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Universidad de Guadalajara Centro Universitario de los Valles Campus Ameca Curso: Precalculo I INNOVACIÓN PARA EL APRENDIZAJE UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA Coordinación General del Sistema para la Innovación del Aprendizaje G u í a 2000

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Universidad de Guadalajara

Centro Universitario de los Valles

Campus Ameca

Curso:

“ Precalculo I ”

INNOVACIÓN PARA EL APRENDIZAJE

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA

Coordinación General del Sistema para la Innovación del Aprendizaje

G u í a 2000

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Dr. Víctor Manuel González Romero Rector general de la Universidad de Guadalajara Dr. Misael Gradilla Damy Vicerrector Ejecutivo de la Universidad de Guadalajara Mtro. José Trinidad Padilla López Secretario General de la Universidad de Guadalajara Dr. Adolfo Espinoza de los Monteros Cárdenas Coordinador Ejecutivo del Centro Universitario de los Valles Dr. Víctor Manuel Rosario Muñoz Secretario Académico del Centro Universitario de los Valles

Dr. Juan Manuel de Santos Ávila Coordinador General del Sistema Para la Innovación del Aprendizaje

Mtro. Manuel Moreno Castañeda Coordinador de Diseño Instruccional Y Ambiente de Aprendizaje

D i r e c t o r i o

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Universidad de Guadalajara

Centro Universitario de los Valles

Campus Ameca

Contenidos: Mat. Laura Verónica Mendoza Sanchez

Supervisión técnico-pedagógica:

Adriana Tiburcio J. Guadalupe Pérez Mares

Edición:

Ileana Martínez Castillo

Corrección de estilo: Jaime Larios K.

Curso:

“Precalculo I ”

Coordinación General del Sistema para la Innovación del Aprendizaje

2000

Guía

INNOVACIÓN PARA EL APRENDIZAJE

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA

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PAGINAS

Introducción 5 Unidad 1 Conceptos Fundamentales de Álgebra 12 Unidad 2 Polinomios 13 Unidad 3 Ecuaciones 14 Unidad 4 Funciones Polinomiales y Gráficas 16 Unidad 5 Geometría Analítica 18 Unidad 6 Funciones Exponenciales y Logarítmicas 20 Unidad 7 Sistema de Ecuaciones Lineales 21 Unidad 8 Trigonometría 22

Contenido

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INTRODUCCIÓN

Ésta guía se diseñó para tí alumno de la Lic. en Informática del Centro Universitario Valles, el objetivo principal al escribirla es que tu como estudiante la puedas leer, comprender y valorar sabiendo que te ayudará a una mejor asimilación y por consiguiente aplicación de cada uno de los tópicos vistos en la materia de precálculo, de tal forma que al finalizar el curso hayas reunido las herramientas necesarias para resolver el caso integrador, es decir, una actividad final en la cual se precisan y conjuntan los conocimientos que adquieras a través de todas las unidades tratadas en este curso. Nadie aprende matemáticas sólo observando, hay que leer, comprender, y sobretodo, practicar, y mientras más ejercicios practiques y más problemas resuelvas, tu acondicionamiento mental será mejor y podrás enfrentarte a nuevos retos, como cursos posteriores a los cuales llevarás buenas bases matemáticas y aun más allá, en tu vida profesional, donde podrás relacionar algunos problemas con planteamientos matemáticos. No está por demás recordarte que sólo a tí beneficia la honestidad que sé pondrás en la elaboración de trabajos que se te encomienden a lo largo del curso, si tienes dudas contarás con un asesor al cual acudirás para poder avanzar en el logro de objetivos. Toda obra humana está al margen de la perfección, por eso las sugerencias y críticas constructivas serán bienvenidas, siempre que contribuyan a mejorar la presente guía.

Este curso de Precálculo abarca tres ramas de la matemática: álgebra, geometría analítica y trigonometría. OBJETIVO GENERAL. El objetivo general del curso es que al finalizarlo seas capaz de aplicar los conceptos y teoremas principales de álgebra, geometría analítica y trigonometría para obtener la solución de problemas de cada área.

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PERFIL. Al terminar el curso podrás identificar y resolver problemas que se te presenten utilizando conceptos y teoremas fundamentales de álgebra, trigonometría o geometría analítica. La guía consta de:

UNA ACTIVIDAD PRELIMINAR. Aquí nos daremos cuenta de tus bases y de los alcances que llegarás a tener pues dicha actividad consta de problemas que deberás poder resolver al finalizar el curso. También tiene una sección de ejercicios que podrás autoevaluar y después corregir las pequeñas deficiencias que pudieras tener. Todos los problemas fueron extraídos de tu libro de texto.

