Libro talleres matematicas i (1)

PresentacionEl grupo de profesores del Departamento de Matematicas de la UniversidadTecnologica de Pereira que durante anos han venido orientando el primer cursode matematicas que deben tomar los alumnos que recien inician su vida enla educacion superior en los programas de: Ingenierıas, Tecnologıas, QuimicaIndustrial, Administracion del medio Ambiente, y Licenciatura en Matematicasy Fısica; han puesto su experiencia y su conocimiento en la elaboracion de estematerial con el objetivo de facilitar la comprension y desarrollo de todos los temasque se exponen en el.

Aquı encontraran gran cantidad de talleres con sus respuestas sistematicamentepresentados conforme se desarrolle el curso, ajustados completamente al contenidode la asignatura; permitiendo que el alumno avance hacia la consecucion de lashabilidades y competencias necesarias que le daran la solidez matematica paraafrontar con solvencia las diferentes asignaturas que requieran de unas buenas basesmatematicas.

Es de recalcar que los talleres aquı planteados requieren fundamentalmente tansolo de los elementos teoricos que el docente entregara en cada clase, siendo estoventajoso dado que le evita al alumno el gasto asociado a la compra de un textoguıa.

Finalmente se han agregado unos temas al inicio de este libro y corresponden en granmedida a los topicos fundamentales que cualquier alumno debe manejar con solturapara poder dar inicio con responsabilidad al desarrollo de ejercicios y problemaspropuestos en este material que hemos denominado Talleres de Matematicas I

Profesores Matematicas I

Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I

1 Preliminares1.1 El sistema de los numeros reales1.2 El orden y la recta numerica1.3 Valor absoluto1.4 Exponentes y leyes de exponentes enteros1.5 Exponentes racionales1.6 Expresiones algebraicas1.7 Ecuaciones e inecuaciones en una variable1.8 Ecuaciones de segundo grado con una incognita1.9 Secciones conicas

1.1. El sistema de los numeros reales

Empezaremos con algunos de los conjuntos basicos de numeros con los que yaesta familiarizado:

Los numeros naturales N = {1, 2, 3, 4, ...}

Los numeros enteros Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}

Los numeros racionales Q ={p

q| p, q ∈ Z, q 6= 0

}El numero asociado con la recta numerica se llama coordenada del punto.Los numeros enteros se pueden representar en una recta de la siguiente forma:

1. Elige un punto cualquiera de la recta. Asıgnele el valor 0.

2. Elige otro punto cualquiera a la derecha del 0 y asıgnele el valor 1.

La distancia entre ambos puntos sera la unidad de medida de longitud. Si marcasesa unidad de medida a la derecha del 1, el punto representado es el 2. Haciendo lomismo a la derecha del 2, obtienes el 3. Y ası sucesivamente representas todos losnumeros naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, .....

1


Si marcas la unidad de medida a la izquierda del 0, obtienes los numeros negativos-1, -2, -3, -4, -5, -6, . . . Este conjunto se denomina numeros enteros

Figura 1: Numeros enteros

Los numeros racionales se asocian con puntos sobre la recta numerica. Pararepresentar el numero 2,5 que es un numero comprendido entre 2 y 3, dividimos elsegmento entre los numeros 2 y 3 en 10 partes iguales. Tomamos 5 de esas partescontando a la derecha desde el 2.

Despues de asociar cada numero racional con un punto de la recta numerica,nos encontramos que todavıa faltan puntos por asociar. Estos numeros que nocorresponden a ningun numero racional se llaman numeros irracionales I.

Los decimales finitos como por ejemplo14

= 0.25 y los decimales periodicos como13

= 0.33333 representan numeros racionales.Es un hecho que los decimales que no son finitos ni periodicos no son numerosracionales. En otras palabras, un decimal de este tipo no se puede representar comoel cociente de dos enteros.

Este conjunto de decimales que no son finitos ni periodicos recibe el nombre denumeros irracionales I. Por ejemplo, π,

√2 son numeros irracionales.

Lo importante para nosotros es reconocer que los numeros irracionales tambienrepresentan puntos sobre la recta numerica. Si tomamos todos los numeros racionalesjunto con todos los numeros irracionales (tanto positivos como negativos), obtenemostodos los puntos de la recta numerica. Este conjunto se llama el conjunto de losnumeros reales y, por lo general, se designa con la letra R.Los numeros reales R corresponden a un punto sobre la recta numerica. La siguientefigura ilustra la relacion que existe entre los conjuntos antes expuestos

2


Figura 2: Numeros Reales

1.1.1 Propiedades de los numeros reales

Terminologıa Caso generalLa adicion es conmutativa a+ b = b+ a

La adicion es asociativa a+ (b+ c) = (a+ b) + c

0 es el neutro aditivo a+ 0 = a

−a es el inverso aditivo a+ (−a) = 0La multiplicacion es ab = ba

La multiplicacion es a(bc) = (ab)c1 es el neutro multiplicativo a1 = a

Si a 6= 0,1a

es el inverso a

(1a

)= 1

La multiplicacion es a(b+ c) = ab+ acdistributiva en la adicion (a+ b)c = ac+ bc

1.1.2 Propiedades de la igualdad

A continuacion se enuncian las propiedades basicas de la igualdad

Si a = b y c es cualquier numero real, entonces1. a+ c = b+ c2. ac = bc

3


1.1.3 Productos en los que interviene el cero

1. a0 = 0 para todo numero real a2. Si ab = 0, entonces a = 0, o bien b = 0

1.1.4 Propiedad de los numeros negativos

Propiedad Ejemplo−(−a) = a −(−3) = 3(−a)b = −(ab) = a(−b) (−2)3 = −(2 · 3) = 2(−3)(−a)(−b) = ab (−2)(−3) = 2 · 3(−1)a = −a (−1)3 = −3

1.1.5 Notacion para los numeros recıprocos

El recıproco1a

de un numero a distinto de cero, se representa con frecuencia,

con a−1, como se ve en la siguiente tabla

Definicion Ejemplo

Si a 6= 0, entonces a−1 =1a

• 2−1 =12

•(

34

)−1

=1(34

) =43

1.1.6 Sustracion y division

Las operaciones sustracion (−), y de division (÷), se definen como sigue:

Definicion Ejemploa− b = a+ (−b) 3− 7 = 3 + (−7)

a÷ b = a

(1b

). = ab−1; b 6= 0 3÷ 7 = 3

(17

)= 3× 7−1

1.1.7 Propiedades de los cocientes

Las siguientes propiedades de los cocientes son validas, siempre que losdenominadores sean numeros reales distintos de cero.

4


Propiedad Ejemplo

1.a

b=c

dsi ad = bc

25

=615

porque 2× 15 = 5× 6

2.ad

bd=a

b

2× 35× 3

=25

3.a

−b=−ab

= −ab

2−5

=−25

= −25

4.a

b+c

b=a+ c

b

25

+95

=2 + 9

5=

115

5.a

b+c

d=ad+ bc

bd

25

+43

=(2× 3) + (5× 4)

(5× 3)=

2615

6.a

b× c

d=ac

bd

25× 7

3=

2× 75× 3

=1415

7.a

b÷ c

d=a

b× d

c=ad

bc

25÷ 7

3=

25× 3

7=

635

Nota: Si a es un numero distinto de cero, entonces:a

0esta indefinido, mientras que

0a

= 0 y00

es indeterminado.

Taller 1

1. Evalue las expresiones numericas

a. 3 + (−6)− (+4)− (−8) b. (−6)(−2)(−3) c. −2− 3,552d. −4 + 7,29 e. −2[3− (2− 5)] f. 2− (−3)2

g. 6− [4− (5− 8)2] h. 9− 3− [6− 2(9− 4)2] i.34− 2

3+

12

2. Escriba cada expresion como una fraccion simple reducida a su mınimaexpresion

a.3 +

35

5− 18

b.4− 2

325− 6

c.

23− 1

218

+25

d.

35− 1

2710− 2

5


3. Reemplace el simbolo � con = o bien con 6= para que el enumerado secumpla con todos los numeros reales a, b, c, d; siempre que las expresionesesten definidas

a.ab+ ac

a� b+ ac b.

ab+ ac

a� b+ c

c.b+ c

a�

b

a+c

ad.a+ c

b+ d�

a

b+c

d

e.a− bb− a

� − 1 f. −(a+ b) � − a+ b

6


1.2 El orden y la recta numerica

Sean a y b numeros reales:

Si a− b es positivo, a es mayor que b. Se nota a > b (> Mayor que)Si a− b es negativo, a es menor que b. Se nota a < b (< Menor que)Si a− b es cero, a es igual a b. Se nota a = b (= Igual a)

a > b si y solo si a− b ∈ R+

a < b si y solo si a− b ∈ R−

a = b si y solo si a− b = 0

El conjunto de los numeros reales es un Campo ordenado.

Teorema 1. Axioma de tricotomıa Para todo a y b reales, una y solo una de lasproposiciones siguientes es valida:

a > b, a = b o a < b

1. El sımbolo ≤ significa ”menor o igual que”: 5 ≤ 6, 6 ≤ 6.

2. El sımbolo ≥ significa ”mayor o igual que”: 6 ≥ 5, 6 ≥ 6

3. La doble desigualdad a < x < b, es una combinacion de dos desigualdades:a < x, y x < b que deben satisfacerse simultaneamente: −2 < x < 5: xesta entre −2 y 5.

En el campo de los reales:

1. Si a, b, c son numeros reales tales que a > b y b > c, entonces a > c. PropiedadTransitiva.

2. Si a, b son reales y a > b entonces a+ c > b+ c, para todo c que pertenezca alos reales.

3. Si a, b son reales y a > b entonces ac > bc, para todo c que pertenece a R+

4. Si a, b son reales y a > b entonces ac < bc, para todo c que pertenece a R−

5. Si a, b pertenecen a R y si ab > 0 entonces (a > 0 y b > 0) o (a < 0 y b < 0)

6. Para todo real a, a2 ≥ 0

7


7. Si a > b siendo a y b positivos entonces a2 > b2

8. Si a > 0,1a> 0

9. Si a > b y c > d, a+ c > b+ d

10. Si a, b, c y d son positivos y a > b,1b>

1a

Ejemplo Determine la veracidad o no de los siguientes enunciados:a) 6 > −2 (V) e) 18 > 24 (F) i) −15 < −12 (V)

b) 4 < 12 (V) f)127<

125

(V) j) 9 > −1 (V)

c) −4.50 < 2.26 (V) g) −2 = 2 (F) k) −9 > −11 (V)

d) π < −2e (F) h)35< −0.35 (F) l)

116

> −2 (V)Ejemplo Reemplace el sımbolo 2 con <,> o =

−7 2 − 284

−7× 4 2 − 28× 1−28 2 − 28−28 = −28

Taller 2

1. Reemplace el sımbolo 2 con <,> o =

a.−13

2 − 823

b. −4510

2 − 92

c. −127

2 − 138

d.325

2322

2. En cada caso ordene de menor a mayor y represente en una recta numerica:

a. −38,

5−11

,57,−2−3

b. −32,79,68,

4−5

c. −13,−52,13,47,−5−3

3. Por que no tiene sentido escribir:

a) −2 < x < −4

b) 2 > x > 5

8


1.2.1 La notacion de intervalos

Otra manera de expresar conjuntos de numeros descritos por desigualdades esutilizando la notacion de intervalos. Esta notacion es una manera convenientey compacta de representar intervalos en la recta numerica. Empezaremos conintervalos acotados, es decir, intervalos que tienen dos extremos.

Utilizaremos parentesis para indicar que un extremo no esta incluido, y corchetespara indicar que se incluye el extremo.

Intervalos acotados{x|a ≤ x ≤ b} [a, b]{x|a < x < b} (a, b){x|a ≤ x < b} [a, b){x|a < x ≤ b} (a, b]

Intervalos no acotados{x|x ≥ a} [a,∞){x|x > a} (a,∞){x|x ≤ a} (−∞, a]{x|x < a} (−∞, a)

Los sımbolos −∞ y ∞ no representan numeros; son simplemente sımbolos quenos recuerdan que el intervalo continua por siempre, o aumenta (o disminuye) sinfin. Por lo tanto, siempre escribimos un parentesis junto al sımbolo ∞.

Recordemos que siempre que utilizamos la notacion de intervalos, estamostrabajando dentro del marco del sistema de los numeros reales. La lınea gruesa dela grafica senala que se incluyen todos los puntos de la lınea.

Ejemplo

1. Graficar las siguientes desigualdades en la recta numerica y expresar elconjunto utilizando la notacion de intervalos.

a) {x|x > −3}

b) {s|s ≤ 4}

c) {t| − 2 < t ≤ 6}

9


Figura 3: Conjunto solucion

Taller 3

1. Exprese el enunciado en forma de desigualdad:

a. x es negativo.b. y es no negativo.c. q es menor que o igual a π.d. d esta entre 2 y 4.e. t no es menor que 5.f. El inverso aditivo de z no es mayor que 3.g. El cociente de p y q es, cuando mucho 7.h. El recıproco de w es, cuando menos 9.

2. Grafique cada conjunto sobre la recta numerica real:

a.{x|x < 4} b.{x|x > 5} c.{x| − 3 < x ≤ 2}d.{x| − 8 < x < −2} e.{x| − 2 ≤ x < 4}

3. Grafique el conjunto sobre la recta numerica y expreselo mediante la notacionde intervalos.

a.{x|x < 4} b.{x|x ≤ 1} c.{x|x ≥ 5}

d. {x| − 3 < x} e. {x| − 8 ≤ x < 5} f. {x|0 < x ≤ 6}

g. {x| − 2 ≥ x} h.{x| − 3 < x < 4} i.{x| − 9 < x ≤ −2}

j. {x|0 ≤ x ≤ 6}

10


1.3 Valor absoluto

De manera geometrica, el valor absoluto de un numero es su distancia al cero sobrela recta numerica.

El valor absoluto de x se simboliza por |x|. Por tanto:

| − 3| = 3 ya que −3 esta 3 unidades de distancia del cero en la rectanumerica.

Ademas,

|3| = 3 ya que 3 esta a 3 unidades del cero en la recta numerica.

Figura 4: Interpretacion grafica

De manera algebraıca, definimos el valor absoluto de la siguiente manera:

|x| ={x si x ≥ 0−x si x < 0

Definicion Sean a,b las coordenadas de dos puntos A y B respectivamente en unarecta coordenada l. La distancia entre A y B, notada d(A,B) = |A−B| = |B −A|.

11


1.3.1 Algunas propiedades del valor absoluto

1.|x| ≥ 0 2.|x| ≥ x

3.| − x| = |x| 4.|x|2 = x2

5.|x| = |y|, x = y o x = −y o −x = y 6.|xy| = |x||y|

7.∣∣∣∣xy∣∣∣∣ =|x||y|, y 6= 0 8. |x− y| = |y − x|

9.|x+ y| ≤ |x|+ |y| 10.|x| − |y| ≤ |x− y|

Ejemplo Escriba cada expresion sin los sımbolos de valor absolutoa) |π − 3| b) |3− π| c) |x4 + 1|d) |x− 2| e) |x+ 1|

Solucion

1. Como π ' 3,14, entonces π − 3 es positivo, por tanto |π − 3| = π − 3

2. |3− π| es negativo, por tanto |3− π| = −(3− π) = −3 + π = π − 3

3. x4 es no negativo y x4 + 1 tambien es positivo, por tanto |x4 + 1| = x4 + 1

4. |x− 2| = x− 2 cuando x− 2 ≥ 0, x ≥ 2, |x− 2| = −(x− 2) = −x+ 2 cuandox− 2 < 0, x < 2 por tanto

|x− 2| ={x− 2 cuando x ≥ 22− x cuandox < 2

Taller 4

1. Determine el valor de cada expresion, si x = 3, y = −2a.|x+ y| b.|x|+ |y|c. |x− y| d.|x| − |y|

2. Escriba cada expresion sin los sımbolos de valor absolutoa. |3− 5| b. |x− 5| c. |

√2− 1| d. |x+ 4|

e. |1−√

2| f.|x2 + 1| g. |π − 3, 14| h. |x4 + 3|

12


3. Determine la distancia sobre la recta numerica entre cada par de puntos conlas coordenadas dadas.a. 2 y 5 b. -3 y 8 c. 5 y 9 d. -8 y 4

4. La distancia entre x y a se define como |x−a|. En cada caso grafique el conjuntosolucion sobre la recta numerica y expreselo mediante notacion de intervalos.a. |x− 2| < 1 b. |x− 2| < 3 c. |x| < 4 d. |x− 4| < 3e. |x− 2| ≥ 1 f. |x| ≥ 3 g. |x− 3| > 5 h. |x− 4| ≥ 3i. |x+ 2| < 1 j. |x+ 2| ≥ 1

5. Calcule |x− y| − |x| − |y| si x = −1 y y = −2

13


1.4 Exponentes y leyes de exponentes enteros

El concepto de exponente es de mucha utilidad para expresar numeros en una formamas corta. Por ejemplo: el producto 2× 2× 2× 2× 2 se expresa de la forma 25 y selee dos a la cinco.ELa expresionE2× 2× 2× 2× 2 esta en la forma expandida y la expresion 25 es unaexpresion exponencial.EEl valor 32 es la quinta potencia de 2.

Definicion La expresion xn significa que x aparece multiplicada n veces. x se conocecomo la base y n como el exponente. Se llama potencia al valor que se obtiene almultiplicar la base n veces. Esto es, xn = x× x× x× x×××︸︷︷︸

n veces

multiplicado por si

mismo n veces.Ejemplo

a) La notacion exponencial de (−3)(−3)(−3)(−3) es (−3)4.

b) La notacion exponencial de b× b× b es b3.

Definicion Para toda base x, x1 = x. Esto es, cualquier numero elevado a la unoes el mismo numero.

Ejemplo 31 = 3 (17)1 = 17 (259)1 = 259

Definicion Cualquier numero diferente de cero, elevado a la cero es igual auno. Esto es, para toda base x x 6= 0 x0 = 1.

Ejemplo 30 = 1 (−5)0 = 1 (58)0 = 1

Definicion Cualquier numero diferente de cero y n un numero entero, tenemos

x−n =1xn

Ejemplo 2−3 =123

=18

1.4.1 Propiedades

1. Si n y m son enteros positivos y x un real: xnxm = xn+m

2. Si n y m son enteros positivos y x un real: (xn)m = xnm

14


3. Si n es entero positivo y x, y reales: (xy)n = xnyn

4. Si n y m son enteros positivos, n > m y x un real, x 6= 0 :xn

xm= xn−m

Ejemplo

a) 32 × 35 = 32+5 = 38

b) (a+ 2b)3(a+ 2b)7 = (a+ 2b)3+7 = (a+ 2b)10

c) ((12 + 1

3)−2)4 = ((56)−2)4 = (5

6)−8 = (65)8

d)(2a−2b)−3(−3ab)−2

a−4

=2−3a6b−3(−3)−2a( − 2)b−2

a−4

=2−3(−3)−2a6a−2b−3b−2

a−4

= 2−3(−3)−2a6+(−2)−(−4)b−3+(−2)

= 2−3(−3)−2a8b−5

=a8

23(−3)2b5

=a8

72b5

Taller 5 Elimınense les exponentes negativos y simplifiquese:

1. (a5)4

2.2−3

3−2

3. (aras)t

4. (x2m × x3n)4

5. (−3)3

6.(2x5)(3x4)

(x2)3

15


7. (−2xy2)5x7

8y3

8. (2xn)n

9. (a−1 + b−1)÷ (a+ b)−1

10.(2x3y−2)(3x−2y3)

11.(

4a0b3

a4b

)2

12.a−1 + b−1

(a+ b)−1

13.x−2 − y−2

x2 − y2

14. ((x2y3)2)3

16


1.5 Exponentes racionales

Definicion Si n es un entero positivo y a un numero para el cual a1/n esta definido,entonces la expresion n

√a denomina raiz n-esima de a, donde el numero a se llama

cantidad subradical y a n el ındice del radical.

• La raız principal de un numero positivo es la raız positiva

• La raız principal de un numero negativo es la raız negativa, si n es impar

• Se nota y = a1/n = n√a

Nota: Si n = 2 (ındice del radical) entonces se omite al escribir la expresion.Ejemplo

251/2 = 2√

25 =√

25 = 5 25 es el radicando y 2 es el ındice; 52 = 25

Defincion Si a es un numero real y m, n dos enteros para la cual: n√a es

un numero real, entonces am/n = n√am

Ejemplo

a) 22/3 = 3√

22 = 3√

4

b) a−(2/3) = 1

a23

= 13√a2

, a 6= 0

Taller 6 Reduzcanse a su forma mas simple:

1. 251/2

2. x1/4 ÷ x−1/5

3. (2x1/6y5/6)−6

4. (210)−3/5

5. x1/4x1/5

6. (x+ y−1)2

7. (x−1/4)−1/5

8. 37/231/2

9. (a1/2 + b1/2)2

17


10. (125x4y3 ÷ 27x−2y6)1/3

11. (x1/3 + y1/3)(x2/3 − x1/3y1/3 + y2/3)

1.5.1 Reglas de los radicales

Para cualquier entero positivo n y numeros reales a y b donde b 6= 0, y si todas lasraıces son numeros reales:

Definicion Regla del producto de radicales

n√a · b = n

√an√b

Ejemplo

a)√

9× 3 =√

9√

3 = 3√

3

b) 3√

2 3√

4 = 3√

2× 4 = 3√

8 = 2

Definicion Regla de la division de radicales

n

√a

b=

n√a

n√b

Ejemplo

a) 4

√1681 =

4√164√81

b)√

48√3

=√

483 =

√16 = 4

1.5.2 Simplificacion de radicales

Un radical esta en su forma mas simple si:

1. El radicando no tiene factores con una raız enesima perfecta.

2. No hay fracciones dentro del signo del radical.

3. No existen radicales en el denominador.

18


Nota: La regla del producto se usa para hallar las raıces perfectas de los factoresdel radicando.

La regla de la division de radicales se usa cuando las fracciones estan dentro delsigno del radical.

Taller 7 Reduzcanse a su forma mas simple:

1.√

50

2. 4√

32

3. 3√−81

4. 3√

6 3√

18

5. 5

√−32a10

b4

6.√

75√27

7.√a2b2 + b2c2

8. 3x

√a2

x43

√x3

2a4

9. n√a2nb3n

10. 5

√4

√3√

(32)2

11.√x+ 6 + 9

x

12. 10√

32a5

1.5.3 Numero imaginario

Definicion Un numero imaginario se define como:

i =√−1 y i2 = −1

Definicion Para todo numero real positivo a, tenemos que:

√−a =

√−1√a = i

√a

19


Ejemplo Simplificar:

a)√−36 =

√−1√

36 = i√

36 = 6i

b)√−17 =

√−1√

17 = i√

17 =√

17i

1.5.4 Operaciones con radicales

Suma y Resta: En la suma y la resta utilizamos los siguientes pasos:

1. Simplificar todos los radicales que no esten expresados en su forma mas simple.

2. Sumar y restar terminos que contienen los mismos radicales (es decir, que sonsemejantes) usando la propiedad distributiba.

Multiplicacion: En la multiplicacion de radicales hacemos los siguientes pasos:

1. Multiplicar los coeficientes de los radicales.

2. Multiplicar los radicales y buscar la raız enesima del producto.

3. Simplificar si es necesario.

Ejemplo Realizar las operaciones y expresar la respuesta en su forma mas simple

a)

5x− 10x− 4

+3x− 24− x

=5x− 10x− 4

+2− 3xx− 4

=5x− 10 + (−3x+ 2)

x− 4

=2x− 8x− 4

=2(x− 4)x− 4

= 2

20


b)

4x(x+ 1)(x2 − 2)3

+1

(x2 − 2)2

=−4x(x+ 1)(x2 − 2)3

+1

(x2 − 2)2

=−4x(x+ 1) + (x2 − 2)

(x2 − 2)3

=−3x2 − 4x− 2

(x2 − 2)3

Taller 8 Evaluar:

1. 3√

16− 3√

54 + 3√

250

2.√

12 +√

75−√

18

3.√

3ab2 3√

18a3b

4. (2√

3 + 3√

2)(3√

3− 2√

2)

5. 6√

75÷ 2√

15

Division: Antes de dividir expresiones con radicales tenemos que definir lo que esel conjugado.

DefinicionLas expresiones (√a +

√b) y (

√a −

√b), donde a y b representan

cualquier termino algebraico positivo se llaman conjugados. Cada expresion es elconjugado de la otra expresion. De manera que: (

√a+√b)(√a−√b) = a− b

Definicion El proceso para eliminar radicales que estan en el denominador sellama racionalizar el denominador.

Ejemplo Racionalizar

a)4

2 +√

5=

4(2−√

5)(2 +

√5)(2−

√5)

=4(2−

√5)

(4− 5)=

4(2−√

5)−1

= −4(2−√

5)

b)

√11 +

√2√

11−√

2=

(√

11 +√

2)(√

11 +√

2)(√

11−√

2)(√

11 +√

2)=

(√

11 +√

2)(√

11 +√

2)9

21


Taller 9

1. El factor racionalizante de 15√a es

a) 5√a

b) 5√a2

c) 5√a4

2. La expresion12√x5y7

3

√√√xy

es igual a:

a)√xy

b) 6√x2y3

c) 3√xy

d) 12√x2y5

3. El factor racionalizante dea+ b

3√a2 + b2

es:

a) 3√a+ b

b) 3√a− b

c) 3√a4 + b4

d) 3√a4 + b4 + 2a2b2

4. El factor racionalizante de1

1− 3√x

es:

a) 1 + 3√x2

b) 1 + x+ x2

c) 1 + 3√x+ 3√x2

d) 1− 3√x+ 3√x2

22


1.6 Expresiones algebraicas

Una expresion algebraica es una expresion que se obtiene sumando, restando,multiplicando, dividiendo y calculando raıces de constantes y/o variables. Porejemplo:

a. 3x−1/3 + 9, b.√

2x+ 57x3 + 1

, c. 5x3 +3xyx

+ 4,

d. 2x5 + x3 + 1

Todas son expresiones algebraicas donde x, y son variables. Si numeros especıficosse sustituyen por las variables en una expresion algebraica, el numero real queresulta se llama valor de la expresion para estos numeros. Por ejemplo, el valor de2xy + 3xy − 1

, cuando x = −2 y y = 3 es:

2(−2)(3) + 3(−2)3− 1

=−12− 6

2= −9

Cuando se trabaja con expresiones algebraicas, se supone que los dominios se escogende tal manera que las variables no representan numeros que dejen sin sentido laexpresion. Entonces se supone que los denominadores no se anulan, siempre existenraıces, etc.

1.6.1 Expresiones algebraicas - Polinomios

Definicion Un polinomio en la variable x es una expresion algebraica formadasolamente por la suma de terminos de la forma axn , donde a es cualquier numeroy n es un numero entero no negativo.

Ejemplo

a) 3x− 2

b) x4 + 5

c) 2n2 − 5n+ 3

d) 5y3 + 4y2 − 3y + 1

e) 23

Las siguientes expresiones algebriacas no son polinomios:

a)1x

+ 2x b)x− 3x2 + 4

c) 2x2 +√x− 5

Nota Los polinomios son expresiones algebraicas pero no toda expresion algebraicaes un polinomio.

23


1.6.2 Componentes de un polinomio

1. Termino: Un termino es una parte de una expresion algebriaca. Los terminosse separan entre sı por los signos de suma (+) o resta (-).

2. Coeficiente: El coeficiente numerico de un termino de un polinomio es el factornumerico del mismo.

3. Termino constante: Es el coeficiente numerico que no contiene variable.

Ejemplo El polinomio 5x2 + 3x− 8

a) Tiene tres terminos

b) Los coeficientes numericos son 5, 3 y -8

c) -8 es el termino constante

1.6.3 Clasificacion de los polinomios

Los polinomios se clasifican de acuerdo al numero de terminos. Un polinomio quetiene un solo termino se llama monomio. Si el polinomio tiene dos terminos se llamaun binomio y si tiene tres terminos se llama trinomio. Los polinomios formadospor mas de tres terminos no reciben ningun nombre en especial, simplemente sonpolinomios con la cantidad de terminos que contiene.Ejemplo

Monomio Binomio Trinomio3x 7x− 4 n2 + 3n+ 225 3a+ 5b 3x4 − x3 + 5x2

−9x2y3 n2 − 4n 4xy + pxy2 − 11xy4

El polinomio 8x3 + 5x2 − 3x+ 7 es un polinomio de cuatro terminos.

1.6.4 Grado de un polinomio

Si el polinomio es en una variable, el grado del polinomio esta determinado por eltermino que contiene el mayor exponente.Ejemplo

Polinomio Grado9y4 − 5y3 + 3y2 + 7y − 2 cuatro

2n2 − 3n+ 1 dos3x3y5 + 5x2y4 − 7xy2 + 6 ocho

24


1.6.5 Terminos Semejantes

Dos terminos son semejantes cuando ambos son numericos o cuando tienen lasmismas variables y sus exponentes son respectivamente iguales.

Ejemplo

a) 6 semejante 6

b) 9x2 semejante 3x2

c) 11x no semejante 11x2

1.6.6 Operaciones entre polinomios

1. Suma. Encuentrese la suma de los polinomios x3 + 2x2 − 5x+ 7 y 4x3 − 5x2 + 3

(x3 + 2x2 − 5x+ 7) + (4x3 − 5x2 + 3) = x3 + 4x3 + 2x2 − 5x2 − 5x+ 3 + 7

= (1 + 4)x3 + (2− 5)x2 − (5)x+ (3 + 7)

= 5x3 − 3x2 − 5x+ 10

2. Diferencia. Encuentrese la diferencia de los polinomios x3 + 2x2 − 5x + 7 y4x3 − 5x2 + 3

(x3 + 2x2 − 5x+ 7)− (4x3 − 5x2 + 3) = x3 + 2x2 − 5x+ 7− 4x3 + 5x2 − 3

= x3 − 4x3 + 2x2 + 5x2 − 5x+ 7− 3

= (1− 4)x3 + (2 + 5)x2 − 5x+ (7− 3)

= −3x3 + 7x2 − 5x+ 4

3. Producto. Encuentrese el producto de 2x3 + 3x− 1 y x2 − x+ 4

(2x3 + 3x− 1)(x2 − x+ 4) = (2x3 + 3x− 1)x2 + (2x3 + 3x− 1)(−x)

+ (2x3 + 3x− 1)4

= 2x5 + 3x3 − x2 − 2x4 − 3x2 + x+ 8x3 + 12x− 4

= 2x5 − 2x4 + (3 + 8)x3 + (−1− 3)x2 + (1 + 12)x− 4

= 2x5 − 2x4 + 11x3 − 4x2 + 13x− 4

25


4. Cociente. Antes de proceder a dividir dos polinomios se deben escribir ambosen orden descendente de exponente y luego realizar un proceso muy parecido a ladivision de numeros en aritmetica.

Ejemplo x3 − x+ 3x2 − 3 entre x− 1

Proceso:

1. Ordenamos en forma descendente el dividendo y el divisor asıx3 + 3x2 − x− 3 (dividendo) y x− 1 (divisor)

2. El termino de mas grado del dividendo se divide entre el termino de mas gradodel divisor. x

3

x = x2. Luego se multiplica x2por el divisor y el resultado se restaal dividendo

3. Este proceso se continua hasta lograr que el residuo sea un polinomio de gradoinferior al del divisor o una constante.

x3 − x+ 3x2 − 3 |x− 1−x3 + x2 x2 + 4x+ 30 + 4x2 − x− 3−4x2 + 4x

0 + 3x− 3−3x+ 3

0

Taller 10 Completar

1. (x+ 2)(x+ 3) =

2. (x− 2)(x+ 3) =

3. (2x+ 3)(3x− 5) =

4.x3 − y3

x− y=

5.x4 − y4

x− y=

6.x4 − y4

x+ y=

26


1.6.7 Factorizacion

Factorizar un polinomio es volverlo a escribirlo como un producto de polinomios.Ejemplo

a) y5 + y4 = y4(y + 1)

b) 25− x2 = (5 + x)(5− x)

1.6.8 Algunos casos de factorizacion

1. Factor comun Consiste en la aplicacion de la propiedad distributiva.Ejemplo

a) 3x3y − 5x2y2 + 7xy = xy(3x2 − 5xy + 7)

b) x2 − xy − x+ y = (x2 − xy) + (−x+ y) = x(x− y)− (x− y) = (x− y)(x− 1)

2. Factorizacion de trinomios Trinomio de la forma x2 +bx+c: En este trinomiob y c son enteros y se busca factorizarlo ası: se buscan, si existen, dos numerosenteros que sumados algebraicamente den como resultado b y multiplicados c.

Ejemplo

x2 + 5x+ 6 = (x+ 3)(x+ 2)

x2 − 5x− 24 = (x− 8)(x+ 3)

3. Trinomio de la forma ax2 + bx + c: En este caso b y c son enteros y sefactoriza de la siguiente forma: Se multiplica y se divide el trinomio por a quedando(ax)2 + b(ax) + ac

a, una vez ası se procede como el caso anterior, simplificando

cuando sea posible.Ejemplo

a) 3x2 + 7x− 6 =(3x)2 + 7(3x)− 18

3=

(3x+ 9)(3x− 2)3

= (x+ 3)(3x− 2)

b) 6x2 − 5x− 6 =(6x)2 − 5(6x)− 36

6=

(6x− 9)(6x+ 46

=3(2x− 3)(3x+ 2)2

6= 6x2 − 5x− 6 = (2x− 3)(3x− 2)

Taller 11 Factorizar completamente cada una de las siguientes expresiones:

1. 6x2 − 7x− 3

27


2. 4x4y − 10x3y2 + 6x2y3

3. a(x2 − y) + 2b(x2 − y)

4. xy + xz

5. −6ax+ 2ya

6. 2x2 − 9x− 5

7. 3y2 + 7y − 6

8. x2 + x+ 1

1.6.9 Productos notables

Ciertos productos ocurren tan frecuentemente en algebra, que merecen un lugarespecial (produntos notables). Hacemos una lista de estos, en donde las letrasrepresentan numeros reales.

1. (x+ y)(x− y) = x2 − y2

2. (ax+ b)(cx+ d) = acx2 + (ad+ bc)x+ bd

3. (x± y)2 = x2 ± 2xy + y2

4. (x± y)3 = x3 ± 3x2y + 3xy2 ± y3

5. (x+ y)(x2 − xy + y2) = x3 + y3

6. (x− y)(x2 + xy + y2) = x3 − y3

1.6.10 Factorizacion utilizando los productos notables

Taller 12 Factorizar completamente cada una de las siguientes expresiones:

1. 49− a2

2. a2 − (x− y)2

3. 27− b3

4. a3 + 216

5. x2 + x− 20

28


6. 6x2 − 7x− 3

7. 3x3 − 3x2 − 6x

8. (x− 3)2 − (x− 3)

9. x4 − 16

10. x2 − 8x+ 16

11. x2 + 2xy + y2

12. 8x3 − 1

13. x3 − 3x2 − 25x+ 75

14. x2 + 4x+ 4− y2

15. (x2 + 4)2

1.6.11 Expresiones algebraicas - Expresiones racionales

Conocemos lo que es un numero racional, un numero que se expresa de la forma:

a

bdonde a y b son enteros con b 6= 0

Definicion Una expresion racional es una expresion algebraica de la forma:

P

Qdonde P y Q son polinomios y Q 6= 0

Ejemplo

a)5x

b) − 3x+ 1

c)1

x2 − 4

De acuerdo con lo anterior, el denominador de una expresion racional no puede sercero, entonces:

29


5x

No esta definida para x = 0

− 3x+ 1

No esta definida para x = −11

x2 − 4No esta definida para x± 2

El numerador puede ser cero ya que la expresion:

0b

para b 6= 0 es cero

1.6.12 Simplificacion de expresiones racionales

Para simplificar una expresion racional seguimos los siguientes pasos:

1. Factorizar completamente el numerador y el denominador.

2. Dividir el numerador y el denominador por los factores comunes en ambos.Estose hace cancelando los factores comunes en el numerador y el denominador.

Ejemplo Simplifıquese3x2 − 5x− 2

x2 − 4

Solucion :3x2 − 5x− 2

x2 − 4=

(3x+ 1)(x− 2)(x− 2)(x+ 2)

=3x+ 1x+ 2

En el ejemplo anterior, dividimos numerador y denominador por x − 2. Debeenfatizarse que esta simplificacion es valida y las expresiones son iguales, solo bajola hipotesis de que x− 2 6= 0, esto es x 6= 2. Sin embargo 2 no esta en el dominio dex ya que nos lleva, cuando se sustituye en la expresion original, a un denominadorigual a cero.

Taller 13 Enmarcar con un cırculo la respuesta correcta a cada problema.

1. Al reducir la fraccionx2 + xy

x2 − y2a su mınima expresion se obtiene:

a.x

x+ yb.

x

yc.

x

x− yd.

11 + y

e. Ninguna de las anteriores

2. Al reducir la fraccionx2 + 3x− 10

4x− x3a su mınima expresion se obtiene:

a.x+ 5

x(x+ 2)b.− x+ 5

x(2− x)c.

3x− 103x

d.− x+ 5x(x+ 2)

30


e. Ninguna de las anteriores

3.x2 − 16y2

x+ 4y=

a. x+ 4y b. x− 4y c. x− y d. x+ y e Ninguna de las anteriores.

4. Completar con una expresion adecuada.

a)15x2 + 10x

5=

b)5x3y2 − xy2 + 3xy

−xy=

c)x3 − 3x2 + 3x− 1

x− 1=

d)x3 − 2x2 − 17x+ 6

x2 + 5x− 2=

Ejemplo Simplifıquese2− x− 3x2

6x2 − x− 2

Solucion :2− x− 3x2

6x2 − x− 2=

(1 + x)(2− 3x)(2x+ 1)(3x− 2)

=−(1 + x)2x+ 1

Donde hemos usado el hecho de que (2 − 3x) = −(3x − 2). Esto explica el signomenos en la respuesta final.Ejemplo Realıcense y simplifıquense las operaciones indicadas:

a)x2 − 6x+ 9x2 − 1

× 2x− 2x− 3

b)x+ 22x− 3

÷ x2 − 42x2 − 3x

Solucion:

a)x2 − 6x+ 9x2 − 1

× 2x− 2x− 3

=(x− 3)2 × 2(x− 1)

(x− 1)(x+ 1)(x− 3)=

2(x− 3)x+ 1

b)x+ 22x− 3

÷ x2 − 42x2 − 3x

=x+ 22x− 3

× 2x2 − 3xx2 − 4

=(x+ 2)x(2x− 3)

(2x− 3)(x+ 2)(x− 2)=

x

x− 2

31


Ejemplo Simplifıquese2x+ 5

x2 + 6x+ 9+

x

x2 − 9+

1x− 3

Solucion: Las formas factorizadas de los denominadores son: (x+3)2, (x+3)(x−3)y (x− 3). Entonces el m.c.d es (x+ 3)2(x− 3). Luego:

2x+ 5x2 + 6x+ 9

+x

x2 − 9+

1x− 3

=2x+ 5

(x+ 3)2× (x− 3)

(x− 3)+

x

(x+ 3)(x− 3)× (x+ 3)

(x+ 3)

+1

x− 3× (x+ 3)2

(x+ 3)2

=(2x2 − x− 15) + (x2 + 3x) + (x2 + 6x+ 9)

(x+ 3)2(x− 3)

=4x2 + 8x− 6

(x+ 3)2(x− 3)

=2(2x2 + 4x− 3)(x+ 3)2(x− 3)

A veces es necesario simplificar cocientes en los que el numerador y denominadorno son polinomios, como se muestra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo Simplificar:1− 2

x+ 11x− x

1− 2x+ 1

1x− x

=

(x+ 1)− 2x+ 11− x2

x

=x− 1x+ 1

× x

1− x2

=(x− 1)x

(x+ 1)(1− x)(1 + x)

=−x

(x+ 1)2

Taller 14 Simplificar:

1.p4 + 3p3 − 8p− 24p3 − 2p2 − 9p+ 18

32


2.a2 − 1

a

a+1a

+ 1

33


1.7 Ecuaciones e inecuaciones en una variable

Una ecuacion es una igualdad de dos expresiones matematicas. Una ecuacion deprimer grado en una variable es una ecuacion en la que aparece una variable elevadaal exponente uno. A estas ecuaciones tambien se le conocen como ecuaciones linealesen una variable.

