Matematica 1º2 b

57

58 COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria MATEMATICA 2do. Año

Secundaria

En la multiplicación así como en la potenciación existen expresiones que pueden escribirse directamente los resultados teniendo en cuenta ciertos principios. A éstas expresiones se llaman PRODUCTOS NOTABLES.

01. Binomio al cuadrado

2bab22a2)ba( ++=+ Resulta un Trinomio Cuadrado Perfecto

2bab22a2)ba( +−=− Resulta un Trinomio Cuadrado Perfecto

Efectuar:

=− 2)3y2x( ......................................................................

=+ 2)23( ......................................................................

2n2xnx

− = ......................................................................

=

+

2

a

b

b

a ......................................................................

02. Binomio al cubo

Formas desarrolladas:3b2ab3b2a33a3)ba( +++=+3b2ab3b2a33a3)ba( −+−=−

Formas abreviadas:)ba(ab33b3a3)ba( +++=+

)ba(ab33b3a3)ba( −−−=−

Equivalencias deCauchy

Efectuar:

=+ 3)1x2( ......................................................................

=

−

32

3x ......................................................................

=

−−

3n1xnx ......................................................................

03. Producto de la suma por diferencia

2b2a)ba)(ba( −=−+ Resulta una diferencia de cuadrados.

Efectuar:

(x+3)(x-3) = ......................................................................

( ) =−+ )35(35 ......................................................................

=

+

− x2xx2x ......................................................................

(a + b + c + d)(a + b – c – d) = ......................................................................

04. Producto de dos binomios con un término común

abx)ba(2x)bx)(ax( +++=++ Equivalencias de Stiven

Efectuar:

(x+5)(x+8) = ......................................................................

(2x-3)(2x+7) = ......................................................................

)33y()93y( −+ = ......................................................................

(a+b+5)(a+b-3) = ......................................................................

05. Producto de un binomio por un trinomio

3b3a)2bab2a)(ba( +=+−+

S2MA32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2MA32B “El nuevo símbolo de una buena educación…”

PRODUCTOS NOTABLES Y

57


Secundaria

3b3a)2bab2a)(ba( −=++−

Efectuar:

(x+2) )4x22x( +− = ......................................................................

=

++

− 3

43

103

253

23

5 ......................................................................

=

+−

+ x4x6x9x2x3 ......................................................................

(xy+z) =+− )2zxyz2y2x( ......................................................................

06. Trinomio al cuadrado

Forma desarrollada:

bc2ac2ab22c2b2a2)cba( +++++=++

Forma abreviada:

)bcacab(22c2b2a2)cba( +++++=++

Efectuar:

=+− 2)3yx2( ......................................................................

( ) =−+2

5232 ......................................................................

07. Trinomio al cubo

Forma desarrollada:

abc6b2c3a2c3c2b3a2b3c2a3b2a33c3b3a3)cba( +++++++++=++

Forma abreviada:

)cb)(ca)(ba(33c3b3a3)cba( ++++++=++

Efectuar:

=++ 3)x3x21( ......................................................................

EQUIVALENCIAS IMPORTANTES

08. Equivalencias de Legendre

)2b2a(22)ba(2)ba( +=−++

ab42)ba(2)ba( =−−+

Ejemplos:

=−−+ 2)2x(2)2x( ......................................................................

( ) ( ) =−++2

252

25 ......................................................................

09. Equivalencia de Lagrange

2)bxay(2)byax()2y2x)(2b2a( −++=++

Ejemplo:

=++ )92n)(42m( ......................................................................

10. Equivalencia condicional

A) Si: a + b + c = 0, se demuestra que:

⇒ 2c2b2a ++ =- 2(ab+bc+ac)

⇒ 3c3b3a ++ = 3abc

⇒ (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2

B) Si: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac ∀ a; b; c ∈ R

Se demuestra que: a = b = c


57


Secundaria

EJERCICIOS DE CLASE

01. Indique la igualdad correcta:

a) )ba)(ba(2)ba( −+=+ b) 2b2a)ba)(ba( +=−+

c) 2c2b2a2)cba( ++=++ d) 8a63a3)2a( +−=−

e) 3a1)1a2a)(1a( +=+−+

02. Efectuar: x2)1x(22)2x( ++−+

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1

03. Hallar: 3)21(143)22(5 +−+

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

04. ¿A qué es igual: xy42)yx( +− ?

a) x-y b) x+y c) yx − d) yx + e) xy

05. Reducir: 4 8b)ba)(4b4a)(2b2a)(ba( +−+++

a) a b) 2a c) b d) 2b e) ab

06. Efectuar y simplificar:

−+−+ )153(2)35(2)35[(

a) -40 b) 30 c) 15 d) -15 e) N.a.

07. Efectuar: 2

b

ab

a

ba

+

a) a+b b) ba + c) 2 ab d) 4ab e) a/b

08. Si el producto de 2 números es igual a 1 y su suma es 4, hallar la suma de sus cuadrados.

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

09. La suma de dos números es 5 y la suma de sus cubos es 95. Hallar la suma de sus cuadrados.

a) 21 b) 19 c) 18 d) 15 e) 12

10. Después de efectuar y simplificar:

)xx1()xx1()xx1()x1(xM18963227 ++++++−+=

se obtiene:

a) 1 b) -1 c) 3x d) 9x e) 27x

11. Efectuar:

)6x2x)(2xx9()x32x)(6x2x( −+++−++++

a) 12 b) 18 c) 15 d) 36 e) 45

12. Si: a + b = 5; ab = 2.

Hallar: S = 2b2a

3b3a

+

+

a) 21/95 b) 95/21 c) 21/17 d) 17/21 e) 19/21

13. Si: 32

n

1n =

+ . Hallar: 3n

13n +

a) 1 b) 0 c) 2 d) 4 e) No se puede determinar

14. Calcular: E = xy + xz + yz. Si: 292z2y2x =++ ∧ x + y + z = 9.

a) 26 b) 20 c) 81 d) 52 e) 16


57


Secundaria

15. Si: a + b = 5 ; 2b2a + = 17. Hallar a – b; si a > b.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16. Suponiendo que: x + y + z = 0, entonces el valor de: xy

2z

xz

2y

yz

2x ++

a) 3 b) 2 c) 1 d) -2 e) N.A.

17. Calcular : E = 6x

1x4

2x

12x +

+−+

a) x

2)1x( − b) x

2)1x( + c) 2)1x(

x

−d)

1x

x

−

e) x

1x −

18. Simplificar:2y2x

2)bxay(2)byax(

+

−++

a) a b) 2b2a + c) ab d) abxy e) 2b2a

19. ¿Cuánto vale “m” si se sabe que la siguiente expresión: 25x9m82mx +++ es un

trinomio cuadrado perfecto

a) - 4 b) 0 c) 7 d) 16 e) 27

20. Hallar: E = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4), para x = 2

55 −

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Simplificar:

+−

−

+ 18n2xn2x

2nx6

23nx

a) 81 b) n4x c) 92nx + d) 9n2x + e)N.A.

02. Simplificar: 932x2x213.213 −

+

−+−

a) 2x13 − b) 4x c) 4 - 2x d) 2x4x − e) N.A.

03.Simplificar: 2)bxax(]ab)ax)(bx[(]ab)bx)(ax[( −++−++−+

a) 2b2a4x ++ b) 2a4x + c) 2b4x − d) 4x e) N.A.

04. Si: x + y = 6, el valor de:

M = y12x12xy62y32x3 −−++ , es :

a) 48 b) 36 c) 30 d) 28 e) N.A.

05. Efectuar: A = 2975843629768436 −

a) 18 673 901 b) 16 738 591 c) 16 873 951 d) 14 863 951 e) 26 873 951

06. Simplificar:3 3

713

4913

7

−+

+

a) 7 b) 12 c) 11 d) 0 e) 8

07. ¿Cuál es el valor de: 2r - 2 r – 2.

Si: r = 2 + 1

a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) - 2

08. Si: ab = 4; a + b = 3.

Calcular: 2b2a +

a) -1 b) 1 c) 2 d) -2 e) 6


57


Secundaria

09. Si: a + b = ab = 3. Obtener: 3b3a +

a) 0 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81

10. Evaluar: 8)mn2(n42)n3m( +−−− , si sabemos que m – n = 8.

a) 32 b) 40 c) 72 d) 64 e) 90

11. El resultado de: 1)1n2(32)1n2(33)1n2( ++++++ es equivalente a:

a) 8n2 + b) 8n8 + c) 3)2n2( + d) 6n6 +e) N.A.