LECTURAS. Las lecturas te ayudarán a una mejor comprensión de los temas para que así puedas abordar las secciones de ejercicios. La mayoría de lecturas son de tu libro de texto de no ser así se te especificará el libro al cual te debes remitir. Búscalo en la bibliografía. Conforme avances en las lecturas deberás ir completando un glosario del curso. Se representan con el icono .

EJERCICIOS O PROBLEMAS SUGERIDOS. Estas secciones vamos a llamarlas de acondicionamiento mental, te servirán para prepararte paso a paso de tal forma que cada vez puedas resolver problemas de mayor reto. Los ejercicios serán de tu libro de texto a menos que se especifique algún otro. Reconocerás ésta sección con el icono .

EJERCICIOS OBLIGATORIOS. Estos ejercicios son llamados obligatorios porque deberás entregarlos en las fechas estipuladas. Los ejercicios serán de tu libro de texto y algunos otros contenidos en esta guía.

INVESTIGACIONES. Los trabajos de investigación te servirán para complementar los temas tratados en este curso.

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El icono usado para este punto es .

ACTIVIDAD INTEGRADORA. A lo largo del manual encontrarás actividades integradoras que deberás resolver y entregar cuando este estipulado. El resolver estas actividades te servirá para que al final puedas resolver el caso integrador. Se usará este icono para identificarla .

CASO INTEGRADOR. Al final del curso resolverás el llamado caso integrador, en él aplicarás las áreas más importantes vistas en este curso.

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ACTIVIDAD PRELIMINAR

INSTRUCCIONES. 1. Lee cada uno de los problemas. 2. Trata de resolver el mayor número posible de ellos, si no puedes

llegar a la solución de alguno o varios no te preocupes recuerda que al finalizar el curso podrás resolverlos todos. ☺

3. En aquellos ejercicios que pudiste obtener una solución identifica

que área de la matemática utilizaste para resolverlos. En los que no llegaste a obtener la solución escribe a cuál área te imaginas que pertenece dicho problema.

4. Si ya terminaste con la sección de problemas pasa a la segunda

parte que es la de ejercicios. No uses calculadora. 5. De igual forma trata de resolver el mayor número de ellos, aquellos

que no sepas o no recuerdes como se resuelven déjalos en blanco, no influye para tu calificación pero si nos servirá para saber en que áreas debes mejorar.

6. Autoevalúa la sección de ejercicios con la hoja de respuestas. Esta

forma te remite a la sección y ejemplos del libro 1 de la bibliografía sugerida que debes repasar para que no tengas problema alguno cuando se te presente este tipo de operaciones.

PROBLEMAS DE LA ACTIVIDAD PRELIMINAR 1. Un estudiante de álgebra obtiene notas de 75, 82, 71 y 84 en

exámenes. ¿Qué calificación deberá obtener en su siguiente prueba para elevar su promedio a 80?

2. Un fabricante de latas desea construir una lata cilíndrica circular

recta de 20 cm de altura y volumen de 3000 cm3. Encuentra el radio interior r de la lata.

3. Encuentra el centro y el radio del círculo con ecuación

x2 + y2 + 8x – 10y + 37 = 0.

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4. Por lo general se considera que el modelo Jenss es la fórmula más precisa para predecir la estatura de los preescolares. Si y es la estatura ( en cm ) y x es la edad ( en años ), entonces y = 79.041 + 6.39x – e3.261 – 0.993x para ¼ < x < 6. Por cálculo integral, la tasa de crecimiento R (en cm/año) está dada por :

R = 6.39 + 0.993 e3.261 – 0.993x. Encuentra la estatura y tasa de crecimiento de un niño normal de un año.

5. La pantalla de un monitor rectangular de computadora mide 4 cm

más de ancho que de largo, y su diagonal es 7 cm más larga que su altura. ¿Cuáles son las dimensiones del monitor?

6. ¿Hay un número real x tal que x = 2-x? Decídelo al graficar el

sistema

y = x y = 2-x 7. Un vendedor vende dos tamaños de pizza por rebanadas; la chica

mide 1/6 de una pizza circular de 18 pulgadas de diámetro y se vende en 2 dólares. La grande, que mide 1/8 de una pizza circular de 26 pulgadas de diámetro, se vende en 3 dólares. ¿Cuál rebanada tiene más pizza por dólar?

8. Una tienda se especializa en mezclas de café para exigentes. El

dueño desea preparar bolsas de una libra que se venden en $8.50 combinando granos de Colombia, Brasil y Kenia. El costo por libra de estos cafés es $10, $6 y $8 respectivamente. El café de Colombia debe triplicar al de Brasil. Da la cantidad de cada tipo de café de la mezcla.

