Fabiano J. Santos

6

2.1. Relações Trigonométricas Elementares

Antes de examinarmos com mais detalhes Séries Trigonométricas da forma (11) do Capítulo

01 investigaremos algumas propriedades importantes das funções que a definem. Comecemos

relembrando, da trigonometria elementar, as fórmulas para o seno e cosseno da soma e da diferença:

seno da soma:

)sen()cos()cos()sen()sen( bababa , (1)

cosseno da soma:

)sen()sen()cos()cos()cos( bababa , (2)

seno da diferença:

)sen()cos()cos()sen()sen( bababa , (3)

cosseno da diferença:

)sen()sen()cos()cos()cos( bababa . (4)

A partir destas obtemos três outras relações que utilizaremos adiante no cálculo de algumas

integrais.

Fazendo (2) + (4) obtemos:

)cos()cos(2)cos()cos( bababa , (5)

Fazendo (1) - (3) obtemos:

)sen()cos(2)sen()sen( bababa , (6)

Fazendo (4) - (2) obtemos:

)sen()sen(2)cos()cos( bababa , (7)

2.2. Relações de Ortogonalidade1

Teorema: se *, znm (inteiros positivos), então:

nmL

nmdt

L

tn

L

tmL

L,

,0coscos

;

(8)

(9)

1 Maiores detalhes ortogonalidade ver Capítulo 05 – Álgebra Linear com Aplicações – Steven J. Leon – Quarta

Edição – Editora LTC.

Capítulo 02

7

nmdtL

tn

L

tmL

L

,,0sencos

;

nmL

nmdt

L

tn

L

tmL

L,

,0sensen

.

(10)

As relações (8), (9) e (10) são chamadas relações de ortogonalidade e mostram que as

funções

L

xmcos e L

xnsen

formam um conjunto ortonormal com relação ao produto escalar

L

L

dttgtfL

gf )()(1

, ,

(11)

definido para o espaço vetorial LLC , .

As relações de ortogonalidade nos mostram que:

i) quando nm , as funções L

tmcos e L

tnsen são ortogonais, pois (11) se anula,

ii) quando nm , as funções L

tmcos e L

tnsen são unitárias, pois (11) torna-se unitário.

Provaremos a relação (8) e deixamos (9) e (10) a como exercício (problemas 03 e 04).

Prova de (8):

Caso nm : utilizando a relação (05) podemos escrever:

L

L

L

L

dtL

tn

L

tm

L

tn

L

tmdt

L

tn

L

tm coscos

2

1coscos

L

L

dttL

nmt

L

nm )(cos

)(cos

2

1

Fabiano J. Santos

8

=

L

L

tT

nm

nm

Lt

L

nm

nm

L

)(sen

)(

)(sen

)(2

1

0)(sen)(sen)(

)(sen)(sen)(2

1

nmnmnm

Lnmnm

nm

L

,

pois como m e n são inteiros ( nm ), temos que nm e nm são inteiros não nulos. Como

o seno de múltiplos inteiros de é zero, todas as parcelas na última igualdade se anulam.

Caso nm : nesta caso (8) fica:

L

L

L

L

dtL

tndt

L

tn

L

tm 2coscoscos

L

L

L

LL

tn

n

Ltdtt

L

n

2sen

22

12cos1

2

1

Lnn

LLn

n

LL

2sen

22sen

22

1

pois uma vez que n é inteiro os senos se anulam.

2.3. Séries Trigonométricas Novamente

Voltemos agora às séries trigonométricas da forma

1

0 sencos

n

nnL

tnb

L

tnaa

,

(12)

na qual observamos que todas as infinitas parcelas da série são periódicas de período LT 2 . No

conjunto de valores para t onde (12) converge, ela define uma função periódica f de período

LT 2 . Dizemos então que (12) é a Série de Fourier 2 para f e escrevemos

1

0 sencos)(

n

nnL

tnb

L

tnaatf

,

(13)

2 Jean Baptiste Joseph Fourier, Físico-Matemático francês (1768 – 1830). Fourier utilizou séries da forma (13) em seu

famoso trabalho "Théorie Analytique de la Chaleur", onde estudou os fenômenos de condução de calor.

