khao sat ham so và các bài toán liên quan

Khảo sát hàm số

1

Đồ thị hàm số và

các bài toán liên quan

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Tính đơn điệu của hàm số 1.1. Định nghĩa. Cho hàm số f xác định trên K , với K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng. Khi

đó

f đồng biến trên K ( )1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ < ⇒ < .

f nghịch biến trên K ( )1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ < ⇒ > .

1.2. Điều kiện cần và đủ Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Khi đó

f đồng biến trên I ⇔ 0( ) ,f x x I′ ≥ ∀ ∈ và 0( )f x′ = chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc I .

f nghịch biến trên I ⇔ 0( ) ,f x x I′ ≤ ∀ ∈ và 0( )f x′ = chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc I .

f là hàm hằng trên I 0( ) ,f x x I′⇔ = ∀ ∈ .

2. Cực trị của hàm số 2.1. Điều kiện cần để có cực trị

Cho hàm số f có đạo hàm tại 0

x . Nếu hàm số f đạt cực trị tại 0

x thì 0

0( )f x′ = .

2.2. Điều kiện đủ để có cực trị

2.2.1. Điều kiện đủ thứ nhất. Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b , 0( ; )x a b∈ . Khi đó

nếu ( )f x′ đổi dấu khi x qua 0

x thì f đạt cực trị tại 0

x .

x 0

x x 0

x

( )f x′

0 ( )f x′ 0

( )f x

CĐ ( )f x

CĐ

www.VNMATH.com


2

2.2.2. Điều kiện đủ thứ hai. Cho hàm số f có đạo hàm cấp một trên ( ; )a b chứa 0

x , 0

0( )f x′ =

và 0

0( )f x′′ ≠ . Khi đó

� 0

0( )f x′′ < ⇒ f đạt cực đại tại 0

x , � 0

0( )f x′′ > ⇒ f đạt cực tiểu tại 0

x .

Chú ý. Ta thường sử dụng Điều kiện đủ thứ hai trong các bài toán có yêu cầu liên quan đến cực

trị tại những điểm cụ thể cho trước.

2.3. Đường thẳng qua hai điểm cực trị

2.3.1. Hàm số 3 2( )y f x ax bx cx d= = + + + 0( )a ≠ , ( )C

Giả sử đồ thị ( )C có hai điểm cực trị ( );A A

A x y , ( );B B

B x y . Thực hiện phép chia đa thức ( )f x cho

( )f x′ , ta được ( ) ( ). ( )f x g x f x xα β′= + + . Khi đó ta có

0

( ) ( ). ( )A A A A A A

y f x g x f x x xα β α β

=

′= = + + = +��

;

0

( ) ( ). ( )B B B B B B

y f x g x f x x xα β α β

=

′= = + + = +��

.

Suy ra , :A B y xα β∈ ∆ = + nên ∆ là đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị ( )C .

2.3.2. Hàm số 2

( )ax bx c

y f xdx e

+ += =

+ 0( )a ≠ , ( )C

Giả sử đồ thị ( )C có hai điểm cực trị ( );A A

A x y , ( );B B

B x y . Đặt 2( )u x ax bx c= + + ,

( )v x dx e= + . Khi đó 2

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

u x v x u x v xf x

v x

′ ′−′ =

. Nếu f đạt cực trị tại 0

x thì

0 0 0 00( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x′ ′− = 0 0

0 0

( ) ( )

( ) ( )

u x u x

v x v x

′⇔ =

′ hay 0

0

0

( )( )

( )

u xf x

v x

′=

′.

Do đó ta có 2

( ) A

A A

ax by f x

d

+= = và

2( ) B

B B

ax by f x

d

+= = . Suy ra

2, :

ax bA B y

d

+∈ ∆ =

nên ∆ là đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị ( )C .

Chú ý. Ta thường sử dụng thuật toán Đường thẳng qua hai điểm cực trị đối với các bài toán liên

quan đến giá trị cực trị hay điểm cực trị của đồ thị hàm số.

3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

0 0

, ( )max ( )

, ( )x

x f x MM f x

x f x M∈

∀ ∈ ≤= ⇔ ∃ ∈ =

D

D

D

0 0

, ( )min ( )

, ( )x

x f x mm f x

x f x m∈

∀ ∈ ≥= ⇔ ∃ ∈ =

D

D

D.

Nếu ( )y f x= đồng biến trên [ ; ]a b thì [ ; ]

min ( ) ( )x a b

f x f a∈

= và [ ; ]

max ( ) ( )x a b

f x f b∈

= .

