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Introducción
Ecuación de la circunferencia; forma ordinaria
Forma general de la ecuación de la circunferencia
Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas
Familias de circunferencias
Eje radical
Tangente a una curva
Tangente a una circunferencia
Teoremas y problemas de lugares geométricos relativos a la circunferencia
La circunferencia es el lugar
geométrico del plano descrito por un
punto que se mueve a una distancia
constante de un punto fijo.
El punto fijo se llama centro de la
circunferencia y la distancia
constante se llama radio.
1. Escribir la ecuación de la
circunferencia de centro ( 3, 7 )
y radio 7.
C
2. Los extrem os de un diam etro
de una circunferencia son los puntos
(2, 3) y ( 4, 5 ).
H allar la ecuación de la curva.
A B
1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro ( 3, 7) y radio 7.C
-10 -8 -6 -4 -2 2 4
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
xy
2. Los extremos de un diametro de una circunferencia son los
puntos (2, 3) y ( 4, 5). Hallar la ecuación de la curva.A B
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
2 2 2
C orolario:
C uando el centro de la circunferencia
es el origen de coordenadas 0
la ecuación de la circunferencia
se expresa :
x r
h k
y
2 2 2 (2)x h y k r
2 2 2 (3)x y r
Una circunferencia tiene su centro
en el origen y un radio igual a 2 .
¿Cuál es su ecuación?
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
D esarrollando los cuadrados en la ecuación
tenem os
2 2
y agrupando todos los térm inos en el prim er
m iem bro :
2 2 0
x h y k r
x hx h y ky k r
x y h x k y h k r
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 , 2 ,
Son núm eros reales cualesquiera, por lo tanto podem os decir:
2
2
Sustituyendo en la ecuación
2 2 0
tenem os:
0
h k y h k r
D h
E k
F h k r
x y h x k y h k r
x y Dx Ey F
2 2 2 2 22 2 0x y h x k y h k r
2 2
La form a
0
es la form a general de la
ecuación de la circunferencia.
x y D x Ey F
2 2
Para corresponder a la ecuación de
una circunferencia, hacem os
14
2r D E F
2 2
2 2
2 2
Por lo que se presentan tres casos para :
a) 4 0
b) 4 0
c) 4 0
D E F
D E F
D E F
2 2
2 2
a) 4 0
La ecuación corresponde a una circunfere ncia con centro en
,2 2
y radio
14
2
D E F
D EC
r D E F
2 2
2 2 2 2
0
4
2 2 4
x y Dx Ey F
D E D E Fx y
2 2b) 4 0
La ecuación corresponde a una circunfere ncia
de radio cero; es decir, un punto de coo rdenadas
,2 2
D E F
D EC
2 2
2 2 2 2
0
4
2 2 4
x y Dx Ey F
D E D E Fx y
2 2c) 4 0
La ecuación corresponde a una
circunferencia im aginaria y,
por lo tanto, no tiene
representación real.
D E F
2 2
2 2 2 2
0
4
2 2 4
x y Dx Ey F
D E D E Fx y
N O T A. S i se da la ecuacion de una circun ferencia
en la form a general, se aconseja no proceder
m ecanicam ente, usando las fórm ulas dadas en el
teorem a 2 para obtener el centro y el ra dio.
En vez de esto, es conveniente reducir la ecuación
a la form a ordinaria por el m étodo de co m pletar
cuadrados, tal com o se hizo en la deducc ion del
teorem a m ism o.
2 2Es la ecuación 3 3 12 24 15 0
la ecuación de una circunferencia.
En caso afirm ativo, encontrar dónde está su centro
y cuál es su radio
x y x y
2Es la ecuación 2 ² 2 28 6 188 0
la ecuación de una circunferencia.
En caso afirm ativo, encontrar dónde está su centro
y cuál es su radio.
x y x y
Ejemplo: H állese la ecuación de una circunferencia
pasa por los puntos 3, 3 y 1, 4
y su centro está sobre la recta 3 2 23 0. x y
Ahora considerarem os fam ilias o haces de
circunferencias de la m ism a m anera que
consideram os fam ilias de rectas.
Y a señalam os que una circunferencia y su
ecuación se determ inan cada una por tres
condicione
U na circunferencia que satisface m enos de
tres condiciones independient
s independientes.
es no es única.
La ecuación de una circunferencia que
satisface solam ente dos condiciones
contiene una constante arbitraria llam ad a
parám etro.
Se dice entonces que tal ec
fam ilia
uación r
de circu
eprese
nferen
n
c
ta
iuna as de un parám etro .
2 2 2
Por ejem plo , la fam ilia de todas las
circunferencias concéntricas cuyo centro
com ún es el punto (1, 2) tiene por ecuac ión
1 2
en donde el parám etro es cualquier
núm ero real positivo.
x y k
k
1 / 2
6
2
5
4
1
3k
k
k
k
k
k
k
1 2
Para entender lo que sucede con esta
fam ilia de circunferencias que estam os
por crear, debem os tener claro cuáles
son las posibilidades de intersección de
dos circunferencias dadas, com o la
C y C de la transparencia anterior y com o
determ inar dichas intersecciones.
H acem os, por lo tanto, un paréntesis para
estuciar la intersección de dos circunferencias.
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
Las dos circunferencias,
: 0
: 0
pueden:
a) Intersectarse en dos puntos
b) Intersectarse en un solo punto y
ser tangentes entre ellas
c) N o intersectarse
C x y D x E y F
C x y D x E y F
2
2
2 2
2 2
2 1
2
3
1 5
x y
x y
Se in tersectan
2
2
2 2
2 2
2 1
3
2
1 3
x y
x y
Son tangentes
22
2
2
2
2 71 3
10
12
2
x y
x y
N o se in tersectan
2
2
2 2
2
21 3
3
2
31
2x y
x y
N o se in tersectan
1 2
1 2
1 2
2 1
2 1
Si las circunferencias no se intersectan
Si las circunferencias son tangentes ex teriores
S i
las circunferencias se intersec tan en dos puntos
las
d r r
d r r
d r r
r r d
d r r
2 1
circunferencias no se intersectan
las circunferencias son tangentes interiores
d r r