UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CINCIAS FSICAS E MATEMTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA CLCULO II

Lista 15 1. Obtenha uma srie de Maclaurin para

cos x derivando a srie de Maclaurin para a funo

sen x . Tambm obtenha a srie de Maclaurin para a funo

sen x derivando a funo

cos x . 2. Determine a srie de Taylor para

sen x em

/ 6. 3. Obtenha uma srie de Taylor para

ex em 2, usando a srie de Maclaurin para

ex . 4. Obtenha uma srie de Maclaurin para

senh x . Use a srie encontrada para determinar a srie de Maclaurin para a funo

cosh x . 5. Use a srie de Maclaurin de

ln(1+ x) para encontrar a srie de Taylor para

ln x em 2. 6. Sabendo que

ln 2 = 0,6931 e usando a srie do exerccio anterior (5), determine

ln 3 com preciso de 3 casas decimais. 7. Analise o grfico da funo f, mostrado abaixo:

Usando os conhecimentos sobre sries de Taylor e derivadas, faa o que se pede: 7.1. Explique por que a srie

1,6 0,8(x 1) + 0,4(x 1)2 0,1(x 1)3 + ... no a srie de Taylor de f centrada em 1. 7.2. Explique por que a srie

2,8+ 0,5(x 2) +1,5(x 2)2 0,1(x 2)3 + ... no a srie de Taylor de f centrada em 2.

8. Expresse a srie de Maclaurin para as funes abaixo: 8.1.

f (x) = (1 x)2 8.2.

f (x) = ln(1+ x) 8.3.

f (x) = cos x 8.4.

f (x) = sen 2x 8.5.

f (x) = e5x 8.6.

f (x) = xex 8.7.

f (x) = senh x 8.8.

f (x) = cosh x 9. Expresse a srie de Taylor para as funes centradas no valor de a dado:

9.1.

f (x) = 1+ x + x 2; a = 2 9.2.

f (x) = x 3; a = 1 9.3.

f (x) = ex; a = 3 9.4.

f (x) = 1x ; a = 3

9.5.

f (x) = cos x; a = 9.6.

f (x) = sen x; a = 2 9.7.

f (x) = 1x

; a = 9 9.8.

f (x) = x2; a = 1

9.9.

f (x) = ln(x +1); a = 1 9.10.

f (x) = x3 ; a = 1 9.11.

f (x) = x; a = 4 9.12.

f (x) = 1x ; a = 1

9.13.

f (x) = cos x; a = 3 9.14.

f (x) = 2x; a = 0 10. Use as sries de Maclaurin conhecidas (slide 186) para obter a srie de Maclaurin para as funes abaixo: 10.1.

f (x) = sen x 10.2.

f (x) = cos(x / 2) 10.3.

f (x) = ex + e2x

10.4.

f (x) = ex + 2ex 10.5.

f (x) = x cos x2

2

10.6.

f (x) = x 2tg1(x 3)

10.7.

f (x) = sen2x

11. Use as srie binomial para determinar uma srie de potncias para as funes abaixo:

11.1.

f (x) = 1+ x 11.2.

f (x) = 1(1+ x)4 11.3.

f (x) = 1(2+ x)3

11.4.

f (x) = (1 x)2 / 3 11.5.

f (x) = x4 + x 2

11.6.

f (x) = x2

2+ x

12. Use a srie binomial para representar a funo

f (x) = 11 x 2

. Com a srie encontrada, determinar a srie de Maclaurin de

sen1x .

13. Use a srie binomial para representar a funo

f (x) = 11+ x4

como uma srie de potencias. Utilize a srie encontrada para estimar

11,14

com preciso de trs casas decimais

14. Calcule a integral indefinida como uma srie infinita:

14.1.

x cos(x 3)dx 14.2.

ex 1x dx

14.3.

cos x 1x dx 14.4.

arctg (x 2)dx 15. Use sries para aproximar a integral definida com preciso indicada:

15.1.

cos(x 3)dx trs casas decimais0

1 15.2.

[ tg1(x 3) + sen (x 3)]dx cinco casas decimais0

0,2

15.3.

1+ x 4 dx seis casas decimais0

0,4 15.4.

x 2ex 2dx trs casas decimais0

0,5

16. Estabelea uma serie de Maclaurin para

sen x , prove que ela representa

sen x para todo real x e utilize os dois primeiros termos no nulos de uma srie de Maclaurin para aproximar

sen (0,1) .

RESULTADOS LISTA 15 1.

sen x = (1)n x 2n+1

(2n +1)!n=0

= x x3

3! +x 55!

x 77! + ...

cos x = (1)n x 2n

(2n)!n=0

= 1 x2

2! +x 44!

x 66! + ...

