1sin 23

xdxxddxx cos.coscossin 23

cxxxdx 33 cos31cossin

Contoh 9

Hitunglah dxx 5sin

penyelesaian

dxxxdxx sin.sinsin 45

keluarkan faktor sin x

gunakan aturan 1cossin 22 xxxx 22 cos1sin

dxxxdxx sincos1sin225

dxxxxdxx sincoscos21sin 425

xdxxdxx coscoscos21sin 425

xdxxdxxddxx cos.coscos.cos2cossin 425

cxxxxdx 535 cos51cos

32cossin

Contoh 10carilah dxx 2sinpenyelesaiangunakan kesamaan setengah sudut

xxx

xxx22

22

sinsin12cos

sincos2cos

22cos1sin 2 xx

dxxdxx

22cos1sin 2

dxxdxdxx 2cos21

21sin 2

dxxdxdxx 2cos21

21sin 2

xdxdxdxx 22cos41

21sin 2

cxxdxx 2sin41

21sin 2

Contoh 11

carilah dxx 4cos

penyelesaian

1cos2cos1cos2cos

sincos2cos222

22

xxxx

xxx

22cos1cos2 xx

dxxdxx

24

22cos1cos

dxxxdxx 2cos2cos2141cos 24

dxxdxxdxdxx 2cos412cos

21

41cos 24

dxxxdxdxdxx 4cos1214122cos

2121

41cos4

24cos12cos2 xx

ingat

xdxdxxdxdxdxx 44cos4181

8122cos

41

41cos4

xdxxdxdxdxx 44cos32122cos

41

83cos4

cxxxdxx 4sin3212sin

41

83cos4

Jenis 2 xdxx nm cossinjika salah satu m atau n bilangan bulat positip ganjil sedangkan eksponen yang satunya bilangan sembarang, kita faktorkan kesamaan 1cossin 22 xx

Contoh 12xdxx 43 cossin m atau n ganjil carilah

penyelesaian

xdxxxxdxx 4243 cossin.sincossin

xxxx 2222 cos1sin1cossin

dxxxdxx 4243 cossin.sincossin

dxxxxdxx sincos.cos1cossin 4243

dxxxxdxx sin.coscoscossin 2443

xdxxdxx coscoscoscossin 2443

cxxdxx

121443 cos

121cos

141cossin

cxxdxx 1343 coscos31cossin

cxxdxx secsec31cossin 343

jika m atau n bilangan bulat positip genap maka kita menggunakan kesamaan setengah sudut untuk memperkecil derajat imigran

Contoh 13m atau n keduanya genap carilah dxxx 42 cossinpenyelesaian

2

222

22cos1cos

22cos1cos

xxxx

22cos1sin 2 xx

2

4

22cos1cos

xx

dxxxdxx2

42

22cos1

22cos1cossin

dxxxxdxx 2cos2cos212cos181cossin 242

xxx

xxxxx

2cos2cos22cos

2cos2cos212cos2cos212cos132

22

xxxxxx 2cos2cos2cos12cos2cos212cos1 322

dxxxxdxx 2cos2cos2cos181cossin 3242

24cos12cos2 xx

dxxxxdxx

2cos4cos1

212cos1

81cossin 342

dxxxxxdxx

2cos2cos4cos1

212cos1

81cossin 242

dxxxxxdxx

2cos2sin14cos1

212cos1

81cossin 242

dxxxxxxdxx

2sin.2cos2cos4cos1

212cos1

81cossin 242

dxxxxxxdxx

2sin.2cos2cos4cos

21

212cos1

81cossin 242

dxxxxxxdxx

2sin.2cos2cos4cos

21

212cos1

81cossin 242

dxxxxdxx

2sin.2cos4cos

21

21

81cossin 242

xdxxxdxdxx 2sin2sin

2144cos

81

21

81cossin 242

cxxxdxx

2sin

614sin

81

21

81cossin 342

Jenis 3 dxnxxm cossin dxnxxm sinsindxnxxm coscos

integral jenis ini muncul dalam teori arus bolak-balik, masalah perpindahan panas, dan masalah terapan lainnya. Untuk menangani integral-integral ini kita gunakan kesamaan hasil kali

