Konstrukcje geom 1

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENUMENUCele pracy

Opis pracy

O konstrukcjach geometrycznych

Konstrukcje elementarne

Wielokąty foremne

Zdania konstrukcyjne Okrąg wpisany i opisany na wielokącie

Jednokładność, tw. Talesa, tw. Pitagorasa

cele

w. for.

k. el.

k. g.okręgi

zad. k.

zast.

KONIEC

CELE PRACYProblemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów

antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka, niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.

Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne slajdy zamierzam wykorzystać na zajęciach, na których uczniowie:

uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z uwzględnieniem wszystkich etapów rozwiązania (patrz „Zadania”)

wykonują typowe konstrukcje geometryczne (patrz „Konstrukcje elementarne”)

poznają wielokąty foremne i ich własności

stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności jednokładności w wykonywaniu konstrukcji

konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany na wielokącie

MENU

KKONSTRUKCJE ONSTRUKCJE GGEOMETRYCZNEEOMETRYCZNEWykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej

spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów konstrukcyjnych.

Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA

KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].

Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g. w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni (płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej powierzchni.

MENU

Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.

Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne sformułowane w starożytnej Grecji:

Podwojenie sześcianu Trysekcja kąta Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać, posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki, że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w. Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła” wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

KKONSTRUKCJEONSTRUKCJE NNIEWYKONALNEIEWYKONALNE

MENU

„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż objętość danego sześcianu”.

Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos (obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a , gdzie a jest długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba nie jest liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował przyrząd – mezolabium.

3 2

3 2

PPODWOJENIE ODWOJENIE SSZEŚCIANUZEŚCIANU( ( problem delijskiproblem delijski ) )

MENU

MEZOLABIUMMEZOLABIUMMezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych ramek umieszczonych w większej ramce w sposób umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na siebie otrzymujemy odcinki o długościach x, y takie, że

Jeżeli a=2b, to

y =

by

yx

xa

3 2bCzyli za pomocą mezolabium można dokonać podwojenia sześcianu.

a

bx yMENU

Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”

Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < /2 istnieje taka liczba c, że trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i

linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej k/n , gdzie k jest dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji kąta o mierze /3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta

foremnego.

TTRYSEKCJA RYSEKCJA KKĄTAĄTA

MENU

Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:

każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby trójkątów o rozłącznych wnętrzach

można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta [zob. kwadratura trójkąta]

można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach bliskich polu danego koła.

KKWADRATURAWADRATURA KKOŁAOŁA

MENU

Kwadratura trójkątaKwadratura trójkąta

a

bch

h

½ a

d

d - bok kwadratu o polu równym polu trójkąta o bokach długości a,b, c.

MENU

KKONSTRUKCJE Mohra-MascheroniegoONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego

Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.

Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniegokonstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

„trójkąta równobocznego wpisanego w dany okrąg o środku A”Opis konstrukcji

Dany jest okrąg o środku A i promieniu r.

Z wybranego punktu B okręgu zakreślamy okrąg o promieniu r.

Otrzymujemy punkty przecięcia C i D tego okręgu z okręgiem danym.

Zakreślamy okręgi o promieniu r i środkach C i D.

Otrzymujemy punkty E i F (różne od B) przecięcia tych okręgów z okręgiem danym.

Punkty B, E i F są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Ar

C D

E

B

F

Szukany trójkąt

Konstrukcja Mohra-MascheroniegoKonstrukcja Mohra-Mascheroniego

MENU

PrzykładyPrzykłady Symetralna odcinka

Dwusieczna kąta

Prosta prostopadła do danej prostej przechodząca przez dany punkt

Prosta równoległa do danej prostej w danej odległości od tej prostej

Styczna do danego okręgu przechodząca przez dany punkt leżący na zewnątrz okręgu

KonstrukcjeKonstrukcje elementarneelementarneAby rozwiązania zadań konstrukcyjnych były

czytelne, a opisy konstrukcji niezbyt

długie , często posługujemy się konstrukcjami

elementarnymi.

Należą do nich m.in.Należą do nich m.in.