2.

12 +

32 x

6

14 x

6

2

312 x

6

3

+148 x

6

4

+ ...

3.

ex = e2 (x 2)n

n!n=0

ex = e2.ex2 = e2 (x 2)n

n!n=0

4.

senh x = x2n+1

(2n +1)!n=0

= x + x3

3! +x 55! +

x 77! + ...

cosh x = x2n

(2n)!n=0

= 1+ x2

2! +x 44! +

x 66! + ...

5.

ln x = ln 2+ (1)n1(x 2)nn2nn=1

6.

ln 3= ln 2+ (1)n1

n2nn=1

= 1,0985

7. 7.1.

f ' (1) > 0

9.13.

12

32 x

3

14 x

3

2

+312 x

3

3

+148 x

3

4 ...

9.14.

2x = e(ln 2)x = (ln 2)n xn

n!n=0

10.

10.1.

(1)n 2n+1.x 2n+1(2n +1)!n=0

10.2.

(1)n 2n .x 2n

22n.(2n)!n=0

10.3.

(2n +1)xnn!n=0

10.4.

(2(1)n +1)xnn!n=0

10.5.

(1)n x 4n+122n (2n)!n=0

10.6.

(1)n x 6n+52n +1n=0

10.7.

(1)n+122n1 x 2n(2n)!n=1

11.

7.2.

f ' ' (2) < 0 8.

8.1.

(n +1)xnn=0

;R = 1

8.2.

(1)n1 xn

nn=1

;R = 1

8.3.

(1)n x2n

(2n)!n=0

;R =

8.4.

(1)n 22n+1x 2n+1(2n +1)!n=0

;R =

8.5.

5n xnn!n=0

;R =

8.6.

nxnn!n=0

= nxn

n!n=1

= xn

(n 1)!n=1

;R =

8.7.

x 2n+1(2n +1)!n=0

;R =

8.8.

x 2n(2n)!n=0

;R =

9. 9.1.

f (x) = 7 + 5(x 2) + 22! (x 2)2 +

03! (x 2)

3 +0n! (x 2)

n

n=4

ou f (x) = 7 + 5(x 2) + (x 2)2

9.2.

f (x) = 1+ 3(x +1) 62! (x +1)2 +

63! (x +1)

3 ou

f (x) = 1+ 3(x +1) 3(x +1)2 + (x +1)3

9.3.

e3 (x 3)nn!n=0

9.4.

(x + 3)n3n+1n=0

9.5.

(1)n+1(x )2n(2n)!n=0

9.6.

(1)n (x / 2)2n(2n)!n=0

9.7.

(1)n 1.3.5. ... .(2n 1)(x 9)n

2n.32n+1.n!n=0

9.8.

(1)n (n +1)(x 1)nn=0

9.9.

ln 2+ (1)n1(x 1)n2n+1.nn=1

9.10.

1+ 13 (x 1) + (1)n1 2.5.8. ... .(3n 4)(x 1)n

3n.n!n=2

9.11.

2 + 14 (x 4) + 2 (1)n1 1.3.5. ... .(2n 3)(x 4)n

2.4.6. ... .(2n).4nn=2

9.12.

(1)n (x 1)nn=0

11.1.

1+ x2 + (1)n 1.3.5. ... .(2n 3)xn

2n n!n=2

11.2.

(1)n (n +1)(n + 2)(n + 3)xn

6n=0

11.3.

(1)n (n +1)(n + 2)xn

2n+4n=0

11.4.

1 2x3 21.4.7. ... .(3n 5)xn

3n n!n=2

11.5.

x2 + (1)

n 1.3.5. ... .(2n 1)x 2n+123n+1n!n=1

11.6.

x2

+ (1)n 1.3.5. ... .(2n 1)xn+2

22n+1/ 2n!n=1

12.

f (x) = 11 x 2

= 1+ 1.3.5. ... .(2n 1)x2n

2n n!n=1

sen1x = x + 1.3.5. ... .(2n 1)x2n+1

(2n +1)2n n!n=1

13.

f (x) = 11+ x4

= 1 x4 + (1)n 1.5.9. ... .(4n 3)xn

4n.n!n=2

11,14

= 0,976

14.

14.1.

C + (1)n x6n+2

(6n + 2)(2n)!n=0

14.2.

C + xn

n.n!n=1

14.3.

C + (1)n x2n

2n(2n)!n=1

14.4.

C + (1)n x4n+3

(4n + 3)(2n +1)n=1

15. 15.1.

0,932 15.2.

0,0008 15.3.

0,40102 15.4.

0,036 16.

sen x = (1)n x 2n+1

(2n +1)!n=0

sen 0,1 = 0,099833