La variable puede aparecer por mas de una ocasion, por ejemplo, en la ecuacion5n− 3 = 3n+ 1 es una ecuacion de primer grado en una variable. Se puede observarque la variable n aparece dos veces pero ambas elevadas al exponente uno.

Otros ejemplos de ecuaciones lineales en una variable son: 5x + 1 = 16;2(x+ 1)− 3 = x+ 5

Resolver una ecuacion de primer grado en una variable consiste en hallar elvalor de la variable que hace cierta la igualdad. A este valor se le conoce como lasolucion o la raız de la ecuacion. Por ejemplo, es 2 unaE solucion de la ecuacion5n− 3 = 3n + 1? Si lo es, pues al sustituir el valor de 2 en la ecuacion observamosque es cierta la igualdad:

5(2)− 3 = 3(2) + 1 luego 10− 3 = 6 + 1 7 = 7 Se cumple

Lo que hacemos para resolver una ecuacion de primer grado en una variable esdespejar para la variable, es decir, dejarla a un lado de la ecuacion y escribirlas constantes (los numeros) al otro lado de la ecuacion usando las propiedadescorrespondientes:

1. Si a = b, entonces a+ c = b+ c y a− c = b− c.

2. Si a = b y c 6= 0, entonces: ac = bc ya

b=b

c

Ejemplo

a)x+ 53x− 2

= 5⇒ x+ 5 = 5(3x− 2)

⇒ x+ 5 = 15x− 10⇒ 5 + 10 = 15x− x⇒ x =1514

b)3

x− 1+ 5 =

4− xx− 1

34


3x− 1

(x− 1) + 5(x− 1) =4− xx− 1

(x− 1)

3 + 5(x− 1) = 4− x5x− 2 = 4− x6x = 6x = 1

Taller 15

1. Resolver para x:

a.3x+ 5

12− 4− x

6− x− 2

3= 0

b.3x+ 2x− 1

− 65

= 0

c. 3x− 3− 2x7

= 2 +7− x

5

d.1x

+3

x+ 1=

23(x2 + x)

e. 5 +2

3− 14−x

=458

f.xx−1 − 1xx−1 + 1

=xx+1 − 1xx+1 + 1

1.7.1 Solucion a problemas

Para una buena formacion en Matematicas, a cualquier nivel, es necesaria lasolucion a problemas.

Con este proceso puede confrontarse lo aprendido y sembrar bases que seranla fuente de trabajos posteriores.

Taller 16 Resolver utilizando ecuaciones en una variable:

1. Una tienda de descuento de computadores realiza una promocion de fin deano de dos tipos de computadores. Se obtienen 41800 dolares por la venta de58 computadoras. Si uno de los tipos se vendio a 600 dolares y el otro a 850dolares. Cuantos computadores se cada tipo se vendieron?

2. Carlos puede procesar 200 hojas de un trabajo en una hora y Pedro puedeprocesar 150 hojas del mismo trabajo en una hora. Cuanto tardarıan enprocesar 900 hojas juntos, si Carlos comienza 1

2 hora despues de Pedro?

35


3. Un camion transporta una carga de 50 cajas; algunas de estas cajas son cajasde 20 kg y el resto son cajas de 25 kg. Si el peso total de de todas las cajas esde 1175 kg; Cuantas cajas hay de cada tipo?

4. La tuberıa A puede llenar una piscina con agua en 3 dıas y la tuberıa B puedellenar la misma piscina en 2 dıas. Si se utilizaran ambas tuberıas, En cuantotiempo se llenara la piscina?

5. Cuando se abre la llave de una banera (y el desague) esta tapado, la banerase llena en 10 minutos; cuando el desague se destapa (y se cierra la llave), labanera llena, se vacıa en 15 minutos. Cuanto tarda en llenarse la banera si seabre la llave y el desague se destapa?.

1.7.2 Inecuaciones lineales

Anteriormente has usado los sımbolos ¿(mayor que), ¡(menor que), ≥ (mayor oigual que) y ≤ (menor o igual que) para describir como es la relacion entre unnumero y otro. Por ejemplo: 4 > −1 para senalar que 4 es mayor que -1, −2 < 3para senalar que -2 es menor que 3 y −3 < −1 para senalar que -3 es menor que -1.Estos ejemplos se conocen como desigualdades.

Definicion Una inecuacion lineal es una expresion matematica que describe como serelacionan entre sı dos expresiones lineales. Por ejemplo: 3+5x ≥ 18; −2(x+3) < −9.La solucion de una inecuacion lineal se puede representar haciendo uso de intervalosen la recta numerica, la cual contiene infinito numeros reales.

Para resolver inecuaciones lineales hacemos uso de las siguientes propiedades:1. Para todo numero real a, b y c, si a < b entonces: a+ c < b+ c y a− c < b− c2. Para todo numero real a, b y c, donde c > 0 y a < b, entonces:

ac < bc ya

c<b

c

3. Para todo numero real a, b y c, donde c < 0, si a < b, entonces:

ac > bc ya

c>b

c

Taller 17 Resolver las siguientes inecuaciones lineales y representar la solucion enla recta numerica:

36


1. x+ 5 < 3

2. 3x+ 2(x− 4) > 4x

3. 5x− 7 ≤ 2x+ 8

4. 3x+ 8 ≥ 5x

5.17

(x+ 5) >15

(x+ 1)

6. 5x+ 2 < 4− x

7. 7(x− 3) ≥ 4(1 + 2x)

8.x

3− 1 ≤ x

5− 1

5

37


1.8 Ecuaciones de segundo grado con una incognita

En el apendice anterior trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuacioneslineales son ecuaciones polinomicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuacionespolinomicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadraticas.

Definicion Una ecuacion cuadratica es una ecuacion de la forma:ax2 + bx+ c = 0 donde a, b, y , c son numeros reales y a es un numero diferente decero.Ejemplo

a) x2 − 9 = 0

b) x2 − x− 12 = 0

c) 2x2 − 3x− 4 = 0

La condicion de que a es un numero diferente de cero en la definicion aseguraque exista el termino x2 en la ecuacion. Existen varios metodos para resolver lasecuaciones cuadraticas. El metodo apropiado para resolver una ecuacion cuadraticadepende del tipo de ecuacion cuadratica que se va a resolver. En este apendiceestudiaremos los siguientes metodos: factorizacion, completando el cuadrado y laformula cuadratica.

1. Factorizacion Para utilizar este metodo la ecuacion cuadratica debe estarigualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuacion que no es cero como unproducto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para lavariable.

2. Completando el cuadrado Completar el cuadrado conlleva hallar el tercertermino de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Estoes, trinomios de la forma: x2 + bx+?

Regla para hallar el ultimo termino de x2 + bx+?: El ultimo termino de untrinomio cuadrado perfecto (con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficientedel termino del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primerosterminos son x2 + bx es :

x2 + bx+ (b

2)2

Al completar el cuadrado queremos una ecuacion equivalente que tenga un trinomiocuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuacion equivalente el numero que

38


completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuacion.

3. Formula cuadratica La solucion de una ecuacion ax2 + bx+ c con a diferentede cero esta dada por la formula cuadratica:

x =−b±

√b2 − 4ac2a

Donde el numero b2 − 4ac se denomina el discriminante y si:

b2 − 4ac > 0, las raıces son reales y diferentes.

b2 − 4ac = 0, las raıces son reales e iguales. (raız doble)

b2 − 4ac < 0, las raıces son complejas.

Taller 18 Resolver para x,

1. x2 − 7x+ 10 = 0

2. x2 + 3xy − 10y2 = 0

3. x2 + 6x+ 5 = 0

4. x2 + 2ax+ a2 − b2 = 0

5. x2 + 12x+ 11 = 0

6. x2 + x− 6 = 0

7. 4x2 − 12x+ 9 = 0

8. 2x2 + 6x+ 7 = 0

39


1.9 Secciones conicas

1.9.1 Distancia entre dos puntos

En el sistema coordenado - bidimensional rectangular:

Figura 5: Sistema coordenado

Taller 19

1. Mostrar que los puntos (6, 5), (1, 3) y (5,−7) son vertices de un triangulorectangulo. Determinar su area.

2. Determinar la ecuacion algebraica que expresa el hecho de que el punto P (x, y)equidista de los puntos (−3, 5), (7,−9)

1.9.2 Coordenadas del punto medio

Las coordenadas del punto medio del segmento cuyos puntos extremos son : (x1, y1)y (x2, y2)

x =x1 + x2

2, y =

y1 + y2

2

Taller 20

1. Demostrar que el punto medio de la hipotenusa de un triangulo rectanguloequidista de los vertices. Sug: Tomar el triangulo con vertices en(0, 0), (a, 0), (0, b)

2. Uno de los puntos extremos de un segmento es (7, 8) y su punto medio es(4, 3). Hallar el otro extremo.

40


3. Mostrar que los puntos (6, 5), (1, 3) y (5,−7) son vertices de un triangulorectangulo. Determinar su area. Verificar que el punto medio de la hipotenusaequidista de los vertices.

4. Mostrar que los puntos (1, 1), (3, 5), (11, 6) y (9, 2) son vertices de unparalelogramo.

5. Mostrar que los puntos (0, 1), (3, 5), (7, 2) y (4,−2) son vertices de uncuadrado.

6. Mostrar que los puntos (2, 2), (5, 6), (9, 9) y (6, 5) son vertices de un rombo.

7. Los vertices de un triangulo son A(−1, 3), B(3, 5) y C(7,−1). Si D es elpunto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC, verificarque la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC.

8. Hallar las coordenadas del punto situado a tres cuartas partes del punto a(6,−2) a (2, 6)

9. Determinar los puntos del eje Y que esten a una distancia de 6 del punto(5, 3)

10. Determinar el punto que tenga coordenadas de la forma (2a, a), que este enel tercer cuadrante y a la distancia 5 de (−2, 4)

1.9.3 Recta

Inclinacion: Es el angulo menor a 180◦ medido en sentido contra-reloj, fomadopor una recta y el eje positivo de las X.

Pendiente: Es la razon (cociente) del ascenso o descenso y el avance deuna recta que no es paralela al eje Y .

41


Figura 6: Pendiente

Pendiente: mElevacion por unidad de

avance.

m =elevacion

avance=y2 − y1

x2 − x1

Figura 7: Tipos Pendiente

Rectas paralelas y perpendiculares:

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y son perpendicularessi el producto de sus pendientes es −1

Ecuaciones de la rectaPunto pendiente Pasa por un punto fijo (x1, y1) y tiene una pendiente dada m:

y − y1 = m(x− x1)

42


Pendiente intercepto Intercepta al eje y en b, y tiene una pendiente dada m:

y = mx+ b

Interceptos La que intercepta al eje y en b intercepta al eje x en a

x

a+y

b= 1

Forma general: Ax + By + C = 0, con A;B;C constantes reales cualesquiera, peroA y B no pueden ser cero simultaneamente y de la cual:

Si C = 0, la recta pasa por el origen.

Si B = 0, la recta es vertical, si B 6= 0 la recta tiene pendiente−AB

y corta al

eje y en−CB

.

Si A = 0, la recta es horizontal.

Taller 21

1. Resolver graficamente los sistemas:

a.

{x− y

2= 2

2x− 3y2 = 7

b.{

3x+ 2y = 36x+ 4y = 24

c.{

3x+ 2y = 36x+ 4y = 6

2. Determine la ecuacion de la recta que pasa por (2, 1) y (−6, 5)

3. Determine la ecuacion de la recta cuyas intersecciones con los ejes X,Y son 2y 7

4. Cual es la ecuacion del sistema de rectas que pasa por (−1, 3) ?

5. Cual es la ecuacion del sistema de rectas paralelas a 2x− 3y + 6 = 0?

6. Cual es la ecuacion del sistema de rectas perpendicular a3x− 2y = 5?

7. Hallar la ecuacion de la mediatriz del segmento A(−3, 2), B(1, 6)

43


8. Hallar el valor de k, para que kx + (k − 1)y − 18 = 0 sea paralela a la recta4x+ 3y + 7 = 0

9. Hallar el valor de k, para que k2x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a larecta 3x− 2y − 11 = 0

10. Muestre que las rectas 5x− y − 6 = 0, x+ 5y − 22 = 0,5x− y − 32 = 0, x+ 5y + 4 = 0, forman un cuadrado.

11. Dados los cuatro puntos A(2,−4), B(10, 0), C(6, 3) y D(4, 2). Demuestre pormedio de pendientes que los cuatro puntos A,B,C y D son los vertices de untrapecio y calcule el area de este trapecio.

1.9.4 Circunferencia

El conjunto de puntos en el plano tales que su distancia a un punto fijoC(h, k), centro, es siempre una constante r, radio, se denomina circunferencia.

• Su ecuacion:(x− h)2 + (y − k)2 = r2

x2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0

• Con centro en el origen:x2 + y2 = r2

Taller 22

1. Dibujar el conjunto de puntos en el plano que satisfacen:

a) 3x2 + 3y2 + 6x− 8y = 48

b) x2 + y2 + 2x− 4y = −5

c) x2 + y2 + 2x− 4y = −7

d) x2 + y2 − 2x− 4y + 1 = 0

e) x2 + y2 − 2x− 8y = −13

f ) x2 + y2 − 2x− 8y = −13

g) 9x2 + 9y2 − 18x− 54y + 54 = 0

2. Determinar la ecuacion de la circunferencia en la cual el segmento de recta quedeterminan los puntos (−3,−4) y (4, 3) es un diametro.

44


3. Hallar la ecuacion de la circunferencia con centro en (5, 3) y es tangente aleje Y

4. Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por (2,−1), (0, 2) y (1, 1)

5. Hallar la ecuacion de la familia de circunferencias que tienen radio 5 y suscentros pertenecen a la recta x = −2. Determinar los miembros de estafamilia que deben pasar por el punto (2,−5)

6. Hallar la ecuacion de la circunferencia con centro en (0,−2) y es tangente a5x− 12y + 2 = 0

7. Una cuerda de la circunferencia x2+y2 = 25 esta sobre la recta x−2y+5 = 0.Cual es la longitud de la cuerda?

8. La ecuacion de una circunferencia es (x − 4)2 + (y − 3)2 = 20. Hallar laecuacion de la recta tangente a ella en el punto (6, 7)

9. Hallar la ecuacion de la circunferencia con centro en x− 3y − 11 = 0 y pasapor (−1, 1) y (2, 3)

10. i) Hallar la distancia del punto (5, 7) a la recta x + 3y − 6 = 0. Ilustregraficamente.

ii) obtenga la ecuacion de la circunferencia con centro en el punto (5, 7) y quees tangente a la recta x + 3y − 6 = 0. Ilustre graficamente la recta y lacircunferencia.

1.9.5 La parabola

Una parabola es el conjunto de puntos en un plano cuya distancia a un punto fijoes igual a su distancia a una recta fija.

45


Ecuaciones de la parabola

1. Ecuacion de la parabola con vertice en el orıgen, eje focal en el eje x, foco (p, 0)es y2 = 4px

2. Ecuacion de la parabola con vertice en el orıgen, eje focal en el eje y, foco (0, p)es x2 = 4py

Taller 23

1. Grafique y determine las coordenadas del vertice, del foco, las ecuaciones delas directriz y del eje de las parabolas:

a) y2 = 12x

b) x2 = 12y

46


c) y2 + 8x = 0

d) x2 + 2y = 0

2. Determinar la ecuacion de la parabola con foco en (3, 0) y directriz x+ 3 = 0.:

Parabolas trasladadas

1. Vertice en (h, k), eje focal paralelo al eje x:

2. Vertice en (h, k), eje focal paralelo al eje y:

Taller 24

1. Graficar y determinar las coordenadas del vertice, de las siguientes parabolas:

a) 4y2 − 48x− 20y = 71

47


b) 4x2 + 48y + 12x = 15

c) x2 − 4x− 3y + 7 = 0

d) y2 − 6y − 2x+ 1 = 0

e) x2 − 4x− 4y = 0

f ) x2 − 4x+ 2y = 1

2. Se debe contruir un reflector parabolico con una fuente de luz en su foco, que

esta a94

cm del vertice. Si el reflector debe tener 10 cm. de profundidad, ¿Cualdebe ser el ancho de su boca?

3. Los extremos del cable de un puente de suspension estan a 1000 mt de distanciay a 100 mt sobre el piso de la vıa horizontal, mientras que el centro del cableesta en el piso. Encontrar la altura del cable sobre el piso a una distancia de300 mt de la base de la torre de amarre.

4. Cual es la mayor area rectangular que puede encerrarse con 400 mt de cerca?

5. Un canalon para captar agua de lluvia ha de tener lados iguales y un fondo yes fabricado con hojas de aluminio de 12 pulgadas de ancho, doblando los lados90◦ hacia arriba. Que altura del canal proporciona el mayor flujo de agua?

1.9.6. La elipse

Conjunto de puntos en un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntosfijos llamados focos, tambien en el plano, es igual a una constante, mayor que ladistancia entre sus focos.

La suma de las distancias se expresa como el real positivo 2a, la distancia entrelos focos es 2c, el punto medio entre los focos es el centro de la elipse.

a > c > 0, a2 − c2 > 0, a2 − c2 = b2

1. La ecuacion de la elipse con centro en el orıgen, focos (±c, 0) esx2

a2+y2

b2= 1

2. La elipse con centro en el orıgen, focos (0,±c) esy2

a2+x2

b2= 1

Taller 25

1. Grafique y determine las coordenadas del centro, vertices y focos de las elipses:

48


a) 9x2 + 4y2 = 36

b) 4x2 + 9y2 = 36

c) 16x2 + 25y2 = 400

d) x2 + 3y2 = 6

e) x2 + 9y2 + 2x− 18y + 1 = 0

f ) 9x2 − 18x+ 4y2 − 16y = 11

g) 4x2 + 9y2 − 16x− 18y = 11

1.9.7 La hiperbola

Conjunto de puntos en un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de susdistancias a dos puntos fijos llamados focos, tambien en el plano, es igual a unaconstante positiva menor que la distancia entre los focos.

La diferencia de las distancias se expresa como el real positivo 2a, la distanciaentre los focos es 2c, el punto medio entre los focos es el centro de la hiperbola

0 < a < c, c2 − a2 > 0, c2 − a2 = b2

1. La ecuacion de la hiperbola con centro en el orıgen, focos en (±c, 0) esx2

a2−y

2

b2=

1

2. La ecuacion de la hiperbola con centro en el orıgen, focos (0,±c) esy2

a2−x

2

b2= 1

Taller 26

1. Graficar y determinar las coordenadas del centro, vertice y focos de lashiperbolas:

a) 9x2 − 4y2 = 36

b) 4x2 − 9y2 = 36

c) 9y2 − 4x2 = 36

d) 4y2 − 9x2 = 36

e) x2 − 4y2 − 2x+ 16y − 31 = 0

f ) y2 + 2y − 4x2 + 8x = 7

49


Taller 27

1. Grafique sobre la recta numerica el conjunto solucion de la desigualdad |x−1| ≥2. Exprese tambien la solucion mediante notacion de intervalos.

2. A) Haciendo todo el procedimiento, elimine ena− b

a−2 − b−2los exponentes

negativos y simplifique hasta su mınima expresion.

B) Haciendo todo el procedimiento, verifique que43x1/3 − 4

3x−2/3 =

43

(x− 1x2/3

)3. Utilizando el resultado notable a3− b3 = (a− b)(a2 +ab+ b2) obtenga el factor

racionalizante de1

(1− 3√x)

4. Factorice y simplifique:

i)(3x2 − 7x+ 2)(x2 − x− 2)

ii)(x3 − 8)

(x2 − x− 2)

5. Halle la ecuacion de la recta que pasa por el punto (6, 5) y que es perpendiculara al recta x− 2y − 6 = 0. Ilustre graficamente.

6. Haciendo todo el procedimiento (completar cuadrados y expresar en formacanonica la ecuacion dada), grafique cada una de las siguientes ecuaciones:

i) y2 − 6y − 2x+ 1 = 0

ii) x2 + 9y2 + 2x− 18y + 1 = 0

Taller 28

1. Grafique sobre la recta numerica el conjunto solucion de la desigualdad |x−3| ≤2. Exprese tambien la solucion mediante notacion de intervalos.

2. Haciendo todo el procedimiento, elimine enx−1 − y−1

x−2 − y−2los exponentes

negativos y simplifique hasta su mınima expresion.

3. Utilizando la suma de cubos a3 + b3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2) obtenga el factor

racionalizante de1

1 + 3√x

.

50


4. Haciendo todo el procedimiento, determine si la expresion

√x+ 6 +

9x

es igual

o no a la expresion√x(x+ 3)x

. Aquı suponemos que x es mayor que cero.

5. Sea l una recta cuya ecuacion es x− 2y − 5 = 0.

a) Halle la ecuacion de la recta que pasa por el punto (6, 3) y que esperpendicular a l.

b) Obtenga la ecuacion de la circunferencia con centro en el punto (6, 3)que es tangente a la recta l cuya ecuacion es x − 2y − 5 = 0. Ilustregraficamente las rectas y la circunferencia.

51


2 Coordenas y graficas2.1 Taller A

2.1 Taller A

1. Obtenga una ecuacion de la recta que pasa por el punto (2, 3) y que es paralelaa la recta cuya ecuacion es x+ 2y − 2 = 0. Dibuje las rectas.

2. Obtenga una ecuacion de la recta que pasa por el punto (5, 4) y que esperpendicular a la recta cuya ecuacion es −2x− y + 4 = 0. Dibuje las rectas.

3. Tres vertices consecutivos de un paralelogramo son (−4, 1), (2, 3) y (8, 9).Determine las coordenadas del cuarto vertice.

4. Dados los puntos A = (2, 1), B = (6,−1) y C = (4, 5)

a) Pruebe por medio de pendientes que los tres puntos A, B y C son losvertices de un triangulo rectangulo y calcule el area del triangulo.

b) Verifique que el punto A pertenece a la recta l que es perpendicular alsegmento BC en su punto medio.

5. Demuestre que el punto medio de la hipotenusa de cualquier triangulorectangulo equidista de los tres vertices.

Sugerencia: Puede suponer que el triangulo rectangulo tiene vertices en (0, 0),(a, 0) y (0, b) con a > 0 y b > 0

6. Dados los cuatro puntos A = (2,−4), B = (8,−1), C = (6, 4) y D = (4, 3).Demuestre por medio de pendientes que los cuatro puntos A, B, C y D sonlos vertices de un trapecio y calcule el area de este trapecio.

7. Sea l1 la recta que pasa por los puntos (2, 0) y (0, 4)

a) Halle la ecuacion de la recta l2 que pasa por el punto (5, 4) y que esperpendicular a la recta l1. Ilustre graficamente.

b) Halle la interseccion de las rectas l1 y l2 halladas anteriormente.

52


c) Halle la ecuacion de la circunferencia con centro en el punto (5, 4) y quees tangente a la recta l1 dada anteriormente. Ilustre graficamente.

8. Sea l una recta cuya ecuacion es x− 2y − 4 = 0

a) Obtenga la ecuacion de la circunferencia con centro en el punto (3, 7)y que es tangente a la recta l dada. Ilustre graficamente la recta y lacircunferencia.

b) Determine los cortes con los ejes coordenados, si es que existen, de lacircunferencia obtenida en el literal a).

9. Encuentre los valores de la constante k tal que la recta:3y − kx = 6 sea tangente a la circunferencia x2 − 2x + y2 = 3. Ilustregraficamente.

10. Halle la ecuacion de la circunferencia que tiene el centro sobre la recta y = x+1,y que pasa por los puntos (1,4) y (5,2). Ilustre graficamente.

11. La recta y = mx + b corta a la parabola y = x2 − 2x + 4 en el punto (3,7).Encuentre los valores de m y b tal que la recta y = mx + b corte a la graficade y = x2 − 2x+ 4 unicamente en el punto (3,7).

12. La recta y = mx+ b pasa por el punto (5,0) y corta a la grafica de y = 9−x2.Encuentre los valores de m y b de tal manera que esa recta corte a la graficade y = 9− x2 en un unico punto, y ademas halle dicho punto.

13. Dada la relacion y2 − 6y − 2x = −5

a) Halle los cortes de la relacion dada con los ejes coordenados.

b) Trace la grafica de la relacion dada, y determine cual es el dominio y elrango de esta relacion.

c) Represente graficamente la solucion del siguiente sistema de desigualdadesen dos variables{y2 − 6y < 2x− 52x+ 1 ≤ y

14. Suponga que el agua que fluye del extremo de un tubo, el cual se encuentra a25 pies del suelo, describe una curva parabolica, de modo que el vertice de laparabola es el extremo del tubo. Si en un punto 4 pies debajo del tubo el flujo

53


de agua en su trayectoria curva se localiza a 8 pies de distancia de la rectavertical que pasa por el extremo del tubo. ¿Que tan alejado de esta recta llegael agua al piso?

15. Trace la grafica de 9x2 − 54x + 4y2 − 8y = −49. Determine el dominio y elrango de esta relacion.

16. Dada la relacion x2 + y2 − 2x− 8y = −13

a) Trace su grafica e indique su dominio y su rango.

b) Despeje a y en terminos de x, y represente graficamente cada una de lasrelaciones obtenidas, indicando sus respectivos dominios y rangos.

17. En cada uno de los siguientes ejercicios trace la grafica de la relacion dada eindique su dominio y su rango.

a) x2 − 6x− 2y + 11 = 0

b) y2 − 4y − 2x+ 6 = 0

c) y −√x− 1 = 2

d) y +√x− 1 = 2

e) y = 4−√

8− x2 + 2x

f ) y = 4 +√

8− x2 + 2x

g) y = 2−√

2x− x2 + 32

h) y = 1 +3√

6x− x2 − 52

54


3 Funciones3.1 Taller A3.2 Taller B - Funciones exponenciales y logaritmicas

3.1 Taller A

1. Trace la grafica de cada una de las siguientes relaciones y determine cuales deellas son funciones y cuales no. si la relacion dada es funcion, expresela en laforma y = f(x), e indique su dominio y su rango.

a) x2 − 6x− 2y + 11 = 0

b) y2 − 4y − 2x+ 6 = 0

c) x2 + y2 − 2x− 8y = −13

d) y −√x− 1 = 2

e) y +√x− 1 = 2

f ) y −√

2x− x2 = 0

g) y = 4−√

8− x2 + 2x

h) y = 4 +√

8− x2 + 2x

i) y = 2−√

2x− x2 + 32

j ) y = 1 +3√

6x− x2 − 52

k) y − 4/3√

2x− x2 + 8 = 2

l) y + 4/3√

2x− x2 + 8 = 2

m) y − x2 − 2x− 152

= 2

n) y − 2√x2 − 2x+ 2 + 1 = 0

2. Para cada una de las siguientes funciones:

a) Determine el dominio de f y halle los puntos de interseccion de la graficade f con los ejes coordenados, si existen estos cortes.

b) Trace su grafica.

i) f(x) = 2

ii) f(x) = 2x− 1

iii) f(x) = x2 − 6x+ 5

iv) f(x) = x2 − 4x+ 5

v) f(x) = 3 +√x− 1

vi) f(x) = 2−√x− 1

vii) f(x) = 1−√

4x− x2 + 5

viii) f(x) = 4 +√

8− x2 + 2x

ix) f(x) =√

2x+ 1 + 3

x) f(x) =√

4− 2x

55


3. Sea f la funcion que tiene como regla de correspondencia:f(x) = x2 − 2x− 3

A)

a) Trace la grafica de f .

b) Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (−1, f(−1))y (4, f(4)).

c) Encuentref(x+ h)− f(x)

hy simplifique.

B) Sea f la funcion que tiene como regla de correspondencia:f(x) = 2

√x− 1− 2

a)Trace la grafica de f

b)Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (1, f(1)) y(5, f(5))

c)Encuentref(x+ h)− f(x)

hy simplifique

4. Suponga que el agua que fluye del extremo de un tubo, el cual se encuentraa 25 pies del suelo, describe una curva parabolica, de modo que el vertice dela parabola es el extremo del tubo. Si en un punto 4 pies debajo del tubo elflujo de agua en su trayectoria curva se localiza a 8 pies de distancia de larecta vertical que pasa por el extremo del tubo. Exprese la distancia desde larecta vertical que pasa por el extremo del tubo hasta el flujo de agua en sutrayectoria curva, en funcion de b pies debajo del tubo.

5. Uno de los cables de un puente colgante pende en forma de parabola cuandola carga esta uniformemente distribuida de manera horizontal. La distanciaentre las dos torres es de 160m, los puntos de del cable estan a 24m arribade la carretera, y el punto ma bajo del cable esta a 8m sobre dicha carretera.Determine la distancia vertical de la carretera al cable de un punto que seencuentra a b m de la base de una torre. Exprese esta distancia vertical y,en funcion de b. Indique el dominio admisible para b

56


6. Un arco parabolico tiene una altura de 25m y un ancho de 40men la base. Si el vertice de la parabola esta en la parte superiordel arco, a que altura sobre la base tiene un ancho de b m?

7. El techo de un vestıbulo de 8m de ancho tiene la forma de una semielipsede 9m de altura en el centro y 6m de altura de las paredes laterales.Determinar la altura del techo a b m de cualquier pared. Exprese la alturay del techo, en funcion de b. Indique el dominio admisible para b

57


8. Un telescopio refractante tiene un espejo parabolico para el cual la distanciadel vertice al foco es de 30 pies, Si el diametro de la parte superior delespejo es de b pulgadas, exprese la profundidad h del espejo en funcion de b

9. Un deposito hemisferico de radio R esta lleno de agua. Si empieza a gotearagua del fondo, exprese el radio r de la superficie del agua en funcion de laprofundidad h del casquete esferico, tal como se ilustra

10. Una antena de satelite de TV consta de un plato parabolico con el receptorcolocado en su foco.El plato parabolico puede describirse girando un trozo de parabola con respectode su eje de simetrıa (tal como se ilustra) con −b ≤ x ≤ b donde x se mide enpies.

a) Exprese la profundidad que tiene el plato en funcion de b

b) ¿Donde debe colocarse el receptor con respecto de la parte inferior (vertice)del plato?

58


11. El arco de un tunel recto en una carretera de doble sentido es semielptıcocon eje mayor horizontal. La base del arco abarca los 50 pies de ancho de lacarretera y la parte mas alta del arco mide 16 pies en forma vertical sobre lalınea central de la carretera.

a) Exprese la altura y del tunel en funcion de la distancia x pies desde lalınea central de la carretera (ilustrar graficamente)

b) ¿Puede un camion de 15 pies de altura y 11 pies de ancho, pasar por estetunel, manteniendose a la derecha de la lınea central?

12. Algunos cometas siguen una orbita hiperbolica, con el sol en uno de sus focos(y nunca volvemos a verlos de nuevo). Se puede mostrar que el vertice de unarama de una hiperbola es el punto sobre ella mas cercano al foco asociado aesa rama. Dado este hecho y el que la trayectoria del cometa queda descritapor la hiperbola 4x2−3y2−12 = 0, con el sol en uno de los focos (los numerosestan dados en terminos de U.A, donde 1U.A equivale a 149,6 millones dekilometros, distancia medida de la tierra al sol)

a) Determine cual es la distancia mas corta del cometa al sol

b) Exprese la distancia del cometa al sol en funcion de x (ver figura)

59


13. Dibuje la grafica de la funcion a trozos dada y determine su dominio y surango.

f(x) =

x+ 5, si −6 ≤ x < −3,√

3− x2 − 2x, si −3 ≤ x ≤ 1,1 si 1 < x < 2,2x2 − 12x+ 17, si 2 < x ≤ 5.

14. Dibuje la grafica de la funcion a trozos dada y determine su dominio y su rango

f(x) =

−12 (x+ 7), si x < −5

−1, si − 5 ≤ x < −4

3− 3√−x2 − 4x

2si − 4 ≤ x ≤ 0

x+ 2, si 0 < x < 1

2−√

6x− x2 − 5, si 1 ≤ x < 5

√x− 5 + 2, si 5 ≤ x

15. En la figura se da la grafica de una funcion f . Formada por una semirectahorizontal, una semielipse, un segmento de recta, y un trozo de parabola.Defina f(x) a trozos sobre el intervalo cerrado [−2, 3].

60


16. En la figura se da la grafica de una funcion f . Defina f(x) a trozos sobre todoel eje real.

17. En la figura se da la grafica de una funcion f formada por una semirecta,tres segmentos de recta, un cuarto de circunferencia y un trozo de parabola.Defina f(x) a trozos sobre todo el eje real

18. En la figura se da la grafica de una funcion f formada por una semirecta,una semielipse, un segmento de recta, una semicircunferencia y un trozo de

61


parabola con el vertice en el punto (5, 2). Defina f(x) a trozos sobre todo eleje real

19. Al dividir el polinomio P (x) = x3 − 3kx + 1 entre x − 2, el residuo es 15.Determine el valor de k.

20. Halle el valor de la constante k para que el polinomio: P (x) = x3 − 2kx + 3sea divisible por x− 1

21. Halle el valor de la constante k para que el polinomio: P (x) = x3+k2x2−kx+21sea divisible por x+ 3

22. Para cada una de las siguientes funciones polinomiales:

a) Factorice la expresion polinomial:anx

n + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 como producto de factores lineales o

factores cuadraticos irreducibles.

b) Bosqueje la grafica de la funcion polinomial dada, indicando los cortescon los ejes coordenados, cuando estos existen.

i) f(x) = x3 − 4x2 + 5x− 2

ii) f(x) = x4 + 2x3 − 5x2 − 4x+ 6

iii) f(x) = 2x3 − x2 − 8x+ 4

iv) f(x) = x4 − 5x2 − 10x− 6

v) f(x) = 2x5 − 13x4 + 20x3 + 18x2 − 54x+ 27

vi) f(x) = x3 − 2x

vii) f(x) = x3 − 2x+ 1

62


viii) f(x) = x5 + 2x4 − 2x3 − 4x2 + x+ 2

ix) f(x) = 2x5 − x4 − x3 − 2x2 + x+ 1

23. Para cada una de las siguientes funciones racionales

a) Factorice el denominador y el numerador. Simplifique.

b) Determine el dominio y los ceros reales de la funcion dada.

i) f(x) =2x− 3

x3 − 3x− 2

ii) f(x) =x2 + 2x− 3x3 − 3x+ 2

iii) f(x) =x+ 2

x3 − 3x+ 2

iv) f(x) =3x− 1

x3 − 3x2 + 4x− 2

v) f(x) =x2 − 3x+ 2

x4 − x3 − 5x2 + 3x+ 6

vi) f(x) =x3 − 2x2 − x+ 2x2 − 3x+ 2

24. Dada la funcion racional f(x) =x3 − 6x2 + 5x+ 12

x− 4factorice el numerador y

determine el dominio y los ceros de la funcion dada. Ademas, trace la graficade f .

25. Para cada una de las siguientes funciones irracionales

a) Factorice el denominador

b) Determine el dominio de f y halle los puntos de interseccion de la graficade f con los ejes coordenados, si existen estos cortes.

i) f(x) =√x+ 2− x

x3 + x2 − 5x+ 3

ii) f(x) =√

2x− 1− xx3 − 7x+ 6

iii) f(x) =√

2x− 1− xx3 − 4x2 + x+ 6

iv) f(x) =√

2x− 1x2 − x− 2

26. Halle el dominio y los ceros reales de cada una de las siguientes funcionesirracionales:

a) f(x) =√x− 1 + 2

b) f(x) =√

4− 2x

c) f(x) =√x2 − x− 2

d) f(x) =√x+ 3x− 4

e) f(x) =1√

x−13x+1 − 1

63


f ) f(x) =√x3 − 3x+ 2

2x2 + 5x− 3g) f(x) =

√x3 − 2x2 + 1

x− 2

27. Halle el dominio y trace la grafica de f(x) =√x2 − 2x− 3 + 2

28. Trace la grafica de cada una de las siguientes funciones:

a) f(x) =∣∣2x− 1

∣∣b) f(x) =

∣∣x2 − 2x− 3∣∣

c) f(x) =[[

3x− 1]]

d) f(x) = x+[[

2x− 1]]

e) f(x) = x+[[1

2x+ 1

]]

f ) f(x) =[[

2x− 1]]x+ 1

g) f(x) =|x|[[x]]

h) f(x) =

∣∣x∣∣[[12x+ 1

]]29. Escriba cada una de las siguientes funciones como una funcion a trozos y dibuje

su grafica.

a) f(x) =∣∣2x− 3

∣∣− ∣∣x+ 4∣∣

b) f(x) =∣∣x+ 2

∣∣+∣∣2x− 1

∣∣+ 2x

c) f(x) =∣∣x+ 2

∣∣+∣∣x− 1

∣∣− x+ 4

d) f(x) =∣∣x2 − 2x− 3

∣∣+ 1

30.

Sea f una funcion cuyodominio es el intervalo cerrado[−2, 4] y su grafica es la que seilustra. Trace la grafica de |f |

31. Sea f una funcion cuya grafica se ilustra. Trace la grafica de |f |.

64


32. Dibuje la grafica de la funcion dada y determine su dominio y su rango.

f(x) =

|x+ 3|, si −5 ≤ x < 0,[[

3x− 1]], si 0 ≤ x < 1,

x2 − 6x+ 7, si 1 ≤ x ≤ 4.


f(x) =

0, si x < −1,−2x2 + 1, si −1 < x ≤ 0,3x+ 1, si 0 < x < 2.


f(x) =

|x+ 5|, si x ≤ −4,√

16− x2, si −4 < x ≤ 4,x− 6, si 4 < x.


f(x) =

|x+ 10|, si x < −5,√25− x2, si −5 ≤ x ≤ 0,

5, si 0 < x ≤ 12 ,[[

2x+ 1]], si 1

2 < x < 2,6− x, si 2 ≤ x.

65



f(x) =

−1, si x < −4,x+ 3, si −4 ≤ x < 0,(x− 2)2 − 1, si 0 ≤ x < 3,[[x− 3

]], si 3 ≤ x < 6,

|x− 8|, si 6 ≤ x < 10,2, si 10 ≤ x.

37. En cada uno de los siguientes ejercicios

A. Hallar (f ◦ g)(x) y su dominio para cada par de funciones.

i) f(x) =√

1− x2, g(x) =√x

ii) f(x) =x2 + 2x2

, g(x) =√x2 − x− 2

iii) f(x) =1x2

, g(x) =√x2 + x− 6x− 2

B.

a) Halle f ◦ g y su respectivo dominio.b) Halle g ◦ f y su respectivo dominio.

i) f(x) = x2 + 1, g(x) =√x

ii) f(x) =√x, g(x) =

x+ 3x− 1

iii) f(x) =√x− 1, g(x) =

2x+ 3x− 2

iv) f(x) = x2, g(x) =√x2 − x− 2

v) f(x) =x2

x2 − 1, g(x) =

√x− 1

vi) f(x) =1√x− 1

, g(x) =2x− 1x+ 3

vii) f(x) =1x2

, g(x) =√x− 1

viii) f(x) =√x

x− 2, g(x) =

x+ 3x− 1

C. Sea f(x) =

√

1− x, si x ≤ 0,x

x+ 1, si 0 < x < 2,

x2 − 2x− 2, si 2 ≤ x

66


y g(x) =x− 2x− 1

.

