GGE RESPONDE - VESTIBULAR – EsPCEx 2011 (MATEMÁTICA/PORTUGUÊS/REDAÇÃO)

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MATEMÁTICA Escolha a única alternativa correta, dentre as opções apresentadas, que responde ou completa cada questão, assinalando-a, com caneta esferográfica de tinta azul ou preta, no Cartão de Respostas 01. A represa de uma usina hidroelétrica está situada em uma região em que a duração do período chuvoso é 100 dias. A partir dos dados hidrológicos dessa região, os projetistas concluíram que a altura do nível da represa varia, dentro do período chuvoso, segundo a função Real

Em que N(t) é a altura do nível da represa, medido em metros, t é o número de dias, contados a partir do início do período chuvoso. Segundo esse modelo matemático, o número de dias, dentro do período chuvoso, em que a altura do nível da represa é maior ou igual a 12 metros é a) 40 b) 41 c) 53 d) 56 e) 60 Resolução: Faz-se 12)t(N em cada intervalo da função:

20t0

1285t

560

540t

6040t

20t Não faz parte do intervalo de definição:

20I0

50t20

50t12205t4

100t2

1001200

100t80t2

01200t80t2

,60t20 mas pelo intervalo de definição

50t20 t de 20 a 49 30 dias

100t50

122125

t3

25300

25525t3

225t3)1(225t3

525300t3

,75t3

225t

Mas pelo intervalo de definição:

75a50det75t50

26 dias Logo: 30 + 26 = 56 dias

02. Na figura abaixo, estão representados um sistema de eixos coordenados com origem O, o gráfico de uma função real do tipo f(x)=ax2+bx+c e o quadrado OMNP, com 16 unidades de área. Sabe-se que o gráfico de f(x) passa pelos pontos P e N, vértices do quadrado, e pelo ponto de encontro das diagonais desse quadrado. Assim, o valor de a+b+c é

a) 21 b)

23 c)

25

d) 22

e) 225

Resolução: Seja o gráfico da função:

M20

2

P

y

N

x

V

Se o lado do quadrado PMNO de área 16 2 = 16 = 4 Logo, os pontos: P(0,4); V(2,2) e N(4,4) pertencem a parábola acima e satisfazem a Lei y = ax2 + bx + c da função. (0,4) x = 0 y = 4 4 = a · 02 + b · 0 + c c = 4

(2,2) x = 2 y = 2 2 = a · 22 + b · 2 + 4 4a + 2b = -2 (2) (I) 2ª + b = -1

(4,2) x = 4 y = 2 4 = a · 42 + b · 4 + 4 16a + 4b = 0 (II) 4a + b = 0 (4)

Formando o sistema

)II(0ba4)I(1ba2

b = -4a em (I) 2a + (-4a) = -1 -2a = -1 a = ½ b = -2

Logo: x2x21)x(f 2

2542

21cba

03. Dada a expressão 2xx4

31

, em que x é um número real

qualquer, podemos afirmar que a) o maior valor que a expressão pode assumir é 3 b) o menor valor que a expressão pode assumir é 3

c) o menor valor que a expressão pode assumir é 811

d) o maior valor que a expressão pode assumir é 271

e) o menor valor que a expressão pode assumir é 91

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2

Resolução: O expoente é uma expressão do 2º Grau (ax2 + bx + c) com coeficiente a > 0. Logo admite valor máximo. E maximizando o

expoente, minimiza-se a potência 2xx4

31

já que a base está

entre 0 e 1. Valor máximo de 4x – x2:

a4yv

1601442

4

)1(416

yv

Logo, o valor mínimo de 2xx4

31

é:

811

31 4

ALTERNATIVA C

04. Sendo 62

bax , com log2 a = 4 e log2 b = 5, em que a e b

são números reais não nulos e diferentes de 1, então logx2 é igual a a) 16 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2 Resolução:

Seja 62

bax

Aplicando log2 em ambos os termos:

62

2x2 b

alogolog

6/122

2x )b/a(loglog

Aplicando propriedades:

b2

a2

x2 loglog2

61log

5log4log b

2a2

213

61]542[

61logx

2

2log21

2xlogSe 2

x

ALTERNATIVA E

05. O conjunto-solução da inequação 4x2

x )1x(log , no conjunto dos números Reais, é a) {x R 0 < x < 1 } b) {x R 0 x 1 } c) {x R 0 < x 1 } d) {x R -3 x 1 } e) {x R -3 x < 1 } Resolução:

4x2)1x(

xlog

Aplicando propriedade de logaritmo: 2log )1x(x

2)1x(x

Retornando a inequação: 4)1x( 2

)1(21x2 )1(2)1(1x)1(2

1211x12 (I) -3 < x < 1

Condição de existência (II)

2)1x(xlog

1x01x

0x1

Fazendo a interação

)II()I(

Logo, o conjunto solução é:

S = {x R| 0 < x < 1} ALTERNATIVA A

06. Considerando a função Real f(x) = (x – 1) x - 2, o intervalo real para o qual f(x) 2 é a) {x R x 3 } b) {x R x 0 ou x 3 } c) {x R 1 x 2} d) {x R x 2 } e) {x R x 1 } Resolução: Desenvolvendo o môdulo, a função pode ser escrita de outra forma:

2x,2x3x

2x,2x3x)x(f

2

2

2x,02xse,2x

2x,02xse,2x|2x|

2x),2x()1x(

2x),2x()1x(|2x|)1x(

Fazendo 2)x(F

P/ 2x 22x3x2

0x3x2

3xou0x

P/ x < 2 22x3x2 04x3x2

Não há raízes reais

Logo, o conjunto solução é:

}3xou0x|Rx{S ALTERNATIVA B

07. Considere a progressão aritmética representada pela

sequência

......60

59,6047,

127

. Se todos os termos dessa PA

forem representados num círculo trigonométrico, eles determinarão nesse círculo os vértices de um a) pentágono (5 lados) b) hexágono (6 lados) c) octógono (8 lados) d) decágono (10 lados) e) dodecágono (12 lados) Resolução:

,...60

59,60

47,127

36560

126047

6059r

I. volta = 360° = 2 = 10r

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PA: 1º termo = a1 2º termo = a1 + r 3º termo = a1 + 2r . . . II° termo = a1 + 10r I° termo = a1 + 10r + r aI e aII representam o mesmo ponto no círculo trigonométrico. Assim como d2 e d10, e assim por diante, ou seja os pontos diferentes vão de a1 até a10, dividindo o círculo em 10 parte iguais. ALTERNATIVA D 08. Os alunos de uma escola realizam experiências no laboratório de Química utilizando 8 substâncias diferentes. O experimento consiste em misturar quantidades iguais de duas dessas substâncias e observar o produto obtido. O professor recomenda, entretanto, que as substâncias S1, S2 e S3 não devem ser misturadas entre si, pois produzem como resultado o gás metano, de odor muito ruim. Assim, o número possível de misturas diferentes que se pode obter, sem produzir o gás metano é a) 16 b) 24 c) 25 d) 28 e) 56 Resolução: O número total de misturas de 2 dessas substâncias deve ser:

282

56!2!6

!678!2!6

!8C 2,8

O número de misturas que produzem gás metano é:

3!2!1

!3C 2,3

Logo, o número de misturas que não produzem gás metano é?

28 - 3 = 25

ALTERNATIVA C 09. Um menino, de posse de uma porção de grãos de arroz, brincando com um tabuleiro de xadrez, colocou um grão na primeira casa, dois grãos na segunda casa, quatro grãos na terceira casa, oito grãos na quarta casa e continuou procedendo desta forma até que os grãos acabaram, em algum momento, enquanto ele preenchia a décima casa. A partir dessas informações, podemos afirmar que a quantidade mínima de grãos de arroz que o menino utilizou na brincadeira é a) 480 b) 511 c) 512 d) 1023 e) 1024 Resolução: Casa : 1ª, 2ª, 3ª, 4ª, 5ª, 6ª. 7ª, 8ª, 9ª, 10ª, Nº grãos: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, x Se o menino colocou grãos na 16ª casa o menor valor de x é 1.

a1 = 1 q = 2 n = 9

n5151212

)12(11q

)1q(aS9n

1

ALTERNATIVA C

10. Para que o sistema linear

by2ax5yx2

seja possível e

indeterminado, o valor de a + b é: a) - 1 b) 4 c) 9 d) 14 e) 19 Resolução:

Cramer → p/s.p.t. preciso que

0y0x

0

2a12

A

b5

B

yx

x

= 0 → det A = 0 4 – a = 0 a = 4

x = 0 →

2b15

10 – b = 0 b = 10 Estes valores de a e b tem de satisfazer y = 0

ais)proporcion (filas 010452

y

Para s.p.i. – a = 4 e b = 10. Logo, a + b = 14 ALTERNATIVA D 11. A figura abaixo representa a planificação de um tronco de cone reto com a indicação das medidas dos raios das circunferências das bases e da geratriz. A medida da altura desse tronco de cone é

a) 13 cm b) 12 cm c) 11 cm d) 10 cm e) 9 cm Resolução:

Seção transversal → trapézio – base menor = diâmetro círculo menor

– base maior = diâmetro círculo maior – lado não paralelo – geratriz do tronco – altura = altura do tronco – isósceles

Pitágoras h0 : h2 + 52 = 132 h = 12 cm ALTERNATIVA B 12. Se forem tomadas ao acaso duas arestas de um prisma reto de bases triangulares, a probabilidade de que elas estejam em retas-suporte reversas é

a) 31 b)

32 c)

61

d)

41 e)

21

Resolução:

O prisma tem um total de 9 arestas. Para escolhermos 2 destas temos C9,2 maneiras.

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Agora vejamos as arestas que estão em retas-suporte reversas. Vamos chamá-los de arestas reversas. Considere a aresta AB da figura. Ela é uma aresta de base e é reversa a CF , DF e EF , ou seja, com a aresta AB formamos

três pares de arestas reversas: AB e CF ; AB e DF ; AB e EF . Isso acontece para cada aresta de base. No prisma da questão temos 6 arestas de base e, portanto, 18 pares de arestas reversas. Considere agora a aresta AD . Ela é uma aresta lateral e é reversa a BC e EF . Ou seja, com a aresta AD formamos dois

pares de arestas reversas: AD e BC ; AD e EF . Isso acontece para cada aresta lateral. No prisma da questão temos 3 arestas laterais e, portanto, 6 pares de arestas reversas. Com isso, temos um total de 24 pares de arestas. Porém, da mesma como contamos cada par foi contabilizado duas vezes o par AD e BC , por exemplo, foi contabilizado observando-

se a aresta AD e mais uma vez observando-se a aresta BC .

Assim, o número real de pares de arestas reversas é 122

24 .

Logo, 31

3612p

1/3 – A 13. Na figura abaixo, está representado um sólido geométrico de 9 faces, obtido a partir de um cubo e uma pirâmide. Sabendo que todas as arestas desse sólido têm medida , então as medidas da altura (distância do ponto V à face ABCD) e da superfície total desse sólido são, respectivamente,

a) 43 e 2

22 2

b) 53 e

222 2

c)

543 e

223 2

d) 53 e

22 2

e)

4

43 e

23 2

Resolução: Primeira parte – altura do sólido alt. Sólido = alt. cubo + alt. pirâmide alt. cubo → hc = alt. pirâmide → hp

v’ = prog. (V, plano EFGH)

phvv

como VHVEVFVG . A pirâmide é reta e portanto v’ é o centro do círculo circunscrito ao polígono da base,o quadrado EFGH. Nesse caso, então, v’ é encontro das diagonais HF e EG. Logo,

22GV

2EGVEG'V T

2EG VV’G

Pitágoras =

2p

22 h

22

2h

22p

22

hp

Segunda parte – área total do sólido Área total = área de 5 quadrado de 1 + área de 4 triângulos equiláteros de lado 2 1. AG = 2

2. 4

3A

2

T

534

345A 2

22

T

32

e B532

14. Os números das contas bancárias ou dos registros de identidade costumam ser seguidos por um ou dois dígitos, denominados dígitos verificadores, que servem para conferir sua validade e prevenir erros de digitação. Em um grande banco, os números de todas as contas são formados por algarismos de 0 a 9, na forma abcdef-xy, em que a sequência (abcdef) representa, nessa ordem, os algarismos do número da conta e x e y, nessa ordem, representam os dígitos verificadores. Para obter os dígitos x e y, o sistema de processamento de dados do banco constrói as seguintes matrizes:

120010121

A

zyx

B

)fe()dc()ba(

C

Os valores de x e y são obtidos pelo resultado da operação matricial A.B=C, desprezando-se o valor de z. Assim, os dígitos verificadores correspondentes à conta corrente de número 356281 são a) 34 b) 41 c) 49 d) 51 e) 54 Resolução: Número da conta

6c5b3a

1f8e2d

742

182653

)fe()dc()ba(

C

zy2y

zy2x

zyx

120010121

BA

(3) (2)

)1(

7zy24y

2zy2xCBA

(1) + (3) x – 2y + z + 2y – z = 5 x = 5 54 – E

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PORTUGUÊS

Escolha a única alternativa correta, dentre as opções apresentadas, que responde ou completa cada questão, assinalando-a, com caneta esferográfica de tinta azul ou preta, no Cartão de Respostas. Leia o texto abaixo e responda às questões de 15 a 25, referentes à Gramática e Interpretação de Texto.

15. Considere as palavras destacadas no período a seguir: “Começou a fatigar-se com a importância que o reumatismo assumira na vida do marido. E não se amolou muito quando ele anunciou que ia internar-se no hospital Gaffré e Guinle...” (linha 21) Elas introduzem, respectivamente, orações a) subordinada adjetiva restritiva e subordinada substantiva

objetiva direta. b) subordinada adjetiva explicativa e subordinada substantiva

subjetiva. c) subordinada adverbial causal e subordinada adjetiva

explicativa. d) subordinada substantiva subjetiva e subordinada adverbial

consecutiva. e) subordinada adjetiva restritiva e subordinada substantiva

completiva nominal.

ASSUNTO: ORAÇÕES SUBORDINADAS GABARITO: A COMENTÁRIO: As orações são pela ordem adjetiva restritiva e substantiva objetiva direta 16. “Ao aparecerem nele as primeiras dores, D. Laurinha penalizou-se, mas esse interesse não beneficiou as relações do casal.” (linha 11) Assinale a alternativa que contém a classificação sintática correta das orações do período transcrito acima. a) oração subordinada adverbial temporal reduzida de infinitivo /

oração principal / oração coordenada sindética adversativa b) oração subordinada adverbial causal reduzida de infinitivo /

oração coordenada sindética aditiva / oração principal c) oração subordinada adverbial consecutiva reduzida de

infinitivo / oração principal / oração coordenada sindética adversativa

d) oração principal / oração subordinada adverbial modal reduzida de infinitivo / oração coordenada sindética aditiva

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e) oração subordinada adverbial conformativa reduzida de infinitivo / oração principal / oração coordenada sindética adversativa.

ASSUNTO: PERÍODO COMPOSTO GABARITO: A COMENTÁRIO: As orações são respectivamente subordinada adverbial temporal reduzidando infinitivo, principal e coordenada sindética adversativa 17. “Começou a fatigar-se com a importância que o reumatismo assumira na vida do marido.” (linha 21). A palavra sublinhada indica um estado de a) fastio b) enjôo c) arrepio d) distração e) desconfiança ASSUNTO: SINÔNIMOS GABARITO: A COMENTÁRIO: Fatigar-se indica um estado de fastio, desinteresse. 18. No trecho, “Por falta de filhos, os dois viveram demasiado perto, sem derivativo” (linha 6), o termo sublinhado pode ser classificado morfologicamente como a) substantivo. b) adjetivo. c) advérbio. d) verbo. e) conjunção. ASSUNTO: MORFOLOGIA GABARITO: C COMENTÁRIO: “demasiado no contexto significa muito e desempenha função de advérbio de intensidade. 19. No trecho, “Ele chegava e saía curvado, sob a garra do reumatismo que nem melhorava nem matava.” (linha 29), os verbos sublinhados indicam, respectivamente: a) ação – ação – ação – ação b) ação – estado – ação – estado c) estado – ação – estado – ação d) estado – ação – ação – ação e) ação – ação – estado – ação ASSUNTO: VERBO GABARITO: A COMENTÁRIO: Os verbos chegar, sair, melhorar e matar são todos indicativos de ação intransitiva 20. No trecho, “– É tarde – respondeu Santos.” (linha 36), o sujeito do verbo sublinhado é a) indeterminado. b) indefinido. c) inexistente. d) oculto. e) simples. ASSUNTO: ANÁLISE SINTÁTICA GABARITO: C COMENTÁRIO: O verbo ser indicando tempo cronológico ou meteorológico é impessoal, ou seja, não tem sujeito. 21. O verbo comprazer-se (linha 12), de forma geral, é classificado como a) defectivo e só se usa nas formas nominais, ou seja, infinitivo,

