Embed Size (px)
DESCRIPTION
Malaria merupakan penyakit yang disebabkan oleh infeksi parasit dari genus Plasmodium, yang dapat menyerang manusia. Penyakit malaria menular melalui gigitan nyamuk, yang membunuh ribuan orang setiap tahunnya. Pada penelitian ini disajikan sebuah model dalam bentuk sistem persamaan diferensial biasa bagi penyebaran malaria pada populasi manusia dan nyamuk. Pada model yang telah dirumuskan oleh Chitnis, populasi manusia dibagi menjadi empat subpopulasi, yaitu manusia rentan (susceptible), manusia terpapar (exposed), manusia terinfeksi (infected), dan manusia sembuh (recovered), sedangkan populasi nyamuk dibagi menjadi tiga subpopulasi, yaitu nyamuk rentan (susceptible), nyamuk terpapar (exposed), dan nyamuk terinfeksi (infected). Manusia rentan dapat terinfeksi saat digigit oleh nyamuk yang terinfeksi. Mereka kemudian berpindah ke kelas terpapar, infeksi, dan sembuh, sebelum kembali memasuki kelas rentan. Nyamuk rentan dapat terinfeksi ketika menggigit manusia terinfeksi atau manusia sembuh, dan mereka akan berpindah pada kelas terpapar dan terinfeksi. Model yang diusulkan dalam penelitian ini merupakan modifikasi dari model yang telah dirumuskan oleh Chitnis dengan menambahkan parameter laju pemulihan manusia dari subpopulasi terinfeksi ke subpopulasi rentan. Model ini menunjukkan adanya endemik maupun tanpa penyakit di suatu daerah untuk nilai parameter tertentu. Hal ini dapat dilihat dari perhitungan titik tetap model. Perhitungan menunjukkan adanya dua titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit (disease-free equilibrium) yang terdiri dari sub-subpopulasi yang tidak mengandung parasit dalam tubuhnya dan titik tetap endemik (endemic equilibrium) yang terdiri dari sub-subpopulasi yang mengandung parasit dalam tubuhnya. Selanjutnya dilakukan analisis kestabilan pada titik tetap dengan mempertimbangkan bilangan reproduksi dasar (R_0). Bilangan reproduksi dasar merupakan nilai harapan banyaknya infeksi tiap satuan waktu. Bilangan ini menjadi tolok ukur penularan penyakit dalam populasi. Jika R_0 < 1, maka rata-rata setiap individu terinfeksi akan menginfeksi kurang dari satu individu baru, sehingga penyakit tidak akan menyebar. Jika R_0 > 1, maka rata-rata setiap individu terinfeksi akan menghasilkan lebih dari satu individu baru terinfeksi, sehingga penyakit akan menyebar. Hasil analisis dan simulasi numerik menunjukkan bahwa jumlah tiap subpopulasi manusia dan nyamuk mencapai kondisi stabil di sekitar titik tetap tanpa penyakit pada kondisi R01. Simulasi juga menunjukkan adanya kontribusi parameter laju pemulihan manusia dari subpopulasi terinfeksi ke subpopulasi rentan terhadap perubahan nilai bilangan reproduksi dasar. Jika laju pemulihan manusia ditingkatkan, maka R0 akan semakin kecil. Dengan demikian, peningkatan nilai parameter ini dapat membantu menekan laju penularan penyakit dalam populasi.