nmxnmnxmx sinsin21cos.sin.1

nmxnmnxmx coscos21sin.sin.2

nmxnmnxmx coscos21cos.cos.3

Contoh 14

carilah dxxx 3cos2sinpenyelesaian

terapkan rumus no 1

nmxnmnxmx sinsin21cos.sin.1

dxxx 3cos2sin 3,2 nm

dxxxdxxx 32sin32sin213cos2sin

dxxxdxxx sin5sin213cos2sin

dxxdxxdxxx sin215sin

213cos2sin

dxxxdxdxxx sin2155sin

51213cos2sin

cxxdxxx cos215cos

1013cos2sin

Contoh 15jika m dan n bilangan bulat positip, perlihatkan

mnjika

mnjikadxnxxm

0sinsin

jika m≠n

dxxnmxnmdxnxxm )(cos)(cos21sinsin

xnmdxnmnm

xnmdxnmnm

dxnxxm

)(cos)(

121)(cos

)(1

21sinsin

x

x

xnmnm

xnmnm

dxnxxm )(sin)(

1)(sin)(

121sinsin

terapkan rumus no 2

nmxnmnxmx coscos21sin.sin

penyelesaian

)(sin)(

1)(sin)(

121

)(sin)(

1)(sin)(

121sinsin

nmnm

nmnm

nmnm

nmnm

dxnxxm

)(sin)(

121)(sin

)(1

21

)(sin)(

121)(sin

)(1

21sinsin

nmnm

nmnm

nmnm

nmnm

dxnxxm

0sinsin

dxnxxm

jika m = n

dxxnmxnmdxnxxm )(cos)(cos21sinsin

dxxmdxnxxm 0cos)2(cos21sinsin

dxxmdxnxxm 1)2(cos21sinsin

dxdxxmdxnxxm21)2(cos

21sinsin

dxmxdxmm

dxnxxm212)2(cos

21

21sinsin

x

x

xxmm

dxnxxm21)2sin(

41sinsin

dxnxxm sinsin

Latihan 4Hitunglah dxx6sin.1 4

x3cos.2

3. Subtitusi yang merasionalkan

Integral yang melibatkan n bax jika n bax

muncul dalam suatu integral subtitusi n baxu

akan menghilangkan akar

Contoh 16

carilah xxdx

penyelesaian

misalkan xu xu 2

dxud 2 dxudu 2

? xxdx

duuuu

uuudu

xxdx

122

2

1ln2

112

u

uud

xxdx

cxxx

dx

1ln2

Contoh 17

carilah dxxx 3 4.penyelesaian

misalkan 3 4 xu

43 xu

43 xddu dxduu 23

duuuudxxx 233 3.44.

43 ux

duuudxxx 363 434.

cuudxxx 473 3734.

cxxdxxx 3/43/73 434734.

Contoh 18carilah dxxx 5 21.

penyelesaian 5/11 xu

15 xu 15 ux

15 xddu dxduu 45

5/22 1 xu

duuuudxxx 4255 2 5.11.

duuudxxx 6115 2 51.

cuudxxx 7125 2

75

1251.

cxxdxxx 5/75/125 2 1751

1251.

Soal no 3 hal 393

?43

ttdt

penyelesaian

43 tu 432 tu342

ut

432 tdud

dtudu 32 32ududt

u

uduu

ttdt 3

234

43

2

duuduu

ttdt 82

91

32

34

432

2

cuuttdt

9

8272

433

43 tu 2/33 43 tu

cttttdt

43

9843

272

432/3

Integral yang melibatkan ;22 xa ;22 xa 22 ax untuk merasionalkan tiga persamaan ini kita membuat subtitusi trigonometri berikut

subtitusiakar pembatasan pada t22.1 xa tax sin 2/2/ t

22.2 xa tax tan 2/2/ t

22.3 ax tax sec 2/,0 tt

penyederhanaan yang dicapai oleh subtitusi ini adalah

tatataaxa 222222222 cossin1sin.1

taxa cos.1 22

tatataaxa 222222222 sectan1tan.2

taxa sec.2 22

tataataax 222222222 tan1secsec.3

taax tan.3 22

Contoh 19

carilah dxxa 22 penyelesaian

gunakan subtitusi tax sin 2/2/ t dttataddx cossin

taxa cos22

sehingga

dttatadxxa cos..cos22

dttatadxxa cos..cos22

dttadxxa 2222 cos

ingat

22cos1cos2 tt

dttadxxa 2cos12

222

cttadxxa

2sin

21

2

222

ctttadxxa cos.sin2

222

tax sin 2/2/ tpada selang

tax sin tax sin

tx

22 xa

a

tax sin

sehingga fungsi balikan

tax sin

ax

axt 1sinarcsin

dari segi tiga siku-siku?cos t

ax

axt 1sinarcsin

2222

2

21 11sincoscos xa

aaxa

ax

axt

maka

cxaaa

xaxadxxa

221

222 1.sin

2ax

ax

xaxaxadxxa

221

222 .