gerúndio e particípio. b) abundante, havendo as formas “comprazera-me e comprouve-

me”. c) essencialmente pronominal como pentear-se, queixar-se e

matar-se. d) transitivo e só se usa com dois objetos: um direto e outro

indireto. e) regular com conjugação completa em todos os tempos do

modo Indicativo e Subjuntivo.

ASSUNTO: VERBO GABARITO: B COMENTÁRIO: O verbo comprazer-se em algumas pessoas possui formas duplas, o que pode caracterizá-lo como abundante 22. “...a outra realidade de Santos era tão destacada da sua, que o tornava outro homem, completamente desconhecido, irreconhecível.” (linha 48) Os termos sublinhados são a) núcleos do sujeito composto. b) núcleos do objeto direto. c) predicativos do sujeito. d) predicativos do objeto. e) adjuntos adverbiais. ASSUNTO: ANÁLISE SINTÁTICA GABARITO: D COMENTÁRIO: Os adjetivos desconhecido e irreconhecível são predicativos do objeto. 23. “A pessoa a que me refiro não é esta” (linha 51). A alternativa que classifica corretamente a palavra sublinhada é a) artigo definido. b) preposição. c) conjunção. d) palavra expletiva. e) pronome. ASSUNTO: MORFOLOGIA GABARITO: C COMENTÁRIO: Na frase “A pessoa a que me refiro” o segundo a é uma preposição exigida pelo verbo referir-se 24. Marque a alternativa em que há um verbo essencialmente pronominal. a) “Por dentro, sentia-se diferente, ...” (linha 3) b) “Santos doía-se de ser um objeto aos olhos de Dona

Laurinha.” (linha 8) c) “Não propriamente em queixar-se, mas em alegar que ia mal.”

(linha 12) d) “...quando ele anunciou que ia internar-se no hospital...”

(linha 22) e) “Dona Laurinha preocupou-se.” (linha 39) ASSUNTO: VERBO GABARITO: C COMENTÁRIO: Verbo essencialmente pronominal é aquele que só se conjuga acompanhado de um pronome, a exemplo de queixar-se, suicidar-se, atrever-se, arrepender-se, zangar-se, etc. 25. “Era conferente da Alfândega – mas isso não tem importância.” (linha 1) O narrador caracteriza, no trecho acima transcrito, o personagem, para, logo em seguida, dizer que tal classificação é irrelevante. Marque a alternativa que explica a razão dessa aparente contradição. a) Não é importante mencionar o cargo que o personagem

ocupava, pois a história envolve o ser humano e seus problemas mais profundos.

b) O texto trata de um indivíduo cujos problemas – tanto de saúde quanto familiares – não têm importância, já que era conferente da Alfândega.

c) O cargo que o personagem ocupava não era relevante para a história, pois não se tratava de uma posição de destaque na sociedade.

d) Não tem importância o personagem ser conferente da Alfândega porque a história é sobre a amante.

e) O autor propõe uma ironia: ser conferente da Alfândega e ter duas famílias.

COMENTÁRIO: Como o autor afirma, no primeiro parágrafo do texto, a história não tinha relação com classificação profissional: “pouco importa que nos avaliem pela casca.” ALTERNATIVA A

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Responda às questões de 26 a 28, referentes à Literatura Brasileira. 26. “Cultivado no Brasil por Machado de Assis, é uma narrativa voltada para a análise psicológica e crítica da sociedade a partir do comportamento de determinados personagens.” O texto acima refere-se ao romance a) sertanejo. b) fantástico. c) histórico. d) realista. e) romântico. COMENTÁRIO: O tipo de romance em que a principal proposta consiste na análise psicológica e crítica de seus personagens foi intitulado romance realista, o qual revelou Machado de Assis como seu maior expoente. ALTERNATIVA D 27. “É o período que caracteriza principalmente a segunda metade do século XVIII, tingindo as artes de uma nova tonalidade burguesa. Vive-se o Século das Luzes, o Iluminismo burguês, que prepara o caminho para a Revolução Francesa.” O texto acima refere-se ao a) Romantismo. b) Simbolismo. c) Barroco. d) Realismo. e) Arcadismo. COMENTÁRIO: O enunciado da questão situa o movimento literário na segunda metade do século XVIII (1751-1800) e indica que este se desenvolve num período de influência do Iluminismo, anterior, portanto, à Revolução Francesa. A única possibilidade de resposta para esta questão é o Arcadismo. ALTERNATIVA E 28. Quanto à Literatura Brasileira, assinale a alternativa correta. a) Os escritores românticos, contrários aos árcades, buscavam

