ШУТИС. КТМС. Эконометрик үйлдлийн судалгааны профессорын баг

MT101. МАТЕМАТИК I(4кр, 3:2:2)

М.БанзрагчMT11

ba4665@csms.edu.mnba4665@yahoo.com

Улаанбаатар хот 2008 он

1

ҮНДСЭН АГУУЛГА

1. Вектор

2. Хавтгайн аналитик геометр

3. Огторгуйн аналитик геометр

4. Матриц, Шугаман тэгшитгэлийн систем

5. II эрэмбийн муруйнууд, Координатын хувиргалт

6. Тоон дараалал

7. Функц

8. Дифференциал тоолол

9. Интеграл тоолол

2

АШИГЛАХ НОМ, ПРОГРАММ ХАНГАМЖ

1. Инженерийн математик 1

2. Дээд мэтематик 1

3. У.Дэлгэрсайхан, Математик-1 хичээлийн лекцийн гарын авлага

4. Calculus

5. Internet

6. Matematica 5.0

7. MathCad

8. MathLab

3

Лекц 1

1. Вектор

• Вектор, түүн дээр хийх шугаман үйлдлүүд• Векторын задаргаа.• Векторын тэнхлэг дээрх проекц.• Декартын тэгш өнцөгт суурь• Векторын скаляр үржвэр.• Векторын вектор үржвэр.• Векторын холимог үржвэр.• Векторын давхар вектор үржвэр

4

Вектор, түүн дээр хийх шугаман үйлдлүүд

Чиглэлт хэрчмийг вектор гэнэ. ө.х. вектор нь тодорхой урттай, захын цэгүүдийннэгийг нь эхлэл, нөгөөг нь төгсгөл болгож авсан хэрчим байна.

lllllllllllllllllllllllllllllll

55

A

B~a

·

Векторыг−→AB эсвэл ~a, ~b, ~c гэж тэмдэглэнэ.

A-эхлэлийн цэг,B-төгсгөлийн цэг.

• Векторыг дүрслэж байгаа чиглэлт хэрчмийн уртыг уг векторын модуль буюуурт гэнэ. |−→AB|, |~a|

• Хоёр векторын уртууд нь тэнцүү, чиглэл нь ижил байвал уг хоёр векторыгтэнцүү векторууд гэнэ.

• Өөртэй нь параллель шилжүүлж болох векторуудыг чөлөөт векторууд гэнэ.

• Модуль нь нэгтэй тэнцүү векторыг нэгж вектор гэнэ.

• Эх, төгсгөл нь давхацсан векторыг тэг вектор гэнэ

• Тэгээс ялгаатай дурын вектор бүрийн хувьд модуль нь энэ векторын модультайтэнцүү, чиглэл нь эсрэг байх векторыг уг векторын эсрэг вектор гэнэ.

5

.lllllllllllllllllllllllllllllll

55

uuC

BA· lllllllllllllllllll

55

A·

lllllllllllll

55

CB Параллель чиглэлт хэрчмүүдээр дүрслэгддэг

векторуудыг коллинеар векторууд гэнэ. Ө.х.нэг шулуун дээр буюу параллель шулуун дээрбайх векторуудыг коллинеар вектоууд гэнэ.

Нэг хавтгай дээр байрладаг эсвэл нэг хавтгайтай параллель орших бүх векторыгкомпланар векторууд гэнэ.Коллинеар хоёр векторыг ерөнхий эхтэй байрлуулахад тэдгээрийн төгсгөл нь

эхлэлийнхээ нэг талд байрлаж байвал ижил чиглэлтэй, хоёр талд нь байвал эсрэгчиглэлтэй векторууд гэнэ.

1.Векторыг нэмэх. ~a, ~b векторуудын нийлбэр гэж ~a-ын төгсгөл дээр ~b-ынэхлэлийг байрлуулахад үүсэх, ~a-ын эх дээр эхтэй, ~b-ын төгсгөл дээр төгсгөлтэйбайх векторыг хэлнэ.

···················

JJ

~a

//~b

···················

JJ

~a//

~b rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

99

~a +~b···················

JJ

~a____________ //

//~b

··

··

··

··

··

JJrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

99

~a +~b

6

2. Векторыг тоогоор үржүүлэх. ~a векторыг λ тоогоор үржүүлсэнүржвэр гэж |λ|·|~a| хэмжээтэй, λ > 0 үед ~a-тай ижил чиглэлтэй, λ < 0 үедэсрэг чиглэлтэй байх векторыг хэлэх бөгөөд λ·~a гэж тэмдэглэнэ.