Hallar (f ◦ g)(x) y su respectivo dominio

38. Sea f(x) = x2 − 2x− 1. Encuentre dos funciones g tales que:(f ◦ g)(x) = x2 − 3x.

39. Sean f(x) = x2 + 1, g(x) =√x y h(x) = 1− x.

a) Encuentre [(f ◦ g) ◦ h](x) y [f ◦ (g ◦ h)](x).b) ¿Que se puede decir de (f ◦ g) ◦ h y f ◦ (g ◦ h) ?.


a) Verifique que f es uno a uno sobre su dominio.b) Halle la formula de correspondencia de f−1.c) Dibuje en un mismo plano las graficas de f y de f−1.d) Verifique que (f−1 ◦ f)(x) = x, y que (f ◦ f−1)(x) = x.

i) f(x) =√x− 2

ii) f(x) =√x− 2 + 3

iii) f(x) =√

2x− 2 + 3

iv) f(x) = x3 + 1


a) Verifique que f es uno a uno sobre el dominio indicado.b) Halle la formula de correspondencia de f−1

c) Dibuje en un mismo plano las graficas de f y de f−1

d) Verifique que (f−1 ◦ f)(x) = x, y que (f ◦ f−1)(x) = x

i) f(x) = x2 − 2x− 3, con x ≥ 1ii) f(x) =

√4− x2 + 1, con 0 ≤ x ≤ 2

iii) f(x) =√

4x− x2 − 3, con 1 ≤ x ≤ 2iv) f(x) =

√4x− x2 − 3, con 2 ≤ x ≤ 3


a) Verifique que f es uno a uno sobre su dominio.b) Halle la formula de correspondencia de f−1.c) Verifique que (f−1 ◦ f)(x) = x, y que (f ◦ f−1)(x) = x

67


i) f(x) =1

x− 1

ii) f(x) =9x+ 13x− 2

iii) f(x) =x+ 52x+ 1

Los ejercicios que siguen tienen como objetivo manejar los siguientes aspectospara trazar las graficas de determinados tipos de funciones:

I. Desplazamiento vertical de la grafica de y = f(x)

a) y = f(x) + c, donde c > 0. La grafica de f se desplaza verticalmentehacia arriba una distancia c

b) y = f(x)− c, donde c > 0. La grafica de f se desplaza verticalmentehacia abajo una distancia c

II. Desplazamiento horizontal de la grafica de y = f(x)

a) y = f(x+c), donde c > 0. La grafica de f se desplaza horizontalmentehacia la izquierda una distancia c

b) y = f(x−c), donde c > 0. La grafica de f se desplaza horizontalmentehacia la derecha una distancia c

III. Ampliacion o compresion vertical de la grafica de y = f(x)

a) y = cf(x), donde c > 1. La grafica de f se amplia verticalmente enun factor c

b) y = cf(x), donde 0 < c < 1. La grafica de f se reduce verticalmenteen un factor c

IV. Ampliacion o reduccion horizontal de la grafica de y = f(x)

a) y = f(cx), donde c > 1. La grafica de f esta comprimida

horizontalmente en un factor1c

b) y = f(cx), donde 0 < c < 1. La grafica de f esta expandida

horizontalmente en un factor1c

V. Principio de graficacion para y = −f(x)Para obtener la grafica de y = −f(x), se refleja la grafica de y = f(x)con respecto del eje x.

VI. Principio de graficacion para y = f(−x)Para obtener la grafica de y = f(−x), se refleja la grafica de y = f(x)con respecto del eje y.

68


43.

Utilice la grafica que se ilustrade y = f(x) para obtener cadauna de las graficas solicitadas.

a) i) y = f(x) + 1ii) y = f(x)− 2iii) y = f(x− 2)iv) y = f(x+ 1)v) y = 2f(x)

vi) y = 13f(x)

vii) y = f(2x)viii) y = f(1

2x)ix) y = −f(x)x) y = f(−x)

b) i) y = f(x− 3) + 1ii) y = −f(x− 1)

44. Utilice la grafica que se ilustra de y = f(x) para obtener cada una de lasgraficas solicitadas.

a) Utilice la grafica de f(x) =√

2x− x2 + 3 para obtener la grafica de cadauna de las siguientes funciones:

i) y = f(x) + 1ii) y = f(x)− 2iii) y = f(x− 1)iv) y = f(x+ 2)v) y = 3f(x)

vi) y = 12f(x)

vii) y = f(2x)viii) y = f(1

2x)ix) y = −f(x)x) y = f(−x)

b) Sea f(x) =√

2x− x2 + 3. En cada uno de los siguientes casos: calculeg(x) dado, trace la grafica de la funcion g y compare la grafica de estafuncion con la grafica obtenida en el literal a) de este ejercicio.

i) g(x) = f(x− 1), a) iii)ii) g(x) = f(x+ 2), a) iv)iii) g(x) = f(2x), a) vii)iv) g(x) = f(1

2x), a) viii)

69


v) g(x) = f(−x), a) x)

c) Sea f(x) =√

2x− x2 + 3. En cada uno de los siguientes casos: calculeg(x) dado y trace la grafica de esta funcion.

i) g(x) = f(2x− 1)

ii) g(x) = f(−2x+ 3)

iii) g(x) = f(−12x+ 1) + 2

45.

Utilice la grafica que se ilustrade y = f(x) para obtenerla grafica de cada una de lasfunciones solicitadas.

a) y = f(x) + 1

b) y = f(x)− 2

c) y = f(x− 1)

d) y = f(x+ 2)

e) y = 2f(x)

f ) y = 12f(x)

g) y = f(2x)

h) y = f(12x)

i) y = −f(x)

j ) y = f(−x)

k) y = f(x+ 2) + 1

l) y = |f(x)|+ 1

46. Utilice la grafica que se ilustra de y = f(x) para obtener la grafica de cadauna de las funciones dadas.

70


a) y = f(x) + 2

b) y = f(x)− 1

c) y = f(x− 2)

d) y = f(x+ 1)

e) y = 2f(x)

f ) y = 12f(x)

g) y = f(2x)

h) y = f(12x)

i) y = −f(x)

j ) y = f(−x)

k) y = −f(x− 2)

l) y = |f(x)|+ 2

47.

a) Si la grafica dada corresponde a y = f(x − 1) + 1, trace la grafica dey = f(x)

b) Si la grafica dada corresponde a y = f(x + 1) − 1, trace la grafica dey = f(x)

c) Si la grafica dada corresponde a y = f(−x), trace la grafica de y = f(x)

71


3.2 Taller B. Funciones exponenciales y logarıtmicas

1. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones

a) f(x) =1

ex2−2x−3 − 1b) f(x) = ln(x+ 1)c) f(x) = ln(x2 + x− 2)

d) f(x) = ln(

2x− 1x+ 2

)e) f(x) = ln

(1

1 + lnx

)

f ) f(x) =1

(lnx)2 − 1

g) f(x) =1

(x− 2) lnx

h) f(x) = ln(|x− 1|2x− 1

)i) f(x) = ln(|3x− 1| − 2x)

2. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones

i) e−x = 1

ii) e3x−1 = 1

iii) e2x−1 = 4

iv)(1

2

)x−1= 1

v) 3x2+x−2 = 1

vi) xex2 = 0

vii)lnxx

= 0

viii)1− lnxx2

= 0

ix) (x+ 2) lnx = 0

x) (lnx)2 + 2 lnx = 0

xi)1 + lnx

x= 0

xii) lnx+ 1 = 0

xiii) 1− (lnx)2 = 0

xiv) 2x lnx+ x = 0

xv) ln(2x+ 1x− 2

)= 0

xvi) log1/2(3x− 1) = 0

xvii) ln(2x− 1) + ln(x− 1) = 0

xviii) 2x = 4

xix) 2x =14

xx) log1/2

(1x

)= 2

xxi) e2x − 3ex + 2 = 0

xxii) (x+ 2) ln(2x− 1) = 0

xxiii)(1

3

)x−1= 9

xxiv)(1

3

)x−1=

13

xxv) (x+ 2)x = 1

xxvi) e1−x3

= e9

xxvii) 2x3+x−2 = 1

xxviii)(1

3

)x+2=(1

3

)2x−1

xxix) log1/2(3− 2x)− log1/2(x+ 1) = 0

xxx) ln(x2 − x− 1

2x− 3

)+ ln(2x− 3) = 0

xxxi) log2(x+ 3) = 1

72


xxxii) ln( |x+ 1|

2x− 1

)= 0

xxxiii)ex + e−x

2= 1

xxxiv) log9 x =32

xxxv) log4 x2 = −1

xxxvi) log1/3 x− log1/3(x+ 1) = 2

xxxvii) log2 x− log2(x+ 1) = 3 log2 4

xxxviii log2 (2x− 1)− log2 (x+ 1) = −1

xxxix 3(x2−3x−1) = 27

xl log1/2 (x− 2) + log1/2 (x− 4) =−3

xli [[log2 (x)− 1]] = 3

xlii 7(x3+4) = (74x)x(7x)

xliii log2 (2x− 1) + log2 (x+ 1) = 1

xliv e2x + ex − 2 = 0

xlv log2 (x) + log2 (x+ 3) = 2

xlvi[[(

12

)x− 1]]

= 0

xlvii log2 (x) + log2 (x+ 2) = 3

xlviii log(1/2) (8− x)−log(1/2) (2− x) =log(1/2)(3)

xlix 23 log2 (x) − log2 [(4)x2(2x)] +

log3 9 = 0

3. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones

i) ln(√x+ 2− x+ 1) = 0

ii) 32x2−x−1 =13

iii) 42x = 4x + 2

iv)ex − 3e−x

2= 1

v) ln√x =√

lnx

vi) ln(x− 4) = ln(

3x− 10x

)vii) (x− 1)x = 1viii) ln(1 + e2x) = 1ix) lnx2 = (lnx)2

x) ln(|3x− 1| − 2x) = 0

xi) 3x = 21−3x

xii) e√x+2−x = 1

xiii) ln(x2 − x− 1

x+ 2

)= 0

xiv)√

3ex − 2 = ex

xv) x(1− 2 lnx) = 0

xvi) ln(x2 − x− 1) = 0

xvii) ln(x2 − x− 1

x− 3

)+ ln(x− 3) = 0

4. En cada uno de los siguientes ejercicios use logaritmo natural para despejar ax en funcion de y:

a) y =√e2x − 1

b) y =√e2x + 1

c) y =ex − e−x

2

d) y =ex + e−x

2

73


e) y =ex − e−x

ex + e−xf ) y =

ex + e−x

ex − e−x

g) y =√

42x − 4x − 2

5. a) y = ln (x+√x2 + 1)

b) y =12

ln(

1 + x

1− x

) c) y =√

42x − 4x − 2

6. Resolver cada una de las siguientes desigualdades:

i) e−x > 1

ii) e3x−1 > 2

iii)(1

2

)x−1> 1

iv) 3(x2+x−2) > 1

v) ln(x− 1) < 0

vi) ln(2x− 1) < 0

vii) ln(2x+ 1

3− x

)< 0

viii) lnx+ 1 > 0

ix) lnx+ 1 < 0

x)1 + lnx

x> 0

xi)lnxx2

< 0

xii)1− lnxx2

> 0

xiii)1− lnxx2

< 0

xiv) x(2 lnx+ 1) > 0

xv) x(2 lnx+ 1) < 0

xvi) (lnx)2 < 1

xvii) ln(x+ 1x− 2

)< 0

xviii) log1/2(3x− 1) > 0

xix) ln(2x− 1) + ln(x+ 1) > 0

xx)14≤ 2x < 4

xxi) log1/2

(1x

)< 2

xxii)13<(1

3

)x−1< 9

xxiii) (x+ 2)x > 1xxiv) e1−x

3< e9

xxv)(1

3

)x+2>(1

3

)3x−1

xxvi) log1/2(3− 2x) > log1/2(x+ 1)

xxvii)ln(3x− 1)x− 2

≥ 0

xxviii)2 lnx− 3

x3> 0

xxix) (lnx)(lnx+ 2) > 0xxx ln (2x− 1) + ln (x− 1) < 0xxxi (1/2)x

2−x−2 > 1xxxii log2 (x− 1) < 1

xxxiii(

13

)(x2−2x−4)

> 3

xxxiv ln (2x+ 1) < ln (x+ 2)xxxv log2 (x− 1) + log2 (x− 3) ≤ 3

xxxvi 3(x3−2x2−x) ≤ 19

xxxvii 4(x+2) >

(12

)x−1

74


7. Haciendo todo el procedimiento, en cada uno de los siguientes ejercicios:

a) Verifique que log3

(√3

9x

)=

1− 4x2

, para todo x real

b) Verifique que log2

(14x

)= −2x, para todo x real

c) Verifique que(

12

)(3 log2 (x))

=1x3

, para todo x > 0

d) Verifique que log2

(4√x2+1

16

)= 2√x2 + 1− 4, para todo x real

e) Verifique que log7

(7(x3+4)

(74x)x(7x)

)= x3 − 4x2 − x+ 4, para todo x real

8. Sea f(x) = ln(x− 1).

a) Determine una funcion g tal que (f ◦ g)(x) = x

b) Calcule (g ◦ f)(x)

9. Sea f(x) = e√x.

a) Determine una funcion g tal que (f ◦ g)(x) = x

b) Calcule (g ◦ f)(x)

10. Crecimiento bacteriano:Se pueden utilizar funciones exponenciales para representar el crecimiento dealguna poblacion

a) Supongase que se observa experimentalmente que el numero de bacteriasen un cultivo se duplica cada dıa. Si al comienzo hay 1000 bacterias y sise supone que el crecimiento es exponencial, ¿Cual serıa la formula parapredecir la cantidad f(x) de bacterias presentes en cualquier momento t?

b) El numero de bacterias en determinado cultivo aumento de 600 a 1800, delas 7:00 a.m. a las 9:00 a.m. si se supone que el crecimiento es exponencial,¿Cual serıa la formula para predecir la cantidad f(x), de bacterias t horasdespues de las 7:00 a.m.?

75


11. Desintegracion radiactiva:Algunas cantidades fısicas decrecen en forma exponencial. En estos casos,si a es la base de la funcion exponencial, entonces 0 < a < 1. Uno de losejemplos mas comunes del decrecimiento exponencial es la desintegracion deuna sustancia radiactiva.

La semivida (o ”vida mediana”) de un isotopo radiactivo es el tiempo quetarda en desintegrarse la mitad de la cantidad original en una muestra dada.La semivida es la caracterıstica principal que se usa para diferenciar unasustancia radiactiva de otra.

El isotopo del polonio, Po, tiene una semivida aproximada de 140 dıas, esdecir, dada cualquier cantidad, la mitad de ellas se desintegrara en 140 dıas.

Otras sustancias radiactivas tienen semividas mucho mas largas. En especial,un subproducto de los reactores nucleares es el isotopo radiactivo del plutonio,Pu, cuya semivida aproximada es de 24000 anos. Este es el motivo por elcual el destino de los desechos radiactivos es un gran problema de la sociedadmoderna.

a) Si hay al principio 20 mg de Po, ¿Cual serıa la formula para predecir lacantidad que queda despues de cierto tiempo t?

76


4 Funciones como modelosmatematicos

4.1 Taller A

4.1. Taller A

1.

Un granjero tiene 80 metros de telade alambre para cercar un corralrectangular tal como se ilustra en lafigura.

a) Exprese el area A, del corral en funcion de x. Ademas trace la grafica deA indicando los valores admisibles de x para este problema.

b) Encuentre las dimensiones del corral que tenga como area 300 m2?

c) Encuentre los valores de x, para los cuales, el area del corral sea mayor oigual a 300 m2.

d) Encuentre los valores de x, para los cuales, el area del corral sea menor oigual a 256 m2 y mayor que 175 m2.

e) ¿Cuales son las dimensiones del corral de area maxima?

2.Sea V1 el volumen de un cubo dearista x centımetros y sea V2 elvolumen de un paralelepıpedo rectorectangular de altura x centımetros,y cuya base es un rectangulo de area3 cm2.

a) Exprese V = V1 − V2 en funcion de x. Ademas, trace la grafica de V .

b) Encuentre los valores de x para los cuales V = −2

77


c) Encuentre los valores de x para los cuales V ≥ 18

3.

Suponga que una partıcula se lanzaverticalmente hacia arriba y quesu posicion en pies despues det segundos, con respecto al piso,esta dada por s(t) = −16t2 +320t+80.

a) ¿Para que valores de t estara la partıcula a mas de 656 pies sobre el piso?

b) ¿Cual es la altura maxima, sobre el piso, que alcanza la partıcula?

4.Se tienen 14 metros de tela dealambre para cercar un corralrectangular que se ajuste a unaesquina de 2 × 4 metros como semuestra en la figura (toda la esquinadebe ser aprovechada y no necesitacerca).

a) ¿ Entre que valores debe estar x para poder construir el corral con lascondiciones indicadas?

b) ¿ Entre que valores debe estar x para que el area del corral rectangularsea mayor o igual a 16m2 ?

c) ¿ Cuales son las dimensiones de x, y para que el area del corral seamaxima?

78


5.

Se desea construir un tanque sintapa de altura y metros y de basecuadrada de lado x metros, de talmanera que el area lateral y ladel fondo suman un area de 9m2 Entre que valores debe estar xpara obtener un tanque con una

capacidad mayor o igual a52m3

Para cada uno de los siguientes ejercicios, halle la funcion en terminos de lavariable especificada e indique el dominio admisible para dicha variable (estoes, el dominio de la variable para que el problema tenga sentido). Ademas sila funcion hallada es una funcion polinomial o una funcion racional, bosquejesu grafica.

6.Se tienen 80 metros de malla dealambre para cercar tres corralesrectangulares, tal como se ilustra enla figura. Exprese el area total de lostres corrales en terminos de x.

7.Se tienen 60 metros de malla dealambre para construir un corralrectangular que se ajuste a unaesquina de 10× 20 metros, como seilustra en la figura (toda la esquinadebe ser aprovechada y no necesitamalla de alambre). Exprese el areadel corral en terminos de x.

8.

Exprese el area de la regionsombreada en terminos de x.

79


9.

Un canalon metalico para el agua de lluvia va a tener caras de 2 pulgadasy un fondo horizontal de 2 pulgadas tambien, con lados tornando angulosiguales θ con la prolongacion del fondo 0 < θ < 90◦, ver figura.

a) Exprese el area de la seccion transversal del canalon en terminos de x.

b) Exprese el area de la seccion transversal del canalon en terminos de h.

10.Una central electrica esta ubicadaen la orilla de un rıo rectilıneo de0.5 kilometros de ancho. En la orillaopuesta esta situada una fabrica, 3kilometros rıo abajo del punto Aque esta directamente en frente dela central electrica. Si tender uncable desde la central electrica hastala fabrica cuesta 500 dollares porkilometro bajo el agua y 400 dolarespor kilometro a lo largo de la riberadel rıo. Exprese el costo total enterminos unicamente de x, en dondex es la distancia en kilometros dela fabrica a un punto cualquiera Pentre el punto A y la fabrica.

11.

Sea ABP un triangulo inscrito en unsemicırculo de radio R. Exprese elarea del triangulo ABP en terminosde x, en donde x es la medida dellado BP del triangulo ABP .

80


12.

Sea ABC un triangulo isoscelesinscrito en una circunferencia deradio 5 y sea h la altura del triangulodesde el vertice C, con 0 < h < 5.Si x es la mitad de la medida dellado AB :

a) Exprese la altura h del triangulo en terminos de x.

b) Exprese el area del triangulo ABC en terminos de x.

13.

Sea ABC un triangulo isoscelesinscrito en una circunferencia deradio 5 y sea h la altura del triangulodesde el vertice C, con 5 ≤ h ≤ 5.Si x es la mitad de la medida dellado AB :

a) Exprese la altura h del triangulo en terminos de x.

b) Exprese el area del triangulo ABC en terminos de x.

14.Un trazo de alambre de 36centımetros de longitud se va acotar en dos partes; una de longitudx se doblara para formar unacircunferencia y la otra parte sedoblara para formar un trianguloequilatero. Exprese la suma de lasareas del cırculo y del trianguloequilatero en terminos de x.

81


15. A partir de un alambre de 4 metros de largo se va a construir un rectangulode la siguiente manera: de un pedazo de alambre de longitud x metros, con1 ≤ x < 4, se cortan dos lados del rectangulo, cada uno de longitud3√x

2metros, y con el pedazo 4− x se termina de construir el rectangulo.

(a) Exprese en terminos de x, la cantidad de alambre que queda despues deconstruir el rectangulo.

(b) Exprese en terminos de x el area del rectangulo.

16.

Un sector circular de radio rcentımetros y angulo en el verticeΘ tiene un area de 100 cm2.Exprese el perımetro del sectorcircular en terminos del radio R.

17. Un rectangulo tiene dos vertices consecutivos en el eje de las x, y los otros dossobre la parabola y = 12− x2, con y > 0. Exprese el area del rectangulo enterminos de x, con x > 0.

18.Un rectangulo tiene dos de susvertices sobre el eje x positivo. Losotros dos vertices estan sobre lasrectas y = 2x, y , y = 12 − x, con0 < y < 8. Exprese el area delrectangulo en terminos unicamentede x.

19. Un rectangulo se inscribe en un semicırculo de radio 4, de tal manera quedos de sus vertices estan sobre el diametro. Si el lado sobre el diametro tienelongitud x, exprese el area del rectangulo en terminos de x.

82


20.

Una ventana tiene la forma deun rectangulo coronado con untriangulo equilatero. El perımetrode la ventana es de 4 metros. Si labase del rectangulo mide x metros;exprese el area total de la ventanaen terminos de x.

21.Angelica mide 6 pies de estatura yse aleja de la luz de un poste delalumbrado publico que esta a 42 piesde altura, tal como se ilustra. Six pies es la distancia de Angelicaal poste; exprese la longitud de lasombra que proyecta Angelica sobreel piso en terminos de x.

22. La pagina de un libro debe tener 27 pulg2 de impresion. Las margenes superior,inferior e izquierda de la pagina, son de 2 pulgadas y la margen derecha es de 1pulgada. Si x pulgadas es la base del rectangulo de impresion; exprese el areatotal de la pagina en terminos de x.

23.

Una pieza rectangular de papel muy larga tiene20 centımetros de ancho. Se va a doblar laesquina inferior derecha a lo largo del pliegueque se muestra en la figura, de modo que laesquina apenas toque el lado izquierdo de lapagina. Exprese La longitud l del doblez enterminos del x centımetros que se ilustra.

83


24.Una viga de acero de 27 pies de longitudse trasporta por un pasillo de 8 pies deancho hasta un corredor perpendicular alpasillo limitado por una pared movible quese ajusta a la viga tal como se ilustra enla figura. (Aqui suponemos que P resbalasobre una pared y Q resbala sobre la paredmovible). Si x es la distancia de P a laesquina E; exprese el ancho y del corredoren terminos de x. No considere la anchurahorizontal de la viga.

25.Por dos pasillos perpendicularesentre si de 8 pies y 27 pies,respectivamente, se transportauna viga cuya longitud se puedeaumentar o disminuir, ver figura(Aqui suponemos que P resbalasobre una pared y Q resbala sobrela otra pared). Si x es la distanciade P a la esquina E; exprese lalongitud y de la viga en terminosde x

.

26.Se desea construir una caja sin tapa, conbase rectangular, a partir de una piezarectangular de carton de 16 centımetrosde ancho y 24 centımetros de largo,recortando un cuadrado de x centımetrosde lado de cada esquina y doblando loslados, tal como se ilustra en la figura.

a) Encuentre el volumen de la caja enterminos de x. Bosqueje su grafica.

b) Encuentre el area de la superficie dela caja en terminos de x. Ademas,trace su grafica.

84


27.Un tanque de agua tiene la forma de un conocircular recto invertido tal que su altura es de12 pies y el radio de su base circular es de 6pies. Si se echa agua hasta una profundidad deh pies, con 0 < h < 12, tal como se muestra enla figura.

a) Exprese a R como funcion de h. Trace sugrafica.

b) Exprese la cantidad de agua en el tanqueen terminos de h. Trace su grafica.

28.Un cilindro circular recto con radio de labase R y altura h esta inscrito en unaesfera de radio 4

a) Exprese la altura h del cilindro comofuncion de r.

b) Exprese el area de la superficie lateraldel cilindro como funcion de r.

c) Exprese el volumen del cilindro comofuncion de r

29.

Un tanque tiene la forma que se ilustra en la figura. Si se le echa agua hastauna profundidad h, con 0 < h < 6

a) Exprese la cantidad de agua que hay en el tanque en terminos de h.

b) Exprese el area de la superficie del agua en terminos de h.

85


30.Un cilindro circular recto de alturah pies y radio de la base R pies, seinscribe en un cono circular recto dealtura 12 pies y base 6 pies de radio.

a) Exprese la altura h del cilindroen funcion de R.

b) Exprese el volumen del cilindroen funcion de R.

31.

Un cono circular recto con radio de la base R y altura h, se circunscribealrededor de una esfera de radio 8.

a) Exprese la altura h del cono en funcion de R. Bosqueje su grafica.

b) Exprese el volumen del cono en funcion de R. Bosqueje su grafica.

32.Un observatorio debe tener la forma de uncilindro circular recto, rematado por unabobeda hemisferica, con un volumen totalde 18πm3

a) Exprese la altura h del cilindro enfuncion de R. Bosqueje su grafica.

b) Si la boveda hemisferica cuestael doble por metro cuadrado queel muro cilındrico y si el metrocuadrado de muro cilındrico cuestaa pesos. Exprese el costo delobservatorio en funcion de R

86


33.La figura muestra dos conoscirculares rectos, uno invertidodentro del otro. Sus bases sonparalelas, y el vertice del conomenor se encuentra en el centro dela base del cono mayor.

a) Exprese el volumen del conomenor en funcion de R

b) Exprese el volumen del conomenor en funcion de h

34. Se desea fabricar un recipiente cilındrico de altura h con sus dos tapas circularesde radio r, de modo que su volumen sea de 250 πcm3. Exprese el area totaldel recipiente cilındrico en funcion de r.

35.

Se echa agua a un tanque que tiene la forma de cono truncado circular rectohasta una profundidad h, con 0 < h < 80. El tanque tiene una altura de 80centımetros y radios inferior y superior de 20 y 40 centımetros respectivamente.Si x es el radio del cırculo de la superficie del agua, exprese la cantidad de aguaque hay en el tanque en funcion de x.

87


36.Los extremos de un tanque de aguade 20 pies de largo tienen la formade un triangulo equilatero con ladosde 4 pies. Si se le echa agua hastauna profundidad de h pies; expresela cantidad de agua en el tanque enfuncion de h

37.Se va a hacer un cono con una piezacircular de lamina metalica, de 10metros de radio, recortando un sectory soldando las aristas recortadas de lapieza restante (ver figura). Si el anguloθ en el vertice del sector suprimidoesta dado en radianes:

a) Exprese la longitud l de lacircunferencia de la base del conoen funcion de θ.

b) Exprese el radio r de la basecircular del cono en funcion de θ.

c) Exprese el area lateral A del conoen funcion de r.

d) Exprese el area lateral A del conoen funcion de θ.

e) Exprese el volumen del cono enfuncion de r.

88


5 Trigonometrıa5.1 Taller A.5.2 Taller B. Funciones trigonometricas inversas5.3 Taller C. La ley de senos y la ley de cosenos

5.1. Taller A

1. Identidades basicas

A.

Utilizando la circunferenciaunitaria que se ilustra,verificar cada una de lassiguientes identidades paratodo numero real t

a) cos2(t) + sen2(t) = 1b) cos(t+ 2π) = cos(t); sen(t+ 2π) = sen(t)c) cos(−t) = cos(t); sen(−t) = − sen(t)

B.Utilizando la figura que seilustra, verificar que:

89


a) cos(µ− υ) = cos(µ) cos(υ) + sen(µ)sen(υ)b) Verificar cos(µ+ υ) = cos(µ) cos(υ)− sen(µ) sen(υ)

C.

a) Utilizando la figura que seilustra, probar que para todoradian µ,sen(π/2 + µ) = cos(µ)

b) Pruebe que para todo radian µ,sen(π/2− µ) = cos(µ)

c) Verifique que:sen(µ+ υ) = sen(µ) cos(υ) + cos(µ) sen(υ)

d) Verifique que:sen(µ− υ) = sen(µ) cos(υ)− cos(µ) sen(υ)

D.

Utilizando la variable x enlugar de la variable t dadaen el ejercicio A, comprobarcada una de las siguientesidentidades:

a) cos(2x) = cos2(x)− sen2(x)b) sen(2x) = 2 sen(x) cos(x)

c) cos2(x) =1 + cos(2x)

2

d) sen2(x) =1− cos(2x)

2

E. Haciendo A = a + b y B = a − b se tiene que a =A+B

2, b =

A−B2

.Probar que:

90


i) sen(a)− sen(b) = 2 cos(a+ b

2

)sen(a− b

2

)ii) sen(a) + sen(b) = 2 sen

(a+ b

2

)cos(a− b

2

)iii) cos(a)− cos(b) = −2 sen

(a+ b

2

)sen(a− b

2

)iv) cos(a) + cos(b) = 2 cos

(a+ b

2

)cos(a− b

2

)F. Verifique cada una de las siguientes identidades

1 + tan2(x) = sec2(x)1 + cot2(x) = csc2(x)

G. Demuestre que√

1− cos2(x) = sen(x) no es una identidad en los reales.

2. Halle todas las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones:

a) cosx = −12

b) cos(3x) = −12

c) sen(2x) + senx = 0

d) 2 cos2 x− 3 cosx− 2 = 0

e) 2 sen2 x− 3 cosx = 0

f ) 2 sen2 x− 3 senx− 2 = 0

g) 2 sen2 x− 7 senx+ 3 = 0

h) 2 cos2 x+ cosx− 1 = 0

i) 2 sen2(3x) + sen(3x)− 1 = 0

j ) 2 sen2 x− 5 senx+ 2 = 0

k) sen(2x)− cosx = 0

l) 2 sen3 x+ sen2 x− 2 senx− 1 = 0

m) 2 sen2(3x) + sen(3x)− 1 = 0

3. Halle todas las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones:

a) 10 tan2 x− sec2 x = 2

b) sen(3x)− senx = 0

c) 3 tan2 x− sec2 x = 5

d) cos(5x)− cos(3x) = 0

e) 2 tan2 x+ 3 secx = 0

f ) sen(3x) + sen(2x) = 0

g) cos(3x) + cosx = 0

4. Halle todas las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones sobre elintervalo indicado:

91


a) senx = −12

, en el intervalo (0, 2π]

b) 2 tanx cscx+ 2 cscx+ tanx = −1, sobre el intervalo [0, 2π]

5. Indicando amplitud, perıodo, desplazamiento de fase y cortes con el eje x, tracela grafica de cada una de las siguientes funciones:

a) y = 4 cos(2x− π3 )

b) y = −3 sen(2x+ 2π3 )

c) y = 12 sen(2x− π

3 )

d) y = −3 cos(12x+ π

6 )

e) y = 2 sen(13x+ π

9 )

f ) y = 4 sen(2x− 2π3 )

6. Hallando amplitud, perıodo, desplazamiento de fase y todos los cortes con eleje x, trazar la grafica de cada una de las siguientes funciones sobre el intervalocerrado dado

a) y = 3 sen(2x− 2π/3), sobre el intervalo [−π/6, 4π/3]

b) y = −4 cos(2x+ π/3), sobre el intervalo [−5π/12, 4π/3]

c) y = −4 sen(2x− π/3), sobre el intervalo [−π/3, 5π/3]

d) y = 3 cos(2x+ 2π/3), sobre el intervalo [−7π/12, 5π/3]

7. a) Hallando amplitud, perıodo , desplazamiento de fase y todos los cortescon el eje x, trazar la grafica de la funcion y = 4 cos(2x − π/3) sobre elintervalo cerrado [−7π/12, 7π/6]

b) Halle todos los cortes de la grafica de y = 4 cos(2x − π/3) con la rectay = −2 Sobre el intervalo cerrado [−7π/12, 7π/6]. Ilustre graficamente.

8. a) Hallando amplitud, perıodo, desplazamiento de fase y todos los cortescon el eje x, trazar la grafica de la funcion. y = sen(2x − π/6) sobre elintervalo cerrado [−2π/3, 19π/12]

b) A partir de la grafica de y = sen(2x − π/6)trazar la grafica de y =sen(2x − π/6) + 1 sobre el intervalo cerrado [−2π/3, 19π/12], y hallartodos los cortes de esta grafica con los ejes coordenados en el intervalodado

92


9. a) Hallando amplitud, perıodo, desplazamiento de fase y todos los cortescon el eje x, trazar la grafica de la funcion. y = −2 sen(2x − π/3) sobreel intervalo cerrado [−7π/12, 5π/3]

b) A partir de la grafica de y = −2 sen(2x − π/3) trazar la grafica de y =−2 sen(2x − π/3) + 1 sobre el intervalo cerrado [−7π/12, 5π/3], y hallartodos los cortes de esta grafica con el eje x y con la recta y = 3 en elintervalo dado

10. a) Indicando amplitud, perıodo, desplazamiento de fase y cortes con el ejex, trace la grafica de y = cos(2x− 2π

3 ).

b) Trace la grafica de y =∣∣cos(2x− 2π

3 )∣∣.

c) A partir de la grafica de y = cos(2x− 2π3 ), trace la grafica de y = sec(2x−

2π3 ), e indique el perıodo y el desplazamiento de fase.

11. a) Indicando amplitud, perıodo, desplazamiento de fase y cortes con el ejex, trace la grafica de y = sen(2x− π

2 ).

b) A partir de la grafica de y = sen(2x− π2 ), trace la grafica de

y = sen(2x− π2 ) + 1

2 , y halle todos los cortes de esta grafica con el eje x.

c) Trace la grafica de y =∣∣sen(2x− π

2 ) + 12

∣∣ sobre el intervalo [0, 2π].

12. En un dıa de primavera, con 12 horas de luz diurna, la intensidad solar I llegaa su valor maximo de 510 cal/cm2 a medio dıa. Si t = 0 corresponde a lasalida del sol, deduzca una formula del tipo I = A sen(Bt) que se ajuste a estainformacion. Haga una ilustracion grafica.

13. Suponga que la formula f(t) = a sen(bt+c)+d sirve para simular las variacionesde temperatura durante el dıa, donde el tiempo t esta en horas, la temperaturaf(t) en ◦C y t = 0 corresponde a medianoche. Suponga que f(t) es decrecientea medianoche.

a) Calcule los valores de a, b, c y d que se ajuste a la siguiente informacion:La temperatura maxima es 10 ◦C y la mınima es -10 ◦C, esta ultima alas 4 A.M.

b) Trace la grafica de f para 0 ≤ t ≤ 24, con la informacion dada.

14. En una region particular, el dıa mas largo del ano ocurre el 21 de junio (15horas con luz de dıa); el dıa mas corto es el 21 de diciembre (9 horas con luzde dıa). Los equinoccios (los dıas en que la longitud del dıa y la noche son

93


ambos iguales a 12 horas) sucede el 21 de mayo y el 21 de septiembre. Dadoque el numero de horas con luz de dıa se relaciona con el dıa del ano medianteuna formula de la forma:

H(t) = A sen(Bt+ C) +D, donde H(t) es el numero de horas con luz del dıay t es dıa del ano, donde t = 1 corresponde al primero de enero. Calcule losvalores de A,B,C, y D que se ajusten a la informacion dada anteriormente.(Suponga que no es un ano bisiesto).

15. a) Indicando perıodo, el desplazamiento de fase, los cortes con el eje x, y lasasıntotas verticales, trace la grafica de:

i) y = 2 tan(3x− π2 )

ii) y = 3 cot(2x+ 2π3 )

b) Indicando perıodo, el desplazamiento de fase y las asıntotas verticales,trace la grafica de:

i) y = 3 sec(12x−

π4 )

ii) y = csc(2x+ π2 )

16. a)

Utilizando la figura, comprobar que:i) a cosx± b senx =

√a2 + b2 cos(x∓ w)

ii) a senx± b cosx =√a2 + b2 sen(x± w)

b) Exprese a 2 sen(2x)− 2√

3 cos(2x) en la forma:

i) A sen(Bx+ C)i) A cos(Bx+ C)

c) Exprese cada una de las funciones dadas en la forma:

a) f(x) = A sen(Bx+ c)b) f(x) = A cos(Bx+ c)

94


e indique en cada forma la amplitud, el perıodo y el desplazamiento defase. Ademas, trace la grafica de cada una de ellas utilizando la formaf(x) = A sen(Bx+ c).

i) f(x) = cosx− senxii) f(x) = 3 sen(2x)− 3

√3 cos(2x)

iii) f(x) = −2√

3 cos(3x)− 2 sen(3x)

17. Verifique cada una de las siguientes identidades

a)sen2(x)

1 + cos(x)= 1− cos(x)

b)1− sen(x)

cos(x)=

cos(x)1 + sen(x)

c)1− cos(2x)

sen(2x)= tan(x)

d)1 + cos(2x)

sen(2x)= cot(x)

e)tan2(x)

sec(x) + 1=

1− cos(x)cos(x)

f )cos(5x)− cos(3x)sen(5x) + sen(3x)

= − tan(x)

g)sen(2x)

1 + cos(2x)= tan(x)

h)sen(3x) + sen(x)

1 + cos(2x)= 2 sen(x)

i)sen(x) + cos(x)sec(x) + csc(x)

=sen(x)sec(x)

j )sen(x) sec(x)

tan(x) + cot(x)= sen2(x)

k)cot(x)

csc(x) + 1=

csc(x)− 1cot(x)

l)sen(x) + cos(x)sec(x) + csc(x)

=sen(2x)

2

m)sec(x)− cos(x)

sec2(x)− 1= cos(x)

n)1 + sen(2x) + cos(2x)1 + sen(2x)− cos(2x)

= cot(x)

n)tan3(x)− cot3(x)tan(x)− cot(x)

= tan2(x) + csc2(x)

18. a) Verifique que 12 [sen(u+ v) + sen(u− v)] = sen(u) cos(v)

b) Utilice el resultado anterior para expresar a sen(5x) cos(3x) como unasuma de senos.

19. Halle todas las soluciones de la ecuacion√

3 cosx− senx+√

2 = 0

20. Si (−1,√

3) son las coordenadas rectangulares de un punto P calcular lascoordenadas polares (r, θ) de P .

21. Dado que sen θ = −35 , y 3π

2 < θ < 2π, determine los valores de sen( θ2) y cos( θ2).

95


22. Si tan θ = 34 , y θ esta en el tercer cuadrante, calcule el valor de las otras

funciones trigonometricas del angulo θ.

23. Si tan θ = 12 , y θ esta en el tercer cuadrante, calcule los valores de cos θ, cos(2θ),

sen(2θ), sen θ2 , cos θ2 y tan θ

2 .

24. Si csc θ = 2, y θ esta en el segundo cuadrante, calcule los valores de sen(2θ),cos(2θ) y tan(2θ).

5.2 Taller B. Funciones Trigonometricas Inversas

1. Justifique cada uno de los pasos dados en la siguiente demostracion de quearccot x = π

2 − arctanx para todo x real.

Demostracion: Consideremos las funciones

tan : (−π2 ,

π2 ) −→ R, y cot : (0, π) −→ R.

Si x ∈ (0, π) entonces −x ∈ (−π, 0) y por consiguiente:π

2− x ∈ (

−π2,π

2). Puesto que tan(π2 − x) = cotx, tomando

y = tan(π2 − x) = cotx vemos que π2 − x = arctan y, x = arccot(y).

Por lo tanto arccot (y) = π2 − arctan(y) para todo y real. Finalmente,

si intercambiamos los papeles de x e y, tenemos que:

arccot (x) = π2 − arctan(x) para todo x real.

96


2.

Tu estas en un salon declases, sentado junto a unapared mirando el tablero quese encuentra al frente. Estemide 12 pies de largo yempieza a 3 pies de la paredtal como se ilustra. Verificaque tu angulo de vision α(dado en radianes) es: α =arccot ( x15) − arccot (x3 ), siestas a x pies de la pared delfrente.

3.