12. Efectuar:

)n2nn2n(22)nnnn(2)nnnn( −−−−++−−

a) nn2 b) nn2 − c) n2n4 d) - n2n4 e) n2n4 −

13. Si: a + b + c = 3 , 92c2b2a =++ .

Calcular: E = 2)cb(2)ca(2)ba( +++++

a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21

14. Efectuar: (1+ )2361()236 −−+++

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Si: a + b + c = 3 ; 93c3b3a =++ . Obtener: N = (a+b)(b+c)(a+c).

16. Calcular: ( ) ( )532532 −+++

a) 2 2 b) 2 3 c) 2 5 d) 2 6 e)

2

17. Sabiendo que: a + b + c = 4; 2c2b2a ++ = 6. Hallar: ab + ac + bc.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

18. Dados: x + y = 3 ; 93y3x =+ . Luego xy resulta.

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3

19. Calcular el valor numérico de:

N = 2y3xy52x3 +− . Si: x = 12 + ; y = 12 −

a) 5 b) 0 c) –3 d) -9 e) 13

20. Luego de efectuar: 8 1)82)(10)(4(2 +

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

TAREA DOMICILIARIA

01. La sexta potencia de: 3232 −++ es:

a) 4 b) 64 c) 81 d) 27 e) 216

02. Si: p2)Kx(2x32x +−≡+− . ¿Cuál es el valor de P?

a) – 1/4 b) 2 c) 3 d) -2 e) 1

03. Si: a + b + c = 0.

Calcular: E = abc9

3c3b3a ++

a) 0 b) 1 c) 3 d) 1/3 e) 1/9


57


Secundaria

04. Efectuar:

)6x2x()9x2x()3x2x()6x2x( −+++−−+++

a) 12 b) 18 c) 15 d) 36 e) 45

05. Conociendo que: ax + by = 8ay – bx = 6

52b2a =+

Calcule: 2y2x +

a) 16 b) 18 c) 20 d) 24 e) 25

06. Si: a + b = 6 ; 302ba =+ . Hallar: a

2b

b

2a + .

a) 54 b) 52 c) 48 d) 36 e) 45

07. Efectuar: )4x)(3x)(2x)(1x(2)5x52x( +++++++

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

08. Si: a – b = b – c = 2, hallar el valor de: acbcab2c2b2a −−−++

a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 20

09. Si se cumple que: x

y2

y2

x + = 2. Calcular: 8

y

x

a) 1 b) 256 c) 1256 d) 162 e) 0 Es la operación que consiste en hallar una expresión llamada cociente dadas otras dos denominadas dividendo y divisor de modo tal que se cumpla:

D(x) = d(x) . q(x) + r(x)De donde:

D(x) : dividendod(x) : divisorq(x) : cocienter(x) : resto o residuo


LA DIVISIÓN

57


Secundaria

I. Ley de Signos(+) ÷ (+) = + (+) ÷ (-) = -(-) ÷ (-) = +

(-) ÷ (+) = -II. Ley de Exponentes

Para dividir potencias de igual base, se coloca la base común y como exponente resultante la diferencia de los exponentes del dividendo y divisor. Ejemplo:

nmana

ma −= 8x210x2x

10x =−=

III. Clases de División

a) División exacta:Si: r(x) = 0 ⇒ D(x) = d(x) . Q(x)En este caso, también se afirma que D(x) es divisible por d(x).

b) División inexacta:En este caso, el residuo no es nulo; r(x) ≠ 0

IV. Métodos para dividir polinomios

A. Método ClásicoPasos a seguir:1. Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola letra o variable (en forma

descendente), en caso falte un término, este se completa con un cero.

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor obteniéndose el primer término del cociente. Luego éste se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se coloca con el signo cambiado, debajo de cada término del dividendo, sumando luego ordenadamente el producto obtenido con el dividendo.

3. Se baja el siguiente término del dividendo y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el resto sea a lo más de un grado menos que el grado del divisor (resto de grado máximo) o en todo caso si la división es exacta, el resto será un polinomio idénticamente nulo.

Ejemplo:

Dividir: 6x222x384x55x6 +−++ entre 1x32x2 +− .

Solución:

+38x -22x+66x5+5x 4 +0x 3 2 2x -3x+12

-6x5+9x 4 -3x3

14x 4 2+38x-3x 3

-14x 4 2-7x+21x 3

18x 2 -22x- 31x3

-18x 2 -9x+27x3

-4x 2 +6- 31x4x2 + 2+6x

-37x + 8

r(x)

3x +7x3 +9x- 22

Q(x)

Luego: Q(x) = 2x9x7x3 23 −++r(x) = - 25x + 8

B. Método de HornerSe recomienda cuando el polinomio divisor es de segundo grado o más y se opera sólo con los coeficientes de los polinomios ordenados y completos. Dichos coeficientes se distribuyen en un cuadro como el siguiente:

D I V I D E N D O

IVISOR

C O C I E N T E R E S I D U O

El procedimiento se detalla a continuación:1. Se anotan los coeficientes del dividendo en la parte superior del cuadro en forma horizontal

(ordenados y completos)2. Se anotan los coeficientes del divisor en la parte izquierda del cuadro en forma vertical con

los signos cambiados a excepción del primero.3. La línea de trazos no continuos separa al cociente (Q) del residuo (r) y para su trazo se

considera el grado del divisor: se cuentan tantos espacios como grado tenga el divisor, desde la columna final (extremo derecho).

4. El primer término del cociente (Q) se obtiene dividiendo el primer coeficiente de (D) entre el primer coeficiente de (d).

5. Este primer coeficiente de (Q), multiplica a los demás coeficientes de (d) que cambiaron de signo y los resultados se escriben en forma horizontal a partir de la siguiente columna hacia la derecha.


57


Secundaria

6. Las cantidades que se encuentran en la segunda columna se suman y el resultado se divide entre el primer coeficiente de (d), repitiéndose el procedimiento hasta coincidir con la última columna del dividendo.

7. Para acabar, se suman directamente las columnas correspondientes al residuo, lo que conformará los coeficientes del polinomio residuo.

Ejemplo:

Dividir: 7x122x253x134x205x6 +−+−− entre 1x2x3 +−

3

+1

-1

+2

6 -20 -13 25 -12 7

-2

-6 +6

-7 +7+8 -8

2 -6 -7 8 3 -1

dos columnas porque el divisores de 2do grado.-21-18

÷24

Q(x) = 8x72x63x2 +−−

r(x) = 3x - 1

C. Método de Ruffini

Se emplea para dividir polinomios entre divisores de la forma: ax ± b, o cualquier expresión transformable a ésta.

Pasos a seguir:1. Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola variable. En caso falte este

se completa con cero.2. En caso hubiesen dos o más variables se considera sólo a una de ellas como tal y las demás

harán el papel de números o constantes. Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo; en forma paralela a este paso se iguala el divisor a cero, se despeja la variable y ésta se coloca en el ángulo inferior izquierdo del esquema.

3. Se baja el primer coeficiente del (D) siendo este el primero del (Q). Luego se multiplica por el valor despejado de la variable y el resultado se coloca debajo de la siguiente columna.

4. Se reduce la columna siguiente y se repite el paso anterior tantas veces hasta que la última operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del (D). Llegado este momento se reduce la columna que falta y siempre se cumplirá que la última columna le va a pertenecer al resto, y éste siempre será un valor numérico.

Esquema Gráfico:

D I V I D E N D O

C O C I E N T E R E ST O

x = N

Ejemplo: Dividir: 113x54x3x72x2 +−+− entre x + 2.

Solución: Ordenando el dividendo: 11x72x23x54x3 +−+−Aplicando el método de Ruffini :

x + 2 = 0 ⇒ x = -2

3 -5 2 -7

-6 22 -48

11

110

1213 -11 24 -55

-2

x

Q(x) r(x)

Luego: Q(x) = 55x242x113x3 −+−r(x) = 121

V. Teorema del RestoEste teorema se emplea para hallar directamente el resto en la división, sin necesidad de efectuar toda la operación. El divisor debe ser de la forma ax + b o transformable a ella.

Pasos a seguir:1) Se iguala a cero el divisor, encontrándose un valor para la variable.

−=⇒=+

a

bxbax

2) El valor hallado para la variable se reemplaza en el dividendo, obteniéndose así el residuo.

−

=a

bDr

Ejemplo:Hallar el resto de dividir: P(x) = 3x2+ x + 1 entre 2x – 4.Procedemos así:1) Igualamos a cero el divisor: 2x – 4 = 0 ⇒ x = 22) Sustituimos x = 2 en el dividendo: r(x) = P(2).

