PENGGUNAAN MATRIKS UNTUK MENYELESAIKAN SPLDV

KELOMPOK 3 :

1. ISNAINI BUDI P. (11)2. KHAIRANISA NINDYA (12)3. M. SYAFI’I (14)4. MUFLICHAH SALAFATUN (16)5. NAJMI UMINDA (17)6. RIANA DEVI (24)7. RISKA AMALIA (25)8. RIZALDY HABIBIE (26)9. UMDATUL FADHILAH (36)10.YEFTA FRIYA S. (39)

DEFINISI DETERMINAN

Misalkan M adalah himpunan semua matriks persegi, kemudian A ∈ M. Determianan dari matriks A adalah fungsi yang memetakan An×n ke bilangan x ∈ R. Determinan dari matriks yang tidak persegi tidak didefinisikan.

Artinya : setiap matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu skalar atau bilangan yang disebut determinan. Determianan matriks A dapat dituliskan dengan det(A), lAl, atau ∆.

Jika matriks A =𝑎 𝑏𝑐 𝑑

, maka determianan dari matriks A adalah

det lAl = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

= ad – cb

diagonal utama dikurangi diagonal samping

Determinan Matriks Persegi Berordo 3 x 3

Dapat diselesaikan dengan 2 cara , yaitu : 1. metode sarrus metode sarrus-kino

2. cara ekspansi kofaktor

Contoh: jika matriks A = 3 0 − 21 6 45 − 3 1

tentukan determinannya ?

Jawab : 1. Dengan Metode Sarrus

lAl = 3 0 − 21 6 45 − 3 1

3 01 65 −3

lAl = 3.6.1 + 0.4.5 + (-2).1.-3 – (-2.6.5) – 3.4.(-3) – 0.1.1= 18 + 0 + 6 + 60 + 36 – 0

= 120

Jadi, determinan dari matriks A adalah 132

Sejarah Sarrus

Pierre Fr´ed´eric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20 November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrus adalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis (1826-1856) dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarus menemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinan untuk matriks berukuran 3 × 3 yang dinamakan skema Sarrus.

Misalkan A = a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

Perhatikan matriks dibawah

lAl = a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11 a12

a21 a22

a31 a32

det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32

+++

- - -

Dengan menggunakan cara sarrus-kino

1 6 45 −3 1

lAl = 3 0 − 21 6 45 − 3 1

-

-

-

+

+

+

= 3.6.1 +5.0.4 + 1.(-3).(-2) - 5.6.(-2) – 1.0.1 – 3.(-3).4= 18 + 0 + 6 + 60 – 0 + 36 = 120

atau

- - -

lAl = −241

3 0 − 21 6 45 − 3 1

315

= -2.1.(-3) + 3.6.1 + 0.4.5 – 1.1.0 – (-

2).6.5 – (-3). 4.3 = 6 + 18 + 0 – 0 + 60 +36 = 120

+ + +

2. Cara Ekspansi Faktor Sebelum mencari determinan dengan ekspansi faktor, kita harus

menyelesaikan terlebih dahulu pengertian Minor dan Kofaktor.

-Minor adalah suatu determinan yang dihasilkan detelah terjadi penghapusan baris dan kolom

dimana unsur itu terletak.

contoh : lAl = 3 0 − 21 6 45 − 3 1

, berapak minor untuk unsur 4?

jawab : minor untuk unsur 4 adalah M23, karena unsur 4 berada dalam baris 2 kolom 3,

maka3 0 − 21 6 45 − 3 1

hapus baris ini

hapus kolom ini

M23 = 3 05 − 3

= 3.(-3) -5.0 = -9

Jadi, Minor dari unsur 4 adalah -9

- Kofaktor dari suatu unsur adalah minor unsur itu berikut dengan tanda.

keterangan : k = kofaktor

Kij = (-1)i+j . Mij i = baris

j = kolom

M = minor

Ekspansi Kofaktor

Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat menuliskan determinan dari matriks

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

yang berukuran 3 × 3 yaitu

det(A) = a11M11 + a12−M12 + a12M13

= a11C11 + a12C12 + a13C13

Secara umum determinan dari matriks M berukuran n × n adalah

det(M) = a11C11 + a12C12 + ··· + a1nC1n

Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama matriks M.

Contoh : hitunglah determinan berikut dengan ekspansi kofaktor.

∆ = 2 − 4 3−1 5 − 27 − 8 1

a. Menurut kolom pertama

b. Menurut baris ketiga

Jawab :

a. Kolom pertama terdiri dari anggota 2, -1, 7

Maka ∆ = 2 . M11 - (-1) . M21 + 7 . M31

= 2 5 − 2

−8 1+ 1

−4 3−8 1

+ 7 −4 35 − 2

= 2 (5 -16) + 1 (-4 +24) + 7 (8 – 15)

= 2 (-11) + 1 . 20 + 7 (-7)

= -51

Jadi, ∆ = -51

+ -

-

-- +

+ +

+

b. Baris ke tiga terdiri dari 7, -8, 1

Maka ∆ = 7 . M31 - (-8) . M32 + 1 . M33

= 7 −4 35 − 2

+ 8 2 3−1 − 2

+ 1 2 − 4−1 5

= 7 (8-15) + 8 (-4+3) + (10-4)

= 7 (-7) + 8 (-1) + 6

= -49 - 8 + 6

∆ = -51

Jadi, nilai dari ∆ dengan menggunakan ekspansi faktor menurut baris ke tiga adalah ∆ = -51

PERKALIAN MATRIKS

o Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jIka banyaknya baris matriks A sama

dengan banyaknya kolom matriks B.

