Bases Matemáticas para la Educación Primaria

Guía de Estudio

Tema 1: NÚMEROS NATURALES. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

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¿Cuántos alumnos hay en la clase?(Se pregunta a un alumno colocado al frente de la clase:)

(1) Halla la respuesta sin decir ninguna palabra, mentalmente.

(2) Escribe la solución en un papel; no la digas en voz alta.

• (OBSERVAR QUÉ HACE PARA HALLAR LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA)

(3) Explica cómo has encontrado la respuesta y justifica que esa es la solución

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(4) Halla cuántos alumnos hay en la clase. Ahora “contando” en voz alta.

• OBSERVAR LO QUE HACE Y DICE• Para “cuantificar” has debido “contar”

(enumerar), y para contar, has establecido una ordenación.

(5) ¿Qué lugar ocupas en esa ordenación?

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• Supongamos que tenemos que comunicar el “número de alumnos” de la clase a un extraterrestre, que obviamente no conoce el español, ni ninguna lengua hablada en la Tierra, ni tampoco los símbolos indoarábigos (0, 1, 2, …), ni los símbolos romanos, etc.

(6) ¿Cómo podríais comunicar a este personaje el tamaño de la clase?

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Solución del problema de cuantificación

¿Cuántos alumnos hay en la clase?• Decido un orden para hacer la enumeración

sistemática de los elementos (p.e., de principio al final, de derecha a izquierda).

• Cuento: uno, dos, tres, …(recitado mental, o verbal)

• El último número recitado, p. e., “noventa y uno”, es la solución del problema.

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SISTEMAS NUMERALES

Cuando comunicamos a otras personas, o a nosotros mismos, el tamaño o cantidad de elementos de un conjunto de objetos discretos podemos hacerlo usando diferentes recursos y procedimientos:

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1) En nuestra cultura occidental, actual, está generalizado el uso de las “palabras numéricas”, uno, dos, tres, …, y los símbolos numéricos indoarábigos, 1, 2, 3, ....

•Estas colecciones ilimitadas de palabras y símbolos son las que hemos usado para informar del “número de alumnos de la clase” (su tamaño o numerosidad).

•Para ello hemos debido aplicar un procedimiento riguroso de conteo, poniendo en correspondencia biyectiva (uno a uno) cada alumno de la clase con una, y solo una, palabra numérica recitadas en un orden establecido.

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Pastor primitivo quiere saber si han vuelto las mismas vacas que han salido

Principios del conteo (recuento)

• Principio del orden estable. Las palabras numéricas uno, dos, tres, ... deben recitarse siempre en el mismo orden, sin saltarse ninguna.

• Principio de la correspondencia uno a uno. A cada elemento del conjunto sometido a recuento se le debe asignar una palabra numérica distinta y sólo una.

• Principio de irrelevancia del orden. El orden en que se cuentan los elementos del conjunto es irrelevante para obtener el cardinal del conjunto.

• Principio cardinal. La palabra adjudicada al último elemento contado del conjunto representa, no sólo el ordinal de ese elemento, sino también el cardinal del conjunto.

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2) Pero antes de aplicar el procedimiento oral, o el escrito, hemos usado otro diferente: el “conteo mental”, para lo cual usamos una versión mental, imaginada, de cada una de las palabras o símbolos numéricos perceptibles.

•Debemos reconocer la existencia de unos objetos mentales que se corresponden con las palabras y los dígitos numéricos, que podríamos llamar “símbolos numéricos mentales”.

•En el conteo mental tenemos que poner también en correspondencia cada alumno de la clase con uno y solo uno de los símbolos numéricos mentales, respetando los “principios del recuento”.

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Pastor primitivo quiere saber si han vuelto las mismas vacas que han salido

3) En la fase de trabajo en equipo hemos utilizado otros medios de expresar el tamaño, numerosidad, número de elementos (o cardinal) del conjunto de alumnos de la clase.