Citation preview
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
RESMAWAN G 551 11 0021
Komisi Pembimbing Dr. Paian Sianturi
Dr. Ir. Endar H Nugrahani, MS
Bogor, 31 Juli 2013
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Latar Belakang
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Sumber: Ditjen PP & PL
Latar Belakang
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Latar Belakang
1911 1957
2000 2005
R. Ross βΉ Model Ross
MacDonald βΉ Model Ross-MacDonald
Ngwa & Shu Chitnis
Model
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B Tujuan
Menentukan titik tetap dan analisis
kestabilan pada model SEIRS-SEI
Melakukan simulasi terhadap model untuk
melihat dinamika populasi manusia dan
nyamuk pada kondisi tanpa penyakit
dan endemik
Menunjukkan kontribusi laju pemulihan
manusia dari subpopulasi terinfeksi ke
subpopulasi rentan terhadap laju
penyebaran penyakit
Merekonstruksi model matematika
penyakit malaria
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B Metode
Merekonstruksi Model Penyakit Malaria
Menentukan Titik Tetap
Bilangan Reproduksi Dasar
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Simulasi Numerik
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
SPD
Diagram Kompartmen SEIRS-SEI Ngwa & Shu
2000
Keterangan : Perpindahan Individu
Pengaruh
ππ
πΏβ
πβ(πβ) πβ(πβ)
ππ(ππ)
πΎβ
ππ(ππ)
πβ(πβ)
Sh Eh Ih
Sm Em
πβ(πβ)
π£π
ππ(ππ)
π£β
πβ
Rh
Im
πβ
ππ
πβ
πβ
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
SPD
Chitnis
2005 Diagram Kompartmen SEIRS-SEI
Keterangan : Perpindahan Individu
Pengaruh
Ξβ
ππ
πΏβ
πβ(πβ) πβ(πβ)
ππ(ππ)
πΎβ
ππ(ππ)
πβ(πβ)
Sh Eh Ih
Sm Em
πβ(πβ)
π£π
ππ(ππ)
π£β
πβ
Rh
Im
πβ
ππ
πβ
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Imigrasi
π°π β πΊπ
Ngwa & Shu
?
Chitnis
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
SPD
Diagram Kompartmen SEIRS-SEI
Keterangan : Perpindahan Individu
Pengaruh
Ξβ
ππ
πΏβ
πβ(πβ) πβ(πβ)
ππ(ππ)
πΎβ
ππ(ππ)
πβ(πβ)
Sh Eh Ih
Sm Em
πβ(πβ)
π£π
ππ(ππ)
π£β
πβ
Rh
Im
πβ
ππ
πβ
πβ
Gabungan
2013
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Sistem Persamaan
ππβ
ππ‘= Ξβ + πβπβ + πβπΌβ + πβπ β β (πβ + πβ(πβ))πβ
ππΈβ
ππ‘= πβπβ β (π£β + πβ(πβ))πΈβ
ππΌβππ‘
= π£βπΈβ β (πΎβ + πβ(πβ) + πΏβ + πβ)πΌβ
ππ β
ππ‘= πΎβπΌβ β (πβ + πβ(πβ))π β (3.9)
πππ
ππ‘= ππππ β (ππ + ππ (ππ ))ππ
ππΈπ
ππ‘= ππππ β (π£π + ππ (ππ))πΈπ
ππΌπππ‘
= π£ππΈπ β ππ (ππ)πΌπ
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
πβ(πβ) = π1β + π2βπβ
ππ(ππ) = π1π + π2πππ
ππβ
ππ‘= Ξβ + πβπβ β πβ(πβ)πβ β πΏβπΌβ
πππ
ππ‘= ππππ β ππ(ππ)ππ
Sistem Persamaan
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Sistem Persamaan
πβ =πΈβ
πβ, πβ =
πΌβπβ
, πβ =π β
πβ, ππ =
πΈπ
ππ, ππ =
πΌπππ
, π β =πβ
πβ, π π =
ππ
ππ
Penondimensionalan
π β + πβ + πβ + πβ = 1 dan π π + ππ + ππ = 1
πβ = π βπβ = (1 β πβ β πβ β πβ)πβ
ππ = π πππ = (1 β ππ β ππ)ππ
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Sistem Persamaan
ππβ
ππ‘=
πππβπππ½βπ ππππππ + πβπβ
(1 β πβ β πβ β πβ) β π£β + πβ +Ξβ
πβ πβ + πΏβ πβπβ
ππβππ‘
= π£βπβ β πΎβ + πΏβ + πβ + πβ +Ξβ
πβ πβ + πΏβ πβ
2
ππβππ‘
= πΎβ πβ β πβ + πβ +Ξβ
πβ πβ + πΏβ πβπβ
ππβ
ππ‘= Ξβ + πβπβ β (π1β + π2βπβ)πβ β πΏβ πβπβ
πππ
ππ‘=
πππβπβ
ππππ + πβπβ π½πβ πβ + π½ πβπβ (1 β ππ β ππ ) β (π£π + ππ )ππ
πππππ‘
= π£πππ β ππ ππ
πππ
ππ‘= ππππ β (π1π + π2πππ )ππ
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Hasil Penelitian
ππππ (πβ , πβ , πβ , πβ , ππ , ππ , ππ) = (0, 0, 0, πββ, 0, 0, ππ
β )
πββ =