Вектор дээр хийх шугаман үйлдлүүдийн хувьд дараах чанаруудтай.

1. ~a +~b = ~b + ~a нэмэгдэхүүний эрэмбээс хамаарахгүй.

2. (~a +~b) + ~c = ~a + (~b + ~c) = ~a +~b + ~c бүлэглэх хуультай

3. ~a +~0 = ~a

4. ~a + (−~a) = ~0

5. λ(~a +~b) = λ~b + λ~a; λ ∈ R

6. (λ1 + λ2)~a = λ1~a + λ2~a; λ1 λ2 ∈ R

7. λ1(λ2)~a = (λ1λ2)~a; λ1 λ2 ∈ R

8. 1 · ~a = ~a

7

Хасагч вектор дээр нэмэхэд хасагдагч вектор гарах векторыг эдгээрийн ялгаварвектор гэнэ.

oo−~b //~b

···················

?????????????????????????

__

~a−~b···················

JJ

~a

//~b

···················

JJ

~a···················

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

99

~a+~b?????????????????????????

__

~a−~b

· •Эдгээр үйлдлийн чанаруудыг хангах векторуудын олонлогийг вектор огторгуйгэж нэрлээд R3 гэж тэмдэглэнэ.

Def1:~a = α1~x1 + α2~x2 + · · · + αn~xn (1)

векторыг ~x1, ~x2, . . . , ~xn векторуудын шугаман эвлүүлэг, α1, . . . , αn ∈ R-гшугаман эвлүүлгийн коэффициентүүд гэнэ.

Def2:α1~x1 + α2~x2 + · · · + αn~xn = 0 (2)

тэнцэтгэл α1 = α2 = . . . = αn = 0 тохиолдолд биелж байвал ~x1, ~x2, . . . , ~xn векторуудыгшугаман хамааралгүй векторууд гэнэ.

8

Хэрэв (2) тэнцэтгэл ядаж нэг тэгээс ялгаатай α1, α2, . . . , αn тоонуудынядаж нэг нь тэгээс ялгаатай байхад биелэгдэж байвал ~x1, ~x2, . . . , ~xn векторуудыгшугаман хамааралтай векторууд гэнэ.

Thr 1:~a нь ~b 6= 0 вектортой коллинеар байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь∃λ, ~a = λ~b явдал юм.

ө.х~a ↑↑ ~b бол ~a =

|~a||~b|·~b, ~a ↑↓ ~b бол ~a = −|~a|

|~b|·~b байна.

Векторын задаргаа.Өгөгдсөн векторууд шугаман хамааралтай бол ядаж нэг векторыг нь нөгөө векторуудынхнь шугаман эвлүүлэгт бичиж болно. Тухайлбал: (2) тэнцэтгэлээс λ2 6= 0 гэвэл

~x2 = µ1~x1 + µ3~x3 + · · · + µn~xn

энд −λiλ2

= µi гэж тэмдэглэв.

9

Thr 2:Хавтгай дээрх коллинеар биш хоёр вектор бүхэн шугаман хамааралгүй байх баэдгээр нь энэ хавтгайн ямар ч векторыг нэг утгатайгаар шугаман илэрхийлнэ.

Хавтгай дээрх коллинеар биш ~x1, ~x2 векторуудтай компланар дурын ~x вектор~x1, ~x2 векторуудаар нэгэн утгатай задарна.

Ө.х хавтгай дээрх дурын гурван вектор нь шугаман хамааралтай байна.~x = α1~x1 + α2~x2.

Thr 3:Огторгуй дахь компланар биш гурван вектор бүхэн шугаман хамааралгүй байх баямар ч вектороо нэг утгатай шугаман илэрхийлнэ.

Ө.х. огторгуйд дурын 4 вектор нь шугаман хамааралтай байна.~x = α1~x1 + α2~x2 + α3~x3.

Def 3: Хавтгай дээрх шугаман хамаралгүй дурын хоёр векторыг хавтгайн суурьвектор гэнэ.

Def 4: Огторгуй дахь шугаман хамааралгүй дурын гурван векторыг огторгуйнсуурь вектор гэнэ.

10

Координатын Аффин систем.