Un hombre de 6 pies de alturaparado en la cima de un acantiladovertical, observa un bote de motorque se aleja del pie del acantiladocon velocidad constante.

a) Si θ radianes es el angulo de depresion de su lınea visual cuando el boteesta a x pies de la base del acantilado y si el acantilado tiene 194 pies dealtura tal como se ilustra, exprese a θ en funcion de x.

b) ¿Cual es el angulo de depresion en radianes, cuando:

x =200√

3pies ?

c) ¿Cual es la distancia recorrida por el bote desde el instante en que elangulo de depresion es de π

3 hasta el instante en que el angulo de depresiones de π

6 ?d) Si la velocidad del bote es de 25 pies/segundo, ¿Cual es el tiempo

empleado por el bote para que el angulo de depresion θ hacia el botesea igual:

i) a π3

ii) a π6

4. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

97


a) f(x) = arc sen(

3x− 25

)b) f(x) = arc cos

(1 + x

1− x

)c) f(x) = arctan(

√x2 + 2x− 3)

d) f(x) = arccot(

1 + x

1− x

)

e) f(x) = arcsec(2x− 3)

f ) f(x) = arccsc(x2 + 2x− 2)

g) f(x) = arc sen(

1− x√2

)h) f(x) = arc sen

(√x− 1x+ 2

)5. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine en que intervalo debe estarθ (dado en radianes), para que:

a) arc sen(sen(θ)) = θ

b) arc cos(cos(θ)) = θ

c) arctan(tan(θ)) = θ

6. Calcule:

a) arc sen(sen(π/6))

b) arc sen(sen(2π/3))

c) arc sen(sen(−π/4))

7. Calcule:

a) arc cos(cos(π/6))

b) arc cos(cos(−π/4))

c) arc cos(cos(2π/3))

8. Calcule:

a) arctan(tan(4π/3))

b) arctan(tan(π/4))

c) arctan(tan(−π/6))

98


9.

Desde un punto al nivel del terreno,a 135 pies del centro de la base deuna torre, el angulo de elevacion dela punta de dicha torre es el anguloθ que se da en cada uno de lossiguientes casos. Calcular la alturah de la torre en cada uno de esoscasos:

a) θ = 57◦20′

b) θ = 60◦

10.

Una mujer se encuentra parada en una ventana a 80 pies sobre el nivel del suelo.Observa a un nino que camina directamente hacia la base del edificio, mientrasque el angulo de depresion hacia el nino cambia de 42◦ a 65◦. ¿Que distanciaha recorrido el nino?

11.Desde la azotea de un edificio queda al mar, un observador ve un botenavegando directamente hacia el edificio.Si el observador esta a 100 pies sobre elnivel del mar, y si el angulo de depresiondel bote cambia de 30◦ a 45◦ duranteel perıodo de observacion, calcular ladistancia que recorre el bote durante esteperıodo de observacion.

99


12. Para determinar la distancia d entre dos puntos P y Q en las orillas opuestasde un lago, un topografo localiza un punto R que esta a 50 metros de P , de talmodo que la recta que pasa por los puntos R y P es perpendicular a la rectaque pasa por los puntos P y Q, como se ve en la figura. A continuacion conun teodolito, el topografo mide el angulo PRQ, que resulta de 72◦40’. Calcule

d.

13.

Los angulos de elevacion de unglobo visto desde los puntos A yB a nivel del suelo son 24◦10’y47◦40’, respectivamente. Lospuntos A y B estan separados8.4 millas, y el globo se encuentraentre ellos, en el mismo planovertical. Calcule la altura delglobo respecto al suelo.

100


14.

Cuando un globo aerostaticosube verticalmente, su angulode elevacion desde un puntoP , sobre terreno horizontal a10km de distancia del puntoQ, directamente abajo delglobo, cambia de 15◦ a 30◦.¿Que ascenso alcanza el globodurante esas observaciones?

15.La Gran Piramide de Egiptotiene 147 metros de altura; subase es cuadrada y mide 230metros por lado (vease la figura).Calcule el angulo θ que se formacuando un observador esta de pieen el punto medio de uno de loslados y contempla el vertice de lapiramide.

16.

Un vaso conico de papel se fabrica quitando un sector a un cırculo de 5 pulgadasde radio, y pegando la orilla OA con la orilla OB. Calcule el angulo θ paraque el vaso tenga una profundidad de 4 pulgadas.

101


17.Se desea abrir eltunel para una nuevacarretera, atravesandouna montana de 260pies de altura. A unadistancia de 200 pies dela base de la montana,el angulo de elevacion esde 30◦ (vease la figura).Desde una distancia de150 pies, al otro lado, elangulo de elevacion es45◦. Calcule la longituddel tunel.

18.Cuando se ve la cumbre de unamontana desde el punto P que seindica en la figura, el angulo deelevacion es α. Desde un punto Q,que esta a d millas mas cerca de lamontana, el angulo de elevacion seincrementa a β. Demuestre que laaltura h de la montana es

h =d

cotα− cotβ

.

19.

102


Desde el punto medio de la distancia entre los pies de dos torres, los angulos deelevacion de sus extremos superiores son 30◦ y 60◦ respectivamente. Verificarque la altura de una de las torres es el triple de la otra.

20.

Un canalon metalico para el agua de lluvia va a tener caras de 2 pulgadas y unfondo horizontal de 2 pulgadas tambien, con lados formando angulos iguales θcon la prolongacion del fondo (0 < θ < π

2 ), (ver la figura). Expreseel area A de la seccion transversal del canalon en funcion de θ.

21.Una escalera de 30 pies delongitud esta apoyada contra unapared vertical, de modo quesu extremo superior se deslizahacia abajo. Exprese el anguloθ, formado por la escalera conel piso, en funcion de x. Siendox pies la distancia del pie dela pared al extremo inferior dela escalera, e indique ademas eldominio admisible de la variablex.

103


22.

Los extremos de un tanque de 20 pies de largo tienen la forma de un trianguloisosceles tal como se indica en la figura a). Si se echa agua hasta unaprofundidad de 3

4H pies tal como se ilustra en la figura b). Exprese el volumenV de agua en funcion de θ.

23.

La formula para el volumen V de uncono circular recto es V = 1

3πr2h. Si

r = 6, utilice el diagrama dado paraexpresar el volumen V como funcion deθ.

24.

Dada la figura, exprese∣∣AC∣∣

en terminos de θ.

25. Muchos satelites son lanzados a una orbita geosincronica, lo cual significaque la posicion del satelite con respecto a la tierra permanece sin cambio.Supongamos que desde uno de estos satelites uno observara un angulo de41.4◦ con el horizontal, como se indica en la figura. Dado que el radio de latierra es de aproximadamente 4000 millas, determine la altitud del satelitesobre la tierra.

104


26. Un alambre de soporte debe ser colocado en la punta de un poste telefonicode 10 metros de altura y fijado en la tierra. ¿Que cantidad de alambre senecesitara para que haga un angulo de 60◦ con el nivel del suelo?

27.

La figura muestra dos postesfijados por cables de soportea un punto en el suelo entreellos. Determine la distanciaentre los dos postes.

5.3 Taller C. La ley de senos y la ley de cosenos

Triangulos Oblicuangulos: Un triangulo oblicuangulo es aquel en que ninguno de susangulos es recto. En un triangulo oblicuangulo los tres angulos son agudos o dos sonagudos y el tercero es obtuso.

Observacion: Cuando en un triangulo ABC, hablemos de los angulos A, B y C, nosreferimos a los angulos α, β, Υ respectivamente.

105


1.

Para cada uno de los triangulos dados en la figura anterior, verifique que:

a) h = a senB = b senA

b) k = b senC = c senB

2.

Para cada uno de los triangulos dadosen la figura, verifique que:

a2 = b2 + c2 − (2bc) cosA

3. En cada uno de los siguientes ejercicios resolver el triangulo ABC cuando seconocen los datos:

a) a = 6, A = 45◦ y B = 60◦

b) a = 2√

3, b = 2√

2 y C = 75◦

c) a = 3√

2, b = 3 y c = 3√

2 +√

3

4. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine cuantos triangulos ABC sepueden construir con la informacion dada, y halle en cada caso esos triangulos.

106


a) a = 6, b = 6√

3, A = 30◦

b) a =√

2, b =√

3, A = 45◦

c) a = 3√

2, b = 3, A = 135◦

d) a = 2√

3, b = 4, A = 60◦

e) a = 2, b = 10, A = 30◦

f ) a = 3√

2, b = 3, A = 45◦

5.

Como se ve en la figura, un teleferico transporta pasajeros del punto A, quese ubica a 1 milla de un punto B en la base de la montana, y llega a lacumbre P de esta. Los angulos de elevacion de P desde A y B son 15◦ y 60◦,respectivamente.

a) Determine la distancia de A a P .

b) Calcule la altura de la montana.

6.

Un guardabosque esta en unatorre de observacion y observados incendios a distancias de3 y 5 millas, respectivamente,en relacion con la torre. Siel angulo entre las lıneas devision hacia los dos puntosde fuego es de 120◦. ¿Aque distancia estan entre si losincendios?

107


7. Resolver el ejercicio 5, cambiando el dado de que el angulo de elevacion de Pdesde el punto A es de 30◦.

8.

El triangulo equilatero 4ABCesta inscrito en un cırculo deradio 4. Determine el area de laporcion sombreada que se ilustraen la figura.

9. Un poste telefonico se sostiene mediante dos cables sujetos a la parte superiordel poste, y ademas estos cables estan sujetos al suelo en lados opuestos alposte, en los puntos A y B que estan a 30 metros de distancia entre sı. Si losangulos de elevacion de la parte superior del poste desde los puntos A y B sonde 60◦ y 45◦ respectivamente, determine las longitudes de ambos cables y laaltura del poste.

108


10.Un helicoptero vuela a unaaltitud de 550 metros sobre lacima de una montana A, conuna altura conocida de 1563metros. Una segunda cima deotra montana cercana B, masalta, se ve desde el helicoptero. Siel angulo de elevacion de la cimaB desde la cima A es de 30◦ y sila distancia entre las dos cimas delas montanas es de 450 metros,

a) Calcule la distancia delhelicoptero a la cima B.

b) Calcule la altitud de la cimaB.

11.Un helicoptero vuela a unaaltitud de 450 metros sobre lacima de una montana A, conuna altura conocida de 1440. Unasegunda cima de otra montanacercana B, mas alta, es vista conun angulo de depresion de 45◦

desde el helicoptero y con unangulo de elevacion de 15◦ desdeA. Vease la figura. Determine ladistancia entre las dos cimas delas montanas y la altitud de lacima B.

12. Un globo aerostatico de observacion G y dos puntos A y B del suelo estan enun mismo plano vertical. El angulo de elevacion del globo, medido desde A,es de 75◦, y medido desde B es de 30◦. La distancia entre A y B es de 1000metros. Si el globo se encuentra elevado en algun punto entre A y B, ¿Cual essu elevacion?

13. A las 2 P.M. salen de un aeropuerto dos aviones. Uno vuela al N 60◦ E a 350

109


km/h y el otro hacia el sur a 450 km/h. ¿Que distancia hay entre ellos a las4 P.M.?

14.

Sea el 4ABC un trianguloisosceles inscrito en unacircunferencia de radio R ysea h la altura del triangulodesde el vertice C, y sean θ yα los angulos que se ilustran,dados en radianes.

a) Verifique que θ = 2α.

b) Utilizando la ley de los senos, compruebe que:a = b = 2R senα.

c) Exprese el perımetro P del triangulo 4ABC en funcion de α.

d) Exprese la altura h en funcion de α.

e) Exprese el area del triangulo en funcion de α.

15. Los sismologos investigan la estructura interna de la tierra analizando las ondassısmicas causadas por terremotos. Si se supone que el interior de la tierra eshomogeneo, entonces esas ondas viajan en lınea recta a velocidad constante v.La figura muestra un corte de tierra, un epicentro E y un punto de observacionS. Emplee la ley de los cosenos para demostrar que el tiempo t para que una

onda viaje por el interior de la tierra de E a S es t =2Rv

sen(θ

2

)en el cual

R es el radio de la tierra y θ es el angulo indicado con vertice en el centro dela tierra.

110


111


6 Limite de funciones6.1 Taller A

6.1. Taller A

1. Calcule cada uno de los siguientes lımites, si existen:

i) lımx→9

x− 9√x− 3

ii) lımx→2

x− 2x2 + 2x− 8

iii) lımx→1

x3 + x2 − 2x− 1

iv) lımx→1

1− 2x+1

x− 1x

v) lımx→4

√x− 2

x2 − 3x− 4

vi) lımx→2

x3 − 8x2 − x− 2

vii) lımx→1

√x− 1

2x2 + 5x− 7

viii) lımx→8

x− 83√x− 2

ix) lımx→1

3√x− 1√x− 1

x) lımx→2

x2 − x− 2x3 + 2x2 − 5x− 6

xi) lımx→0

√1− cosxx

xii) lımx→0

1− cosxx2

xiii) lımx→0

tanx− senxx cosx

xiv) lımx→0

1−√

cosxx2

xv) lımx→0

1− cosxsenx

xvi) lımx→0

tanx− senxx3

xvii) lımx→0

x sen(

1x

)xviii) lım

x→2

x−[[

2x− 1]]

x− 3

xix) lımx→1

√x− 1

x3 + x2 − 2

xx) lımx→0

1− cos(2x)x sen(3x)

2. Sea

f(x) =

{x2 + 1, si x ≤ 1,−x+ 3, si 1 < x.

112



b) Calcule, lımx→1

f(x)

3. Sea

f(x) =

{3− x, si x < 2,x2 − 4x+ 3, si 2 ≤ x.


b) Calcule, si existen:

i) lımx→0

f(x)

ii) lımx→2

f(x)

iii) lımx→5

f(x)

4. Calcule cada uno de los siguientes lımites laterales, si existen:

i) lımx→2−

x−[[

2x− 1]]

x− 3

ii) lımx→2+

x−[[

2x− 1]]

x− 3

iii) lımx→1−

x2 − x−[[

3x− 2]]

(x− 1)x2 + x− 2

iv) lımx→1+

x2 − x−[[

3x− 2]]

(x− 1)x2 + x− 2

v) lımx→1−

x2 − 2|x− 1| − 1x− 1

vi) lımx→1+

x2 − 2|x− 1| − 1x− 1

vii) lımx→1−

√2x(x− 1)

|x2 − 3x+ 2|

viii) lımx→1+

√2x(x− 1)

|x2 − 3x+ 2|

ix) lımx→2−

x2 − x− 2|x− 2|

x) lımx→2+

x2 − x− 2|x− 2|

xi) lımx→0−

√1− cos(x)

x

xii) lımx→0+

√1− cos(x)

x

xviii) lımx→1+

x3 − x2 − 4x+ 4x2 − 2x+ 1

xiv) lımx→1+

x3 − 2x−[[

3x− 2]]

(x− 1) + 1x2 + x− 2

xv) lımx→1−

x−[[

2x]]

√x− 1

113


xvi) lımx→1+

x−[[

2x]]

√x− 1

xvii) lımx→1−

x3 − x2 − 4x+ 4x2 − 2x+ 1

xiii) lımx→1−

x3 − 2x−[[

3x− 2]]

(x− 1) + 1x2 + x− 2

5. a) Calcule:

i) lımx→0−

|x|x√x2 + 1

i) lımx→0+

|x|x√x2 + 1

b) ¿Existira lımx→0

|x|x√x2 + 1

?

6. Sea f(x) =

{x2 + 1, si x < 1,√x− 1 + 2, si 1 ≤ x.

a) Trace la grafica de f .b) Calcule cada uno de los siguientes lımites, si existen:

i) lımx→1−

f(x)

ii) lımx→1+

f(x)

iii) lımx→1

f(x)

7. Sea f(x) =

{x2, si x ≤ 2,√x− 2, si 2 < x.

a) Trace la grafica de f .b) Calcule cada uno de los siguientes lımites, si existen:

i) lımx→2−

f(x)

ii) lımx→2+

f(x)

iii) lımx→2

f(x)

8. Sea f(x) =

√

4− x, si x ≤ 0,x2 − 2x+ 2, si 0 < x < 3,√x− 3, si 3 ≤ x.

114



b) Calcule cada uno de los siguientes lımites, si existen:

i) lımx→0

f(x)

ii) lımx→3

f(x)

9. Sea f(x) =

x3 + x+ 2x+ 1

, si x < −1,

x3 − 3x2 + 6, si −1 ≤ x.

a) Calcule:

i) lımx→−1−

f(x)

ii) lımx→−1+

f(x)

b) ¿Existira lımx→−1

f(x)?

10. Sea

f(x) =

x2, si x < 0,x, si 0 < x < 1,x2 + 1, si 1 ≤ x.



i) lımx→0

f(x)

ii) lımx→1

f(x)

11. Sea

f(x) =

−1, si x < −4,x+ 3, si −4 ≤ x < 0,x2 − 4x+ 3, si 0 < x ≤ 3,[[x− 3

]], si 3 ≤ x < 6,

3, si x = 6,|x− 8|, si 6 < x < 10,2, si x ≥ 10.

115




i) lımx→−4

f(x)

ii) lımx→0

f(x)

iii) lımx→3

f(x)

iv) lımx→4

f(x)

v) lımx→5

f(x)

vi) lımx→6

f(x)

vii) lımx→8

f(x)

viii) lımx→10

f(x)

12. Sea

f(x) =

{ex + 1, si x ≤ 0,lnx, si 0 < x.



i) lımx→0−

f(x)

ii) lımx→0+

f(x)

iii) lımx→0

f(x)

13. Sea

f(x) =

2x, si x ≤ 0,log2 x, si 0 < x ≤ 2,cos(πx), si 2 < x ≤ 4.



i) lımx→0−

f(x)

ii) lımx→0+

f(x)

iii) lımx→0

f(x)

iv) lımx→2−

f(x)

v) lımx→2+

f(x)

vi) lımx→2

f(x)

14. Sea

f(x) =

{x2 − 2x+ 2, si 1 ≤ x,−x2 + 2x− 2, si x < 1.

116


a) Trace las graficas de f y de |f |.b) Verifique que lım

x→1|f(x)| = 1, pero que lım

x→1f(x) no existe.

15. Calcule lımx→0

x[[

3x+ 2]]

, si existe.

16. Si lımx→4

f(x)− 5x− 2

= 1, calcule lımx→4

f(x).

17. Si lımx→1

f(x)− 4x− 1

= 3, calcule lımx→1

f(x).

18. Sea f(x) =4−

[[x]]

x− 4.

a) Trace la grafica de f sobre [0, 8)− {4}b) Calcule

i) lımx→3−

f(x)

ii) lımx→3+

f(x)

iii) lımx→4−

f(x)

iv) lımx→4+

f(x)

v) lımx→5−

f(x)

v) lımx→5+

f(x)

19. Calcule cada uno de los siguientes lımites, si existen

a) lımx→3

1(x− 3)2

b) lımx→2

x− 1(x− 2)2

c) lımx→2

x− 5x2 − 4x+ 4

d) lımx→1

x+ 3x2 − 2x+ 1

e) lımx→1

−2x(x− 1)2

f ) lımx→1

(1

(x− 1)2+ 2x3

)g) lım

x→0+

(ln(x) +

sen(2x)x

)h) lım

x→0+(x+ 4) ln(x)

i) lımx→0

sen(2x)x3

j ) lımx→0+

ln(x)x

k) lımx→0+

(1√x− 1x

)l) lım

x→+∞x(√x2 + 2x− x)

m) lımx→π/2

(1− sen(x)(x− π/2)2

+ tan2(x))

n) lımx→+∞

(ln(2x+ 1)− ln(4x− 1))

n) lımx→+∞

2xx+ 1

[ln(x2 + 1)− ln(2x+ 1)

]117


20. Calcule cada uno de los siguientes lımites, si existen:

i) lımx→−∞

1x

ii) lımx→+∞

1x

iii) lımx→−∞

x2

1 + x2

iv) lımx→+∞

x2

1 + x2

v) lımx→−∞

x

x2 − 6x+ 5

vi) lımx→+∞

x

x2 − 6x+ 5

vii) lımx→−∞

4x3 + 2x2 − 58x3 + x+ 2

viii) lımx→+∞

34 − 7x2 + 22x4 + 1

ix) lımx→−∞

√x2 + 1x

x) lımx→+∞

√x2 + 1x

xi) lımx→−∞

2x− 1√x2 + x

xii) lımx→−∞

3x− 1√x2 + 1

xiii) lımx→−∞

ln(x+ 1x− 2

)xiv) lım

x→0+

lnxx

xv) lımx→+∞

ln(x+ 1x− 2

)xvi) lım

x→+∞

(ln(3x− 1)− ln(6x+ 4)

)xvii) lım

x→−∞

ex − e−x

ex + e−x

xviii) lımx→+∞

ex − e−x

ex + e−x

xix) lımx→−∞

arctan(

1 + x

1− x

)xx) lım

x→+∞arctan

(1 + x

1− x

)xxi) lım

x→−∞

2x arctanxx+ 1

xxii) lımx→+∞

2x arctanxx+ 1

xxiii) lımx→−∞

arc senx√

1 + x2

xxiv) lımx→+∞

arc sen(

x√1 + x2

)21. Calcule cada uno de los siguientes lımites, si existen:

i) lımx→0

1x

(1√

1 + x− 1)

ii) lımx→+∞

(√x2 + x− x)

iii) lımx→4−

√16− x2

x− 4

iv) lımx→−1

2x2 − x− 3x3 + 2x2 + 6x+ 5

v) lımx→2−

(1

x− 2− 3x2 − 4

)vi) lım

x→−∞(√x2 + 3− x)

vii) lımx→+∞

(√x2 + 3− x)

viii) lımx→+∞

x(√x2 + 1− x)

118


ix) lımx→−∞

x3 + 2x2 − 6x+ 1√9x6 − 3x4 + 10

x) lımx→0+

(1x− 1x2

)xi) lım

x→2+

x−[[

2x− 1]]

x− 2

xii) lımx→1+

x− 3x3 + x− 2

xiii) lımx→1−

x2 − 2|x− 1| − 1(x− 1)2

xiv) lımx→1+

x2 − 2|x− 1| − 1(x− 1)2

xv) lımx→1

3√x− 1x− 1

xvi) lımx→1

√x− 1

x2 + x− 2

xvii) lımx→1

3√x− 1

x2 + x− 2

xviii) lımx→1+

x2 − 4x+ 3x3 − 3x+ 2

xix) lımx→1−

x+ 2x3 − 3x+ 2

xx) lımx→+∞

3√x− 1x− 1

xxi) lımx→2−

x−[[

2x− 1]]

x− 2

xxii) lımx→+∞

(√x4 + 2x2 − x2)

xxiii) lımx→−∞

x(√x2 + 1 + x)

xxiv) lımx→0

x2(cotx)(csc(2x))

22. calcule cada uno de los siguientes lımites, si existen:

i) lımx→0−

tanx√2− 2 cos2 x

ii) lımx→0+

tanx√2− 2 cos2 x

iii) lımx→0

1− cosxx senx

iv) lımx→π/2

1− senxπ2 − x

v) lımx→0

tanx− senxx3

vi) lımx→0

arc senxx

vii) lımx→0

x− sen(2x)x+ sen(3x)

viii) lımx→π

3

1− 2 cosxπ − 3x

ix) lımx→−2

tan(πx)x+ 2

x) lımx→1−

x−[[

3x− 1]]

x2 + x− 2

xi) lımx→1−

|x− 1| − x+ 1x2 + x− 2

xii) lımx→1

cos(π2x)1−√x

xiii) lımx→1+

x−[[

3x− 1]]

x2 + x− 2

xiv) lımx→1−

x−[[

3x− 2]]

x2 + x− 2

xv) lımx→1+

x−[[

3x− 2]]

x2 + x− 2

xvi) lımx→0

senx3x2 + 2x

xvii) lımx→0

x2 + 3xsenx

xviii) lımx→0

x cos1x

119


xix) lımx→0

1− cos(2x)4x

xx) lımx→π

1 + cosxx− π

xxi) lımx→0

(senx)(1− cosx)x3

xxii) lımx→π

senxx− π

xxiii) lımx→π

(cosx) sen(x− π)x− π

23. Sea f(x) =√

2x− 1x3 − 7x+ 6

. Calcule:

a) lımx→1−

f(x)

b) lımx→1+

f(x)

c) lımx→2−

f(x)

d) lımx→2+

f(x)

24. Sea f(x) =√x2 + 7

2x− 6. Verifique que:

a) lımx→3−

f(x) = −∞

b) lımx→3+

f(x) = +∞

c) lımx→−∞

f(x) = −12

d) lımx→+∞

f(x) =12

25.

120


Sea f una funcion cuya grafica se ilustra. Calcule, si existe (justificando cadarespuesta):

a) lımx→−∞

f(x)

b) f(−3)

c) lımx→−3−

f(x)

d) lımx→−3+

f(x)

e) lımx→−3

f(x)

f ) f(−1)

g) lımx→−1−

f(x)

h) lımx→−1+

f(x)

i) lımx→−1

f(x)

j ) f(2)

k) lımx→2

f(x)

l) f(4)

m) lımx→4−

f(x)

n) lımx→4+

f(x)

n) lımx→4

f(x)

o) lımx→+∞

f(x)

26.

Sea f una funcion cuya grafica se ilustra. Evalue, justificando claramente surespuesta para cada caso o explicando por que no existe:

a) lımx→−∞

f(x)

b) lımx→−3−

f(x)

c) lımx→−3+

f(x)

d) f(−3)

e) lımx→−2−

f(x)

f ) lımx→−2+

f(x)

121


g) f(−2)

h) lımx→0

f(x)

i) f(0)

j ) lımx→1

f(x)

k) lımx→2−

f(x)

l) lımx→2+

f(x)

m) lımx→2

f(x)

n) lımx→3

f(x)

n) f(3)

o) lımx→4−

f(x)

p) lımx→4+

f(x)

q) lımx→+∞

f(x)

122


7 Continuidad de funciones7.1 Taller A

7.1. Taller A

1. Determine cuales de las siguientes funciones es discontinua en a = 1. En elcaso de que la funcion sea discontinua en a = 1, explique por que sucede estadiscontinuidad.

a) f(x) =x3 − 1x− 1

b) g(x) =

{x2 + 1, si x ≤ 1,2− x, si 1 < x.

c) h(x) =

x3 − 1x− 1

, si x 6= 1,

1, si x = 1.

d) F (x) = x2 + x+ 1

2.

Sea f una funcion cuya grafica se ilustra. Indique en que puntos de la recta real,f es discontinua y justifique su respuesta. Diga en cada caso si la discontinuidades removible o esencial.

3. Para cada una de las siguientes funciones, determine si la funcion dadaes continua o discontinua en el punto a, justificando cada respuesta. Si la

123


discontinuidad es removible, redefina la funcion en a de manera que la funcionresulte continua en ese punto.

a) f(x) =1−√cosx

x2, a = 0.

b) f(x) =√x− 1

x2 + x− 2, a = 1.

c) f(x) =

{log2 x, si 0 < x ≤ 2,cos(πx), si 2 < x ≤ 4.

, a = 2.

d) f(x) =

1− cosx

x2, si x 6= 0,

1, si x = 0., a = 0.

e) f(x) =1− cosxx senx

, a = 0.

f ) f(x) =x−

[[2x− 1

]]x− 3

, a = 2.


a) Dibuje la grafica de la funcion dada.

b) Determine en que puntos la funcion dada es discontinua e indique quetipo de discontinuidad tiene en cada uno de esos puntos.

i) f(x) =

|x+ 3|, si −5 ≤ x < 0,[[3x− 1

]], si 0 ≤ x < 1,

x2 − 6x+ 6, si 1 < x ≤ 5,x2 − 8x+ 15

x− 5, si 5 < x.

ii) f(x) =

1x+ 4

, si x < −3, x 6= −4,√

9− x2, si −3 ≤ x < 0,[[2x+ 3

]], si 0 < x < 1,

2, si x = 1,x2 − 4x+ 8, si 1 < x ≤ 4.

5. Dibuje la grafica de una funcion f que satisfaga todas las condiciones dadas acontinuacion:

124


a) f es continua sobre cada uno de los intervalos (−∞,−2), [−2, 1] y(1,+∞).

b) lımx→−∞

f(x) = 3, lımx→−2−

f(x) = +∞, lımx→−2+

f(x) = 1, f(0) = 4,

lımx→1−

f(x) = 2, lımx→1+

f(x) = 6, lımx→+∞

f(x) = −1.

6. Dibuje la grafica de una funcion f que satisfaga todas las condiciones dadas acontinuacion:

a) f es continua sobre cada uno de los intervalos (−∞,−1), [−1, 2), [2, 4],(4,+∞).

b) lımx→−∞

f(x) = 1, lımx→−1−

f(x) = −∞, lımx→−1+

f(x) = 3, f(0) = 0,

lımx→2−

f(x) = 1, lımx→2+

f(x) = 3, f(3) = −1. lımx→4−

f(x) = 2,

lımx→4+

f(x) = +∞, lımx→+∞

f(x) = −2


a) Halle el dominio de f .

b) Determine los numeros en donde f es discontinua e indique en cada casoel tipo de discontinuidad.

c) Determine las asıntotas verticales de la grafica de la funcion f , si existen.

d) Determine las asıntotas horizontales u oblicuas de la grafica de la funcionf , si existen.

e) Utilizando la informacion dada por los lımites y la continuidad, intenteun bosquejo de la grafica de la funcion f .

i) f(x) =x2 − 2x− 3x2 − 5x+ 6

ii) f(x) =x2 − 4x+ 3x2 − 3x+ 2

iii) f(x) =x+ 1

x2 − x− 2

iv) f(x) =x2 − 2x− 8x2 + x− 2

v) f(x) =x3 + x2 − 14x− 24

x2 + x− 2

125


vi) f(x) =x3 − 2x2 − x+ 2x2 − 3x+ 2

vii) f(x) =x−√

2x− 1x3 − 7x+ 6

viii) f(x) =x−

[[2x− 1

]]x− 2

ix) f(x) =1

(lnx)2 − 1

x) f(x) =x arctanxx− 1

xi) f(x) =

x

x− 1, si x < 1,

x3 − 11x2 + 38x− 40x− 5

, si x ≥ 1, con x 6= 5.

xii) f(x) =x− 1

x2 − 5x+ 6

8. Sea f(x) =

x2 + x− 2√

x− 1, si 0 ≤ x < 1

a2x2 − 7ax+ 18 , si 1 ≤ x

a) Escriba las condiciones que debe cumplir la funcion f para que seacontinua en x = 1

b) Calcule lımx→1−

f(x) y lımx→1+

f(x)

c) Halle los valores de la constante a tales que la funcion f dada sea continuaen x = 1

9. Sea f(x) =

x2 − 7x+ 12√

x− 2, si 0 ≤ x < 4

x2 − 2ax+ a2 , si 4 ≤ x

a) Escriba las condiciones que debe cumplir la funcion f que sea continuaen x = 4

b) Calcule lımx→4−

f(x) y lımx→4+

f(x)

c) Halle los valores de la constante a, tales que la funcion f dada sea continuaen x = 4

126


10. Determine los valores de la constante a, tales que la funcion f sea continua en2 y despues dibuje la grafica de f si:

f(x) =

{ax+ 1, si x < 2,a2 − x2 + x, si 2 ≤ x.

11. Determine los valores de la constante a, tales que la funcion

f(x) =

x3 + x2 − 2x− 1

, si x < 1

x2 − 3ax+ a2 , si 1 ≤ xSea continua en x = 1

12. Para cada una de las siguientes funciones determine los valores de lasconstantes a y b tales que la funcion f sea continua en el conjunto de todoslos numeros reales.

a) f(x) =

ax+ 2, si x < 1,x2 + 2ax+ b, si 1 ≤ x ≤ 4,3ax− b, si 4 < x.

b) f(x) =

x2 + x− 2x− 1

, si x < 1,

ax+ b, si 1 ≤ x < 2,3x− 2, si 2 ≤ x.

13. ¿Existira un valor de b para el cual, la funcion

f(x) =

x+ b, si x ≤ 0,1− cosx

x2, si 0 < x.

sea continua en el numero a = 0?

14. ¿Existira un valor de b para el cual, la funcion

f(x) =

x2 − 4x+ 3

x− 1, si x < 1,

2bx+ b2, si 1 ≤ x.

sea continua en el numero a = 1?

127


15.

Considere la funcion f , cuya grafica se ilustra.

a) Escriba una funcion que corresponda a la grafica que se ilustra.

b) Escriba la ecuacion de cada asıntota vertical y cada asıntota horizontalde la grafica de f .

c) Indique todas las discontinuidades de la funcion f y establezca en cadacaso si la discontinuidad es removible o esencial

d) Explique si f es continua o no en el intervalo dado.

i) (−∞,−3)ii) (−∞,−3]

iii) (−3,−2)iv) [−3,−2)v) [−3,−2]

vi) (−2, 0)vii) [−2, 0]

viii) (−2, 1)ix) [1, 2]x) (2, 4]

xi) [2, 4]xii) [5, 6]xiii) [4,+∞)xiv) (4,+∞)

e) Determine si se puede aplicar o no el teorema del valor intermedio a lafuncion f en el intervalo indicado. Justifique cada respuesta.

i) [−3,−2]ii) [−2, 0]

128


iii) [0, 1]iv) [1, 2]v) [2, 3]

16. Utilice el teorema del valor intermedio para comprobar que el polinomio

P (x) = x3 − x2 + x− 2

tiene un cero real en el intervalo abierto (1, 2).

17. Utilice el teorema del valor intermedio para comprobar que la funcion

f(x) =x2 + 3x− 4

x+ 1

tiene un cero real en el intervalo abierto (0, 2).

18. Sea f(x) =x3 − x− 4x− 2

.

a) Vefifique que f satisface la hipotesis del teorema del valor intermediosobre el intervalo cerrado [0, 1].

b) Utilice el teorema del valor intermedio para comprobar que existe unc ∈ (0, 1) tal que f(c) = 3.

19. Sea f(x) =2 + sen(x)1 + cos(x)

a) Verifique que f satisface la hipotesis del teorema del valor intermediosobre el intervalo cerrado [0, π/2].

b) Utilice el teorema del valor intermedio para comprobar que existe un valorc ∈

(0, π2

)tal que f(c) = 2.

20. Sea f(x) = 2x+ cos(x)− 2

a) Verifique que f satisface la hipotesis del teorema del valor intermediosobre el intervalo cerrado

[0, π2

].

b) Utilice el teorema del valor intermedio para comprobar que existe un valorc ∈

(0, π2

)tal que f(c) = 0. (no hay que hallar el valor de c).

21. Sea f(x) = 4 ln(x)− x− 1

129


a) Verifique que f satisface la hipotesis del teorema del valor intermediosobre el intervalo cerrado [1, e].

b) Utilice el teorema del valor intermedio para comprobar que existe un valorc ∈ (1, e) tal que f(c) = 0. (no hay que hallar el valor de c).

22. En cada uno de los siguientes ejercicios, utilice el teorema del valor intermedio,para comprobar que la funcion dada tiene un cero real en el intervalo dado.

i) f(x) = 3 ln(x)− x, en el intervalo (1, e).

ii) f(x) =x2 + 1

2arctanx− x

2, en el intervalo (−1, 1).

iii) f(x) = x+ senx− 1, en el intervalo(0, π2

).

iv) f(x) = arc sen(2x− 1) +√

4x− 1, en el intervalo(

14 ,

12

).

v f(x) =x3 + x− 4x+ 1

en el intervalo (1, 2)

130


8 Derivadas8.1 Taller A8.2 Taller B. Teorema de Rolle y Teorema del Valor Intermedio8.3 Taller C8.4 Taller D.8.5 Taller E Funciones Hiperbolicas y sus funciones inversas

8.1. Taller A

1. Obtenga una ecuacion de la recta tangente a la grafica de:f(x) = 4− x2 que sea paralela a la recta 2x+ y − 5 = 0. Ilustre graficamente.

2. Obtenga una ecuacion de la recta tangente a la grafica de:f(x) =

√x− 1 que sea perpendicular a la recta 2x + y + 1 = 0. Ilustre

graficamente.

3. Halle los valores de a pertenecientes al intervalo abierto(π2 ,

3π2

)tales que la

recta tangente a la grafica de f(x) = senx en el punto (a, f(a)) sea paralela ala recta x+ 2y + 2 = 0. Ilustre graficamente.

4. En cada uno de los siguientes ejercicios, halle la ecuacion de la recta tangentey de la recta normal a la grafica de la funcion dada, en el punto indicado:

a) f(x) = x2 + 3 en el punto (1, 4). Ilustre graficamente.

b) f(x) =√x− 2 + 1 en el punto (3, 2). Ilustre graficamente.

5. Halle el punto sobre la grafica de f(x) = x2 − 2x + 3 donde la recta normalsea paralela a la recta x+ 4y = 4. Ilustre graficamente.

6. Sea

f(x) =

{√x+ 2, si 0 ≤ x ≤ 1,

ax+ b, si 1 < x.

a) ¿Que condiciones debe cumplir f para que sea continua en x = 1?.

131


b) Suponiendo que f es continua en x = 1, utilice la definicion de derivadaslaterales para calcular f ′−(1) y f ′+(1).

c) Determine los valores de a y b tales que la funcion dada sea continua yderivable en x = 1, y despues trace la grafica de la funcion f .

7. Sea

f(x) =

2√x+ 3

, si −3 < x ≤ 1,

ax+ b, si 1 < x.

Siguiendo un procedimiento analogo al del ejercicio 6, determine los valores delas constantes a y b tales que la funcion f dada sea continua y derivable en elpunto x = 1.

8. Sea

f(x) =

1√x− 1

+ 3 , si 1 < x ≤ 2

x2 + ax+ b , si 2 < x

a) ¿Que condiciones debe cumplir f para que sea continua en x = 2?b) Suponiendo que f es continua en x = 2, utilice la definicion de derivadas

laterales para calcular f ′−(2) y f ′+(2)c) Determine los valores de a y b tales que la funcion dada sea continua y

derivables en x = 2.

9. Sea

f(x) ={a√x+ b , si 0 < x < 1

x2 + 3x− 2 , si 1 ≤ x

a) ¿Que condiciones debe cumplir f para que sea continua en x = 1?b) Suponiendo que f es continua en x = 1, utilice la definicion de derivadas

laterales para calcular f ′−(1) y f ′+(1).c) Determine los valores de ay b tales que la funcion dada sea continua y

derivables en x = 1.

10. Sea

f(x) =

√

1− x+ 2, si x ≤ 0,x2 − 2x+ 3, si 0 < x < 3,√x− 3 + 1, si 3 ≤ x.

132


a) Verifique que f es continua en x = 0.

b) Utilizando la definicion calcule f ′−(0) y f ′+(0) y determine si f ′(0) existeo no existe.

c) Calcule lımx→3−

f(x) y lımx→3+

f(x), y determine si f es continua o no en x = 3.

d) Detemine por que f no es derivable en x = 3.

e) Calcule f ′(x) en donde exista.

f ) Trace la grafica de f .

11. Sea

f(x) =

{x2 + 1, si x ≤ 1x2 + 2, si 1 < x

a) Calcule si existe f ′(1).

b) Trace la grafica de f .

c) Calcule f ′(x) en donde exista.