(πβ β π1β) + (πβ β π1β)2 + 4π2βΞβ
2π2β
ππβ =
(ππ β π1π)π2π
Titik tetap tanpa penyakit
Titik Tetap
Titik tetap endemik
π₯ππ (πβ , πβ , πβ , πβ , ππ , ππ , ππ) = (πβββ, πβ
ββ, πβββ, πβ
ββ, ππββ, ππ
ββ, ππββ)
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Hasil Penelitian Bilangan Reproduksi Dasar
π‘π = π²πππ²ππ
KET
π² =π π²ππ
π²ππ π Diekman (1990)
Bilangan Reproduksi Dasar: Nilai eigen
Modulus Terbesar dari matriks K
(Driessche&Wathmough, 2005)
πΎβπ = πΌβπ. ππβ . π½βπ. πβπ
πΎπβ = πΌβπ. πββ π½πβ. ππβ + π½ πβ. π πβ. ππβ
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Hasil Penelitian Analisis Kestabilan Titik Tetap
Matriks Jacobi
π±ππ ππ=
π±ππ π π π π π±ππ ππ±ππ π±ππ π π π π π
πππππ
π±ππ
π±ππ
π±ππ
ππ
π±ππ
ππ±ππ
ππ
ππ±ππ
πππ
πππ±ππ
π±ππ
π
ππππ±ππ
π
πππππ±ππ
SPD
ππ ππ Pelinearan
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Hasil Penelitian Analisis Kestabilan Titik Tetap
Matriks Jacobi
Nilai Eigen
Stabil jika semua nilai eigen negatif
Tidak Stabil jika ada minimal 1 nilai eigen taknegatif
Kondisi Kestabilan
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Hasil Penelitian
π‘π < π
Simulasi Numerik
ππ ππ = 0, 0, 0, 583, 0, 0, 2425 Nilai Parameter
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000480
500
520
540
560
580
Pop
ulas
i Man
usia
Nh
Sh
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000
20
40
60
Waktu (Hari)
Pop
ulas
i Man
usia
Eh
Ih
Rh
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Hasil Penelitian
π‘π < π
Simulasi Numerik
ππ ππ = 0, 0, 0, 583, 0, 0, 2425
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10002000
3000
4000
5000
Pop
ulas
i Nya
muk
Nm
Sm
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
20
40
60
80
100
Waktu (Hari)
Pop
ulas
i Nya
muk
Em
Im
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Hasil Penelitian
π‘π > π
Simulasi Numerik
πππ = 0.0085, 0.1516, 0.7435, 492, 0.1463, 0.1024, 4850
0 200 400 600 800 10000
200
400
600
Popu
lasi
Man
usia
Nh
Sh
Eh
Ih
Rh
0 200 400 600 800 10000
1000
2000
3000
4000
5000
Waktu (Hari)
Popu
lasi
Nya
muk
Nm
Sm
Em
Im
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Hasil Penelitian
Parameter ππ Bilangan Reproduksi
Dasar
πβ = 1.0 Γ 10β3 β0 = 0.99
πβ = 1.4 Γ 10β3 β0 = 0.96
πβ = 1.8 Γ 10β3 β0 = 0.92
πβ = 2.2 Γ 10β3 β0 = 0.89
πβ = 2.6 Γ 10β3 β0 = 0.86
Pengaruh nilai ππ terhadap laju penyebaran penyakit
Simulasi Numerik
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Hasil Penelitian
Pengaruh nilai ππ terhadap laju penyebaran penyakit
Simulasi Numerik
0 50 100 150 200 250 300 350 4000
20
40
60
Waktu (Hari)
Man
usia
Ter
infe
ksi
0 50 100 150 200 250 300 350 40020
30
40
50
Waktu (Hari)
Nya
muk
Ter
infe
ksi
0 100 200 300 4000
20
40
60
Waktu (Hari)
Manusia
Terinfe
ksi
omg=1.0e-3
omg=1.4e-3
omg=1.8e-3
omg=2.2e-3
omg=2.6e-3
0 100 200 300 40020
30
40
50
Waktu (Hari)
Nyam
uk T
erinfe
ksi
omg=1.0e-3
omg=1.4e-3
omg=1.8e-3
omg=2.2e-3
omg=2.6e-3
0 100 200 300 4000
20
40
60
Waktu (Hari)
Manusia
Terinfe
ksi
omg=1.0e-3
omg=1.4e-3
omg=1.8e-3
omg=2.2e-3
omg=2.6e-3
0 100 200 300 40020
30
40
50
Waktu (Hari)
Nyam
uk T
erinfe
ksi
omg=1.0e-3
omg=1.4e-3
omg=1.8e-3
omg=2.2e-3
omg=2.6e-3
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Simpulan
Simulasi numerik menunjukkan bahwa jumlah tiap
subpopulasi manusia dan nyamuk mencapai kondisi stabil
di sekitar titik tetap tanpa penyakit pada kondisi π‘π < π,
dan stabil di sekitar titik tetap endemik pada kondisi π‘π > π.