MENU

Dany jest odcinek AB

Wybieramy r >1/2|AB|

Rysujemy o(A,r)

Rysujemy o(B,r)

Otrzymujemy punkty C i D przecięcia tych okręgów

Rysujemy prostą CD

A B

Symetralna odcinka AB

r

r

C

D

OOPPIISS

KKOONNSSTTRRUUKKCCJJII

KonstrukcjaKonstrukcja symetralnej odcinkasymetralnej odcinka

MENU

Dany jest kąt BAC

Zakreślamy okrąg o środku A i dowolnym promieniu

Otrzymujemy punkty B’ i C’ przecięcia tego okręgu z ramionami kąta

Konstruujemy symetralną odcinka B’C’

Część wspólna tej symetralnej i kąta BAC jest poszukiwaną dwusieczną

A

B

C

B’

C’

OOPPIISS


KonstrukcjaKonstrukcja dwusiecznej kątadwusiecznej kąta

Dwusieczna kąta BAC

MENU

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A tak, aby miał on z prostą k dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

Kreślimy symetralną odcinka BC

OOPPIISS


k

A

B C

Jest to szukana prosta

KonstrukcjaKonstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej prostej prostopadłej do danej prostej przechodzącej przez dany punktprzechodzącej przez dany punkt

MENU

a

a

Dana jest prosta k i odcinek a

Na prostej k wybieramy dowolnie punkt A

Kreślimy prostą l prostopadłą do k, przechodzącą przez punkt A

Kreślimy okrąg o(A, a), który przecina prostą l w punktach B1 i B2

Kreślimy proste prostopadłe do prostej l przechodzące przez punkty B1 i B2

OOPPIISS


A

a

k

lSą to szukane proste(2 rozwiązania)

B1

B2

KonstrukcjaKonstrukcja prostej równoległej do danej prostej k prostej równoległej do danej prostej k w odległości a od tej prostejw odległości a od tej prostej

MENU

A

Dany jest okrąg o(O,r) oraz punkt A leżący na zewnątrz okręgu

Kreślimy odcinek OA

Kreślimy symetralną odcinka OA, która przecina go w punkcie O1

Kreślimy okrąg o(O1, O1O), który przecina dany okrąg w punktach B1 i B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

OOPPIISS


KonstrukcjaKonstrukcja stycznejstycznej do danego okręgu do danego okręgu przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz

okręguokręgu

O O1

B1

B2

Są to szukane styczne(2 rozwiązania)

MENU

Przykłady:Przykłady:WielokątyWielokąty foremneforemne

Wielokąt foremnyWielokąt foremny Jest to wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty równe.

Własności: 1. Jest wielokątem wypukłym.

2. Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg. W każdy wielokąt foremny można wpisać okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią symetrii.

4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego osi symetrii.

Trójkąt równobocznyTrójkąt równoboczny

KwadratKwadrat

Pięciokąt foremnyPięciokąt foremny

Sześciokąt foremnySześciokąt foremny

konstrukcja

konstrukcja

konstrukcja

konstrukcja

MENU

Rysujemy okrąg o(B,a)

aA B

C

aa

Dany jest odcinek o długości a.

Rysujemy okrąg o(A,a).

Otrzymujemy punkt C przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim wierzchołkiem trójkąta.

OOPPIISS


ABC jest szukanym trójkątem równobocznym

Trójkąt równoboczny o danym boku a

MENU

Rysujemy okrąg o(A,a).

Dany jest odcinek AB o długości a.

Kreślimy prostą prostopadłą do AB przez punkt A.

Otrzymujemy punkt C przecięcia tego okręgu z prostą prostopadłą do AB.

Otrzymujemy punkt D przecięcia tych okręgów, który jest czwartym wierzchołkiem kwadratu.

Rysujemy okręgi o(C,a) oraz o(B,a).

DC

BA a

a

a

a

ABCDszukany kwadrat

OOPPIISS


Kwadrat o danym boku a

MENU

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a). Otrzymujemy punkt P oraz symetralną odcinka AB.

Dany jest odcinek AB o długości a.

Kreślimy okrąg o(P,a).

Otrzymujemy punkty R, S i T przecięcia odpowiednio z okręgami o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną odcinka AB.

Kreślimy proste RT i ST.

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia tych prostych z o(A,a) i o(B,a).

Z punktów C i E zakreślamy łuki okręgu o promieniu a. Przecinają się one w punkcie D należącym do symetralnej odcinka AB.

