Lys matematik ii mf tm föy-01

Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti.’e aittir. Kýsmen de olsa alýntý yapýlamaz. Metin ve sorular, bu yayýný

yayýmlayan þirketin önceden izni olmaksýzýn elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayýt sistemiyle çoðaltýlamaz, yayýmlanamaz.

B Ý R E Y D E R S H A N E L E R Ý S I N I F Ý Ç Ý D E R S A N L A T I M F Ö Y Ü

Konu Bölüm DAF No.

POLÝNOMLAR - I MF-TM 01

MATEMATÝK - II

01

D E R S H A N E L E R Ý

POLÝNOM: n doðal sayý, a0,a

1, a

2, ..., a

ngerçek sayýlar ve x

deðiþken olmak üzere,

þeklinde tanýmlanan ifadelere gerçek kat sayýlý bir bilinmeyenli

polinom denir.

P(x )=anx

n+a

n – 1x

n – 1+ ...+a

1x+a

0

MF

TM

2 2012-2013 - DAF - MATEMATÝK - II (MF-TM) - 01

Aþaðýdaki ifadelerden hangileri gerçek kat sayýlý polinomdur?

..............................................

..............................................

..............................................

.............................................

..............................................

..............................................

a)

b)

c)

d)

e)

f)

3P(x)= 4x – 3x+5

2Q(x)= 5x – 4 x – 1

3T(x)= 5x – 3x – 10

N(x)=1961

2

23x – 4

M(x)=x +1

3 4R(x)= 3x – – 7

x

UYGULAMA 1

MF

TM


ÖRNEK 1

P(x)=3xn+4

– 2x3 – n

– 5

ifadesi bir polinom olduðuna göre, n nin alabileceði de-

ðerler toplamýný bulunuz.

MF

TM


MF

TM

n 18

3 nP(x) 4x 5x 6� � �

ÖRNEK 2

ifadesi bir polinom olduðuna göre, n nin alabileceði de-

ðerleri bulunuz.


MF

TM

POLÝNOMUN ÖZELLÝKLERÝ

P(x)=anx

n+...+a

2x

2+a

1x+a

0 polinomunda

a0

gerçek sayýsýna polinomun sabit terimi denir.

Derecesi en büyük olan terimin kat sayýsýna polinomun

baþ kat sayýsý denir.

x in en büyük kuvveti olan doðal sayýya P(x) polinomu-

nun derecesi denir ve der[P(x)] ile gösterilir.

a0, a

1x, a

2x

2,..., a

nx

nifadelerine polinomun terimleri denir.

a0, a

1, a

2, ..., a

ngerçek sayýlarýna polinomun kat sayýlarý

denir.


MF

TM

P(x)= – 2x5+3x

4– 7x – 4

....................................

........................................

........................................

...............................

...................................

Polinomunun kat sayıları

Polinomunun terimleri

Polinomunun derecesi

Polinomunun baş kat sayısı

Polinomunun sabit terimi

a)

b)

c)

d)

e)

UYGULAMA 2


POLÝNOM ÇEÞÝTLERÝ

A) SIFIR POLÝNOM

Tüm kat sayýlarý sýfýra eþit olan polinoma denir.

P(x)=anx

n+...+a

2x

2+a

1x+a

0polinomunda

�

ÖRNEK 3

P(x)=(a+2)x2+(b – 3)x+c – 4

sýfýr polinom olduðuna göre, a+b+c toplamý kaçtýr?

a0=a

1=a

2=...=a

n=0

ise P(x) polinomuna sýfýr polinom denir.


�

Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

Uyarı


B) SABÝT POLÝNOM

P(x)=anx

n+...+a

2x

2+a

1x+a

0 polinomunda

ÖRNEK 4

P(x)=(a+1)x2+(b – 2)x+6

sabit polinom olduðuna göre, a.b çarpýmý kaçtýr?

a0�0 ve a

1=a

2=a

3=...=a

n=0

ise P(x) polinomuna sabit polinom denir ve P(x)=a0

þek-

linde gösterilir.


