Część 1 1

POLITECHNIKA POZNAŃSKA

Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska

Instytut Konstrukcji Budowlanych

dr inż. Jacek Tasarekdr inż. Jacek Tasarek

KONSTRUKCJE METALOWE IIKONSTRUKCJE METALOWE II

POZNAŃ, 2004

AlmaMater

Część 1 2

1.ELEMENTY ZGINANE - BELKI

1.1.Wiadomości wstępne.

Belki są podstawowym elementem konstrukcji stalowych –przenoszą obciążenia głównie poprzezzginanie w jednej lub dwu płaszczyznach. Występuje również możliwość złożonego stanu obciążenia belkito znaczy jednoczesnego zginania i ścinania oraz dodatkowo rozciągania względnie ściskania osiowego.

Najczęściej belki występują jako konstrukcje nośne stropów, pomostów, rygli dachowych i ściennych,dźwigarów mostowych, belek podsuwnicowych, płatwi, krokwi itp.

1.2.Podział belek.

Rozróżnia się kilka kryteriów podziału: ze względu na schemat statyczny:

- wolnopodparte - najczęściej stosowane z uwagi na brak wpływu temperatury i osiadaniapodpór, dogodny montaż, niestety są mało ekonomiczne;

- ciągłe - mniejszy przekrój, a więc lżejsze, mniejsze ugięcie, jednak trudniejsze wykonanieze względu na styki montażowe;

- gerberowskie (przegubowe) – stosowane w płatwiach i mostownictwie ze względu na przekrój poprzeczny:

- bisymetryczne – środek ścinania pokrywa się ze środkiem ciężkości, zatem nie występujeskręcanie (rys.1.1)

-

AlmaMater

Część 1 3

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

DWUTEOWE

walcowanespawane nitowane

rury skrzynkowe

POZOSTAŁE

rys.1.1

- monosymetryczne (rys1.2)

y

x

y

x

y

x

y

x

tys.1.2

AlmaMater

Część 1 4

- złożone (rys1.3)

y

x

y

x

y

x

rys.1.3

- specjalne(rys1.4a, 1.4b, 1.4c)

AŻUROWE

x

rys.1.4a

Z KSZTAŁTOWNIKÓW ZIMNOGIĘTYCH

rys.1.4b

AlmaMater

Część 1 5

ZESPOLONE (STALOWO – ŻELBETOWE)

rys.1.4c

1.3. Rozpiętości obliczeniowe belek

Rozpiętość obliczeniową belek lo określa się na podstawie rozpiętości w świetle podpór, przy czym dla: belki opartej na łożyskach (podporach punktowych)

lo=l

rys 1.5

lo = l

belki opartej na murze w zależności od sytuacji:

AlmaMater

Część 1 6

l

lo=l+2*0,025*l

2,5%*l

2,5%*l l01

l02

l1=l

01+0,025*l

01l2=l

02+0,025*l

02

rys. 1.6

1.4.Podstawy teoretyczne projektowania belek

Projektując belkę obciążoną obciążeniem statycznym należy określić rozkład siłwewnętrznych w belce następnie znaleźć najniekorzystniej obciążone przekroje i sprawdzić ich nośność zuwzględnieniem możliwości utraty stateczności lokalnej oraz sprawdzić możliwość utraty statecznościogólnej całej belki (zwichrzenia) a także obliczyć ugięcie i porównać z ugięciem granicznym.

1.4.1.Hipotezy wytrzymałościowe.

Podczas projektowania elementów konstrukcyjnych bardzo istotną rolę odgrywają hipotezywytrzymałościowe. Wtedy, gdy dla złożonego stanu naprężenia (dwu lub trójosiowego) należy wyznaczyćnaprężenie zastępcze-jednoosiowe i sprawdzić czy nie przekracza ono naprężenia niszczącego. Hipotezą,która najbardziej oddaje zachowanie się stali podczas badań doświadczalnych (najlepiej obrazujezniszczenie stali rozumiane jako przejście w stan plastyczny lub sprężysto - plastyczny) jest hipotezaHubera–Hencky’eg–Missesa. Przy założeniu zasady płaskich przekrojów oraz że osiągniecie w elemenciegranicy plastyczności jest jednoznaczne z jego zniszczeniem, hipoteza wytężeniowa staje się warunkiemplastyczności i zarazem warunkiem nośności.

AlmaMater

Część 1 7

σY

σZ

√3 τ

σ

τ

0,58σ

Stan niebezpieczny

Stan bezpieczny

rys. 1.7

32z

Powierzchnią graniczną stanu naprężenia dla hipotezy Hubera–Hencky’eg–Missesa jestnieskończenie długa pobocznica walca kołowego nachylona pod tym samym kątem do osi układuwspółrzędnych.

Uwaga:Hipotezy wytężeniowe określają wytężenie materiału w danym punkcie i obowiązują tylko dla

konstrukcji w stanie sprężystym. W stanach poza sprężystych, występujących w konstrukcjach metalowychposługujemy się pojęciem wytężenia przekroju, gdzie zamiast analizy wytężenia w danym punkcierozpatruje się cały stan naprężeń w przekroju.

1.4.2.Zginanie belek w jednej płaszczyźnie.

