METODO D

I SOLU

ZIONE D

I

UN ESERCIZ

IO C

ON IL

FASCIO

DI P

ARABOLE.

PR

OF

. SI L

VA

NO

NA

TA

LI Z

I – C

LA

SS

E 3

A –

AN

NO

SC

OL

AS

TI C

O 2

01

3-

20

14

TESTO DELL’ESERCIZIO

Libro “Nuova Matematica” a colori 3 vol di Leonardo Sasso, editore Petrini

Pag. 443 n.290

“Utilizzando il metodo dei fasci, scrivi le equazioni delle parabole che soddisfano le condizioni assegnate” :

passa per i punti A(0,1) e B(-1,0) e stacca sull’asse x una corda di misura 2.

1) DALL’ANALISI DEL TESTO AL PROCEDIMENTO passa per i punti A(0,1) e B(-1,0)

Supponiamo che i due punti siano i due punti base di un fascio di parabole.

a) Pertanto la prima operazione da fare è quella di scrivere l’equazione del fascio con i due punti base assegnati A e B

2) DALL’ANALISI DEL TESTO AL PROCEDIMENTOe stacca sull’asse x una corda di misura 2.

Occorre determinare una corda della parabola sull’asse x

Pertanto è necessario Trovare le intersezioni del fascio di parabole con l’asse x Quindi scrivere la lunghezza del segmento corda Ed imporre che questa lunghezza misuri 2

3) DETTAGLIO DEL PROCEDIMENTO DELLA SOLUZIONEscrivere l’equazione del fascio con i due punti base assegnati

A e B

Conoscendo I punti base conviene:

trovare subito le due parabole degeneri

Scrivere I’equazione del fascio come combinazione lineare delle due parabole degeneri

4) DETTAGLIO DEL PROCEDIMENTO DELLA SOLUZIONETrovare le intersezioni del fascio di parabole con l’asse x

Si determinano I due punti di intersezione come funzioni del parametro k

x1=f(k) x2=g(k)

5) DETTAGLIO DEL PROCEDIMENTO DELLA SOLUZIONE scrivere la lunghezza del segmento corda

Si prende il valore assoluto della differenza dei due punti di intersezione x1 e x2

=

ATTENZIONE EVITARE I POSSIBILI ERRORI

Se non si introduce il valore assoluto e si scrive =

Si perdono delle soluzioni. Ossia si trova una sola soluzione anzichè due!

ATTENZIONE ALLE VARIANTI

Se il testo chiedesse di determinare la parabola che stacca una corda di lunghezza data, su di un asse obliquo di cui si conosce l’equazione della retta y=mx+q,

Allora dovrei fare il sistema tra il fascio di parabole e l’equazione di quella retta, ed i punti di intersezione P1(x1,y1), P2(x2,y2) avrebbero anche un’ordinata non nulla.

In tal caso quando scrivo la lunghezza del segmento della corda uso la formula della distanza di due punti:

Naturalmente questa formula si riduce al valore assoluto, quando I due punti hanno le ordinate nulle: =

6) DETTAGLIO DEL PROCEDIMENTO DELLA SOLUZIONEQuindi si uguaglia la lunghezza della corda al valore d dato dal

problema

=d

SVOLGIMENTO I

Le Parabole degeneri passanti per I punti base A(0,1) e B(-1,0)

le due rette verticali di ascissa 0 e -1:

x = 0 x(x+1)=0x =-1

La retta passante per I due punti A e B:

m = Δy/ Δx= (0-1)/(-1-0)=1

y-y1=m(x-x1) => y-1=x

y= x+1

SVOLGIMENTO II

L’equazione del fascio costruito con le generatrici parabole degeneri

Y=mx+q+k(x-x1)(x-x2)Sostituendo le equazioni delle parabole degeneri trovate:

y = x+1 + kx(x+1)

SVOLGIMENTO III

Per determinare le intersezioni con l’asse x

Faccio il sistema tra l’equazione del fascio e l’equazione dell’asse x

y = x+1 + kx(x+1) y = 0

PASSAGGI ALGEBRICI

x1= x2=

DISTINGUO DUE CASI: PRIMO CASO, PRIMO SOTTOCASO

a)Per k 1 si ha:

x1 x2

La lunghezza del segmento è: devo pertanto considerare due sottocasi Se , allora si ha =

PRIMO CASO, SECONDO SOTTOCASO

Se , allora non posso avere soluzioni perchè sto lavorando sempre nel

caso a) con k1

Pertanto nel primo caso non ci sono soluzioni.

SECONDO CASO, PRIMO SOTTOCASO

b) Per k 1 si ha:

x1 x2

La lunghezza del segmento è: devo pertanto considerare due sottocasi Se , allora si ha = Soluzione accettabile perchè positiva e minore di 1.

SECONDO CASO, SECONDO SOTTOCASO

Se , allora si ha =

Soluzione accettabile perchè k minore di zero e quindi anche di 1.

RIEPILOGO DELLE SOLUZIONI

Abbiamo quindi trovato due soluzioni accettabili:

K=1/3

K=-1

LE EQUAZIONI DELLE PARABOLE CERCATE 1.Sostituiamo k=1/3 nella equazione del fascio di parabole

y = x+1 + kx(x+1)

quindi otteniamo:

y = x+1 + x(x+1) ovvero y=

LE EQUAZIONI DELLE PARABOLE CERCATE 2.Sostituiamo k=-1 nella equazione del fascio di parabole

y = x+1 + kx(x+1)

quindi otteniamo:

y = x+1 -x(x+1) ovvero y=

FINE