EJERCICIOS DE LA ACTIVIDAD PRELIMINAR 1. Escribe -35 como una fracción con un denominador de 1 2. Encuentra una fracción equivalente a 4/5 con un denominador de

20 3. Encuentra una fracción equivalente a 12/18 con un denominador de

3 4. Reduce 45/75 a su mínima expresión

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5. Encuentra 7 •(13/11) 6. Resuelve 5 ÷ 7. Encuentra 2 + Resuelve 1 - 2 9. Escribe 345.712 en forma expandida 10. Escribe 0.075 como fracción reducida 11. Escribe 5.16 como fracción reducida 12. Suma 516.32 + 7.547 13. Resta 125.35 – 13.4 14. Multiplica 3.417 x 0.0023 15. Divide 8.4/0.125 16. Escribe 3/8 como decimal 17. Escribe 78.5% como decimal 18. Escribe 0.731 como porcentaje 19. Escribe 37% como fracción 20. Escribe 6/8 como porcentaje

1 3

16

2 7

3 4

1 9

4 3

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RESPUESTAS A LA SECCIÓN DE EJERCICIOS DE LA ACTIVIDAD PRELIMINAR

Respuesta Si te equivocaste repasa

Sección Ejemplos Página 1. –35/1 R.1 1 2 2. 16/20 R.1 2 3 3. 2/3 R.1 3 4 4. 3/5 R.1 4 5 5. 26/3 R1 5-7 6-7 6. 217/12 R.1 8,9 8 7. 103/36 R.1 10 10-11 8. -7/6 R.1 11-13 13-15 9. 300 + 40 + 5 + 7/10 + 1/100 + 2/ 1000 R.2 1 18 10. 3/40 R.2 2 18-19 11. 129/25 R.2 3 19 12. 523.867 R.2 4 19 13. 111.95 R.2 5-6 20 14. 0.0078591 R.2 7 21 15. 67.2 R.2 8 22 16. 0.375 R.2 9 23 17. 0.785 R.2 10 24 18. 73.1 R.2 11 24 19. 37/100 R.2 12 25 20. 75% R.2 13-14 25-26

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OBJETIVO: Reafirmarás los conceptos fundamentales del álgebra

TEMA :

I.1 NÚMEROS REALES CONTENIDO : I.1.1 Propiedades de los números reales I.1.2 Ordenamiento de los números reales

Lectura 1 pp. 2-12 Ejercicios 1.1 Ejercicios obligatorios 1

TEMA :

I.2 EXPONENTES Y RADICALES

CONTENIDO : I.2.1 Leyes de los exponentes I.2.2 Simplificación de expresiones con exponentes I.2.3 Propiedades de los radicales I.2.4 Simplificación de factores de radicales I.2.5 Racionalización de denominadores

Lectura 2 pp. 15-24 Ejercicios 1.2 Ejercicios obligatorios 2

Unidad Conceptos

Fundamentales del Álgebra

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OBJETIVO: Realizarás operaciones fundamentales con polinomios y expresiones fraccionarias

TEMAS : II.1 Definición de expresión algebraica II.2 Monomios, binomios y trinomios II.3 Definición de polinomio

CONTENIDO : II.3.1 Suma y resta de polinomios II.3.2 Multiplicación de polinomios II.3.3 División de un polinomio entre un monomio

TEMAS : II.4 Productos notables II.5 Factorización

Lectura 3 pp.26-36 Ejercicios 1.3 Ejercicios obligatorios 3

TEMA :

II.6 Expresiones fraccionarias

CONTENIDO : II.6.1 Simplificación y operaciones con expresiones fraccionarias II.6.2 Fracciones complejas

Lectura 4 pp. 38-44 Ejercicios 1.4 Actividad integradora 1

Unidad Polinomios

Unidad Ecuaciones

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OBJETIVO: Aplicarás diversos métodos para resolver ecuaciones.