Цэгийн байрлалыг тоогоор тодорхойлдог аргыг координатын арга гэнэ.Шулуун, хавтгай, огторгуй дахь координатын аффин систем нь төстэйгөөр

тодорхойлогдох учраас огторгуйн аффин системийг төлөөлүүлэн авч үзье.Огторгуйд нэг цэг, компланар биш гурван вектор өгөгдсөнөөр аффин систем

тодорхойлогдоно. Огторгуйд ∀M цэг байг. Түүний байрлал нь r =−−→OM

вектороор бүрэн тодорхойлогдох бөгөөд энэ векторыг M -ийн радиус вектор гэнэ.

//

~e2

OO~e3

°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

§§ ~e1

ÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂx

·

°°

°°

°°

°°

°°

z

M2

____________ M3·ÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂ y°

°°

°°

°°

°°

°____________

M1

O

::::

::::

::::

::::

::::

:

oooooooooooooooo

M::

::

::

::

::

:

____________ °°°°°°°°°°

−−→OM = r = xe1 + ye2 + ze3.x, y, z-ийг M цэгийн аффин координатуудгэнэ. Огторгуйн аффин координатын систем нь,~e1, ~e2, ~e3 нь харилцан перпендикуляр бөгөөд |~e1| =|~e2| = |~e3| = 1 байх тухайн тохиолдолд тэгш өнцөгткоординатын систем (ТӨКС) болно. ТӨКС-ийнхувьд ~e1, ~e2, ~e3-ийг~i, ~j, ~k гэж тэмдэглэж заншсанбөгөөд эдгээрийг координатын тэнхлэгүүд гэнэ.

11

Хос тэнхлэг бүр нь нэг хавтгайг тодорхойлох ба тэдгээр хавтгайг нь координатынхавтгай гэнэ. Координатын хавтгайнууд нь огторгуйг найман хэсэгт хуваахбөгөөд тэдгээрийг нь октантууд гэнэ.

Хавтгайн аффин систем нь нэг цэг коллинеар биш хоёр вектороор, шулууныаффин систем нь нэг цэг тэгээс ялгаатай ямар нэг вектороор тодорхойлогдоно.

Векторын тэнхлэг дээрх проекц.

~a, ~b векторууд өгөгдсөн байг.

Def 5: Хоёр векторын нэгийг нь нөгөөтэй нь чиглэлээр нь давхaцтал эргүүлэхэдүүсэх хамгийн бага өнцгийг уг хоёр векторын хоорондох өнцөг гэнэ.

Уг өнцгийг ϕ =

(~a,~b) гэж тэмдэглэвэл ямагт 0 ≤ φ =

(~a,~b) ≤ π байна.

oooooooooooooooooooooooooo

77~bOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

gg~a}} %%ϕ

oooooooooooooooooooooooooo

77~b

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

''~a

aa

¥¥ϕ

oooooooooooooooooooooooooo

77~bOOOOOOOOOOOOO

''~a

OOOOOOO__

¥¥ϕ

12

Огторгуйд дурын байрлалтай u тэнхлэг болон ~a =−→AB вектор өгөгдсөн гэе.

Def 6:−→AB векторын эх ба төгсгөлийн цэгийн проекцоор эх төгсгөлөө хийсэн, u

тэнхлэг дээрх чиглэлт хэрчмийн хэмжээг−→AB векторын u тэнхлэг дээрх

проекц гэж нэрлээд прu~a =−−−→A1B1 гэж тэмдэглэнэ.

//

A1 B1 u

oooooooooooooooooooooooooo

77

____________

ÂÂÂÂÂÂÂÂÂ

A

B~a

®®

UUϕ

ÂÂÂ

Зургаас харахадпрu~a= |~a|·cos(~a, ~u)= |~a|·cos ϕ (3)

байна.Проекцын хувьд дараах чанарууд хүчинтэй.

1. прu(~a +~b) = прu~a + прu~b

2. прu(λ~a) = λ · прu~a //

A1 B1 C1 u

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

55B~aOOOOOOOOOOOOO

'' C

~b

ÂÂÂ

ÂÂÂÂÂÂÂÂ

ÂÂÂÂÂ

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

00

~a+~b

13

Декартын тэгш өнцөгт суурь.