Sabit polinomun derecesi sıfırdır.

Uyarı

�


�

C) ÝKÝ DEÐÝÞKENLÝ POLÝNOM: Kat sayýlarý gerçek sayý, x ve y

deðiþkenlerinin kuvvetleri doðal sayý olmak üzere, P(x, y) þek-

lindeki polinomlara iki deðiþkenli polinom denir.

P(x, y)= 3x10

+2y5– 3xy

5+4x

8y

4– 5

��

��

��

��

UYGULAMA 3


�

ÝKÝ POLÝNOMUN EÞÝTLÝÐÝ: Ýki polinomun eþit olmasý için

ayný dereceden terimlerin kat sayýlarý eþit olmalýdýr.

ÖRNEK 5

P(x)=(a – 1)x2+(b – 3)x+3

Q(x)=(c+4)x3+4x+d – 2

P(x)=Q(x) olduðuna göre, a+b+c+d toplamýný bulunuz.

P(x)=anx

n+...+a

1x+a

0

Q(x)=bnx

n+...+b

1x+b

0

P(x)=Q(x) ise a0=b

0, a

1=b

1, ..., a

n=b

n


�

ÖRNEK 6

Her x gerçek sayýsý için,

(a – 1)x2+2x+3=(b+4)x+c+1

olduðuna göre, a+b+c toplamýný bulunuz.


POLÝNOMLARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA

P(x)+Q(x)= .........................................................

.......................................................3P(x) – Q(x)=

a)

b)

3 2Q(x) x – 3x – 3=

3 2P(x) 3x x 7= + +

UYGULAMA 4

Ýki polinom arasýnda toplama veya çýkarma iþlemi yapý-

lýrken, ayný dereceden terimlerin kat sayýlarý toplanýr veya

çýkarýlýr.

a.xn

¥ b.xn=(a ¥ b).x

n


ÖRNEK 7

P(x)+Q(x)=5x2– 7x+3

P(x) – Q(x)=x2+3x+5

olduðuna göre, Q(x) polinomunu bulunuz.


ÖRNEK 8

P(x)=x4– 2x

2+3x – 1

Q(x)=x3– 2x

2+4x+3

olduðuna göre, P(x) – Q(x) polinomunun derecesi kaçtýr?

m>n olmak üzere,

der[P(x)]=m

der[Q(x)]=n

der[P(x) ¥ Q(x)]=m dir.


POLÝNOMLARDA ÇARPMA

3P(x) x – x 4

Q(x) 2x – 3

= +=

...........................................................

..................................................

a)

b)

P(x).Q(x)=

22.Q (x) – x.Q(x)=

UYGULAMA 5

P(x) ve Q(x) polinomlarý çarpýlýrken I. polinomun her bir

terimi ile II. polinomun her bir terimi ayrý ayrý çarpýlarak

toplanýr.


ÖRNEK 9

P(x)=3x2– 5x+4

Q(x)=2x3– x

2– 2x+3

olduðuna göre, P(x).Q(x) çarpým polinomunda x4

lü teri-

min kat sayýsý kaçtýr?


ÖRNEK 10

ax3+bx

2+cx+d=(x – 4).(x

2– 3x+1)

olduðuna göre, a+b+c+d toplamýnýn deðeri kaçtýr?


.......................................................

................................................

....................................

a)

b)

c)

4 2P(x) – 4x – 3x – 4=2Q(x) x – 5x 7= +

d[P(x).Q(x)]=

5d[x .P(x) – Q(x)]=

3 2d[(x – 1) .Q (x)+4.P(x)]=

UYGULAMA 6

Çarpým polinomunun derecesi, çarpýlan polinomlarýn de-

receleri toplamýna eþittir.

der[P(x).Q(x)]=der[P(x)]+der[Q(x)]


ÖRNEK 11

der(P(x))=7

olduðuna göre, (x – 1)5.P(x) – (x+1)

10polinomunun dere-

cesi kaçtýr?