Capítulo 02

9

onde os coeficientes ,...,,...,,, 21210 bbaaa são chamados Coeficientes de Fourier da Série de

Fourier de f .

2.4. Determinação dos Coeficientes de Fourier

Agora nosso próximo objetivo é: dada uma função f periódica de período LT 2 ,

determinar os Coeficientes de Fourier para esta função em particular. Em outras palavras,

determinar a Série de Fourier para uma dada função. Para tal fim lançaremos mão das relações de

ortogonalidade anteriormente discutidas.

Determinação de 0a : integrando ambos os membros de (13) sobre o intervalo LL, obtemos3:

1

0 sencos)(

n

L

L

nn

L

L

L

L

dtL

tnb

L

tnadtadttf

L

Ln

nnL

L

L

LL

tn

n

Lb

L

tn

n

Latadttf

1

0 cossen)(

Lannn

Lbnn

n

LaLadttf

n

nn

L

L

0

1

0 2coscossensen2)(

,

pois os senos são nulos (múltiplos inteiros de ) e nn coscos . Logo

L

L

dttfL

a )(2

10 .

(14)

Observe que, geometricamente, o valor do coeficiente 0a é a razão da área algébrica sob a

curva em um período pelo tamanho do próprio período.

Determinação de na : multiplicando ambos os membros de (13) por

L

tmcos e integrando

ambos os membros sobre o intervalo LL, obtemos

3 Uma série de funções pode ser derivada e integrada termo a termo somente se esta for uniformemente convergente.

Este é o caso das Séries de Fourier. Veja os Capítulos 02 3 03 – Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais –

Djairo Guedes de Figueiredo – Quarta Edição – Editora do IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada).

Fabiano J. Santos

10

L

L

dtL

tmtf

cos)(

1

0 cossencoscoscos

n

L

L

n

L

L

n

L

L

dtL

tm

L

tnbdt

L

tm

L

tnadt

L

tma

onde a primeira integral do membro direito é nula (verifique os cálculos) e também a segunda

integral do do somatório, pela relação de ortogonalidade (9). Pela relação de ortogonalidade (8), a

primeira integral do somatório é nula se nm e vale L se nm . Assim, fazendo nm ,

obtemos

LadtL

tntf n

L

L

cos)( ,

donde

L

L

n dtL

tntf

La

cos)(

1.

(15)

Determinação de nb : multiplicando ambos os membros de (13) por

L

tmsen e integrando

ambos os membros sobre o intervalo LL, obtemos

L

L

dtL

tmtf

sen)(

1

0 sensensencossen

n

L

L

n

L

L

n

L

L

dtL

tm

L

tnbdt

L

tm

L

tnadt

L

tma

,

onde a primeira integral do membro direito é nula (verifique os cálculos) e também a primeira

integral do do somatório, pela relação de ortogonalidade (9). Pela relação de ortogonalidade (10), a

segunda integral do somatório é nula se nm e vale L se nm . Assim, fazendo nm ,

obtemos

LbdtL

tntf n

L

L

sen)( ,

donde

Capítulo 02

11

L

L

n dtL

tntf

Lb

sen)(

1.

(16)

Os relações obtidas em (14), 15) e (16) são chamadas Fórmulas de Euler-Fourier, e se

destinam ao cálculo dos Coeficientes de Fourier da série (13) para uma dada função f . Estas três

relações serão os nossos principais instrumentos de cálculo a partir de agora.

Problemas

01. Verifique a relação (02).

02. A partir da relação (02) verifique as relações (01), (03) e (04).

03. Verifique a relação (9). (Sugestão: utilize a relação 06 e integre)

04. Verifique a relação (10). (Sugestão: utilize a relação 07 e integre. Atenção: deve-se verificar os

dois caos: nm e nm )

05. Refaça (cuidadosamente) todos os cálculos para a determinação de (14), (15) e (16).