TEKNIK PENGINTEGRALAN - relifline.files.wordpress.com fileDengan aturan di atas, maka kita dapat menyelesaikan ∫3x2 1+x3dx dengan mengambil u =1+x3, sehingga diferensial u adalah

Bab 2. Teknik Pengintegralan

BAB 2.

TEKNIK PENGINTEGRALAN

Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan pada bab 1 hanya

dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat

digunakan untuk menyelesaikan integral seperti ∫ + dxxx 32 13 atau ∫ dxxex . Pada

bab ini akan dibahas teknik-teknik pengintegralan untuk fungsi-fungsi yang tidak

sederhana.

2.1. Integrasi substitusi

Untuk menyelesaikan integral ini, kita dapat melakukan substitusi berdasarkan aturan

berikut.

Aturan substitusi : Jika )(xgu = adalah fungsi terdiferensial dengan daerah hasil berupa selang

I dan f kontinu pada I , maka ∫ ∫= duufdxxgxgf )()('))(( .

Dengan aturan di atas, maka kita dapat menyelesaikan ∫ + dxxx 32 13 dengan

mengambil 31 xu += , sehingga diferensial u adalah dxxdu 23= . Dengan demikian

kita punyai

∫∫∫ =+=+ duudxxxdxxx 2332 3113

.)( Cx

Cu

++=

+=

23

3

23

132

32

Contoh 1 : Carilah ∫ +dx

xx

sincos

1.

Untuk menyelesaikan integral di atas, substitusikan xu sin+= 1 untuk kemudian

diperoleh dxxdu cos= .

Maka integral di atas menjadi ∫ +dx

xx

sincos

1 = ∫ += Cu

udu ln .

Dengan demikian diperoleh ∫ +dx

xx

sincos

1= .sinln Cx ++1

Bab 2. Teknik Pengintegralan--yudiari

5

Contoh 2 : Selesaikan ∫ −dx

xx

12

Penyelesaian : misal u = x2 – 1

du = 2x dx

∫ ∫ +−=+==−

CxCuududx

xx )1ln(

21ln

21

21

12

2 .

Contoh 3: Selesaikan : ∫ dxx-21

Penyelesaian : misal u = 1-2x → du = -2 dx

CxCuCuduu +−−=+−=++

−=−=

+

∫∫ 23

231

21

21

)21(34

34

121

22dx 2x-1

Soal latihan 2.1 :

Hitung integral berikut dengan substitusi yang diberikan

1. ∫ = xudxx 33 ,cos . 2. ∫ +=+ 11 223

2 xudxxx ,)( .

3. xudxx

x=∫ ,cos . 4. xudx

x21

21

34

+=+

∫ ,)(

.

Hitung integral tak tertentu berikut

5. ∫ − dxx 62 )( 6. ∫++

+ dxxx

x221

41 .

7. ∫ − dxxx )cos( 32 1 . 8. ∫+

dxxx

4 2.

1. .∫ dxxe x22 10. ∫ ++.

422 xxdx

2.2 Integrasi Parsial

Sering kali kita menjumpai integran dalam bentuk perkalian fungsi-fungsi.

Salah satu teknik untuk mengevalusai integral tersebut adalah dengan


6

menggunakan teknik integrasi bagian demi bagian atau sering juga digunakan

istilah integral parsial.

Jika f dan g dua buah fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

[ ] )(')()(')()()( xfxgxgxfxgxfdxd

+=

atau

[ ] ).(')()()()(')( xfxgxgxfdxdxgxf −=

Selanjutnya dengan mengintegralkan masing-masing ruas dari persamaan ini, kita

peroleh

[ ]∫ ∫ ∫−= dxxfxgdxxgxfdxddxxgxf )(')()()()(')(

atau

∫ ∫−= .)(')()()()(')( dxxfxgxgxfdxxgxf

Persamaan integral ini kita sebut rumus integrasi parsial, yang selanjutnya dengan

mengambil )(xfu = dan )(xgv = rumus tersebut dapat dituliskan dengan

∫ ∫−= duvuvdvu .

Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikut

Contoh 1: Selesaikan ∫ dxxx sin .

Penyelesaian: Pilih xu = dan dxxdv sin= , sehingga diperoleh dxdu = dan

.cossin 1Cxdxxv +−== ∫

Oleh karena itu

.sincossincos

)cos()cos(sin

CxxxCxCxxCxx

dxCxCxxdxxx

++−=

+−++−=

+−−+−=∫ ∫11

11

.

Pada ilustrasi di atas kita menambahkan konstanta 1C ketika mendapatkan v dari dv .

Tetapi pada akhirnya konstanta 1C tersebut akan tereliminasi. Dengan demikian

untuk selanjutnya tidak perlu menuliskan konstanta 1C ketika mendapatkan v dari

dv .