12. Haciendo todo el procedimiento, verifique que::

a) Dx

[2√x+

13x3

]=x

7/2 − 1x4

b) Dx

[√x(x2 − 20

)]=

5 (x− 2) (x+ 2)2√x

c) Dx

[(10− 2

x

)(3 +

1x

)]=

4 (1− x)x3

d) Dx

[x

1/3 (x− 4)]

=4 (x− 1)

3x2/3

e) Dx

[3√

6x2 − x3]

=4− x

x1/3 (6− x)

2/3

f ) Dx

[x3 + 3x−1

]=

(x− 1) (x+ 1)(x2 + 1

)x2

g) Dx

[x2 − 2x− 3

(x− 1)2

]=

8(x− 1)3

h) Dx

[4 (x− 1)

3x2/3

]=

4 (x+ 2)

9x5/3

133


i) Dx

[4− x

x1/3 (6− x)

2/3

]=

−8

x4/3 (6− x)

5/3

j ) Dx

[x

2/3 (5− x)

]= 5/3

(2− xx

1/3

)k) Dx

[53

(2− xx

1/3

)]=−10

9

(1 + x

x4/3

)l) Dx

[3x− 6√x2 + 1

]=

3 (2x+ 1)

(x2 + 1)3/2

m) Dx

[1

3√

6x2 − x3

]=

x− 4

x5/3 (6− x)

4/3

n) Dx

[(cos(x)

1− sen(x)

)2]

=2 cos(x)

(1− sen(x))2

n) Dx

[ln(x+

√x2 + 1

)]=

1√x2 + 1

o) Dx

[12

ln(

1 + x

1− x

)]=

11− x2

p) Dx

[arc sen

(x√

1 + x2

)]=

11 + x2

q) Dx

[arctan

(1 + x

1− x

)]=

11 + x2

r) Dx

[4 arc sen

(x2

)+ x√

4− x2]

= 2√

4− x2

s) Dx

[(arctan

(1x

))2]

=−2 arctan

(1x

)1 + x2

t) Dx

[x arc sen

(x2

)+√

4− x2]

= arc sen(x

2

)13. En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule y simplifique la derivada de la

funcion dada.

i) f(x) =ln(x)x2

ii) f(x) = arctan(

1x

)+ ln

(1 + x2

)134


iii) f(x) =(

sen(x)1 + cos(x)

)2

iv) f(x) = xesen(2x)

v) f(x) =1(

1 + ecos(3x))2

vi) f(x) =√

1 + (lnx)2

vii) f(x) = x3 (lnx)2

viii) f(x) =√

1 + sen2 (3x)

ix) f(x) =

√2 + (lnx)2

x

x) f(x) = x (arctan (lnx))2

xi) f(x) = 3

√2x− 1x+ 2

xii) f(x) =x

(lnx)2

xiii) f(x) =√

1 + esen(2x)

xiv) f(x) =1

(sec(x) + tan(x))2

xv) f(x) =1

(csc(x) + cot(x))3

xvi) f(x) = sec(√

2x− 1)

xvii) f(x) = tan(

3√

5− 6x)

xviii) f(x) = 4x3 − x2 cot3(

1x

)xix) f(x) = x csc

(1x

)xx) f(x) = arc cos

(1x

)xxi) f(x) = arc sen (1− x) +

√2x− x2

xxii) f(x) =

(1 + x2

)arctan(x)− x

2

135


xxiii) f(x) = e1/x +

1ex

xxiv) f(x) = e√x +√ex

xxv) f(x) = ln (arc sen(x))

xxvi) f(x) = x2 log2

(e3x − 5x

)xxvii) f(x) = 5sen(2x)

xxviii) f(x) = log1/2

∣∣x2 − 2x− 3∣∣

xxix) f(x) =x arc sen(x)√

1− x2+ ln

(√1− x2

)xxx) f(x) = esen

2(3x)

xxxi) f(x) =(

13

)ln(x)

xxxii) f(x) = x2 csc(5x)

xxxiii) f(x) = 3√

2x−1

xxxiv) f(x) =−4

(2x2 + x+ 1)3

xxxv) f(x) = x2 tan3

(1x

)xxxvi) f(x) = x sec

(1x

)xxxvii) f(x) =

2 cos(x)√2 + sen(x)

xxxviii) f(x) =ln (1 + sen(x))

cos(x)

xxxix) f(x) = tan2(x) sec3(x)

xl) f(x) =(

2x− 1x+ 2

)1/3

xli) f(x) = 5cos2(3x)

xlii) f(x) = arctan(

1− x2

)xliii) f(x) = x sec3 (2x− 1)

xliv) f(x) = ecos2(5x)

136


xlv) f(x) = arctan(x

2

)xlvi) f(x) = tan3 (2x− 1)

xlvii) f(x) = xex/2

xlviii) f(x) =(

2x+ 13x− 1

)4

xlix) f(x) =1

x3 − x

l) f(x) =4x

1 + x2+ 1

li) f(x) =4x− 3x+ 1

lii) f(x) = e√

1+sen(2x)

liii) f(x) = e2x sen(x)

liv) f(x) = ln(

1 + esen(x))

lv) f(x) = log10

(x2 − 2x− 3

)lvi) f(x) = 3arc sen(x/2)

lvii) f(x) = sec3 (2x− 1)

lviii)f(x) = e−x arctan(x2)

lvix) f(x) = sen2[cos3

(4x5)]

lx) f(x) = x arc sen2 (3x)

lxi) f(x) =(4− x2

)3/2 + 9 arc sen(x

2

)lxii) f(x) = 2 arc sen (3x) +

12e−3x2

+ 3sen(x2)

14. Calcule y simplifique cada una de las siguientes derivadas:

a) Dx

[ senx1 + cosx

]b) Dx

[ cosx1− senx

]c) Dx

[arctan

(1x

)]d) Dx

[x4/3 − 4x1/3

]137


e) Dx

[(2x+ 13x− 1

)4]f ) Dx

[arc sen

(x− 12

)]g) Dx

[arc sen(x/2)√4− x2

]h) Dx

[arctan(x/2)4 + x2

]15. Calcule cada una de las siguientes derivadas:

a) Dx

[ x

1 + x2

]b) Dx

[x2/3(5− x)

]c) Dx

[x1/3(4− x)

]d) Dx

[3√

6x2 − x3]

e) Dx

[ecos(3x)

]f ) Dx

[esen

2(5x)]

g) Dx

[arctan(lnx)

]

h) Dx

[√1 + x2

]i) Dx

[√1 + sen(4x)

]j ) Dx

[ 1(1 + cos(2x))3

]k) Dx

[x(lnx)2

]l) Dx

[(lnx)2

x

]m) Dx

[x(arctanx)2

]16. Halle la ecuacion de la recta tangente a la grafica de:

f(x) = lnx que sea perpendicular a la recta y+2x+4 = 0. Ilustre graficamente.

17. Halle todos los puntos (a, f(a)) de la grafica de:f(x) = x+ 2 senx donde la recta tangente sea paralela al eje x.

18. Halle los valores de a pertenecientes al intervalo abierto (π, 2π) tales que larecta tangente a la grafica de f(x) = cosx en el punto (a, f(a)) sea paralela ala recta en x− 2y + 2 = 0.

19. Para cada uno de los siguientes ejercicios, halle todos los puntos (a, f(a)) de lagrafica de la funcion f dada, donde la recta tangente a esa grafica en el punto(a, f(a)) sea paralela a la recta dada:

a) f(x) = x2; y = 2x− 4

b) f(x) = x2 − 2x+ 4; y − 2x = 1

138


c) f(x) = arc senx; 2x−√

3y − 4 = 0

d) f(x) = arctanx; x− 2y + 4 = 0

e) f(x) = arctan(1x

); x+ 2y = 4

f ) f(x) = arctan(1 + x

1− x

); y − x = 1

g) f(x) = 2x lnx; 2x− y − 2 = 0

h) f(x) = x[(lnx)2 − 2 lnx+ 2]; y − x+ 2 = 0

20. Encuentre el punto de la curva y =1x

tal que la recta tangente a esa curva en

dicho punto corta al eje x en el punto (6, 0).

21. Una mosca camina de izquierda a la derecha a lo largo de un caminorepresentado por la parte superior de la curva y = 9 − x2. Una arana esperaen el punto (5, 0). Encuentre el punto sobre la grafica de y = 9− x2, donde laarana y la mosca se ven por primera vez. Ilustre graficamente.

22. Halle la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) =lnxx

en el punto(e2, 2

e2

).

23.

Considere la grafica de la funcion

f(x) =1x

con x > 0, tal como seilustra.

a) Halle la ecuacion de la rectatangente a la grafica de f enel punto (a, 1

a).

b) Halle la distancia del punto Aal punto B en funcion de a.

24. Halle todos los valores de a pertenecientes al intervalo abierto (0, π) tales quela recta tangente a la grafica de f(x) = cosx en el punto (a, f(a)) sea paralelaa la recta x− 2y + 2 = 0. Ilustre graficamente.

139


25. Halle el punto (a, f(a)) de la grafica de la funcion f(x) =lnxx

donde la rectatangente a esa grafica en dicho punto pase por el origen.

26. Halle el punto (a, f (a)) de la grafica de la funcion f(x) = ln(x), donde la rectatangente a esa grafica en el punto (a, f (a)) pase por el punto (0, 1).

27. Halle todos los puntos (a, f (a)) de la grafica de la funcion f(x) = x2− 4x+ 7,donde la recta tangente a esa grafica en el punto (a, f (a)) pase por el punto(0, 1). Ilustre graficamente.

28. Halle el punto (a, f (a)) de la grafica de la funcion f(x) = x2 − 2x+ 4, dondela recta tangente a esa grafica en dicho punto sea perpendicular a la rectax+ 4y − 2 = 0. Ilustre graficamente.

29. Calculedy

dxpara:

a) y =1

(x2 + 2x)3

b) y =√x+ sen2(2x)

30. Para cada una de las siguientes funciones

A) Para cada una de las siguientes funciones, calcule f ′, f ′′, y f ′′′ cuando:

a) f(x) =1

1− xb) f(x) = cos2(6x)

c) f(x) =1 + x

1− xd) f(x) = e−x

2

e) f(x) =1

x2 + 1f ) f(x) = xex

g) f(x) =x

1 + x2

h) f(x) =lnxx

i) f(x) =x

4+

1x

j ) f(x) = arc sen(x)k) f(x) =

√x

l) f(x) = arctan(

1x

)m) f(x) = 5x2/3 − x5/3

n) f(x) = sen(3x)

B) Para cada una de las siguientes funciones, calcule y′, y′′, y y′′′ cuando:

140


a) y =1 + x√x

b) y = e2x cos(x)

c) y =sen(x)

1 + cos(x)d) y = (lnx)2

e) y =cos(x)

1− sen(x)f ) y = x(lnx)2

g) y = tan(x)

h) y = ln (x+√x2 + 1)

i) y = lnx

j ) y =12

(ln 1 + x1− x)

k) y = ex sen(x)

l) y = arc sen(

x√1 + x2

)m) y = ex(sen (x))2

n) y = (arctan(

1x

))2

31. Halle la ecuacion de la recta tangente y de la recta normal a la curva:

a) y =√

1 + cosx en el punto (π2 , 1).

b) y =x+ 2√

3 + cos2 xen el punto (0,1).

32. Suponiendo que la ecuacion dada define implıcitamente a y como una funcionde x, calcule y′:

a) xey + ln y − x2 = 1

b) 3x2y − 3y = x3 − 1

c) arc cos(yx

)= arctan

(yx

)d) ln(x2y) + 3y2 = 2x2 − x− 1

e) ln(xy2)− x+ y = 2

f ) ln(xy + 3) + 3x2 + y = 1

33. Suponiendo que la ecuacion ln(x2y)− 3x2 + 4y = 1 define a y implıcitamentecomo funcion de x, calcule y′, y encuentre la ecuacion de la recta tangente ala curva dada en el punto (−1, 1).

34. Utilizando diferenciacion implıcita en cada uno de los siguientes ejercicios,halle la ecuacion de la recta tangente a la grafica de la curva dada en el puntoindicado:

a) ln(xy2) + x2 = y + 2, en el punto (1,−1).

b) exy + x2 = 4− 3y2, en el punto (0, 1).

c) 2xy2 − 3y = x3 + 1, en el punto (1, 2).

d) xey + ln y − x2 = 0, en el punto (0, 1).

e) sen(xy) = x cos y, en el punto (1, π4 ).

141


f ) cos(xy2) = 1 + sen y, en el punto (1, 0).

g) arctan y = xy2 − x2 +π

4, en el punto (1, 1).

h) exy + x2 − y2 = 0, en el punto (0, 1).

i) ln(xy2 − 3) + 3x2 + 2y = −1, en el punto (1,−2).

j ) xey + ln(1 + y)− 2y = x3 − 6, en el punto (2, 0).

k) x2ey + ln(y) + y2 = x+ 1, en el punto (0, 1).

35. Suponiendo que la ecuacion dada define a y implıcitamente como funcion dex, calcule y′, y encuentre la ecuacion de la recta tangente y la ecuacion de larecta normal a la curva dada en el punto indicado:

a) y + sen(xy2) = y cosx+ 2, en el punto (π, 1).

b) cos(x+ y) = x+12

, en el punto (0, π3 ).

c) x cos(xy) + x2y = sen y + y − x, en el punto (1, π).

d) ln(xy2)− x2 = y, en el punto (1,−1).

e) exy + x2 = 4− 3y2, en el punto (0, 1).

f ) xy2 − 3y = 2x3 − 4, en el punto (1, 2).

g) y + sen(xy2) = y cosx+ 2, en el punto (π, 1).

h) arc sen y +√

3 + 2xy = 2x+π

6, en el punto (1, 1

2).

i) ye(x2+x−2) + x arctan

(y2

)= 2x2 +

π

4x, en el punto (1, 2).

j ) 3y2 + sen(xy) = y cosx+ x2 + 2, en el punto (0, 1).

36. Verifique que las hiperbolas xy = 2, y, x2 − y2 = 3 se intersectan en angulorecto.

Sugerencia: Suponga que el punto (a, b) es un punto de interseccionde las dos hiperbolas; y utilice derivacion implicita para comprobar que lasrectas tangentes a las dos curvas en el punto (a, b) son perpendiculares

37. Dos rectas que pasan por el punto (−2, 8/5), son tangentes a la curvax2 + 5y2 − 10x − 30y = −49. Encuentre una ecuacion de cada una de esasrectas tangentes.

142


38. La curva x2 − xy + y2 = 16 es una elipse con centro en el origen y eje mayoren la recta y = x. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los dospuntos donde la elipse intersecta al eje x.

39.

¿Que tan alto debe estar elfoco en la figura dada si elpunto (0, 2) esta justo en elborde de la region iluminada?

40. Suponga que la ecuacion x2 +xy+ y2 = 1 define implıcitamente a y como unafuncion de x, dos veces derivable. Calcule y′ y y′′.

41. Suponga que la ecuacion x2y − y2 = 6x − 9 define implıcitamente a y comouna funcion de x, dos veces derivable. Calcule y′ y y′′ en el punto (2, 1).

42. Suponga que la ecuacion 2x2y − 4y3 = 4 define implıcitamente a y como unafuncion de x, dos veces derivable. Encuentre y′′ en (2, 1).

43. Utilizando derivacion logarıtmica, calcule:

a) Dx

[(cosx)1/x

2]

b) Dx

[(1 + x2)x

]c) Dx

[xsenx

]d) Dx

[(1 + x2)1/x

]e) Dx

[(senx)1/x

3]

44. Sea f una funcion cuya grafica, su formula de correspondencia y su derivadase dan a continuacion

143


f(x) =

(x+ 6)3 + 1, si x < −4x+ 7, si −4 ≤ x < −2x2 + 1, si −2 ≤ x < 1−2x+ 5, si 1 ≤ x < 33√

6x2 − x3, si 3 ≤ x < 7(x− 8)2 + 1, si 7 ≤ x ≤ 92x− 16, si 9 < x

f ′(x) =

3(x+ 6)2, si x < −41, si −4 < x < −22x, si −2 < x < 1−2, si 1 < x < 3

4− xx1/3(6− x)2/3

, si 3 < x < 7 x 6= 6

2(x− 8), si 7 < x ≤ 92, si 9 < x

144


a) Determine en que puntos c del dominio de f , la funcion dada tieneextremos relativos e indique que sucede con la derivada de f en cadauno de esos puntos c

b) Determine todos los puntos crıticos de la funcion dada

45. Para cada de las siguientes funciones:

a) Halle el dominio de la funcion dada.

b) Encuentre todos los puntos crıticos de la funcion dada:

i) f(x) = x3 − 3x+ 2

ii) f(x) =x

1 + x2

iii) f(x) = 3√

6x2 − x3

iv) f(x) = x5/3 − 5x2/3

v) f(x) = ln(x2 − x− 2)

vi) f(x) = arctan(

1 + x

1− x

)vii) f(x) = e(x

3−3x2+2)

viii) f(x) = x(lnx)2

145


8.2 Taller B. Teorema de Rolle y Teorema del Valor Intermedio

1. Sea f(x) = x4/3 − 3x1/3. Verifique que las tres condiciones de la hipotesis delteorema de Rolle son satisfechas por la funcion dada en el intervalo cerrado[0, 3], y halle un valor c ∈ (0, 3) que satisfaga la conclusion del Teorema deRolle.

2. Sea f(x) = e(x2+x−2). Verifique que las tres condiciones de la hipotesis del

Teorema de Rolle son satisfechas por la funcion dada en el intervalo cerrado[−2, 1], y halle un valor c ∈ (−2, 1) que satisfaga la conclusion del Teorema deRolle.

3. Dos corredores inician una carrera al mismo tiempo y terminan empatados.Pruebe que en algun instante durante la carrera corrıan a la misma velocidad.

Sugerencia: considere f(t) = g(t) − h(t) en donde g y h son las funcionesposicion de los dos corredores.

4. Sea f(x) = 1− x23 .

a) Verifique que f(−1) = f(1), pero que f ′(c) 6= 0 para todo c en el intervaloabierto (−1,1) en donde f es derivable.

b) Explique por que razon no se puede aplicar el Teorema de Rolle a lafuncion f dada, sobre el intervalo cerrado [−1, 1].

5. Sea f(x) = |2x − 1|. Verifique que f(0) = f(1), pero que f ′(c) 6= 0 para todonumero c en el intervalo abierto (0, 1) en donde f es derivable. ¿Por que estono contradice el teorema de Rolle?

6. Para cada uno de los siguientes ejercicios, verifique que las tres condicionesde la hipotesis del Teorema de Rolle son satisfechas por la funcion f en elintervalo cerrado [a, b] indicado y encuentre todos los numeros c en (a, b) quesatisfaga la conclusion del Teorema de Rolle, es decir, f ′(c) = 0.

a) f(x) = x3 − 3x2 + 5, en el intervalo cerrado [−1, 2].

b) f(x) = 4x3 + x2 − 4x− 1, en el intervalo cerrado [−1, 1].

c) f(x) = x3 − 9x+ 1, en el intervalo cerrado [−3, 3].

d) f(x) = 3√x2 − 5x+ 6, en el intervalo cerrado [2, 3].

e) f(x) = sen2 x, en el intervalo cerrado [0, π].

f ) f(x) =√

1 + sen(2x), en el intervalo cerrado [0, π2 ].

146


7. Utilice el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle para probar quela ecuacion:x2 = x senx+ cosx tiene exactamente dos soluciones reales.

Sugerencia: Haga f(x) = x2− x senx− cosx, y utilice primero el Teorema delvalor Intermedio sobre los intervalos cerrados [−π, 0] y [0, π].

8. Utilice el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle para demostrarque la ecuacion:x5 +x3 +2x−3 = 0 tiene exactamente una raız que se encuentra en el intervaloabierto (0, 1).

9. Sea f(x) = x −√

2x− 1. Verifique que las dos condiciones de la hipotesisdel Teorema del valor intermedio son satisfechas por la funcion f dada enel intervalo cerrado [1, 5], y halle un valor c ∈ (1, 5) que satisfaga laconclusion del Teorema del valor intermedio.

10. Para cada uno de los siguientes ejercicios:

I Determine si las dos condiciones de la hipotesis del Teorema del valorintermedio son satisfechas o no por la funcion f dada sobre el intervalocerrado [a, b] indicado.

II Si las dos condiciones de la hipotesis del Teorema del valor intermedio sonsatisfechas por la funcion f sobre el intervalo cerrado [a, b], halle todoslos numeros c en (a, b) que satisfagan la conclusion del Teorema del ValorMedio, es decir, halle todos los numeros c en (a, b) para los cualesf(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).

a) f(x) = 4 +√

2x− 1, en el intervalo cerrado [1, 5].

b) f(x) = x3 − 2x2 + x+ 3, en el intervalo cerrado [−1, 1].

c) f(x) = |x− 3|, en el intervalo cerrado [0, 4].

d) f(x) = 1− x23 , en el intervalo cerrado [−1, 1].

e) f(x) = 1− 3x13 , en el intervalo cerrado [−1, 8].

f ) f(x) = x− 3x13 , en el intervalo cerrado [0, 1].

g) f(x) = θx2 + βx + Υ, en el intervalo cerrado [a, b], en donde θ, β y Υson constantes con θ 6= 0.

h) f(x) = x+ 2 cosx, en el intervalo cerrado [0, 2π].

i) f(x) = arc senx, en el intervalo cerrado [0, 1].

147


j ) f(x) = arctanx, en el intervalo cerrado [0, 1].

k) f(x) = lnx, en el intervalo cerrado [1, e].

l) f(x) = x(lnx)2, en el intervalo cerrado [1e , e].

m) f(x) =

{x2, si x ≤ 1,x2 + 8, si 1 < x.

, en el intervalo cerrado [0, 2].

n) f(x) =

{x2, si x ≤ 1,2 lnx+ 1, si 1 < x.

, en el intervalo cerrado [0, e].

n) f(x) =

{x2, si x ≤ 1,5 lnx+ 1, si 1 < x.

, en el intervalo cerrado [0, e].

11. Emplee el Teorema del valor intermedio para demostrar que:ex − 1 ≤ xex para todo numero real x.

Sugerencia: Sea f(t) = tet−et+1, y aplique el Teorema del valor intermedio ala funcion f sobre cada intervalo cerrado de la forma [0, x] para x > 0, y [x, 0]para x < 0.

8.3 Taller C

1. Dadas las funciones f , g, h, F y G, cuyas graficas se ilustran, responder lasiguiente pregunta: ¿Que hipotesis del criterio de la primera derivada cumplela funcion dada sobre el intervalo [a, b]?. Ademas establezca cuales de ellasalcanza un valor maximo relativo o un valor mınimo relativo en c, explicandoen cada caso si se puede aplicar o no el criterio de la primera derivada paraextremos relativos.

148


2. Sea f(x) ={x2 − 2x+ 2 , si x < 1x2 − 2x+ 3 , si 1 ≤ x


b) Verifique que c = 1 es un punto crıtico de f .

c) Verifique si se puede aplicar o no el criterio de la primera derivada a lafuncion f , para determinar si f tiene un extremo relativo en el puntocrıtico c = 1. Justifique claramente la respuesta.


a) Halle el dominio de la funcion dada

b) Encuentre todos los puntos crıticos de la funcion dada

c) Utilice, si se puede, el criterio de la primera derivada para determinaren cuales de esos puntos crıticos la funcion alcanza una valor maximorelativo o un valor mınimo relativo

149


d) Utilice, si se puede, el criterio de la segunda derivada para determinar encuales de esos puntos crıticos la funcion alcanza un valor maximo relativoo un valor mınimo realtivo

i) f(x) = 3x5 − 20x3

ii) f(x) = 6x2 − x3

iii) f(x) =x√

36− x2

2

iv) f(x) = h2 − h3

3

v) f(x) =x2

x− 1

vi) f(x) =√x2 − 2x+ 4 +

x

2vii) f(x) = 12x− x3

vii) f(x) =x4

4− x3

ix) f(x) = x4/3 − 4x1/3

x) f(x) =1x

+x

2xi) f(x) = x3 − 3x2 + 4

xii) f(x) = x3 +3x

xiii) f(x) = x2 + 16x−1

xiv) f(x) = x2√

4− x2

xv) f(x) =x

2− senx

xvi) f(x) = xex/2

xvii) f(x) =lnxx

xviii) f(x) = x(lnx)2

xix) f(x) = x1/3(6− x)2/3

xx) f(x) =1 + 2 lnx

x

xxi) f(x) = x−√

2x− 1

150


xxii) f(x) =x3 + 250

x

xxiii) f(x) =x3

x− 2

xxiv) f(x) =4x2 + 39x+ 81

x

4. Sea f una funcion cuya grafica se ilustra

a) De acuerdo con la grafica dada, establezca cuales son los puntos crıticosde f y determine en cuales de esos puntos crıticos la funcion f alcanzaun valor maximo relativo o un valor mınimo relativo.

b) Determine los intervalos en los que f es creciente y en los que f esdecreciente; determine los intervalos en donde la grafica de f es concavahacia arriba y donde es concava hacia abajo. Indique ademas los puntosde inflexion de la grafica de f .

c) ¿A que es igual f ′(x) y f ′′(x) sobre cada uno de los intervalos abiertos(−4,−2) y (1, 3)?.

5. Dibuje la grafica de una funcion f continua sobre el intervalo abierto (0, 6) yque cumpla todas las condiciones que se dan a continuacion:

151


a) f(0) = 2, lımx→0+

f(x) = 4, f(2) = 6, f(3) = 5, f(4) = 4, f(5) = 3, f(6) = 1

y lımx→6−

f(x) = 2

b) f ′(x) > 0 en (0, 2), f ′(x) < 0 en (2, 4) ∪ (4, 5).

c) f ′(2) = f ′(4) = 0, f ′(5) no existe y f ′(x) = −1 en (5, 6).

d) f ′′(x) < 0 en (0, 3) ∪ (4, 5) y f ′′(x) > 0 en (3, 4).

6. Dibuje la grafica de una funcion f que cumpla con todas las condiciones quese dan a continuacion:

a) f es continua sobre los intervalos abiertos (−∞, 1) y (1,+∞).

b) lımx→−∞

f(x) = 0, f(−2) = 2, f(−1) = 4, f(0) = 3, lımx→1−

f(x) = −∞,

lımx→1+

f(x) = 2, f(2) = 1, f(4) = −6, f(5) = −4, lımx→+∞

f(x) = −1.

c) f ′(x) > 0 en (−∞,−1)∪(4,+∞), f ′(x) = −1 en el intervalo abierto (1, 2),f ′(x) < 0 en (−1, 1) ∪ (2, 4), f ′(−1) = 0, f ′(2) no existe y f ′(4) = 0.

d) f ′′(x) > 0 en (−∞,−2) ∪ (2, 5) y f ′′(x) < 0 en(−2, 1) ∪ (5,+∞).


a) La funcion f es continua sobre los intervalos abiertos (−∞, 1) y (1,+∞).

b) lımx→−∞

f(x) = 0, f(−3) = −3, f(−2) = −4, f(0) = 0, lımx→1−

f(x) = +∞,

lımx→1+

f(x) = 5, f(2) = 4, f(4) = 1, f(5) = 2, lımx→+∞

f(x) = 3.

c) f ′(x) < 0 en (−∞,−2) ∪ (2, 4), f ′(x) = −1 en el intervalo abierto (1, 2),f ′(x) > 0 en(−2, 1) ∪ (4,+∞), f ′(−2) = 0, f ′(2) no existe y f ′(4) = 0.

d) f ′′(x) < 0 en (−∞,−3) ∪ (5,+∞), f ′′(x) > 0 en(−3, 1) ∪ (2, 5).


a) f es continua sobre los intervalos abiertos (−∞, 1) y (1,+∞).

152


b) lımx→−∞

f(x) = 1, f(−2) = 4, f(−1) = 5, f(0) = 3, lımx→1−

f(x) = −∞,

lımx→1+

f(x) = 1, f(2) = 3, f(4) = −1, f(6) = 1, lımx→+∞

f(x) = 2.

c) f ′(x) > 0 en (−∞,−1)∪ (4,+∞), f ′(x) = 2 en el intervalo abierto (1, 2),f ′(x) < 0 en(−1, 1) ∪ (2, 4), f ′(−1) = 0, f ′(2) no existe y f ′(4) = 0.

d) f ′′(x) > 0 en (−∞,−2) ∪ (2, 6) y f ′′(x) < 0 en(−2, 1) ∪ (6,+∞).

9. Dibuje la grafica de una funcion f continua sobre los reales y que cumpla contodas las condiciones que se dan a continuacion:

a) f(x) > 0 para todo x ∈ R, f(0) = 2 y lımx→−∞

f(x) = lımx→+∞

f(x) = 2.

b) f ′(x) =(1− x)(1 + x)

(x2 + 1)2, f ′′(x) =

2x(x−√

3)(x+√

3)(x2 + 1)3

10. Dibuje la grafica de cada una de las siguientes funciones, determinando primerolo siguiente: el dominio de la funcion f , el dominio de continuidad de la funcionf , f ′(x) y f ′′(x), los puntos crıticos de f , los extremos relativos de f , los puntosde inflexion de la grafica de f , los intervalos en que f es creciente y en los que fes decreciente, los intervalos en donde la grafica de f es concava hacia arriba ydonde es concava hacia abajo y las asıntotas verticales, horizontales y oblicuasde la grafica de la funcion f , si existen.

i) f(x) = 6x2 − x3

ii) f(x) = x3 − 3x2 + 4

iii) f(x) = x3 + 3x−1

iv) f(x) =x2 + 3x− 1

v) f(x) = x3 − 3x2 + 5

vi) f(x) =x4

4− x3

vii) f(x) = x13 (x− 4)

viii) f(x) = 3√

6x2 − x3

ix) f(x) = 3x5 − 20x3

x) f(x) = x+ 2 senx

xi) f(x) = e(−x)2

xii) f(x) = ln(x2 − x− 2)

xiii) f(x) =lnxx

xiv) f(x) = e−x

xv) f(x) = x2ex

xvi) f(x) = x3 − 3x+ 4

xvii) f(x) = 5x2/3 − x5/3

xviii) f(x) =lnxx2

xix) f(x) = xe(x/2)

xx) f(x) =2 + x2

2x

153


xxi) f(x) = x+ 2 cosx

xxii) f(x) = x(lnx)2

xxiii) f(x) = arctan(1 + x

1− x

)xxiv) f(x) = e1/x

xxv) f(x) =3x− 6√x2 + 1

xxvi) f(x) =x

ex

xxvii) f(x) = ex2−2x

xxviii) f(x) =x3 − 5x2 + 2x+ 8x2 − 7x+ 12

xxix) f(x) = arc sen(1− x)

xxx) f(x) = arctan(1x

)xxxi) f(x) = ln(x3 − 3x+ 2)

xxxii) f(x) = x1/3(6− x)2/3

xxxiii) f(x) =senx

2− cosxen el intervalo

[−π, 3π]

xxxiv f(x) = (x− 1)2/3(6− x)

11. Una rueda con centro en el origen y 10 centımetros de radio gira en sentidocontrario al de las manecillas del reloj, de tal manera que en el instante tsegundos, el angulo θ que se ilustra es igual a 8πt. Un punto P en el bordeesta en (10, 0) cuando t = 0

a) Exprese las coordenadas de P a los t segundos, en funcion de t

b) ¿A cuantos radianes por segundo gira la rueda?

c) ¿A cuantas revoluciones por segundo gira la rueda?

d) ¿Con que rapidez se eleva P (o cae) en el instante t = 1 segundos?

12. Considere el dispositivo rueda-piston (ver figura). La rueda tiene un radio de1 pie y gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj, de tal maneraque en el instante t segundos, el angulo θ que se ilustra es igual a 2t. La varillade conexion tiene 5 pies de longitud. El punto P esta en (1, 0) en el momentot = 0

154


a) Exprese las coordenadas de P a los t segundos, en funcion de t

b) Encuentre la coordenada y del punto Q en el instante t segundos (lacoordenada x del punto Q siempre sera cero)

c) ¿A cuantos radianes por segundo gira la rueda?

d) Encuentre la velocidad de Q en el instante t segundos

e) ¿Con que rapidez se eleva P (o cae) en el momento t = π/6 segundos?

8.4 Taller D

1. Si la funcion de posicion de la partıcula P en una recta coordenada esta dadapor

s(t) = t3 − 12t2 + 36t− 20

donde t se mide en segundos y s(t) en centımetros. Describa el movimientode P durante el intervalo de tiempo [0, 9]. Ademas, trace las graficas de lasfunciones de posicion, velocidad, rapidez y aceleracion sobre el intervalo [0, 9].

2. Suponga que un corredor en una carrera de 100 metros esta a s metros de lalınea de meta t segundos despues del inicio de la carrera, donde s = 100 −14

(t2 + 33t). Determine la rapidez del corredor:

a) Al inicio de la carrera.

b) Cuando el corredor cruza la lınea de meta.

155


3. Suponga que una partıcula se lanza verticalmente hacia arriba y que suposicicion en pies despues de t segundos, con respecto al piso, esta dada pors(t) = −16t2 + 320t+ 80. Vease la figura.

a) ¿Para que valores de t estara la partıcula a mas de 656 pies sobre el piso?

b) ¿Cual es la altura y la velocidad inicial de la partıcula?

c) ¿Cual es la altura maxima que alcanza la partıcula y en que tiempo?

d) ¿Cual es el tiempo en el que la partıcula llega al suelo y la velocidad conque llega?

e) ¿Cual es la aceleracion en el tiempo t?

f ) Trace la grafica de la funcion s.

8.5 Taller E. Funciones Hiperbolicas y sus funciones inversas

Funciones Hiperbolicas El seno hiperbolico, coseno hiperbolico, tangentehiperbolica, cotangente hiperbolica, secante hiperbolica y cosecante hiperbolica sedefinen como:

senh(x) =ex − e−x

2, cosh(x) =

ex + e−x

2, tanh(x) =

senh(x)cosh(x)

coth(x) =cosh(x)senh(x)

, sech(x) =1

cosh(x), csch(x) =

1senh(x)

156


1. Verificar cada una de las siguientes identidades hiperbolicas:

i) cosh2(x)− senh2(x) = 1

ii) tanh2(x) + sech2(x) = 1

iii) coth2(x)− csch2(x) = 1

iv) senh(−x) = − senh(x)

v) cosh(−x) = cosh(x)

vi) tanh(−x) = − tanh(x)

vii) senh(x+ y) = senh(x) cosh(y) + cosh(x) senh(y)

viii) cosh(x+ y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y)

ix) senh(2x) = 2 senh(x) cosh(x)

x) cosh(2x) = cosh2(x) + senh2(x)

xi) cosh(x) + senh(x) = ex

xii) cosh(x)− senh(x) = e−x

2. Verificar que:

i) Dx[senh(x)] = cosh(x)

ii) Dx[cosh(x)] = senh(x)

iii) Dx[tanh(x)] = sech2(x)

iv) Dx[coth(x)] = -csch2(x)

v) Dx[sech(x)] = −sech(x) tanh(x)

vi) Dx[csch(x)] = −csch(x) coth(x)

3. Siguiendo las indicaciones del ejercicio numero 6 del Taller C, trazar la graficade cada una de las funciones hiperbolicas senh(x), cosh(x), tanh(x) y coth(x).

4. a) A partir de la grafica de y = cosh(x) y de y = senh(x), bosquejar lagrafica de y = sech(x) y de y = csch(x).

b) Siguiendo las indicaciones del ejercicio numero 6 del Taller C; trazar lagrafica de sech(x) y de csch(x).

5. Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:

i) f(x) = senh(√x)

ii) f(x) = cosh(3x− 2)

iii) f(x) = ln(tanh(x))

iv) f(x) = coth( 1x)

v) f(x) = sech(ln(x))

vi) f(x) = csch( 1x)

157


vii) f(x) = senh2(x)viii) f(x) = 1

2 ln(tanh(x))ix) f(x) = x2 tanh( 1

x)x) f(x) = cosh(ln(x))

xi) f(x) = coth3(4x)xii) f(x) = ln(senh(3x))xiii) f(x) = ln(coth(x))xiv) f(x) = tanh3(

√x)

xv) f(x) = senh(x2)xvi) f(x) = cosh(x3)

xvii) f(x) = coth(ln(x))

xviii) f(x) = ex cosh(x)

xix) f(x) = e3x senh(x)

xx) f(x) = tanh(√x)

xxi) f(x) = tanh(sen(x))

xxii) f(x) = cosh2(3x− 1)

xxiii) f(x) = senh(cos(x))

xxiv) f(x) =senh(ln(x))

x2

6. Aplicaciones: La catenaria. Si un cable flexible de densidad uniforme cuelgalibremente de dos puntos fijos a la misma altura bajo su propio peso, formauna curva llamada catenaria (ver la figura). Ademas, se puede colocar unacatenaria en un sistema coordenado, de modo que su ecuacion tome la formay = a cosh

(xa

)con a > 0. Algunos cables de puentes colgantes, algunos

suspendidos de postes telefonicos y algunos otros con corriente electrica paralos tranvıas y trolebuses penden en esta forma.

Ejercicio: Confirme analıticamente que el punto mas bajo de la catenariaf(x) = a cosh(xa ) con a > 0 esta en (0,a), y que la funcion f es decrecientecuando x < 0 y creciente cuando x > 0, y que la grafica es concava haciaarriba en todo punto.

7. Utilice lo mas que pueda las indicaciones del ejercicio numero 6 del Taller C,

158


para trazar la grafica de cada una de las siguientes funciones:

i) f(x) = senh(ln(x))

ii) f(x) = ex senh(x)

iii) f(x) = cosh(ln(x))

iv) f(x) = tanh(ln(x2 − 2x− 3))

v) f(x) = senh2(ln(x))

vi) f(x) = sech[ln(x2 − 2x− 3)]

8.

a) Verifique que cada una de las siguientes funciones es uno a uno sobre elconjunto indicado, utilizando para ello, la grafica de la funcion dada yel criterio de la primera derivada para funciones crecientes y funcionesdecrecientes.

i. f(x) = senh(x) sobre Rii. f(x) = cosh(x) sobre [0,+∞)iii. f(x) = tanh(x) sobre Riv. f(x) = coth(x) sobre R− {0}

Comentario: Las inversas de las funciones anteriores se llamanFunciones Hiperbolicas Inversas y se denotan respectivamente porsenh−1, cos−1, tanh−1, coth−1, sech−1, csch−1

b) Bosqueje la grafica de las funciones hiperbolicas inversas haciendo unareflexion de la grafica de cada una de las funciones dadas en el numerala) de este ejercicio sobre la recta y = x. Ademas, indique el Dominio y elRango de la respectiva funcion hiperbolica inversa.