//

y

OO z

ÄÄÄÄ

ÄÄÄÄ

ÄÄÄÄ

ÄÄÄÄ

ÄÄÄÄ

Ä

ÄÄ x

ÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂ

ÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂ

ÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂ

_______________

ÄÄ

ÄÄ

ÄÄ

ÄÄ

Ä

_______________

ÄÄ

ÄÄ

ÄÄ

ÄÄ

Ä

ÄÄ

ÄÄ

ÄÄ

ÄÄ

Ä

_______________

JJ

JJ

JJ

JJ

JJ

J

JJ

JJ

JJ

JJ

JJ

J

¨¨

¨¨

¨¨

¨¨

¨¨

¨¨

¨¨

¨

CC

OO

//

ÄÄÄÄ

ÄÄÄÄ

ÄÄÄÄ

ÄÄÄÄ

Ä

ÄÄ

//

OO

ÄÄÄÄ

ÄÄ

ÄÄ~i

~j

~k

o

A

B

C

M1

M~a

¨¨

¨¨

¨¨

¨¨

¨¨

¨¨

¨¨

¨

CC~aОгторгуйд ∀~a авч, уг векторыг өөртэй ньпараллелиар зөөн эхлэлийг нь координатынэхтэй давхцуулан ~a =

−−→OM вектор байгуулъя.−−→

OM -ийн төгсгөлийг дайруулан координатынхавтгай-нуудтай параллель хавтгайнууд татвалтэгш өнцөгт паралелопипед үүснэ.

−−→OM нь

түүний диагональ болно. Иймээс−−→OM =

−→OA +−−→

OB +−→OC байна.

Огторгуйн ∀~a нь ортуудаараа нэгэн утгатай задарна.

~a = x~i + y~j + z~k (4)

Баталгаа:

~a =−−→OM =

−−→OM1 +

−−−→M1M = (

−→OA +

−−→AM1) +

−−−→M1M =

−→OA +

−−→OB +

−→OC

14

энд −→OA = прOx~a · i,

−−→OB = прOy~a · j,

−→OC = прOz~a · k

Иймд M(x, y, z) =⇒ A(x, 0, 0), B(0, y, 0), C(0, 0, z)

прOx~a = x, прOy~a = y, прOz~a = z

болж (4) батлагдав.

(4) томъёог, ~a-г ортогональ сууриар задалсан задаргаа гэнэ.

x, y, z нь ~a-ийн ТӨКС-ийн координатын тэнхлэгүүд дээрх проекц учир~a = {x, y, z} гэж тэмдэглэе.

~a = {x1, y1, z1}, ~b = {x2, y2, z2} ~a, ~b ∈ R3. хувьд дараах чанарууд биелэнэ.

1. ~a +~b = {x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2}2. λ~a = {λx1, λy1, λz1}3. x1 = x2, y1 = y2, z1 = z2 үед л ~a = ~b байна.

15

Чиглүүлэгч косинусууд

x = |~a| cos α, y = |~a| cos β, z = |~a| cos γ.

энд α = (Ox,~a) β = (Oy,~a), γ = (Oz,~a) нь ~a векторын координатынтэнхлэгүүдтэй үүсгэх өнцгүүд.Тэгвэл

cos α =x

|~a| =x√

x2 + y2 + z2

cos β =y

|~a| =y√

x2 + y2 + z2(5)

cos γ =z

|~a| =z√

x2 + y2 + z2

cos α, cos β, cos γ– г ~a– векторын чиглүүлэгч косинусууд гэнэ.(5)–аас

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

Иймд ~a0 гэсэн ~a–ийн нэгж векторын координатын тэнхлэгүүд дээрх проекц ньтүүний чиглүүлэгч косинусуудтай давхцана. ө.х ~a0 = {cos α, cos β, cos γ} байна.ТӨКС дэх ∀M цэгийн хувьд

−−→OM векторыг M цэгийн радиус вектор гэнэ.

16

~r =−−→OM = xi + yj + zk, ~r = {x, y, z}

−−→OM радиус векторын координатын тэнхлэгүүд дээрх проекц нь M цэгийнкоординат болно.

Огторгуйд, харгалзан r1, r2 радиус вектор бүхий A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) цэгүүдөгөгдсөн гэж үзье.Тэгвэл −→

AB = ~r2 − ~r1 = {x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1}=⇒

|−→AB| =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 (6)(6) томъёог хоёр цэгийн хоорондох зайг олох томъёо гэнэ.

