Upload
danamath
View
62
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
ĐẠI SỐ 11
GV:Phan Nhật Nam
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
TRONG LƯỢNG GIÁC
0 cos
sin
0
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRONG LƯỢNG GIÁC
Công thức được sử dụng trong bài viết:
1. Công thức nhân đôi :
2. Công thức nhân ba :
3 33 3sin 4sin 3 4cos 3cossin a a a cos a a a
3. Công thức hạ bậc :
4. Công thức biến đổi tích thành tổng
Phương pháp chung:
Sử dụng các công thức trên để quy phương trình lượng giác về phương trình bậc 2,
bậc 3 theo một biến.
Các dạng toán thường gặp:
Loại 1: Phương trình bậc 2, bậc 3 theo sin hoặc cos
Phương pháp chung: Sử dụng công thức nhân đôi, nhân ba để quy phương trình về dạng phương
trình bậc hai, bậc ba theo sin hoặc theo cos :
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình : cos2 5sin 2 0x x
Giải :
2 21 2sin 5sin 2 0 2sin 5sin 3 0pt x x x x
2 2 2 2
2 2sin cos
2 cos sin 2cos 1 1 2sin
sin a a a
cos a a a a a
2 21 cos 2 1 cos 2
2 2
a asin a cos a
)sin()sin(2
1cos.sin
)cos()cos(2
1sin.sin
)cos()cos(2
1cos.cos
bababa
bababa
bababa
Sử dụng CT: để quy
về
PT bậc 2 theo sinx (vì pt chứa bậc lẻ )
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com
Đặt sint x 1,1t
2
3 ( )
2 5 3 0 1
2
t loai
pt t tt
261
sin72
2 26 6
x k
x
x k k
Ví dụ 2: Giải phương trình : 4 6cos cos2 2 sin 0x x x
Giải :
2 31 cos 2 1 cos 2
cos 2 2 02 2
x xpt x
3 2cos 2 1
cos 4cos 5cos 2 0 2 2cos 2 2 ( ) 2 4
xx x x x k x k
x VN
Ví dụ 3: Giải PT : cos2 cos4 cos6 cos cos3 cos2 2x x x x x x
Giải :
Ta có:
2cos4 cos2(2 ) 2cos 2 1x x x
3cos6 cos3(2 ) 4cos 2 3cos2x x x x
21 1cos3 .cos cos 4 cos 2 2cos 2 1 cos 2
2 2x x x x x x
Khi đó phương trình tương đương:
2 3 21cos2 (2cos 2 1) (4cos 2 3cos2 ) cos2 (2cos 2 cos2 1) 2
2pt x x x x x x x
3 2
2
cos 2 12cos 2 cos 2 cos 2 2 0
2cos 2 3cos 2 2 0 ( )
xx x x
x x VN
cos2 1 2 2x x k x k
Ví dụ 4: Giải phương trình : xx 3cos3
cos8 3
Các biểu thức :
cos4 ,cos6 ,cos3 .cosx x x x
đều có thể quy về cos2x
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
Giải:
Đặt: 3 3
t x x t
3 38cos cos3 8cos cos 33
pt t t t t
3 38cos cos3 cos sin3 sin 8cos cos3t t t t t
3 38cos 4cos 3cos 0t t t
312cos 3cos 0t t
1cos (1)
2
cos 0 (2)
1cos (3)
2
t
t
t
22
23(1) 3
222
3
t kx k
x kt k
(2)2 6
t k x k
223
(3) 22
2 33
x kt k
x kt k
Vậy PT có 5 họ nghiệm: 23
x k
, 2x k , 6
x k
, 2x k và 2
23
x k
Loại 2: Phương trình thuần nhất:
Dấu hiệu nhận dạng: phương trình có tất cả các số hạng đều ở dạng bậc lẻ hoặc cùng ở dạng bậc chẵn
Cách tính bậc: ˆ ˆtan cot 0n nBac x Bac x , ˆ cos sinn mBac x x n m
Công thức thường dùng: sin sin
tancos cos
nnn
n
x xx
x x
, 2
2
1tan 1
cosx
x (*)
Dạng cơ bản:
Dạng 1: 2 2sin sin cos cosa x b x x c x d
Dạng 2: 3 2 2 3sin sin cos sin cos cos sin cos 0a x b x x c x x d x m x n x
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
Phương pháp chung :
Xét cos 0x thay vào phương trình ta sẽ có 1 trong 3 khả năng sau:
sin 1 22
pt x x k
. Phương trình có nghiệm 22
x k
sin 1 22
pt x x k
. Phương trình có nghiệm 22
x k
sin 1pt x (mâu thuẫn vì 2 2sin cos 1x x )
Xét cos 0x . Chia hai vế phương trình cho cosn x (với n là bậc cao nhất của phương trình)
Sử dụng các công thức (*) để quy phương trình về dạng bậc 2 hoặc bậc 3 theo tan x
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình : 02
3sin5
2cos
2
5sin2)3(sin3 22
xxxx
Giải:
Ta có: sin(3 ) sin3 cos cos3 sin sinx x x x
2
2 25 5 5sin sin cos cos sin cos
2 2 2x x x x
cos cos cos sin sin sin2 2 2
x x x x
2
22 23 3 3sin sin cos cos sin cos cos
2 2 2x x x x x
2 23sin 2cos sin cos 0pt x x x x
Với cos 0x ta có phương trình trở thành
23sin 0 sin 0x x (mâu thuẫn vì 2 2sin cos 1x x )
Với cos 0x . Khi đó chia 2 vế của pt cho 2cos x ta có phương trình tương đương :
2 2
2 2 2
sin cos sin cos3 2 0
cos cos cos
x x x x
x x x
2
tan 14
3tan 2 tan 1 0 11tan
arctan33
x kx
x xx
x k
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
Vậy phương trình có hai nghiệm 4
x k
và 1
arctan3
x k
Ví dụ 2: Giải phương trình : 01cossin3sin2 xxx
Giải:
Với cos 0x phương trình trở thành
2sin 1 0( )x VN (mâu thuẫn vì 2 2sin cos 1x x )
Với cos 0x . Khi đó chia 2 vế của pt cho 2cos x ta có phương trình tương đương sau:
2
2 2
2 2 2
sin cos sin 13 0 tan 3tan tan 1 0
cos cos cos
x x xx x x
x x x
2
tan 14
2 tan 3tan 1 0 11tan
arctan22
x kx
x xx
x k
Vậy phương trình có hai nghiệm 4
x k
và 1
arctan2
x k
Ví dụ 3: Giải phương trình : xx sin24
sin3
Giải:
3
31sin cos 2 sin sin cos 4sin
2pt x x x x x x
3 2 3 3sin 3sin cos 3sin cos cos 4sin 0x x x x x x x
Với cos 0x phương trình trở thành
3 2
2
sin 0sin 4sin 0 sin 4 sin 0
sin 4
xx x x x
x
(mâu thuẫn vì 2 2sin cos 1x x )
Với cos 0x . Khi đó chia hai vế của phương trình cho 3cos x ta có pt tương đương sau:
3 2 2 3
3 3 3 3 3
sin sin cos sin cos cos sin3 3 4 0
cos cos cos cos cos
x x x x x x x
x x x x x
2 2 2tan 3tan 3tan 1 4tan tan 1 0x x x x x
3 23tan 3tan tan 1 0x x x
2tan 1 3tan 1 0 tan 14
x x x x k
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
Vậy phương trình có nghệm 4
x k
Ví dụ 4: Giải phương trình : x
xxcos
1cossin3
Giải:
Điều kiện: cos 02
x x k
2
2
sin cos 13 3 tan 1 tan 1
cos cos cos
x xpt x x
x x x
2tan 0
tan 3 tan 0tan 3
3
x kx
x xx kx
Vậy phương trình có hai nghiệm : x k và 3
x k
Loại 3: Phương trình đối xứng theo sin, cos
Dấu hiệu nhận dạng: phương trình chứa sin và cos có vai trò tương đồng nhau.
