Serie de-taylor-y-maclaurin

Serie de Taylor y Maclaurin

Ing. Antonio Crivillero


¿Qué funciones tienen representación en serie de potencias?

¿Cómo podemos encontrar esas representaciones?

Suponiendo que f es cualquier función representable mediante una serie de potencias:

xf =)(


0)( caf =

+− )(1 axc+0c +− 22 )( axc +− 3

3 )( axc ...)( 44 +− axc Rax <−

xf =)('

1)(' caf =

+− )(2 2 axc+1c +− 23 )(3 axc ...)(4 3

4 +− axc Rax <−

xf =)(''

22)('' caf =

Rax <−+22c +−⋅ )(32 3 axc ...)(43 24 +−⋅ axc

xf =)('''

33 !332)(''' ccaf =⋅=

Rax <−

!

)()(

n

afc

n

n =

nnn cnncaf !...432)()( =⋅⋅⋅⋅=

+⋅ 332 c +−⋅⋅ )(432 4 axc ...)(543 25 +−⋅⋅ axc



!

)()(

n

afc

n

n =

Rax <−∑∞

=

−=0

)()(n

nn axcxf

Teorema: Si f tiene una representación (desarrollo) en forma de serie de potencias en a, esto es, si

Los coeficientes están expresados por la fórmula


+= )(af

∑∞

=

−=0

)(

)(!

)()(

n

nn

axn

afxf

+− )(!1

)('ax

af+− 2)(

!2

)(''ax

af...)(

!3

)(''' 3 +− axaf

+)0(f∑∞

=

==0

)(

!

)0()(

n

nn

xn

fxf +x

f

!1

)0('...

!2

)0('' 2 +xf


EJEMPLO 1 – Determina la serie de Maclaurin de la función f(x) = ex y su radio de convergencia

1)0( 0 == ef nSOLUCIÓN – Si f(x) = ex , de modo que para toda n.

En consecuencia, la serie de Taylor de f en 0 (esto es, la serie de Maclaurin) es

∑∞

=

=0

)(

!

)0(

n

nn

xn

f...

!3!2!11

32

++++ xxx∑∞

=

=0 !n

n

n

x

Para hallar el radio de convergencia, sea . Entonces

101

!

)!1(

11 <→

+=⋅

+=

++

n

x

x

n

n

x

a

an

n

n

n

!/ nxa nn =

De modo que, de acuerdo con la prueba de la razón, la serie converge para toda x y el radio de convergencia ∞=R


La conclusión a la que llegamos con el teorema 5 y el ejemplo 1 es que en caso de que ex tenga un desarrollo como serie potencias en 0, entonces

∑∞

=

=0 !n

nx

n

xe

Así pues, ¿cómo determinar si acaso ex posee una representación en forma de serie de potencias?

Investigaremos la pregunta más general: ¿en qué circunstancias una función es igual a la suma de su serie de Taylor? En otras

palabras, si f tiene derivadas de todos los órdenes, ¿cuándo se cumple?

∑∞

=

−=0

)(

)(!

)()(

n

nn

axn

afxf


Al igual que con cualquier serie convergente, esto significa que f(x) es el límite de la sucesión de sumas parciales. En el caso de las series de Taylor, tenemos que las sumas son

∑=

−=n

i

ii

n axi

afxT

0

)(

)(!

)()(

+= )(af +− )(!1

)('ax

af+− 2)(

!2

)(''ax

af nn

axn

af)(

!

)(... −+

Observará que Tn es un polinomio de grado n llamado polinomio de Taylor de grado n-ésimo, de f en a. Por ejemplo, la función exponencial f(x)= ex, resultado del ejemplo 1, indica que sus primeros tres polinomios de Taylor en 0 (o sus polinomios de Maclaurin) con n = 1,2 y 3 son


xxT +=1)(1!3!2

1)(32

3

xxxxT +++=

!21)(

2

2

xxxT ++=

)(1 xTy =)(2 xTy =

)(3 xTy =

xey =


En la figura 1 se trazan las gráficas de la función exponencial y de estos tres polinomios de Taylor.

)( )( xTLimxf nn ∞→

=

En general, f(x) es la suma de la serie de Taylor si

)()()( xTxfxR nn −=

Si ponemos

)()()( xRxTxf nn += y

0)( =∞→

xRLim nn

entonces se llama residuo de la serie de Taylor. Si pudiéramos demostrar que entonces se desprendería

)(xRn

=∞→

)( xTLim nn

)()( )( xfxRLimxf nn

=−∞→

[ ] =−∞→

)()( xRxfLim nn


Hemos demostrado el teorema que sigue.