AlmaMater

Część 1 8

l

r

τ

y

x

h

σ

rys.1.8.

zginanie

xmax

x WM;

IyM

ścinanie

tISQ

x

x

dla zginania ze ścinaniem naprężenie zastępcze w danym punkcie wynosi:

32z

1.4.3. Zginanie belek w dwóch płaszczyznach – przekroje symetryczne.

względem osi głównych

AlmaMater

Część 1 9

yy

yx

xx

xy

y

y

x

bISQ

bISQ

WM

WM

wtedy naprężenia zastępcze wyznacza się zzależności:

2 2 23z x y x y

względem osi nie będących osiami głównymi (z uwzględnieniem skręcania)

y

x

Qy

Qx

Q

θ

y o

x o

W przypadku takiego przekroju można obciążenie Prozłożyć na Px i Py i obliczyć belkę za pomocą wzorówzamieszczonych wyżej. Warunkiem jest jednak to, aby siła Pdziałała po kierunku przechodzącym przez środek ciężkościukładu.

Względnie układ taki można obliczyć dokładniej korzystając ze wzorów:

yIII

IMIMx

IIIIMIM

2xyyx

xyyyx

2xyyx

xyxxy

gdzie:

AlmaMater

y

x

Qy

Qx

Część 1 10

A

xy xydAI

Dla układu współrzędnych obróconego o kąt względem układu osi głównych odpowiednie momentybezwładności wynoszą:

2sin2

III

cosIsinII

sinIcosII

00

00

00

yxxy

2y

2xy

2y

2xx

W przypadku, gdy znamy momenty bezwładności w układzie odwróconym położenie osi głównychwzględem tego układu wyznaczamy z zależności:

xy

xy

III2

2tan

Momenty bezwładności względem układu głównego:

cossinI2sinIcosII

cossinI2sinIcosII

xy2

x2

yy

xy2

y2

xx

0

0

musi być spełniony warunek:

yxyx IIII00

1.4.4.Zginanie przekrojów otwartych z uwzględnieniem skręcania.

W tym przypadku konieczne jest określenie środka ścinania danego przekroju.

Środek ścinania w przekroju określa punkt, w którym przyłożenie obciążenia nie powoduje skręcaniaprzekroju. Inaczej mówiąc: jeśli belka obciążona jest poprzecznie siłą, która nie przechodzi przez środekścinania jest ona nie tylko zginana, ale również skręcana. Do takich belek zaliczamy wszystkie kształtownikiposiadające tylko jedną oś symetrii np. ceowniki, teowniki itp. Poniżej zobrazowane jest położenie środkaścinania w niektórych przekrojach:

AlmaMater

Część 1 11

y

xy

x

y

x

eo

y

x

rys.1.9.

położenie środka ścinania

Dla ceownika:

yo

xo

eo

Q

e

y 1

bo

h i

S

Środek ścinania znajduje się w odległości eo na osixo od osi środnika:

p

śr00

AA

611

1b21e

gdzie:

Ap – pole powierzchni pasów

Aśr – pole powierzchni środnika pozazaokrąglenia

Przy znanym położeniu siły ścinającej Q (przyłożonej w odległości e od środka ścinania S) naprężeniaod skręcania będą równe:

gI

eQ

ss

gdzie:

Is – moment bezwładności przy skręcaniu, który dla przekroju pryzmatycznego wyznacza się

AlmaMater

Część 1 12

za pomocą wzoru:

i

3iis gb

31I

b – szerokość półki;

g – grubość półki;

Ponadto w przekroju ceownika wystąpią naprężenia od ścinania jak i zginania:

xxQ I

yMigISQ

Nośność danego przekroju sprawdza się za pomocą warunku:

d22 f3

gdzie: dQs f58,0

Przekroje zginane z jedną osią symetrii, w których środek ścinania nie pokrywa się ze środkiemciężkości, mają mniejszą nośność niż przekroje bisymetryczne ze względu na występowanie naprężeńścinających przy skręcaniu.

1.5. Stany sprężyste a stany plastyczne w belkach zginanych

1.5.1.Próba rozciągania staliWykres naprężeń i odkształceń podczas próby rozciągania stali.

AlmaMater

Część 1 13

Wytrzymałość na rozciąganie

Naprężenia po zerwaniu

Naprężenia pozorne

Dolna i górna granica plastycznosci

Granica proporcjonalnościi sprężystości (umowne)

Rm

fy

fyH

STAL MIĘKKAstal konstrukcyjna - węglowa

STAL TWARDAstal konstrukcyjna - stopowa

Rm

foz

Umowna granica plastyczności

rys.1.10

Nośność przekroju elementu zginanego określa się na podstawie wytrzymałości obliczeniowej stali fdbędącej kwantylem granicy plastyczności fy z próby rozciągania

1.5.2. Nośność graniczna przekroju na zginanie w stanie sprężystym.

σ

y max

σ

yo

xo

rys.1.11.

Nośność przekroju wyznacza się ze wzorów:

A

R dAyM

jak wynika z rysunku: max

dmax

d

yyf

yf

y

zatem:

AlmaMater

Część 1 14

xmax

xoxo

A

2

A

2

max

d

A maxdR

WyI

ponadtoIdAyponieważa

dAyy

fdAy

yyfM

stąd:

dxR fWM

1.5.3. Nośność graniczna przekroju na zginanie w stanie plastycznym

σmin

yo

xo

εpl

ε wzm

σmax

-

+ją

dro

sprę

żyst

eodkształcenia naprężenia

rys.1.12

W konsekwencji rosnących odkształceń, które zmieniają ę na skutek wzrastającego obciążeniapowstaje w stanie przegubu plastycznego jądro sprężyste. Jednakże dla celów obliczeniowych nośnościprzekroju pomijamy fakt, iż ono powstaje i zakładamy wykres naprężeń w postaci dwóch prostokątów.