R(x) = 3 2)2( + (2) + (1) = 15∴ El resto es 15


57


Secundaria

EJERCICIOS DE CLASE

I. Efectuar por el método clásico

1.5x3x4

19x212x53x4x2

−+

−+−+

2.5x22x3

9x182x73x54x6

++

+−+−

3.2x52x3

18x152x3x4x6

++

++++

4.6x22x3

8x282x413x224x15

++

++++

II. Efectuar por el método de Horner

1.6x32x2

14x442x293x134x2

++

++++

2.3x52x

13x82x33x134x3

+−

+−+−

3.3x32x7

5x82x103x54x21

+−

++++

4.3x42x2

15x132x403x324x8

−+

−+++

5.5x62x2

11x92x53x104x6

+−

++−−

III. Efectuar por el método de Ruffini

1.1x

9x72x33x

−−+−

2.1x

1x92x54x2

+++−

3.2x

32x73x94x5

−−+−

4.3x

21x52x43x34x

−−−+−

5.1x2

9x32x43x4

+++−

6.2x5

2x72x53x64x15

−−+−−

IV. Ejercicios aplicativos de los métodos estudiados.

1. Calcular A + B , si la división: 1x22x3

BAx2x253x164x6

++

++++ es exacta.

2. Calcular B - A , si la división: 7x32x3

BAx2x204x6

−−

++− es exacta.

3. Calcular A . B , si la división: 2x32x4

B2Ax3x34x20

++

+++ es exacta.

4. Calcular A - B , si la división: 5x32x2

BAx2x133x124x12

+−

−++− deja como resto 4x +

5.

5. Calcular A . B , si la división: Ax32x4

Bx102Ax43x74x20

−+

+−++ deja como resto 3x -

1.


57


Secundaria

6. Calcular A+B+C, si la división: 32x3x2

CBx2Ax3x45x8

++

++++ deja como resto 2x5

+11x+7.

V. Teorema del Resto.Calcular el resto de dividir:

1.1x

9x52x73x

−+−+

2.1x

1x52x83x94x

+−−+−

3.2x

9x72x327x228x

++−++

4.12x

x9x73x4x25x

+

−+−+

5.25x

1x4x15x318x221x

−

++−+−

6. Calcular “a” si la división 1x

2x)1a(7x

+−++ es exacta:


01. El resto de la división de un polinomio en x entre un binomio de la forma (x-a) se obtiene sustituyendo en el polinomio dado:

a) la “x” por –a b) la “x” por ac) (x-a) por (x+a) d) “a” por 1e) N.A.

02. En una división por el método de Ruffini se conoce parte del esquema utilizado:

1 6 b 12

a -8 c

e

-4

01 4 5 d

-2

Hallar: a + b - c + d – e.

a) -11 b) 13 c) 18 d) 19 e) -15

03. Al dividir: 6x242x333x264x55x6 +−+−+ entre 1x33x2 +− la suma de los

coeficientes del cociente es:

a) 11 b) 3 c) 13 d) 14 e) 15

04. Calcular “a” y “b” si la siguiente división es exacta: 2x2x5

bax2x153x114x5

−−

+++−

a) a = 1 b) a = c) a = 1 d) a = 4 e) N.A. b = 5 b = - 6 b = - 6 b = 7

05. Al dividir P(x) = 27a1628x829x ++ entre (x - a) el residuo es cero (0). ¿Cuál es el valor de

a?

a) -4 b) 8 c) 1 d) 4 e) 2

06. Calcular a + b, si la división: 1x2x

bax2x53x34x

+−

+++− deja por residuo 7x + 8.

a) 10 b) 12 c) 14 d) 13 e) 17

07. ¿Qué valor debe tomar “r” para que el polinomio: rxyy2x23x2 +−+ sea divisible por

x+y?

a) 2y b) - 2y c) 2y d) –2y e) - y

08. Al dividir: bx

abx2ax3

+−+ ; b ≠ 0, se obtuvo de resto 7, y además el término independiente del

cociente es: (-2 ab). Calcular a + b.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6


57


Secundaria

09. Calcular el resto que resulta al dividir: 1x2

15mx62x43x8

−+−+ sabiendo que la suma de

coeficientes del cociente es 37.

a) 40 b) -40 c) 3 d) 42 e) 44

10. En una división efectuada por el método de Horner se obtuvo este esquema:

a

b

c

2

6 e f g h

-2

3

2 3 1 -4

2-1d

j

4

-3 6

1

-2 5

Determinar la suma de coeficientes del dividendo:

a) -4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4

11. Calcular el residuo de dividir: x4x32x74x25x57x ÷++−++

a) 0 b) -4 c) 4 d) 2 e) -2

12. Calcular el residuo de dividir: 12x

6223x)223(5x

+−++−+

a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 3

13. Calcular m+n, si 1nx2mx3x +++ es divisible entre x-1.

a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) -2

14. Calcular el resto de dividir: 1x52x

25)3x)(2x)(1x(

+−

+−−−

a) 3x + 1 b) 4x + 2 c) 5x + 20 d) 6x - 3 e) 7x – 1

15. El residuo de dividir 20x52x3x3 +−+ entre x + 2 es:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 10

16. Hallar m sabiendo que el resto de dividir: mx42x23x)1m( +−++ entre (x+2) es 1.

a) -1 b) 2 c) –2 d) 1 e) 3/2

17. Hallar el residuo de la división: 60x222x1733x504x75x2 +−−−+ entre 2x -

2x+15.

a) 0 b) x-1 c) 2x+4 d) 2x-4 e) x+4

18. En el esquema de Horner mostrado determine el valor de: α = (m+n+p) – (a+b+c).

1

m

2

9

3 a 1 b c

d

e

f

g h

n -2 p 4 -3

a) 5 b) 1 c) –2 d) 0 e) N.A.

19. Hallar la suma de coeficientes del dividendo de la siguiente división efectuada por la regla de Paolo Ruffini.

A B C D

1 3 5

E

7

ea b c d

-1

F

9

0

a) -5 b) -10 c) –25 d) -50 e) -100

20. Si en la división siguiente: 1x2x

aax2x23x4x3

−+

+++− el residuo no es de primer grado. Hallar

dicho residuo.

a) -9 b) 13 c) 22 d) 18 e) 24

TAREA DOMICILIARIA


57


Secundaria

01. Calcular A/B si la división: 2x32x3

BAx2x54x3

++

+++ es exacta:

a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 2/3 e) 3/2

02. Calcular el resto en a2x

7a7x7)ax(

+−−+ :

a) 0 b) - 7a64 c) 126 7a d) 128 7a e) - 126 7a

03. Dividir: 5x10x15x20x −−+ entre 5x10x15x −+ . Dar la suma de coeficientes del

cociente.

a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) -2

04. Determínese el resto en: 22x

32x45x6x27x313x

+

++−++

a) 36x-21 b) x-1 c) 12x+7 d) 24x-5 e) N.A.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1. Identificar las divisiones que originan un cociente notable.2. Proporcionar el desarrollo del cociente de una división notable.3. Resolver ejercicios y/o problemas que involucran cocientes notables.

PROCEDIMIENTOS

A. MOTIVACIONEn el estudio de la división algebraica, hemos logrado hallar el cociente y el residuo mediante la aplicación correcta de métodos, técnicas, procedimientos o algoritmos.

Ante una determinada estructura de las expresiones algebraicas denominados Dividendo y Divisor, ¡ahora! Nos asiste tratar con divisiones que por su forma o estructura las denominamos DIVISIONES NOTABLES, que originarán en su desarrollo COCIENTES NOTABLES o INMEDIATOS.

B. CONTENIDO TEORICO

1. COCIENTES NOTABLESReciben este nombre aquellos cocientes que se originan de divisiones que adquieren la forma:

ax

ax nn

±±

, n +∈Z

El desarrollo de estos cocientes se puede escribir correctamente sin necesidad de efectuar la división. Es importante hacer notar que los términos de su desarrollo se caracterizan por que obedecen a una misma ley de formación, de la forma general:

x an ±±

n

x a

Exponente Común

Bases

Podemos extraer las siguientes características:

. El Dividendo y el Divisor deben ser binomios, o cualquier otra expresión que se reduzca a ellos.

. Las bases están indicadas en el divisor, debiéndose repetir en el dividendo.


COCIENTES

57


Secundaria

. Los exponentes que afectan a las bases en el dividendo deben ser iguales y nos indicará el número de términos que tendrá en su expresión el cociente notable.

2. ESTUDIO DE LA DIVISION NOTABLESe presentan 4 formas o casos distintos de divisiones notables, que lo vamos a determinar combinando adecuadamente los signos.