Nếu ( )y f x= nghịch biến trên [ ; ]a b thì [ ; ]

min ( ) ( )x a b

f x f b∈

= và [ ; ]

max ( ) ( )x a b

f x f a∈

= .

4. Tiệm cận

Đường thẳng 0

x x= được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu ít nhất một

trong các điều kiện sau được thỏa mãn

0

lim ( )x x

f x−→

= +∞ ; 0

lim ( )x x

f x+→

= +∞ ; 0

lim ( )x x

f x−→

= −∞ ; 0

lim ( )x x

f x+→

= −∞ .

Đường thẳng 0

y y= được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu

www.VNMATH.com


3

0lim ( )

xf x y

→+∞= hoặc

0lim ( )

xf x y

→+∞= .

Đường thẳng y ax b= + 0( )a ≠ được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu

0lim [ ( ) ( )]x

f x ax b→+∞

− + = hoặc 0lim [ ( ) ( )]x

f x ax b→−∞

− + = .

5. Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

5.1. Tìm điểm cố định của một họ đồ thị. Cho hàm số ( , )y f x m= , ( )m

C . Khi đó họ ( )m

C

qua điểm cố định ( )0 0;M x y ⇔

0 0( , ),y f x m m= ∀

1

0 0 1 0 0 0 0 00( ; ) ( ; ) ... ( ; ) ,k k

k kg x y m g x y m g x y m−

−⇔ + + + = ∀

0 0

1 0 0

0 0 0

0

0

0

( ; )

( ; )

......................

( ; )

k

k

g x y

g x y

g x y

−

= =⇔ =

.

5.2. Vị trí tương đối giữa hai đồ thị. Cho hàm số ( )y f x= , ( )C và hàm số ( )y g x= , ( )C ′ .

Giao điểm của hai đồ thị

Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau

( )C và ( )C ′ tiếp xúc nhau ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x

=⇔ ′ ′ =

có nghiệm.

5.3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Bài toán Cách giải

� Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị

Cho ( )C : ( )y f x= và ( )0 0; ( )M x y C∈ . Viết

phương trình tiếp tuyến của ( )C tại M .

Áp dụng công thức 0 0 0

( )( )y y f x x x′− = − .

� Tiếp tuyến qua điểm cho trước

Cho ( )C : ( )y f x= và điểm ( );A A

A x y . Viết

phương trình tiếp tuyến của ( )C qua A .

Cách 1. Gọi d là đường thẳng qua ( );A A

A x y và

có hệ số góc k : ( )A A

y k x x y= − + . Dùng điều

kiện tiếp xúc 5.2 để xác định k .

Cách 2. Pttt d tại điểm ( )0 0;M x y bất kỳ:

0 0 0( )( )y y f x x x′− = − . Vì d qua A nên

0 0 0( )( )

A Ay y f x x x′− = − . Từ đây suy ra

0x .

� Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước Cho hàm số ( )y f x= , ( )C . Viết phương

trình tiếp tuyến d của ( )C biết tiếp d có hệ

số góc k .

Pttt d của ( )C tại ( )0 0;M x y bất kỳ:

0 0 0( )( )y y f x x x′− = − . Vì d có hệ số góc k nên

suy ra 0( )f x k′ = . Từ đây suy ra

0x .

5.4. Đồ thị của hàm số chứa giá trị tuyệt đối

Số giao điểm của ( )C và ( )C ′ là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm ( ) ( )f x g x= .

www.VNMATH.com


4

Hàm số Đồ thị

� Từ đồ thị ( )C : ( )y f x= ,

hãy vẽ đồ thị ( )1

C : ( )y f x= .

Do 0

0

( ), ( )( )

( ), ( )

f x f xf x

f x f x

≥= − <

nên ta vẽ đồ thị ( )1

C như sau

� Giữ lại phần đồ thị ( )aC của ( )C không nằm phía dưới trục

Ox . � Lấy đối xứng phần đồ thị còn lại của ( )C qua trục Ox , ta

được phần đồ thị ( )bC . Khi đó ( ) ( ) ( )

1 a bC C C= ∪ .

�� Từ đồ thị ( )C : ( )y f x= ,


C : ( )y f x= .

Ta có ( )( )( )

0

0

,

,

f x xf x

f x x

≥= − <

và ( )f x là hàm chẵn nên đồ thị

đối xứng qua trục tung. Do đó ta vẽ đồ thị ( )1

C như sau

� Giữ phần đồ thị ( )aC của ( )C không nằm bên trái trục Oy.

� Lấy đối xứng phần đồ thị còn lại của ( )C qua trục Oy, ta

được phần đồ thị ( )bC . Khi đó ( ) ( ) ( )

2 a bC C C= ∪ .