2sin

2

hitunglah integral tentu berikut yang menggambarkan luas daerah setengah lingkaran seperti pada gambar

y

x

22 xay

aaA

luas yang diarsir, A

dxxaAa

a

22

Penggunaan

ax

ax

a

a

xaxaxadxxaA

221

222 .

2sin

2

ax

ax

a

a

xaxaxadxxa

221

222 .

2sin

2

2212

2212

22

.2

sin2

.2

sin2

aaaaaa

aaaaaadxxa

a

a

1sin

21sin

21

21

222 aadxxa

a

a

2

222 adxxa

Contoh 20

carilah29 x

dx

penyelesaian

misalkan

tx tan3 2/2/ tpada selang

tdttddx 2sec3tan3

taxa sec22

tx sec33 22

dttdttt

x

dx secsec3sec3

9

2

2

cttx

dx

tansecln9 2

tx tan33

tan xt

t3

x29 x

29

3cosx

t

dari aturan segitiga

39sec

2xt

cttx

dx

tansecln9 2

cxx

x

dx

339ln

9

2

2

cxx

x

dx

39ln

9

2

2

cxxx

dx

3ln9ln9

2

2

Kxxx

dx

2

29ln

9

Contoh 21

carilah dxxx 262

12

penyelesaian

2512262 22 xxxx222 512262 xxxx

222 51262 xxx

1xu

222 5262 uxx

dxdu

25262

122

u

dudxxx

misalkan tu tan5 pada selang 2/2/ t

tddu tan5 dttdu 2sec5

25tan2525 22 tu

ttu sec51tan2525 22

dttt

u

dusec5sec5

25

2

2

dttdttt

u

du sec5sec5sec5

25

2

2

cttu

du

tansecln252

tu tan55

tan ut

tu sec5252 525sec

2 ut

cuu

u

du

55

25ln25

2

2

cuu

u

du

525ln

25

2

2

cuuu

du

5ln25ln25

2

2

Kuuu

du

25ln25

2

2

Kxxxu

du

1262ln25

2

2

4.Pengintegralan ParsialPendahuluan vuy .jika dimana u dan v fungsi

dari xmaka ).( vuddy vdudvudy .vdudydvu .

bila persamaan diintegrasi

vdudydvu .

vduydvu .

vduvudvu ..

hal yang harus diperhatikanpemilihan u dan dv, fungsi u harus lebih sederhana dari dv

Contoh 22


dxxx cos.

misalkan

xu dxdu

dxxdv cos

maka

dxxdv cos

xv sin

duvvudxxx .cos.

dxxxxdxxx sinsin.cos.

cxxxdxxx )cos(sin.cos.

Jika pemilihan u dan dv tidak tepat akan menghasilkan integral yang lebih rumitdari contoh 7 dxxx cos.

misalkan

xu cos dxxdu sinxdxdv

xdxdv

2

21 xv

dxxdv

maka

duvvudxxx .cos.

dxxxxxdxxx sin

21

21.coscos. 22

Jika pemilihan u dan dv tidak tepat akan menghasilkan integral yang lebih rumit

Contoh 23


2

1

ln dxx

misalkan

xu ln

dxx

xddu 1)(ln

dxdv

maka

dxdv

xv

duvvudxx .ln2

1

dxx

xxxdxx x

x

2

1

2

1

2

1

1.lnln

2

1

2

1

2

1

.lnln

x

x

x

xxxxdxx

12ln2]12[]1ln1)2ln(2[ln2

1

dxx

2

1

2

1

2

1

.lnln dxxxdxx x

x

12ln2]12[)]0(1)2ln(2[ln2

1

dxx

Contoh 24


dxxx sin.2

misalkan

2xu dxxdu 2dxxdv sin

maka

dxxdv sin

xv cos

duvvudxxx .sin.2

dxxxxxdxxx 2coscossin. 22

dxxxxxdxxx cos2cossin. 22

dxxxxxdxxx cos2cossin. 22

dari contoh 9 cxxxdxxx cossin.cos.