•Por ejemplo:– La colección de marcas ///…, o cuadraditos, sobre el

papel, tantos como elementos tiene el conjunto.– Una combinación de símbolos para distintos

agrupamientos parciales (* para indicar diez alumnos, / para expresar una unidad).

– Etc.

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Sistemas numerales

Cada uno de estos “sistemas de objetos perceptibles” usados para expresar la “propiedad” de los conjuntos “número de elementos”, o cardinal, es un “sistema numeral”.

Para que efectivamente sirvan a este fin deben cumplir una serie de reglas, las cuales fueron sintetizadas por el matemático italiano Peano.

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Axiomas de Peano

1. A cada objeto le corresponde otro que se llama su siguiente o sucesor.

2. Existe un primer elemento, 1, que no es sucesor de ningún otro elemento.

3. Dos elementos diferentes de N no pueden tener el mismo sucesor (la función sucesor es inyectiva).

4. Todo subconjunto de N que contiene un primer elemento y que contiene el sucesor de cada uno de sus elementos coincide con N (principio de inducción).

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• El 1 es un número natural. • Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también

es un número natural. • El 1 no es el sucesor de ningún número natural. • Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor,

entonces n y m son el mismo número natural. • Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además

siempre se verifica que: dado un número natural cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A es precisamente el conjunto de todos los números naturales.

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• En principio cualquier colección ilimitada de objetos, cualquiera que sea su naturaleza,

• I, II, III, IIII, IIIII, ….• I, II, III, IV, V …• 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ….• Uno, dos, tres, …., once, doce, …. Mil, …

Un sistema numeral, siempre está organizado siguiendo los axiomas de Peano.

• Estos sistemas numerales se dice que son conjuntos naturalmente ordenados.

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Ejemplos:

NÚMEROS NATURALES• Ya sabemos lo que son los sistemas numerales, las reglas que

tiene que cumplir un conjunto de objetos para que se puedan usar como medio para CUANTIFICAR y ORDENAR colecciones de objetos.

• Pero entonces, ¿qué son los números naturales?• Una vez que tomamos conciencia de que, además de los

símbolos indoarábigos, 1, 2, 3, …, podemos usar una infinita variedad de “objetos” (perceptibles, manipulables, audibles, mentales, propiedades abstractas, …) para cuantificar y ordenar las colecciones finitas de otros objetos debe resultar conflictivo decir que los números naturales son los símbolos, 1, 2, 3, …

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• La única solución es decir que un número natural es un elemento de CUALQUIER SISTEMA NUMERAL y el conjunto de los números naturales será cualquier sistema numeral, no un sistema numeral particular.

• Ahora bien, como todo sistema numeral viene caracterizado por una estructura u organización recursiva específica (los axiomas de Peano) también podemos decir que el conjunto de números naturales se caracteriza por la estructura de cualquier sistema numeral.

• Cada número particular será un elemento de dicho sistema.

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• En la vida cotidiana y en la práctica escolar los números naturales se asimilan al sistema de símbolos y palabras numéricas, 1, 2, 3, …, uno, dos, tres, …, one, two, three, …, porque ciertamente estos sistemas numerales constituyen sistemas naturalmente ordenados.

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Otros usos de los números• Uso formal o algorítmico de los números:

Además de los usos como cardinal (para cuantificar) y ordinal (para ordenar) los números se usan de manera formal o algorítmica (se opera con ellos). Los números constituyen estructuras algebraicas definidas a partir de operaciones con ellos y las propiedades derivadas de dichas operaciones.

• Números y medida: Al medir una cantidad tomando otra como unidad se trata de hallar CUÁNTAS unidades hay en la cantidad a medir. Es un uso cardinal, aunque requiere aplicar nuevas técnicas para la medición.

