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lucas-garcia-borges
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REVISÃO DE MATEMÁTICA1. TEORIA ELEMENTAR DOS CONJUNTOS☐ São representados por chave: A= {2,4,6,8, 10 ...}.☐ Método da compreensão: A= {conjunto universo de x / propriedades características}.☐ n ( A∪B )=n ( A )+n ( B )−n ( A ∩ B )☐ n ( A∪B∪C )=n ( A )+n ( B )+n (C )−n ( A∩ B )−n ( A ∩C )−n ( B ∩C )+n(A ∩B ∩C ).☐ A∪B= {x|x∈ A OU x∈B }☐ A ∩ B= {x|x∈ A∧x∈B}
2. RELAÇÔES E FUNÇÔES☐ Uma relação recebe o nome de função se, e somente se, para todo elemento de a,
existe um único elemento associado em B.☐ ∀ x∈a ,∃umúnico y∈B.☐ Domínio: projeção no eixo das abscissas (x) / imagem: projeção no eixo das
coordenadas (y).☐ Função injetora: todos os elementos do domínio possuem imagem diferente.
∀ x1 ≠ x2⇒ f (x1)≠ f (x2)☐ Função sobrejetora: conjunto-imagem=contradomínio. Não há elemento y que não
corresponda a um x☐ Função bijetora: injetora e sobrejetora. Cada elemento y corresponde a somente um
elemento x
3. FUNÇÃO AFIM (1ºGRAU)☐ f ( x )=ax+b☐ Seu gráfico representa uma reta.☐ a>0 gráfico crescente a<0 gráfico decrescente
4. FUNÇÃO DE 2º GRAU
☐ f ( x )=ax2+bx+c≡a ( x−x1 ) .(x−x2)☐ Seus gráficos são as parábolas☐
Vértice: v=(−b2a
;− Δ4a
).
☐x1+ x2=
−ba
x1. x2=ca
5. FUNÇÃO EXPONENCIAL
f ( x )=ax ;a>0ea≠ 1
anam=an+m ; (an )m=anm; a1n=n√a ; n√an={ a ,n par
|a|,∧n ímpar Na função exponencial:
a>1, a função f é crescente 0<a<1, a função fé descrescente
6. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
F : R+¿¿→ R ;f ( x )=loga x, a>0e a≠1¿
log a (b . c )=loga b+log ac loga( bc )=logab−loga c
log( A¿¿ c)(B d)=d
clogA B¿
7. FUNÇÃO MODULAR
{ |x|=x se x≥ 0|x|=−x se x≤ 0
√ x2=¿ x∨¿ |x|+|y|≥∨x+ y∨¿ Construção de gráficos: dividindo-se o gráfico em vários intervalos ou por meio de
transformações geométricas. Para x≥ 0 o gráfico segue a função, para x<0 o gráfico se inverte.
|x|≥k⟺x ≥ k ou x≤−k |x|≤k⟺−k ≤ x≤ k
8. TRIGONOMETRIA
Grau e radiano: C=2 πR=2π rad=360º AB={α∈ R|AB=α+2kπ ;K∈Z };∨k∨representaonúmerode voltas
9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Seno: ∀ x∈R , sen x=sen (x+2kπ );k∈Z
f ( x )=a+b . sen (cx+d ) {a→deslocamento vertical
b⟶alteraaamplitude A2=b A1
c⟶afetao período P=2π|c|
d⟶deslocamento horizontal ac .=−dc
Cosseno: ∀ x∈R ;cos x=cos ( x+2kπ ) ;k∈Z
Página2
f ( x )=a+b .cos (cx+d ){a→deslocamento vertical
b⟶alteraaamplitude A2=b A1
c⟶afetao período P=2π|c|
d⟶deslocamento horizontal ac .=−dc
relação fundamental da trigonometria : sen2 x+cos2 x=1 , ∀ x∈R
10. FUNÇÕES CIRCULARES
tgθ= senθcosθ
cotg x= cos xsen x
sec x=cos−1 x cossec x=sen−1 x 1+(cot x )2=(cossec x)2
1+¿¿
11. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS Seno da soma: sen (a + b) = sen a . cos b + cos a . sen b Subtração de senos: sen (a – b) = sen a . cos b – cos a . sen b Cosseno da soma: cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b Subtração de cossenos: cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b Tangente da soma: tan ( a+b )=¿¿¿ Subtração de tangentes: tan ( a−b )=¿¿¿ Arcos duplos: sen (2x )=2 sen x .cos x cos (2x )=cos2 x−sen2 x
12. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sena=senb⇒ { a=b+2πk (côngruos)a+b=π+2kπ (simétricos )
cos a=cos b⇒{ a=b+2πk (côngruos)a+b=2kπ (replementos )
tg a=tg b⇒ {a=b+kπ
13. ANÁLISE COMBINATÓRIA
Arranjos com repetição: (arranjo )p ,r=p . p . p . p . p… p=pr
Arranjos: grupos dos elementos de A, tomados r a r, distintos: An , p=n!
