Capítulo 01

1

1.1. Funções Periódicas.

Definição: uma função RRf : é dita periódica se existe um número não-nulo RT ,

tal que

)()( tfTtf , (1)

onde o valor T é chamado período de f .

O gráfico de uma função periódica é obtido pela repetição de qualquer intervalo de

comprimento T :

Observações:

i) o período T é o comprimento do intervalo em t necessário para a função se repetir;

ii) apesar de a definição (1) admitir períodos negativos, por uma questão de simplicidade

trabalharemos somente com períodos positivos, ou seja, sempre teremos 0T ;

iii) segue também de (1) que, se f é periódica de período T , então para qualquer *Zn

(inteiro positivo) temos

)()( tfnTtf , (2)

ou seja, qualquer múltiplo inteiro nT de T também é um periodo de f . O menor valor de T

que satisfaz (1) é chamado período fundamental (ou período primitivo) e qualquer outro período de

f será um múltiplo inteiro do período fundamental. A figura a seguir ilustra tal conceito:

;

iv) a freqüência f de uma função periódica é definida como o inverso de seu período:

Fabiano J. Santos

2

T

1 ,

e nos dá o número de repetições (ciclos) em cada intervalo unitário em t . Se t é medido em

segundos então a freqüência é o número de ciclos por segundo (Hertz). Um outro tipo de

freqüência utilizada é a freqüência angular, dada por 2;

v) o inverso do período fundamental é chamado freqüência fundamental.

Exemplo 01: a função )sen(ty é periódica com período fundamental 2T e período n2

(n inteiro positivo), conforme ilustra o gráfico

Exemplo 02: a função )cos(ty é periódica com período fundamental 2T e período n2

(n inteiro positivo), conforme ilustra o gráfico

Capítulo 01

3

Exemplo 03: a função constante ctfy )( tem como período qualquer valor 0T , e não

possui período fundamental.

As duas proposições a seguir nos dão duas propriedades importantes das funções periódicas,

as quais utilizaremos freqüentemente.

Proposição 01: seja f uma função periódica de período T , então:

i) )(atf , 0a , é periódica de período a

T;

ii) )(b

tf , 0b , é periódica de período bT .

Provas:

i) ).()]([)( ** aTatfTtafatf

Fazendo atu , obtemos )()( *aTufuf . Logo pela hipótese concluímos que

TaT * donde a

TT * .

ii) )()](1

[)(*

*

b

T

b

tfTt

bf

b

tf .

Fazendo b

tu , obtemos )()(

*

b

Tufuf . Logo pela hipótese concluímos que T

b

T

*

donde bTT * .

Proposição 02: sejam f e g duas funções periódicas com o mesmo período T e a e b duas

constantes reais quaisquer. A função h definida por

)()()( tbgtafth , (3)

também é periódica de período T .

Prova: aqui a prova é muito simples e pode ser obtida diretamente de (3), a saber

)()()()()()( thtbgtafTtbgTtafTth .

Fabiano J. Santos

4

Exemplo 04: de acordo com a proposição (01) temos os seguintes exemplos:

a) )2sen( t , )2cos( t período

b) )2sen( t , )2cos( t período 1

c) )2

sen(T

t , )

2cos(

T

t período T

Além disto, para todo *Zn (inteiro positivo) temos que as funções

)2

sen(T

tn e )

2cos(

T

tn

(4)

possuem ambas período T , haja vista qualquer múltiplo inteiro do período fundamental também

ser período. E pela proposição (2), a função

)2

cos()2

sen()(T

tnb

T

tnaxh

,

(5)

também possui período T .

Proposição 03: sejam nffff ,...,,, 321 funções periódicas de período T . Então a função

)(...)()()()( 321 tftftftfth n , (6)

dada pela combinação linear de nffff ,...,,, 321 também é periódica de período T . A prova é

análoga à da proposição (02) e pode ser obtida pelo princípio da indução.

1.2. Séries Trigonométricas.

Extrapolando a proposição (03), sejam ,...,...,,, 321 nffff funções periódicas de mesmo

período T , a série infinita dada por

...)(...)()()( 321 tftftftf n , (7)

define, nos pontos onde converge, uma função periódica de mesmo período T . Assim podemos

definir a função

...)(...)()()()( 321 tftftftfth n , (8)

tal que

Capítulo 01

5

)()( Tthth . (9)

Esta última afirmação será de crucial importância para nosso trabalho posterior, uma vez que

trabalharemos com séries infinitas da forma

1

)2

cos()2

sen(

nT

tn

T

tn ...)

2cos()

2sen(...)

2cos()

2sen(

T

tn

T

tn

T

t

T

t

(10)

denominada série trigonométrica. Observe que cada termo da série em (10) possui período T ,

desta forma, nos pontos onde a série converge ela define uma função periódica de período T .

Para conveniência nos cálculos, a partir de agora consideraremos LT 2 , onde L é

chamado meio-período. Com esta convenção a equação (10) torna-se

1

)cos()sen(

nL

tn

L

tn ...)cos()sen(...)cos()sen(

L

tn

L

tn

L

t

L

t

(11)

que será nossa forma trabalhável nos próximos capítulos.

Problemas:

1. Determine se cada uma das funções a seguir é ou não períódica. Caso seja determine também seu

período fundamental T e o meio-período L .

a) )sen(T

t b) )cos( t c) )2senh( t d) )tan( t

e) 2t f) )5sen( t g) )cos(mt h) te

i) )5sen()4sen()3cos( ttt j) )13

4cos()

11sen()

7

2sen()

3cos(

tttt

k) ,...3,2,1,0,122,1

212,0)(

n

ntn

ntntf

(sugestão: esboce o gráfico para alguns valores de n)

l) ,...3,2,1,0,122,1

212,)1()(

n

ntn

ntntf

n

02*. Seja RRg : uma função periódica de período T e integrável em toda a reta R . Mostre

que

Fabiano J. Santos

6

Tb

b

Ta

a

dttgdttg )()(

(ou seja, não importa em qual intervalo se dá a integração o valor será sempre o mesmo desde que o

tamanho deste intervalo seja o próprio período da função. Geometricamente isto é óbvio. Por quê?)