9. Probar que:

a) senh−1(x) = ln(x+√x2 + 1) x ∈ (−∞,+∞)

b) cosh−1(x) = ln(x+√x2 − 1) x ∈ [1,+∞)

c) tanh−1(x) =12

ln(

1 + x

1− x

)x ∈ (−1, 1)

d) coth−1(x) =12

ln(x+ 1x− 1

)x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞)

159


e) sech−1(x) = ln

(1x

+√

1− x2

x

)x ∈ (0, 1]

f ) csch−1(x) = ln

(1x

+√

1 + x2

x

)x 6= 0

10. Probar que

12

ln∣∣∣∣1 + x

1− x

∣∣∣∣ ={

tanh−1 (x) , si − 1 < x < 1coth−1 (x) , si |x| > 1

11. Probar que

a) coth−1(x) = tanh−1

(1x

), |x| > 1

b) sech−1(x) = cosh−1

(1x

), 0 < x ≤ 1

c) csch−1(x) = senh−1

(1x

), x 6= 0

12. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones

a) f(x) = cosh−1(

2x− 1x+ 2

)b) f(x) = tanh−1

(3x+ 1

2

)c) f(x) = tanh−1

(1− x2

)d) f(x) = coth−1

(2x− 1x+ 3

)e) f(x) = sech−1

(7x− 1

2

)f ) f(x) = csch−1

(x2 − x− 2

)g) f(x) = senh−1 (3x+ 1)

h) f(x) = cosh−1(x

2

)i) f(x) = coth−1 (cscx)

j ) f(x) = sech−1(√

2x− 1)

160


k) f(x) =√x2 − 1 + cosh−1(2x)

l) f(x) =√x2 − 1 + cosh−1(3− x)

m) f(x) =1

1− x2+ coth−1(4x)

n) f(x) = ln (sech−1(x))

n) f(x) = sech−1(lnx)

o) f(x) = tanh−1(lnx)

p) f(x) = tanh−1(2 lnx)

q) f(x) = coth−1(lnx)

13. Verificar que:

a) Dx[senh−1(x)] =1√

x2 + 1x ∈ (−∞,+∞)

b) Dx[cosh−1(x)] =1√

x2 + 1x ∈ (1,+∞)

c) Dx[tanh−1(x)] =1

1− x2x ∈ (−1, 1)

d) Dx[coth−1(x)] =1

1− x2x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞)

14. Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones:

i) f(x) = senh−1(2x)ii) f(x) = cosh−1(2x− 1)ii) f(x) = tanh−1(

√x)

iv) f(x) = coth−1(√x2 + 1)

v) f(x) = senh−1(lnx)vi) f(x) = ln(tanh−1(x))vii) f(x) = sech−1(

√2x− 1)

viii) f(x) = csch−1(2x)ix) f(x) = senh−1(

√2x− 1)

x) f(x) = cosh−1

(2x− 1x+ 1

)xi) f(x) = tanh−1

(3x+ 2

2

)

xii) f(x) = coth−1

(2x− 1x+ 1

)xiii) f(x) = sech−1

(6x− 1

2

)xiv) f(x) = csch−1(x2 − 2x− 3)

xv) f(x) = tanh−1(1− x2)

xvi) f(x) = coth−1(√ex + 1)

xvii) f(x) = ln(sech−1(x))

xviii) f(x) = sech−1(lnx)

xix) f(x) = senh−1(√e2x − 1)

xx) f(x) = cosh−1(x

2

)+√x2 − 4

xxi) f(x) =√

4x2 − 1 + cosh−1(2x)

161


xxii) f(x) = coth−1(csc(x))

xxiii) f(x) = cosh−1(√x)

xxiv) f(x) =3

4− x2+ coth−1

(x2

)xxv) f(x) = tanh−1(lnx)

xxvi) f(x) = tanh−1(√

lnx− 1)

xxvii) f(x) = tanh−1(cos(2x))

xxviii) f(x) = tanh−1(x3)

xxix) f(x) = coth−1(x2)

xxx)f(x) = cosh−1(lnx)

xxxi) f(x) = tanh−1(cosx)

xxxii) f(x) = tanh−1(sen(2x))

xxxiii) f(x) = coth−1(2 sen(x))

xxxiv) f(x) = (coth−1(x2))3

xxxv) f(xt) = tanh−1(sen(ex))

xxxvi) f(x) = senh−1(e2x)

xxxvii) f(x) = x2 senh−1(x2) −√x4 + 1

xxxviii) f(x) = x senh−1(x)−√x2 + 1

xxxix) f(x) = ln(√

1− x2) + x tanh−1(x)

xl) f(x) =√x2 − 1 + cosh−1(3− x)

15. Utilice lo mas que pueda las indicaciones del ejercicio 18 del taller B, paratrazar la grafica de cada una de las siguientes funciones:

a) f(x) = senh−1(√e2x − 1)

b) f(x) = cosh−1(x2 − 3)

c) f(x) = tanh−1(1+x1−x)

d) f(x) = ln(√

1− x2) + x tanh−1(x)

e) f(x) =√

4x2 − 1 + cosh−1(2x)

162


9 Aplicaciones de la Derivada9.1 Taller A. Razones de cambio relacionadas9.2 Taller B. Optimizacion

9.1 Taller A. Razones de cambio relacionadas

1.

Angelica mide 6 pies de estatura y sealeja de la luz de un poste del alumbradopublico que esta a 42 pies de altura, talcomo se ilustra. Si x pies es la distanciade Angelica al poste:

a) i) Exprese la longitud de la sombra que proyecta Angelica sobre el pisoen terminos de x.

ii) Exprese la punta de la sombra y en funcion de x.iii) Exprese tan θ en terminos de x.

b) Si Angelica se aleja del poste a razon de 3 pies por segundo:

i) ¿Con que rapidez crece su sombra cuando Angelica esta a 24 pies delposte? ¿a 30 pies?

ii) ¿Con que rapidez se mueve el extremo de la sombra?iii) Para seguir el extremo de su sombra ¿a que razon angular debe alzar

la cabeza cuando su sombra mide 6 pies de largo?

163


2.

El interior de un tanque de aguatiene la forma de un cono circularrecto invertido tal que su altura esde 12 pies y el radio de su basecircular es de 6 pies. Si se hechaagua hasta una profundidad de hpies, con 0 < h < 12, tal como seilustra en la figura:

a) Exprese a r como funcion de h. Trace su grafica.

b) Exprese la cantidad de agua en el tanque en terminos de h. Trace sugrafica.

c) Si estando el tanque vacıo se le bombea agua a razon de 8 pies3/min,¿Con que rapidez sube el nivel del agua cuando esta tiene 4 pies deprofundidad?.

3.

Una partıcula se mueve siguiendo lacurva y = x2 en el primer cuadrante,de tal forma que su coordenada xmedida en metros, aumenta a unavelocidad de 10 metros/seg. ¿Conque rapidez cambia el angulo deinclinacion θ del segmento de rectaque une la partıcula con el origen enel instante en que x = 3 metros?

4.

Un tanque tiene la forma que se ilustra en la figura (Ejercicio 29 Capitulo 4).Si se echa agua hasta una profundidad h, con 0 < h < 6:

a) Exprese la cantidad de agua que hay en el tanque en terminos de h.

b) Exprese el area de la superficie del agua en terminos de h.

164


c) Si estando el tanque que se ilustra vacıo, se le vierte agua a razon de9 pies3/min,

i) ¿Con que rapidez se esta elevando el nivel del lıquido en el tanquecuando la profundidadde este es de 4 pies?

ii) ¿Con que rapidez esta creciendo el area de la superficie del lıquidoen el instante en que la profundidad de este es de 4 pies?

5.

La luz de un faro que esta retirado1 kilometro de una playa rectilınea,gira a 2 revoluciones por minuto.¿Con que rapidez se mueve el rayo alo largo de la playa cuando pasa porun punto que esta a 1/2 kilometrocon respecto a un punto en frentedel faro?

6.

Se echa agua a un tanque que tiene la forma de cono truncado circularrecto hasta una profundidad h, con 0 < h < 80. El tanque tiene una

165


altura de 80 centımetros y radios inferior y superior de 20 y 40 centımetros,respectivamente. Si x es el radio del cırculo de la superficie del agua:

a) Exprese x en funcion de h.

b) Exprese la cantidad de agua que hay en el tanque en funcion de h.

c) Si estando el tanque que se ilustra vacıo, se le bombea agua a una razonuniforme de 2 litros por minuto. ¿Con que rapidez sube el agua cuandola profundidad es de 30 centımetros?

7.

Los extremos de un tanque deagua de 20 pies de largo tienenla forma de un trianguloequilatero, con lados de 4 pies.Si se echa agua hasta unaprofundidad de h pies:

a) Exprese la cantidad de agua en el tanque en funcion de h.

b) Si estando el tanque que se ilustra vacıo, se le vierte agua a razon de3 pies3/min, ¿Cual es la rapidez, cambio o variacion del nivel del aguacuando la profundidad es de 2 pies?

8.

En lo alto de un poste de 15 metros brillauna luz. Una pelota es soltada desde lamisma altura, a partir de un punto situadoa 9 metros de la luz. ¿Con que rapidezse mueve la sombra de la pelota sobre elsuelo 1

2 segundo despues? (Suponga que lapelota cae una distancia de 4,9t2 metros ent segundos).

166


9.

Un hombre que esta en un muelle tira de una cuerda atada a la proa de unbote que se halla a 30 centımetros sobre el nivel del agua. La cuerda pasa sobreuna polea simple que se encuentra en el muelle a 2.3 metros del agua (veasefigura). Si se tira de la cuerda a razon de 1 metro/segundo, ¿Con que rapidezse acerca el bote al muelle en el momento en que la proa esta a 6 metros delpunto que se encuentra directamente debajo de la polea y a 30 centımetrossobre el agua?

10.Una lampara esta situada enel piso de una calle recta, alfondo de la cual, y a 72 metrosde distancia de la lampara hayuna pared vertical. Si desde lalampara a la pared se desplazaun hombre de 1.8 metrosde estatura a una velocidadde 1

2 metro por segundo. ¿Con que velocidad cambiael tamano de la sombraproyectada en la pared en elinstante en que el hombre seencuentra a 18 metros de lalampara?

167


11.

Un avion que vuela con rapidezconstante a una altura de 10000pies sobre una trayectoria recta quelo llevara directamente sobre unobservador en tierra. En un instantedado, el observador nota que elangulo de elevacion del avion es de13π rad y aumenta a una tasa de160 rad/seg. Determine la rapidez delavion.

12. Una escalera de 30 pies de longitud esta apoyada contra una pared, de modoque su extremo superior se desliza hacia abajo a una tasa de 1

2 pies/segundo.

a) ¿Con que rapidez se desliza el extremo inferior de la escalera cuando suextremo superior esta a 18 pies sobre el piso?

b) ¿Cual es la tasa de variacion de la medida del angulo agudo formado porla escalera con el piso cuando el extremo superior esta a 18 pies sobre elpiso?

13. Una escalera apoyada contra una pared vertical esta resbalando. Si en uninstante dado la escalera tiene su extremo inferior a 8 pies de distancia de lapared, sobre el piso horizontal, y en ese mismo instante, el extremo inferior dela escalera resbala con una rapidez de 3 pies/segundo y el extremo superior lohace a 4 pies/segundo. ¿Cual es la longitud de la escalera?

14. Un controlador aereo situa dos aviones, el avion A y el avion B, a la mismaaltitud convergiendo su vuelo hacia un mismo punto O en angulo recto. Elavion A vuela con una rapidez de 400 millas/hora y el avion B vuela con unarapidez de 600 millas/hora

¿Con que rapidez decrece la distancia entre los dos aviones en el instante enque el avion A esta a 30 millas del punto de convergencia y el avion B esta a40 millas del punto de convergencia?

15. Dos camiones, uno de los cuales viaja hacia el oeste y el otro hacia el sur,se aproximan a un crucero. Si los dos camiones se desplazan a una tasa

168


de P Km/h, muestre que ellos se aproximan a una tasa de P√

2 Km/h,cuando cada uno de ellos se encuentra a b kilometros del crucero

169


9.2 Taller B. Optimizacion

1.

Un granjero tiene 80 metros de telade alambre para cercar un corralrectangular tal como se ilustra en lafigura.

a) Exprese el area A, del corral en funcion de x. Ademas trace la grafica deA indicando los valores admisibles de x para este problema.

b) Encuentre las dimensiones del corral que tenga como area 300m2 ?

c) Encuentre los valores de x, para los cuales, el area del corral sea mayor oigual a 300 m2

d) Encuentre los valores de x, para los cuales, el area del corral sea menor oigual a 256 m2 y mayor que 175 m2

e) ¿Cuales son las dimensiones del corral de area maxima?

2.Se tienen 14 metros de tela dealambre para cercar un corralrectangular que se ajuste a unaesquina de 2 × 4 metros como semuestra en la figura (toda la esquinadebe ser aprovechada y no necesitacerca).

a) Exprese el area A del corral en funcion de x.

b) ¿ Entre que valores debe estar x para poder construir el corral con lascondiciones indicadas? Ademas trace la grafica de la funcion A.

c) ¿ Entre que valores debe estar x para que el area del corral rectangularsea mayor o igual a 16 m2?

d) ¿ Cuales son las dimensiones de x, y para que el area del corral seamaxima?

170


3.Se desea construir un tanque sintapa de altura y metros y de basecuadrada de lado x metros, de talmanera que el area lateral y ladel fondo suman un area de 9 m2

¿ Entre que valores debe estar xpara obtener un tanque con una

capacidad mayor o igual a52m3

?

a) Exprese la capacidad C del tanque en funcion de x.

b) ¿Entre que valores debe estar x para poder construir el tanque con lascondiciones indicadas? Ademas, trace la grafica de la funcion C.

c) ¿Cuales son las dimensiones de x y y para que la capacidad del tanquesea maxima?

Para cada uno de los siguientes ejercicios, halle la funcion en terminos de lavariable especificada e indique el dominio admisible para dicha variable (estoes, el dominio de la variable para que el problema tenga sentido). Ademas,trace la grafica de cada una de las funciones halladas.

4.Se tienen 80 metros de malla dealambre para cercar tres corralesrectangulares, tal como se ilustra enla figura.

a) Exprese el area total de los trescorrales en terminos de x.

b) ¿Que dimensiones deben tenerx y y para que el area total delos tres corrales sea tan grandecomo se pueda? ¿Y cual es estaarea total?

171


5.Se tienen 60 metros de malla dealambre para construir un corralrectangular que se ajuste a unaesquina de 10 x 20 metros, como seilustra en la figura (toda la esquinadebe ser aprovechada y no necesitamalla de alambre).

a) Exprese el area del corral en terminos de x.

b) ¿Que dimensiones deben tener x y y para que el area del corral seamaxima?

6.

Un canalon metalico para el agua de lluvia va a tener caras de 2 pulgadasy un fondo horizontal de 2 pulgadas tambien, con lados tornando angulosiguales θ con la prolongacion del fondo 0 < θ < π/2, ver figura.

a) Exprese el area de la seccion transversal del canalon en terminos de x.

b) Exprese el area de la seccion transversal del canalon en terminos de h.

c) Exprese el area de la seccion transversal del canalon en terminos delangulo θ en radianes.

d) ¿Cuanto debe valer θ para maximizar la capacidad de acarreo del canalon?

172


7.Una central electrica esta ubicadaen la orilla de un rıo rectilıneo de0.5 kilometros de ancho. En la orillaopuesta esta situada una fabrica, 3kilometros rıo abajo del punto Aque esta directamente en frente dela central electrica. Si tender uncable desde la central electrica hastala fabrica cuesta 500 dollares porkilometro bajo el agua y 400 dollarespor kilometro a lo largo de la riberadel rıo.

a) Exprese el costo total para tender el cable desde la central hasta el puntoP y desde el punto P a la fabrica en terminos unicamente de x, en dondex es la distancia en kilometros de la fabrica a un punto cualquiera P entreel punto A y la fabrica.

b) ¿Cual es la ruta mas economica que conecta la central con la fabrica?

8.Sea ABP un triangulo inscrito enun semicırculo de radio R.

a) Exprese el area del trianguloABP en terminos de x, endonde x es la medida del ladoBP del triangulo ABP .

b) ¿Que dimension debe tener xpara que el area del triangulosea maxima?

173


9.

Sea ABC un triangulo isoscelesinscrito en una circunferencia deradio R y sea h la altura deltriangulo desde el vertice C, y seanθ y α los angulos que se ilustran,dados en radianes:

a) Verifique que θ = 2α.

b) Utilizando la ley de los senos, compruebe que a = b = 2R senα y quec = 2R sen(2α).

c) Exprese el perımetro P del triangulo ABC en funcion de α.

d) Exprese la altura h en funcion de α.

e) Exprese el area A del triangulo en funcion de α.

f ) Entre todos los triangulos isosceles inscritos en una circunferencia de radioR, hallar el triangulo con el perımetro maximo

g) Entre todos los triangulos isosceles inscritos en una circunferencia de radioR, hallar el triangulo de area maxima.

10.Un trazo de alambre de 36centımetros de longitud se va acotar en dos partes; una de longitudx se doblara para formar unacircunferencia y la otra parte sedoblara para formar un trianguloequilatero.

a) Exprese la suma de las areas del cırculo y del triangulo equilatero enterminos de x.

b) ¿Donde debe hacerse el corte de modo que la suma de las areas delcırculo y del triangulo equilatero sea maxima? o ¿mınima? (se permite laposibilidad de que no se corte).

174


11. A partir de un alambre de 4 metros de largo se va a construir un rectangulo dela siguiente manera: de un pedazo de alambre de longitud x metros, con 1 ≤

x < 4, se cortan dos lados del rectangulo, cada uno de longitud3√x

2metros,

y con el pedazo 4− x se termina de construir el rectangulo.

a) Exprese en terminos de x, la cantidad de alambre que queda despues deconstruir el rectangulo.

b) Exprese en terminos de x el area del rectangulo.

c) Para que valor de x el area del rectangulo es maxima?

12.Un sector circular de radio rcentımetros y angulo en el verticeΘ tiene un area de 100cm2.

a) Exprese el perımetro del sectorcircular en terminos del radior.

b) Encuentre r y θ para que elperımetro P sea mınimo.

13. Un rectangulo tiene dos vertices consecutivos en el eje de las x, y los otros dossobre la parabola y = 12− x2, con y > 0.

a) Exprese el area del rectangulo en terminos de x, con x > 0.

b) ¿Cuales son las dimensiones del rectangulo de este tipo que tiene lamaxima area?

14.

Un rectangulo tiene dos de susvertices sobre el eje x positivo. Losotros dos vertices estan sobre lasrectas y = 2x, y , y = 12 − x, con0 < y < 8.

a) Exprese el area del rectangulo en terminos unicamente de x.

175


b) Halle las dimensiones del rectangulo de area maxima que se puedeobtener.

15. Un rectangulo se inscribe en un semicırculo de radio 4, de tal manera quedos de sus vertices estan sobre el diametro. Si el lado sobre el diametro tienelongitud x,

a) Exprese el area del rectangulo en terminos de x.b) Cuales son las dimensiones del rectangulo de este tipo que tiene la maxima

area?

16.Una ventana tiene la forma de un rectangulo coronadocon un triangulo equilatero. El perımetro de la ventanaes de 4 metros. Si la base del rectangulo mide x metros;

a) Exprese el area total de la ventana en terminosde x.

b) Encuentre las dimensiones del rectangulo para elcual el area de la ventana es maxima.

17. La pagina de un libro debe tener 27 pulg2 de impresion. Las margenes superior,inferior e izquierda de la pagina, son de 2 pulgadas y la margen derecha es de1 pulgada. Si x pulgadas es la base del rectangulo de impresion;

a) Exprese el area total de la pagina en terminos de x.b) ¿Cuales deben ser las dimensiones de la hoja para gastar la menor

cantidad de papel?

18.

Una pieza rectangular de papel muy larga tiene20 centımetros de ancho. Se va a doblar laesquina inferior derecha a lo largo del pliegueque se muestra en la figura, de modo que laesquina apenas toque el lado izquierdo de lapagina.

176


a) Exprese la longitud l del doblez en terminos de los x centımetros que seilustran.

b) ¿Para que valor de x el doblez l es lo mas corto posible?

19.Una viga de acero de27 pies de longitud setrasporta por un pasillode 8 pies de ancho hastaun corredor perpendicularal pasillo limitado poruna pared movible quese ajusta a la viga talcomo se ilustra en lafigura. (Aqui suponemosque p resbala sobre unapared y Q resbala sobre lapared movible). Si x es ladistancia de P a la esquinaE;

a) Exprese el ancho y del corredor en terminos de x. No considere la anchurahorizontal de la viga.

b) Si la viga de acero de 27 pies de longitud se transporta por el pasillo de8 pies de ancho hasta un corredor perpendicular al pasillo. ¿Cual debeser el ancho del corredor para que la viga pueda doblar la esquina? Noconsidere la anchura horizontal de la viga.

177


20.

Por dos pasillos perpendicularesentre si de 8 pies y 27 pies,respectivamente, se transportauna viga cuya longitud se puedeaumentar o disminuir, ver figura(Aqui suponemos que P resbalasobre una pared y Q resbala sobrela otra pared). Si x es la distanciade P a la esquina E

.

a) Exprese la longitud y de la viga en terminos de x.

b) ¿Cual es la longitud de la viga de acero mas larga que puede transportarsehorizontalmente por los pasillos de 8 y 27 pies respectivamente, de modoque pueda doblar la esquina? No considere la anchura horizontal de laviga.

21. Se desea construir una caja sin tapa, con base rectangular, a partir de unapieza rectangular de carton de 16 centımetros de ancho y 24 centımetros delargo, recortando un cuadrado de x centımetros de lado de cada esquina ydoblando los lados.

a) Encuentre el volumen de la caja en terminos de x. Bosqueje su grafica.

b) Encuentre el area de la superficie de la caja en terminos de x. Ademas,trace su grafica.

c) Encuentre el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja devolumen maximo.

178


22.Un cilindro circular recto con radio de la baseR y altura h esta inscrito en una esfera deradio 4.

a) Exprese la altura h del cilindro comofuncion de r.

b) Exprese el area de la superficie lateraldel cilindro como funcion de r.

c) Exprese el volumen del cilindro comofuncion de r

d) Encuentre las dimensiones del cilindrocircular recto de maximo volumen quese puede inscribir en esta esfera de radio4.

23.Un cilindro circular recto de altura h piesy radio de la base R pies, se inscribe enun cono circular recto de altura 12 pies ybase 6 pies de radio.

a) Exprese la altura h del cilindro enfuncion de R.

b) Exprese el volumen del cilindro enfuncion de R. Bosqueje su grafica.

c) Encuentre las dimensiones delcilindro circular recto de maximovolumen que se puede inscribir en elcono dado, suponiendo que los ejesdel cilindro y del cono coinciden.

179


24.

Un cono circular recto con radio de la base R y altura h, se circunscribealrededor de una esfera de radio 8.

a) Exprese la altura h del cono en funcion de R. Bosqueje su grafica.

b) Exprese el volumen del cono en funcion de R. Bosqueje su grafica.

c) Encuentre las dimensiones del cono circular recto de volumen V mınimoque puede ser circunscrito alrededor de la esfera dada de radio 8.

25.Un observatorio debe tener la forma de uncilindro circular recto, rematado por una bobedahemisferica, con un volumen total de 18πm3

a) Exprese la altura h del cilindro en funcionde R. Bosqueje su grafica.

b) Si la boveda hemisferica cuesta el doblepor metro cuadrado que el muro cilındricoy si el metro cuadrado de muro cilındricocuesta a pesos. i) Exprese el costo delobservatorio en funcion de R. ii) ¿Cualesson las proporciones mas economicas? esdecir,¿Cuales deben ser las dimensiones delobservatorio para que el costo sea mınimo?

26. Se desea fabricar un recipiente cilındrico de altura h con sus dos tapas circularesde radio r, de modo que su volumen sea de 250 πcm3.

a) Exprese la cantidad de material gastado en su fabricacion en funcion der.

b) Determine el valor de r y h para que la cantidad de material gastado ensu fabricacion sea mınima.

180


27.La figura muestra dos conos circulares rectos, unoinvertido dentro del otro. Sus bases son paralelas, yel vertice del cono menor se encuentra en el centro dela base del cono mayor.

a) Exprese el volumen del cono menor en funcion deR

b) Exprese el volumen del cono menor en funcion deh

c) ¿Que valores deben tener R y h para que elvolumen del cono menor sea maximo?

28.

a) Trace la grafica de y = e−x2

b) El rectangulo de la ilustracion tiene un lado sobre eleje y positivo, otro sobre el eje x positivo y su verticesuperior derecho esta sobre la curva y = e−x

2

i) Exprese el area del rectangulo en funcion de x.ii) ¿Con que dimensiones alcanza el rectangulo su

mayor area y cual es tal area?

181


29.

Se va a hacer un cono con una pieza circularde lamina metalica, de 10 metros de radio,recortando un sector y soldando las aristasrecortadas de la pieza restante (ver figura). Siel angulo θ en el vertice del sector suprimidoesta dado en radianes:

a) Exprese la longitud l de la circunferenciade la base del cono en funcion de θ.

b) Exprese el radio r de la base circular delcono en funcion de θ.

c) Exprese el area lateral A del cono enfuncion de r.

d) Exprese el area lateral A del cono enfuncion de θ.

e) Exprese el volumen del cono en funcion der.

f ) Cual es el maximo volumen posible delcono resultante?

30.

a) Trace la grafica de y =lnxx2

.

b) El rectangulo de la ilustracion tieneun lado sobre el eje y positivo, otrosobre el eje x positivo y su verticesuperior derecho esta sobre la curva

y =lnxx2

.

i) Exprese el area del rectangulo enfuncion de x.

ii) ¿Con que dimensiones alcanza elrectangulo su mayor area y cuales tal area?

182


31.Considere la grafica de la funcion:

f(x) =1x

con x > 0, tal como seilustra.

a) Halle la ecuacion de la rectatangente a la grafica de f enel punto (a, 1

a).

b) Halle la distancia del punto Aal punto B en funcion de a, endonde A y B son los cortes conlos ejes coordenados de la rectatangente a la grafica de f en elpunto (a, f(a)).

c) Determine el punto (a, 1a) de la

curva y = 1x tal que la distancia

del punto A al punto B seamınima.

32. Se desea construir un recipiente con la forma de un cilindro circular recto sintapa con un volumen de 24 π centımetros cubicos. El precio del material quese usa para el fondo es el triple del precio del material que se usa para la partelateral. Encuentre las dimensiones del recipiente para los cuales el costo seamınimo.

183


33.Dos casas A y B estan a unadistancia de 50 metros una de la otray estan situadas a un mismo ladode una tuberıa principal de agua ya una distancia de 15 y 45 metrosrespectivamente de dicha tuberıa.Se va a instalar agua a las casasA y B llevandola desde un mismopunto P de la tuberıa principal. Siel costo de cada tuberıa instaladaes de 20 dolares por metro, ¿desdeque punto P de la tuberıa principaldeben partir las instalaciones paraque el costo de esta sea mınimo?

184


Respuestas2. Coordenadas y graficas

2.1. Taller A

1. x+ 2y − 8 = 0

2. x− 2y + 3 = 0

3. x = 2, y = 7

4. a) Sea m1 la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B.Sea m2 la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y C.

Como m1 =−12

, m2 = 2, entonces m1 ∗m2 = −1. Por lo tanto l1 ⊥ l2.El area del triangulo rectangulo dado es 10 unidades cuadradas.

b) El punto medio del segmento BC es (5, 2). La ecuacıon de la recta l quees perpendicular al segmento BC en su punto medio es x − 3y + 1 = 0.El punto A satisface la ecuacion de la recta l

5. d((

a

2,b

2

), (0, 0)

)= d

((a

2,b

2

), (0, b)

)= d

((a

2,b

2

), (a, 0)

)=√a2 + b2

2

6. Sea mAB la pendiente de la recta l1 que pasa por los puntos A y B.Sea mDC la pendiente de la recta l2 que pasa por los puntos D y C.

Como mAB =12

y mDC =12

entonces l1 es paralela a l2. El area del trapecioes igual a 24 unidades cuadradas

7. a) x− 2y + 3 = 0.

b) La interseccion de las rectas l1 y l2 es el punto (1, 2).

c) x2 + y2 − 10x− 8y = −21.

8. a) x2 + y2 − 6x− 14y = −13

b) Cortes con el eje y: (0, 1) y (0, 13)

9. k = 0 o k = 4

10. x2 + y2 − 8x− 10y = −31

185


11. m = 4 , b = −5

12. Para m = −2 y b = 10, el punto es (1, 8) para m = −18 y b = 90 , el punto es(9,−72)

14. 20 pies

15. Dominio = [1, 5] , Rango = [−2, 4]

16. a) La relacion de x2 + y2 − 2x− 8y = −13 es la circunferencia(x− 1)2 + (y − 4)2 = 4. Dominio = [−1, 3], Rango = [2, 6].

b) y = 4 +√

2x− x2 + 3, Dominio = [−1, 3], Rango = [4, 6].y = 4−

√2x− x2 + 3, Dominio = [−1, 3], Rango = [2, 4].

3. Funciones

3.1 Taller A

1. a) Sı es funcion, f(x) = 12x

2 − 3x + 112 , Dominio de f = R, Rango de

f=[1,+∞)

b) No es funcion.

c) No es funcion.

d) Sı es funcion, f(x) =√x− 1 + 2, Dominio de f = [1,+∞), Rango de

f =[2,+∞)

e) Sı es funcion, f(x) = −√x− 1 + 2, Dominio de f = [1,+∞), Rango de

f = (−∞, 2]

f) f(x) =√

2x− x2, el Dominio de f = [0, 2], Rango de

f = [0, 1]

2. iii) Dominio de f = R, corte con el eje y: (0, 5), cortes con el eje x: (1, 0) y(5, 0)

3.B b) x− y + 1 = 0

c) el resutado es 2x− 2 + h

4. f(b) = 4√b, con 0 ≤ b ≤ 25

19. k = −1

186


20. k = 2

21. k = −1, o k =23

22. i) x3 − 4x2 + 5x− 2 = (x− 1)2(x− 2)

ii) x4 + 2x3 − 5x2 − 4x+ 6 = (x+ 3)(x− 1)(x+√

2)(x−√

2)

iii) 2x3 − x2 − 8x+ 4 = (2x− 1)(x− 2)(x+ 2)

iv) x4 − 5x2 − 10x− 6 = (x− 3)(x+ 1)(x2 + 2x+ 2)

v) 2x5 − 13x4 + 20x3 + 18x2 − 54x+ 27 = (x− 1)2(x− 3)2(2x+ 3)

vi) x3 − 2x = x(x−√

2)(x+√

2)

vii) x3 − 2x+ 1 = (x− 1)(x+ 1−√

52 )(x+ 1+

√5

2 )

viii) x5 + 2x4 − 2x3 − 4x2 + x+ 2 = (x+ 2)(x+ 1)2(x− 1)2

ix) 2x5 − x4 − x3 − 2x2 + x+ 1 = (x− 1)2(x+ 12)(2x2 + 2x+ 2)

23. i) a)2x− 3

x3 − 3x− 2=

2x− 3(x+ 1)2(x− 2)

b) Dom de (f) = R− {−1, 2}, ceros de f = 3/2

ii) a)x2 + 2x− 3x3 − 3x+ 2

=(x− 1)(x+ 3)(x− 1)2(x+ 2)

=x+ 3

(x− 1)(x+ 2)

b) Dom de (f) = R− {−2, 1}, los ceros de f = {−3}iii) a)

x+ 2x3 − 3x+ 2

=x+ 2

(x− 1)2(x+ 2)=

1(x− 1)2

b) Dom (f) = R− {−2, 1}, no tiene ceros

iv) a)3x− 1

x3 − 3x2 + 4x− 2=

3x− 1(x− 1)(x2 − 2x+ 2)

b) Dom de (f) = R− {1}, los ceros de f = {1/3}

187


v) a)x2 − 3x+ 2

x4 − x3 − 5x2 + 3x+ 6=

(x− 1)(x− 2)(x+ 1)(x− 2)(x−

√3)(x+

√3)

=x− 1

(x+ 1)(x−√

3)(x+√

3)

b) Dom de (f) = R− {−1,−√

3, 2,√

3}, los ceros de f = {−1}vi) a)

x3 − 3x2 − x+ 2x2 − 3x+ 2

=(x+ 1)(x− 2)(x− 1)

(x− 1)(x− 2)= x+ 1

b) Dom de (f) = R− {1, 2}, los ceros de f = {−1}

24. El dominio de f Dom (f) = R− {4}, los ceros de f = {−1, 3}

25. i) El dominio de (f) = [−2,+∞)− {1}. el corte con las grafica de f con eleje y es el punto (0,

√2

3 ). La grafica de f corta el eje x unicamente en elpunto (2, 0)

ii) El dominio de (f) = [12 ,+∞)− {1, 2}. la grafica de f no tiene cortes conel eje y, ni tampoco tiene cortes con el eje x.

26. i) El dominio de (f) = [1,+∞), la funcion f no tiene ceros reales.

ii) El dominio de (f) = (−∞, 2], como f(2) = 0 entonces 2 es un cero de f ,y este es el unico cero de f .

iii) El dominio de (f) = (−∞,−1] ∪ [2,+∞)), los ceros de f son -1 y 2.

iv) El dominio de (f) = (−∞,−3] ∪ [4,+∞)), el unico cero de f es -3.

v) El dominio de (f) = ((−∞,−13) ∪ [1,+∞))− {−1}, no tiene ceros.

vi) El dominio de (f) = (−2,+∞))− {12}, los ceros de f son -2 y 1.

vii) El dominio de (f) = (−∞, 1−√

52 ]∪ [1, 1+

√5

2 ]∪ (2,+∞), los ceros de f son1−√

52

, 1,1 +√

52

.

29. a)

f(x) =

−x+ 7, Si x ≤ −4−3x− 1, Si −4 < x ≤ 3

2

x− 7, Si 32 < x

188


32. Dom de f = [−5, 4]Rango de f = [−2, 3)

33. Dom de f = (−∞,−1) ∪ (−1, 2)Rango de f = (−1,−7)

34. Dom de f = RRango de f = (−2,+∞)

35. Dominio de f = RRango de f = R

36. Dominio de f = RRango de f = [−1, 3]

37. B.

i) a) (f ◦ g)(x) = x+ 1, Dom (f ◦ g) = [0,+∞)b) (g ◦ f)(x) =

√x2 + 1, Dom (f) = R

iii) a) (f ◦ g)(x) =√

x+5x−2 , Dom (f ◦ g) = (−∞,−5] ∪ (2,+∞)

b) (g ◦ f)(x) =7√x− 1 + 2x+ 4

x− 5, Dom (g ◦ f) = [1,+∞)− {5}

v) a) (f ◦ g)(x) =x− 1x− 2

, Dom (f ◦ g) = [1,+∞)− {2}

b) (g ◦ f)(x) = 1√x2−1

, Dom (g ◦ f) = (−∞,−1) ∪ (1,+∞)

vi) a) (f ◦ g)(x) =1√

2x−1x+3 − 1

,

Dom (f ◦ g) = (−∞,−3) ∪ [12 ,+∞)− {4}

b) (g ◦ f)(x) =7√x− 3x+ 69x− 4

,

Dom (g ◦ f) = [0,+∞)− {1, 4/9}

38. g(x) = 1 +√x2 − 3x+ 2, g(x) = 1−

√x2 − 3x+ 2

40. i) b) f−1(x) = x2 + 2

ii) b) f−1(x) = x2 − 6x+ 11

iii) b) f−1(x) =x2 − 6x+ 11

2iv) b) f−1(x) = 3

√x− 1

189


41. i) b) f−1(x) = 1 +√

4 + x

ii) b) f−1(x) =√

2x− x2 + 3

iii) b) f−1(x) = 2−√

1− x2

iv) b) f−1(x) = 2 +√

1− x2

42. i) b) f−1(x) =1 + x

x

ii) b) f−1(x) =2x+ 13x− 9

iii) b) f−1(x) =5− x2x− 1

3.2 Taller B. Funciones exponenciales y logarıtmicas

1. a) Dominio (f) = R− {−1, 3}b) Dominio (f) = (1−,+∞)

c) Dominio (f) = (−∞,−2) ∪ (1,+∞)

d) Dominio (f) = (−∞,−2) ∪ (12 ,+∞)

e) Dominio (f) = (1e ,+∞)

f) Dominio (f) = (0,+∞)− {e, 1e}

g) Dominio (f) = (0,+∞)− {1, 2}h) Dominio (f) = (1

2 ,+∞)− {1}i) Dominio (f) = (−∞, 1

5) ∪ (1,+∞)

2. i) x = 0

ii) x = 13

iii) x = 12 + ln 2

iv) x = 1

v) x = −2, x = 1

vi) x = 0

vii) x = 1

viii) x = e

ix) x = 1

x) x = 1e2, x = 1

190


xi) x = 1e

xii) x = 1e

xiii) x = 1e , x = e

xiv) x = e−12

xv x = −3

xvi) x = 23

xvii) x = 32

xviii) x = 2

xix) x = −2

xx) x = 4

xxi) x = 0, x = ln 2

xxii) x = 1

xxiii) x = −1

xxiv) x = 2

xxv) x = −1, x = 0

xxvi) x = −2

xxvii) x = 1

xxviii) x = 3

xxix) x = 23

xxx) x = 2

xxxi) x = −1

xxxii) x = 2

xxxiii) x = 0

xxxiv) x = 27

xxxv) x = −12 , x = 1

2

xxxvi) x = 18

xxxvii) No tiene solucion.

3. i) x = 2

ii) x = 0, x = 12

iii) x = 12

191


iv) x = ln 3

v) x = 1, x = e4

vi) x = 5

vii) x = 0, x = 2

viii) x = ln(e−1)2

ix) x = 1, x = e2

x) x = 0, x = 2

xi) x = ln(2)ln(24)

xii) x = 2

xiii) x = −1, x = 3

xiv) x = 0, x = ln(2)

xv) x =√e

xvi) x = −1, x = 2

xvii) No tiene solcion

4. a) x =ln(1 + y2)

2

b) x =ln(y2 − 1)

2c) x = ln(y +

√y2 + 1)

d) x =12

ln(

1 + y

1− y

)

e) x =

ln

[1 +

√9 + 4y2

2

]2 ln(2)

=12

log2

(1 +

√9 + 4y2

2

)6. A continuacion daremos la solucion de cada desigualdad en notacion de

intervalos.

i) (−∞, 0)

ii) (1 + ln 2

3,+∞)

iii) (−∞, 1)

iv) (−2,−1)

192


v) (1, 2)vi) (1

2 , 1)vii) (−1

2 ,23)

viii) (1e ,+∞)

ix) (0, 1e )

x) (1e ,+∞)

xi) (0, 1)xii) (0, e)xiii) (e,+∞)

xiv) (e−12 ,+∞)

xv) (0, e−12 )

xvi) (1e , e)

xvii) (−∞,−1)xviii) (1

3 ,23)

xix) (√

17−14 ,+∞)

xx) [−2, 2)xxi) (0, 4)xxii) (0, 2)xxiii) (−2,−1) ∪ (0,+∞)xxiv) (−2,+∞)xxv) (3

2 ,+∞)xxvi) (2

3 ,32)

xxvii) (13 ,

23 ] ∪ (2,+∞)

xxviii) (e32 ,+∞)

xxix) (0, 1e2

) ∪ (1,+∞)

8. a) g(x) = ex + 1, con x ∈ R

9. a) g(x) = (lnx)2, con x > 1

10. a f(t) = (1000)2t

10. b f(t) = 600(3)t/2

12. a f(t) = 20(

12

)t/140

193


4. Funciones como modelos matematicos

4.1. Taller A.

1. a) A = 40x − x2. Los valores admisibles de x para este problema son 0 <x < 40

b) Para x = 10, y = 30. Para x = 30, y = 10

c) 10 6 x 6 30

d) 5 < x 6 8, o, 32 6 x < 35

e) x = y = 20

2. a) V = x3 − 3x, con x > 0.

b) x = 1

c) x > 3

3. a) 2 < t < 18.

b) s = 1680 pies

4. a) 2 6 x 6 6.

b) 2 6 x 6 6

c) x = y = 5

9. a) A = (x+ 2)√

4− x2.

b) A = h[√

4− h2 + 2]

12. a) h = 5−√

25− x2.

b) A = x(5−√

25− x2)

13. a) h = 5 +√

25− x2.

b) A = x(5 +√

25− x2)

15. a) x− 3√x.

b) A =3√x(4− x)

4

18. A = 2x(12− 3x)

19. A =x√

64− x2

2

194


20. A = 2x+(√

3− 6)x2

4, con 0 < x <

43

22. A =4x2 + 39x+ 81

x

23. l =

√x3

x− 10, con 10 < x 6 20

24. y =(27− x)

√x2 − 64

x, con 8 < x < 27

25. y = x+15x√

x2 − 100

26. a) V = 4x(12− x)(8− x), con 0 < x < 8.

b) A = 384− 4x2

27. a) r =h

2.

b) V =πh3

12

28. a) h = 2√

16− r2, con 0 < r < 4

b) A = 4πr√

16− r2

c) V = 2πr2√

16− r2

29. a) V = 403 h(h+ 3).

b) A = 403 (2h+ 3)

30. a) h = 12− 2r, con 0 < r < 6.

b) V = 2πr2(6− r)

31. a) y =16r2

r2 − 64.

b) A =16π3

(r4

r2 − 64)

32. a) h =2(27− r3)

3r2.

b) costo =4πa

3(27 + 2r3

r)

195


33. a) V = 23πr

2(6− r), con 0 < r < 6.

b) V = πh12 (12− h)2, con0 < h < 12

34.2πr

(r + 250)

35. 4π3 (x3 − 8000)

36.20h2

√3

37. a) l = 20π − 10θ.

b) r =10π − 5θ

π.

c) A = 10πr.

d) A = 50(2π − θ).e) V = π

3 r2√

100− r2.

