Pág. 48-53

1. Hallar la longitud de arco de la hélice cónica C: a ( t )=[aeCos (T ) , aeSen (T ) , ae t ] desde el punto (0,0,0 ) hasta el punto A (a ,0 , a )

SOLUCION

La longitud de arco de una curva paramétrica

L=∫a

b

|f (t )|dt=∫a

b

√[ x ' (t )]2+[ y ' (t )]2+[ z ' (t )]2dx

Luego: a (t )=[ae' cos ( t ) , ae ' Sen (t ) , ae ' ] ,t∈(−∞,0)

a ( t )=¿

L=∫−∞

0

√a ' e ' [cos2 ( t )−2Sen (t ) cos ( t )+cos2 ( t )cos2+2Sen ( t )cos ( t )+cos2+1 ]dt

L=∫−∞

0 √a' e' [1+1+1] dt=∫−∞

0

aet √3dt=ae t√3∫−∞

0

¿ a√3

2. Calcular L, para la función vectorial definida por :a (t )=[aCos (t ) , aSen ( t ) , dt ]en0≤ t ≤π /2

SOLUCIONLa longitud de arco de una curva paramétrica:

L=∫a

b

! f ( t ) !dt=∫a

b

√ [ x ' (t )]2+[ y ' (t)]−2+[ z ' (t) ]−2dx

Luegoa ( t )=[aCos ( t ) , aSen (t ) , dt ]en0≤ t ≤π /2

a ' (t )=[−aSen (t ) , aCos ( t ) , c ]

L=∫0

X2

√[aSen (t)]2+ [aCos(t) ]2+c2dt=√a2+c2∫0

x2

dx=π √a2+c22

3. Encontrar la longitud de la curva definida por f (t )=[∫01 cos (θ)

√θdθ ,∫

0

1 Sen(θ)√θ

dθ ,4 √t ] entre t=1 y t=t , sabiendo que f (t) es el punto donde f ' (t 1) es paralelo al plano YZ ⟨1<¿1<2 ⟩.

SOLUCION

La longitud de arco de la curva paramétrica:

L=∫a

b

||f ( t )||dt=∫a

b

√ [ x ' (t )]2+ [ y ' (t)]2+[ z ' (t) ]2dt

Luego:

f (t)=[∫01 cos (θ )

√θdθ ,∫

0

1 Sen (θ )√θ

dθ ,4√ t ]0≤ t≪ t 1

f ' (t )=[ cos (t)√ t, Sen( t)

√ tdθ , 2

√2 ]L=√[ cos (t)√ t ]

2

+¿[ Sen(t )√ t ]2

+ 4tdt=∫

1

t1 √ cos2 ( t )+Sen (t )+4t

dt=∫0

t1 √5tt1+1

dt ¿

L=√5 t12

∮1

t 1

2√5 (√t 1−1 )

4. Una partícula se mueve en el plano XY según la ecuación x=e−2 t cos (3 t ) , y=e−2 t Sen(3t ) encuentra la trayectoria desde t=0 a t=π

SOLUCION

. La longitud de arco de la curva paramétrica:

L=∫a

b

! f ( t ) !dt=∫a

b

√ [ x ' (t )]2+[ y ' (t)]−2+[ z ' (t) ]−2dx

Luegof (t )=[ e−2t cos (3t ) , e−2t Sen (3 t ) ]0≤ t ≤π

f (t )=[−2e−2 t cos (3t )−3e−2 t Sen (3t ) ,−2e−2 tSen (3 t )+3e−2t cos (3 t )]

L=∫0

X

√[−2e−2 t cos (3 t )−3e−2 tSen (3 t ) ]1+[−2e−2 t Sen (3 t )+3e−2 t cos (3 t ) ]2dt

L=∫0

X

√e−2 t [4 cos2 (3 t )+12Sen (3 t )cos (3t )+9 Sen2(3 t)] dt

L=∫0

X

√e−2 t ¿¿¿

L=∫0

π

√e−4 t(4+9)dt=√13∫0

π

e−2πdt=√132

e−2 t|π0=√132

(1−e−2)

5. Considere la curva descrita por f (t )=[ t , aCh( ta ) , aSh( ta )] demuestre que la distancia a lo largo

de la curva desde (0, a, 0) hasta Pº en la curva es proporcional a la distancia de Pº al plano XY.SOLUCION

