Clase 2

23/Enero/2015

Se revisarán los conceptos fundamentales de la teoría

electromagnética en condiciones estáticas, esto es, sin considerar

variaciones temporales en las fuentes ni en los campos producidos

por ellas. A pesar de la evidente limitación de este análisis, lo

cierto es que resulta muy instructivo, porque revela la naturaleza

y las características esenciales de los campos y de las demás

magnitudes físicas relacionadas.

En la realidad muchos fenómenos electromagnéticos no se

desarrollan en condiciones estáticas, pero sus variaciones

temporales son lentas en comparación con los tiempos

propios de los fenómenos básicos y de los medios materiales

que intervienen, por lo que en esas ocasiones bastaría con

asignar a los campos las mismas variaciones temporales de

las fuentes, una vez calculados aquéllos mediante los

métodos propios del análisis estático.

La ley de Coulomb cuantifica la fuerza que ejercen entre sí dos

cuerpos cargados eléctricamente, la cual aparece como un dato

de experiencia.

Consideremos dos cuerpos cargados, con cargas 𝑞1 y 𝑞2

respectivamente, de dimensiones reducidas respecto a la

distancia que los separa, d. Se comprueba que la fuerza que

cada uno de ellos ejerce sobre el otro es

𝐹12 = 𝐹21 =1

4𝜋𝜀0

𝑞1𝑞2𝑟2

LEY DE COULOMB

La fuerza ejercida por una carga puntual sobre

otra esta dirigida a lo largo de la línea que las

une. La fuerza varía inversamente con el

cuadrado de la distancia que separa las cargas y

es proporcional al producto de las mismas. Es

repulsiva si las cargas tienen el mismo signo y

atractiva si las cargas tienen signos opuestos.

Donde el subíndice 21 quiere decir “sobre 1

debido a 2”. La dirección en que se ejercen

tales fuerzas es de la línea que une a ambas

cargas.

𝜀0 es la permitividad dieléctrica del vacío, de

valor 8,85418 Faradios /metro 𝐹/𝑚

La fuerza ejercida sobre un cuerpo no parece tener una

existencia real si la separamos del objeto sobre el que actúa.

Sin embargo en teoría electromagnética se trabaja con el

concepto de campo, como fuerza ejercida por unidad de carga,

independientemente de si esta causando o no algún efecto

sobre otros cuerpos próximos

Por lo tanto se define el campo eléctrico E r en un punto r del

espacio, creado por un cuerpo cargado, como la fuerza que

ejercería sobre la unidad de carga positiva si estuviera situada

en dicho punto.

Habitualmente se expresa en forma de límite, queriendo

indicar que dicha carga de prueba no altera la distribución

original de las cargas cuyo campo medimos.

𝐸 𝑟 = lim𝑞𝑝→0

𝐹

𝑞𝑝

LEY DE COULOMB

La ley de coulomb se puede también expresar como ll modulo

de la fuerza eléctrica ejercida por una carga q1 sobre otra q2 a

la distancia 𝑟 viene dada por:

1 2

2

q qF k

r

LEY DE COULOMB

En donde 𝑘 es una constante determinada experimentalmente

llamada constante de Coulomb que tiene valor:

9 2 28.99 10 /k N m C

LEY DE COULOMB

1r

2r

1q

2q

1,2 2 1r r r

Cargas 𝑞1 en la posición 𝑟1 ycarga 𝑞2 en 𝑟2 ambasrespecto al origen O. Lafuerza ejercida por 𝑞1 sobre𝑞2 esta en la dirección ysentido del vector 𝑟1,2 =𝑟2 − 𝑟1 si ambas cargastienen el mismo signo, y ensentido opuesto si sussignos son contrarios.

Nota. De acuerdo a la tercera Ley de Newton la Fuerza 𝐹2,1,ejercida por 𝑞2 sobre 𝑞1 es de sentido contrario a la Fuerza𝐹1,2

LEY DE COULOMB Si 𝑞1 se encuentra en la posición 𝑟1 y 𝑞2 en 𝑟2, la fuerza 𝐹1,2

ejercida por 𝑞1 sobre 𝑞2 es

1 2

1,21,2 2

1,2

1 2Ley de Coulomb para la fuerza ejercida por y

kq qF r

r

q q

PROBLEMAS

Problema 1

Una carga 𝑞1 = 4𝜇𝐶 está en el origen y otra carga 𝑞2 = 6𝜇𝐶

esta sobre el eje 𝑥 en el punto 𝑥 = 3𝑚. (a) Hallar la fuerza

ejercida sobre la carga 𝑞2. (b) Hallar la fuerza ejercida sobre la

carga 𝑞1. (c) ¿En que diferirán estas respuestas (a) y (b), si

𝑞2vale −6𝜇𝐶.?