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

OOPPIISS


A B

PR S

T

CE

D

a

Pięciokąt foremny o danym boku a

MENU

ABCDE szukany pięciokąt

a

aa

a

ABCDEF jest sześciokątem foremnym o boku a

Dany jest odcinek o długości a.

Rysujemy okrąg o promieniu a.

Wybieramy dowolny punkt A na okręgu.

Z punktu A zakreślamy kolejno łuki o promieniu a

Otrzymujemy punkty B, C, D, E, F przecięcia tych łuków z okręgiem.

OOPPIISS


B

C D

E

FA

a

a

a

a

a

a

a

Sześciokąt foremny o danym boku a

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na wielokącie.

pokaż pokaż

Okrąg wpisany

Okrąg opisany

r

r

MENU

W dowolny trójkąt można wpisać okrąg.

Okrąg można wpisać w czworokąt wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe.

TwierdzenieTwierdzenie::Wielokąt można opisać na okręgu (okrąg można

wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest

środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.

Okrąg wpisany w wielokąt.DefinicjaDefinicja: Jeżeli każdy bok Jeżeli każdy bok

wielokąta jest wielokąta jest styczny do styczny do okręgu, to okręgu, to

wielokąt jest wielokąt jest opisany na opisany na

okręgu, a okrąg okręgu, a okrąg nazywa sięnazywa się okręgiem okręgiem

wpisanym w wpisanym w wielokąt.wielokąt.

konstrukcja

konstrukcja

MENU

Na dowolnym trójkącie można opisać okrąg.

Okrąg można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych kątów czworokąta są równe (i wynoszą 180°).

Okrąg opisany na wielokącie.

DefinicjaDefinicja: Wielokąt, którego Wielokąt, którego

wszystkie wszystkie wierzchołki należą wierzchołki należą

do pewnego okręgu, do pewnego okręgu, nazywa się nazywa się wielokątem wielokątem wpisanym w wpisanym w

okrągokrąg , okrąg, okrąg zaś-zaś-

okręgiem okręgiem opisanym na opisanym na wielokącie.wielokącie.

TwierdzenieTwierdzenie::Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy

symetralne boków tego wielokąta przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem

okręgu opisanego na wielokącie.

konstrukcja

konstrukcja

MENU

Dany jest trójkąt ABC.

Kreślimy dwusieczną kąta BAC.

Kreślimy dwusieczną kąta ABC.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

Kreślimy okrąg o środku S i promieniu r=SD.

OPIS

KONSTRUKCJI

A B

C

S

D

rProwadzimy odcinek SD AB.

Okrąg wpisany w trójkąt

Okrąg o(S,r) jest szukanym okręgiem wpisanym w trójkąt ABC

MENU

OPIS

KONSTRUKCJI

Dany jest romb ABCD.

Kreślimy przekątne AC i BD.


Kreślimy okrąg o środku S i promieniu r=SE.

Prowadzimy odcinek SE AB.

A

D

C

B

S

rE

Okrąg o(S,r) jest okręgiem wpisanym w romb ABCD

Okrąg wpisany w romb

MENU

OPIS

KONSTRUKCJI

A B

CDany jest trójkąt ABC.

Kreślimy symetralne boków AB i BC.


Otrzymujemy równe odcinki SA, SB i SC.

S

Kreślimy okrąg o środku S i promieniu R =SA=SB=SC

R

R R

Okrąg o(S,R) jest okręgiem opisanym na trójkącie ABC.

Okrąg opisany na trójkącie.

MENU

Okrąg opisany na trójkącie

r

r

Środkiem okręgu jest środek przeciwprostokątnej (bo kąt

wpisany w okrąg oparty na półokręgu jest kątem prostym)

rr

rrr

r

r

Środek okręgu jest punktem leżącym

wewnątrz trójkąta.

Środek okręgu jest punktem leżącym na zewnątrz trójkąta.

Trójkąt ostrokątny

Trójkąt prostokątny

Trójkąt rozwartokątny

MENU

A A A A A A A A

OPIS

KONSTRUKCJI

Dany jest prostokąt ABCD.

Kreślimy przekątne AC i BD.


Z własności prostokąta SA=SB=SC=SD, czyli S jest środkiem okręgu opisanego na ABCD.

Kreślimy okrąg o środku o(S,r), gdzie r =SA.