La longitud de arco de una curva paramétrica

L=∫a

b

||f ( t)||dt=∫a

b

√ [ x ' (t) ]2+ [ y ' (t)]2+[ z ' (t)]2dt

Luego

f ( t )=[ t , aCh( ta ) , aSh( ta )]0≤t ≤ pº

f ' (t )=[1 , Sh( ta ) ,Ch( ta )]

L=∫0

Pº √1+[Sh( ta ) ]1

+[Ch( ta )]−2

dt=∫0

Pº √[Sh( ta )]1

+[Ch( ta )]2

dt

L=√2∫0Pº

Sh( ta )dt=a√2Sh( ta ){Pº0 =a√2Sh( Pºa )

6. Sea la función r=g (θ) con derivada continua en t∈ ⟨a|b ⟩. Demuestre que la longitud de la curva

es L=∫a

b

√S2+(S2 )2dt

SOLUCION

La longitud d arco de una curva paramétrica:

L=∫a

b

|f (t )|dt=∫a

b

√[ X ' (t) ]2+¿ [Y '(t) ]2dt ¿

Luego y=rSen (θ ) , x=r cos (θ )

Y=Sen (θ )+cos (θ ); x '=cos (θ )−rSen (θ )

Arreglándolo según la expresión dada:

(x)2+( y)2=[r 'cos (θ )−rSen (θ)]2+ [rSen (θ )+rCos (θ)]2

(x)2+( y)2=¿ (r ')2 cos2 (θ )−r ' Sen(θ) [r 'cos (θ )−rSen (θ)]2+ [rSen (θ )+rCos(θ) ]2

r e ' Sen (θ )cos (θ )+(r )2 cos2(θ) (x)2+( y)2=(r ' )2+r2

Luego:

L=∫a

b

√[r ' ]2+ [r ]2dt=∫a

b

√ g2+[ g '2 ] dt Demostrado

7. Se la elipse descrita por x=aCos (t ) , y=bSen ( t ) , t∈ [0,2 x ] ,0<b<a . demuestra que la longitud

de la elipse es L=4a∫u

π2

√1−e2(t)dtdonde e es la excentricidad de la elipse.

SOLUCION

La longitud de arco de una curva paramétrica:

L=∫a

b

|f (t )|dt=∫a

b

√[ x '(t )]2+[ y ' (t )]2dt

Luego y=bSen (t ) , x=acos (t )

y=bcos ( t ) , x '=a Sen (t ) , Pero e= ca , c=ea , a2=c2+b2

a2=e2+a2+b2 b2=a2+(1−e2 )

Arreglando según la expresión dada:

(x2 )+( y2 )=[bCos(t)]2+[−aSen (t)]2

(x2 )+( y2 )=b2 cos2 ( t )+a2Sen2 (t )=a2 (1−e2 )cos2 (t )+a2Sen2 (t )

(x2 )+( y2 )=a2 cos2 ( t )−a2 e2cos2 ( t )+a2 [1−cos2(t)]

(x2 )+( y2 )=a2−a2 e2 cos2 (t )=a2 [1−cos2(t)]

Luego: 4 regiones si se considera 0≤ t ≤ π2

L=∫a

b

√[ x ' (t)]2+[ y ' (t) ]2dt=4∫0

π2

√a2 [1−e2cos2 (t )]dt

Demostrado

L=4∫0

π2

√a2 [1−e2cos2(t )]dt

8. Hallar la longitud de arco de la línea C : x2=3 y ,2xy=9 z desde el punto (0,0,0 ) hasta el punto (3,3,2) SOLUCION

Parametrizamos las ecuaciones dadas: x=t,

y= t 2

3, z= 2tt 2

3 (9)=2 t

2

27La longitud de arco de una curva paramétrica

L=∫a

b

|f (t )|dt=∫a

b

√[ x '(t )]−2+ [ y ' ( t)]−2+[ z ' (t)]−2dt

Luego

x=1 y= t2

3; z=2 t

2

27;0≤t ≤3

x '=1 y '= t 2

3;z '=2 t

2

27

L=∫0

3

√1+(2 t3 )2

+( 2t9 )2

dt=∫0

3

√ 81+36 t 2+4 t 481dt=¿∫

0

3 √ (2 t 2+9 )2

81dt ¿

L=∫0

3 √ (2t 2+9 )2

81dt=2 t

3

27+t {30=2+3=5