� Từ đồ thị ( )C : ( )y f x= ,


C :

( )y f x= .

Ta thực hiện như sau

� Vẽ đồ thị của hàm số ( )y f x= .

� Vẽ đồ thị của hàm số ( )y f x= .

�� Từ đồ thị

( ) ( ) ( ): .C y u x v x= , hãy vẽ đồ

thị ( )4

C : ( ). ( )y u x v x= .

Vì ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0

0

. ,

. ,

u x v x v xu x v x

u x v x v x

≥= − <

, nên ta vẽ ( )4

C như sau

� Giữ lại phần đồ thị ( )aC của ( )C ứng với ( ) 0u x ≥ .

� Lấy phần đối xứng phần đồ thị còn lại của ( )C qua trục

hoành, ta được ( )bC . Khi đó ( ) ( ) ( )

4 a bC C C= ∪ .

6. Một số kiến thức khác liên quan 6.1. Các vấn đề liên quan đến Định lí về dấu của tam thức bậc hai 6.1.1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai 2( )f x ax bx c= + + 0( )a ≠ . Khi đó ta có 3 trường hợp � 0∆ <

x −∞ +∞

f(x) cùng dấu với a

� 0∆ =

x −∞ 0

2

bx

a= − +∞

f(x) cùng dấu với a 0 cùng dấu với a

� 0∆ >

x −∞ 1

x 2

x +∞

f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a

www.VNMATH.com


5

6.1.2. Điều kiện tam thức không đổi dấu trên �

Cho tam thức 2( )f x ax bx c= + + 0( )a ≠ . Khi đó ta có

� 0

00

( ) ,f x xa

∆ <> ∀ ∈ ⇔ >

� � 0

00

( ) ,f x xa

∆ << ∀ ∈ ⇔ <

� .

� 0

00

( ) ,f x xa

∆ ≤≥ ∀ ∈ ⇔ >

� � 0

00

( ) ,f x xa

∆ ≤≤ ∀ ∈ ⇔ <

� .

6.1.3. So sánh các nghiệm của một phương trình bậc hai với một số thực cho trước

Xét phương trình bậc hai ( ) 20f x ax bx c= + + = (1) và một số thực α cho trước. Khi đó

� (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn

1 20x x< < 0P⇔ < .


1 20 x x< <

0

0

0

P

S

∆ >⇔ > >

.


1 20x x< <

0

0

0

P

S

∆ >⇔ > <

.


1 2x x α< < ( )

0

0

2

af

S

α

α

∆ >⇔ > <

.


1 2x xα < < ( )

0

0

2

af

S

α

α

∆ >⇔ > >

.


1 2x xα< < . Đặt t x α= − , phương trình (1) trở

thành ( ) 0g t = (2), ta cần phải có

(2) có hai nghiệm 1 2,t t thỏa mãn

1 20t t< < 0P⇔ < .

6.1.4. Liên hệ về số nghiệm giữa phương trình trùng phương và phương trình bậc hai tương ứng

Cho phương trình trùng phương 4 20ax bx c+ + = (1). Đặt 2t x= , phương trình (1) trở thành

20at bt c+ + = (2). Khi đó

� (1) vô nghiệm ⇔

0

0 0 0, ,P S

∆ <⇔ ∆ ≥ > <

.

� (1) có một nghiệm ⇔ (2) có nghiệm 1 2

0t t≤ =0

0

P

S

=⇔ ≤

.

� (1) có hai nghiệm⇔

0 0

0

,S

P

∆ = >⇔ <

.

(2) vô nghiệm

(2) có nghiệm 1 2

0t t≤ <


0t t= >


0t t< <

www.VNMATH.com


6

� (1) có ba nghiệm⇔ (2) có nghiệm 1 2

0t t= <0

0

P

S

=⇔ >

.

� (1) có bốn nghiệm⇔ (2) có nghiệm 1 2

0 t t< <

0

0

0

P

S

∆ >⇔ > >

.

6.2. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1 1 1 1

0: a x b y c∆ + + = và 2 2 2 2

0: a x b y c∆ + + = . Khi đó 1

∆ và 2

∆ tạo với

nhau một góc α thì 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cosa a bb

a b a bα

+=

+ +.

Đặc biệt

� 1

∆ song song 2

∆ 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c⇔ = ≠ �

1∆ vuông góc

2∆ �

1 2

1 2

1 2

1.

k k

a a

b b

⇔ − − = − ��

.

6.3. Khoảng cách 6.3.1. Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm ( ; )A A

A x y và ( ; )B B

B x y là 2 2( ) ( )B A B A

AB x x y y= − + − .