Nośność przekroju wyznaczamy wychodząc ze tego samego równania:

A

R dAyM

z tą różnicą, że = fd , a zatem:

tcdR

A

Ac Atd

AdR

SSfM:zatem

SdAygdzie

dAydAyfdAyfM

AlmaMater

Część 1 15

podstawiając:

pltc WSS

:otrzymamy:

dplR fWM

gdzie:

Sc, St -odpowiednio moment statyczny strefy ściskanej i rozciąganej przekroju,

Wpl – plastyczny wskaźnik wytrzymałości

Dlatego też znając współczynnik rezerwy plastycznej przekroju pl można obliczyć nośność przekrojuw stanie plastycznym, przemnażając nośność w stanie sprężystym przez ten współczynnik: .

dxplR fWM

Przykładowo wartość współczynnika rezerwy plastycznej przekroju pl dla belki o przekrojuprostokątnym oblicza się następująco:

b

h

xo

yo

rys.1.13

6bh

h2

12hbW

2hy;

12hbI:gdzie

yI

W

23

x

max

3

xo

max

xox

natomiast

4bh

4hb

2h

4hb

2hW

2

pl

zatem współczynnik pl dla tego przekroju jest równy:

AlmaMater

Część 1 16

5,1bh

64

bh2

2

pl

W praktyce przy projektowaniu zamiast współczynnika pl posługujemy się posługujemy sięobliczeniowym współczynnikiem rezerwy plastycznej p, o wartości mniejszej od pl, określonym zzależności:

p = (Wpl +W)/2W

1.5.4.Nośność przekroju belki z uwzględnieniem utraty stateczności lokalnej środnika

yo

xo

ψ*fd≈σ

kr

rys. 1.14

O nośności przekroju w stanie sprężystym w niektórych przypadkach może decydować wyboczenienajcieńszej ścianki przekroju poddanej naprężeniom normalnym, ściskającym lub stycznym. Najczęściejtakie zjawisko wystąpi w środniku belki blachownicowej. Wartość maksymalna naprężeń normalnychściskających w chwili utraty stateczności będzie równa:

dkr

dkrmax

fnatomiast

f

zatem nośność takiego przekroju będzie można wyznaczyć z zależności:

dR fWM

1.6. Klasyfikacja przekrojów elementów ściskanych i zginanych.

Ze względu na różne możliwe zachowanie się przekrojów pod obciążeniem przedstawione poprzednimrozdziale, które zależy od parametrów geometrycznych kształtu przekroju należy dokładnie przeanalizować

AlmaMater

Część 1 17

wpływ geometrii przekroju na jego nośność. Najłatwiej wpływ ten można zaobserwować w przypadku belkipoddanej czystemu zginaniu s

1.6.1.Parametry geometryczne przekroju a jego nośność

Dane są cztery różne przekroje, w których wskaźniki wytrzymałości maja tę samą wartość. Belkajest zginana, w rozpatrywanym przekroju występuje tylko moment zginający a cała belka zabezpieczona jestprzed globalną utrata stateczności.

W1

W2

W3

W4

W1 = W

2= W

3= W

4

rys.1.15

Przekroje charakteryzują się tym, że pierwszy ma ścianki najgrubsze, a każdy następny przekrój maścianki trochę cieńsze od poprzedniego. Dzięki temu zróżnicowaniu można zobrazować wpływ grubościścianki na nośność przekroju (patrz na wykres).

M

Mp

My

1

2

3 4

Δ

rys.1.16

gdzie:

AlmaMater

Część 1 18

Mp – nośność w stanie plastycznym;

My – nośność w stanie sprężystym;

Δ – strzałka ugięcia belki

Z analizy wykresu na rys. 1.16 wynika, że nośność przekroju na zginanie zależy od grubości ścianekrozpatrywanego przekroju.

Największą nośność mają przekroje nr1 i nr 2 (krzywe 1 i 2) przy czym w przekroju nr 1 powstaniepełen przegub plastyczny o nieograniczonym kącie obrotu a w przekroju nr 2 powstanie również przegubplastyczny lecz odkształcenia skrajnych włókien przekroju będą ograniczone np. poprzez lokalnewyboczenie plastyczne przez co ograniczony będzie kąt obrotu przegubu

Przekrój nr 3 ma mniejszą nośność niż 1 i 2. Nośność tego przekroju wyznacza osiągnięcie

w skrajnym włóknie naprężeń równych granicy plastyczności;

Najmniejszą nośność uzyska przekrój nr 4. Nośność tego przekroju wyznaczona jest utratąstateczności sprężystej ścianki, a więc w dowolnym punkcie przekroju naprężenia nie mogą przekroczyćwartości naprężeń krytycznych dla którejkolwiek ścianki przekroju (σΡ σkr)..

Powyższe spostrzeżenia były podstawą do opracowania klasyfikacji przekrojów zamieszczonej wnormie PN-90/B-03200.

Norma ta dzieli przekroje zginane na 4 klasy:

KLASA 1 – przekroje mogą osiągnąć nośność pełnego przegubu plastycznego, istnieje

możliwość nieograniczonego obrotu;

KLASA 2 – przekroje mogą osiągnąć nośność pełnego przegubu plastycznego, jednakże

obrót jest ograniczony niestatecznością plastyczną;

KLASA 3 – nośność przekroju ograniczona jest początkiem uplastycznienia strefy

ściskanej,c = fd

KLASA 4 – nośność przekroju ograniczona jest utratą stateczność lokalnej conajmniej jednej

ścianki przekroju znajdującej się w strefie ściskanej, c <fd;

Rozkład naprężeń w przekroju w chwili osiągnięcia pełnej nośności na zginanie w poszczególnychklasach przekroju pokazano na rys 1.17.