Dạng cơ bản:
Dạng 1: 0)cossin;cos(sin xxxxf (1)
Dạng 2: 0)cossin;cos(sin xxxxf (2)
Phương pháp chung:
Đặt :
2
1cossin2,2
4sin2cossin
2
1cossin2,2
4sin2cossin
2
2
txxxxxt
txxxxxt
0)2
1;()2(
0)2
1;()1(
2
2
ttf
ttf
Giải phương trình theo t ta có được nghiệm t. Từ đó suy ra nghiệm x
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình : xxx 2sin2
3cossin1 33
Giải:
2 2 31 sin cos sin sin cos cos 2sin cos
2pt x x x x x x x x
1 sin cos 1 sin cos 3sin cosx x x x x x
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
Đặt : 2 1
sin cos 2 sin 2 , 2 sin cos4 2
tt x x x x x
2 2
3 2 21 11 1 3 3 3 5 0 1 2 5 0
2 2
t tpt t t t t t t t
1
1 6( ) 1 2 sin 14
1 6( )
t
t loai t x
t loai
21
sin sin 24 42
2
x kx
x k
Vậy phương trình có hai nghiệm: 22
x k
và 2x k
Ví dụ 2: Giải phương trình : 14
sin22sin
xx
2sin cos 2 sin 14
pt x x x
Đặt : 2 1
sin cos 2 sin 2 , 2 sin cos4 2
tt x x x x x
2
20 (1)1
2 1 01 (2)2
ttpt t t t
t
(1) 2 sin 0 sin 04 4 4
x x x k
21
(2) 2 sin 1 sin 24 4 2
2
x kx x
x k
Vậy phương trình có 3 nghiệm là: 4
x k
, 22
x k
và 2x k
Loại 4: Phương trình đối xứng theo tan, cot
Dạng: (tan cot ) 0n nf x x
Phương pháp chung:
Đăt: 2 2sin cos 1 2
tan cotsin cos sin cos sin 2
x xt x x
x x x x x
Quy tất cả các số hạng của phương trình theo biến t
Ví dụ minh họa : Giải phương trình : 6cotcotcottantantan 3232 xxxxxx
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
Giải:
Điều kiện: cos 0
sin 2 0sin 0 2
xx x k
x
Đăt: 2 2sin cos 1 2
tan cotsin cos sin cos sin 2
x xt x x
x x x x x
Khi đó ta có:
22 2 2tan cot tan cot 2 tan cot 2x x x x x t
33 3 3tan cot tan cot 3tan cot (tan cot ) 3x x x x x x x x t t
3 2 3 23 2 6 0 2 8 0pt t t t t t t t
2
2
2 22 3 4 0 2
sin 23 4 0 ( )
tt t t
xt t VN
sin 2 14
x x k
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 4
x k
Loại 5 : Phương trình đa thức theo tan:
Dạng: (tan ,sin 2 ,cos2 , 2 ) 0f x x x tam x
Phương pháp chung:
Đặt : tant x
Ta có : 2
2 22 2 2 2
2
2sin cos
2sin cos 2 tan 2cossinsin cossin cos tan 1 1
cos
x x
x x x txxx xx x x t
x
Tương tự ta có : 2
2
1cos 2
1
tx
t
,
2
2tan 2
1
tx
t
2
2 2 2
2 1 2, , , 0
1 1 1
t t tpt f t
t t t
Ví dụ minh họa: Giải phương trình : xxx tan1)2sin1)(tan1(
Giải:
Điều kiện: cos 02
x x k
Đặt : tant x
Ta có : 2
2 22 2 2 2
2
2sin cos
2sin cos 2 tan 2cossinsin cossin cos tan 1 1
cos
x x
x x x txxx xx x x t
x
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com
3 2
2 2
02(1 ) 1 1 0
1 1 0( )
ttpt t t t t t
t t t VN
tan 0x x k