TEMA : III.1 Definición de ecuación

CONTENIDO : III.1.1 Solución de una ecuación lineal III.1.2 Solución de una ecuación que contiene expresiones racionales

Lectura 5 pp.50-57 Ejercicios 2.1 Ejercicios obligatorios 4

CONTENIDO : III.1.3 Problemas aplicados

Lectura 6 pp.58-66 Ejercicios 2.2 Ejercicios obligatorios 5

TEMA : III.2 Ecuaciones cuadráticas CONTENIDO : III.2.1 Solución por Factorización III.2.2 Solución completando el cuadrado III.2.3 Fórmula cuadrática

Lectura 7 pp.70-79 Ejercicios 2.3

TEMA :

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III.3 Números complejos

CONTENIDO : III.3.1 Definición III.3.2 Suma y multiplicación de números complejos III.3.3 Conjugado III.3.4 Cociente de números complejos III.3.5 Ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas

Lectura 8

pp. 83-88

Ejercicios 2.4

TEMA : III.4 Otros tipos de ecuaciones

Lectura 9 pp. 89-96

Ejercicios 2.5

Ejercicios obligatorios 6

Unidad Funciones

Polinomiales y Gráficas

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OBJETIVO: Aplicarás los teoremas relacionados con el tema para encontrar raíces de polinomios. TEMA : IV.1 Sistema de coordenadas rectangulares

Lectura 10 p. 122 Ejercicios 3.1 del 1 al 6

TEMA : IV.2 Definición de función

CONTENIDO : IV.2.1 Gráfica de funciones

Lectura 11 pp. 164-176 Ejercicios 3.4 Ejercicios obligatorios 7

TEMA : IV.3 División de polinomios CONTENIDO : IV.3.1 Algoritmo de la división IV.3.2 Teorema del residuo IV.3.3 Teorema del factor IV.3.4 División sintética

Lectura 12 pp.256-262 Ejercicios 4.

TEMA : IV.4 Raíces de polinomios

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CONTENIDO : IV.4.1 Número de raíces de un polinomio IV.4.2 Regla de los signos de Descartes IV.4.3 Cotas para raíces reales de polinomios

Lectura 13 pp.264-274 Ejercicios 4.3

TEMA : IV.5 Raíces complejas y racionales de polinomios

Lectura 14 pp. 277-283 Ejercicios 4.4 Actividad integradora 2

Unidad

Geometría Analítica

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OBJETIVO: Identificarás y graficarás la ecuación de una recta así como de las secciones cónicas TEMA : V.1 Distancia entre dos puntos, punto medio y pendiente V.2 Ecuación de una recta

CONTENIDO : V.2.1 Forma punto-pendiente V.2.2 Forma general V.2.3 Forma común V.2.4 Rectas paralelas y rectas perpendiculares

Lectura 16 pp.144-158 Ejercicios 3.3 Ejercicios obligatorios 8

TEMA : V.3 Secciones Cónicas

CONTENIDO : V.3.1 Circunferencia

Lectura 17 pp.136-140 Ejercicios 3.2 Ejercicios obligatorios 9

CONTENIDO : V.3.2 Parábola

Lectura 18 pp. 301-310

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Ejercicios 4.6 Ejercicios obligatorios 10

CONTENIDO : V.3.3 Elipse

Lectura 19 pp. 313-323 Ejercicios 4.7 Ejercicios obligatorios 11

CONTENIDO : V.3.4 Hipérbola

Lectura 20 pp.326-335 Ejercicios 4.8 Ejercicios obligatorios 12

Actividad integradora 3 Unidad

Funciones Exponenciales y

Logarítmicas

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OBJETIVO: Resolverás ecuaciones que involucren logaritmos y exponenciales a partir de la definición y propiedades de estos TEMA : VI.1 Funciones exponenciales

Lectura 21 pp.344-354 Ejercicios 5.1

TEMA : VI.2 Función exponencial natural

Lectura 22 pp. 358-366 Ejercicios 5.2

TEMA : VI.3 Funciones logarítmicas

Lectura 23 pp.369-381 Ejercicios 5.3

TEMA : VI.4 Propiedades de los logaritmos

Lectura 24 pp. 385-391 Ejercicios 5.4

TEMA : VI.5 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Lectura 25 pp. 393-401 Ejercicios 5.5 Actividad integradora 4

Unidad Sistema de Ecuaciones

Lineales

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OBJETIVO: Utilizarás los métodos analítico, gráfico y Cramer, encontrando la solución de problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales de 2 o 3 incógnitas TEMA : VII.1 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Lectura 26, libro 1, pp.135-143 Ejercicios 4.1, libro 1

TEMA : VII.2 Sistemas de ecuaciones lineales de tercer orden

Lectura 27,libro 1, pp. 145-149 Ejercicios 4.2, libro1

TEMA : VII.3 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones

Lectura 28, libro 1, pp. 150- 156 Ejercicios 4.3, libro 1

TEMA : VII.4 Resolución de sistemas de ecuaciones por determinantes (Regla de Cramer)

Lectura 29, libro 1, pp. 159- 167 Ejercicios 4.4, libro 1 Actividad integradora 5