5. Trigonometrıa

5.1. Taller A.

2. a) x = (1 + 3n)2π3 , n ∈ Z, x = (2 + 3n)2π

3 , n ∈ Zb) x = (1 + 3n)2π

9 , n ∈ Z, x = (2 + 3n)2π9 , n ∈ Z

c) x = nπ, n ∈ Z, x = (1 + 3n)2π3 , n ∈ Z, x = (2 + 3n)2π

3 , n ∈ Zd) x = (1 + 3n)2π

3 , x = (2 + 3n)2π3 , n ∈ Z

g) x = (1 + 12n)π6 , x = (5 + 12n)π6 , n ∈ Zj) x = (1 + 12n)π6 , x = (5 + 12n)π6 , n ∈ Zk) x = (2n+ 1)π2 , x = (1 + 12n)π6 , x = (5 + 12n)π6 , n ∈ Zl) x = (7 + 12n)π6 , x = (11 + 12n)π6 , x = (1 + 4n)π2 ,x = (3 + 4n)π2 n ∈ Z

m) x = (3 + 4n)π6 , x = (1 + 12n) π18 , x = (5 + 12n) π18 , n ∈ Z3. a) x = (1 + 12n)π6 , x = (5 + 12n)π6 , x = (7 + 12n)π6 , n ∈ Z

b) x = πn, x = (2n+ 1)π4 , n ∈ Zc) x = (1 + 6n)π3 , x = (1 + 3n)2π

3 , x = (2 + 3n)2π3 ,

x = (5 + 6n)π3 , n ∈ Z

196


d) x = nπ4 ,n ∈ Ze) x = (1 + 3n)2π

3 , x = (2 + 3n)2π3 , n ∈ Z

f) x = 2nπ5 , x = (2n+ 1)π, n ∈ Zg) x = (2n+ 1)π4 , x = (2n+ 1)π2 , n ∈ Z

4. a) x = 7π6 , x = 11π

6

b) x = −π4 , x = 3π

4

10. a) La amplitud = 4, el perıodo = π, desplazamiento de fase = π6 , con

cortes con el eje x: x = (6n+ 5) π12 , con n ∈ Zb) La amplitud = 3, el perıodo = π, desplazamiento de fase = −π

3 , concortes con el eje x: x = (−2 + 3n)π6 , con n ∈ Z

11. b) Los cortes de la grafica de y = sen(2x− π2 ) + 1

2 , con el eje x son:x = (7 + 6n)π6 , con n ∈ N

12. I = 510sen( π12 t)

13. a = 10, b = π12 ,c = −5π

6 , d = 0 o a = −10, b = π2 ,c = π

6 , d = 0

15. a) i) El perıodo = π3 , el desplazamiento de fase = π

6 , los cortes con eleje x son: = (1 + 2n)π6 , con n ∈ Z, las asıntotas verticales son las rectasverticales x = (1 + n)π3 , n ∈ Z

16. b)

i. 2 sen(2x)− 2√

3 cos(2x) = 4 sen(2x− π3 )

ii. 2 sen(2x)− 2√

3 cos(2x) = −[2√

3 cos(2x)− 2 sen(2x)]= −4 cos

(2x+ π

6

)c)

i. f(x) =√

2 cos(x+ π4 ), f(x) = −

√2 sen(x− π

4 )ii. f(x) = −6 cos(2x+ π

6 ), f(x) = 6 sen(2x− π3 )

iii. f(x) = −4 cos(3x− π6 ), f(x) = −4 sen(3x+ π

3 )

19. x = (7 + 24n) π12 , x = (13 + 24n)π2 , con n ∈ N

20. (2, 2π3 ) es un par de coordenadas polares de P , los otros pares de

coordenadas polare P son de la forma (2, 2π3 + 2nπ), con n ∈ N

21. sen(θ

2

)=√

1010

, cos(θ

2

)=−3√

1010

22. sen(θ) = −35 , cos(θ) = −4

5 , cot(θ) = 43 , sec(θ) = −5

4 ,csc(θ) = −5

3

197


23. cos(θ) = −2√5, cos(2θ) = 3

5 , sen(2θ) = 45 , sen

(θ2

)=√√

5+22√

5,

cos(θ2

)= −

√√5−2

2√

5, tan

(θ2

)= −2−

√5

24. sen(2θ) = −√

32 , cos(2θ) = 1

2 , tan(2θ) = −√

3

5.2 Taller B. Funciones trigonometricas inversas

1. Consideramos las funciones tan : (−π2 ,

π2 )→ R.

Si x ∈ (0, π) entonces −x ∈ (−π, 0), y por consiguiente

π2 − x ∈

(−π2 ,

π2

).

Puesto que tan(π2 − x) = cot(x), tomamos y = tan(π2 − x) = cot(x)vemos que π

2 − x = arctan(y), x = arccot(y).

Por lo tanto arccot(y) = π2 − arctan(y) para todo y real. Finalmente, si

intercambiamos los papeles arccot(x) = π2 − arctan(x) para todo x real.

3. a) θ = arctan(

200x

)b) θ = π

3

c) La distancia recorrida =400√

33

pies.

d) i)8√

33

segundos, ii) 8√

3 segundos

4. a) [−1, 73 ]

b) (−∞, 0]

c) (−∞,−3] ∪ [1,+∞)

d) R− {1}e) (−∞, 1] ∪ [2,+∞)

f ) (−∞,−3] ∪ [−1−√

2,−1 +√

2] ∪ [1,+∞)

g) [1−√

2, 1 +√

2]

h) [1,+∞)

198


9. a) h = 135 tan(57o 20′) ≈ 210,55 piesb) h = 135 tan(60o) = 135

√3 pies

10. x = 80(tan(48o)− tan(25o)) ≈ 51,54 pies

11. d = 100(√

3− 1) pies

12. d = 50 tan(72o 40′) ≈ 160,2031 metros

13. h =8,4(tan(24o 10′) tan(47o 40′)tan(24o 10′) + tan(47o 40′)

≈ 2,6755 millas

14. x = 10(tan(30o)− tan(15o)) ≈ 3,094 pies

15. θ ≈ 51,9635o

16. θ =4π5

radianes o, θ = 144o

17. La longitud del tunel es 260√

3− 90 ≈ 360,33 pies

20. A = 2 sen(2θ) + 4 sen(θ)

21. θ = arc cos(x30

)22. V = 90 sen(θ) pies3

23. V = 72π tan(θ), con 0 < θ < π2

24. |AC| = 10 sec(θ)

25. Altitud = 4000(csc(41,4o)− 1) ≈ 2048,58 millas

26.20√

33

metros

27. x+ y = 5(3√

3 + 5) metros

5.3 Taller C. La ley de senos y la ley de cosenos

3. a) C = 45o, b = 3√

6, c = 3(√

3 + 1)

4. a) Se pueden construir dos triangulos: el primero con a = 6, b = 6√

3,c = 12, A = 30o, B = 60o, C = 90o.

El segundo con a = 6, b = 6√

3, c = 6, A = 30o, B = 120o,C = 30o.

199


b) Se pueden construir dos triangulos: el primero con a =√

2, b =√

3,c =

√2 +√

3, A = 45o, B = 60o, C = 75o.

El segundo con a =√

2, b =√

3, c =√

2−√

3, A = 45o, B = 120o,C = 15o.

5. a) d =√

62

millas, b) h =6− 2

√3

8millas

6. x = 7 millas

7. a) d =√

3 millas, b) h =√

32

millas

8. Area = 16π − 12√

3

9. Las longitudes de los cables son de:30√

6√3 + 1

metros y60√3 + 1

metros.

La altura del poste es de30√

3√3 + 1

14. c) P = 2R(2 sen(α) + sen(2α)), con 0 < α < π2 .

d) h = 2R sen2(α),e) Area = 4R2 sen3(α) cos(α)

6.Limite de funciones

6.1. Taller A

1. i) 6

ii) 16

iii) 5

iv) 14

v) 120

vi) 4

vii) 118

viii) 12

ix) 23

x) 15

200


xi) NO EXISTE

xii) 12

xiii) 0

xiv) 14

xv) 0

xvi) 12

xvii) 0

xviii) NO EXISTE

xix) 110

xx) 23

2. b) 2

3. b)

i) 3

ii) NO EXISTE

iii) 8

4. i) 0

ii) 1

iii) 13

iv) 0

v) 4

vi) 0

vii) −√

2

viii)√

2

ix) −3

x) 3

xi) −√

22

xii)√

22

xiii) 13

xiv) 0

201


xv) 2

xvi) −∞xvii) +∞xviii) −∞

5. a)

i) −1

ii) 1

iii) NO EXISTE

6. b)

i) 2

ii) 2

iii) 2

7. b)

i) 4

ii) 0

iii) NO EXISTE

8. b)

i) 2

ii) NO EXISTE

9. a)

i) 4

ii) 2

b) NO EXISTE

10. b)

i) 0

ii NO EXISTE

202


11. b)

i) −1

ii) 3

iii) 0

iv) NO EXISTE

v) NO EXISTE

vi) 2

vii) 0

viii) 2

12. b)

i) 2

ii) −∞iii) NO EXISTE

13. b)

i) 1

ii) −∞iii) NO EXISTE

iv) 1

v) 1

vi) 1

15. 0

16. 7

17. 4

18. b)

i) −2

ii) −1

iii) −∞

203


iv) 0

v) 0

vi) −1

20. i) 0

ii) 0

iii) 1

iv) 1

v) 0

vi) 0

vii) 12

viii) 32

ix) −1

x) 1

xi) −2

xii) −3

xiii) 0

xiv) −∞xv) 0

xvi) −ln(2)

xvii) −1

xviii) 1

xix) −π4

xx) −π4

xxi) −πxxii) π

xxiii) −π2

xxiv) π2

21. i) −12

ii) 12

iii) −∞

204


iv) −1

v) −∞vi) +∞

vii) 0

viii) 12

ix) −13

x) −∞xi) −∞

xii) −∞xiii) −∞xiv) 1

xv) 13

xvi) 16

xvii) 19

xviii) −∞xix) +∞xx) 0

xxi) 1

xxii) 1

xxiii) −12

xxiv) 12

22. i) −√

22

ii)√

22

iii) 12

iv) 0

v) 12

vi) 1

vii) −14

viii) −√

33

205


ix) π

x) 13

xi) −23

xii) π

xiii) −∞xiv) −∞xv) 1

3

xvi) 12

xvii) 3

xviii) 0

xix) 0

xx) 0

xxi) 12

xxii) −1

xxiii) −1

7. Continuidad de funciones

7.1. Taller A.

1. a) f es discontinua en a = 1, por que f no es esta definida en a = 1

b) g es discontinua en a = 1, porque el lımx→1

g(x) no existe

c) h es discontinua en a = 1, porque el lımx→1

h(x) 6= h(1) no existe

2. La funcion f es discontinua en: a = −3, a = −1 y a = 4

4. i) b) f es discontinua en a = 0, a = 13 , a = 2

3 , a = 5, a = 1, y tiene undiscontinuidad removibles en a = 1

ii) b) g es discontinua en a = −4, a = 23 , a = 1

3 , a = −3, a = 0, a = 1 , ytiene un discontinuidad removible en a = 1 y a = 0

7. i) a) El dominio de la f = R− {2, 3}b) f tiene discontinuidades en: a = 2, a = 3, y tiene una discontinuidad

removible en a = 3

206


c) La recta x = 2 es asıntota vertical de la grafica fd) La recta y = 1 es asıntota horizontal izquierda y derecha de la grafica

de f

ii) a) El dominio de la f = R− {1, 2}b) f tiene discontinuidades en: a = 1, a = 2, y tiene una discontinuidad

removible en a = 1c) La recta x = 2 es asıntota vertical de la grafica fd) La recta y = 1 es asıntota horizontal izquierda y derecha de la grafica

de f

iii) a) El dominio de la f = R− {−1, 2}b) f tiene discontinuidades en: a = −1, a = 2, y tiene una

discontinuidad removible en a = −1c) La recta x = 2 es asıntota vertical de la grafica fd) La recta y = 0 es asıntota horizontal izquierda y derecha de la grafica

de f

iv) a) El dominio de la f = R− {−2, 1}b) f tiene discontinuidades en: a = −2, a = 1, y tiene una

discontinuidad removible en a = −2c) La recta x = 1 es asıntota vertical de la grafica fd) La recta y = 1 es asıntota horizontal izquierda y derecha de la grafica

de f

v) a) El dominio de la f = R− {−2, 1}b) f tiene discontinuidades en: a = −2, a = 1, y tiene una

discontinuidad removible en a = −2c) La recta x = 1 es asıntota vertical de la grafica fd) La recta y = x es asıntota oglicua izquierda y derecha de la grafica

de f

vi) a) El dominio de la f = R− {1, 2}b) f tiene discontinuidades en: a = 1, a = 2, y estas discontinuidades

son removible

vii) a) El dominio de la f = [12 ,+∞)− {1, 2}b) f tiene discontinuidades en: a = 1, a = 2, y tiene una discontinuidad

removible en a = 1c) La recta x = 2 es asıntota vertical de la grafica f

207


d) La recta y = 0 es asıntota horizontal derecha de la grafica de f

viii) a) El dominio de la f = R− {2}b) f tiene discontinuidades en todos los numeros de la formula a = m

2 ,en donde m es un entero, y todas las discontinuidades son esenciales

c) La recta x = 2 es asıntota vertical de la grafica fd) La recta y = −1 es asıntota horizontal izquierda y derecha de la

grafica de f

ix) a) El dominio de la f = (0,+∞)− {1e , e}

b) f tiene discontinuidades en: a = 1e , a = e, y estas dos discontinuidades

son esencialesc) Las rectas x = 1

e y x = e son asıntotas verticales de la grafica fd) La recta y = 0 es asıntota horizontal derecha de la grafica de f

x) a) El dominio de la f = R− {1}b) f tiene discontinuidades en: a = 1, y esta discontinuidad es esencialc) La recta x = 1 es asıntota vertical de la grafica fd) La recta y = π

2 asıntota horizontal derecha y la recta−π2 es la asıntota

horizontal izquierda de la grafica de f

xi) a) El dominio de la f = R− [1, 5]b) f tiene discontinuidades en: a = 1, a = 5, y tiene una discontinuidad

removible en a = 5c) La recta x = 1 es asıntota vertical de la grafica fd) La recta y = 1 es asıntota horizontal izquierda de la grafica de f

xii) a) El dominio de la f = R− {2, 3}b) f tiene discontinuidades en: a = 2, a = 3, y estas discontinuidades

son esencialesc) La recta x = 2 y x = 3 son asıntotas verticales de la grafica fd) La recta y = 0 es asıntota horizontal izquierda y derecha de la grafica

de f

10. a = −1, o a = 3

12. i) a = 3, b = −2 ii) a = 1, b = 2

14. b = 12

208


15. a)

f(x) =

−1x+ 3

+ 1, si x < −3 ,

x+ 4, si −3 6 x < −2,3, si x = −2,√

4− x2, si −2 < x < 0,1, x=0,x+ 2, si 0 < x < 1,3− x, si 1 6 x 6 2,−x2 + 6x− 6, si 2 < x < 3,9− 2x, si 3 < x 6 4,−6x− 4

+ 3, si 4 < x

d) f no es continua en el intervalo dado en: ii), v), vii) vii) x) xi) xiii)

e) De los intervalos indicados en e) solamente se puede aplicar el teoremade valor intermedio a la funcion f en intervalo [1, 2]

8. Derivadas

8.1. Taller A

1. y = −2x+ 5

2. x− 2y = 0

3. a = 2π3 , a = 4π

3

4. a) Recta tangente 2x− y + 2 = 0, recta normal x+ 2y − 9 = 0b)Recta tangente x− 2y + 1 = 0, recta normal 2x+ y − 8 = 0

5. El punto (3, 6)

6. a) i) f(1) = 3, ii) lımx→1

f(x) = lımx→1−

(√x+ 2) = lım

x→1+(ax+ b), esto es:

lımx→1

f(x) = 3 = a+ b, iii) lımx→1

f(x) = f(1)

b) f ′−(1) = lımh→0−

f(1 + h)− f(1)h

= lımh→0−

√1 + h+ 2− 3

h=

12

f ′+(1) = lımh→0+

f(1 + h)− f(1)h

= lımh→0+

a(1 + h) + b− 3h

= a

209


c) a =12

, b =52

7.−18

, b =98

10. a) i) f esta definida en 0, ii) lımx→0−

(√

1− x+ 2) = lımx→0+

(x2 − 2x+ 3) = 3

= lımx→0

f(x), iii) lımx→0

f(x) = f(0)

b) f ′−(0) = lımh→0−

f(0 + h)− f(0)h

= lımh→0−

√1− h+ 2− 3

h= −1

2

f ′+(0) = lımh→0+

f(0 + h)− f(0)h

= lımh→0+

(h2 − 2h+ 3)− 3h

= −2

f ′(0) no existe, ya que f ′−(0) 6= f ′+(0)

c) lımx→3−

f(x) = lımx→3−

(x2 − 2x+ 3) = 6,

lımx→3+

f(x) = lımx→3+

(√x− 3 + 1) = 1, f no es continua en x = 3

d) f no es derivable en x = 3, ya que f no es continua en x = 3

e)

f ′(x) =

−1

2√

1− x, si x < 0 ,

2x− 2, si 0 < x < 3,1

2√x− 3

, si 3 < x

11. a) f ′(1) no existe, ya que f ′−(1) = lımh→o−

f(1 + h)− f(1)h

= lımh→0−

[(1 + h)2 + 1]− 2h

= 2

f ′+(1) = lımh→0+

f(1 + h)− f(1)h

= lımh→0+

[(1 + h)2 + 2]− 2h

= +∞

c)

f ′(x) =

{2x, si x < 1,2x, si 1 < x

Esto es f ′(x) = 2x con x 6= 1

14. a)1

1 + cos(x)

b)1

1− sen(x)

210


c)−1

1 + x2

d)43

(x− 1x2/3

)e)−20(2x+ 1)3

(3x+−1)5

f)1√

3− x2 + 2x

g)

√4− x2 + x arc sen(x2 )

(4− x2)31

h)2− 2x arctan(x2 )

(4 + x2)2

15. a)(1− x)(1 + x)

(1 + x2)2

b)53

(2− xx1/3

)c)

43

(1− xx2/3

)d)

4− xx1/3(6− x)2/3

e) −3ecos(3x) sen(3x)

f) 10esen2(5x) sen(5x) cos(5x) = 5esen

2(5x) sen(10x)

g)1

x[1 + (lnx)2]

h)x√

1 + x2

i)2 cos(4x)√1 + sen(4x)

j)6 sen(2x)

(1 + cos(2x))4

k) (lnx)(lnx+ 2)

l)(lnx)(2− lnx)

x2

211


m) (arctanx)2 +2 arctanx

1 + x2

16. x− 2y + 2 ln 2− 2 = 0

17. ((2 + 6n)π3 , (2 + 6n)π3 +√

3), ((4 + 6n)π3 , (4 + 6n)π3 −√

3), donde n es cualquiernumero entero

18. a =7π6

, a =11π6

19. a) (1, 1)

b) (2, 4)

c) (−12 ,−π6 ), (1

2 ,π6 )

d) (−1, −π4 ), (1, π4 )

e) (−1,−π4 ), (1, π4 )

f) (0, π4 )

g) (1, 0)

h) (e, e), (e−1, 5e−1)

20. (3, 1/3)

21. (1, 8)

22. x+ e4y − 3e2 = 0

23. a)x+ a2y − 2a = 0, b)2√a4 + 1a

24. a =π

6, a =

5π6

25.(√

e,1

2√e

)

29. a)dy

dx=−6(x+ 1)(x2 + 2x)4

.

b)dy

dx=

1 + 2 sen(4x)2√x+ sen2(2x)

31. a) Recta tangente x+ 2y − 2− π2 = 0, recta normal 2x− y + 1− π = 0

32. a) y′ = (2x−ey)yxyey+1

212


b) y′ =x(x− 2y)x2 − 1

c) y′ =y

x

d) y′ =(4x2 − x− 2x(1 + 6y2)

e) y′ =(x− 1)yx(y + 2)

f) y′ =−6x2y − y − 18x

x+ xy + 3

33. y′ =(6x2 − 2x(4y + 1)

, 4x+ 5y − 1 = 0

34. a) y′ =(1 + 2x2)yx(y − 2)

, x− y − 2 = 0

b) y′ =−2x− ye(xy))

6y + xexy, x+ 6y − 6 = 0

c) y′ =3x2 − 2y2

4xy − 3, x+ y − 3 = 0

d) y′ =(2x− ey)yxyey + 1

, ex+ y − 1 = 0

e) y′ =cos(y)− y cos(xy)x[cos(xy) + sen(y)]

, (4− π)x− 8y + 3π − 4 = 0

f) y′ =−y2 sen(xy2)

2xy sen(xy2) + cos(y), y = 0

g) y′ =(1 + y2)(y2 − 2x)1− 2xy + 2xy3

, 2x− 3y + 1 = 0

h) y′ =−2x− ye(xy)

xexy − 2y, y = 1

2x+ 1

i) y′ =18x− 6x2y2 − y2

2xy + 2xy2 − 6, y = 5x− 7

j) y′ =(3x2 − ey)(1 + y)xey + xyey − 2y − 1

, 11x− y − 22 = 0

213


35. a) y′ =−ysen(x)− y2 cos(xy2)

1− cos(x) + 2xy cos(xy2),

Recta tangente y =1

2(1− π)x+

3π − 22(π − 1)

,

Recta normal y = 2(π − 1)x− 2π(π − 1) + 1

b) y′ =−1− sen(x+ y)

sen(x+ y), Recta tangente y =

−2√

3− 33

x+π

3,

Recta normal y =3

2√

3 + 3x+

π

3

c) y′ =cos(xy)− xy sen(xy) + 2xy + 1−x2 + x2 sen(xy) + cos(y) + 1

,

Recta tangente y = −2πx+ 3π,

Recta normal x− 2πy + 2π2 − 1 = 0

d) y′ =(2x2 − 1)yx(2− y)

, Recta tangente x+ 3y + 2 = 0,

Recta normal y = 3x− 4

e) y′ =−yexy − 2xxexy + 6y

, Recta tangente x+ 6y − 6 = 0,

Recta normal 6x− y + 1 = 0

f) y′ =6x2 − y2

2xy − 3, Recta tangente y = 2x,

Recta normal x+ 2y − 5 = 0

g) y′ =−y sen(x)− y2 cos(xy2)

1− cos(x) + 2xy cos(xy2), Recta tangente y− 1 =

12(1− π)

(x− π),

Recta normal y − 1 = 2(π − 1)(x− π)

h) y′ =(2√

3 + 2xy − y)√

1− y2

√3 + 2xy + x

√1− y2

, Recta tangente y− 12 =

7√

32(4 +

√3)

(x− 1),

Recta normal y − 12 =−2(4 +

√3)

7√

3(x− 1)

i) y′ =−(2x+ 1)ye(x

2+x−2) − arctan(y2 ) + 4x+ π4

e(x2+x−2) +2x

4 + y2

,

Recta tangente 8x+ 5y − 18 = 0,

214


Recta normal 5x− 8y + 11 = 0

j) y′ =2x− y sen(x)− y cos(xy)6y + x cos(xy)− cos(x)

, Recta tangente y =−15x+ 1,

Recta normal y = 5x+ 1

36. La pendiente de la recta tangente a la curva xy = 2, en el punto (a, b) es

m1 = y′(a) =−2a2

, la pendiente de la recta tangente a la curva x2 − y2 = 3 en

el punto (a, b) es m2 = y′(a) =a

b=a2

2, por lo tanto m1.m2 = −1

37. 4x− 5y = −16, x+ 10y = 14

38. y = 2x+ 8, y = 2x− 8

39. y =5√

33

40. y′ =−2x− yx+ 2y

, y′′ =−6(x2 + xy + y2)

(x+ 2y)3

41. y′ =6− 2xyx2 − 2y

, y′(2) = 1 y′′ = −2[−3x4y + 12x3 + 4y3 − 36

(x2 − 2y)3

],

y”(2)=-4

42. y′′ en (2, 1) es igual a 15.

43. a) Dx = [(cos(x)1/x2)] = (cos(x))1/x

2

[−x sen(x)− 2 cos(x) ln(cos(x))

x3 cos(x)

]b) Dx = [(1 + x2)x] = (1 + x2)x

[ln(1 + x2) +

2x2

1 + x2

]c) Dx = [xsen(x)] = xsen(x)

[cos(x) ln(x) +

sen(x)x

]d) Dx = [(1 + x2)1/x] = (1 + x2)1/x

[2x2 − (1 + x2) ln(1 + x2)

x2(1 + x2)

]e) Dx = [(sen(x))1/x

3] = (sen(x))1/x

3

[x3 cos(x)− 3x2 sen(x) ln(sen(x))

x6 sen(x)

]215


44. a) f tiene extremos realtivos en c = −4, c = −2, c = 0, c = 1. c = 4, c = 7.c = 8. en todos los puntos donde f tiene extremo relativo y la derivada existe,la derivada en ese punto es igual a cerob) f tiene puntos crıticos en: c = −6, c = −4, c = −2, c = 0, c = 1, c = 3,c = 4, c = 6, c = 7, c = 8

45. i) a) Dom (f) = R, b) f tiene puntos crıticos en c = −1, c = 1

ii) a) Dom (f) = R, b) f tiene puntos crıticos en c = −1, c = 1

iii) a) Dom (f) = R, b) f tiene puntos crıticos en c = 0, c = 4, c = 6

iv) a) Dom (f) = R, b) f tiene puntos crıticos en c = 0, c = 2

v) a) Dominio (f) = (−∞,−1)∪ (2,+∞), b) f no tiene puntos crıticos

vi) a) Dom (f) = R− {1}, b) f no tiene puntos crıticos

vii) a) Dom (f) = R, b) f tiene puntos crıticos en c = 0, c = 2

viii) a) Dom (f) = (0,+∞), b) f tiene puntos crıticos en c =1e2

, c = 1

8.2. Taller B. Teorema de Rolle y Teorema del valor intermedio

1. i) f(x) = x4/3− 3x1/3 es continua en cada punto del intervalo cerrado [0, 3]

ii) f ′(x) =4x− 33x2/3

existe en cada punto del intervalo abierto (0, 3)

iii) f(0) = 0 = f(3) por lo tanto, existe c ∈ (0, 3), tal que

f ′(c) = 0 esto es,4c− 33c2/3

= 0. Entonces c = 3/4 ∈ (0, 3)

2. i) f(x) = e(x2+x−2) es continua en cada punto del intervalo cerrado [−2, 1]

ii) f ′(x) = (2x + 1)ex(x2+x−2) existe en cada punto del intervalo abierto(−2, 1)

iii) f(−2) = 1 = f(1) por lo tanto, existe c ∈ (−2, 1), tal que f ′(c) = 0 estoes, (2c+ 1)e(c

2+c−2) = 0. Entoncesc = −1/2 ∈ (−2, 1)

3. f(t) = g(t)− h(t) satisface las tres condiciones de la hipotesis del teorema deRolle sobre el intervalo cerrado [0, T ], siendo T el tiempo que duro la carrera.Ası, por el teorema de Rolle existe t0 ∈ (0, T ) tal que f ′(t0) = 0

4. a) Como f ′(c) =−2

3c13

entonces f ′(c) 6= 0 para todo c ∈ (−1, 1) con c 6= 0

216


b) L = 0 tres condicones de la hipotesis del teorema de Rolle no sonsatisfechas por la funcion dada en el intervalo cerrado [−1, 1], ya quef ′(0) no existe

5. Como f ′(12) no existe, y f ′(x) =

{2, Si x > 1

2

−2, Si x < 12

entonces

f ′(c) 6= 0 para todo c ∈ (0, 1) con c 6= 12 .

Lo anterior no contra dice el teorema de Rolle, ya que las tres condiciones sonsafisfechas por la funcion dada en el intervalo cerrado [0, 1]

6 a) i) f(x) = x3 − 3x2 + 5 es continua en cada punto del intervalo cerrado[−1, 2]

ii) f ′(x) = 3x2 − 6x existe en cada punto del intervalo abierto (−1, 2)iii) f(−1) = 1 = f(2), Por lo tanto, existe c ∈ (−1, 2) tal que f ′(c) = 0.

Esto es, 3c(c− 2) = 0. Entonces c = 0, o, c = 2, c = 0 ∈ (−1, 2)

217


6. b) c =−23

, c =12

c) c = −√

3, c =√

3d) i) f(x) = 3

√x2 − 5x+ 6 es continua en cada punto del intervalo cerrado

[2, 3]

ii) f ′(x) =2x− 5

3[(x− 3)(x− 2)]2/3existe en cada punto del intervalo

abierto (2, 3)iii) f(2) = f(3) = 0. Por lo tanto, existe c ∈ (2, 3) tal que f ′(c) = 0 esto

es,2c− 5

3[(c− 3)(c− 2)]23

= 0, entonces c = 52 ∈ (2, 3)

e) c = π2 , c = π, c = 3π

2

f) i) f(x) =√

1 + sen(2x) es continua en cada punto del intervalo cerrado[0, π2 ]

ii) f ′(x) =cos(2x)√

1 + sen(2x)existe en cada punto del intervalo abierto

(0, π2 )iii) f(0) = f(π2 ) = 1. Por lo tanto, existe c ∈ (0, π2 ) tal que f ′(c) = 0 esto

es,cos(2c)√

1 + sen(2c)= 0, los numeros reales c tales que cos(2c) = 0 y

1 + sen(2c) 6= 0 son de la forma c = (4n+ 1)π4 donde n es cualquiernumero entero. Ası, para n = 0, c = π

4 ∈ (0, π2 )

7. f(x) = x2 + x sen(x) − cos(x) satisface la hipotesis del teorema del valorintermedio sabre cada uno de los intervalos cerrados [−π, 0] y [0, π] como k = 0esta entre f(−π) = π2 + 1 y f(0) = −1 entonces existe un c1 ∈ (−π, 0) tal quef(c1) = k = 0.

Como k = 0 esta entre f(0) = −1 y f(π) = π2 + 1

218


Entonces existe c2 ∈ (0, π) tal que f(c2) = k = 0.

De lo anterior vemos que f tiene por lo menos dos ceros reales c1 y c2 y porconsiguiente, la ecuacion f(x) = 0, esto es x2 − x sen(x) − cos(x) = 0 tienepor lo menos dos soluciones reales c1 y c2.

Para ver que c1 y c2 son las unicas soluciones de la ecuacionx2 = x sen(x) + cos(x) basta observar que f ′(x) = x(2 − cos(x)) esigual a cero unicamente cuando x = 0.

De esta manera vemos que si la ecuacion x2 = x sen(x) + cos(x) tiene otrasolucion c3 distinta de c1 y de c2 entonces f(c3) = 0 y por consiguiente c3 6= 0y por lo tanto c3 serıa positiva o negativa.

Suponiendo que c3 > 0 entonces f(x) = x2 − x sen(x) − cos(x) satisface lashipotesis del teorema de Rolle sobre el intervalo cerrado con extremos c2 y c3tal que f ′(c) = 0. Un argumento similar se puede decir si c3 fuera negativo.

8. Aplicar el teorema del valor intermedio af(x) = x5 + x3 + 2x − 3 sobre el intervalo cerrado [0, 1] y utilizar el teoremade Rolle para comprobar que no pueden existir dos ceros reales de f en elintervalo (0, 1).

9. Veamos que f(x) = x −√

2x− 1 satisface las dos condiciones de la hipotesisdel teorema del valor intermedio sobre el intervalo cerrado [1, 5]

1) Como f(x) = x −√

2x− 1 es continua sobre su dominio de definicion= [12 ,+∞) entonces f es continua sobre el intervalo cerrado [1, 5].

2) f ′(x) = 1− 1√2x− 1

existe en cada punto del intervalo abierto (1, 5).

Por lo tanto, el teorema del valor intermedio garantiza que existe por lomenos un c ∈ (1, 5) tal que f(5)− f(1) = f ′(c)(5− 1).

Esto es, 2− 0 =(

1− 1√2c− 1

)(5− 1).

Entonces c = 52 ∈ (1, 5)

219


10. a) I) 1. f(x) = 4+√

2x− 1 existe en cada punto del intervalo abierto [1, 5]

2. f ′(x) =1√

2x− 1existe en cada punto del intervalo (1, 5)

II) Existe c ∈ (1, 5) tal que f(5) − f(1) = f ′(c)(5 − 1) esto es 7 − 5 =(1√

2c− 1

)(5− 1). Entonces c =

52∈ (1, 5)

b) I) f(x) = x3 − 2x2 + x+ 3 satisface las dos condiciones de la hipotesisdel teorema del valor intermedio sobre el intervalo cerrado [−1, 1]

II) Existe c ∈ (−1, 1) tal que f(1) − f(−1) = f ′(c)(1 − (−1)) esto es3 − (−1) = (3c2 − 4c + 1)(1 − (−1)). Por lo tanto 3c2 − 4c − 1 = 0.

Ası c =2±√

73

, c =2 +√

73

/∈ (−1, 1), pero c =2−√

73

∈ (−1, 1)

c) I) 1. f(x) = |x− 3| es continua en el intervalo cerrado [0, 4]2.

f ′(x) =

{−1, si x < 31, si x > 3

.

Pero f ′(3) = lımh→0

f(3 + h)− f(3)h

= lımh→0

|h| − 0h

= lımh→0

|h|h

no existeya que:

f ′−(3) = lımh→0−

f(3 + h)− f(3)h

= lımh→0−

|h|h

= lımh→0−

−hh

= −1

, y,

f ′+(3) = lımh→0+

f(3 + h)− f(3)h

= lımh→0+

|h|h

= lımh→0+

h

h= 1

Ası f no es derivable en cada punto del intervalo abierto (0, 4)

Entonces, una condicion de la hipotesis del teorema del valorintermedio no es satisfecha por la funcion f sobre el intervalo cerrado[0, 4].

d) i) 1. f(x) = 1− x2/3 es continua sobre el intervalo cerrado [−1, 1]

2. La derivada f ′(x) =−2

3x1/3no existe en x = 0; Entonces f no es

derivable en cada punto del intervalo abierto (-1,1).

220


Ası, una condicion de la hipotesis del teorema del valor intermediono es satisfecha por la funcion f sobre el intervalo cerrado [−1, 1]

e) I) 1. f(x) = 1− 3x1/3 es continua sobre el intervalo cerrado [−1, 8]

2. La derivada f ′(x) = − 1x2/3

no existe en x = 0; Entonces f no es

derivable en cada punto del intervalo abierto (−1, 8).

Ası, una condicion de la hipotesis del teorema del valor intermediono es satisfecha por la funcion f sobre el intervalo cerrado [−1, 8]

f) I) 1. f(x) = x− 3x1/3 es continua sobre el intervalo cerrado [0, 1]

2. f ′(x) = 1− 1

x23

existe en cada punto intervalo abierto (0, 1)

II) Existe c ∈ (0, 1) tal que f(1)− f(0) = f ′(c)(1− 0) esto es −2− 0 =(1− 1

c2/3

)(1− 0). Por lo tanto c = ± 1

3√

3c = − 1

3√

3/∈ (0, 1), pero

c =1

3√

3∈ (0, 1)

g) I) 1. f(x) = θx2 + βx+ γ es continua sobre el intervalo cerrado [a, b]2. f ′(x) = 2θx+ β existe en cada punto del intervalo abierto (a,b)

II) Existe c ∈ (a, b) tal que f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a) esto es (θb2 +βb+

γ)− (θa2 +βa+γ) = (2θc+β)(b−a). Por lo tanto c =a+ b

2∈ (a, b)

h) I) 1. f(x) = x+ 2 cos(x) es continua sobre el intervalo cerrado [0, 2π]2. f ′(x) = 1 − 2 sen(x) existe en cada punto del intervalo abierto(0, 2π)

II) Existe c ∈ (0, 2π) tal que f(2π) − f(0) = f ′(c)(2π − 0); Esto es(2π+2)−2 = (1−2 sen(c))(2π−0). Por lo tanto sen(c) = 0 entoncesc = nπ. Ası, para n = 1, c = π ∈ (0, 2π)

i) I) 1. f(x) = arc sen(x) es continua sobre el intervalo cerrado [0, 1]

2. f ′(x) =1√

1− x2existe en cada punto del intervalo abierto (0, 1)

II) Existe c ∈ (0, 1) tal que f(1) − f(0) = f ′(c)(1 − 0); Esto es

(π

2− 0) =

1√1− c2

(1− 0). Entonces c = ±√π2 − 4π

. Por lo tanto

c =√π2 − 4π

∈ (0, 1)

j) I) 1. f(x) = arctan(x) satisface las dos condiciones de la hipotesis delteorema del valor intermedio sobre el intevalo cerrado [0, 1]

221


II) Existe c ∈ (0, 1) tal que f(1)− f(0) = f ′(c)(1− 0); Esto es (π4 − 0) =1

1 + c2(1− 0). Por lo tanto, c = ±

√4− ππ

. Ası, c =

√4− ππ∈ (0, 1)

k) I) 1. f(x) = ln(x) satisface las dos condiciones de la hipotesis delteorema del valor intermedio sobre el intevalo cerrado [1, e]

II) Existe c ∈ (1, e) tal que f(e) − f(1) = f ′(c)(e − 1); Esto es 1 − 0 =1e

(e− 1). Por lo tanto, c = e− 1 ∈ (1, e)

l) I) 1. f(x) = x(ln(x))2 es continua sobre el intervalo cerrado [1e , e]2. f ′(x) = (ln(x))2 + 2 ln(x) entonces f es derivable en cada puntodel intervalo abierto (1

e , e)

II) Existe c ∈ (1e , e) tal que f(e)− f

(1e

)= f ′(c)(e− 1

e );

Esto es e− 1e = ((ln c)2 + 2 ln c)(e− 1

e ).

Entonces (ln(c))2 + 2 ln(c) − 1 = 0. Ası c = e−1+√

2, o, c = e−1−√

2.Facilmente se ve que c = e−1−

√2 /∈ (1

e , e), Pero que c = e−1+√

2 ∈(1e , e)

m) I) 1.

f(x) =

{x2, si x ≤ 1,x2 + 8, si 1 < x

No es continua en x = 1, ya que el lımx→1

f(x)no existe.

En efectolımx→1−

f(x) = lımx→1−

x2 = 1, y, lımx→1+

f(x) = lımx→1+

(x2 + 8) = 9.

Entonces f no es continua sobre el intervalo cerrado [0, 2].2. f ′(x) = 2x, si x 6= 1. Pero f no es derivable en x = 1 ya que f noes continua en x = 1 y ası, f tampoco es derivable en cada puntodel intervalo abierto (0, 2).

Ası, las dos condiciones de la hipotesis del teorema del valorintermedio no son satisfechas por la funcion f sobre el intervalocerrado [0, 2]

222


n) I) 1. Vemos que:

f(x) =

{x2, si x ≤ 1,2 ln(x) + 1, si 1 < x

Es continua sobre el intervalo cerrado [0, e]

f(x) = x2 Es continua sobre el intervalo semiabierto [0, 1).

f(x) = 2 ln(x) + 1 es continua sobre el intervalo semiabierto (1, e].

Ademas, f es continua en x = 1, ya que:

i) f esta definida en x = 1, pues f(1) = 12 = 1.

ii) Como lımx→1−

f(x) = lımx→1−

x2 = 1, y,

lımx→1+

f(x) = lımx→1+

(2 ln(x) + 1) = 1 entonces lımx→1

f(x) = 1.

iii) lımx→1

f(x) = f(1)

2. Veamos que f es derivable en cada punto del intervalo abierto(0, e)

f ′(x) =

{2x, si x < 1,2x , si 1 < x

Ademas f ′(1) = lımh→0

f(1 + h)− f(1)h

existe ya que:

f ′−(1) = lımh→0−

f(1 + h)− f(1)h

= lımh→0−

(1 + h)2 − 1h

= 2

f ′+(1) = lımh→0+

f(1 + h)− f(1)h

= lımh→0+

(2 ln(1 + h) + 1)− 1h

=

223


lımh→0+

2 ln(1 + h)h

= 2 lımh→0+

ln[(1 + h)1/h] = 2

Ası,

f ′(x) =

{2x, si x ≤ 1,2x , si 1 < x

Por lo tanto, f es derivable en cada punto del intervalo abierto (0, e)II) Existe c ∈ (0, e) tal que f(e) − f(0) = f ′(c)(e − 0); Esto es

(3− 0) = f ′(c)e.