Primer Caso

ax

ax nn

−−

Aplicamos el Teorema del Resto: x – a = 0 ⇒ x = a

Reemplazamos en el Dividendo: R = nn aa − ⇒ R = 0

Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente notable exacto. Luego el cociente es:

1n2n23n2n1nnn

axa....axaxxax

ax −−−−− +++++=−−

Segundo Caso

ax

ax nn

−+

Aplicamos el Teorema del Resto: x – a = 0 ⇒ x = a

Reemplazamos en el Dividendo: R = nn aa + ⇒ R = na2 ≠ 0

Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente completo o cociente mixto. Luego el cociente es:

ax

a2axa...axaxx

ax

ax n1n2n23n2n1n

nn

−++++++=

−+ −−−−−

Tercer Caso

ax

ax nn

+−

Aplicamos el Teorema del Resto: x + a = 0 ⇒ x = - a

Reemplazamos en el Dividendo:

Si n es un número parR = 0

Origina un cociente exacto.

R = nn a)a( −− ⇒Si n es un número impar

R = - na2 ≠ 0

Origina un cociente completo.

Luego el cociente obtenido es:

Si “n” es un número par

1n2n23n2n1nnn

axa.....axaxxax

ax −−−−− −+−+−=+−

Ocupa lugar par

Si “n” es un número impar

ax

a2axa.....axaxx

ax

ax n1n2n23n2n1n

nn

+−+−−+−=

+− −−−−−

Ocupa lugar impar

Cuarto Caso

ax

ax nn

++


57


Secundaria

Aplicamos el Teorema del Resto: x + a = 0 ⇒ x = - aReemplazamos en el Dividendo:

Si n es un número par

R = ≠na2 0

Origina un cociente completo.

R = nn a)a( +− ⇒Si n es un número impar

R = 0Origina un cociente exacto.

Luego el cociente obtenido es:

Si “n” es un número par

ax

a2axa....axaxaxx

ax

ax n1n2n34n23n2n1n

nn

++−++−+−=

++ −−−−−−

Si “n” es un número impar

1n2n34n23n2n1nnn

axa....axaxaxxax

ax −−−−−− +−+−+−=++

OBSERVACIONES

Por lo expuesto anteriormente podemos concluir:

- Los divisores de la forma (x – a) provocan un desarrollo cuyos signos son todos positivos.- Los divisores de la forma (x + a) provocan un desarrollo cuyos signos están en forma alternada, así: +,

-, +, -, ....- El primer término del cociente notable se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el

primer término del divisor, obteniéndose 1nx −

- A partir del segundo término del desarrollo, el exponente de la primera base disminuye de 1 en 1, mientras que aparece la segunda, cuyos exponentes aumentan de 1 en 1 hasta (n – 1).

- El desarrollo es un polinomio homogéneo.

3. PRINCIPIO A CUMPLIRSE EN UNA DIVISION NOTABLE

rq

pm

ax

ax

±

±

Es división notable o inmediata si y sólo si:

nr

p

q

m==

Donde: n = número de términos del cociente.

m, p, q, r ∈ R ∧ n ∈ +Z

De la división notable expuesta podemos concluir:

* Los exponentes de “x” y “a” en el divisor nos indicará la forma como aumentan o disminuyen los exponentes de las variables mencionadas.

* Si r > q, los grados absolutos del desarrollo aumentarán de acuerdo a la diferencia (r – q).* Si r < q, los grados absolutos del desarrollo disminuyen de acuerdo a la diferencia (q – r).

Para ser más objetivos veamos los siguientes ejemplos:Ejemplo No. 1

3025320615910125151853

3521aaxaxaxaxaxx

ax

ax++++++=

−

−

G.A. → 18 < 20 < 22 < 24 < 26 < 28 < 30Ejemplo No. 2

15124986123162034

1824aaxaxaxaxx

ax

ax+++++=

−

−

G.A. → 20 > 19 > 18 > 17 > 16 > 15

4. FORMULA DEL TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLESEs una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables, sin necesidad de conocer los demás:Para una división de la forma:


57


Secundaria

1n2nk

23n2n1nnn

axa...T....axaxxax

ax −−−−− ±±+±±+±=±±

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑1 2 3 k n-1 n

1kknk axSignoT −−=

El signo del término buscado dependerá de la forma del divisor y del lugar.

* Cuando el divisor es de la forma (x – a) entonces, el signo del término buscado será positivo (+).* Cuando el divisor es de la forma (x + a) entonces, el signo del término buscado será :

(-) Si el lugar que ocupa es PAR.(+) Si el lugar que ocupa es IMPAR.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

Ejemplo 1.

Hallar el octavo término del desarrollo de:65

7260

yx

yx

+

−

Resolución:1kkn

k axSignoT −−=

Cómo el divisor es de la forma (x+a) y el término ocupa lugar PAR, entonces el sino será negativo (-).1868125

8 )y()x(T −−−=

42208 yxT −=

Ejemplo 2.

Calcular el valor de “n” en:3n21n

n54n4

yx

yx−+

+

+

− , para que sea un cociente notable.

Resolución:

3n2

n5

1n

4n4

−=

++

⇒ 3n2

n5

)1n(

)1n(4

−=

++

⇒ 8n – 12 = 5n ⇒ 3n = 12

4n =

Ejemplo 3.

Si el grado del octavo término del cociente notable: 1x

1x3

n

−

−, es 12, hallar el número de términos de

su desarrollo.Resolución:Número de términos será: n/3

241883

n3

8 x)1(xT −−−=

=

Luego: n – 24 = 12.36n =

Luego, el número de términos será 12.

Ejemplo 4.

¿Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable, el término cuyo grado absoluto es 252?

74

280160

yx

yx

−

−

Resolución:Hallemos el término que ocupa el lugar “k” que cumpla la condición dada.

1k7k404K )y()x(T −−=

G A kT = 160 – 4k + 7k – 7 = 3k + 153.

Por dato del problema: G.A. kT = 252

3k + 153 = 252

33k=

PRACTICA DE CLASE

En su cuaderno de trabajo y con ayuda de sus compañeros de grupo efectúe los siguientes ejercicios.

1. Hallar los cocientes de las siguientes divisiones notables.


57


Secundaria

a) 1x

1x2

8

−

−b)

1x

yx 55

−+ c)

b3a2

b81a16 44

−−

d) 2x

32x3

15

−

+e)

23

1421

y2x

y128x

+

+f)

325

151025

zyx

zyx

+

+

2. Hallar el término que se indica en cada uno de los desarrollos de las divisiones notables.

a) 12T de : 32

213142

yx

yx

−

−b) 15T de :

45

280350

yx

yx

+

−

3. Dado el cociente notable: 75

nm

yx

yx

−

−

Determinar los valores de “m” y “n” sabiendo que su desarrollo tiene 8 términos.

4. Encontrar el cociente de dividir el 5T entre el 10T del siguiente desarrollo:

2573

348511951

nmba

nmba−−

−−

−

−

5. Indicar cuántos términos tiene el siguiente desarrollo: 54

n5n4

yx

yx

−

−

6. Si la expresión: 2n1n

)6n(53n5

yx

yx+−

++

−

−

Es un cociente notable. Indicar cuántos términos tiene su desarrollo.

7. En el desarrollo de:35

93155

yx

yx

+

+

Existe un término cuyo grado absoluto es 122. Hallar la diferencia entre los exponentes de “x” e “y” en dicho término.

8. Simplificar:

P = 1xx.....xxx

1xx.....xxx36171174177

36351354357

++++++

++++++


01. Indique la división que dio origen al cociente notable:x4n – 2 - x4n – 4 + x4n – 6 - ....+ x2 - 1

a) 1x

1x2

n4

++

-1 b) 1x

1x4

n4

−−

c) 1x

1x2

n4

+−

d) 1x

1x2

n4

+−

e) 1x

1x2

n4

+−

02. Sabiendo que uno de los términos del desarrollo notable de:

2

ba

yx

yx

++

es –x4 y10

Calcular: ab

a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 50

03. Calcular el término idéntico de los desarrollos:

yx

yx

yx

yx4

1456

34

3648

−−

∧−−

a) 340 yx b) 620 yx c) 930 yx d) 1220 yx e) 340 yx−

04. Calcular el número de términos de términos del cociente notable:

9n8n

3n412n4

yx

yx−−

−+

−−


57


Secundaria

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

05. Hallar el lugar que ocupa el término de grado 101 en el desarrollo de:

49

80180

zx

zx

−−

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19

06. Hallar α + β en el cociente notable:

43 yx

yx

−− βα

Si: 2012

7

96 yxt

tt=

•

a) 20 b) 84 c) 48 d) 36 e) N.a

07. Hallar el número de términos del siguiente producto:

( ) 1x...xxx(1x...xxK m18m19m20mm19m20 +−+−++++=

a) 31 b) 22 c) 21 d) 28 e) 27

08. Si: xa y24 es el término central del desarrollo del C.N:

2c

b75

yx

yx

−−

, el valor de a + b + c, es:

a) 49 b) 73 c) 91 d) 85 e) 89

09. Calcular el número de términos racionales enteros en el cociente notables.

25

3075

yx

xx−

−

−−

a) 5 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15

10. Hallar la suma de los términos naturales del desarrollo de:

43

2243/22

23

23

+

−

a) 602 b) 160 c) 1602 d) 1702 e) 2403

11. ¿Cuál será el cociente de la división:

2x32x 5

−−

a) x4 - 2x3 + 4x2 – 8x + 16 b) x4 + x3 + x2 + x + 2c) x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 d) x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 16e) N.a

12. La expresión: an + bn es divisible exactamente entre a – b, cuando:

a) n es impar b) n es cualquier enteroc) n es par d)n es mayor que a + be) nunca es divisible

13. Hallar la suma de los polinomios que se obtienen al desarrollar estos cocientes:

axax

;axax 4444

+−

−−

a) 2x3 + 2a2 x b) 2ax3 + 4a3 c) x3 + ax d) x3 - a x +2 e) 4x4 + 2a3

14. Hallar el coeficiente del cuarto término del desarrollo de:


57


Secundaria

y3x2

y243x32 55

++

a) 24 b) 52 c) - 34 d) 34 e) 54

15. El número de términos de:

53

ba

yx

yx

−−

es ocho. ¿Cuál es el quinto término?

a) x20 y9 b) x8 y18 c) x9 y20 d) x18 y8 e) x12 y20

16. Hallar "n" si la división:

2n1n

)6n(53n5

yx

yx+−

++

−−

origina un cociente notable

a) x20 y9 b) x8 y18 c) x9 y20 d) x18 y8 e) x12 y20

17. Hallar (m + n) si el T17 del cociente notable:

75

nm

yx

yx

−−

a) 480 b) 470 c) 460 d) 450 e) 440

18. ¿Qué lugar ocupa el desarrollo del cociente notable:

yx

yx2

2040

−−

el término que tiene grado absoluto 34. término?

a) 4to b) 5to c) 6to d) 7mo e) 8vo

19. x12 + x8 + x4 +1 es cociente de:

a) 1x

1x2

16

+−

b) 1x

1x16

−+

c) 1x

1x4

16

−−

d) 1x

1x4

12

−−

e) 1x

1x4

16

+−

20. Calcular el t21 en el cociente notable:

20

2

1a1

aa2

−−

−

a) a+1 b) a - 1 c) 1a − d) 1a − e) (a – 1)20/21

TAREA DOMICILIARIA

01. El cociente notable:

23

n39n3

yx

yx

+++

Calcular el valor numérico del término central para x = 1; y = 2

a) 256 b) 428 c) 512 d) 1048 e) 864

02. Si en el desarrollo del siguiente cociente notable:

yx

yx3

nn3

−−

el término de lugar 8 contando a partir del extremo final tiene por grado absoluto 38.

El número de términos del desarrollo es:


57


Secundaria

a) 12 b) 16 c) 18 d) 25 e) 32

03. Reducir:

1xxx

1x....yx246

21214

+++++++

a) x8 + 1 b) x6 + 1 c) x5 + 1 d) x7 + 1 e) x8 - 1

04. Hallar el número de términos de un cociente notable que tiene los siguientes términos consecutivos:

15631270 yxyx.... −+

a) 4 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

05. Suponiendo que a169 b36 se encuentra contenido en el desarrollo del cociente:

nn

m2013n21

ba

ba

−−−

Calcular n – m:

a) 7 b) 13 c) 6 d) 19 e) N.a

06. Si el cuarto término es independiente de x; en el cociente notable:

nn

n2m2

xx

xx−

−

−−

Calcular la relación entre n y m.

a) 27

mn = b) 14

mn = c) 1

nm = d)

27

nm = e) 14

nm =

07. Hallar la suma de coeficientes del cociente al dividir:

1x2)3x( 84

−−+

a) 256 b) 128 c) 1024 d) 1684 e) 343

08. La siguiente división:

24

284163

3

−

−

genera un cociente notable cuyo menor término racional es:

a) 16 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1

09. En el cociente notable generado por la división:

3

35335

xx

xx

−

−

¿Cuántos términos son irracionales?

a) 6 b) 30 c) 31 d) 7 e) 29

10. La suma de todos los exponentes de las variables del desarrollo de:

44

100100

yx

yx

−−

; es:

a) 2400 b) 2500 c) 2600 d) 2700 e) 2800

METODOS DEL FACTOR COMUN Y ASOCIACION

OBJETIVOS ESPECIFICOS


FACTORIZACIÓ

57


Secundaria

1. Comprender que la factorización algebraica es el proceso contrario a la multiplicación.2. Aplicar el método del factor común en la factorización de polinomios.3. Aplicar el método del factor común por asociación, en la factorización de polinomios.4. Transformar polinomios racionales enteros en una multiplicación de factores (factorización) por

medio de métodos sencillos o por una combinación de éstos.

PROCEDIMIENTOS:

MOTIVACIONRecordemos que en la multiplicación algebraica se aplica la propiedad distributiva, de la siguiente manera:

x(x + y + z) = 2x + xy - xz

Por medio de la factorización podremos restituir los factores de una expresión que se obtuvo de la ejecución de una multiplicación, veamos:

2x + xy – xz = x (x + y + z)

De lo expuesto concluimos que la factorización es el procedimiento recíproco al establecido por la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.

CONTENIDO TEORICO

FACTORIZACION ALGEBRAICAFactorizar una expresión algebraica racional entera y de coeficientes racionales, es la transformación equivalente de la mencionada expresión en un producto indicado de potencias de sus factores primos también racionales enteros y de coeficientes racionales.

Ejemplo: Factorizar: 3 2x +x – 10 = (3x – 5)(x + 2)

Términos del Factores polinomio

Factor: Es una expresión que forma parte de una multiplicación y que nos conduce a la expresión dada inicialmente.

Ejemplos:

15 x 11 = 165 → 15 y 11 son factores de 165A x B = C → A y B son factores de C

2x (x+5) = 23 x5x + → 2x y (x+5) son factores de 23 x5x +Factor Primo

Es aquel factor que no puede expresarse como la multiplicación de otros polinomios, diferentes de él mismo y la unidad.Ejemplo:

4 x 7

Factorno primo

Factorprimo

x (x+2)( 2y)y2 +Factor no primo

Factor primoFactor primo

x y)(x2+Factor primoFactor primoFactor primo

3 y 2

Los factores primos son: x ; y ; 2x + y. Mientras que 23 y;x no son factores primos.

Observaciones:Se dice que las factorizaciones se llevan a cabo en expresiones algebraicas primitivas, que conducen a la obtención de factores primitivos (coeficientes de sus términos, primos entre si).

La definición inicial de factorización se puede ampliar a otros campos de los números, pero dejando claramente establecido en qué campo estamos trabajando. Por ejemplo, si alguien me pide factorizar (x – y), la respuesta es no se puede, pero si alguien me pide expresar (x – y) como un producto de dos factores en el campo de las expresiones algebraicas irracionales, el resultado es:

x – y = (( ) )yxyx +−

Podemos continuar.

x – y =

++

−

3 233 233yxyxyx

Podemos continuar.En la factorización se presentan diversos grados de dificultad inherentes a cada expresión propuesta para tal fin, por lo que es necesario disponer de un conjunto de reglas, procedimientos o métodos que permitan la factorización en forma correcta, ordenada y sistemática.

PRINCIPALES METODOS DE FACTORIZACIONMétodo del factor común

Es posible utilizar este método cuando todos los términos del polinomio tienen un factor común. El factor común puede ser un monomio o un polinomio.


57


Secundaria

Ejemplo 1.- Factorizar: 233222 yzx8zxy4yzx12 −+

Factor Común Monomio: 2xyz4 . Luego:

)x2yzx3(xyz4yzx8zxy4yzx12 22233222 −+=−+

Ejemplo 2.- Factorizar: 222 z)zyx(y)zyx(x)zyx( +++++−++

Factor Común Polinomio: (x+y+z), Luego, la expresión factorizada es:

(x+y+z)( 222 zyx +− )

Método del factor común por asociaciónConsiste en agrupar convenientemente los términos que conforman el polinomio, de tal manera que se consiga los factores comunes.