Хэрчмийг өгөгдсөн харьцаанд хуваах.

A, B цэгүүдийг дайрсан шулуун дээр−−→AM = λ · −−→MB байх M цэгийг олох

бодлогыг авч үзье.

17

lllllllllllllllllllllllllllllllA M

B

·· ·

λ 6= −1 гэж үзнэ.Хэрэв M нь A, B-ийн хооронд байвал дотоод хуваалт

гэх бөгөөд λ > 0 байна.Хэрэв M нь A, B-ийн үргэлжлэл дээр байвал гадаад

хуваалт гэх ба энэ үед λ < 0 байна.

λ > 0 бол −−→AM = ~r − ~r1,

−−→MB = ~r2 − ~r,

−−→AM = λ · −−→MB

байх M цэг олдох учир

~r − ~r1 = λ(~r2 − ~r) =⇒ ~r =~r1 + λ~r2

1 + λ

болно.

Эндээсx =

x1 + λx2

1 + λ, y =

y1 + λy2

1 + λ, z =

z1 + λz2

1 + λ(7)

болох ба (7) томъёог хэрчмийг өгөгдсөн харьцаанд хуваах томъёо гэнэ.

18

Хоёр векторын скаляр үржвэр.

(~a~b) = |~a| · |~b| · cos ϕ (8)(8) томъёог хоёр векторын үржвэрийн томъёо гэж нэрлэдэг.

Скляр үрвэрийн чанарууд:

1. (~a~b) = |~a|·пр~a~b = |~b|·пр~b~a

2. (~a~b) = (~b~a)

3. (~a(~b + ~c)) = (~a~b) + (~a~c)

(~a(~b + ~c)) = |~a| · |~b + ~c| · cos ϕ = |~a|пр~a(~b + ~c) =|~a|(пр~a~b + пр~a~c) =

=|~a| · пр~a~b + |~a| · пр~a~c = (~a~b) + (~a~c)

4. ~a ⊥ ~b бол ϕ =π

2=⇒ (~a~b) = 0

5. ~a = ~b бол (~a~a) = (~a)2 = |~a|2

19

Хоёр векторын хоорондох өнцөг .

Хэрэв ~a = {x1, y1, z1}, ~b = {x2, y2, z2} гэж координатаар өгөгдвөл

(~i~i) = (~j~j) = (~k~k) = 1 · 1 · cos 0◦ = 1

бөгөөд

(~i~j) = |~i| · |~j| · cos 90◦ = 0, (~i~k) = |~i| · |~k| · cos 90◦ = 0, (~j~k) = |~j| · |~k| · cos 90◦ = 0

болон(~j~i) = (~k~i) = (~k~j) = 0

Мөн(~a~b) = ((x1

~i + y1~j + z1

~k)(x2~i + y2

~j + z2~k)) = x1x2 + y1y2 + z1z2

(~a~a) = |~a|2 = x21 + y2

1 + z21 =⇒ |~a| =

√x2

1 + y21 + z2

1

тооцвол

cos ϕ =(~a~b)

|~a| · |~b|=

x1x2 + y1y2 + z1z2√x2

1 + y21 + z2

1 ·√

x22 + y2

2 + z22

(9)

(9) нь хоёр векторын хоорондох өнцгийг координатуудаар нь илэрхийлсэн томъёо.

20

Хоёр векторын вектор үржвэр.

~a, ~b векторуудын вектор үржвэр гэж: модуль нь |~a| · |~b| sin(~a,~b)

үржвэртэй тэнцүү, ~a, ~b векторуудын хавтгайд перпендикуляр бөгөөд ~a, ~b, ~c ньбаруун гуравт үүсгэх ~c векторыг хэлнэ.Ө.х

|~c| = ~a×~b = [~a~b] = |~a| · |~b| sin(~a,~b)

байна.

~a×~b = 0 ⇐⇒ ~a 6= 0, ~b 6= 0 нь коллинеар байх явдал юм

Вектор үржверийн чанарууд

1. ~a×~b = −~b× ~a

2. ~a× (~b + ~c) = ~a×~b + ~a× ~c

3. (k~a)×~b = ~a× (k~b) = k(~a×~b)

llllllllllllllll

55

OOOOOOO

OOOOOOOOOOOOO

''

llllllll

OO

~a

~b

~c

21

~a = {x1, y1, z1}, ~b = {x2, y2, z2} векторууд координатаар өгөгдсөн гэе.