TEMA : VII.5 Fracciones parciales

CONTENIDO : VII.5.1 Factores lineales distintos VII.5.2 Factores lineales repetidos VII.5.3 Factores cuadráticos distintos VII.5.4 Factores cuadráticos repetidos

Lectura 30 pp. 442-447 Ejercicios 6.4 Ejercicios obligatorios 13

Unidad

Trigonometría

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OBJETIVO: Resolverás ecuaciones trigonométricas mediante la aplicación de los principales tópicos e identidades de la trigonometría TEMA : VIII.1 Ángulos

Lectura 31 pp.500-508 Ejercicios 7.1 Ejercicios obligatorios 14

TEMA : VIII.2 Funciones trigonométricas de ángulos

Lectura 32 pp.510-524 Ejercicios 7.2 Ejercicios obligatorios 15

TEMA : VIII.3 Funciones trigonométricas de números reales VIII.4 Gráficas trigonométricas

Lectura 33 pp. 527-544 Ejercicios 7.3 Ejercicios obligatorios 16

TEMA : VIII.5 Identidades trigonométricas

Lectura pp. 604-607 Ejercicios 8.1 Ejercicios obligatorios 17

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EJERCICIOS OBLIGATORIOS

Ejercicios obligatorios 1

I. Si N, Z, I, Q, R y C representan respectivamente los conjuntos de los números naturales, enteros, irracionales, racionales, reales y complejos, representa mediante un diagrama de Venn la relación que guardan entre sí los conjuntos anteriores.

II. Se tiene el conjunto M={-2, 0, - 2 , 1/3, 7π, 0.6, 1

+ i, -5 }. Escribe los elementos del conjunto que pertenecen a N, Z, I, Q, R y C.

III. En el enunciado, completa el lado derecho de la igualdad, utilizando la propiedad dada

5 + b = conmutativa (b + 3) + 2 = asociativa 7 + 0 = identidad aditiva 3 + (-3) = inverso aditivo 8(1) = identidad multiplicativa 3(a + b) = distributiva -(-2) = doble negación

Ejercicios obligatorios 2

I. Escribe tres ejemplos de cada uno de los 5 puntos

del subtema Exponentes y Radicales. II. Efectúa (-x2)3 · (-x -3)2 · xa · xb · -xc, donde a = 32, b

= -32 y c = (-3)2.

Ejercicios obligatorios 3

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I. Haz una clasificación de las expresiones algebraicas de

acuerdo a

a) su número de términos b) la naturaleza del exponente

c)

II. Indica cada una de las partes del siguiente término algebraico -5 a2x3.

III. De acuerdo a sus exponentes, clasifica las siguientes

expresiones algebraicas como racional entera o irracional. 3abc + a2b

xy + 1/2x2yz

(a2b4) – 3ab2

2x / (y-1) + x + y 3x-2 + x + y 2x-2 + x + y 3xy / (x + y) x2 + x-2 + xp½

IV. Dados los polinomios:

P(x) = ax2 + 3x + bx + 5x2 + c – 2 Q(x) = 7x2 + 5x – 1 Calcula los valores de a, b y c, si los polinomios son idénticos.

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V. Completa las columnas con la letra y número correspondiente.

(a) (x – 1)(x + 1)(x2 + 1) (b) z3 + 64

(c) (x + 2)(2x - 5 )(2x + 5 )

(d) z3 – 64

(e) (x –5)(x + 5) (1) por agrupación

(2) diferencia de cuadrados

(3) diferencia de cubos

(4) suma de cubos

Letra Número X2 – 25 = _________ _______

4x3 + 8x2 – 5x – 10 = _________ _______ (z + 4)(z2 – 4z + 16) = _________ _______ x4 – 1 = _________ _______ (z – 4)(z2 + 4z + 16)= _________ _______

Ejercicios obligatorios 4

De la sección de ejercicios 2.1 pp.57-58, resuelve a) 10 ejercicios del 1 al 44

b) 3 ejercicios del 45 al 50

c) ejercicios pares del 52 al 58

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d) 5 ejercicios del 59 al 72 (aquellos que por alguna razón te parecen interesantes, especifica el motivo por el cual los escogiste)

e) ejercicio 74

Ejercicios obligatorios 5 I. Escoge cinco números pares del 2 al 38. II. De la sección 2.2 de tu libro de texto resuelve los

problemas señalados con los números que escogiste.

Ejercicios obligatorios 6

De la sección de ejercicios de repaso de tu libro de texto página 116 resuelve a) los ejercicios del 1 al 26 b) los ejercicios del 45 al 54

c) los ejercicios del 55 al 80, pero solo aquellos que sean divisibles por 4.