7

Contoh 2:

Selesaikan ∫ − dx )2ln()1( xx

Penyelesaian :

Misal u = ln2x dv= (x-1)dx

du = x1 dx v = xx −2

21

Jadi : ∫ ∫∫ −==− duvuvdvuxx dx )2ln()1(

∫ −−−= dxx

xxxxx )1)(21()

21)(2(ln 22

∫ −−−= dxxxxx )121()

21)(2(ln 2

Cxxxxx ++−−= 22

41)2ln()

21(

Contoh 3:

Selesaikan ∫ dx xsin2x

Penyelesaian :

Misal u = x2 dv = sin x dx

du = 2x v = -cos x

∫ ∫ ∫∫ +−=−== dxxxxxvduuvudvxx dx cos2cossin 22 (*)

Perhatikan ∫ x dx x cos2 pada (*), kita gunakan integral parsial lagi.

Misal u = 2x dv = cosx dx

du = 2 v = sin x

∫ ∫ ∫∫ === dx 2sinx -sinx 2x du v - uv dv dx cos ux2

Ccosx 2 sinx ++= x2 (**)

Substitusi (**) ke (*) didapat :

∫ ∫∫ +++−=−== C2cosxsinx dx xxxvduuvudvxx 2cossin 22


8

Contoh 4:

Selesaikan ∫ dx xcosxe

Penyelesaian :

Misal u = ex dv = cosx dx

du = ex v = sinx

∫ ∫ ∫∫ −=−== dxxexevduuvudvxe xxx dx sinsincos (*)

Perhatikan ∫ dx xex sin pada (*)

Misal u = ex dv = sinx dx

du = ex v = -cos x

∫ ∫ ∫∫ +=== dx cosx e cosx e- du v - uv dv dx xxuxex sin (**)

Substitusi (**) ke (*) didapat :

∫∫ −+= dx dx xexexexe xxxx coscossincos

Cxexedxxxe xxx ++=+ ∫∫ cossincoscos e dx x

Cxexexe xxx ++=∫ cossincos2 dx

Dengan demikian Cxxexe xx ++=∫ )cos(sin21cos dx .

Dalam beberapa kasus, untuk mendapatkan hasil integral pada ruas kanan masih

diperlukan integrasi parsial lagi. Dalam situasi seperti ini, akan sangat membantu jika

digunakan metode tabulasi

tanda Turunkan integralkan

+ u dv

- du v


9

Anak panah diagonal menandakan bentuk yang dikalikan ( dalam hal ini, uv). Pada

baris terakhir, anak panah horisontal menunjukkan integral terakhir yang harus dicari

( dalam hal ini ∫ duv ). Sedangkan pada kolom tanda, menunjukkan urutan tanda

yang dimulai dari + kemudian berganti ganti -, + ,- ...dst.

Dengan demikian tabel di atas dapat dibaca

∫ ∫−+= duvvudvu

Baris pertama anak panah anak panah

diagonal mendatar

Contoh 5 : Tentukan ∫ dxxe x

Solusi, Dibuat tabel sebagai berikut

Tanda Turunkan integralkan

+ x ex

- 1 ex

+ 0 ex

Dari tabel diperoleh

.)(

..

Cex

Cdxeexexex

xxxx

+−=

++−+=∫ ∫1

01

Yang terkadang membingungkan adalah bagaimana menentukan bagian mana yang

harus diturunkan atau mana yang diintegralkan. Untuk menentukan bentuk dv yang

akan diintegralkan, digunakan aturan urutan prioritas detail, yaitu

dv

eksponensial

trigonometri

aljabar

invers trigonometri

logaritma


10

Pemilihan bagian yang akan diintegralkan diprioritaskan berdasarkan urutan

dari atas ke bawah, sedangkan bagian yang diturunkan dari bawah ke atas.

Sebagai contoh, misalkan akan dicari ∫ dxex x2 . Pada integrand terdapat

fungsi polinomial (aljabar) , 2x dan fungsi eksponensial, xe . Maka dipilih bagian

untuk diintegralkan adalah fungsi eksponensial, yaitu dxedv x= , dan untuk

diturunkan tentu saja fungsi aljabar polinomial 2xu = . Selanjutnya dapat digunakan

langkah seperti dalam metode tabulasi.

Soal Latihan 2.2:

Selesaikan integral berikut

1. ∫ dxex x22 . 2. ∫ dxxe x sin .

3. ∫ .dxxtgarc 4. ∫ .arctan dxxx

5. ∫ .sin dxxx 2 6. ∫ .sin dxxx 32

7. ∫ .)(ln dxx 2 8. ∫ .)ln(sincos dxxx

9. ∫ dxxx sin2 . 10 ∫ .ln dxxx 2

2.3 Integral fungsi trigonometri berpangkat

Pada bagian ini kita akan melihat kasus – kasus integral tak tertentu dari sinus,

cosinus, tangens, cotangens, secans, dan cosecans berpangkat.

Kasus 1 , ∫ dxxnsin atau ∫ dxxncos , dengan n bilangan ganjil.

Jika n bilangan ganjil, maka n – 1 adalah genap. Untuk itu kita perlukan rumus

identitas 122 =+ xx sincos .

Contoh 1 : Carilah ∫ .sin dxx3

Penyelesaian. Perhatikan bahwa


11

∫∫ ∫

−=

=

dxxx

dxxxdxx

sin)cos(

)(sinsinsin

2

23

1

Jadi

∫ ∫∫ −= dxxxdxxdxx sincossinsin 23

Untuk integral kedua pada ruas kanan, perhatikan bahwa kita dapat mengambil

substitusi xu cos= , sehingga dxxdu sin−= . Jadi

∫ ∫ +−=+−=−= 23

2322

31

31 CxCuduudxxx cossincos .

Karena integral pertama pada ruas kanan adalah 1Cx +− cos , maka

∫ −= xdxx cossin3 + Cx +331 cos .