(n− p )!;n≥ p
Permutações: grupos dos elementos de A, tomados r a r , tal que r=p: Pn=n!
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Combinações: seja a um A um conjunto de n elementos, chamamos de combinações os grupos dos n elementos tomados p a p, os subconjuntos de A constituídos de p elementos:
Cn , p=(np)= n !p ! ( n−p ) !
14. BINÔNIO DE NEWTON 1
1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1
( np−1)+(n
p)=(n+1p ) relação de Stifel
( x+a )n=∑i=0
n
(ni ) xn−ia i binômio de newton
T i+1=(ni )xn−i ai termo geral
15. TEORIA DAS PROBABILIDADES
A probabilidade decerto acontecimento A ,associado auma experiênciaaleatória , cujoespaço amostral é E , com A⊂E ,é dada por : P ( A )=n ( A )n ( E )
P ( A )+P ( A )=1 , sendo A oevento complementar de A P ( A∪B )=P ( A )+P ( B )−P ( A∩ B )∪ :OU ∩ : E Sabendo que B já ocorreu e que a probabilidade de A é pedida, pode-se calculá-la por:
P ( A|B )= P ( A ∩ B )P ( B )
Se P ( A|B )=P(A) então A e B são independentes entre si, logo P( A ∩ B)=P ( A ) .P(B)
16. PORCENTAGEM / ECONOMIA
Juros simples: Cn=C0(1+n .i %) Juros compostos: Cn=C0(1+i% )n
17. MÉDIAS
M A=x1+x2+x3+…+xn
n=x
M G=n√x1 . x2 . x3 .. xn
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MH= 1
( 1x1
+ 1x2
+ 1x3
+…+ 1xn
n ) M A ≥ MG ≥ MH ¿¿
18. ESTATÍSTICA
M ap=X1 P1. X2 P2… X N PN
P1+P2+PN Amplitude total: a diferença entre o maior e menor elemento do conjunto
Desvio médio: σ=∑i=1
n
¿ x i−x∨¿n¿
Desvio padrão: s=√σ=√∑i=1
n
¿ x i−x∨¿n ¿
19. PROGRESSÃO ARITMÉTRICA
PA.: termo geral: an=ap+r (n−p )
Soma termos: Sn=( a1+an )n
2 PG.: termo geral: an=a1 q¿
¿n−1
¿
Soma dos termos finitos: Sn=a1 .(q¿¿n−1)/(q−1)¿
Soma limite de uma pg.: S∞=a1
1−q
Relações: PA (a ;b ;c )⟺b=a+c2
PG ( a; b ;c )⟺b2=a . c
20. MATRIZ As matrizes são conjuntos cujos elementos estão dispostos em uma tabela. O produto
Amxn por Bpxq existe somente se p=n, e o resultado é a matriz Cmxq. O produto entre matrizes não é comutativo, ou seja, AB≠ BA.