cxxxxxdxxx cossin.2cossin. 22

Kxxxxxdxxx cos2sin.2cossin. 22

LATIHAN 5Hitunglah

dxex x ..1

dxxx 3sin..2

5. Integrasi fungsi rasionalDefenisi fungsi rasionalFungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi polinomial, fungsi rasional di bagi dua1. Fungsi rasional sejati

yaitu derajat pembilang lebih kecil dari penyebut

misal

8422

2

xx

xxf

2. Fungsi rasional tak sejatiyaitu derajat pembilang lebih besar dari penyebut

misal

xxxxxxh

512

3

35

Contoh 24

Carilah

dxx 312

penyelesaian

dx

x 312

misalkan 1xu dxdu

duudu

udx

x3

33 2212

cudx

x

2

3 221

12

c

udx

x

23

112

c

xdx

x

23 11

12

Contoh 25

Carilah dxxx

x84

222

penyelesaian

84642

8422

22

xxxdx

xxx

dxxx

dxxx

xdxxx

x84

684

4284

22222

?84

422

dxxx

x

misalkan 842 xxu dxxdu 42

uudu

xdu

uxdx

xxx ln

4242

8442

2

42

xdudx

84ln84

42 22

xxdxxx

x

?84

62

dxxx

dx

xdx

xx 222 2216

846

sehingga

cax

aaxdx

1

22 tan1

dx

xdx

xx 222 2216

846

22arctan3

22arctan

216

846

2

xxdxxx

ingat

Kxxxdxxx

x

22arctan384ln

8422 2

2

Dekomposisi pecahan parsial (faktor linear)Latihan menjumlahkan pecahan parsial

?13

12

xx

11

131213

12

xx

xxxx

yang menarik adalah proses kebalikannya yaitu dekomposisi suatu pecahan menjadi suatu jumlah pecahan yang lebih sederhana

Contoh 26 (faktor linear yang berbeda)dekomposisikan pecahan parsial berikut dan carilah integrasinya

?613

2 xxx

323213

613

2

xB

xA

xxx

xxx

32

23613

2

xxxBxA

xxx

2313 xBxAx

2313 xBxAx

37;

58 AB

BBxAAxx 2313

BAxBAx 2313

)(3 aBA

)(123 aBA

eliminasi pers (a) dan (b)

233313.33 BAx

5858 BB

22231232 BAx

atau

2313 xBxAx

7557 AA

35/8

27/5

3213

613

2

xxxxx

xxx

dx

xdx

xdx

xxx

31

58

21

75

613

2

cxxdxxxx

3ln582ln

75

613

2

Contoh 27 (faktor linear yang berbeda)

Carilah ?32

3523

dxxxx

x

penyelesaian

dxxxxxdx

xxxx

3135

323523

313135

xC

xB

xA

xxxx

3

11331

3135

xxCx

xxBx

xxxA

xxxx

133135 xCxxBxxxAx 133.333.33133.53 CBxAx

23120018 CC

133135 xCxxBxxxAx 11)1.(31)1.(31113151 CBAx

21402 BB

133135 xCxxBxxxAx

10)0.(30)0.(30103050 CBAx

10033 AA

32/3

12/11

3135

xxxxxxx

323

1211

3135

xdx

xdxdx

xdx

xxxx

cxxxdxxxx

x

3ln231ln

21ln

3135

faktor linear yang berulanguntuk tiap faktor linear (ax+b) yang muncul k kali dalam penyebut suatu pecahan rasional yang baik terdapat suatu penjumlahan k buah pecahan parsial berbentuk

kk

baxA

baxA

baxA

)()()( 221

misal

?

1 4

xx

maka dekomposisi pecahan parsial dibuat

4324 11111

xD

xC

xB

xA

xx

Contoh 28 (faktor linear yang berulang)

Carilah ?

3 2 dxxx

penyelesaian

22 333

xB

xA

xx

222 33

33

x

BxxA

xx

BxAx 3

BAx 23333

3333 2 BBA BxAx 23

1330 AA

330 Ax

22 333

xB

xA

xx

22 33

31

3

xxxx

22 33

33 xdx

xdxdx

xx

22 33

33 xdx

xdxdx

xx

cxxdx

xx

3

33ln3 2

Contoh 29 (beberapa faktor linear berbeda dan ada yang berulang)

Carilah

?1313832

2

dxxxxx

penyelesaian

22

2

11331383

xC

xB

xA

xxx

22

2

2

133131

31383

xxxCxxBxA

xxx

31311383 22 xCxxBxAxx

31113111131.8)1(31 22 CBAx

24008 CC


3313331313)3.(8)3(33 22 CBAx

0016132427 A46416 AA


3010301013)0.(8)0(30 22 CBAx

CBA 3313

163413 BB

22

2

12

11

34

31383

xxxxxx

22

2

12

11

34

31383

xxxxxx

dx

xdx

xdx

xdx

xxx

22

2

112

11

314

31383

cx

xxdxxxx

121ln3ln4

31383

2

2

Dekomposisi pecahan parsial (faktor kuadratik)Dalam memfaktorkan penyebut suatu pecahan, jika kita mungkin mendapatkan beberapa faktor kuadrat, misalnya seperti (x2 +1), yang tak dapat lagi diuraikan menjadi faktor-faktor linier tanpa mengenalkan bilangan kompleks, maka dekomposisi pecahan parsial di buat