SOLUCIÓN

Inciso a

Podemos encontrar las fuerzas de las dos cargas que ejercen

sobre cada una mediante la aplicación de la ley de Coulomb y

la 3 ª ley de Newton.

Debemos tener en cuenta que debido a que el vector que

apunta desde 𝑟1,2 = 𝑖 debido a que el vector apunta desde

𝑞1 𝑎 𝑞2 en la dirección 𝑥 positiva.

SOLUCIÓN

Usamos la ley de coulomb para encontrar la fuerza ejercida de

𝑞1 sobre 𝑞2y tenemos que:

1 21,21,2 2

1,2

9 2 2

1,2 2

8.99 10 / 4 624

3

kq qF r

r

N m C C CF i mN i

m

SOLUCIÓN

Inciso b

Debido a que se trata de fuerzas de acción y reacción, podemos

aplicar la 3ª ley de Newton para obtener

2,1 1,2 24F F mN i

SOLUCIÓN

Inciso c

Debido a que se trata de fuerzas de acción y reacción, podemos

aplicar la 3ª ley de Newton para obtener

9 2 2

1,2 2

2,1 1,2

8.99 10 / 4 624

3

24

N m C C CF i mN i

m

F F mN i

Problema 2

Tres cargas puntuales están en el eje 𝑥;

𝑞1 = −6𝜇𝐶 esta en 𝑥 = −3𝑚, 𝑞2 = 4𝜇𝐶 esta

en el origen y 𝑞3 = −6𝜇𝐶 está en 𝑥 = 3𝑚.

Hallar la fuerza ejercida sobre 𝑞1.

𝑞2 ejerce una fuerza de atracción 𝐹2,1,

sobre 𝑞1 𝑦 𝑞3 una fuerza repulsiva

𝐹3,1.

Podemos encontrar la fuerza neta

sobre 𝑞1 mediante la adición de estas

fuerzas

Por lo tanto tenemos el siguiente diagrama:

Expresar la fuerza neta que actúa sobre 𝑞1

1 2,1 3,1..............( )F F F A

Expresamos la fuerza que ejerce 𝑞2 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑞1:

1 22,1

2

2,1

k q qF i

r

Expresamos la fuerza que ejerce 𝑞3 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑞1:

1 33,1

2

3,1

k q qF i

r

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en (A) tenemos que:

1 31 21

2 2

2,1 3,1

32

1 2 2

2,1 3,1

k q qk q qF i i

r r

qqk q i

r r

Evaluando numéricamente tenemos

9 2 2

1 2 2

21

4 68.99 10 / 6

3 6

1.50 10

C CF N m C C i

m m

F N i

Problema 3

Una carga de 5𝜇𝐶 se encuentra sobre el eje 𝑦

en 𝑦 = 3𝑐𝑚 y una segunda carga de −5𝜇𝐶 esta

sobre el eje 𝑦 en 𝑦 = −3𝑐𝑚 . Determinar la

fuerza ejercida sobre una carga de 2𝜇𝐶 situada

sobre el eje 𝑥 en 𝑥 = 8𝑐𝑚.

SOLUCIÓN

La configuración de la carga y la fuerza sobre 𝑞 3 se

muestran en la figura como un sistema de

coordenadas. De la geometría de la distribución de

carga, es evidente que la fuerza neta sobre la carga

de 2𝜇𝐶 es en la dirección 𝑦 negativa. Podemos

aplicar la ley de Coulomb para expresar 𝐹1,3 y 𝐹2,3

luego sumar ambas para encontrar la fuerza neta

sobre 𝑞3.

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

Por lo tanto la fuerza neta que actúa sobre 𝑞3 es:

Expresamos la fuerza que 𝑞1 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑒 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑞3

3 1,3 2,3..........( )F F F A

1,3

1 2

2

cosF F i Fsen j

kq qF

r

SOLUCIÓN

1,3

1 2

2

9 2 2

2 2

cos

8.99 10 / 5 2

0.03 0.08

12.3

F F i Fsen j

kq qF

r

N m C C CF

m m

F N

SOLUCIÓN

Expresamos la fuerza que 𝑞2 ejerce sobre 𝑞3

1 3tan 20.6

8

cm

cm

2,3 cosF F i Fsen j

SOLUCIÓN

Sustituimos 𝐹1,3 𝑦 𝐹2,3 en la ecuación (A) y

simplificamos

𝐹3= 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖 − 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑗 − 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖 − 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑗

𝐹3= −2𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑗

Evaluamos y tenemos

𝐹3 = −2 12.3𝑁 𝑠𝑒𝑛 20.6° 𝑗 = −(8.66𝑁) 𝑗

Problema 4

Una carga 𝑞 = 2 × 10−5𝐶 es dividida en dos cargas

puntiformes de valores 𝑞 𝑦 𝑞 − 𝑞1 colocados una

distancia de 𝑑 = 1𝑚 una de la otra en el vacío. Se

pide hallar las dos fracciones de la carga 𝑞 que, en la

situación arriba especificada; dan una fuerza de

repulsión máxima y el valor de esta fuerza.

SOLUCIÓN

1q 1q q

1d m

Dado el gráficohallemos la fuerzaentre las cargas.

SOLUCIÓN

Considerando que 𝐹 = 𝑘𝑞1 𝑞−𝑞1

𝑑2, para hallar el

máximo derivamos:

𝜕𝐹

𝜕𝑞1= 𝑞 − 2𝑞1 = 0, 𝑞1 = 𝑞/2

Y por lo tanto tenemos que

𝑞 − 𝑞1 = 𝑞/2

SOLUCIÓN

Se entiende que es un máximo porque

𝜕2𝐹

𝜕𝑞12 < 0

Reemplazando valores tenemos

𝑞1 =𝑞

2=2×10−5𝐶

2= 10−5𝐶

SOLUCIÓN

Por lo tanto el valor de la Fuerza neta será

𝐹 = 𝑘𝑞1 𝑞−𝑞1

𝑑2⟹

=8.99×109𝑁∙𝑚2/𝐶2 2×10−5𝐶 2×10−5𝐶−10−5𝐶

1𝑚 2

𝐹 = 0.9𝑁

Problema 5

Cuatro cargas positivas de 10𝑛𝐶 se ubican en le

plano 𝑧 = 0 en las esquinas de un cuadrado de

8cm de lado. Una quinta carga positiva se sitúa

en un punto ubicado a 8 cm de distancia de las

demás. Calcular la magnitud de la fuerza total

sobre esta quinta carga para 𝜖 = 𝜖𝑜

Solución

Organizamos las cargas en el plano en laslocaciones 4,4 , 4, −4 , −4,4 𝑦 (−4,−4) .Entonces la quinta carga estarálocalizada en el eje 𝑧 en la posición 𝑧 =4 2, lo que la coloca a una distancia de 8cm de las otros cuatro. Por simetría, lafuerza de la quinta carga será endirección de 𝑧, y será de cuatro veces lacomponente 𝑧 , la fuerza producida porcada uno de las otras cuatro cargas.

Solución

8𝑐𝑚

8𝑐𝑚

𝑧 = 0

Solución

8𝑐𝑚

8𝑐𝑚

4,4

4, −4

−4,4

−4,−4

Solución

Por lo tanto tenemos que

𝐹 =4

2×

𝑞2

4𝜋𝜖𝑜𝑑2 =

4

2×

10−82

4𝜋 8.85×10−12 0.08 2

𝐹 = 4.0 × 10−4𝑁

Problema 6

Cuatro cargas puntuales de 50𝑛𝐶 cada

una se ubican en el espacio libre en los

puntos

𝐴 1,0,0 , 𝐵 −1,0,0 , 𝐶 0,1,0 𝑦 𝐷(0,−1,0) .

Encontrar la fuerza total sobre la carga

que está en 𝐴

Solución

La fuerza será:

𝐹 =50×10−9

2

4𝜋𝜖𝑜

𝑉𝐶𝐴

𝑉𝐶𝐴+𝑉𝐷𝐴

𝑉𝐷𝐴+𝑉𝐵𝐴

𝑉𝐵𝐴

Donde el vector

𝑉𝐶𝐴 = 𝑖 − 𝑗, 𝑉𝐷𝐴 = 𝑖 + 𝑗 𝑦 𝑉𝐵𝐴 = 2𝑖

Las magnitudes serán

𝑅𝐶𝐴 = 𝑅𝐷𝐴 = 2 y 𝑅𝐵𝐴 = 2

Solución

Sustituyendo estos valores tenemos

𝐹 =50×10−9

2

4𝜋𝜖𝑜

1

2 2+

1

2 2+2

8𝑖 = 21.5𝑖 𝜇𝑁

Las distancias son en metros.