AlmaMater

Część 1 19

fd

kl. 1

fd

kl. 2

fd

φ<0

φ<0

fd

kl. 3

σkr<f

d

fd

kl. 4

rys.1.17

1.6.2. Smukłość ścianki przekroju.

Badanie smukłości ścianki przekroju przeprowadza się w celu określenia kasy przekroju ijest to istotne tylko dla przekrojów zginanych, ściskanych oraz pod obciążeniem złożonym, przyktórym w przekroju występują naprężenia ściskające. Ponadto smukłość bada się w elementachścinanych również w celu określenia możliwości utraty stateczności lokalnej ścianki pod wpływemścinania..

Smukłość pasa i środnika belki spawanej i walcowanej określa się przy przyjęciu wymiarówścianek jak na rys.1.18 z wzorów:

AlmaMater

Część 1 20

σ

σ

yo

xo

t r

ht

w

b

--

t r

b1

t r

b1

h

h

rys. 1.18

- smukłość pasa:

f

1

tb

tb

- smukłość środnika:

wth

tb

Tak wyznaczone smukłości należy porównać z wartościami granicznymi dla poszczególnychrodzajów ścianek podany w tabl. 6 w PN 90/B-03200.

Wszystkie przekroje, których smukłość jest większa od granicznej smukłości dla klasy 3 należyzaliczyć do klasy 4.

AlmaMater

Część 1 21

AlmaMater

Część 1 22

1.7. Nośność obliczeniowa przekroju przy jednokierunkowym zginaniu.

Nośność obliczeniową przekrojów zginanych określa się ze wzorów:

dla przekrojów klasy 1 i 2

dpR fWM

gdzie:

p – to obliczeniowy współczynnik rezerwy plastycznej przekroju przy zginaniu

wyznaczony wg załącznika 4; PN90/B-03200

Współczynnik p >1,0 można stosować w przypadku elementów obciążonych statycznie i zginanychw płaszczyźnie symetrii przekroju. W pozostałych przypadkach należy przyjąć p =1,0.

Współczynnik rezerwy plastycznej przekroju przy zginaniu pl określa się jako stosunek momentuprzenoszonego przez przegub plastyczny Mpl do granicznego momentu w stanie sprężystym Mel, a jegowartość teoretyczna wynosi:

dgpl

p SSW1

WW

Wpl – wskaźnik poru plastycznego przy zginaniu równy sumie bezwzględnych

wartości momentów statycznych ściskanej (Ac) i rozciąganej (At) strefy przekroju względemosi obojętnej w stanie pełnego uplastycznienia, przy czym zachodzi wtedy:

A21AA tc

Do projektowania konstrukcji należy przyjmować obliczeniowy współczynnik p określonyzależnością:

plp 121

Dla dwuteowników walcowanych, zginanych w płaszczyźnie środnika można przyjmować:

px = 1,07 – dla dwuteowników IPN i IPE;

px = 1,05 – dla dwuteowników szerokostopowych HEA i HEB;

py = 1,0 przy zginaniu w płaszczyźnie prostopadłej do środnika

W – wskaźnik wytrzymałości przekroju przy zginaniu sprężystym dla najbardziej oddalonej od osiobojętnej krawędzi ściskanej (Wc) lub rozciąganej (Wt);

W = min (Wc, Wt)

AlmaMater

Część 1 23

Wykorzystanie nośności przekroju klasy 1stosowane jest w tzw. teorii nośności granicznej, w którejanalizuje się konstrukcje w momencie przekształcania się w mechanizm chwilowego ruchu wskutekotwarcia się kilku przegubów plastycznych. Metody szacowania nośności konstrukcji wg teorii nośnościgranicznej bazują na teorii plastyczności w przeciwieństwie do powszechnie stosowanych metod opartychna teorii sprężystości. W przypadku belek ciągłych o jednakowej rozpiętości przęseł i jednakowymobciążeniu do określenia nośności w stanie plastycznym można stosować współczynniki zawarte w tablicyZ4-2 . W przypadku ram liczonych wg teorii nośności granicznej należy warunki nośności ramy iprzekrojów liczyć z uwzględnieniem tablicy Z4-1 i pkt. Z4.3, Z4.4 i Z4.5 PN90/B- 03200.

Przy obliczaniu konstrukcji wg. teorii nośności granicznej należy uwzględnić wymagania ogólnezawarte w pkt. Z4.1 normy:

Metody i oszacowania teorii nośności granicznej można stosować przy projektowaniu belek i rampłaskich obciążonych przerażająco statycznie (obciążenie elementu musi być statyczne; w przypadkuobciążeń dynamicznych nie można dopuszczać do uplastycznienia przekroju), a także przy ocenie nośnościkonstrukcji w sytuacjach wyjątkowych (awaryjnych), jeśli konstrukcja spełnia warunki konieczne doplastycznej redystrybucji sił wewnętrznych, a w szczególności:

- stal, z jakiej zaprojektowane są kształtowniki i blachy charakteryzuje się wydłużalnością %15A5

i stopniem wzmocnienia 2,1RR em ;