Okrąg o(S,r) jest okręgiem opisanym na prostokącie ABCD.

Okrąg opisany na prostokącie.

A B

CD

Sr

MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność – Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność – zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Talesa

Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa: Twierdzenie Pitagorasa: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości

przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ab

c

a, b – długości przyprostokątnychc – długość przeciwprostokątnej

TTEZA:EZA:

a2 + b2 = c2

Zastosowanie

ZZAŁ.AŁ.

MENU

1

Konstrukcje odcinków o długościach , itd...Konstrukcje odcinków o długościach , itd... 2 3

1

12

1

12

Z tw. Pitagorasa

12+12=( )22

3

1

4

1

51

6itd...

MENU

Twierdzenie Talesa: Twierdzenie Talesa:

21

1

21

1

BBOB

AAOA

A

B

OA1 A2

B1

B2

ZAŁZAŁ. A1B1A2B2 TEZA:TEZA:

Zastosowanie

Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1 oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków

wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

MENU

y

E1

Podział odcinka naPodział odcinka na 5 równych części5 równych części

x

x

x

x

x

BAy

D1

D2

D3

D4

D5

y

E2

y

E3

y

E4

Dany jest odcinek AB

Z jego końca np. A rysujemy drugie ramię kąta.

Odkładamy na nim z punktu A kolejno 5 równych odcinków.

Otrzymujemy punkty D1, D2, D3, D4, D5.

Kreślimy prostą D5B.

Przez punkty D1, D2, D3, D4 kreślimy proste równoległe do prostej D5B.

Otrzymujemy 5 równych odcinków

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB

OPIS

KONSTRUKCJI

Poprawność konstrukcji wynika z tw. Talesa

MENU

Jednokładność Jednokładność

Definicja:Definicja:

Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s OX

s OX

OX

X’

MENUMENU

Własności...

Zastosowanie

Własności jednokładności:Własności jednokładności:

Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem tożsamościowym.

Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.

Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o środku O i skali s jest jednokładność o środku O i skali 1/s.

Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do niej równoległa.

MENU

Dany jest trójkąt ostrokątny ABC.

Kreślimy kwadrat DEFG taki, że punkty D, E AB, G AC

Otrzymujemy punkt M przecięcia z bokiem BC, który jest obrazem F w jednokł. o środku A i skali s=AM:AF.

Przez M kreślimy prostą równoległą do AB. Otrzymujemy punkt N.

Przez punkty M i N kreślimy proste prostopadłe do AB. Otrzymujemy punkty K i L przecięcia z AB.

Kreślimy półprostą AF.

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątnyKwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny

M

A B

C

K L

N

KLMN Szukany kwadrat

D E

FG

MENU

1)1) Etapy rozwiązania zadania Etapy rozwiązania zadania konstrukcyjnego.konstrukcyjnego.

2)2) Jak rozwiązywać zadania Jak rozwiązywać zadania konstrukcyjne ? (przykłady)konstrukcyjne ? (przykłady)

ZZADANIE ADANIE KKONSTRUKCYJNEONSTRUKCYJNE

MENU

Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy, jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis – konstruujemy szukaną figurę (używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań – ustalamy warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy, czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

Etapy rozwiązania:Etapy rozwiązania:

MENU

ZADANIE 1:ZADANIE 1:Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;ZADANIE 2:ZADANIE 2:Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.

Skonstruuj okrąg o danym promieniu r styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do prostej k;

PPRZYKŁADYRZYKŁADYZADAŃ

MENU

konstrukcja opis dowód ilość rozwiązań

A D B

C

E2β

ROZWIĄZANIE:Analiza

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy wszystkie dane elementy. Ponieważ dana jest suma boków AB i BC, więc rysujemy półprostą ABi zaznaczamy odcinek AE taki, że AE=ABBC. Wówczas trójkąt CBE jest równoramienny. Ponadto CBE180- ABC(bo CBE jest przyległy do ABC). Stąd BCE=BEC β.

2

1

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę boków ABBCABC i

wysokość CD.

Możemy więc narysować trójkąt AEC, gdyż znamy jego bok AE,AEC i wysokość CD. Aby wyznaczyć punkt B prowadzimy symetralną boku CE.

ZZADANIE ADANIE 1.1.