Matriz inversa: AB=BA=I ⟺ A−1=B Principais propriedades: ( AB )t=A t .Bt ( AB )−1=A−1 .B−1 ( A+B )t=A t+Bt
Matriz identidade:I=[1 0 00 1 00 0 1]
21. DETERMINANTE Cálculo de determinantes:
detA=|a b cd e fg h i|⟹ (aei )+(bfg )+(cdh )−(ceg )−( fha)−(ibd )=detA
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Propriedades:
|a 0b 0|=0 ;|ka kb
c d |=k|a bc d|;|a b
a b|=0 ;|a+e bc+ f d|=|a b
c d|+|e cf d|;|a b
c d|=|a+b bc+d d|;detA=det At ; det A−1= 1
detA
22. SISTEMAS LINEARES Um sistema linear é uma equação matricial da forma: AX=B, onde A é a matriz dos
coeficientes e B a dos termos independentes. Se detA ≠ 0, o sistema linear é possível e determinado. Se detA=0, o sistema linear é indeterminado ou impossível. Todo sistema linear da forma AX=0, é chamado de sistema homogêneo. Todo sistema
desse tipo é possível. Escalonamento significa tornar o sistema linear em um sistema escalonado:
{2x+ y+4 z=52 y−8 z=3
z=2 Método de Cramer: as soluções de um sistema linear AX=B (m=n) são dados por:
x i=Di
D;∀ i∈N , tal que Di é o determinantede A e Dié odeterminate quese obtem trocandoa i−ésima colunade A pelacoluna dos termos independentes , amatriz B .
23. NÚMEROS COMPLEXOS
i= 2√−1 z=ai+b z∈R ,se a=0 z∈C ,se a≠0 ai+b≡ ci+d⟹a=c eb=d z=ai+b; z=ai−b ; z . z=a2+ y2
Representação no plano complexo, (ImXRe), z=|z|.¿
24. POLINÔMIOS
P ( x )≡∑i=0
n
an xn ≡axn+bxn−1+cxn−2+dxn−3+…+z x0
P ( x )≡ an ( x−x1) (x−x2 ) …(x−xn)
x1+ x2+…+xn=−ba
; (x1 . x2 )+(x1 . x2 )+…+( xn−1 xn )= ca
; (x1 . x2 . x3 )+…+(xn−2 xn−1 xn )=−da
; ....
Teorema do resto:oresto deuma divisãode P ( x ) por (ax−b )é igual aP (−ba
)
Teorema das raízes reais: se P (a ) .P (b )>0 , existeum número par de raízes reaisno intervalor ¿a ;b¿ se P (a ) .P (b )<0 , existeum número ímpar deraízesreaisno intervalo ¿a ;b¿
25. ÂNGULOS
Classificação quanto a soma: {complementares :90 ºsuplementares :180 ºreplementares :360 º
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26. TRIÂNGULOS
Congruências: { LAL (lado−ângulo−lado )ALA (ângulo−lado−ângulo )
LA AO(lado−ângulo−ângulo opostolado )LLL ( lado−lado−lado )
Um triângulo só existe se: os seuslados (a ,b , c ) tiveremarelação→|b−c|<a<b+c
27. SEGMENTOS PROPORCIONAIS
Semelhança de triângulos: cf=b
e=a
d=
h1
h2=k
Base média do triângulo:
seCN=BN eCM=AM ,logo MN é base médiade AB , e MN=AB2
28. PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO Baricentro (G):
{ponto deencontro dasmedianasde umtriânguloobaricentrodivide asmedianasnuma razão2 :1
Incentro (I):
{ponto deencontro dasbissetrizes internas do triângulotambém ocentrodacircunferênciainscrita
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Circuncentro (O):
{ponto deencontro dasmediatrizes(retas⊥aos lados)quandoo triângulo é retangulo,o circuncentro
está no pontomédio dahipotenusa
Ortocentro (H):
{¿ pontode encontrodas alturasdo triângulo
Triângulo equilátero: todos os seus pontos notáveis convergem em um só Lg
29. POLÍGONOS CONVEXOS