- każdy element, w którym mogą powstać przeguby plastyczne jest homogeniczny, pełnościenny i mastały co najmniej monosymetryczny przekrój klasy 1;

- płaszczyzna obciążania (zginania) pokrywa się z osią symetrii przekroju – brak skręcania;

- elementy zginane względem osi największej bezwładności przekroju są zabezpieczone przedzwichrzeniem; w miejscach potencjalnych przegubów plastycznych elementy są zabezpieczoneprzed przemieszczeniem (obrotem) z płaszczyzny układu;

- w miejscach działania sił skupionych, w których mogą powstać przeguby plastyczne elementy sąusztywnione żebrami poprzecznymi;

- połączenia zginane (węzły sztywne) w miejscach lub bezpośrednim sąsiedztwie przegubówplastycznych mają nośność nie mniejszą niż nośność przekroju elementów łączonych;

dla przekrojów klasy 3 ( = 1,0) i 4 ( <1,0)

dcR fWM

jednak, gdy Wc > Wt = w należy sprawdzić nośność na:

- krawędzi ściskanej:

dcRc fWM

AlmaMater

Część 1 24

- krawędzi rozciąganej:

11fWM pdtRt

gdzie:

– współczynnik redukcyjny dotyczący stateczności lokalnej;

p – obliczeniowy współczynnik rezerwy plastycznej przekroju;

W przypadku pojedynczych ceowników walcowanych, zginanych w płaszczyźnie środnika lub do niegorównoległej, wpływ drugorzędnego skręcania można uwzględniać w sposób przybliżony przyjmującnośność obliczeniową zredukowaną wg wzoru:

y0

x0

tf

tw

e

S

b

rys.1.19

2

, 85,0f

w

RdredR tb

teVVfWM

w którym:

V – siła poprzeczna w rozpatrywanym przekroju;

VR – nośność obliczeniowa przekroju przy ścinaniu

Pozostałe oznaczenia według rysunku.

Należy pamiętać aby mimośród obciążenia poprzecznego względem środka skręcania spełniałwarunek:

AlmaMater

Część 1 25

be

Ponadto przy sprawdzaniu warunku normowego porównujemy nośności przekroju, a nie naprężenia, aco za tym idzie musi być spełniony warunek nośności przekroju przy zginaniu:

0,1MM

R

1.8. Nośność przekroju na ścinanie.

Przy określaniu nośności przekroju naścinanie uwzględnia się uproszczony wykres naprężeństycznych. Np. dla przekroju dwuteowego wykres naprężeń jak na rys. 1.20

Naprężenia rzeczywiste

Naprężenia uśrednione

τ

τ

τmax

τśr

y

x

rys. 1.20

Nośność obliczeniową przekroju przy ścinaniu siła poprzeczna określa się wg wzoru:

dvpvR fA58,0V

gdzie:

pv – współczynnik niestateczności lokalnej przy ścinaniu, który przyjmuje wartość wyznaczoną zzależności:

0,1lecz1pv

ppv

natomiast:

AlmaMater

Część 1 26

p - smukłość względna, którą należy obliczać z poniższego wzoru, przyjmując miarodajną szerokość

ścianki b równa rozstawowi usztywnień podłużnych;

5;215f

56K

tb

pd

p

Av – pole przekroju czynnego ścinania wg tablicy 7 PN 90/B-03200

Współczynnik K =Kv zależny jest od sposobu podparcia i obciążenia ścianki. Jego wartość należyobliczyć wg tabl. 8 PN wg poniższych zasad:

b

a=β*b

W zależności od stosunku ba

współczynnik KV przyjmuje odpowiednie wartości:

265,0K0,1

8,01265,0K0,1

V

V

W tablicy tej podane są również graniczne wartości smukłości ścinanej th

.

Jeżeli spełnione są warunki smukłości granicznej λ ≤ λgr oznacza to, że ścianka kształtownika jestodporna na miejscową utratę stateczności przy czystym ścinaniu i współczynnik niestateczności lokalnejprzy ścinaniu pv = 1,0

0,1th

pvgr

AlmaMater

Część 1 27

Warunek nośności przekroju na ścinanie jest następujący:

0,1VV

R

gdzie:

V- siła poprzeczna w przekroju

VR- nośność obliczeniowa przekroju na ścinanie

AlmaMater

Część 1 28

1.9 Przypadki obciążeń złożonych..

1.9.1. Zginanie ze ścinaniem.

W stanach sprężystych (przekroje co najwyżej kl. 3) można sprawdzić warunek naprężeń, który dlatrójosiowego stanu naprężeń ma postać :

d2

yx2

y2

x f3 gdzie:

x - naprężenia normalne w kierunku x (zginanie)

y - naprężenia normalne w kierunku y (docisk) - naprężenia styczne (ścinanie)

W pozostałych przypadkach dla dowolnej klasy przekroju posługujemy się siłami uogólnionymi+nośnością przekroju i siłami przekrojowymi.