Ejercicios obligatorios 7

I. De las siguientes gráficas señala aquellas que pertenecen a una función

II. ¿Cuáles de las siguientes funciones representan una función?

Ejercicios obligatorios 8

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I. Selecciona dos puntos (x,y). II. Ubícalos en un plano cartesiano. III. Obtén la distancia que hay entre ellos. IV. Determina y señala en el plano el punto medio. V. Une los puntos originales con una línea recta. VI. ¿Qué pendiente tiene ésta recta? VII. Obtén la ecuación de la recta, expresándola en sus

tres formas.

VIII. Escribe la ecuación de una recta que sea paralela a la anterior. Grafícala con un color diferente en el mismo plano.

IX. Determina la ecuación de una recta perpendicular a las dos anteriores y trázala en el plano.

Ejercicios obligatorios 9

I. Escribe la definición de circunferencia.

II. ¿Cuál es la ecuación general de la circunferencia?

III. ¿Qué coordenadas tiene el centro?

IV. ¿Cuánto mide el radio?

V. Un caso particular es la circunferencia con centro en el origen, ¿cuál es su ecuación?

VI. Haz dos gráficas donde se note la diferencia entre

una circunferencia centrada en el origen y una trasladada.

Ejercicios obligatorios 10

Completa cada recuadro con lo que se te pide.

Definición de parábola

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Ecuaciones estándar de una parábola con vértice en (0,0) y2 = Vértice: Foco: Directriz: Simetría con respecto al eje Haz la gráfica cuando a) a<0 (abre hacia la izquierda) b) a>0 (abre hacia la derecha) X2 = Vértice: Foco: Directriz: Simetría con respecto al eje Haz la gráfica cuando a) a<0 (abre hacia abajo) b) a>0 (abre hacia arriba)

Ejercicios obligatorios 11

I. Si todo lo que tienes a la mano fueran dos clavos, un lápiz y una cuerda, ¿cómo podrías trazar una elipse?

II. Toma una hoja blanca, dos tachuelas o clavos y un

pedazo de cordón. a) Indica la medida del cordón que elegiste.

b) Con el procedimiento anterior dibuja sobre la hoja una elipse.

c) Traza arbitrariamente un plano cartesiano sobre la elipse.

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¿En qué coordenadas quedaron los focos y los vértices?

Ejercicios obligatorios 12

Quizá no te des cuenta de los muchos usos importantes de las formas hiperbólicas, tales como: I. Estudio de cometas II. Sistema Loran de navegación para cruceros,

barcos y aviones

III. Movimiento de capilaridad

IV. Torres de enfriamiento nuclear

V. Óptica

VI. Radiotelescopios

VII. Estructuras arquitectónicas contemporáneas Escoge alguno de los tópicos anteriores y desarrolla una investigación al respecto. Recuerda anotar la bibliografía. Escribe mínimo media cuartilla.

Ejercicios obligatorios 13

I. Busca en la biblioteca cualquier libro de Cálculo

Diferencial e Integral. II. En el libro que seleccionaste localiza la sección de

ejercicios de integrales con fracciones parciales.

III. De esa sección identifica una fracción de cada caso y haz la separación en fracciones parciales.

IV. Anota la bibliografía.

Ejercicios obligatorios 14

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30

Completa la siguiente tabla. Grados 0° 45° 90° 135° 180°

Radianes π/6 π/3 2π/3 5π/6

Ejercicios obligatorios 15

I. Subraya una de las dos funciones f(x) = sen x, f(x) = cos x II. Toma los grados de la tabla anterior y para cada uno de ellos obtén las evaluaciones de f(x), f(-x), -f(x), f(x) + 2, f(x + 2).

Ejercicios obligatorios 16

I. Usando los radianes del ejercicio obligatorio 14 y la función que elegiste en el ejercicio 15 evalúa f(x), f(-x), -f(x), f(x) + 2, f(x + 2).

II. ¿Qué relación guardan estos resultados con los del

ejercicio obligatorio 15?

III. Grafica por separado cada una de las funciones evalúa f(x), f(-x), -f(x), f(x) + 2, f(x + 2).

IV. ¿Qué observas con respecto de cada una de las

gráficas en relación con la función original f(x)?

Ejercicios obligatorios 17

Verifica la siguiente identidad trigonométrica tan2 x – sen2 x = (tan2 x)(sen2 x) I. Analíticamente II. Gráficamente

ACTIVIDADES INTEGRADORAS

Actividad integradora 1

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Resuelve los ejercicios de repaso del capítulo 1 del texto, pp. 46-48.

Actividad integradora 2

Escoge el inciso que corresponda a la respuesta correcta. Anexa los procedimientos que utilizaste para llegar al resultado.