• Usos no “numéricos”, los números como códigos o etiquetas (D.N.I., teléfonos, …)

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SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Tema 1: Números naturales. Sistemas de numeración

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Situación introductoria A• Un extraterrestre llega a la Tierra. Viene de una galaxia

lejana y su misión es contactar con los terrícolas e intercambiar información. Una vez superadas las dificultades de idioma el extraterrestre se interesa, entre otras muchas cosas, por el sistema de numeración escrito que se usa en la Tierra. Los hombres de la Nasa se lo explican y él comenta: "Ah! Es el mismo sistema que utilizamos nosotros, pero nosotros usamos solamente cuatro símbolos, el del cero ( ), el del uno ( ), el del dos ( ) y el del tres ( T )".

• A) ¿Cómo escribe el extraterrestre el número 9? • B) el 14; C) el 47; D) el 2356

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Situación B• El Parlamento Europeo, después de varios asesoramientos

científicos, decide cambiar el número de símbolos de nuestro sistema de numeración escrito. Las opciones que se barajan como mejores son la de utilizar sólo seis símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5) o la de utilizar doce símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B).

• (1) Mientras el Parlamento discute nosotros vamos a escribir los primeros 25 números en esos nuevos sistemas.

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …

BASE 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …

BASE 12

(2) ¿Cómo se escribiría el número 151(10 en las bases 6 y 12?

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Applet

http://www.cleavebooks.co.uk/scol/calnumba.htm

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_152_g_3_t_1.html

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Necesidad de aumentar el tamaño de las colecciones de objetos numéricos

La aparición en el Neolítico de sociedades estatales y del entramado administrativo que una sociedad de este tipo conlleva plantear la necesidad de: •obtener el cardinal de colecciones formadas por muchos objetos (colecciones muy numerosas). •recordar los cardinales correspondientes a muchas colecciones

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La contabilidad de un Estado exige la representación de números grandes y el almacenamiento de esos números de forma que sean fácilmente localizables. Pero eso supone:

•la invención de muchas palabras numéricas o la utilización de muchos objetos numéricos para representar grandes números.

•la búsqueda de sistemas de representación de los números (sistemas numerales) que permitan al receptor del mensaje entenderlo con rapidez.

•la búsqueda de sistemas de representación de los números que permitan guardarlos en memoria de forma duradera, accesible y ocupando poco espacio.

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Para resolver estas exigencias, las diferentes sociedades han creado sistemas de numeración compuestos por un pequeño número de signos que combinados adecuadamente según ciertas reglas sirven para efectuar todo tipo de recuentos y representar todos los números necesarios a esas sociedades.

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Para ello se han basado en dos principios:

• los signos no representan sólo unidades sino también grupos de unidades. A cada uno de esos grupos de unidades se le llama unidad de orden superior. Al número de unidades que constituye cada unidad de orden superior se le llama base del sistema de numeración.

• cualquier número se representa mediante combinaciones de los signos definidos en el sistema de numeración.

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Algunos ejemplos de sistemas de numeración escritos

a) Sistema jeroglífico egipcio

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b) Sistema chino

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Tipos de sistemas de numeración

a) Sistema aditivo regular •En este sistema se definen símbolos para la unidad, la base y las potencias de la base. El número representado se obtiene sumando los valores de los signos que componen su representación. •El sistema egipcio es un ejemplo de sistema aditivo regular de base 10

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a) Sistema aditivo regular

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¿243688?

b) Sistema multiplicativo regular • En él se definen símbolos para la unidad, la base, las

potencias de la base y todos los números comprendidos entre la unidad y la base.

• El número representado se obtiene multiplicando cada potencia de la base por el valor del símbolo que le precede y sumando los resultados junto con las unidades.

• Un ejemplo de este tipo de sistemas es el sistema chino de numeración que es un sistema multiplicativo regular de base 10

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b) Sistema multiplicativo regular

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c) Sistema posicional regular • En este sistema se definen símbolos para la unidad y los

números comprendidos entre la unidad y la base. También se define un símbolo, el cero, para indicar la no existencia de unidades. En cambio, no se definen símbolos específicos para la base, ni para las potencias de la base, representándose éstas por medio de combinaciones de los símbolos de la unidad y del cero.