Jeżeli w przekroju występuje siła poprzeczna V > V0 , to należy przyjmować nośność obliczeniowązredukowaną MR,V, którą wyznacza się jak niżej:

dla bisymetrycznych przekrojów dwuteowych klasy 1 i 2, zginanych względem większej osibezwładności, gdy V >V0 = 0,6VR

2

RRV,R V

V3,01,1MM

w pozostałych przypadkach, gdy V > V0 = 0,3VR

2

R

)V(RV,R V

VI

I1MM

gdzie:

I(V) – moment bezwładności części przekroju czynnej przy ścinaniu względem osi obojętnej;

I – moment bezwładności całego przekroju;

Wtedy warunek nośności przekroju dla zginania ze ścinaniem określony jest zależnością:

AlmaMater

Część 1 29

0,1M

M

V,R

1.9.2. Dwukierunkowe zginanie ścinanie i rozciąganie.

Warunek nośności przekroju dla tego stanu obciążenia określa się metodą superpozycji.Dla przekroju dowolnego (klasy 1, 2, 3, 4) sprawdzenie nośności przekroju , w którym występuje

zginanie w dwóch płaszczyznach siła normalna i poprzeczna można przeprowadzić wg. wzorów:

1,,

VRy

y

VRx

x

Rc MM

MM

NN

2

RtRN,R N

N1VVV

gdzie:VRM , - nośność obliczeniowa przekroju przy zginaniu ze ścinaniem.

NRt- nośność obliczeniowa przekroju na rozciąganieM, V, Nt- siły wewnętrzne w przekroju

1.9.2. Dwukierunkowe zginanie ścinanie i ściskanie

Warunek nośności przekroju dla tego stanu obciążenia określa się również metodą superpozycjiwpływów. Dla przekroju dowolnego (klasy 1, 2, 3, 4) sprawdzenie nośności przekroju , w którym występujezginanie w dwóch płaszczyznach siła normalna ściskająca i poprzeczna można przeprowadzić wg wzoru:

1MM

MM

NN

V,Ry

y

V,Rx

x

Rt

gdzieMR,v- nośność obliczeniowa przekroju przy zginaniu ze ścinaniem.NRc- nośność obliczeniowa przekroju na ściskanieM, V, Nc- siły wewnętrzne w przekroju

1.10. Sprawdzenie ugięcia belek ( Stan graniczny użytkowania).

Sprawdzenie ugięcia belek polega na wyznaczeniu maksymalnego ugięcia sprężystego belki iporównaniu tej wartości z granicznymi ugięciami podanymi w normie tablica 4:

grmax fy .

Oznacza to, że w przypadku belek kl 1 i 2 pomijamy ewentualne plastyczne odkształcenia a wprzypadku belek kl.4 liczonych w stanie nadkrytycznym zamiast przekroju efektywnego uwzględniamyprzekrój pierwotny. Jest to możliwe tylko dla tego, że w obliczeniach stanu granicznego użytkowaniauwzględniamy obciążenia charakterystyczne.

Przy obliczaniu belek ciągłych jednakowych długościach przęseł i jednakowo obciążonych (dotyczytylko belek, których długości oraz obciążenie sąsiednich belek nie różni się więcej aniżeli o 20%) można

AlmaMater

Część 1 30

ugięcia tych belek liczyć wzorami jak dla belki swobodnie podpartej redukując obciążenie współczynnikamipodanymi w normie.

Np. w przypadku belki ciągłej obciążonej równomiernie ugięcie można liczyć ze wzoru:

IElq

3845y

4

max

gdzie:q – obciążenie charakterystyczne zredukowane odpowiedniowspółczynnikami;

pdla)6,0(;75,0

gdla)2,0(;5,0q

g – obciążenie stałe;p – obciążenie zmienne;

Wartości w nawiasach dotyczą przęseł skrajnych, natomiast te bez nawiasów dotyczą przęsełśrodkowych

Wartości graniczne ugięć należy przyjmować:

- dla głównych belek stropowych l350

1fgr

- dla innych belek stropowych l2501f gr

1.11. Uwagi dotyczące przekrojów klasy 4.

1.11.1 Stateczność lokalna ścianki przekroju

Analizując stateczność ścianki przekroju posługujemy się modelem płyty obciążonej naprężeniamidziałającymi w płaszczyźnie głównej i określonych warunkach podparcia na krawędziach. Naprężenianormalne kr dla dowolnego przypadku obciążeń, przy których nastąpi wyboczenie płyty określa się zewzoru:

AlmaMater

Część 1 31

tf

tw b

b1

22

212 (1 )w

krtEb

p c

u

gdzie:c - współczynnik zależny od rozkładu obciążenia i sposobu podparciat ,b - grubość i szerokość ściankiυ- współczynnik PoissonaE- moduł Younga

Nośność przekroju wyznaczoną naprężeniami krytycznymi nazywamy nośnością w staniekrytycznym: W tym stanie w dowolnym miejscu ścianki musi zachodzić warunek:

krgdzie:

- naprężenia wewnętrzne w przekroju; kr- najmniejsze naprężenie krytyczne rozpatrywanej ścianki.

Jednakże istnieje możliwość dalszego obciążania płyty po osiągnięciu stanu krytycznego.Taki stan nazywamy stanem nadkrytycznym.

1.11.2 Nośność na zginanie w przekroju klasy 4 w stanie krytycznym określa się ze wzoru:

dcR fWψM gdzie:

Wc- wskaźnik wytrzymałości strefy ściskanej fd- wytrzymałość obliczeniowa stali elementu.