uma forma mais objetiva de descrever a realidade, revelando os costumes, as relações sociais, a crise das instituições etc.

b) O racionalismo é uma característica presente tanto no Arcadismo, quanto no Realismo, em contraposição ao Barroco e ao Romantismo, respectivamente.

c) A publicação de “O Cortiço”, de Aluísio Azevedo, em 1881, marca oficialmente o início do Realismo no Brasil.

d) A linguagem objetiva, a perfeição formal e o universalismo são características presentes na poesia barroca.

e) Amor, solidão, pátria, índio, medievalismo são temas igualmente presentes na poesia épica de Gonçalves Dias e Castro Alves.

COMENTÁRIO: O Racionalismo é uma das características principais do Arcadismo e do realismo em oposição ao sentimentalismo presente no Barroco e no Romantismo. ALTERNATIVA B

REDAÇÃO

“O senhor... Mire veja: o mais importante e bonito, do mundo, é isto: que as pessoas não estão sempre iguais, ainda não foram terminadas – mas que elas vão sempre mudando. Afinam ou desafinam...”

(Guimarães Rosa) Posicione-se a respeito das ideias contidas no fragmento acima, desenvolvendo um texto dissertativoargumentativo. OBSERVAÇÕES: 1. Seu texto deve ter, obrigatoriamente, de 25 (vinte e cinco) a 30 (trinta) linhas. 2. Aborde o tema sem se restringir a casos particulares ou específicos ou a uma determinada pessoa.

3. Formule uma opinião sobre o assunto e apresente argumentos que defendam seu ponto de vista. 4. Não se esqueça de atribuir um título ao texto. 5. A redação será considerada inválida (grau zero) nos seguintes casos: – modalidade diferente da dissertativa; – insuficiência vocabular, excesso de oralidade e/ou graves erros gramaticais; – constituída de frases soltas, sem o emprego adequado de elementos coesivos; – fuga ao tema proposto; – texto ilegível; – em forma de poema ou outra que não em prosa; – linguagem incompreensível ou vulgar; – texto com qualquer marca que possa identificar o candidato; e – texto em branco ou com menos de 18 (dezoito) ou mais de 38 (trinta e oito) linhas. 6. Se sua redação tiver entre 18 (dezoito) e 24 (vinte e quatro) linhas, inclusive, ou entre 31 (trinta e uma) e 38 (trinta e oito) linhas, também inclusive, sua nota será diminuída, mas não implicará grau zero.

Comentário sobre a prova de Redação

O tema de redação foi composto a partir de uma frase de Guimarães Rosa a qual trata da constante mudança do ser humano. Um ser que nunca será terminado: está em contínuo aperfeiçoamento ou simples modificação.

Por essa proposta, o aluno pôde tratar de temas que destaquem ações positivas ou negativas do homem já que o próprio Rosa afirma: “as pessoas... afinam ou desafinam.” Por isso, foi possível trabalhar alguns feitos do homem, como, por exemplo, algumas descobertas científicas positivas (curas ou tratamentos para algumas doenças como a tuberculose, por exemplo) ou negativas (a criação da bomba atômica, por exemplo). Vale salientar também que o aluno pôde discutir, além de descobertas humanas, a contínua formação/adaptação do caráter dessa “metamorfose ambulante” que é o homem, como disse, certa vez, Raul Seixas.

Dessa forma, o aluno GGE provavelmente não teve dificuldades para redigir um bom texto dissertativo-argumentativo já que um tema (“O ser humano realmente evoluiu? Em que sentido?”), muito parecido com o da prova de Espcex, foi trabalhado, em sala, na turma Especial 2, o que forneceu suporte informacional aos alunos.