Ejemplo: Factorizar: 7625344352678 xyyxyxyxyxyxyxx +++++++

Por simple inspección, vemos que el polinomio tiene un factor común monomio a todos sus términos; entonces para obtener factores comunes, debemos agrupar convenientemente sus términos. Como éste polinomio tiene 8 términos, podemos agruparlos de dos en dos, así:

x )yxyyxyxyxyxyxx( 765243342567 +++++++

El polinomio expresado dentro del paréntesis no tiene factor común a todos sus términos; entonces para obtener factores comunes, debemos agrupar convenientemente sus términos. Como éste polinomio tiene 8 términos, podemos agruparlos de dos en dos, así:

x )]yxy()yxyx()yxyx()yxx[( 765243342567 +++++++

)]yx(y)yx(yx)yx(yx)yx(x[x 642246 +++++++

Ahora extraemos el factor común binomio: (x + y)

x(x+y)[ 642246 yyxyxx +++ ]

Volvemos a agrupar convenientemente:

x(x+y) [ )yyx()yxx( 642246 +++ ]

x(x+y) [ )yx(y)yx(x 224224 +++ ]

)yx)(yx)(yx(x 4422 +++

PRACTICA DE CLASE

I. Factorice por el método del factor común.

1. 91187510 yx25yx10yx5 −−

2. 1n1m1n6m2n4m yx3yx5yx ++−+++ −−

3. b)zxy(a)zyx( −−−+−4. (a+b)(x+y+z) + (a+b)(x-2y-2z)

II. Factorice por el método del factor común por asociación

5. 22 )bxay()byax( −++

6. bppabnnabmam yzzxyyxyxx +−−+− ++

7. 3x3xxx3x 3n3n1n1n2 −+−++ +++

Factorizar cada uno de los siguientes polinomios.

1. 4334 yxyyxx +−− 2. 1xxxxx 23n2n −+−+++

3. 4x4x25x25x36x36 2345 ++−−+ 4.

32222223 abxabxaxaxbabx +−−−+

D. TAREA: Factorizar

1. 3x3xxx3x 3n3n1n1n2 −+−++ +++

2. F(a,b,c,x,y,z) = ax + by + cz + bx + cy + az + cx + ay + bz

3. G(m,n) = n20nm4nm5mn 423324 −+−4. P(x,y,z) = yzxzzyxyzxyxzyx 222222333 ++++++++

5. E (x,y,z,a) = 2332524224225233 byxbxybyxayxaxyayx −−+−+

6. M(a,b,c) = abcbcabcabcabcacba 323232333222 −−−−++++7. R(x) = bcdacdxabdxabcxdxacxabxaxa 22222233 +++++++8. N(x,y,z) =

xyz4)x1)(y1(z)z1)(x1(y)z1)(y1(x 222222 −−−+−−+−−



MÉTODO DE LAS

57


Secundaria

Aplicar el método de las identidades en la factorización de polinomios.

PROCEDIMIENTOS

MOTIVACIONEn el módulo anterior hemos tenido la oportunidad de estudiar los dos primeros métodos para la factorización de polinomios. El presente módulo nos va a permitir el estudio de otro método de factorización, el cual hace uso de identidades algebraicas conocidas (productos notables), tales como: trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, etc.

CONTENIDO TEORICO

METODO DE LAS IDENTIDADESConsiste en dar la forma de un producto notables a la expresión propuesta; para luego factorizar en base a dicha identidad.

Trinomio cuadrado perfecto

= (A B )+ B K K 22K

B K

Raíces cuadradas

Doble producto de raíces

A2K

A K

+- B K2AK +-

B K2AK

Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en un binomio al cuadrado.Es necesario tener en cuenta que donde aparecen cuadrados perfectos, existe la posibilidad del trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: Factorizar22422 )y2x3(y4xy12x9 −=+−

↓√ ↑ ↓√

3x 2(3x)(2 2y ) 2 2y

Doble producto

Diferencia de cuadrados

- B = (A + B )(A - BA2K )2K K K K K

A K B K

Raíces cuadradas

Expresión factorizada

Ejemplo 01: Factorizar 48 yx −

Solución:48 yx − = )yx()yx( 2422 −+

↓√ ↓√ ↓√ ↓√24 yx yx2

Luego: 48 yx − = )yx()yx()yx( 2224 −++

Ejemplo 02: Factorizar 622 zyxy2x −++

Solución:622 zyxy2x −++ = 62 z)yx( −+ = [(x +y)+z3 ][(x+4) – z3 ]

↓√ ↓√(x+y) z3

Luego: 622 zyxy2x −++ = )zyx)(zyx( 33 −+++

Suma y diferencia de cubos

+ B = (A + B )(A - AA3K )3K K K 2K K

A K B K

Raíces cúbicas


BK + B2K

( ) ( )2 2

3 3

+ B = (A + B )(A - AA3K )3K K K 2K K

A K B K

Raíces cúbicas


BK + B2K

( ) ( )2 2

3 3


57


Secundaria

Ejemplo 01: Factorizar 612 ba −

Solución:612 ba − = 2326 )b()a( − → Diferencia de cuadrados

612 ba − = )ba()ba( 3636 −+ → Suma y Diferencia de cubos

612 ba − = )bbaa)(ba)(bbaa)(ba( 22422242 ++−+−+

Utilizando sumas y rectas (método del pon y quita)

Ejemplo 02: Factorizar 44 y4x +

Solución: 224224 yx4y4yx4x −++22222 yx4)y2x( −+ → Diferencia de cuadrados

)xy2y2x)(xy2y2x( 2222 −+++

Ejemplo 03: Factorizar 4224 yyxx ++

Solución:224224 yxyyx2x −++

22222 yx)yx( −+ → Diferencia de cuadrados

)xyyx()xyyx( 2222 −+++

PRACTICA DE CLASE

En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, factorice las siguientes ejercicios :Factorice cada uno de los siguientes polinomios:

1. 224 y4yx4x +−

2. n2nnn2 y9yx12x4 ++

3. 1x8 −4. 22 )a5bx()b5ax( −−−

5. 12648 y25yxx ++

6. 816 yx4 +

7. 1x12 −

TAREA

Resuelva en casa y transfiera a su cuaderno de trabajo, los siguientes ejercicios:Factorizar cada una de los siguientes polinomios:

1. zy2zx2yx2zyx 2323246 −−+++

2. )1x)(2x(25x2xx4x 3236 +++++++

3. 222222 zy4)zyx( −−−

4. 222222222 zxzyyx)yxyx( −−−++

5. 4224 yyxx ++

6. 1x2x3x4x 246 −−++

7. 3243336 )1xx()1x()1x()1x2( +−−+++


57


Secundaria


1. Identificar en que casos es posible hacer uso del método del aspa simple en la factorización de polinomios.

2. Aplicar el método del aspa simple en la factorización de polinomios.3. Identificar en que casos es posible hacer uso del método del aspa doble en la factorización de

polinomios.

4. Aplicar el método del aspa donde en la factorización de polinomios.

PROCEDIMIENTOS

MOTIVACIONEn el presente módulo, vamos a abordar tres de los métodos más conocidos para la factorización de polinomios, nos referimos al método del aspa simple, aspa doble y aspa doble especial, el primero de ellos bastante aplicado en la solución de ecuaciones de segundo grado o convertibles.

CONTENIDO TEORICO

METODO DEL ASPA SIMPLESe utiliza para factorizar trinomios de la forma:

CBxAx nn2 ++ ó m2mnn2 CyyBxAx ++

Ejemplo 1.- Factorizar: 2x15 + 14x – 8.

Resolución:

15x + 14x - 82

- 2 = - 6x5x3x 4 = +20x

+14x

Luego: 2x15 + 14x – 8 = 4) (3x 2)-(5x +

Expresión Factorizada.

Ejemplo 2.- Factorizar: 22 y10xy7x +−

Resolución:

x - 7xy + 10y2

- 5y = - 5xyxx - 2y = - 2xy

- 7xy

2

Luego: )y2x()y5x(y10xy7x 22 −−=+−

Expresión Factorizada.

METODO DEL ASPA DOBLE

Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:

FEyDxCyyBxAx mnm2mnn2 +++++

Nota: En caso de faltar algún término, se puede completar con cero.

Ejemplo 1.- Factorizar: 6y7x5y2xy3x 22 +++++

Resolución: Apliquemos aspa simple en los tres primeros términos.

x + 3xy + 2y2 2 + 5x + 7y + 6xx

2yyI

Luego descomponemos el último término para formar otra aspa simple:

x + 3xy + 2y2 2 + 5x + 7y + 632y

y II 2

Finalmente se forma otra aspa simple con los términos extremos (aspa simple auxiliar).

x + 3xy + 2y2 2 + 5x + 7y + 632y

yIII

2xx


MÉTODO DEL ASPA SIMPLE

57


Secundaria

Luego los factores se toman en forma horizontal, así:

2) y)(x 3 2y(x ++++

Expresión Factorizada

OBSERVACION: Aparentemente el proceso anterior es largo, pues la explicación se realizó paso a paso; en la práctica, las tres aspas simples se pueden realizar en una misma figura (se superponen las aspas).