Rax <−Cuando , entonces f es igual a la suma de su serie de Taylor en el intervalo

Teorema: Si f (x) = Tn(x) + Rn(x), donde Tn es el polinomio de Taylor de n-ésimo grado de f en a y

0)( =∞→

xRLim nn

.Rax <−

Desigualdad de Taylor: Si para , entonces el residuo Rn(x) de la serie de Taylor satisface la desigualdad

dax ≤−

1

)!1()(

+−+

≤ n

n axn

MxR

Mxf n ≤+ )()1(

dax ≤− para


Demostración

Mxf n ≤)(Para ver por qué es verdadero lo anterior en el n = 1, suponemos que .

En particular se tiene , de manera que para tenemosdxxa +≤≤

∫ ∫≤x

a

x

a

n dtMdttf )(

Mxf ≤)(''

Una antiderivada de f’’ es f’, de manera que en virtud de la parte 2 del teorema fundamental del cálculo, tenemos

)()(')(' axMafxf −≤− )()(')(' axMafxf −+≤ o

[ ]∫ ∫ −+≤x

a

x

adtatMafdttf )()(')(' Luego


2

)())((')()(

2axMaxafafxf

−+−≤−

2)(2

))((')()( axM

axafafxf −≤−−−

que Así ).)((')()()()()( Pero 11 axafafxfxTxfxR −−−=−=

21 )(

2)( ax

MxR −≤

Por un razonamiento semejante con , se obtieneMxf −≥)(''

Luego

21 )(

2)( ax

MxR −−≥

2

1 2)( ax

MxR −≤


EJEMPLO 2 – Escriba la serie de Maclaurin de sen x y demuestre que representa sen x para toda x.

SOLUCIÓN – Ordenamos nuestros cálculos en dos columnas:

xsenxf )( =

xsenxf )('' −=

xxf cos)(' =

0)0( =f

xxf cos)(''' −=

xsenxf )()4( =

0)0('' =f

1)0(' =f

1)0(''' −=f

0)0()4( =f


En vista de que las derivadas se repiten en ciclos de cuatro, podemos escribir la serie de Maclaurin de esta manera:

+)0(f +xf

!1

)0('+2

!2

)0(''x

f...

!3

)0(''' 3 +xf

)!12()1(

12

0 +−=

+∞

=∑ n

x n

n

n...!7!5!3

753

=+−+−= xxxx

Ya que ,sabemos que para toda x. De modo que podemos tomar M = 1 en la desigualdad de Taylor:

≤)(xRn =+

+1

)!1(nx

n

M

)!1(

1

+

+

n

xn

xxsenxf n cos o es )()1( ±+ 1 )()1( ≤+ xf n


Por la ecuación 10 el lado derecho de esta desigualdad se acerca a 0 cuando n→∞, de manera que |Rn(x)|→ 0 por el teorema del emparedado, se sigue que Rn(x)→ 0 cuando n→∞, de modo que sen x es igual a la suma de su serie de Maclaurin, por el teorema 8.

Para referencias futuras enunciamos el resultado del ejemplo 4.

xn

x n

n

n todapara )!12(

)1(12

0 +−=

+∞

=∑

...!7!5!3

753

+−+−= xxxxxsen


EJEMPLO 3 – (a) ¿Cuál es el máximo error posible al emplear la aproximación

SOLUCIÓN – a) Observará que la serie de Maclaurin

...!7!5!3

753

+++−= xxxxxsen

3.03.0 ≤≤− xCuando ? Use esta aproximación a fin de calcular sen 12ª, con seis decimales

(b) ¿Para qué valores de x esta aproximación tiene una exactitud de 0.00005?

!5!3

53 xxxxsen +−≈

Es alternante para todos los valores de x, distintos de cero, de modo que podemos aplicar el teorema de estimación de series alternantes. El error cometido al aproximar sen x mediante los tres primeros términos de la serie de Maclaurin es, cuando mucho


3.03.0 ≤≤− xSi , entonces , modo que el error es menor que

5040!7

77 xx +

3.0≤x

87

103.45040

)3.0( −×≈

Para calcular sen 12º, primero convertirnos a radiantes:

=

=

15180

12º12

ππsensensen

20791169.0≈

!5

1

15!3

1

1515

53

+

−≈ πππ


Por consiguiente, , con cinco decimales.

00005.05040

7

<x

(b) El error será menor que 0.00005 si

207912.0º12 ≈sen

821.0)252.0( o 252.0 7/17 ≈<< xx

Al despejar x, de esta desigualdad, obtenemos

De suerte que la aproximación dada posee una precisión de 0.00005 cuando |x| < 0.82 .


¿Y si hubiéramos empleado la desigualdad de Taylor para resolver el ejemplo 3? Dado que f (7)(x)= -cos x, tenemos y luego1)()7( ≤xf

De modo que se obtienen las mismas estimaciones que con el teorema de estimación de series alternantes.