6.3.2. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm ( ; )M M

M x y tới 0: ax by c∆ + + = là 2 2

( , )M M

ax by cd M

a b

+ +∆ =

+.

B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ CÓ LỜI GIẢI 1. Tính đơn điệu của hàm số

Dạng toán 1. Tìm các giá trị của tham số để hàm số đơn điệutrên một khoảng cho trước

Bài 1. Tìm các giá trị của m để hàm số ( )3 213 2 1

3y x mx m x= + + − + đồng biến trên khoảng

( )1 2; .

Giải Cách 1. Phương pháp đồ thị hàm số

Yêu cầu bài toán ⇔ ( )22 3 2 0 1 2, ;y x mx m x′ = + + − ≥ ∀ ∈

⇔ 22 3 2 0 1 2, ;y x mx m x ′ = + + − ≥ ∀ ∈

(vì y ′ liên tục tại 1x = và 2x = )

( )2

21 2

2 3, ;

xg x m

x

− ⇔ = ≥ − ∀ ∈ + hay ( )

1 2;

minx

g x m ∈

≥ − .

Ta có ( )( )

2

2

2 6 4

2 3

x xg x

x

+ +′ =

+; ( )

1 1 20

2 1 2

;

;

xg x

x

= − ∉ ′ = ⇔ = ∈

, và ( )1

15

g = − , ( )2

27

g = .

Do đó ( ) ( )1 2

11

5;

minx

g x g ∈

= = − . Vậy các giá trị của m cần tìm là 1

5m ≥ .

Cách 2. Phương pháp tam thực bậc hai

www.VNMATH.com


7

Yêu cầu bài toán ⇔ ( ) ( )22 3 2 0 1 2, ;y f x x mx m x′ = = + + − ≥ ∀ ∈ . Điều này xảy ra nếu một

trong hai điều kiện sau đây được thỏa mãn

i. 22 3 2 0y x mx m x′ = + + − ≥ ∀ ∈ � , tức là 2

3 2 0 1 2m m m′∆ = − + ≤ ⇔ ≤ ≤ .

ii. ( ) 0f x = có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn

1 21x x< ≤ hoặc

1 22 x x≤ < .

Trường hợp 1. ( ) 0f x = có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn

1 21x x< ≤ , ta có

( )

23 2 0

1 5 1 0

12

m m

af m

Sm

′∆ = − + > = − ≥ = − <

1 21

1 15

52

1

m m

mm

mm

< ∨ > ≤ < ⇔ ≥ ⇔ > > −

.

Trường hợp 2. ( ) 0f x = có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn

1 22 x x< < , ta có

( )

23 2 0

2 7 2 0

22

m m

af m

Sm

′∆ = − + > = + ≥ = − >

1 2

2

7

2

m m

m m

m

< ∨ >⇔ ≥ − ⇔ ∈ ∅ < −

.

Kết hợp các trường hợp trên ta được các giá trị m cần tìm là 1

5m ≥ .

Bài 2. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) ( )3 2 212 1 9 9 2

3y x m x m m x= + − + − + + đồng biến

trên khoảng ( )1;−∞ .

Giải

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( )1;−∞ khi và chỉ khi

( ) ( ) ( )2 22 2 1 9 9 0 1;y f x x m x m m x′ = = + − + − + ≥ ∀ ∈ −∞ .

Điều này xảy ra khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn

i. ( ) 0f x x≥ ∀ ∈ � 2 83 5 8 0 1

3m m m′⇔ ∆ = + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ .

ii. ( ) 0f x = có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn

1 21 x x≤ < , tương đương với

( )

( )

2

2

813 5 8 0

3

1 5 8 0

02 1 1

2

mm m

af m m m

S mm

− < < ′ ∆ = + − > = − + ≥ ⇔ ∈ < = − − >

�8

3m⇔ < − .

Kết hợp các trường hợp trên, ta được các giá trị m cần tìm là 1m ≤ .

Bài 3. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) ( )3 212 1 1 2 1

3y x m x m x m= + − + + + −

a. đồng biến trên � , b. đồng biến trên )1; +∞

,

c. nghịch biến trên khoảng ( )0 1; .

Giải

www.VNMATH.com


8

Ta có ( ) ( )22 2 1 1y f x x m x m′ = = + − + + .

a. Hàm số đồng biến trên � khi và chỉ khi ( )22 2 1 1 0y x m x m x′ = + − + + ≥ ∀ ∈ � . Khi đó

( )2

2 1 1 0 0 5m m m′∆ = − − − ≤ ⇔ ≤ ≤ .