Ejemplo 2.- Factorizar: 14y31x41y15yx34x15 2224 +++++

Resolución:

15x + 34x y + 15y + 41x + 31y + 144 2 2 2

5x

3x

3y

5y

2

7

2

2

Luego de comprobar, el polinomio factorizado es:

)7y5x3()2y3x5( 22 ++++

METODO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL Se utiliza para factorizar polinomio de una sola variable, generalmente de grado cuatro, pero no necesariamente, puede tener la forma general:

EDxCxBxAx nn2n3n4 ++++

Nota: La forma de proceder es similar a la del aspa doble.

Ejemplo 1.- Factorizar: 28x3x4x2x 234 −+++

Resolución: En primer lugar descomponemos los términos extremos para formar un aspa simple, así:

x + 2x + 4x + 3x - 284 3 2

x2

x2

+ 7 = 7x

- 4 = -4x

3x

2

2

2

Si sumamos los productos de multiplicar en aspa, se obtiene 2x3 . Observe en el polinomio que

necesitamos obtener 2x4 . Para obtener lo que se necesita sumamos 2x , que es el término que

desdoblado convenientemente se coloca en el centro de las dos aspas simples:

x + 2x + 4x + 3x - 284 3 2

2x

x2x

x

+7

- 4

Nótese que al multiplicar en aspa y sumarlos, se obtiene x3yx2 3 , luego tomamos los

factores en forma horizontal y obtenemos la expresión factorizada, así:

)4xx()7xx( 22 −+++

PRACTICA DE CLASE

En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, factorice las siguientes expresiones polinómicas:

1. 10x11x3 2 ++2. 15x29x14 24 −−3. 6324 y21yx32x12 ++

4. 25x75yxy11x26 22 ++−−

5. 3y11xy6xy11x10 22 −−−−+

6. 6x16x21x22x5 234 ++++7. 12x26x17x7x 234 ++++

TAREAResuelva en casa y transfiera a su cuaderno de trabajo, los siguientes ejercicios:Factorizar cada uno de los siguientes polinomios:

1. 8/34/xx2 −+2. 22 y24xy29x4 −−

3. 11478312 yx4yx68yx64 +−


57


Secundaria

4. 1y5xy6yx5x6 224224 −+−−+

5. 2422 y3x9y2xy2x12 −+−+

6. 72x24x2x 248 +−+7. 1xx14x9x15 nn2n3n4 +−−+


Identificar en qué casos es posible hacer uso del método de evaluación o divisores binomios en la factorización de polinomios.

Aplicar el método de evaluación o divisores binomios en la factorización de polinomios.

PROCEDIMIENTOS

MOTIVACIONEn el presente módulo, estudiaremos un método más para factorizar determinados polinomios, empezaremos nuestro estudio identificando cuáles son las características que debe reunir un polinomio para ser factorizado por este método y finalmente detallaremos el procedimiento a seguir para la factorización de dicho polinomio.

CONTENIDO TEORICO

METODO DE EVALUACION O DIVISORES BINOMIOSSe emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado, (de preferencia, el grado debe ser mayor que 2). Además debe aceptar por lo menos un factor de primer grado.

FORMA GENERAL:

NMx....CxBxAx 2n1nn ++++ −−

CONCEPTOS PREVIOS:

TEOREMA DEL FACTOR

De esto se deduce que si P(a) = 0, entonces P(x) es divisible por (x - a).

Observación: En la práctica no se calcula el valor numérico de P(a), sino se divide usando el algoritmo de RUFFINI.

CEROS RACIONALES DE P(X)

Además, si para x = a, P(a) = 0, entonces; se dice que “a” es un cero de P(x).El método se fundamenta en buscar los ceros racionales del polinomio; para lo cual, identificamos los posibles ceros de la siguiente manera:

Posibles ceros (x) = Divisores término independiente

Divisores Coef. término principal

Ejemplo 1.- Factorizar: 6xx36x4x48 234 ++−−

Posibles ceros = Divisores término independiente (6)Divis. coefic. término principal (48)

Posibles ceros =

48;24;16;11;8;6;4;3;2;1

6;3;2;1

±±±±±±±±±±±±±±

Posibles ceros = ± 1 ; ± 2 ; ± 3 ; ± 6 ; ;4

3;

3

2;

3

1;

2

1±±±± .....

x = 1/2

x = -2/3

x = 3/4

48

48

48

-4

24

20

-32

-12

36

24

-36

10

-26

8

-18

18

0

1

-13

-12

12

0

6

- 6

01


Sea P(x) un polinomio, si para x = a se cumple queP(a) = 0; entonces (x-a) es factor de P(x).

MÉTODO DE EVALUACIÓN O

57


Secundaria

Luego: P(x) = )24x48(4

3x

3

2x

2

1x +

−

+

−

Finalmente: )1x2)(3x4)(2x3)(1x2()x(P +−+−=

Ejemplo 2.- Factorizar: P(x) = 2x3xx3x 234 −−++

Resolución:

Posibles ceros = Divisores término independiente Divis. coefic. término principal

Posibles ceros = 1

2;1

±±±

Posibles ceros = ± 1 ; ± 2

Ahora debemos determinar cuál de estos cuatro valores son ceros de P(x); para lo cual evaluamos el polinomio para cada valor del conjunto de los posibles ceros, usando el algoritmo de RUFFINI.

P(x) = 2x3xx3x 234 −−++

x = 1

x = -1

1

1

3

1

4

- 1

3

1

4

5

-3

2

-3

5

2

-2

0

-2

2

01 P(1) = 0; (x-1) es un factor

P(-1) = 0; (x-1) es un factor

Luego: P(x) = (x-1)(x+1)( 2x +3x+2)

Aplicamos aspa simple

P(x) = (x - 1) (x + 1) (x + 1) ( x + 2)

Finalmente:

)2x()1x)(1x()x(P 2 ++−=

Ejemplo 3.- Factorizar: P(a) = (a+1)(a+3) 2)2a( + – 5 a(a+4) - 27

Resolución:Efectuando las operaciones indicadas tenemos:

P(a) = )a4a(5)4a4a)(3a4a( 222 +−++++ - 27

Realizamos el siguiente cambio de variable: 2a + 4a = x . Así:

P(x) = (x + 3)(x + 4) – 5x - 27

P(x) = 2x + 7x + 12 – 5x - 27

P(x) = 2x + 2x – 15

x – 3x + 5

P(x) = (x – 3) (x + 5)Finalmente regresamos a la variable original. Así:

)3a4a)(5a4a()a(P 22 −+++=

Ejemplo 4.- Factorizar: P(x) = 1a2a3a4a 246 −−++

Resolución:Cuando el grado es par, formaremos un trinomio cuadrado perfecto y como consecuencia de esta situación se formará una diferencia de cuadrados.

Para formar el trinomio cuadrado perfecto reemplazamos: 2a3 por 22 aa4 − . Luego:

P(a) = 1a2aa4a4a 2246 −−−++

Trinomio Cuadrado Perfecto

P(a) = )1a2a()a2a( 223 ++−+

Trinomio Cuadrado Perfecto

P(a) = 223 )1a()a2a( +−+

Diferencia de cuadrados

P(a) = )1aa2a)(1aa2a( 33 −−++++)1aa)(1a3a()a(P 33 −+++=

PRACTICA DE CLASE


57


Secundaria

En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, factorice las siguientes expresiones polinómicas:

1. 10x3x6x 23 −++2. 6x5x2x 23 −−+3. 12x26x17x7x 234 ++++4. 72x24x2x 24 +−+5. 1xx14x9x15 234 +−−+6. 6x16x21x22x5 234 ++++7. x12 – 1

TAREAResuelva en casa y transfiera a su cuaderno de trabajo, los siguientes ejercicios:Factorizar cada uno de los siguientes polinomios:

1. 30x19x3 −−2. 48x40x11x 23 +++3. 9x18x8x2x 234 −−−+4. 40x42x5x6x 234 +−−+5. 60x52x27x17x3x 2345 ++−−+6. 5x17x8x12 23 −−−7. 1xx14x9x15 234 +−−+

PRÁCTICA DE REFORZAMIENTO

Haz uso de tu habilidad e ingenio en la solución de los siguientes ejercicios.