Kasus 2 , ∫ dxxnsin atau ∫ dxxncos , dengan n bilangan genap.

Jika n genap , kita gunakan identitas trigonometri berikut :

( ) ( )xxxx 212121

21 22 coscoscossin +=−=

Contoh 2: Carilah ∫ .sin dxx4

Penyelesaian.

∫ ∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −== dxxdxxdxx

2224 21

21 cos()(sinsin

.sinsin

cos(cos

)coscos(

Cxxx

dxxx

dxxx

++−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=

+−=

∫

∫

43212

41

83

4121221

41

222141 2

Kasus 3, ∫ dxx mn cossin , dimana salah satu dari n atau m ganjil.

Penyelasaian kasus 3 ini sama dengan pada kasus 1,

Contoh 3 : Carilah ∫ .cossin dxx 34


12

Penyelesaian.

∫∫ = xdxxxdxxx coscossincossin 2434

.sinsin

cossincossin

cos)sin(sin

cos)sin(sin

Cxx

dxxxdxxx

dxxxx

dxxxx

+−=

−=

−=

−=

∫∫∫∫

75

64

64

24

71

51

1

Kasus 4, ∫ dxx mn cossin , dengan n dan m bilangan genap

Penyelesaian kasus ini sama dengan kasus 2.

Contoh 4: Carilah ∫ .cossin dxxx 24

Penyelesaian.

∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= dxxxdxxx 21

2121

21 2

24 cos(cos(cossin

( )

.cossincos

cossincossin(

cossin)cos(sin(

cossincossin(

cos)sin(cos(

cos(coscos(

Cxxxx

dxxxxx

dxxxxx

dxxxxx

dxxxx

dxxxx

+−−+−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

∫

∫

∫

∫

∫

24814

3214

641

161

224421

21

81

2241421

23

81

2421224

21

23

81

214121221

81

21212221

41

3

2

2

2

2

Kasus 5, ∫ dxxntan atau ,cot∫ dxxn dengan n bilangan bulat positif.

Untuk menyelesaikan kasus ini, kita tulis


13

)(sectan

tantantan

122

22

−=

=−

−

xx

xxxn

nn atau

).(csccot

cotcotcot

122

22

−=

=−

−

xx

xxxn

nn

Contoh 5 : Selesaikan .tan∫ dxx3

Penyelesaian.

.seclntan

tansectan

)(sectan

tantantan

Cxx

dxxdxxx

dxxx

dxxxdxx

+−=

−=

−=

=

∫ ∫∫∫∫

2

2

2

23

21

1

Kasus 6, ∫ dxxnsec atau ,csc∫ dxxn dengan n bilangan genap positif.

Untuk menyelesaikan kasus ini, kita tulis

xx

xxxn

nn

2222

22

1 sec)(tan

secsecsec/)( −

−

+=

= atau

.csc)(cot

csccsccsc/)( xx

xxxn

nn

2222

22

1 −

−

+=

=

Contoh 6 : Selesaikan .csc∫ dxx4

Penyelesaian.

.cotcot

csccsccot

csc)(cot

csccsccsc

Cxx

dxxdxxx

dxxx

dxxxdxx

+−−=

+=

+=

=

∫ ∫∫∫∫

3

222

22

224

31

1

Kasus 7, ∫ dxxnsec atau ,csc∫ dxxn dengan n bilangan ganjil

Untuk menyelesaikan kasus ini digunakan pengintegralan parsial.

Contoh 7 : Selesaikan .csc∫ dxx3

Penyelesaian.


14

∫∫ = dxxxdxx csccsccsc 23 .

Dengan integral parsial kita punyai xdvxu 2csc,csc == , sehingga

xvxxu tan,cotcsc =−= . Dengan demikian

.)cotln(csccotcsc

csccotcsccsc

Cxxxx

dxxxxdxx

++=

+= ∫∫ 3

Soal Latihan 2.3 :

Selesaikan Integral berikut

1. ∫ .cossin dxxx 23 2. ∫ .cossin dxxx 36

3. ∫ .sin dxx4 4. ∫ .cos xdx5

5. ∫ .sec dxx4 6. ∫ .sinsin dxxx 25

2.4. Integrasi fungsi rasional

Seringkali ditemukan integral berbentuk fungsi rasional (pembagian dua

polinomial, )(

)(XMxN ). Jika derajat ( pangkat tertinggi) fungi pembilang lebih besar

atau sama dengan pangkat tertinggi penyebut, maka dapat dilakukan pembagian

polinomial dan mengintegralkan hasil pembagian tersebut. Sebagai ilustrasi,

121

11

−+=

−+

xxx

sehingga ∫ ∫ +−+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=

−+ Cxxdx

xdx

xx 12

121

11 ln .