Vậy các giá trị của m cần tìm là 0 5m≤ ≤ .

b. Hàm số đã cho đồng biến trên )1; +∞ khi và chỉ khi )0 1;y x ′ ≥ ∀ ∈ +∞ . Điều này tương

đương với ( ) )2

21

4 1;

x xg x m x

x

− + = ≤ ∀ ∈ +∞+ hay

)( )

1;max

xg x m

∈ +∞

≤ .

Ta có ( )( )

2

2

4 2 2

4 1

x xg x

x

− − +′ =

+; ( )

)

)

1 1

0 11

2

;

;

x

g xx

= − ∉ +∞ ′ = ⇔ = ∉ +∞

.

Bảng biến thiên x 1 +∞

( )g x′ −

( )g x 1

5

0

Ta thấy )

( ) ( )1

11

5;max

xg x g

∈ +∞

= = . Do đó ta có 1

5m ≥ . Vậy các giá trị m cần tìm là

1

5m ≥ .

c. Yêu cầu bài toán ⇔ ( )0 0 1;y x′ ≤ ∀ ∈ 0 0 1;y x ′ ≤ ∀ ∈ (vì y′ liên tục tại 0x = và 1x = )

( )2

20 1

4 1, ;

x xg x m x

x

− + ⇔ = ≥ ∀ ∈ +, tức là ( )

0 1;minx

g x m ∈

≥ .

Ta có ( )1 0 1

0 10 1

2

;

;

x

g xx

= − ∉ ′ = ⇔ = ∈

; ( )0 0g = ; 1 1

2 4g =

và ( )1

15

g = .

Do đó ( ) ( )0 1

0 0;

minx

g x g ∈

= = nên các giá trị m cần tìm là 0m ≤ .

Bài 4. Tìm các giá trị của m để hàm số ( )22 1 1

2

x m xy

x

+ + +=

− nghịch biến trên khoảng ( )0 1; .

Giải

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0 1; khi và chỉ khi ( )

( )2

2

4 4 30 0 1

2

;x x m

y xx

− − −′ = ≥ ∀ ∈

−, tương

đương với ( ) ( )24 4 3 0 0 1;g x x x m x= − − − ≥ ∀ ∈ . Vì g liên tục tại 0x = và tại 1x = nên

( ) 24 4 3 0 0 1;g x x x m x = − − − ≥ ∀ ∈ hay ( )

0 1

0;

minx

g x ∈

≥ .

Ta có ( ) 2 4 0 2 0 1;g x x x ′ = − = ⇔ = ∉ ; ( )0 4 3g m= − − và ( )1 4 6g m= − − .

Suy ra ( ) ( )0 1

1 4 6;

minx

g x g m ∈

= = − − . Do đó các giá trị của m cần tìm là 3

2m ≤ − .

Bài 5. Tìm các giá trị của m để hàm số ( )2

1 2 1

2

x m x my

x m

+ + − +=

− đồng biến trên khoảng

( )1;+∞ .

Giải

www.VNMATH.com


9

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )1;+∞ ⇔ ( )

( )2 2

2

4 2 10 1;

x mx my x

x m

− − −′ = ≥ ∀ ∈ +∞

−, hay

( ) ( )2 24 2 1 0 1

1

;g x x mx m x

m

= − − − ≥ ∀ ∈ +∞ ≤

Ta thấy 26 1 0

gm m′∆ = + > ∀ ∈ � nên

( ) 0,g x x> ∀ ∈ � . Do đó các giá trị m cần tìm là 1m ≤ .

Dạng toán 2. Tìm các giá trị của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện số cho trước

Bài 6. Tìm các giá trị của m để hàm số 3 212

3y x mx mx= + + + có hai cực trị

1 2,x x thỏa mãn

1 24x x− ≥ .

Giải

Hàm số đã cho có hai cực trị 1 2,x x 2

2 3 0y x mx m′⇔ = + + = có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x

20

3 03

mm m

m

<⇔ − > ⇔ >

(1).

Khi đó ( ) ( )2 2

1 2 1 2 1 2 1 24 16 4 16 0x x x x x x x x− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ + − − ≥ (2).

Theo định lí Viet ta có 1 2

1 2

2

3

x x m

x x m

+ = − =

nên (2) ⇔ 21

4 12 16 04

mm m

m

≤ −− − ≥ ⇔ ≥

(3)

Kết hợp (1) và (3) ta tìm được các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1m ≤ − hoặc 4m ≥ .

Bài 7. Tìm các giá trị của m để hàm số ( )3 21 1 502 1 1

3 2 9y x m x x= − − + + có hai cực trị

1 2,x x

thỏa mãn 1 2

2x x= .