• En estas condiciones, cada uno de los signos que componen la representación del número, dependiendo del lugar que ocupa, hace referencia a las unidades o a una determinada potencia de la base.

• El número representado se obtiene de la misma manera que en un sistema multiplicativo.

• Nuestro sistema de numeración escrito es un ejemplo de sistema posicional decimal

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Reglas de los sistemas de numeración posicionales

• Elegido un número b >1 como base del sistema de numeración, se utilizan b símbolos, llamados cifras o guarismos (0, 1, 2, ..., b-1) que representan el cero y los primeros números naturales.

• Cada b unidades simples (o de 1er orden) forman una unidad de 2º orden, y se escribe a la izquierda de las unidades de 1er orden. (Principio del valor relativo de las cifras)

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• Se continúa el proceso como en 2)

• Cuando no hay unidades de un orden (carencia de unidades) se expresa mediante un 0 en la posición correspondiente.

• La base b se representa por 10(b (es la unidad de 2º orden); la unidad de tercer orden, b2 se expresará como 100(b .

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Numeración romana• Los símbolos I (uno), X (diez) , C (cien) y M (mil) son los

‘principales' y los símbolos V (cinco), L (cincuenta) y D (quinientos) los 'secundarios'.

• Los símbolos principales no se pueden repetir más de tres veces y los secundarios no pueden repetirse ninguna vez.

• Todo símbolo situado a la derecha de uno de igual o mayor valor se suma. Si un símbolo principal está situado a la izquierda de un símbolo de mayor valor se resta.

• A la izquierda de un símbolo solo se puede poner como símbolo de menor valor el símbolo principal inmediatamente anterior.

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• Los millares, diezmillares, cienmillares, etc. de los números mayores o iguales que 4.000 se escriben como si fueran unidades, decenas, centenas, etc., colocándoles una raya horizontal por encima.

• Por ejemplo, 583.459 se escribe, CDLIX.

• Estamos pues ante un sistema de tipo aditivo, aunque con irregularidades, de base 10 y con una base auxiliar 5.

• Este sistema todavía lo usamos nosotros para indicar ordinales y fechas.

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DLXXXIII

Estudio personal:• Estudiar los apartados 2.1. y 2.2. (págs. 24 y 25) y los

apartados 3.2 a 3.6 (págs., 29 a 34) del libro,

• Godino, J. D. (Director) (2004). Matemáticas para maestros. Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Granada. (Recuperable en, http://www.ugr.es/local/jgodino/)

• Realizar las actividades del Cuaderno de Prácticas en la sesión de Seminario (Material multibase y ábacos).

• Resolver personalmente y comprobar posteriormente los ejercicios resueltos disponibles en el Tablón de Docencia.

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Trabajo en equipo:

• Realizar las actividades programadas en el Cuaderno de Prácticas (Trabajo en equipo) que se entregará en la clase de Seminario.

• Las actividades deberán terminarse durante la semana y se entregará el Cuaderno cumplimentado al comienzo de la siguiente sesión del Seminario.

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Ejercicios:

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1. Expresa mediante nuestro sistema oral ordinal los números 11, 14, 27, 53, 99, 135, 366, 584 y 1336

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1. Expresa mediante nuestro sistema oral ordinal los números 11, 14, 27, 53, 99, 135, 366, 584 y 1336

Solución:Undécimo; décimo cuarto; vigésimo séptimo;

quincuagésimo tercero; nonagésimo noveno; centésimo trigésimo quinto; tricentésimo sexagésimo sexto; quingentésimo octogésimo cuarto; milésimo tricentésimo trigésimo sexto.