Por lo tanto, f ′(c) =3e

si c ≤ 1 entonces 2c =3e

. por lo tanto c =32e

si 1 < c entonces2c

=3e

, por lo tanto c =2e3

ademas c =32e∈ (0, 1] ⊂ (0, e] y, c =

2e3∈ (1, e) ⊂ (0, e)

n) I) 1.

f(x) =

{x2, si x ≤ 1,5 ln(x) + 1, si 1 < x

Es continua sobre el intervalo cerrado [0, e].2.

f ′(x) =

2x, si x < 1,5x, si 1 < x

Pero f no es derivable en x = 1, ya quef ′−(1) = 2, y, f ′+(1) = 1

11. Para x > 0, f(t) = tet − et + 1 satisface los dos condiciones de la hipotesis delteorema del valor intermedio sobre el intervalo cerrado [0, x].

Por lo tanto, existe c ∈ (0, x) tal que f(x) − f(0) = f ′(c)(x − 0); esto es(xex − ex + 1)− 0 = cxc(x− 0).

Ası, xex − ex + 1 = cxec > 0 porlo tanto, xex > ex − 1.

Po consiguiente xex ≥ ex − 1 si x ≥ 0 para x < o se obtiene un argumentoparecido

224


8.3 Taller C.

3. i) f(x) = 3x5 − 20x3, f ′(x) = 15x2(x− 2)(x+ 2),f ′′(x) = 60x(x−

√2)(x+

√2)

a) Dom (f) = Rb) Punto crıticos de f : c = −2, c = 0 y c = 2c) f es continua en c = −2, f ′(x) > 0 si x < −2, y, f ′(x) < 0 si−2 < x < 0, Entonces f tiene un maximo relativo en c = −2.f no tiene ni maximo relativo ni mınimo relativo en c = 0.f es continua en c = 2, f ′(x) < 0 si 0 < x < 2, y, f ′(x) > 0 si x > 2.Entonces f tiene un mınimo relativo en c = 2

d) f ′′(−2) = −240 < 0 entonces f tiene un maximo relativo en c = −2.f ′′(0) = 0 (el criterio no decide), f ′′(2) = 240 > 0 entonces f tieneun mınimo relativo en c = 2

ii) f(x) = 6x2 − x3, f ′(x) = 3x(4− x), f ′′(x) = 6(2− x)a) Dom (f) = Rb) Punto crıticos de f : c = 0 y c = 4c) Como f es continua en c = 0, f ′(x) < 0 si x < 0, y, f ′(x) > 0 si

0 < x < 4, entonces f tiene un mınimo relativo en c = 0.Como f es continua en c = 4, f ′(x) > 0 si 0 < x < 4, y, f ′(x) < 0 six > 4 entonces tiene un maximo relativo en c = 4

d) f ′′(0) = 12 > 0 entonces f tiene un mınimo relativo en c = 0.f ′′(4) = −12 entonces f tiene un maximo relativo en c = 4

iii) f(x) =x√

36− x2

2, f ′(x) =

18− x2

√36− x2

,

f ′′(x) =x(x− 3

√6)(x+ 3

√6)

(36− x)3/2

a) Dom (f) = [−6, 6]b) Punto crıticos de f : c = −3

√2 y c = 3

√2

c) Como f es continua en c = −3√

2, f ′(x) < 0 si −6 < x < −3√

2, y,f ′(x) > 0 si −3

√2 < x < 3

√2, entonces f tiene un mınimo relativo

en c = −3√

2.f es continua en c = 3

√2, f ′(x) > 0 si −3

√2 < x < 3

√2, y, f ′(x) < 0

si 3√

2 < x < 6 entonces f tiene un maximo relativo en c = 3√

2d) f ′′(−3

√2) = 2 > 0 entonces f tiene un mınimo relativo en

c = −3√

2, f ′′(3√

2) = −2 entonces f tiene un maximo relativo enc = 3

√2

225


iv) f(x) = x2 − x3

3, f ′(x) = x(2− x), f ′′(x) = 2(1− x)

a) Dom (f) = Rb) Punto crıticos de f : c = 0 y c = 2c) f es continua en c = 0, f ′(x) < 0 si x < 0, y, f ′(x) > 0 si 0 < x < 2,

entonces f tiene un mınimo relativo en c = 0.

f es continua en c = 2, f ′(x) > 0 si 0 < x < 2, y, f ′(x) < 0 si 2 < xentonces f tiene ni maximo relativo en c = 2

d) Como f ′′(0) = 2 > 0 entonces f tiene un mınimo relativo en c = 0.

Comof ′′(2) = −2 < 0 entonces f tiene un maximo relativo en c = 2

v) f(x) =x2

x− 1, f ′(x) =

x(x− 2)(x− 1)2

, f ′′(x) =2

(x− 1)3

a) Dom (f) = R− {1}b) Punto crıticos de f : c = 0 y c = 2c) Como f es continua en c = 0, f ′(x) > 0 si x < 0, y, f ′(x) < 0 si

0 < x < 1, entonces f tiene un maximo relativo en c = 0.

Como f es continua en c = 2, f ′(x) < 0 si 1 < x < 2, y, f ′(x) > 0 si2 < x entonces tiene un mınimo relativo en c = 2

d) f ′′(0) = −2 < 0, f ′′(2) = 2 > 0

vi) f(x) =√x2 − 2x+ 4 +

x

2, f ′(x) =

x− 1√x2 − 2x+ 4

+12

,

f ′′(x) =3

(x2 − 2x+ 4)32

a) Dom (f) = Rb) Punto crıticos de f : c = 0c) Como f es continua en c = 0, f ′(x) < 0 si x < 0, y, f ′(x) > 0 si

x > 0, entonces f tiene un mınimo relativo en c = 0d) f ′′(0) = 3

8 > 0

vii) f(x) = 12x− x3, f ′(x) = 3(2− x)(2 + x), f ′′(x) = −6x

a) Dom (f) = Rb) Punto crıticos de f : c = −2 y c = 2c) f tiene un mınimo relativo en c = −2, f tiene un valor maximo

relativo en c = 2

226


d) f ′′(−2) = 12 > 0, f ′′(2) = −12 < 0

viii) f(x) =x4

4− x3, f ′(x) = x2(x− 3), f ′′(x) = 3x(x− 2)

a) Dom f = Rb) Punto crıticos de f : c = 0 y c = 3c) f no tiene ni maximo relativo ni mınimo relativo en el punto crıtico

c = 0.f tiene un valor mınimo a relativo en c = 3

d) Como f ′′(0) = 0 el criterio no decide.Como f ′′(3) = 9 > 0 entonces, por criterio de la segunda derivada, ftiene un valor mınimo relativo en el punto c = 3

ix) f(x) = x4/3 − 4x1/3, f ′(x) =43

(x− 1

x23

), f ′′(x) =

49

(x+ 2

x53

)a) Dom f = Rb) Punto crıticos de f : c = 0 y c = 1c) Como f no tiene ni maximo relativo ni mınimo relativo en el punto

crıtico c = 0.

f tiene un valor mınimo relativo en c = 1 ya que f es continua enc = 1 y f ′(x) < 0, si 0 < x < 1 y f ′(x) > 0, si x > 1

d) f ′′(1) = 43 > 0

x) f(x) =1x

+x

2, f ′(x) =

(x−√

2)(x+√

2)

2x2, f ′′(x) =

2x3

a) Dom f = R− {0}b) puntos crıticos de f : c = −

√2 y c =

√2

c) Utilizando el criterio de la primera derivada se ve que f tiene un valormaximo relativo en c = −

√2 y f tiene un valor mınimo relativo en

c =√

2d) f ′′(−

√2) = −

√2

2 < 0, f ′′(√

2) =√

22 > 0

xi) f(x) = x3 − 3x2 + 4, f ′(x) = 3x(x− 2), f ′′(x) = 6(x− 1)

a) Dom f = Rb) Punto crıticos de f : c = 0 y c = 2c) f tiene un valor maximo relativo en c = 0, y f tiene un valor mınimo

relativo en c = 2d) f ′′(0) = −6, f ′′(2) = 6

227


xii) f(x) = x3 +3x

, f ′(x) =(x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)

x2,

f ′′(x) = 6(x4 + 1x3

)a) Dom f = R− {0}b) Los puntos crıticos de f son: c = −1 y c = 1c) f tiene un valor maximo relativo en c = −1, y, f tiene un valor

mınimo relativo en c = 1d) f ′′(−1) = −12, f ′′(1) = 12

xiii) f(x) = x2 +16x

, f ′(x) =2(x− 2)(x2 + 2x+ 4)

x2,

f ′′(x) =2(x+ 2 3

√2)(x2 − 2 3

√2 x+ 4( 3

√2)2)

x3

a) Dom f = R− {0}b) puntos crıticos de f : c = 2c) Como f es continua en c = 2, f ′(x) < 0, si 0 < x < 2, y, f ′(x) > 0, si

x > 2 entonces por el criterio de la primera derivada f tiene un valormınimo relativo en el punto crtico c = 2.

d) f ′′(2) = 6

xiv) f(x) = x2√

9− x2, f ′(x) =3x(√

6− x)(√

6 + x)√9− x2

,

f ′′(x) =6(x2 − 3

4(9 +√

33))(x2 − 34(9−

√33))

(9− x2)3/2

a) Dom f = [−3, 3]b) puntos crıticos de f : c = −

√6, c = 0 y c =

√6

c) f tiene valores maximos relativos en c = ±√

6, y, f tiene un valormınimo relativo c = 0.

d) f ′′(±√

6) = −36√3

, f ′′(0) = 6

xv) f(x) =x

2− sen(x), f ′(x) =

12− cos(x), f ′′(x) = sen(x)

a) Dom (f) = Rb) Puntos crıticos de f : c = (6n + 1)π3 , y, c = (6n − 1)π3 , donde n =

0,±1,±2, ...c) f tiene valores mınimos relativos en c = (6n+ 1)π3

f tiene valores maximos relativos c = (6n− 1)π3 .

228


d) f ′′((6n+ 1)π3 ) =√

32 > 0, f ′′((6n− 1)π3 ) = −

√3

2 < 0

xvi) f(x) = xex/2, f ′(x) =(x+ 2)

2ex/2, f ′′(x) =

(x+ 4)4

ex/2

a) Dom (f) = Rb) c = −2 es el unico punto crıtico fc) Como f es continua en c = −2, f ′(x) < 0, si x < −2, y, f ′(x) > 0,

si x > −2 entonces el criterio de la primera derivada garantiza que ftiene un valor mınimo relativo en c = −2.

d) f ′′(−2) = 12e > 0

xvii) f(x) =ln(x)x

, f ′(x) =1− ln(x)

x2, f ′′(x) =

−3 + 2 ln(x)x3

a) Dom (f) = (0,+∞)b) puntos crıticos de f : c = e

c) Como f es continua en c = e, f ′(x) > 0, si 0 < x < e, y, f ′(x) < 0,si x > e entonces f tiene un valor maximo relativo en el punto crticoc = e.

d) Como f ′′(e) = − 1e3< 0, El criterio de la segunda derivada garantiza

que f tiene en el punto crıtico c = e un valor maximo relativo

xviii) f(x) = x(ln(x))2, f ′(x) = (ln(x))(ln(x) + 2),

f ′′(x) =2(ln(x) + 1)

xa) Dom (f) = (0,+∞)b) puntos crıticos de f : c = 1

e2, c = 1

c) Como f es continua en c = 1e2

, f ′(x) > 0, si 0 < x < 1e2

, y, f ′(x) < 0,si 1

e2< x < 1 entonces f tiene un valor maximo relativo en c = 1

e2.

Como f es continua en c = 1, f ′(x) < 0 si1e2< x < 1, y, f ′(x) > 0

si x > 1 entonces f tiene un valor mınimo relativo en c = 1d) f ′′( 1

e2) = −2e2 < 0, f ′′(1) = 2 > 0

xix) f(x) = x1/3(6− x)2/3, f ′(x) =2− x

x2/3(6− x)1/3,

f ′′(x) =−8

x5/3(6− x)4/3

a) Dom (f) = Rb) puntos crıticos de f : c = 0, c = 2, c = 6

229


c) Como f es continua en c = 0, f ′(x) > 0, si x < 0, y, f ′(x) < 0, si0 < x < 2 entonces f no tiene ni valor maximo ni valor mınimorelativo c = 0.

Como f es continua en c = 2, f ′(x) > 0, si 0 < x < 2, y, f ′(x) < 0,si 2 < x < 6 entonces f tiene un valor maximo relativo c = 2.

Como f es continua en c = 6, f ′(x) < 0, si 2 < x < 6, y, f ′(x) > 0,si x > 6 entonces f tiene un valor mınimo relativo c = 6.

d) El criterio de la segunda derivada no se puede utilizar para lospuntos c = 0, y, c = 6, ya que f ′′(0) no existe y f ′′(6) no existe.

Para el punto crıtico c = 2 si se puede aplicar el criterio de la segunda

derivada ya que f ′′(2) =−1

2 3√

2

xx) f(x) =1 + 2 ln(x)

x, f ′(x) =

1− 2 ln(x)x2

,

f ′′(x) =4(ln(x)− 1)

x3

a) Dom f = (0,+∞)b) puntos crıticos de f : c = e1/2

c) Como f es continua en c = e1/2, f ′(x) > 0, si 0 < x < e1/2, y,f ′(x) < 0, si x > e1/2 entonces f tiene un valor maximo relativo enc = e

12 .

d) f ′′(e1/2) =−2e3/2

< 0

xxi) f(x) = x−√

2x− 1, f ′(x) = 1− 1√2x− 1

,

f ′′(x) =1

(2x− 1)3/2

a) Dom f = [12 ,+∞)b) puntos crıticos de f : c = 1c) f tiene un valor mınimo relativo en c = 1.d) f ′′(1) = 1 > 0

xxii) f(x) =x3 + 250

x, f ′(x) =

2(x− 5)(x2 + 5x+ 25)x2

,

f ′′(x) =2(x+ 5 3

√2)(x2 − 5 3

√2x+ (5 3

√2)2)

x3

230


a) Dom f = R− {0}b) puntos crıticos de f : c = 5c) f tiene un valor mınimo relativo en el punto crıtico c = 5.d) f ′′(5) = 6 > 0

xxiii) f(x) =x3

x− 2, f ′(x) =

2x2(x− 3)(x− 2)2

, f ′′(x) =2x(x2 − 6x+ 12)

(x− 2)3

a) Dom (f) = R− {2}b) puntos crıticos de f : c = 0, c = 3c) f no tiene ni valor maximo relativo ni valor mınimo relativo en el

punto crı’tico c = 0.f tiene un valor mınimo relativo en el punto crıtico c = 3

d) f ′′(3) = 18 > 0

xxiv) f(x) =4x2 + 39x+ 81

x, f ′(x) =

(2x− 9)(2x+ 9)x2

,

f ′′(x) =162x3

a) Dom (f) = R− {0}b) puntos crıticos de f : c = 9

2 , c = −92

c) f tiene un valor maximo relativo en el c = −92 , y, f tiene un valor

mınimo relativo en c = 92

d) Como f ′′(−92) = −16

9 < 0, f ′′(92) = 16

9 > 0

xxv)

f(x) =

{−x2 + 2x+ 3, si x < 1,−x2 + 2x+ 2, si 1 ≤ x

f ′(x) = 2(1− x) si x 6= 1, f ′′(x) = −2 si x 6= 1

a) Dom (f) = Rb) puntos crıticos de f : c = 1, ya que f ′−(1) =

lımh→0−

f(1 + h)− f(1)h

= −∞, f ′=(1) = lımh→0+

f(1 + h)− f(1)h

= 0

c) A pesar que f ′(x) > 0, si x < 1, y, f ′(x) < 0, si 1 < x, en esteejercicio no se pueda aplicar el criterio de la primera derivada paradeterminar si f tiene o no un valor maximo relativo en el c = 1, yaque f no es continua en c = 1 (trazar la grafica de f).

d) El criterio de la segunda derivada no se puede utilizar para este puntocrıtico c = 1, ya que f ′′(1) no existe.

231


xxvi)

f(x) =

x2 + 2x+ 2, si x ≤ 0,log2 x, si 0 < x ≤ 2,cos(πx), si 2 < x ≤ 4

Como f no es continua en c = 0 entonces f no es derivable en c = 0.

f ′−(2) = lımh→0−

(log2(2 + h))− log2(2)h

=1

2 ln(2),

f ′+(2) = lımh→0+

(cos[π(2 + h)]− log2(2)h

= 0

f ′(x) =

2x+ 2, si x < 0,

1x ln(2)

, si 0 < x < 2,

−π sen(πx), si 2 < x < 4

f ′′(x) =

2, si x < 0,−1

x2 ln(2), si 0 < x < 2,

−π2 cos(πx), si 2 < x < 4

a) Dom (f) = (−∞, 4]b) puntos crıticos de f : c = −1, c = 0, c = 2, c = 3c) f tiene un valor mınimo relativo en c = −1.

No se puede aplicar el criterio de la primera derivada en el puntocrıtico c = 0.

Como f es continua c = 2, f ′(x) > 0, si 0 < x < 2, y, f ′(x) < 0, si2 < x < 3 entonces, por el crıterio de la primera derivada, f tiene unvalor maximo relativo en c = 2.f tiene un valor mınimo relativo en c = 3.

d) El criterio de la segunda derivada se puede aplicar unicamente a lospuntos crıticos c = −1, y, c = 3.

En estos puntos crıticos f ′′(−1) = 2, f ′′(3) = π2

232


xxvii)

f(x) =

2x, si x ≤ 0,cos(πx), si 0 < x < 5

2 ,

ln(2x− 4), si 52 < x

f ′(x) =

2x ln(2), si x < 0,−π sen(πx), si 0 < x < 5

2 ,1

x−2 , si 52 < x

f ′′(x) =

2x(ln(2))2, si x < 0,−π2 cos(πx), si 0 < x < 5

2 ,−1

(x−2)2, si 5

2 < x

a) Dom (f) = Rb) puntos crıticos de f : c = 0, c = 1, c = 2, c = 5

2

c) f tiene un valores maximos relativos en c = o y en c = 2.f tiene un valores mınimos relativos en c = 1 y en c = 5

2 .d) f ′′(1) = π2, f ′′(2) = −π2

5.

233


10. Los ejercicios de este numeral no contienen todo lo que el ejercicio pide que sehaga. Solamente se da alguna informacion, pero el lector debe hacer el ejerciciocompleto.

i. f(x) = 6x2 − x3

Dom(f) = Rf ′(x) = 3x(4− x)f ′′(x) = 6(2− x)

234


ii. f(x) = x3 − 3x2 + 4Dom(f) = Rf ′(x) = 3x(x− 2)f ′′(x) = 6(x− 1)

iii. f(x) = x3 + 3x−1

Dom f = R− {0}

f ′(x) =(x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)

x2

f ′′(x) =6(x4 + 1)

x3

235


iv. f(x) =x2 + 3x− 1

Dom (f) = R− {1}

f ′(x) =(x− 3)(x+ 1)

(x− 1)2

f ′′(x) =8

(x− 1)3Asıntotas oblicuasLa recta y = mx + b es asıntota oblicua derecha a la grafica de f sı:

m = lımx→+∞

f(x)x

, y, b = lımx→+∞

(f(x)−mx)

La recta y = mx + b es asıntota izquierda a la grafica de f sı: m =

lımx→−∞

f(x)x

, y b = lımx→−∞

(f(x)−mx)

236


v. f(x) = x3 − 3x2 + 5Dom (f) = Rf ′(x) = 3x(x− 2)f ′′(x) = 6(x− 1)

vi. f(x) =x4

4− x3

Dom (f) = R

237


f ′(x) = x2(x− 3)f ′′(x) = 3x(x− 2)

vii. f(x) = x1/3(x− 4)Dom (f) = R

f ′(x) =4(x− 1)

3x23

f ′′(x) =4(x+ 2)

9x53

Puntos crıticos de f :c = 0, c = 1 Puntos de inflexion:(−2, 6 3√

2) y (0, 0)

238


viii. f(x) = 3√

6x2 − x3

Dom (f) = Rf ′(x) =

4− xx1/3(6− x)2/3

f ′′(x) =−8

x4/3(6− x)5/3Puntos crıticos de f : c = 0, c = 4, c = 6

ix. f(x) = 3x5 − 20x3

239


Dom (f) = Rf ′(x) = 15x2(x− 2)(x+ 2)f ′′(x) = 60x(x−

√2)(x+

√2)

x. f(x) = x+ 2 sen(x), Dom f = R, f ′(x) = 1 + 2 cos(x),f ′′(x) = −2 sen(x), Los puntos crıticos de f :c = 2π

3 + 2nπ = (6n+ 2)π3 , c = 4π3 + 2nπ = (6n+ 4)π3

donde n es cualquier numero entero.f ′(x) < 0 sobre los intervalos abiertos ((6n + 2)π3 , (6n + 4)π3 ) conn = 0,±1,±2, ...f ′(x) > 0 sobre los intervalos abiertos ((6n − 2)π3 , (6n + 2)π3 ) conn = 0,±1,±2, ...f ′′(x) < 0 sobre los intervalos abiertos ((2nπ, (2nπ + 1)π) conn = 0,±1,±2, ...f ′′(x) > 0 sobre los intervalos abiertos ((2n + 1)π, (2n + 2)π) conn = 0,±1,±2, ...

Puntos de inflexion (nπ, nπ), con n = 0,±1,±2, ...Como f ′′(2π

3 + 2nπ) = −√

3 < 0 entonces f(2π3 + 2nπ) =

(6n+ 2)π3 +√

3 son valores maxımos relativos

Como f ′′(4π3 + 2nπ) =

√3 > 0, entonces f(4π

3 + 2nπ) ≤ (6n+ 4)π3 −√

3son valores mınimos relativos.

240


xi. f(x) = e−x2

Dom (f) = Rf ′(x) = (−2x)ex

2

f ′′(x) = 2e−x2(√

2x− 1)(√

2x+ 1)

xii. f(x) = ln(x2 − x− 2)Dom (f) = (−∞,−1) ∪ (2,+∞)

f ′(x) =2x− 1

(x− 2)(x+ 1)

f ′′(x) =−(2x2 − 2x+ 5(x− 2)2(x+ 1)2

)

f no tiene puntos crıticos

241


xiii. f(x) =ln(x)x

Dom (f) = (0,∞)

f ′(x) =1− ln(x)

x2

f ′′(x) =2 ln(x)− 3

x3

242


xiv. f(x) = e−x

Dom (f) = Rf ′(x) = −e−xf ′′(x) = e−x

xv. f(x) = x2ex

Dom (f) = R

243


f ′(x) = xex(x+ 2)f ′′(x) = (x2 + 4x+ 2)ex

xvi. f(x) = x3 − 3x+ 4Dom (f) = Rf ′(x) = 3(x− 1)(x+ 1)f ′′(x) = 6x

244


xvii. f(x) = 5x2/3 − 5x5/3 = x2/3(5− x)Dom (f) = R

f ′(x) = 53

(2− x)(x1/3

f ′′(x) = −109

(1 + x

x4/3

)Puntos crıticos de f : c = 0, c = 2Puntos de inflexion (−1, f(−1)) = (−1, 6)

lımx→+∞

x2/3(5− x) = −∞

lımx→−∞

x2/3(5− x) = +∞

xviii. f(x) =ln(x)x2

Dom (f) = (0,+∞)

f ′(x) =1− 2 ln(x)

x3

f ′′(x) =−5 + 6 ln(x)

x4

Puntos crıticos de f : c = e1/2

245


246


xix) Dom(f) = R; f ′(x) = ex/2(

2 + x

2

); f ′′(x) = ex/2

(4 + x

4

)

xx) Dom(f) = R− {0}; f ′(x) =(x−

√2)(x+

√2)

2x2; f ′′(x) =

2x3

.

Los puntos crıticos de f son: c = −√

2, c =√

2.

f es creciente en los intervalos (−∞,−√

2] y [√

2,+∞); f es decreciente en losintervalos [−

√2, 0) y (0,

√2].

f tiene un valor maximo relativo en c = −√

2; f tiene un valor mınimo relativoen c =

√2.

La grafica de f es concava hacia abajo en el intervalo (−∞, 0), y es concavahacia arriba en el intervalo (0,+∞).

La recta vertical es asıntota vertical a la grafica de f, y la recta y =12x es

asıntota oblicua izquierda y derecha.

247


xxi) Dom(f) = R; f ′(x) = 1− 2 sen(x); f ′′(x) = −2 cos(x);

Los puntos crıticos de f son: c = π6 + 2nπ = (12n+ 1)π6 ,

c = 5π6 + 2nπ = (12n+ 5)π6 donde n es cualquier numero entero.

Como f ′′(π6 + 2nπ) = −√

3 < 0 entonces f(π6 + 2nπ) = π6 + 2nπ +

√3 son

valores maximos relativos.

Como f ′′(5π6 + 2nπ) =

√3 > 0 entonces f(5π

6 + 2nπ) = 5π6 + 2nπ −√

3 sonvalores mınimos relativos.

f es creciente sobre los intervalos[(12n − 7)π6 , (12n + 1)π6

], y f es decreciente

sobre los intevalos[(12n+ 1)π6 , (12n+ 5)π6

]con n entero.

248


xxii) Dom(f) = (0,+∞); f ′(x) = (lnx)(lnx+ 2); f ′′(x) =2(lnx+ 1)

x. Los puntos

crıticos de f son: c =1e2

, c = 1.

249


xxiii) Dom(f) = R− {1}; f ′(x) =1

1 + x2; f ′′(x) =

−2x(1 + x2)2

;

f no tiene puntos crıticos.

Puntos de inflexion de la grafica de f: (0, π4 ).

250


xxiv) Dom(f) = R− {0}; f ′(x) = − 1x2e1/x; f ′′(x) =

(2x+ 1)e1/x

x4.

f es discontinua en x=0.


f es decreciente en los intervalos (−∞, 0) y (0,+∞).

Punto de infexion (−1/2, e−2).

La grafica de f es concava hacia arriba en el intervalo (−1/2, 0), y es concavahacia abajo en los intervalos (−∞,−1/2) y (0,+∞).

lımx→0+

e1/x = +∞, lımx→0−

e1/x = 0 lımx→−∞

e1/x = 1 y

lımx→+∞

e1/x = 1

Asıntota vertical: la recta vertical x=0.

Asıntota horizontal derecha: la recta horizontal y=1.

Asıntota horizontal izquierda: la recta horizontal y=1.

251


xxv) Dom(f) = R; f ′(x) =3(2x+ 1)

(x2 + 1)3/2;

f ′′(x) =−12

(x− −3−

√41

8

)(x− −3 +

√41

8

)(x2 + 1)5/2

.

252


xxvi) Dom(f) = R; f ′(x) =1− xex

; f ′′(x) =x− 2ex

.

253


xxvii) Dom(f) = R; f ′(x) = 2(x− 1)e(x2−2x);

f ′′(x) = 2(2x2 − 4x+ 3)ex2−2x.

xxviii) Dom(f) = R−{3, 4}; f es continua en R−{3, 4} f ′(x) =(x− 1)(x− 5)

(x− 3)2;

f ′′(x) = 8(x− 3)3.

Puntos crıticos de f: c=1 y c=5.

f es creciente en los intervalos (−∞, 1] y [5,+∞).

254


f es decreciente en los intervalos [1, 3), (3, 4) y (4, 5].

f tiene un valor maximo relativo en c=1.

f tiene un valor mınimo relativo en c=5.

La grafica de f es concava hacia arrriba en los intervalos (3,4) y (4,+∞) y esconcava hacia abajo en el intervalo (−∞, 3).

Asıntota vertical: x = 3.

Asıntota oblicua: y = x+ 2.

xxix) Dom(f) = [0, 2]; f ′(x) =−1√

x(2− x); f ′′(x) =

1− xx3/2(2− x)3/2

255


xxx) Dom(f) = R− {0}; f ′(x) =−1

x2 + 1; f ′′(x) =

2x(1 + x2)2

.


lımx→−∞

arctan(

1x

)= 0, lım

x→0−arctan

(1x

)= −π

2,

lımx→0+

arctan(

1x

)=π

2

lımx→+∞

arctan(

1x

)= 0

256


xxxi) Dom(f) = (−2,+∞) − {1}; f ′(x) =3(x+ 1)

(x+ 2)(x− 1); f ′′(x) =

−3(x2 + 2x+ 3)(x+ 2)2(x− 1)2

257


xxxii) Dom(f) = R; f ′(x) =2− x

x2/3(6− x)1/3; f ′′(x) =

−8x5/3(6− x)4/3

Los puntos crıticos de f son: c=0, c=2 y c=6.

xxxiii) Dom(f) = [−π, 3π]; f ′(x) =2 cos(x)− 1(2− cos(x))2

;

f ′′(x) =(−2 sen(x))(1 + cos(x))

(2− cos(x))3.

Los puntos crıticos de f sobre el intervalo [−π, 3π] son: c = −π3 , c = π

3 , c = 5π3

y c = 7π3 .

258


8.5 Taller E. Funciones Hiperbolicas y sus inversas

3. f(x) = tanh(x) =ex − e−x

ex + e−x

Dom(f) = R, f ′(x) = sech2(x) > 0 para todo x real, f no tiene puntoscrıticos, f” = −2 sech2(x) tanh2(x), f”(x) > 0 sobre el intervalo abierto(−∞, 0) y f”(x) < 0 sobre el intervalo abierto (0,+∞), el punto (0, 0) es unpunto de inflexion de la grafica de f .

lımx→−∞

tanh(x) = lımx→−∞

ex − e−x

ex + e−x= lım

x→−∞

e2x − 1e2x + 1

= −1

lımx→+∞

tanh(x) = lımx→+∞

ex − e−x

ex + e−x= lım

x→+∞

1− e−2x

1 + e−2x= 1

4. b) f(x) = sech(x) =2

ex + e−x, Domf = R,

f ′(x) = − sech(x) tanh (x), f ′(x) > 0 sobre el intrvalo abierto (−∞, 0), yf ′(x) < 0 sobre el intervalo abierto (0,+∞), f tiene un valor maximo relativoen el punto crıtico c = 0

f”(x) = 2(sech(x))(

12− sech2(x)

), f”(x) = 0

cuando c = ln(√

2 − 1) y c = ln(√

2 + 1),f ′′(x) > 0 sobre cada unode los intervalos abiertos (−∞, ln(

√2 − 1)) y (ln(

√2 + 1),∞), f”(x) <

0 sobre el intervalo abierto (ln(√

2 − 1), ln(√

2 + 1)), lımx→−∞

sech(x) = 0,

lımx→+∞

sech(x) = 0

259


5. i) Dx[senh(√x)] =

cosh (√x)

2√x

=e2√x + 1

4√xe√x

ii) Dx[cosh(3x− 2)] = 3 senh(3x− 2) =3[e6x − e4]

2e3x+2

iii) Dx[ln(tanh(x))] =1

senh(x) cosh(x)= 2 csch(2x)

iv) Dx

[coth

(1x

)]=

1x2

csch2

(1x

)v) Dx[sech(ln(x))] = −1

x

senh(ln(x))cosh2(x)(ln(x))

=1− x2

(1 + x2)2

vi) Dx

[csch

(1x

)]=

1x2

csch(

1x

)coth

(1x

)vii) Dx[senh2 x] = 2 senh(x) cosh(x) = senh(2x)

viii) Dx

[12

ln(tanh(x))]

= csch(2x)

ix) Dx

[x2 tanh

(1x

)]= 2x tanh

(1x

)− sech2

(1x

)x) Dx[cosh(ln(x))] =

senh(ln(x))x

= 1− 1x2

xi) Dx[coth3(4x)] = −12 coth2(4x) cosh2(4x)

xii) Dx[ln(senh(3x))] = 3 coth(3x)

xiii) Dx[ln(coth(x))] =−1

senh(x) cosh(x)= −2 csch(2x)

xiv) Dx[tanh3√x] =3 tanh2(

√(x)) sech2(

√x)

2√x

xv) Dx[senh(x2)] = 2x cosh(x2)

xvi) Dx[cosh(x3)] = 3x2 senh(x3)

260


xvii) Dx[coth(ln(x))] = −csch2(ln(x))x

= − 4x(x2 − 1)2

xviii) Dx[ex cosh(x)] = ex[senh(x) + cosh(x)] = e2x

xix) Dx[e3x senh(x)] = e3x[3 senh(x) + cosh(x)] = e3x[ex + 2 senh(x)]

xx) Dx[tanh(√x)] =

sech2(√x)

2√x

xxi) Dx[tanh(senx)] = (cos(x)) sech2(sen (x))

xxii) Dx[cosh2(3x− 1)] = 6 cosh(3x− 1) senh(3x− 1) = 3 senh(6x− 2)

xxiii) Dx[senh(cosx)] = (− sen(x)) cosh(cos(x))

xxiv) Dx

[senh[ln(x)]

x2

]=

cosh(ln(x))− 2 senh(ln(x))x3

=3− x2

2x4

7. i) f(x) = senh(lnx) =x2 − 1

2x,

Dom(f) = (0,+∞),

f ′(x) =cosh(lnx)

x=x2 + 1

2x2> 0 para todo x ∈ (0,+∞).

f”(x) =senh(lnx)− cosh(lnx)

x2= − 1

x3< 0 para todo

x ∈ (0,+∞)

ii) f(x) = ex senh(x) =e2x − 1

2Dom (f) = R.f ′(x) = ex[senh(x) + cosh(x)] = e2x.f ′′(x) = 2ex[senh(x) + cosh(x)] = 2e2x.

261


lımx→−∞

f(x) =−12

iii) f(x) = cosh(lnx) =x2 + 1

2x=x

2+

12x

Dom(f) = (0,+∞).

f ′(x) =senh(lnx)

x=

(x− 1)(x+ 1)2x2

=12− 1

2x2.

f”(x) =cosh(lnx)− senh(lnx)

x2=e− lnx

x2=

1x3

iv) f(x) = tanh(ln(x2 − 2x− 3))Dom(f) = (−∞,−1) ∪ (3,+∞).

f ′(x) =2(x− 1) sech2(ln(x2 − 2x− 3))

(x− 3)(x+ 1)

f”(x) =[2 sech2(ln(x2 − 2x− 3))][(x− 1)2(−1− 4 tanh(ln(x2 − 2x− 3)))− 4]

(x2 − 2x− 3)2

262


9. Aplicaciones de la derivada

9.1 Taller A. Razones de cambio relacionadas

2. a) r = h/2.

b) v =πh3

12.

c) Cuando h = 4,dh

dt=

2π

pies/min.

4. a) v =403h(h+ 3).

b) A =403

(2h+ 3).

c) i) Cuando h = 4,dh

dt=

27440

ii) Cuando h = 4,dA

dt=

1811

pies2/min.

6. a) x =h+ 80

4.

b) v =13πh

(h2 + 240h+ 19200

16

).

9.2 Taller B. Optimizacion

1. a) A = 40x − x2. Los valores admisibles de x para este problema son 0 <x < 40.

b) Para x = 10, y = 30. Para x = 30, y = 10.

263


c) 10 ≤ x ≤ 30.

d) 5 < x ≤ 8 o 32 ≤ x < 35.

e) x = y = 20.

6. a) A = (x+ 2)√

4− x2.

b) A = h[√

4− h2 + 2].

c) A = 4 sen θ + 2 sen(2θ).

d) La capacidad de acarreo maxima se obtiene cuando θ = π/3.

9. c) P = 2R(2 senα+ sen(2α)), con 0 < α < π/2.

d) h = 2R sen2 α.

e) 4R2(sen3 α)(cosα).

f) Triangulo equilatero.

g) Triangulo equilatero.

11. a) x− 3√x.

b) A =3√x(4− x)

4.

c) x = 1

12. a) P = 2(r + 100/r). b) r = 10, θ = 2.

13. a) A = 2x(12− x2), 0 < x < 2√

3 . b) Base=4, Altura=8.

14. a) A = 6x(4− x). b) Base=h=Altura.

15. a) A =x√

64− x2

2. b) Base=x=Altura.

16. a) A = 2x+(√

3− 6)x2

4, con 0 < x < 4/3.

b) 4(6−√

3) de ancho,6− 2

√3

6−√

3de altura.

17. a) A =4x2 + 39x+ 81

x. b) Base = 15/2 pulg, Altura = 38/5

pulg.

18.

264


a) l =

√x3

x− 10, con 10 < x ≤ 20.

b) x = 15.

19. a) y =(27− x)

√x2 − 64

x, con 8 < x < 27.

b) 5√

5 pies.

21. a) v = 4x(12−x)(8−x), 0 < x < 8. b) A = 384− 4x2.

22. a) h = 2√

16− r2, con 0 < r < 4.

b) A = 4πr√

16− r2.

c) A = 2πr2√

16− r2.

d) r =4√

2√3

, h = 8/√

3.

23. a) h = 12− 2r, con 0 < r < 6.b) v = 2πr(6− r).

c) r = 4, h = 4.

24. a) h =16r2

r2 − 64. b) v =

16π3

(r4

r2 − 64

).

c) r = 8√

2, h = 32.

25. a) h =2(27− r3)

3r2.

b) i) Costo =4πa

3

[27 + 2r3

r

]ii) La altura del cilindro es el doble del radio.

26. a)2πr

(r3 + 250), con r > 0.

27. a) v =23πr2(6− r), con 0 < r < 6.

b) v =π

12h(12 − h)2, con 0 < h <

12.

c) r = 4, h = 4.

28. b) i) A = xe−x2.

ii) 1/√

2 unidades de largo por 1/√e unidades de alto y A = 1/

√2e

29.

265


a) l = 20π − 10θ.

b) r =10π − 5θ

π.

c) A = 10πr.

d) A = 50(2π − θ).

e) v =π

3r2√

100− r2.

266


Indice

Presentacion 1

1. Preliminares 11.1. El sistema de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Propiedades de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Propiedades de la igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Productos en los que interviene el cero . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4 Propiedad de los numeros negativos . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.5 Notacion para los numeros recıprocos . . . . . . . . . . . . . . 41.1.6 Sustracion y division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.7 Propiedades de los cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 El orden y la recta numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 La notacion de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Algunas propiedades del valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Exponentes y leyes de exponentes enteros . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Exponentes racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.1 Reglas de los radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.2 Simplificacion de radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.3 Numero imaginario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.4 Operaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6.1 Expresiones algebraicas - Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . 231.6.2 Componentes de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6.3 Clasificacion de los polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6.4 Grado de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6.5 Terminos Semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6.6 Operaciones entre polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6.7 Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6.8 Algunos casos de factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6.9 Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6.10 Factorizacion utilizando los productos notables . . . . . . . . 281.6.11 Expresiones algebraicas - Expresiones racionales . . . . . . . . 291.6.12 Simplificacion de expresiones racionales . . . . . . . . . . . . . 30

1.7 Ecuaciones e inecuaciones en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . 341.7.1 Solucion a problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

I


1.7.2 Inecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.8 Ecuaciones de segundo grado con una incognita . . . . . . . . . . . . . 381.9 Secciones conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.9.1 Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.9.2 Coordenadas del punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.9.3 Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.9.4 Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.9.5 La parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.9.6. La elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.9.7 La hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2. Coordenas y graficas 522.1 Taller A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3. Funciones 553.1 Taller A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Taller B. Funciones exponenciales y logarıtmicas . . . . . . . . . . . . 72

4. Funciones como modelos matematicos 774.1. Taller A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5. Trigonometrıa 895.1. Taller A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2 Taller B. Funciones Trigonometricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . 965.3 Taller C. La ley de senos y la ley de cosenos . . . . . . . . . . . . . . . 105

6. Limite de funciones 1126.1. Taller A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7. Continuidad de funciones 1237.1. Taller A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8. Derivadas 1318.1. Taller A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2 Taller B. Teorema de Rolle y Teorema del Valor Intermedio . . . . . . 1468.3 Taller C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.4 Taller D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.5 Taller E. Funciones Hiperbolicas y sus funciones inversas . . . . . . . . 156

9. Aplicaciones de la Derivada 163

II


9.1 Taller A. Razones de cambio relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.2 Taller B. Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Respuestas 185

III

Education

Libro talleres matematicas i (1)