Giải

Hàm số đã cho các hai cực trị ( )2 502 1 0

9y x m x′⇔ = − − + = có hai nghiệm phân biệt

1 2,x x

( )2 50

2 1 4 09.m⇔ ∆ = − − >

3 10 2

6

3 10 2

6

m

m

− <⇔ + >

(1)

Ta có 1 2

2x x= nên theo định lí Viet, ta có 1 2

2 1x x m+ = −2

2 1

3

mx

−⇔ = .

Khi đó 1 2

50

9x x =

2

2

2

350 2 1 502 2

29 3 9

mmx

m

=− = ⇔ = ⇔ = −

.

Hai giá trị vừa tìm được của m đều thỏa mãn (1) nên 3m = và 2m = − thỏa yêu cầu bài toán.

Bài 8. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) ( )3 21 14 2 5 1

3 2y x m x m x= − + + + + thỏa mãn

a. có hai cực trị lớn hơn 1− ; b. có đúng một cực trị lớn hơn 1− ;

c. có ít nhất một cực trị lớn hơn 3

2;

www.VNMATH.com


10

d. có hai cực trị nhỏ hơn 4;

e. có một cực trong khoảng ( )3 5; ;

f. không có cực trị.

Giải

Ta có ( )24 2 5y x m x m′ = − + + + ;

24 5

02

x xy m

x

− +′ = ⇔ =

−.

Xét hàm số ( )2

4 5

2

x xg x

x

− +=

−; ( )

( )

2

2

4 3

2

x xg x

x

− +′ =

−; ( )

10

3

xg x

x

=′ = ⇔ =

.

Bảng biến thiên

x −∞ 1− 1 3

2

2 3 4 5 +∞

( )g x′ + + − − − + + +

( )g x

−∞

10

3−

2−

5

2−

−∞

+∞

2

5

2

10

3

+∞

Vì nghiệm của phương trình 0y ′ = cũng chính là hoành độ giao điểm của y m= và ( )y g x=

nên từ bảng biến thiên của hàm số ( )y g x= ta thấy

a. Hàm số có hai cực trị lớn hơn 1−10

23

m⇔ − < < − hoặc 2m > .

b. Hàm số có đúng một cực trị lớn hơn 1−10

3m ≤ − .

c. Hàm số có ít nhất một cực trị lớn hơn 3

2⇔

5

2m < − hoặc 2m > .

d. Hàm số có hai cực trị nhỏ hơn 4 2m⇔ < − hoặc 5

22

m< < .

e. Hàm số có một cực trong khoảng ( )3 5;10

23

m⇔ < < .

f. Hàm số không có cực trị 2 2m⇔ − ≤ ≤ .

Bài 9. Tìm các giá trị của m để hàm số ( )4 21 2 1y x m x m= + − + + có ba cực trị.

Giải

Hàm số có ba cực trị ( )22 2 1 0y x x m′⇔ = + − = có ba nghiệm phân biệt

22 1 0x m⇔ + − = có hai nghiệm phân biệt khác 0

( )2 1 0

3 0

m

m

′∆ = − − >⇔ − ≠

1

3

m

m

>⇔ ≠

.

Bài 10. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số 2

4 26

2

my x mx= + + − có ba điểm cực trị

, ,A B C (trong đó điểm A thuộc trục tung) sao cho tứ giác ABOC là hình bình hành.

Giải

www.VNMATH.com


11

Hàm số đã cho có ba cực trị ( )22 2 0y x x m′⇔ = + = có ba nghiệm phân biệt

22 0x m⇔ + = có hai nghiệm phân biệt khác 0

0m⇔ < .

Với 0x = ta có 2

62

my = − nên

2

0 62

;m

A −

. Hai nghiệm còn lại của 0y ′ = là 2

mx

−= ± .

Ta đều có 2

36

2 4

m my − − = −

và có thể giả sử 2

36

2 4;

m mB

− − − và

23

62 4;

m mC

− − .

Khi đó 2

2 4;

m mBA

= −

�� và

23

62 4;

m mOC

= − −

��.

Yêu cầu bài toán BA OC⇔ =��

2

2 2

2 2 6 63

64 4

m m

m mm m

− = −⇔ ⇔ = ⇔ = − = −

(vì 0m⇔ < )


3 1

2

mx mxy

x

+ +=

+ có hai điểm cực trị nằm về

hai phía trục tung.

Giải

Ta có ( )

2

2

4 6 1

2

mx mx my

x

+ + −′ =

+.