Pecahan parsial

Dalam aljabar kita telah mengenal penjumlahan bentuk pecahan dengan

menemukan pembagi bersama, misalnya

.))((

)()(2

1521

13222

31

22 −+

+=

+−−++

=+

+− xx

xxx

xxxx


15

Dengan demikian kalau kita dihadapkan pada masalah mencari

integral ∫ −+− dxxx

x2

152 , maka kita dapat menggunakan pecahan parsialnya, yaitu

∫ −+− dxxx

x2

152 = .lnln Cxxdx

xx+++−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

−∫ 23122

31

2

Proses pemisahan pecahan )(

)(XMxN ke dalam jumlah pecahan dengan pembagi

berbentuk fungsi linear atau kuadrat ini disebut dekomposisi pecahan parsial. Perlu

diperhatikan bahwa derajat N(x) harus selalu kurang dari derajat M(x). Untuk

selanjutnya akan dibicarakan tiga kasus berkaitan dengan faktor dari M(x), yaitu :

1. Faktor-faktornya linear berbeda ( akar-akarnya real berbeda).

2. Faktor-faktornya linear berulang (akarnya real ada yang sama).

3. Faktor kuadrat ( ada akar imajiner).

Kasus 1, Faktor linear berbeda

Contoh 1 : Tentukan integral ∫ −−+− .dx

xxxx

6712

3

2

Penyelesaian. Perhatikan bahwa ∫ ∫ +−++−

=−−+− dx

xxxxxdx

xxxx

))()(( 23112

6712 2

3

2

.

Kita harus menemukan A,B, dan C sehingga

))()(( 23112 2

+−++−

xxxxx =

231 ++

−+

+ xC

xB

xA .

Dengan menyamakan penyebut pada kedua ruas, diperoleh

).)(())(())(( 31212312 2 −++++++−=+− xxCxxBxxAxx

dengan menyamakan koefisien suku-suku yang bersesuaian pada kedua

ruas,diperoleh

13261232

=−+−−=−+−

=++

CBACBACBA

yang penyelesaianya adalah ,,541 =−= BA dan .

511

=C

Dengan demikian diperoleh


16

.lnlnln Cxxx

xdx

xdx

xdx

xxxx

+++−++−=

++

−+

+−=

−−+−

∫ ∫ ∫ ∫

25

113541

2511

354

16712

3

2

Metode Heaviside. Adalah sebuah metode yang memudahkan kita untuk

menemukan konstanta pada dekomposisi pecah parsial dari )(

)(XMxN . Terlebih

dahululu kita harus memfaktorkan M(x) ke dalam bentuk faktor linear.

n

n

n rxA

rxA

rxrxrxxN

xMxN

−++

−=

−−−= ...

))...()(()(

)()(

1

1

21

.

Selanjutnya untuk menemukan konstanta Ai yang berbsesuaian dengan

bentuk i

i

rxA−

, maka pada penyebut di ruas kanan faktor irx − kita ’buang’

dan memasukkan nilai ri ke dalam x pada faktor tersisa.

Misalnya untuk mencari nilai A pada contoh di atas, maka faktor x + 1 kita

’buang’ dan memasukkan nilai x = -1 pada faktor tersisa. Jadi

.))(())((

)()( 114

42131

1112 2

−=−

=+−−−+−−−

=A

selanjutnya untuk mencari B, faktor yang di’buang’ adalah x – 3 , jadi

.))(())((

)(54

5416

23131332 2

==+++−

=B

sedangkan C,

.))(())((

)()(5

1151

113212

1222 2

=−−

=−−+−+−−−

=C

Diperoleh hasil yang sama dengan sebelumnya.

Perlu dicatat bahwa metode heaviside ini hanya berlaku untuk faktor linear

berbeda.

Kasus 2, Faktor linear berulang

Contoh 2 : Tentukan integral ( )∫ −

− dxxx

x32

3

)2(1


17

Penyelesaian.

( )∫ −

− dxxx

x32

3

)2(1 = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −

+−

+−

++)2()2()2( 232 x

Ex

Dx

CxB

xA

x3-1 = 222233 )2()2()2()2( −+−++−+− xExxDxCxxBxxA

x3-1 = +−+−++ 34 )46()( xEDBAxEB

= AxBAxEDCBA 8)812()42126( 2 −−++−−+−

163;

45;

47;

163;

81 −

===== EDCBA

( )( )∫ −− dx

xxx

32

3

21 =

( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −−

−+

−++

)2(163

)2(45

247

163

81

232 xdx

xdx

xdx

xdx

xdx

= ( ) cxxx

xx

+−−−

−−−

++− 2ln163

245

)2(8)7(ln

163

81

2

Contoh 3 : Selesaikan ∫ +++dx

xxxx

162493

23

Penyelesaian. Perhatikan bahwa 16249

323 +++ xxx

x = )()( 14

32 ++ xxx

= 144 2 +

++

++ x

Cx

Bx

A)()(

atau 241143 )()())(( ++++++= xCxBxxAx .

Dengan substitusi

Untuk x = - 4 -12 = - 3 B B = 4.

x = - 1 -3 = 9C C = 31− .

x = 0 0 = 4A + B + 16C A = .31

jadi


18

∫ +++dx

xxxx

162493

23 = ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−+

++

dxxxx )()()( 131

44

431

2

= .lnln Cxx

x ++−+

−+ 131

44

431

Kasus 3, Faktor kuadrat

Contoh 4: Tentukan integral ∫ +++ 123 xxxdx .