2

5x – 18 A B

x – 2 x 2x – 4

� ��

ÖRNEK 12

olduðuna göre, A.B çarpýmý kaçtýr?


2

2 2

3x x 2 A Bx C

xx(x x 1) x x 1

� � ��

ÖRNEK 13

olduðuna göre, A+B+C toplamý kaçtýr?


ÖRNEK 14

Her x gerçel sayýsý için,

2x – 4=ax(x – 1)+bx(x+1)+c(x2– 1)

olduðuna göre, a.b.c çarpýmý kaçtýr?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16

(2003/ÖSS)


ÖRNEK 15

Her x gerçel sayýsý için,

ax4+bx

3+cx

2+dx+e=(x

2– 1)(px

2+qx+r)+2x – 1

olduðuna göre, a+c+e toplamý kaçtýr?

A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2

(2004/ÖSS)


1. Aþaðýdakilerden hangisi polinom deðildir?

2

5 3

2

A) P(x) 5x 2x 1

B) Q(x) 6 5

C) R(x) x 4 x 6x 1

D) M(x, y) 4x y 3x 5y 1

E) T(x) 6x 1

� � �

�

� � � �

� � � �

� �


2. P(x)= – 4x7– 2x

4+3x+1

polinomunun baþ kat sayýsý ile sabit teriminin toplamý

kaçtýr?

A) – 3 B) – 2 C) – 1 D) 0 E) 1


3. P(x)=4x8– 2x

7– 5x+11

olduðuna göre, P(x) polinomunun derecesi kaçtýr?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9


4. P(x, y)=5x6– 4x

2y

3+x

5y

6+4x

2– y

5

polinomunun derecesi kaçtýr?

A) 5 B) 6 C) 9 D) 11 E) 13


5. P(x)=(a – 4)xa+b – 2

+2x2– 4

çok terimlisi baþ kat sayýsý 4 olan dördüncü derece-

den bir polinom olduðuna göre, a – b farký kaçtýr?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10


6.

ifadesi bir polinom olduðuna göre, n nin alabileceði

kaç farklý deðer vardýr?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

n

n 2 18 n3

P(x) x x x� ��


7.

ifadesi bir polinom belirttiðine göre, n nin alabileceði

farklý deðerler toplamý kaçtýr?

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

4n 9

n 2n

P(x) x 2x 5

��


8. P(x)=(a+b)x2+(b – 2)x+c – 2

polinomu sýfýr polinom olduðuna göre, a.b.c çarpýmý

kaçtýr?

A) – 10 B) – 8 C) – 6 D) – 4 E) – 2


9. P(x)=ax2+(x – 1)

2+bx

polinomu sabit polinom olduðuna göre, a+b toplamý

kaçtýr?

A) – 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3


10. P(x)=(a – 4)x3– (b – 2)x+c – 4

Q(x)=(d – 1)x2+3x – 5

P(x)=Q(x) olduðuna göre, a+b+c+d toplamý kaçtýr?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5


11. P(x)=x4– 3x

2– 6x+7

Q(x)=x7– 3x

3+x+1

olduðuna göre, 2P(x) – 3Q(x) fark polinomunun dere-

cesi kaçtýr?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8


12. P(x)=x3+x

2+4

Q(x)=xa+3x

2– 2x+1

der[P(x)+Q(x)]=4 olduðuna göre, a kaçtýr?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7


13. 2P(x)+Q(x)=4x2+8x+11

P(x) – Q(x)= – x2+7x – 2

olduðuna göre, P(x) polinomu aþaðýdakilerden hangi-

sine eþittir?

A) x2+1 B) x

2+5x+3 C) x

2+5x – 3

D) x2+5x E) 2x

2+5x – 7


14. P(x)=x2– x+1

Q(x)=x2– 1

olduðuna göre, P(x).Q(x) polinomu aþaðýdakilerden

hangisine eþittir?