7

6 !7

1)( xxR ≤

¿Y si recurrimos a métodos gráficos? En la figura 4 se exhibe la gráfica de

+−−= 53

6 120

1

6

1 )( xxxxsenxR

Y ahí se muestra que cuando . Es la misma estimación que obtuvimos en el ejemplo 3. Para la parte (b) deseamos que , de modo que graficamos y (figura 5) . Al poner el cursor en la intersección de la derecha, la desigualdad se satisface cuando . Es la misma estimación obtenida en la solución del ejemplo 3.


3.0≤x86 103.4)( −×<xR

)(6 xRy =00005.0)(6 <xR

82.0<x00005.0=y

8103.4 −×

)(6 xRy =

3.03.0− 0

00006.0

)(6 xRy =

11− 0

00005.0=y


Si en el ejemplo 3 se nos hubiera pedido aproximar sen 72º en lugar de sen 12º, habría sido más adecuado usar los polinomios de Taylor en en lugar de , ya que son mejores aproximaciones a los valores de sen x cuando x está próxima a . Observe que 72º es próximo a 60º, o radianes, y que es fácil calcular las derivadas de sen x en .

3/π=a0=a

3/π 3/π3/π


La Figura 6 representa la gráficas de las aproximaciones con polinomios de Taylor

A la senoide. Puede ver que, al aumentar n, Tn(x) es buena aproximación a sen x en un intervalo cada vez mayor.

!7!5!3)(

753

7

xxxxxT −+−=

xxT =)(1!3

)(3

3

xxxT −=

!5!3)(

53

5

xxxxT +−=

)(xseny =

1T 3T

5T7T


Uno de los empleos de este tipo de cálculos, como los de los ejemplos anteriores, se presenta en las calculadoras y computadoras; por ejemplo, cuando se oprime la tecla sen o ex en la calculadora, o cuando un programador emplea una subrutina para definir una función trigonométrica, exponencial o de Bessel, el cálculo en muchas máquinas es una aproximación polinomial. A menudo, se trata de un polinomio de Taylor modificado para repartir el error con más uniformidad en un intervalo.


EJEMPLO 4 – En la teoría especial de la relatividad de Einstein, la masa de un objeto se mueve a la velocidad v es

En donde m0 es la masa del objeto cuando está en reposo y c es la velocidad de la luz. La energía cinética del objeto es la diferencia entre su energía total y su energía en reposo:

22

0

/1 cv

mm

−=

20

2 cmmcK −=

20)2/1( vmK =

(a) Demuestre que cuando v es muy pequeña, en comparación con c, la ecuación para calcular K concuerda con la que se obtiene en la física clásica newtoniana:

(b) Emplee la desigualdad de Taylor a fin de estimar la diferencia entre estas expresiones para calcular K cuando |v| ≤ 100 m/s.

SOLUCIÓN – (a) Con las expresiones dadas para K y m, obtenemos

2022

202

02

/1cm

cv

cmcmmcK −

−=−=


−

−=

−

112/1

2

22

0 c

vcm

Con , la serie de Maclaurin de (1+x)1/2 se calcula con más facilidad como una serie binomial con k= -1/2. (Mientras que |x|<1 porque v < c.) Por consiguiente

22 / cvx −=

...!3

)2/5)(3/2)(2/1(

!2

)3/2)(2/1()2/1(1)1( 322/1 +−−−+−−+−=+ − xxxx

...)16/5()8/3()2/1(1 32 +−+−= xxx


Si v es mucho menor que c, todos los términos después del primero son muy pequeño en comparación con el primero. Si los omitimos, llegamos a

−

++++= 1...

16

5

8

3

2

11 y

6

6

4

4

2

22

0 c

v

c

v

c

vcmK

+++= ...

16

5

8

3

2

16

6

4

4

2

22

0 c

v

c

v

c

vcm

202

22

0 )2/1(2

1vm

c

vcmK =

≈

(b) Si , y M es un número tal que , entonces por la desigualdad de Taylor podemos escribir

( )[ ]11)( ,/ 2/120

22 −+=−= −xcmxfcvxMxf ≤)(''

21 !2

)( xM

xR ≤


Como y se tiene , tenemosm/s 100≤v2/520 )1(

4

3)('' −+= xcmxf

)( )/1001(4

3

)/1(4

3)(''

2/522

20

2/522

20 M

c

cm

cv

cmxf =

−≤

−=

Ahora, con ,/103 8 smc ×=

( ) 010

4

4

2/522

20

1 1017.4100

)/1001(4

3

2

1)( m

cc

cmxR −×<⋅

−⋅≤

( ) .102.4 010 m−×

Así cuando , la magnitud del error cometido al usar la expresión de Newton para la energía cinética es, cuando mucho

smc /103 8×=

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