Penyelesaian. Harus dicari A,B, dan C sehingga

11111

22 ++

++

=++ x

CBxx

Axx ))((

.

atau

))(()( 111 2 ++++= xCBxxA .

Dengan menyamakan koefisien yang bersesuaian, diperoleh

.,,

CACBBA

+=+=+=

100

sehingga diperoleh 21

21 −== BA , , dan .2

1=C

Dengan demikian

∫ +++ 123 xxxdx = ∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

++

−

dxxx

x

1121

221

2

)(

= .lnln Cxtgarcxx +++−+211

411

21 2

Conoth 5 :

Selesaikan ( )( )( )∫ ++−

−− dxxxx

xx221

322

2

Penyelesaian.

( )( )22132

2

2

++−−−xxx

xx = ( )1222 −+

+++

xC

xxBAx


19

Diperoleh 54;

57;

59

−=== CBA

Jadi :

( )( )∫ ∫ ∫ −−

++

+=

++−−− dx

xxx

dxxdx

xxxxx

15

4

225

75

9

22132

22

2

⇒ ( )∫ ∫ ∫ ++

−++

+=

++ 2259

221

59

225

9222 xx

dxxxdxxdx

xx

x

Maka : ( ) ( )∫ =++−

−− dxxxx

xx221

322

2

( )∫ ∫ ∫ ∫ −

−++

+++

−++

+15

4225

7225

922

1221

59

222 xdx

xxdx

xxdxdx

xxx

= ( )∫ −−

++−++ 1ln

54

115222ln

109

22 x

xdxxx

= ( ) cxxxx ln1ln541tan

5222ln

109 12 +−−+−++ −

Kasus 4, faktor kuadrat berulang

Contoh 6:

Selesaikan ( )( )∫

+−

− dxxxx

x22 54

2

Penyelesaian. Tulis ( )22 542+−

−

xxxx = ( )

( )( )

5442

5442

222 +−+−

++−

+−+

xxExD

xxCxB

xA

Selanjutnya tentukan A,B,C,D, dan E. ( sebagai latihan)

Soal latihan 2.4:

Tentukan integral berikut :

1. ∫ +++ dxxx

x7

122 . 2. ∫ +−

+ .dxxx

x67

123

3. ∫ + xxdx

3 . 4. ∫ +−+− .dx

xxxxx

4522025

23

2


20

5. ∫ −++− .

))((dx

xxxx

2

2

3219223 6. dx

xxxx

∫+−

−

)( 542

2 .

7. Matematikawan Jerman, Karl Weiertrass (1815 – 1897) mengamati bahwa

substitusi )tan( xu21

= akan mengubah sebarang fungsi rasional dari sin x dan

cos x menjadi fungsi rasional biasa dari t .

a. Jika )tan( xu21

= , π<<π− x , gambarlah segitiga siku-siku atau

gunakan kesamaan trigonometri untuk menunjukkan bahwa

22 121

1

121

u

uxu

x+

=+

= )sin(,)cos( .

b. Tunjukkan bahwa

22

2

1

2

1

1

u

uxu

ux+

=+

−= sin,cos .

c. Tunjukkan bahwa

duu

dx21

2

+= .

Gunakan subsitusi dalam soal 7 untuk menyelesaikan integral berikut

8. ∫ − xdx

sin53 9. ∫ − xx

dxcossin 43

.

2.5. Integrasi fungsi irrasional

Bentuk irrasional satu suku

Jika integral hanya memuat bentuk irrasional dari satu macam suku, misal x,

maka gunakan substitusi n xy = , dengan n adalah kelipatan persekutuan terkecil

dari pangkat-pangkat akar.

Contoh 1:

a. ∫ + xdx

1.


21

b. .)(

Cxtgarcxx

dx++=

++∫ 1212

( Gunakan substitusi 1+= xy ).

c. ∫ +.

xdxx

1

3

( Gunakan substitusi 6 xu = ).

Penyelesaian :

a. Dengan substitusi xy = diperoleh xy =2 dan dyydx 2= , sehingga

∫ + xdx

1 = .lnln CxxCyy

ydyy

++−=++−=+∫ 122122

12

c. Substitusi u = 6/16 xx = → u6 = x

dx du5u6 =

Sehingga : ∫ +dx

xx

1

3= ∫ ∫ +

=+

duu

uduuu

u3

75

3

2

16)6(

1

∫ +dx

xx

1

3= ∫ ∫ ∫ +

++ duuuududuu 3

4

1666

= ∫ ∫ ∫ +−+++ du

uuuuududuu

)1)(1(666 2

4

=

Cu

uuuuu +−

++−++−+ −

321

21

tan3

41ln1ln2356 1225

= Cx

xxxxx +−

++−++−+ −

321

21

tan3

41ln1ln2356

61

161

31

61

31

65

.

Jika cbx2ax ++ adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran.