I Halla las raíces de 5x2 – 3x – 2 = 0

a) {1, -2/5} c) {-1, -2/5} e)

{-2, -1/5} b) {-1, 2/5} d) {1/5, -2}

II Al resolver la ecuación 1 = x/2 + 1 la raíz mayor es:

1 + 1 . 1 + 1/x

a) 0 b) –3/2 c) 3/2 d) 1 e) –1

III Al resolver 5x2 – 3x – 1 = 0 se obtiene:

a) dos raíces reales iguales b) dos raíces reales conjugadas c) dos raíces complejas conjugadas

d) una raíz real y otra imaginaria e) dos raíces racionales y desiguales

IV Si las raíces de una ecuación de segundo grado son X1 = (5 + 2i) / 3 y X2 = (5 – 2i) / 3; entonces la ecuación que le dio origen es:

a) 9x2 – 30x – 29 = 0 b) 9x2 + 30x + 29 = 0 c) 9x2 – 30x + 29 = 0 d) 9x2 + 30x – 29 = 0 e) ninguna de las anteriores

V Al resolver (x - 1) = 3 + (3x – 2) se obtiene

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32

a) una solución real y otra imaginaria b) dos soluciones reales c) una solución extraña y otra solución real d) dos soluciones complejas y conjugadas e) es una ecuación sin soluciones

Actividad integradora 3

I. Identifica a que figura pertenece cada una de las siguientes ecuaciones.

a) 4x2 – 9y2 = 36 b) y = 3x + 2

c) x2 + y2 = 4

d) y = x2 + 2

e) 4x2 + 9y2 = 36

I. Haz la gráfica de cada una de ellas. II. Analiza cada gráfica señalando sus características

principales (focos, pendiente, vértices, etc.).

Actividad integradora 4

I. Las funciones f(x) = 2x y g(x) = x3 son crecientes

A) ¿Cuál de las dos funciones aumenta más rápido que la otra, para valores grandes de x? B) Ilustra este hecho calculando los valores de ambas funciones para varios valores grandes de x.

C) Grafica ambas funciones y determina el número de puntos de intersección.

II. Las funciones h(x) = ln x y k(x) = x son crecientes para x > 0.

a) ¿Cuál de las dos funciones aumenta más lentamente que la otra, para valores grandes de x?

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33

b) Ilustra este hecho calculando los valores de ambas funciones para varios valores grandes de x.

c) Grafica ambas funciones y determina el número de puntos de intersección.

I. Las siguientes 11 funciones aumentan sin límite para x > 1. Ponlas en orden iniciando con la función que aumenta lentamente y terminando con la función que aumenta con rapidez: x, 2x, log x, x6, x(ln x), ex, x0.1, ln(ln x), 2x, ln x, ea (donde a = x2).

Actividad integradora 5

I Escribe un sistema de 2x2. II. Resuelve el sistema que escribiste explicando paso a paso

a) el método de sustitución b) el método de igualación

c) el método de reducción

d) el método de los determinantes

e) el método gráfico

INSTRUCCIONES DEL CASO INTEGRADOR 1. Lee por completo el caso integrador.

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34

2. Resuelve punto por punto identificando en cada caso el área

(álgebra, geometría o trigonometría) y subtema o subtemas (suma de polinomios, secciones cónicas, valores de funciones trigonométricas, etc.) que utilizaste para la solución del problema.

3. Sé claro en tus procedimientos y escribe paso a paso el

procedimiento que seguiste en la resolución de cada uno de los puntos.

4. En caso de que los hubiera, menciona los diferentes métodos por

medio de los cuales se puede resolver un mismo punto. 5. Con referencia a la instrucción 4, explica por qué escogiste cierto

procedimiento en la solución de algún punto en lugar de cualquier otro.

CASO INTEGRADOR Se desea construir un domo circular de 25π m2 de área. Supón que pudieras trazarlo sobre un eje cartesiano de tal forma que la puerta de entrada quedase en la coordenada (3,1) y la puerta de salida al este de la entrada formando imaginariamente los extremos del diámetro del círculo. 1. ¿Qué radio debe tener el domo? 2. ¿En qué coordenada quedaría el centro del domo? 3. ¿En qué coordenada quedará ubicada la puerta de salida del

domo? 4. Dibuje una gráfica y escriba una ecuación que se ajuste a las

condiciones anteriores. 5. A 2m hacia el norte del centro del domo está ubicado un bafle en

forma rectangular que está de frente a un pedestal para micrófono que se encuentra en la coordenada (2,3). El ángulo entre la base del bafle y el soporte del micrófono es de 30° para que no entre en un campo de visión de sonido. Determina la altura ideal del pedestal.