o Untuk mencari hasil kali matriks A dengan matriks B adalah mengalikan baris-

baris pada matriks A dengan kolom-kolom pada matriks B dan kemudian

jumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom

dc

ba

hg

fe

dhcfdgce

bhafbgae=

Sifat perkalian matriks dengan skalar

jika matriks A dan B berordo m x n dan r, s €bilangan real, maka :

1. (r + s) A = rA + sA 4. I . A + A. I + A

2. r (A + B) = rA + rB 5. (-1) A = A (-1) = -A

3. r ( sA ) = ( r . s ) A

Sifat-sifat perkalian dua buah matriks atau lebihTidak komutatif AB ≠ BA

1. Asosiatif (AB) C = A (BC)

2. Distributif kiri A (B + C) = AB + AC

3. Distributif kanan (B + C ) A = BA + CA

4. k (A . B ) = kA . B = A. kB , dengan k bilangan real

5. Jika AB = 0,belum tentu A = 0 atau B = 0

6. Jika AB = AC,belum tentu B = C

7. Identitas : A . I = I . A = A

1. Perkalian Sekalar

Definisi : Misalkan A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang skalar. Perkalian cA adalah matriks

yang didapat dari mengalikan setiap entri matriks A dengan c. Matriks cA disebut perkalian skalar

dari matriks A.

Soal : Jika c = −1 dan A =2 1 0−1 0 24 −2 7

, tentukan cA ?

2. Perkalian Dua Buah Matriks

Perhatikan matriks berikut

A = 1 2 42 6 0

dan B = 4 1 4 30 −1 3 12 7 5 2

Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Karena A berukuran 2 × 3 dan B berukuran 3 × 4 jadi AB berukuran 2 ×4.

Tentukan semua entri matriks AB?

Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear DuaVariabel

Apabila A,B, dan X adalah matriks-matriks persegi berordo 2 dan A adalah

matriks nonsingular yang mempunyai invers,yaitu A-1

1. Penyelesaian persamaan matriks AX=B ditentukan oleh X=A-1 .B2. Penyelesaian persamaan matriks XA=B ditentukan oleh X=B.A-1

Contoh :Diketahu P dan Q adalah matriks matriks persegi berordo 2 dengan

Q= 2 −54 1

Tentukan matriks P, jika:

a. PQ= 20 162 −6

b. QP= 20 162 −6

Jawab:

a. PQ = 20 162 −6

P = 20 162 −6

.Q-1

= 20 162 −6

1

2+20

1 5−4 2

= 20 162 −6

1

22

5

22−4

22

2

22

= −2 6

12

11−

1

11

Jadi, matriks P adalah = −2 6

12

11−

1

11

b. QP= 20 162 −6

P= Q-1 20 162 −6

=1

2+20

1 5−4 2

20 162 −6

=

1

22

5

22−4

22

2

22

20 162 −6

=

15

11−

7

11

−35

11−3

5

11

Jadi,matriks P adalah =

15

11−

7

11

−35

11−3

5

11

Pada subbab ini akan dibahas dua metode lagi untuk mencari penyelesaian system persamaan linear dua variable . Dua metode tersebut adalah

metode invers matrriks dan metode determinan.

1. Menyelesaikan system persamaan linear dua variabel dengan invers matriks

Bentuk umum system persamaan linear dua peubah 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑝𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑞

dapat dinyatakan dalam bentuk

persamaan matriks,yaitu𝑎 𝑏𝑐 𝑑

𝑥𝑦

= 𝑝𝑞

. Sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan oleh :

𝑥𝑦

=1

𝑎𝑑−𝑏𝑐

𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

𝑝𝑞

Contoh :Tentukan nilai x dan y pada persamaan linear 5x-2y=4 dan 2x-y=7 dengan menggunakan metode invers matriks!

Jawab:

Bentuk matriks : 5 −22 −1

𝑥𝑦

= 47

𝑥𝑦

= 1

−5 −(−4)

−1 2−2 5

47

= 1

−1

−1.4 + 2.7−2.4 + 5.7

= -1 1027

= −10−27

Jadi, diperoleh nilai dari X=-10 dan Y=-27

2. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variable dengan determinan

Contoh :Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear variabel 3x-y=5 dan -2x+5y=-12dengan menggunakan

metode determinan!

Jawab:

Bentuk matriks : 3 −1−2 5

𝑥𝑦

= 5−12

D= 3.5 - −2.−1 =15-2=13~ untuk mencari Dx, posisi x yaitu 3 dan -2 diganti dengan hasil yaitu 5 dan -12. sedangkan posisi Y tetap.

sehingga membentuk 5, -1, -2 , dan 5.

x = 𝐷

𝑋

𝐷=

5 −1−12 5

13= 25−12

13= 13

13= 1 Jadi, HP = 1,−2

y =𝐷

𝑌

𝐷=

3 5−2 −12

13= −36+10

13= −26

13= -2~

Soal !

1. Diketahui matriks X = 3 1 22 1 21 0 3

dan X . Y = Z , dengan Z = 10 188 145 13

. Tentukan

matriks Y ?

2. Diketahui : x + y – z = 1 , 8x + 3y – 6z = 1, -4x – y + 3z = 1 , tentukanlah nilai dari x, y, dan z dengan cara determinan?

3. Ibu Ahmad berbelanja di Toko ”Sembako Sejahtera” sebanyak 5 kg beras denganharga

Rp6.000,00 per kg, 4 kg terigu dengan harga Rp7.000,00 per kg, dan 3 liter minyakgoreng dengan

harga Rp9.000,00 per liter. Ibu Susan berbelanja barang yang sama di toko yang samadengan kuantitas

10 kg beras, 8 kg terigu, dan 2 liter minyak goreng. Sederhanakan persoalan di atasdalam bentuk

perkalian matriks dan tentukan jumlah yang harus dibayar oleh Ibu Ahmad dan IbuSusan.