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2. Expresa los números 457 y 17089 mediante:a) un ábaco japonésb) el sistema de numeración romanoc) sistema de numeración egipciod) sistema de numeración chino

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2. Expresa los números 457 y 17089 mediante:a)un ábaco japonés

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2. Expresa los números 457 y 17089 mediante:b) el sistema de numeración romano457 = CDLVII; 17.089 =XVII LXXXIX

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2. Expresa los números 457 y 17089 mediante:

c) sistema de numeración egipcio

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457=

17089

2. Expresa los números 457 y 17089 mediante:

d) Numeración china

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457=

17089

3. El uso de la base 10 en el sistema de numeración indoarábigo se puede suponer que se debe a que tenemos 10 dedos entre ambas manos. Supongamos que entre los marcianos ocurrió lo mismo, esto es, usaron un sistema de numeración basado en el número de dedos de sus manos. ¿Cuántos dedos tenían los marcianos en sus manos si sabemos que en dicho planeta el número diecisiete se escribía 21?

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3. El uso de la base 10 en el sistema de numeración indoarábigo se puede suponer que se debe a que tenemos 10 dedos entre ambas manos. Supongamos que entre los marcianos ocurrió lo mismo, esto es, usaron un sistema de numeración basado en el número de dedos de sus manos. ¿Cuántos dedos tenían los marcianos en sus manos si sabemos que en dicho planeta el número diecisiete se escribía 21?Solución:2b + 1 = 17; base 8, (cuatro dedos en cada mano)

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4. Construye un sistema aditivo de base 12 y utilízalo para expresar los números 1.245.674, 23.478 y 100

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4. Solución:Necesitamos inventar símbolos para la unidad y las sucesivas potencias de la base. Estos pueden servir:1 = /; 12 = a; 122 = b; 123 = c; 124 = d; 125 = e; etc.

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a) 1.245.674 Expresamos el número en base 12 por el procedimiento habitual de ir dividiendo sucesivamente por 12.Obtenemos:1.245.674 = 5.125 +10.122 + 6.12 +2. Como el sistema es aditivo cada símbolo se repite el número de veces que expresa el coeficiente de las potencias de 12, o sea,

1.245.674 = eeeee bbbbbbbbbb aaaaaa //

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b) Con igual método el número 23.478 quedaría así: 23478 = 1.124 +1.123 + 7.122 +6 = d c bbbbbbb////// c) 100 = 8.12 +4 = aaaaaaaa ////

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5. Construye un sistema multiplicativo de base 8 y utilízalo para expresar los números 32768, 5400 y 89. Haz las transformaciones necesarias para convertirlo en un sistema posicional de base 8. Vuelve a escribir los números anteriores en el nuevo sistema.

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Solución:Se deben elegir símbolos para la unidad, la base, las sucesivas potencias de la base y los números menores que la base. Por ejemplo,•1 = /; 2 = ; 3 = ; 4 = ; 5 = ; 6 = ; 7 = •8 = ; 82 = 64 = ; 83 = 512= ; 84 = 4.096 = ; 85 = 32.768 = ; ...; •El número 32.768 = •El número 5.400 expresado en base 8 es: 5400 = 84 + 2.83 + 4.82 + 3.8. Por tanto, en el sistema multiplicativo inventado: 5400 = / ;

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Para convertirlo en un sistema posicional hay que convenir el uso de un símbolo para cero que permita expresar la carencia de unidades de un cierto orden. Por ejemplo:•0 = . El número 5400, en este sistema posicional inventado quedaría:•5400 = / •El número 89, expresado en base 8 quedaría 89 = 1.82 +3.8 + 1•En el sistema multiplicativo inventado se expresa: 89 = / /

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Efectúa los cambios de base siguientes: a) 3415 (de base 10 a base 3); b) 999 (de base 10 a base 7); c) 25842 (de base 10 a base 12); d) 1001110 (de base 2 a base 10); e) ABC6 (de base 13 a base 10); f) 33421 (de base 5 a base 3); g) 34250 (de base 6 a base 4) h) 102102 (de base 3 a base 7).

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