22

Jika cbxax ++2 adalah satu-satunya bentuk irrasional pada

integran, maka kita dapat melakukan substitusi sebagai berikut :

ax2 + bx + c = a (x2+ ) acx

ab

+ = a (x + 2)2ab - )

44(

2

aacb −

Substitusi yang digunakan adalah : u = x+a

b2

Contoh 2:

Selesaikan ∫+−− 26)3( 2 xxx

dx

Penyelesaian :

∫+−− 26)3( 2 xxx

dx = ∫−−− 72)3x()3x(

dx

Misal u = x – 3

du = dx

∫+−− 26)3( 2 xxx

dx = ∫− 72uu

du = ∫− 7

77

12uu

du

= Cu+−

7sec

71 1

= Cx+

−−

73sec

71 1

Jikabxax

++

adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran.

Jika bxax

++

adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran maka

kita dapat melakukan substitusi : u = bxax

++


23

Contoh 3:

Selesaikan ∫ −+ dx

xx

32

Penyelesaian :

Misal u = 32

−+

xx

u2 = 32

−+

xx → (x – 3)2 =

2

2 15

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−u

2u du = dxx

xx2)3(

)2()3(−

+−−= dx

x 2)3(5

−

− = dx

5)1( 22 −− u

dx = duu

u22 )1(

10−

−

Jadi : ∫ −+ dx

xx

32 = ∫ −

− duu

u22

2

)1(10

= ∫ ∫ ∫ ∫ +−

++

−−

−− 22 )1(2

512

5)1(2

512

5u

duudu

udu

udu

= Cu

uu

u ++

+++−

+−−)1(2

51ln25

)1(251ln

25

= Cu

uuu

+−

+−+

15

11ln

25

2

= Cxxxxx

+−+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−+−32

56212ln

25 2

Substitusi trigonometri

Bentuk substitusi 22 xa − tax sin= 22 ax − tax sec=


24

22 xa + ttgax =

Contoh 1. Selesaikan dxx∫ − 29 .

Penyelesaian. Misalkan tx sin3= , maka dttdx cos3= dan

tttx cos)(cossin 39999 222 ==−=− .

Dengan demikian kita peroleh

dxx∫ − 29 = ∫ ∫= dttdttt 2933 coscos.cos

= ∫ + dtt)cos( 21219

= Ctt ++ )sin( 221

29 .

Contoh 2: Buktikan Ca axsin dx a 21-2 +−+=−∫ 2

22

22xxax .

Bukti :

22 xa −

Dari gambar diatas didapat :

Sin u = ax → u = arc sin

ax

a sin u = x → a cos u du = dx

Jadi ∫ ∫∫ ==− du du) cosu (a u cos a uadxxa 2222 cos

Cuuaa++=+= ∫ )2sin

21(

22

22cos2u)du(1

Ccosu) ++= − uaxa sin(sin

21

2

a x u


25

C+−+= −

axa

ax

axa 22

12

(sin2

Ca2x

axsina 21-

2+−+= 2

2x (terbukti)

Contoh 3 :

Selesaikan ∫− dxx

x2

29

Penyelesaian :Substitusi : θθθ ddxx cos3sin3 =⇒=

⇒ ( ) θθθ

θ dcos3sin3

sin3322

222

∫−

= θθθθ dcos3

sin3sin13

22

2

∫−

= θθθ d∫ 2

2

sincos

= ∫ θθ d2cot

= ( ) θθ dec∫ −1cos 2

= c+−− θθcot

Conoth 4:

Selesaikan dxx∫ + 52

Penyelesaian. Substitusi : θtan5=x

θθ ddx 2sec5=

52 +x = 5tan5 2 +θ

= 1tan5 2 +θ

= θsec.5

dxx∫ + 52 = θθθ d2sec5sec5∫


26

= ∫ θθ d3sec5 ⇒ dengan inti parsial

= c+++ θθθθ tansecln25tansec

25

Conoth 5 :

Selesaikan ∫− 223 3xx

dx

Penyelesaian. Substitusi : θsec3=x

θθθ ddx tansec3=

22 3−x = 222 3sec3 −θ

= 1sec3 2 −θ

= 3 tan θ

∫− 223 3xx

dx = θθθ

θθ d∫ tan3.sec3tansec3

33

= ∫ ∫= θθθθ

dd 22 cos

271

sec1

271

= ( ) θθ d∫ + 2cos1271

21

= c+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + θθ 2sin

21

541 .

Soal Latihan 2.5 :

Gunakan substitusi trigonometri untuk menunjukkan rumus-rumus berikut :

1. Cax

xa

dx+=

−∫ arcsin

22. 2. C

axarc

aaxx

dx+=

−∫ sec1

22

3. Caxxax

dx+−+=

−∫ 22

22ln 4. Caxx

ax

dx+++=

+∫ 22

22ln

5. Caxaxaxdxxa ++−=−∫ arcsin

22

22222


27

6. Cxaxaxaxdxxa +++++=+∫ 222

2222

22ln

7. .ln Caxxaaxxdxax +−+−−=−∫ 222

2222

22

Selesaikan integral berikut :

8. ∫+−−

.)( 263 2 xxx

dx 9. ∫− .dxx

x 216

10. ∫+

.dxx

x2

3

16 11. ∫ + dxxx 423

12. ∫+−

dxxx

dx

1362. 13. ∫

++ 22 22 )( xx

dx .