- współczynnik niestateczności lokalnej (= p < 1,0); przy czym p należy przyjmować wzależności od smukłości względnej ścianki p obliczonej ze wzoru:

21556k

tbλ f d

_

gdzie: t, b - grubość i szerokość ściankiK- współczynnik z tabl.8 PN zależny od sposobu podparcia i obciążenia płyty

AlmaMater

Część 1 32

-w tablicy 8 określa stosunek naprężeń średnich do największych naprężeń ściskających wrozpatrywanej ściance

Wartości współczynnika p można odczytać .z tablicy 9 PN dla wszystkich przekrojów za wyjątkiemkształtowników skrzynkowych i rurowych z naprężeniami spawalniczymi, dla których obowiązujązależności:

35,1dla9.tablwg

35,1dla)2,08,0(3,06,1

25,075,0dla0,1

pp

p0ppp

0ppp

AlmaMater

Część 1 33

W przypadku belki dwuteowej blachownicowej najsmuklejszym elementem na ogół jest środnik . Wprzypadku środnika klasy 4 powinno się go usztywnić żeberkami poprzecznymi, które należy rozmieścić wrozstawach b2a . Na rysunku 1.21 pokazano fragment belki z żebrami usztywniającymi i obciążeniemnaprężeniami przy zginaniu ze ściskaniem i czystym zginaniu.

AlmaMater

Część 1 34

y

xb

- -

++

σmax

σmax

σmin

σmin

σśr

σśr

a

dominujące ściskanie

rys 1.21

W ten sposób na środniku tworzy się układ płyt w różny sposób obciążonych, opartych na żeberkach ipasach o stosunku boków:

ba

zatem: max

sr

w zależności od wartości i wyznacza się współczynnik podparcia i obciążenia ścianki K (wg tabl.8). Przykładowo,

- dla środnika:

gdy β≥1

10 - przeważające ściskanie i 6,04,0K 2

0 - czyste zginanie i K2 = 0

1 - czyste ścinanie

0

1

4,0K 2

- dla pasa:

8,02,2K106,1

1

W pozostałych przypadkach wartości K należy obliczyć zgodnie z tabl.8

Wartość współczynnika p określone na podstawie tablicy 9 tworzą na wykresie p( p )charakterystyczną krzywą wyboczeniową. Z analizy tej krzywej wynika, że dla małych smukłościwzględnych p ≤0,75 nie zachodzi utrata stateczności lokalnej. Przy większych smukłościach p >0,75

AlmaMater

Część 1 35

wartość współczynnika p gwałtownie zmniejsz się wg krzywej zbliżonej do hiperboli do wartości p

=0,138 przy p = 3,0

0 0,75 1 2 3

1

φp

λp

rys 1.22.

Dla kształtowników skrzynkowych i rurowych z naprężeniami wykres ma nieco inny przebieg.

1.11.3. Nośność przekroju klasy 4w stanie nadkrytycznym.

W stanach nadkrytycznych bierze się pod uwagę pracę części przekroju płyty, które nie uległyutracie stateczności lokalnej. Tę część przekroju płyty, nazywa się przekrojem efektywnym.

Zgodnie z teoria nośności nadkrytycznej osiągnięcie naprężenia krytycznego w ściance przekroju,traktowanej jako płyta obciążona w płaszczyźnie środkowej, nie oznacza, że wyczerpały się jej zdolności dodalszego przenoszenia obciążenia pod warunkiem, że jedna lub więcej krawędzi podłużnych pozostały nadalnie odkształcone.

Omawiany przebieg pracy nadkrytycznej płyty przedstawia model rusztowy płyty sformułowanyprzez Wintera, w którym pionowe pręty obciążone są siłami ściskającymi a poziome pręty są tylkoelementami usztywniającymi (rys.1.23)

P P P P P

PPPPP

P P P

PPP

a) b)

rys.1.23.

AlmaMater

Część 1 36

a) płyta usztywniona na dwóch krawędziach podłużnych;

b) płyta usztywniona na jednej krawędzi podłużnej

Jak łatwo można stwierdzić im dalej od usztywnionej krawędzi, tym płyta ma większą swobodęwyboczenia, jest mniej skrępowana, co przyczynia się do tego, że najpierw tracą stateczność elementynajbardziej odległe od krawędzi podparcia. Dodatkowe obciążenia

po wyboczeniu się pierwszych prętów mogą być przykładane jedynie do prętów w pobliżu krawędziusztywnione. Obciążenia, przy których wymoczą się pierwsze pręty rusztu odpowiadają obciążeniom stanukrytycznego, a sumaryczne obciążenia po dociążeniu nie wyboczonych stref odpowiadają obciążeniom stanunadkrytycznego. Kresem dociązenia rusztu będzie uplastycznienie skrajnych prętów przy krawędziachusztywnionych.

Rzeczywisty rozkład naprężeń w przekroju płyty prostokątnej obciążonej równomiernym ściskaniemprzedstawia rys.1.24.

W stanie nadkrytycznym obciążenia mogą wzrastać do wystąpienia w pasmach przykrawędziowychnaprężeń równych granicy plastyczności Re. Dzięki temu płyta może przenosić obciążenia większe odkrytycznych. Dodatkowo można stwierdzić, że początkowo równomierny rozkład naprężeń w płycie zmieniasię na coraz bardziej nierównomierny. W obliczeniach przyjmuje się równomierny rozkład naprężeń wstrefach przypodporowych – powierzchniach efektywnych. Przekrój efektywny dla ścianki równomiernieściskanej można określićnastępująco:

b

N

N

σ''maxσ'

max

σmax

b'w/2

b''

w/2

Rys. 1.24

Z równowagi sił wypadkowych w przekrojuwyboczoym:

bgN

gdziebb

sr

srw

:

max

bw – szerokość efektywna płyty

natomiast:

2

1max

ww bgEk

bgN

Z badań Kármána, Donnel’a dla płyty przegubowo opartej na krawędziach:

AlmaMater

Część 1 37

maxw

max

kr

max

sr1

Eg69,1b

89,0;62,3kdla

Z przeprowadzonej powyżej analizy wynika, że w stanach nadkrytycznych zmienia się przekrój znominalnego na efektywny, zatem wszędzie w obliczeniach statycznych należy uwzględnić przekrójefektywny.