A) x4– x

3+x – 1 B) x

4+x

3+x – 1 C) x

4– x

3+x – 2

D) x4+x

3+x+2 E) x

4– 2x

3+2x+1


15. (5x3+2x

2+1).(7x

4+2x

3+3x

2)

çarpýmýnda x6

lý terimin kat sayýsý kaçtýr?

A) 35 B) 24 C) 19 D) 13 E) 2


16. P(x)=(x – 1)3.(x

4– 1) – x

16

polinomunun derecesi kaçtýr?

A) 3 B) 4 C) 7 D) 12 E) 16


17. P(x)=(xa– 1)(x

2a+1)+x

a – 1+4

polinomunun derecesi 24 olduðuna göre, a kaçtýr?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 24


18. ax3+bx

2+cx+d=(2x – 3).(x

2+4x – 5)

olduðuna göre, a+b+c+d toplamý kaçtýr?

A) – 4 B) – 2 C) 0 D) 1 E) 2


19. (4x – 1).bx=8x2– ax+c

olduðuna göre, a+b+c toplamý kaçtýr?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6


20. Her x gerçel sayýsý için

x2+ax – 5=(x+1)(bx+c)


A) – 9 B) – 8 C) 0 D) 8 E) 9

(2002/ÖSS)


21. P(x)=x2+3x – a

Q(x)=2x+b

P(x).Q(x)=2x3+7x

2– 3x – 3

olduðuna göre, a+b toplamý kaçtýr?

A) 6 B) 4 C) 3 D) – 2 E) – 1


22. P(x – 1)=x3+ax

2+5

Q(x+1)=x4+bx

3+4x – 1

polinomlarý verilmiþtir.

P(0)=Q(0) olduðuna göre, a+b toplamý kaçtýr?

A) – 10 B) – 6 C) 2 D) 6 E) 10


23.

olduðuna göre, A – B farký kaçtýr?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

(2001/ÖSS)

� � �� 2

10x 5 A B

x 5 x 1x 4x 5


24.

olduðuna göre, m kaçtýr?

A) 11 B) 13 C) 17 D) 21 E) 24

2

5x – m 3 2

x 1 x – 5x 6x 5

� ��


25.

olduðuna göre, 2A+3B ifadesinin deðeri kaçtýr?

A) – 1 B) 1 C) 3 D) 5 E) 7

2 2

2x 1 A B

x 1(x 1) (x 1)

� � ��


26. (2x+1)3=ax

3+bx

2+cx+d

olduðuna göre, 2a+b – c – 2d ifadesinin deðeri kaçtýr?

A) 12 B) 16 C) 20 D) 21 E) 23


27. Her x gerçek sayýsý için

8x – 8=ax(x – 2)+bx(x+2)+c(x2– 4)


A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 3 E) 6


28. a, b, c, d, e ve f birer gerçek sayý olmak üzere,

(ax – 1).(bx+2).(cx+d)=x3+ex

2+fx+6

olduðuna göre, a.b.c.d çarpýmý kaçtýr?

A) – 6 B) – 3 C) – 1 D) 3 E) 6


29. P(x)=(x2– 3x+a)(x – 7)

polinomunda x li terim bulunmadýðýna göre, sabit teri-

mi kaçtýr?

A) – 84 B) 84 C) 105 D) 126 E) 147


30. P(x) bir polinomdur.

olduðuna göre, a nýn alabileceði kaç farklý deðer vardýr?

A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18

a 180

a3P(x) 3x 2x x 1� � � �


31.

olduðuna göre, A+B+C toplamý kaçtýr?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

2

3 2

3x – 2 A B C

x x 1 x – 2x – x – 2x

� � ��


32. P(x) bir polinomdur.

olduðuna göre, n nin alabileceði kaç farklý deðer vardýr?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

n 4

n– 4

P(x) 2x – 3x 4

�

� �


Education

Lys matematik ii mf tm föy-01