Тэгвэл вектор үржвэр нь:

~c = ~a×~b = [(x1~i + y1

~j + z1~k)(x2

~i + y2~j + z2

~k)] =

∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~kx1 y1 z1

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣гэж олдоно.

Геометр утгаараа вектор үржвэр нь ~a, ~b-ээр байгуулагдсан параллелограммынталбайтай тэнцүү.

Ө.х

S = |~c| = |~a×~b| =

√∣∣∣∣y1 z1

y2 z2

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣x1 z1

x2 z2

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣2

22

Гурван векторын холимог үржвэр.

~a, ~b, ~c гурван вектороор зохиосон (~a×~b)·~c үржвэрийг уг гурван векторынхолимогүржвэр гэнэ.

Холимог үржвэр нь абсолют (геометр) утгаараа уг гурван вектороор байгуулагдсанпараллелопипедийн эзлэхүүнтэй тэнцэнэ.

______ // //y~b

OO z

~cOO

<<<<

<<<<

<<<<

ÀÀ<<

<<

ÀÀx~a

<<<<<<<< <<<<

<<<<Â

ÂÂÂÂÂÂÂ

<<

<<

O

S = (~a×~b)~c =

∣∣∣∣y1 z1

y2 z2

∣∣∣∣ x3−∣∣∣∣x1 z1

x2 z2

∣∣∣∣ y3+

∣∣∣∣x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣ z3 =

∣∣∣∣∣∣

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣

Холимог үржвэрийн чанарууд.

1. (~a×~b)~c = ~a(~b× ~c)

2. (~a~b~c) = (~b~c~a) = (~c~a~b) = (~a~c~b) = −(~b~a~c) = −(~c~b~a)

23

Гурван векторын давхар вектор үржвэр.

~a × ~b векторыг ~c вектороор вектор үржүүлсэн үржвэрийг давхар векторүржвэр гэж нэрлээд (~a×~b)× ~c гэж тэмдэглэнэ.(~a×~b)× ~c = ~b(~a~c)− (~b~c)~a гэж задарна.

(~a×~b)× ~c =

{∣∣∣∣y1 z1

y2 z2

∣∣∣∣ ,−∣∣∣∣x1 z1

x2 z2

∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣}× {x3, y3, z3}

буюу

(~a×~b)×~c =

∣∣∣∣∣∣−

∣∣∣∣x1 z1

x2 z2

∣∣∣∣∣∣∣∣x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣y3 z3

∣∣∣∣∣∣,−

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣y1 z1

y2 z2

∣∣∣∣∣∣∣∣x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣x3 z3

∣∣∣∣∣∣,

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣y1 z1

y2 z2

∣∣∣∣ −∣∣∣∣x1 z1

x2 z2

∣∣∣∣x3 y3

∣∣∣∣∣∣

Энд(~a×~b)× ~c 6= ~a× (~b× ~c)

24

Жишээ1. |~a| = 3, |~b| = 2,

(~a,~b) = 60◦ бол (~a− 2~b)(3~a +~b) =?

(~a− 2~b)(3~a +~b) =3 · (~a~a)− 6 · (~b~a) + (~a~b)− 2 · (~b~b)=3 · 32 − 6 · 2 · 3 · cos 60◦ + 3 · 2 · cos 60◦ − 2 · 22 = 4

Жишээ2. A(2;−3; 4), B(1; 2;−1), C(3;−2; 1) цэгүүд дээр оройтойгурвалжны талбайг ол.

S∆ABC =1

2· |−→AB ×−→AC|

−→AB = {−1; 5;−5}, −→AC = {1; 1;−3}

S =1

2·√∣∣∣∣

5 −51 −3

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣−5 −1−3 1

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣−1 5

1 1

∣∣∣∣2

= 5√

2

Жишээ3.−→AB = {2; 3;−4}, −→AC = {4; 1; 1}, −−→AD = {−2; 1;−2} векторуудаар

байгуулагдах параллелопипедийн эзлэхүүнийг ол.

V =(−→AB ×−→AC

)· −−→AD =

∣∣∣∣∣∣

2 3 −44 1 1

−2 1 −2

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

2 3 −40 −5 90 4 2

∣∣∣∣∣∣= 2 ·

∣∣∣∣−5 9

4 2

∣∣∣∣ = | − 92| = 92

25