14. dxxx ∫ + 9 15. dxxx ∫ ++ 9)5(

16. dxxx

∫ +

23 17. dx

xx

∫ + 41

18. dxxx∫ −+

2)1(

1 19. dxxx∫ ++

54

12

20. dxxx

x∫

−−

− 289

32 21. dxxx

x∫ ++

+ 543

52 .

2. 6. Pertumbuhan dan Peluruhan

Salah satu penerapan integral adalah untuk menyelesaikan persamaan yang

muncul pada model matematika yang melibatkan hukum pertumbuhan atau peluruhan.

Hukum ini muncul bila laju pertubahan jumlah suatu kuantitas terhadap waktu

berbanding lurus dengan kuantitas yang ada pada saat diberikan. Sebagai contoh

dalam biologi, dengan kondisi tetentu, laju pertumbuhan bakteri berbanding lurus

dengan jumlah bakteri yang ada pada setiap saat. Di dalam reaksi kimia, sering terjadi

keadaan dimana laju reaksi berbanding lurus dengan jumlah zat yang ada.


28

Dalam kasus seperti di atas, jika waktu dinyatakan dengan t satuan, dan

jumlah kuantitas yang ada pada setiap saat dinyatakan dengan x satuan, maka

dipunyai persamaan kxdtdx

= , dimaka k konstanta dan x > 0 untuk setiap t ≥ 0. Jika

x bertambah untuk t yang bertambah, maka k > 0, dan kita peroleh hukum

pertumbuhan wajar. Sedangkan jika x berkurang bila t bertambah, maka k < 0 dan

diperoleh hukum peluruhan wajar. Misalkan kita akan menyelesaikan permasalahan pada

contoh berikut.

Contoh 1 :

Laju pertumbuhan radium berbanding lurus dengan jumlah zat yang ada setiap saat.

Jika 60 mg radium tersedia sekarang dan waktu paruhnya adalah 1690 tahun, maka

berapa jumlah radium yang ada 100 tahun kemudian.

Penyelesaian :

Misalkan t tahun telah berlangsung sejak sekarang, dan x adalah banyaknya radium

dalam t tahun. Maka kita punyai persamaan kxdtdx

= . Terlebih dahulu akan kita

selesaikan persamaan ini. Perhatikan bahwa persamaan tersebut dapat ditulis dengan

kdtx

dx= . Dengan mengintegralkan kedua ruas, diperoleh

∫ ∫= dtkx

dx

atau

kt

ktc

ckt

Cex

eex

ex

cktx

=

=

=

+=+

ln

dengan C = ce .

t 0 100 1690

x 60 ? 30


29

Selanjutnya dengan memperhatikan syarat batas yang diberikan ( lihat tabel), kita

peroleh untuk t = 0, maka .. CCek == 060

Selanjutnya untuk t = 1690, kita punyai ke16906030 = atau k = - 0,00041

(tunjukkan).

Diperoleh

., tex 00041060 −=

untuk t = 100,

.,

,

65760 0410

== −ex

Jadi 100 tahun sejak sekarang akan terdapat 57,6 mg radium.

Contoh 2 :

Bakteri yang berkembang dalam suatu pembiakan bertambah dengan laju berbanding

lurus dengan jumlah bakteri yang ada pada saat itu. Jika awalnya ada 1000 bakteri, dan

jumlahnya menjadi dua kali lipat dalam waktu 30 menit, berapa jumlah bakteri setelah

2 jam?

Penyelesaian : ( Kerjakan sebagai latihan).

Contoh 1 di atas menggambarkan suatu fungsi yang dikatakan mempunyai

peluruhan eksponensial. Pada contoh tersebut k < 0, dan x= f(t),

dimana kttt

eCtf∞→∞→

= lim)(lim = 0. Jadi pada akhirnya )(tf akan menuju ke nol.

Sedangkan pada contoh 2, akan kita peroleh k > 0, sehingga kita peroleh fungsi yang

dikatakan mempunyai pertumbuhan eksponensial, karena jika k > 0, maka

∞==∞→∞→

kttt

eCtf lim)(lim , yang berarti )(tfx = akan membesar tanpa batas.

Selanjutnya akan kita lihat jika suatu kuantiotas bertambah dengan laju

berbanding lurus dengan selisih suatu bilangan positif A dengan ukuran kuantitas

tersebut. Jika waktu dinyatakan dengan t satuan dan jumlah kuantitas pada setiap saat

adalah x satuan, maka diperoleh persamaan )( xAkdtdx

−= , dengan k konstanta


30

positif dan x < A untuk setiap t. Persamaan ini dapat dituliskan dalam bentuk

kdtxA

dx=

−. Dengan mengintegralkan kedua ruas, kita peroleh

.