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35

6. Al centro del domo se debe poner una duela en forma de

rectángulo, con dos semicírculos en los extremos. Estos extremos quedarán en dirección de cada una de las puertas de entrada y salida. La duela debe tener un perímetro de 20 m y el área de la porción rectangular debe ser el doble de la suma de las áreas de los dos extremos. Encuentra el ancho y largo la porción rectangular, así como el radio para trazar los semicírculos.

7. Se va a acordonar la zona del público y para ello se cuenta con 14 m de listón azul. Ésta zona tiene forma rectangular ubicada hacia el sur del centro del domo cubriendo en total un área de 12 m2. ¿Qué dimensiones debe tener la zona acordonada? ¿Cómo conviene acomodar la zona? Señálala en plano.

8. Supón que se desea acordonar también una zona para el jurado con una curva exponencial. Sabemos que f(x) = ex cruza el eje de las y en el punto (0,1). Traslada ésta función de tal forma que este punto quede localizado en la coordenada (-7,1) Dibuja la curva donde se supone quedaría el listón que acordona la zona del jurado.

CONCEPTOS CLAVES DEL CURSO NOTA : Tu actividad aquí, es elaborar un glosario con estos conceptos. Ayúdate de los libros. Números reales Números naturales Números enteros Números irracionales Números complejos Exponente Coeficiente Simplificar una expresión Racionalización del denominador Expresión algebraica Monomio Binomio Trinomio Polinomio Grado de un polinomio Factorización Expresión fraccionaria Fracción compleja Conjugado Ecuación Ecuación lineal Ecuación cuadrática Raíz doble Fórmula cuadrática Discriminante Ceros de un polinomio Sistema de coordenadas rectangulares Abscisa Ordenada Función Variable Variable dependiente Recta Pendiente Rectas paralelas Rectas perpendiculares

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Sección cónica Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola Sistema de ecuaciones lineales Sistema de ecuaciones consistente Sistema de ecuaciones inconsistente Solución de un sistema de ecuaciones lineales Determinante Fracción parcial Ángulo Radián Cateto Hipotenusa Triángulo rectángulo Forma estándar de una ecuación cuadrática Solución de una ecuación cuadrática Número e Función logarítmica

CRITERIOS DE EVALUACIÓN Para que apruebes este curso de precálculo, requieres sumar porcentajes de acuerdo a los siguientes rubros : EJERCICIOS OBLIGATORIOS 20% INVESTIGACIONES 5% ACTIVIDADES INTEGRADORAS 20% PROBLEMAS DE LA ACTIVIDAD PRELIMINAR 10% CASO INTEGRADOR 15% GLOSARIO 5% EXAMENES PARCIALES 25%

FECHAS DE ENTREGA

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Sesión 1

Presentación Actividad preliminar

Fecha

Sesión 2

Ejercicios obligatorios

1, 2 y 3 Fecha

Sesión 3

Actividad Integradora 1

Fecha

Sesión 4

Examen 1 (cap. I y II)

Ej. Obligatorios

4 y 5 Fecha

Sesión 5

Ej. Obligatorios

6 Fecha

Sesión 6

Examen 2 (cap. III) Fecha

Sesión 7

Actividad Integradora 2

Fecha

Sesión 8

Examen 3 (cap. IV)

Fecha

Sesión 9

Ejercicios Obligatorios

8, 9 y 10 Fecha

Sesión 10

Ej. Obligatorios

11,12 Activ.

Integradora 3

Fecha Sesión 11

Examen 4 (cap. V) Fecha

Sesión 12

Actividad Integradora 4

Fecha

Sesión 13

Activ. Integradora 5

Ej. Obligatorios 13

Fecha

Sesión 14

Ej. Obligatorios 14, 15, 16 y

17 Fecha

Sesión 15

Examen 5 (cap. VI,VII)

Fecha

Sesión 16

Prob. Preliminares

Caso integrador Glosario Fecha

Sesión 17

Entrega de notas

Aclaraciones

Sesión 18

Asesoría para examen

extraordinario

Sesión 19

Examen extraordinari

o

Sesión 20

Entrega de notas

Aclaraciones

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TEXTO Y BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA

TEXTO

Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica

Swokowski & Cole

Novena Edición

International Thomson

México, 1998

BIBLIOGRAFIA SUGERIDA LIBRO 1 LIBRO 2 Álgebra Intermedia Álgebra Elemental Allen R. Ángel Ignacio Bello Segunda Edición International Thomson Prentice hall México 1999 México, 1992 LIBRO Álgebra y trigonometría con geometría analítica Gechtman Limusa México, 1996