)( 2 cbxaxBAx

Contoh 30 (faktor kuadrat tunggal)

dekomposisikan pecahan parsial dan cari integrasinya

?)1(14136

2

2

xxxx

)1(14)1(14136

22

2

xCBx

xA

xxxx

)1(1414).()1(

)1(14136

2

2

2

2

xxxCBxxA

xxxx

)1(1414).()1(

)1(14136

2

2

2

2

xxxCBxxA

xxxx

14).()1(136 22 xCBxxAxx

1)4/1.(4).4/1.(11611

413

416

41 2

CBAx

21617

1616

1612

166

AA

14).()1(136 22 xCBxxAxx

10).0()10(210 Cx

10).0()10(21 C 1C

14).()1(136 22 xCBxxAxx

3).1(112113161 2 Bx

133410 BB

)1(14)1(14136

22

2

xCBx

xA

xxxx

)1(1

142

)1(14136

22

2

xx

xxxxx

dx

xxdx

xdx

xxxx

)1(1

1412

)1(14136

22

2

dx

xdx

xxdx

xdx

xxxx

)1(1

)1(1412

)1(14136

222

2

dx

xdx

xx

xdxdx

xxxx

)1(1

)1(2

21

144

21

)1(14136

222

2

cxarcxxdxxxxx

tan)1ln(2114ln

21

)1(14136 2

2

2

faktor kuadrat berulanguntuk tiap faktor kuadratik yang tak dapat direduksi ax2+bx+c yang muncul m kali dalam penyebut pecahan rasional yang baik maka dekomposisi pecahan mempunyai bentuk

mmm

cbxaxBxA

cbxaxBxA

cbxaxBAx

)()()( 22211

2

misal

?)1(136

32

2

xxx pecahan parsialnya

3222232

2

)1()1()1()1(136

xFEx

xDCx

xBAx

xxx

Contoh 31cari integrasinya

dxxxxx

22

2

)2(322156

penyelesaian

22222

2

)2()2(3)2(322156

xEDx

xCBx

xA

xxxx

22

222

22

2

)2(333)2()2(

)2(322156

xxxEDxxxCBxxA

xxxx

33)2()2(22156 2222 xEDxxxCBxxAxx

00)29(2245543 2 Ax

1121121 AA

ECAx 36422)0(15)0(60 2

)1(1836 EC

13441212922)1(15)1(61 2 EDCBAx

)2(4441212 EDCB

134412121.9 EDCB

30030)20(0)20(221560 22 ECAxxx



3131)21()21(221561 22 EDCBAxxx

DEBCA 2266943


3131)21()21(221561 22 EDCBAxxx

)3(342266 EDCB

eliminasi (2)(3)

)2(4441212 EDCB

)3(342266 EDCB 21xx

4441212 EDCB68441212 EDCB

)4(72824 EC

eliminasi (1)(4))1(1836 EC

)4(72824 EC 14xx

721224 EC

72824 EC

004 EE

)1(180.36 C

3186 CC


33333)29(3)29(221563 22 EDCBAxxx EDCB 618661981.12131

9061866198 EDCB

90183.66198 DB

)5(28818198 DB

dari pers (3) sub C = 3, E= 0

)3(1626 DB

eliminasi (5)(3)

)5(28818198 DB

)3(1626 DB 94xx

28818198 DB

1441854 DB 1144144 BB

dari (3) sub B = -1 )3(1626 DB

5102 DD

dxx

xdxxxdx

xdx

xxxx

22222

2

)2(5

)2(3

31

)2(322156

dxxxdx

xxdx

xdx

xxxx

22222

2

)2(5

)2(3

31

)2(322156

dxxx

xdx

xdxx

xdxdx

xxxx

222222

2

)2(2

25

)2(3

)2(.2

21

3)2(322156

cx

xarcxxdxxxxx

)2(1

25

2tan

23)2ln(

213ln

)2(322156

22

22

2

LATIHAN 6Hitunglah

dxxxxx

9123632.1 2

2

dxxxxxx

32312327.2

2

Education

Teknik teknik pengintegralan