)ln()ln(

kt

ktc

eCAx

eexA

cktxAcktxA

kdtxA

dx

−

−−

−=

=−

−−=−+=−−

=−∫ ∫

dengan A ,B, dan k konstanta positif serta x= f(t) menyatakan jumlah kuantitas pada

saat t. Hasil ini memberikan suatu fungsi pertumbuhan terbatas, karena

..

lim

)(lim)(lim

ACA

eCA

CeAtf

ktt

kttt

=−=

−=

−=

−

∞→

−

∞→∞→

0

Dengan demikian x = f(t) akan mendekati A dari kiri ( lihat gambar).

f(t)

A

A - C ktCeAtf −−=)(

0 t

Contoh 3 :

Untuk menempuh ujian, seorang mahasiswa belajar tergesa-gesa selama 3 jam untuk

menguasai 60 fakta. Menurut ahli psikologi, laju ingat seseorang berbanding lurus

dengan jumlah fakta yang harus diingat. Jika pada mulanya tidak ada fakta yang

diingat oleh mahasiswa tersebut dan mahasiswa itu mampu mengingat 15 fakta dalam

20 menit pertama, maka :(a) berapa banyak fakta yang mampu diingat dalam 1 jam ?.

(b) Mampukah mahasiswa tersebut mengingat 60 fakta dalam 3 jam?


31

Penyelesaian :

Misalkan jumlah yang akan dihafal adalah x fakta dalam t menit, maka dipunyai

persamaan )( xkdtdx

−= 60 , dimana k konstanta positif dan x < 60 untuk setiap t.

Dengan demikian kita peroleh

ktCex −−= 60 .

Karena x = 0 saat t = 0 , maka diperoleh C = 60.

t 0 20 60 180

x 0 15 ? ?

Dengan mengganti C dengan 60, kita peroleh

.ktex −−= 6060

Karena x = 15 bila t = 20 , maka

750

60601520

20

,=

−=−

−

k

k

e

e

sehingga diperoleh

.),(

)(20

20

7506060

6060 20

t

tkex

−=

−= −

(a). Untuk t = 60,

.,,

),(),(

)(

68753431252560

421875060607506060

60603

20 2060

=−=−=−=

−= − kex

Jadi dalam 1 jam mahasiswa tersebut mampu menghafal 34 fakta.

(b). Dalam 180 menit,


32

.,,

),(),(

)(

49491555050813460

075084688060607506060

60609

20 20180

=−=−=−=

−= − kex

Dengan demikian mahasiswa tersebut hanya mampu menghafal 55 fakta dalam

waktu 3 jam, artinya mahasiswa tersebut tidak mampu menggingat 60 fakta dalam

3 jam.

( Berapa waktu yang diperlukan mahasiswa tersebut untuk dapat menghafal ke-60

fakta?)

Soal Latihan 2.6 :

1. Di dalam suatu pembiakan bakteri, laju pertumbuhan bakteri berbanding lurus

dengan jumlah bakteri yang ada. Jika mula-mula ada 2000 bakteri dan

jumlahnya menjadi dua kali lipat setelah 20 menit, berapa lama waktu yang

diperlukan agar jumlah bakteri menjadi 1.000.000 ?

2. Seorang pekerja baru di bagian produksi dapat melakukan tugas khusus

sedemikian rupa sehingga jika diproduksi x satuan tiap hari setelah t hari dalam

bagian produksi , maka )( xkdtdx

−= 90 , dimana k suatu konstanta positif

dan x < 90 untuk semua 0≥t . Pada hari pekerja itu mulai bekerja telah 60

satuan diproduksi, dan setelah bertugas 5 hari pekerja itu memproduksi 75

satuan setiap hari, maka

a. Selesaikan persamaan )( xkdtdx

−= 90 ( Petunjuk : ubah persamaan

ke bentuk dtkx

dx=

− )(90, kemudian selesaikan dengan

mengintegral kedua ruas ).

b. Berapa satuan yang diproduksi oleh pekerja itu setiap hari setelah ia

bekerja 9 hari? ( Petunjuk : gunakan persamaan pada jawaban (a)).


33

c. Perlihatkan bahwa pekerja itu menghasilkan hampir 90 satuan setiap

hari setelah bekerja selama 30 hari?

3. Dalam kimia, hukum aksi massa memberikan suatu terapan pengintegralan

penggunaaka pecahan parsial. Berdasarkan syarat-syarat tertentu terbukti bahwa

suatu larutan A bereaksi dengan larutan B untuk membentuk larutan C dengan

cara sedemikian sehingga laju perubahan jumlah C sebanding dengan perkalian

dari sisa jumlah A dan sisa jumlah B pada setiap waktu yang diberikan.

Singkatnya, jika x adalah jumlah zat C yang terbentuk pada t satuan waktu,

maka diperoleh persamaan

))(( xbxakdtdx

−−= atau dtkxbxa

dx=

−− ))((, k konstanta

a. Jika a = 10 dan b = 8, selesaikan integral ∫ ∫=−−dtk

xxdx

))(( 810..

b. Yakinkan anda bahwa hasil no.3 dapat dinyatakan dengan

kteKxx 2

810

=−− , K konstanta.( ingat ,lnlnln

BABA =− dan jika

kBA=ln maka ke

BA= ). Dengan demikian jika dalam 10 menit

terbentuk 2 gram larutan C, berapa larutan C terbentuk setelah 20

menit ? ( Petunjuk : Terlebih dahulu substitusikan t = 0 , x = 0 untuk

mendapatkan K ).

Documents

TEKNIK PENGINTEGRALAN - relifline.files.wordpress.com fileDengan aturan di atas, maka kita dapat menyelesaikan ∫3x2 1+x3dx dengan mengambil u =1+x3, sehingga diferensial u adalah