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x k
Loại 6 : Phương trình đối xứng bậc chẵn theo sin, cos
Dạng: 2 2sin cos 0n nf x x
Công thức áp dụng:
4
4cos32sin
2
11cossin21cossin 22244 x
xxxx
8
4cos352sin
4
31cossin31cossin 22266 x
xxxx
32
)4cos1(
2
4cos112sin
8
12sin1cossin
24288 xx
xxx
64
)4cos1(5
2
)4cos1(512sin
16
52sin
4
51cossin
2421010 xx
xxx
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình : xx 2coscossin 44
Giải:
Ta có : 4 4 2 2 21sin cos 1 2sin cos 1 sin 2
2x x x x
2 211 sin 2 cos 2 2 (1 cos 2 ) 2cos 2
2pt x x x x
2cos 2 2cos2 1 0 cos2 1 2 2x x x x k x k
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x k
Ví dụ 2: Giải phương trình : ( )
√
Giải:
Điều kiện:
22 4
sin32
24
x k
x
x k
(*)
Ta có : 6 6 2 2 23sin cos 1 3sin cos 1 sin 2
4x x x x
0 cos
sin
0
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com
232 1 sin 2 sin cos 0
4pt x x x
2
sin 2 1
3sin 2 sin 2 4 0 2 242 4sin 2 ( )
3
x
x x x k x kx VN
Kết hợp với điều kiện (*) ta có: 5
24
x k
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bái 1: Giải phương trình :
a. 03cos32sinsin 22 xxx f. x
xxcos
1cos6sin4
b. 2
5sin2cos4cossin34 22 xxxx g. xx tan22sin31
c. 2
3 4 2sin 22 3 2(cotg 1)
sin 2cos
xx
xx
h. xx sin2
4sin2 3
d. 0cossinsin3cos3sin4 233 xxxxx i. x
xxxx
2cos2
cos4sin5cos2sin6 3
e. xx 3cos)3
(cos8 3
Bái 2: Giải phương trình :
a. 1cossin)cos(sin2 xxxx g. 3
10
sin
1sin
cos
1cos
xx
xx
b. 12sin7cossin xxx xxxx cossin13
32cossin
c. 212sin)cos)(sin21( xxx 1)cos(sin23cos3sin xxxx
d. 0cottancos
1
sin
1)2sin2(2
xx
xxx
e. Tìm m để phương trình : 02sin)cos(sin xxxm có nghiệm
f. Tìm m để phương trình : mxxx )sin(cos42sin có nghiệm
Bái 3: Giải phương trình :
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com
a. xx 2coscossin 44 e. 6 6sin cos cos4x x
b. 16
7cossin 66 x f. xx 2sin
4
1cossin 266
c.
g. 06sin3)1cos(sin16 66 xx
d. Tìm m để phương trình : 02sin4
12coscossin 244 mxxx có nghiệm
Bái 4: Giải phương trình :
a. cos2 5sin 6 0x x i. 8
9
4sin
4sinsin 444
xxx
b. xxx 2cossincos 64 k. 0sin22sin3sin xxx
c. 14cos2cos2cos4 xxx l. 0cos2sin3sin 2 xxx
d. 3
4coscos 2 x
x m. 16coscos32 6 xx
e. 5
4cos3
5
3cos21 2 xx
n. xxxx 4sin432cos4cos6cos
f. 2 2 2sin cos 2 cos 3x x x o. xxx 2sinsin816cos 24
g.
2
3
10sin
2
1
210
3sin
xx p.
4sin.2sin
43sin
xxx
h. xx 3cos3
cos8 3
Bái 5: Giải phương trình :
a. 2 cos 2 tan2
xx d. √
b. 72cos22cossin
)3sin1(3
x
xx
x e. xxx tan1)2sin1)(tan1(
c. xx 2sin2tan31 f. xxx 2tan2tancot