Hàm số đã cho có hai cực trị 24 6 1 0mx mx m⇔ + + − = (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2−

2

0

2 0

2 1 0

m

m m

m

≠ ′⇔ ∆ = − + > − ≠

10

2m⇔ < < (2).

Khi đó gọi 1 2,x x là các nghiệm của phương trình (1). Yêu cầu bài toán tương đương với

1 2

0x x <6 1 1

0 06

mm

m

−⇔ < ⇔ < < (thỏa mãn (2)).

Bài 12. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số ( ) ( )3 23 1 3 1 1y x m x m x= + − + − + có hai điểm

cực trị, đồng thời đường thẳng nối hai điểm cực trị đi qua điểm ( )0 3;A − .

Giải

Hàm số đã cho có hai cực trị khi và chỉ khi ( ) ( )23 6 1 3 1 0y x m x m′ = + − + − = có hai nghiệm

phân biệt. Điều này xảy ra khi ( )( )1

1 2 02

mm m

m

<′∆ = − − > ⇔ >

(1).

Gọi ( )1 1 1;M x y và ( )

2 2 2;M x y là các điểm cực trị. Thực hiện phép chia đa thức y cho y ′ , ta được

( )( ) 21 12 1 2 2

3 3

my x y m m x m m

− ′= + + − − − + .

www.VNMATH.com


12

Vì 1 2,x x là nghiệm của phương trình 0y ′ = nên ta có ( )( ) 2

1 12 1 2 2y m m x m m= − − − + và

( )( ) 2

2 22 1 2 2y m m x m m= − − − + . Do đó

1M ,

2:

mM d∈ ( )( ) 2

2 1 2 2y m m x m m= − − − + ,

và như vậy m

d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị 1

M và 2

M .

Ta có ( ) 21

0 3 2 3 03

;m

mA d m m

m

= −− ∈ ⇔ − − = ⇔ =

(thỏa mãn điều kiện (1)). Vậy các giá trị

m cần tìm là 1m = − và 3m = .

Bài 13. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số 3 21

3 3

my x mx x= + + + có hai điểm cực trị nằm

cùng phía đối với đường thẳng 2: y x∆ = − .

Giải

Hàm số có hai cực trị 22 1 0y x mx′⇔ = + + = có hai nghiệm phân biệt

21 0m′⇔ ∆ = − > hay 1m > (1).

Với điều kiện (1), ta gọi ( )1 1 1;M x y và ( )

2 2 2;M x y là các điểm cực trị. Thực hiện phép chia y cho

y ′ được

( )21 1 21

3 3 3y x m y m x

′= + + − (2)

Vì 1 2,x x là các nghiệm của phương trình 0y ′ = nên từ (2) ta suy ra ( )2

1 1

21

3y m x= − và

( )2

2 2

21

3y m x= − . Các điểm ( )

1 1 1;M x y và ( )

2 2 2;M x y nằm cùng phía đối với 2 0: x y∆ + =

tương đương với

( ) ( )2 2

1 1 2 2

2 22 1 2 1 0

3 3.x m x x m x

+ − + − >

( )2

2

1 24 0m x x⇔ − > ( )

22

4 0m⇔ − > hay 2m ≠ ± (3).

Kết hợp (1) và (3) ta được các giá trị m cần tìm là 1m > và 2m ≠ ± .

Bài 14. Tìm các giá trị của m để hàm số 3 21

3y x x mx m= + + + có cực đại và cực tiểu, đồng thời

khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 2 15 .

Giải

Hàm số có cực đại và cực tiểu 22 0y x x m′⇔ = + + = có hai nghiệm phân biệt

1 0m′⇔ ∆ = − > hay 1m < (1).

Với điều kiện (1), ta gọi ( )1 1 1;M x y và ( )

2 2 2;M x y là các điểm cực trị. Thực hiện phép chia đa thức

y cho y ′ được

( ) ( )1 2 2

1 13 3 3

y x y m x m′= + + − + (2).

Vì 1 2,x x là các nghiệm của phương trình 0y ′ = nên từ (2) ta suy ra ( )

1 1

2 21

3 3y m x m= − + và

( )2 2

2 21

3 3y m x m= − + .

www.VNMATH.com


13

Ta có ( ) ( )2 2

1 2 2 1 2 12 15M M x x y y= − + − =

( ) ( )2 2

1 2 1 2

41 1 4 60

9m x x x x

⇔ + − + − =

( )24

1 1 4 4 609

m m

⇔ + − − =

3 24 12 21 122 0m m m⇔ − + + =

( )( )22 4 20 60 0m m m⇔ + − + =

2m⇔ = − (vì 24 20 60 0m m m− + > ∀ ∈ � ).