I. Factorizar por el Método común

1.1 Factorización de un polinomio con factor común monomio.

1. 8x2 y + 6x3 yz – 10 xy2 w.2. 2.4ab2 – 1.8a3 b – 0.9 ab3. 12x3 y2 z3 - 15x3 yz3 – 6 x2 y3 z4 + 9x3 y5 z3

4. (2/ 6)x2 y2 + (4/ 9)x3 yz + (8/ 15) (xy w)5. - 48ab3 + 64a3 bx – 16 a2 b2 x2

6. 0.8x2 y2 - 1.6x y3 + 0.4 xy7. 3xa + 2xa + 1 – xa + 2

8. 3xa + 3 + 21x3a – 14 xa + 2

1.2 Factorización de un polinomio con factor común polinomio.

1. 8a2 (x – 2)4 + 16a3 (x – 2)2 - 24a5 (x – 2)3

2. 5x (2a – 7b) – 2a + 7b3. 5x2 (a + b – 3c) – 2x3 (3c – a- b)4. 9ab2 y3 (x2 – z2 ) – 5a2 by2 (x2 - z2 )5. - 6x2 + 9y2 + 4w(2x2 – 3y2 )6. (a + b) (5x – 2y – z) – (a – 2b) (2y + z – 5x)7. 3x (2a – b + 3c) – 5y (b – 2a – 3c)

1.3 Factorización por agrupación de términos.

1. ac + ad + bc + bd2. mx + m – x - 13. 2x2 + 2xc – 3bx – 3bc4. 3y2 - 2ax + 3x – 2ay2 + 4 - 65. x2 +1/ 5x + 5x + 1

6. xn+2 + x3 + xn + x + x2 + 17. 3by + az + cy + 3bz + ay + cz8. 6 ax – 5bx + 5by – 6ay + 6axy – 5bxy

II. Factorizar por el Método de identidades

2.1 Factorización por trinomio cuadrado perfecto.1. x2 – 8x + 16 7. 49a2 x2 + 28a2 x + 4a2

2. x2 + 26x + 169 8. 0.36x4 - 1.2x2 y + y2 3. 121x2 + 132x + 26 9. 9x6 + 1.2x3 + 0.044. x2 - 12x + 36 10. 4x2 + 28x + 495. 49x4 - 14x2 + 1 11. 25a4 - 30ab + 9b2

6. 2x2 - 8xy + 8y2 12. 36x2 - 12x + 12.2 Factorización por diferencia de cuadrados.

1. 16x2 – 36 6. x2 - (y – x)2

2. 0.64 – x8 7. x4 – 16b2

3. 16a2n - 25 8. x4 - y4

4. (2x – y)2 - (3x + z)2 9. 9x3 - x2 - 9x + 115. (x + y)2 - 4z2 10. 64x2 - z2 + 6z – 9

2.3 Factorización por suma de cubos

1. 8x3 – y6 6. 0.027x3 + y3

2. 27 + 125a3 7. 8a6 + 1000b3

3. 0.001 + x9 8. x3n + 14. 27a3 + 64b3 9. (x + 2y)3 + 64z3

5. 125x3 + 1 10. 64x6 + 216

2.4 Factorización por diferencia de cubos.


57


Secundaria

1. 8a3 - a6 6. (x + y)3 - (3 – y)3

2. 27a3 – 64b3 7. (x + y )3 - 27 y3

3. 1 – x3n 8. 8(x – 2)3 - (2x + 1)3

4. 64x3 - (x – 1)3 9. (x – 3y)3 - (2x + 1)3

5. (2x + y)3 - 8x6 11. 8x3n – 27y3n

III. Factorizar por el Método del aspa

3.1 Factorización por aspa simple

1. x2 - 9x + 14 6. 2x2 + 7x + 6

2. x2 + 11x + 24 7. 3x2 - 10x - 8

3. x2 - 14x - 32 8. 3x2 - 10x - 84. x2 + 15x - 16 9. 5x2 - 17x – 125. x2 - 128 – 8x 11. 10x2 + 17x + 66. x2 + 9x + 14 12. 6x2 + 19x + 3

3.2 Factorización por aspa doble.

1. 6x2 + 3xy – 3y2 + 19x + 13y + 10

2. 15x2 + 7xy – 2y2 + 41x - 3y + 143. 8x2 + 4xy + 18x + 6y + 9

4. 7x2 + 19xy – 6y2 + 35x - 10y 5. 15x2 - 19xy + 6y2 - 11y + 19x - 10

IV. Factorizar por el Método de Evaluación

1. x3 + 2x2 - 5x - 62. x4 - 9x2 + 4x + 123. 3x3 + x2 - 8x + 44. x3 - 8x2 + 17x - 105. 2x3 – 5x2 + x + 26. 12x5 – 8x4 – 13x3 + 9x2 + x – 1

V. Aquí se presentan diversos casos, con los cuales tú tendrás que decidir que método aplicar.

1. x4 - 13x2 + 362. x6 - 64 3. x6 + 26x3 - 274. x2 + 2xy + y2 + 2x + 2y - 155. ax + az + bx + by + cy + cz + ay + bz + cx6. (x2 + y2 )2 - 4x2 y2

7. (a + x)2 - (ax + 1)2

8. 2x2 – xy – y2 + x + 5y- 6


01.Calcular uno de los factores del polinomio: 1 +x(x+1)(x+2)(x+3)

a) x2 + x + 1 b) x2 + 3x + 1 c) x2 - x + 1 d) b) x2 + 1 e) N.a

02.Hallar los factores del polinomio (x – 1) (x + 3) (x2 - 4) + 4

a) x2 + x + 1 b) x2 + 3x + 1 c) x2 + x - 4 d) b) x2 + 1 e) N.a

03.Señalar uno de los factores del polinomio: (x – 2)2 (x2 – 4x + 6) –8 y dar como respuesta la suma de ellos:

a) 2x2 -8x + 10 b) 2x2 - 6x + 7 c) 2x + 3 d) b) x2 + 4 e) N.a

04.Sabiendo que: x2 + y2 - 10x – 6y = - 18. Hallar R = (x – 5)2 + (y – 3)2

a) 9 b) 25 c) 35 d) 16 e) 18

05.Cuál es uno de los factores del polinomio: x4 - 2x2 + x2

a) 2x + 1 b) 2x - 1 c) x2 + 1 d) x – 1 e) 2x + 3

06.Señalar un factor primo de:E = ab (x2 + y2 ) + xy (a2 + b2 )

a) (a + b) b) (x + 4) c) (ax + by) d) (a – b) e) (ax – by)07.Uno de los factores de:

3m3 – 20 + 12m2 - 5m es:

a) m + 3 b) m2 + 2 c) m - 4 d) m + 1 e) m + 4

08.¿Cuántos factores primos tiene la expresión:mn (x2 – y2 ) + xy (m2 - n2 ) ?

a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5

09.Señale uno de los factores de:

x(y2 + z2 ) + y (z2 - x2 )

a) x - y b) x + 2y c) x d) y + 1 e) x + y

10.Dar uno de los factores primos de:


57


Secundaria

ac (a + c) + ab (a – b) – bc ( b + c)

a) b2 + c b) b + c c) b + c2 d) b + 5c e) b – 5c

11.Uno de los factores de:

x2 + 4xy + 4y + 2x + 4y2 es:

a) x – 2y b) x + 2y c) x + y d) b) x - y e) x + 1

12.Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de:

9m2 + 12mn + 6m + 4n + 4n2

a) 1 b) 0 c) 3 d) 2 e) 5

13.¿Cuántos factores primos lineales admite?

x5 - 4x3 + x2 - 4

a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 3

14.¿Cuántos factores lineales se obtiene al factorizar P(x)? Si:

P (x) = 18x4 + 25x2 - 3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) Ninguno

15.¿Cuántos factores primos lineales tiene P(x) si:

P (x) = 3 x6 - 2x3 - 1?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16.¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene P)x, y), si:

P (x, y) = 8x8 y + 63x5 y – 8x2 y

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

17.¿Cuántos factores primos lineales tiene:

P (x) = 2x4 - 3x2 - 20?

a) Ninguno b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

18.¿Cuántos factores primos se segundo grado tiene P (x)? Si:

P (x) = 3x6 + 23x3 - 8?

a) Ninguno b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

19.Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos en:

P (x) = 4x4 - 3x2 - 1?

a) 0 b) 1 c) 2 d) -2 e) 3

20.Señalar uno de los factores de:

P (x) = 18x4 + 55x2 - 28?

a) 3x - 6 b) 6x - 3 c) 5x - 1 d) 3x + 2 e) 3x - 7

SOLUCIONARIO

NºEJERCICIOS PROPUESTOS

01

01. D

02. B

03. A

04. D

05. C

06. B

07. C

08. E

09. E

10. E

11. C

12. E

13. A


57


Secundaria

14. E

15. C

16. A

17. A

18. B

19. C

20.


Education

Matematica 1º2 b