Szerokość współpracującą w praktyce określamy na podstawie PN90/B-03200.

Dla przekroju zginanego zmniejsza się szerokość półek ściskanych bef i wprowadza niesymetrycznestrefy efektywne w sąsiedztwie pasów na środniku ( rys.1.25)

bef σ

c1

σmin

υ*σ

be1w

be2w

σc2

rys.1.25.

Szerokość przekroju efektywnego określa się redukując szerokość b współczynnikiem pe określonymz tabl. 9 na podstawie smukłości zastępczej ścianki p :

0,37,0

)(8,0215f

56K

tb

bb

p

8,0ppe

dppe

pee

gdzie:

AlmaMater

Część 1 38

pe – współczynnik niestateczności dla stanu nadkrytycznego,

Dla środnika dodatkowo rozbija się szerokość efektywną na dwie strefy be1 i be2 (rys. 1.25)

sr

Cmax

1ee2e

e1e

bbb;10b2,03,0b

Dla półki peffef bb

Dla przekroju przy czystym ściskaniu rozkład stref przekroju efektywnego będzie symetryczny(rys.1.26)

bef

σc

be1w

be1w

σc

rys. 1.26

Szerokość współpracująca dla przekroju ściskanego wyznaczana jest za pomocą wzoru:

0,1b2,03,0b e1e

Jeśli największe naprężenia ściskające w przekroju współpracującym spełniają warunek dc f , tozamiast wartości pe można przyjmować:

0,1lecz1ff

,pep

pd

c

ppepc

d,pe

Nośność na zginanie w przekroju w stanie nadkrytycznym określa się ze wzoru

AlmaMater

Część 1 39

dceR fWM

gdzie:

e - współczynnik redukcyjny nośności obliczeniowej przekroju określony

z uwzględnieniem zmiany środka ciężkości z uwagi na efektywną powierzchnię

przekroju;

c

ece W

W

Wec – wskaźnik wytrzymałości przekroju współpracującego

Wc – wskaźnik wytrzymałości przekroju rzeczywistego.

Konstrukcje można obliczać w stanie nadkrytycznym gdy :

- obciążenie są przeważająco statyczne;

- utrata stateczności blachy nie powoduje niekorzystnych zmian użytkowych;

- brak sił skupionych przyłożonych do przekroju.

Ponadto w przypadku środnika belki blachownicowej klasy 4 w złożonym stanie obciążenianależy dodatkowo sprawdzić warunek:

0,1VV

MM

NN

2

R

2

Rw

w

Rw

w

w którym:

Nw – część obciążenia osiowego ściskającego lub rozciągającego przypadającego na środnik;

NRw – nośność środnika na ściskanie;

Mw – moment zginający przypadający na środnik;

MRw – nośność środnika na zginanie;

V – siła poprzeczna;

VR – nośność środnika na ścinanie ;

Uwagi:

AlmaMater

Część 1 40

najczęściej dopuszcza się tylko utratę stateczności środnika, tak aby półki nie traciły statecznościlokalnej – w praktyce dobiera się odpowiednio grubsze półki.

w przypadku, gdy pas jest klasy 3 lub niższej to stanowi on wystarczające usztywnienie krawędziśrodnika i o nośności przekroju decyduje nośność na ściskanie (stateczność) tego środnika - p –obliczone dla p środnika.

w przypadku, gdy pas jest również klasy 4, czyli może on także ulec utracie stateczności i może niestanowić wystarczającego usztywnienia ścianki środnika – to o nośności przekroju decydujenajniższa wartość p ; min p = {p środ ; p pasa }.

Oznacza to, że o nośności na zginanie decyduje stateczność najsłabszej ścianki ściskanej (rys.1.27).

-

+

σ ≈ σ'c

-

+

σ'c

σ't

σc -

+

Mx

rys.1.27.

cc '

1.12. Warunki nośności obliczeniowej przekroju- podsumowanie

Przed sprawdzeniem warunków obliczeniowych nośności przekroju należy określić klasęprzekroju. Wykorzystanie pełnej nośności przekroju danej klasy związane jest również z metodą obliczeństatycznych. Dla przekrojów klasy 1 a także częściowo klasy 2 aby w pełni wykorzystać nośność obliczeniastatyczne należy wykonać metodami teorii plastyczności (np. Metodą Nośności Granicznej). W pozostałychprzypadkach obliczenia należy prowadzić metodami teorii sprężystości. Zastawienie metod obliczeniowychi metod wymiarowania przekroju przy wykorzystaniu pełnej nośności w poszczególnych klasachprzedstawiono w tablicy.

AlmaMater

Część 1 41

KLASA PRZEKROJU METODA OBLICZEŃSTATYCZNYCH

METODA WYMIAROWANIAPRZEKROJU

KLASA 1 PLASTYCZNA PLASTYCZNA

KLASA 2 SPRĘŻYSTA PLASTYCZNA

PLASTYCZNA SPRĘŻYSTA

KLASA 3 SPRĘŻYSTA SPRĘŻYSTA

KLASA 4 SPRĘŻYSTA SPRĘŻYSTA (STAN KRYTYCZNY,(STAN KRYTYCZNY,

STAN NADKRYTECZNY)

AlmaMater