MENU

analiza opis dowód ilość rozwiązań

2β

h=CD

a

ABC

=AB+BC

A E

F

h

k

Dane

aB

Konstrukcja(zad.1)

C


ABC szukany trójkąt

MENU

analiza konstrukcja dowód ilość rozwiązań

Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i odkładamy odcinek AE=a

Konstruujemy kąt o mierze i odkładamy go tak, aby jego wierzchołkiem był punkt E i jedno ramię zawierało się w półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF

Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w punkcie C.

Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina odcinek AE w punkcie B.

ABC jest szukanym trójkątem.

2β

Opis konstrukcji Opis konstrukcji (zad. 1).(zad. 1).

MENU

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem

BCBEiAB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest

równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB = . Stąd

CBE = 180 - . Kąty CBE i CBA są przyległe, więc CBA = 180 - (180 - ) = = ABC. Ponadto z konstrukcji wynika,

że punkt C leży na prostej równoległej do prostej AE, odległej o

h od prostej AE, więc wysokość CD ma daną długość h.

analiza konstrukcja opis ilość rozwiązań

2β

Dowód poprawnościDowód poprawnościkonstrukcji (zad. 1).konstrukcji (zad. 1).

MENU

analiza konstrukcja opis dowód

Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania

jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna odcinka CE przecięła bok AE. W takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w

przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

1 lub 0

Istnienie i liczba Istnienie i liczba rozwiązań (zad. 1).rozwiązań (zad. 1).

MENU

konstrukcja opis dowód ilość rozwiązań

A

B

R

r

k

AnalizaAby narysować szukany okrąg,

należy wyznaczyć punkt B, który jest jego środkiem. Ponieważ okrąg dany i szukany mają być styczne zewnętrznie, więc odległość ich środków ma być równa sumie ich promieni (AB=R+r). Punkt B jest więc punktem okręgu o(A, R+r). Z drugiej strony szukany okrąg ma być styczny do prostej k, więc jego środek (punkt B) leży w odległości r od prostej k tzn. d(B, k)=r.

ROZWIĄZANIE:

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj okrąg o danym promieniu r styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do prostej k.


MENU

analiza opis dowód ilość rozwiązańZZADANIE ADANIE 2.2.

Dane

r

R

r

KonstrukcjaKonstrukcja(zad.2)(zad.2)

k

AR

r

r

r

r

l1

l2

R+r

Szukane okręgi

RB2 B1

MENU

konstrukcjaanaliza dowód ilość rozwiązań

Budujemy odcinek o długości R+r.

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).

Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w odległości r od tej prostej.

Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia tych prostych z okręgiem o (A, R+r).

Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki zadania.

Opis konstrukcji Opis konstrukcji (zad. 2).(zad. 2).

MENU

Konstrukcja opis analiza ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów

B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem

okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie

z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane

okręgi są styczne do prostej k.

Dowód poprawności Dowód poprawności konstrukcji (zad. 2).konstrukcji (zad. 2).

MENU

konstrukcjaopis dowód analiza

Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r). Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy jeszcze następujące przypadki:

Brak rozwiązań

Jedno rozwiązanie

Trzy rozwiązania

Cztery rozwiązania

0,1,2,3,4

Istnienie i liczba Istnienie i liczba rozwiązań (zad. 2).rozwiązań (zad. 2).

MENU

konstrukcja opis dowód analiza

k

AR

R+r

r

r

l1

l2

Brak rozwiązańBrak rozwiązań

Suma prostych l1 i l2 nie ma punktów wspólnych z okręgiem o(A, R+r)0

MENU

k r

r

l1

l2

AR

R+r

1

Jedno Jedno rozwiązanierozwiązanie

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt wspólny z okręgiem o(A, R+r)


MENU

Szukany okrąg

RA

R+r

k r

r

l1

l2

Szukane okręgi3

TrzyTrzy rozwiązaniarozwiązania

Suma prostych l1 i l2 ma 3 punkty wspólne z okręgiem o(A, R+r)


MENU

4

k r

r

l1

l2

R

R+r

A

Szukane okręgi

Cztery Cztery rozwiązaniarozwiązania

Suma prostych l1 i l2 ma 4 punkty wspólne z okręgiem o(A, R+r)


MENU

KONIEC

Education

Konstrukcje geom 1