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Simpulan
Simulasi juga menunjukkan adanya kontribusi parameter
laju pemulihan manusia dari subpopulasi terinfeksi ke
subpopulasi rentan (ππ) terhadap penurunan bilangan
reproduksi dasar (π‘π). Jika laju pemulihan manusia
ditingkatkan, maka bilangan reproduksi dasar akan
semakin kecil. Dengan demikian, peningkatan nilai
parameter ini dapat membantu menekan laju penularan
penyakit dalam populasi.
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B Hasil
Titik Tetap
Bilangan Reproduksi Dasar
Kestabilan Titik Tetap
Simulasi Numerik
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B Nilai Parameter
Parameter Nilai
β0 > 1 β0 < 1
Ξβ 0.033 0.041
πβ 1.1 Γ 10β4 5.5 Γ 10β5
ππ 0.13 0.13
π½πβ 0.48 0.24
π½βπ 0.022 0.022
π½ πβ 0.048 0.024
πβ 19 4.3
ππ 0.5 0.33
π£β 0.1 0.1
π£π 0.091 0.083
πΎβ 0.0035 0.0035
πΏβ 9 Γ 10β5 1.8 Γ 10β5
πβ 5.5 Γ 10β4 2.7 Γ 10β3
π1β 1.6 Γ 10β5 8.8 Γ 10β6
π2β 3 Γ 10β7 2 Γ 10β7
π1π 0.033 0.033
π2π 2 Γ 10β5 4 Γ 10β5
πβ 1.853 x 10β3 1.853 x 10β3
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Sistem Persamaan Ngwa & Shu
2000
ππβ
ππ‘= πβπβ + πβπΌβ + πβπ β β (π
β+ πβ(πβ))π
β
ππΈβ
ππ‘= πβπβ β (π£β + πβ(πβ))πΈ
β
ππΌβππ‘
= π£βπΈβ β πΎβ + πβ(πβ) + πΏβ + πβ πΌβ
ππ β
ππ‘= πΎβπΌβ β (πβ + πβ(πβ))π
β (3.9)
πππ
ππ‘= ππππ β (ππ + ππ(ππ))π
π
ππΈπ
ππ‘= ππππ β (π£
π+ ππ(ππ))πΈπ
ππΌπππ‘
= π£ππΈπ β ππ(ππ)πΌπ
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Sistem Persamaan Chitnis
2005
ππβ
ππ‘= Ξβ + πβπβ + πβπ β β (πβ + πβ(πβ))πβ
ππΈβ
ππ‘= πβπβ β (π£β + πβ(πβ))πΈβ
ππΌβππ‘
= π£βπΈβ β (πΎβ + πβ(πβ)+πΏβ)πΌβ
ππ β
ππ‘= πΎβπΌβ β (πβ + πβ(πβ))π β (3.1)
πππ
ππ‘= ππππ β (ππ + ππ (ππ ))ππ
ππΈπ
ππ‘= ππππ β (π£π + ππ (ππ))πΈπ
ππΌπππ‘
= π£ππΈπ β ππ (ππ)πΌπ
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
πΎβπ dan πΎπβ : perkalian dari kemungkinan individu bertahan dari
keadaan terpapar sampai terinfeksi, banyaknya kontak,
kemungkinan penularan per kontak, dan rata-rata masa hidup
individu.
πΌβπ =π£π
π£π + π1π + π2πππβ πΌπβ =
π£β
π£β + π1β + π2βπββ
πβπ =1
π1π + π2πππβ ππβ =
1
πΎβ + πΏβ + πβ + π1β + π2βπββ
π πβ =1
πβ + π1β + π2βπββ ππβ =
πΎβ
πΎβ + πΏβ + πβ + π1β + π2βπββ