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer: Si=180 º (n−2) Soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer: Se=360 º
Ângulo interno: a i=180 º n−2n
Ângulo externo: ae=360 º
n
Número de diagonais: d=n (n−3 )
2
30. QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
Trapézio: quadrilátero que possui dois lados paralelos: {as bissetrizes de ângulos seguidos são perpendiculares
Paralelogramo: trapézio com lados opostos paralelos:
{ lados opostosiguaisângulos opostos congruentes
suas diagonais cruzam se no ponto médio Retângulo: paralelogramo que possui ângulos iguais, 90º: {diagonais congruentes Losango: paralelogramo que possui os lados iguais:
{diagonais bissetrizese perpendiculares Quadrado: losango e retângulo
31. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO a2=b2+c2 h2=mn b2=ma c2=na ah=bc
1b2 +
1c 2
= 1h2
Página8
32. RELAÇÕES NO TRIÂNGULO QUALQUER a2=b2+c2−2 bc cos Â
a
sen Â= b
sen B= c
sen C=2 R ; R: raioda circunferênciacircunscrita ao triângulo
33. CIRCUNFERÊNCIA
34. ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES
Triângulos: A=bh2
Triângulo equilátero: A=l2√3
2 Triângulo de lados (a;b;c) e perímetro 2p: A=√2 p( p−a)( p−b)( p−c ) Paralelogramo: A=bh
Trapézio: A=(ab ) . h2
Circulo: A=πR ²
Setor circular: A=π R2 α360 º
35. GEOMETRIA ANALÍTICA
Ponto: p ( x; y ) ;eixo x :abscissas eixo y :coordenadas Distância entre pontos: dab=√( xb−xa )2+ ( yb− ya )2
Ponto médio de um segmento AB: M ( ( xa+ xb )2
;ya+ yb
2 ) Condição de alinhamento entre A, B e C: | 1 1 1
xa xb xc
ya yb yc|=0
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Área de um triângulo ∆ABC: | 1 1 1xa xb xc
ya yb yc|. 1
2=A
Reta: {equaçãoreduzida : y=mx+q ; m :coeficiente angular ,q :co . linear
equaçãosegmentária : xp+ y
q=1; p=−c
aeq=−c
b
equação paramétrica:{x=f ( t )y=g ( t )
; t ∈R
Retas perpendiculares: mr .ms=−1
Distância ponto à reta: d P;r=|axo+byo+c|
√a2+b2
36. CÔNICAS
Circunferência: { dO ;P=R( x−a )2+ ( y−b )2=R ²
x2+ y2−2ax−2by+(a2+b2−R2 )=0
Elipse: {2a: eixomaior ,2b :e .menor ,2c : distância focalx1
a2 + y2
b2 =1 ;eixo maior pararelo àsabcissas
a2=b2+c ²
Parábola: { d F; P=d P;r=2 pa x2+b x+c=0
( x−xv )2=4 p ( y− y v)2;diretriz pararelaàsabcissas
Hipérbole: {2a: e . real ,2b :e . imaginário ,2c :distância focal , d :assíntotax2
a2 −y2
b2 =1 ,distância focal pararelaàs abcissas
c2=a2+b2
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37. PIRÂMIDES
{ apótema da pirâmide : a√32
apòtemadabase : a√36
volume : 13
. Ab .h
com secção : hH
=k ; àreamenoràrea maior
=k 2 , Vme .Vma
.=k ³
38. CONE E CILINDRO
cilindro :{g :geratriz , h :altura , r :raio dabaseàrea=2π r 2+2 πrh
volume=13 π r2 h
cone : { g2=h2+R ²Al=πRg; At=πR (g+R)
V=13
. π R2 h h
39. POLIEDROS CONVEXOS E TEOREMAS DE EULER V−A+F=2 Soma dos ângulos das faces: S=360º (V −2)
Equação do número de arestas: ∑i=3
n
nFn=2 A
Equação do número de arestas: ∑i=3
n
nPn=2 A ; P :ângulo poliédrico
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