Ta thấy giá trị 2m = − thỏa mãn điều kiện (1) nên 2m = − là giá trị cần tìm.


3

1

x mxy

x

+ +=

− có hai điểm cực trị cách đều

đường thẳng 2 0: x y∆ + − = .

Giải

Hàm số có hai cực trị ⇔ ( )

2

2

2 30

1

x x my

x

− − −′ = =

− có hai nghiệm phân biệt

⇔ 22 3 0x x m− − − = có hai nghiệm phân biệt khác 1

⇔4 0

44 0

mm

m

′∆ = + > ⇔ > − + ≠

(1).

Khi đó, ta gọi ( )1 1 1;M x y và ( )

2 2 2;M x y là các điểm cực trị.

Đặt ( ) 23u x x mx= + + ; ( ) 1v x x= − thì

( ) ( ) ( ) ( )

( )2

u x v x u x v xy

v x

′ ′−′ =

.

Vì 1

x là nghiệm của phương trình 0y ′ = nên ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

1 1

1 1 1 1

1 1

0u x u x

u x v x u x v xv x v x

′′ ′− = ⇔ =

′,

tức là 1 1

2y x m= + . Tương tự 2 2

2y x m= + .

Do 1 2,M M cách đều ∆ nên 1 1 2 2

2 2 2 2

2 2

x x m x x m+ + − + + −=

( ) ( )1 2 1 2

3 3 2 4 0x x x x m ⇔ − + + − =

( )1 2

3 2 4 0x x m⇔ + + − = (vì 1 2

x x≠ )

3 2 2 4 0. m⇔ + − = 2m⇔ = − (thỏa mãn điều kiện (1)). Vậy 2m = − là giá trị cần tìm.

Dạng toán 3. Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài 16. Cho hàm số 3 211

3y x x x= + + + có đồ thị ( )C và ba điểm ( ) ( )

22 271 1 0 2

5 5; , ; , ;A B C

.

Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị ( )C biết rằng giao điểm của ∆ và đường thẳng

1:d y x= + là trọng tâm của tam giác ABC .

www.VNMATH.com


14

Giải

Ta có 22 1y x x′ = + + . Phương trình tiếp tuyến ∆ của ( )C tại điểm ( )

0 0;x y có dạng

( )2

3 2

0 0 0

21 1

3y x x x x= + − − + .

Hoành độ giao điểm G của ∆ và d là nghiệm của phương trình

( )2

3 2

0 0 0

21 1 1

3x x x x x+ − − + = +

( )( )

2

0 0

0 0

0

2 30 2

3 2;

x xx x x

x

+⇔ = ≠ ≠ −

+ (1).

Tung độ giao điểm tương ứng là ( )

( )

2

0 0

0

2 3 3

3 2

x xy

x

+ +=

+, nên

( )( )

( )

22

0 00 0

0 0

2 3 32 3

3 2 3 2;

x xx xG

x x

+ + + + +

.

Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔( )

( )( )

2

0 0

0

2

0 0

0

221 0

2 3 95

3 53 2

271 22 3 3 145

3 53 2

x x

x

x x

x

+ + + = = + + + + + = = +

.

Giải hệ phương trình trên ta được 0

3x = hoặc 0

9

5x = − . Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều

kiện ở phương trình (1).

Với 0

3x = hoặc 0

9

5x = − ta được các tiếp tuyến cần tìm là 16 26y x= − và

16 206

25 125y x= + .

Bài 17. Cho hàm số ( )3 212 3 1 1

3y x mx m x= + + − + có đồ thị ( )m

C . Viết phương trình tiếp

tuyến ∆ của ( )mC tại điểm có hoành độ bằng 1. Tìm các giá trị của m để giao điểm của ∆ và

2:d y x= cách đều các trục tọa độ.

Giải

Ta có 24 3 1y x mx m′ = + + − ; ( )1 7y m′ = và ( )

11 5

3y m= + .

Phương trình tiếp tuyến của ( )mC tại

11 5

3; m

+ là

17 2

3y mx m= − + .

Hoành độ giao điểm của ∆ và d là nghiệm của phương trình

1

7 2 23

mx m x− + =( )6 1

3 7 2

mx

m

−⇔ =

−.

Tung độ giao điểm tương ứng là ( )12 2

3 7 2

my

m

−=

−. Giao điểm của ∆ và d cách đều hai trục tọa độ

khi và chỉ khi

( ) ( )6 1 12 2

3 7 2 3 7 2

m m

m m

− −=

− −

2

7

6 1 12 2

6 1 12 2

m

m m

m m

≠⇔ − = − − = − +

2

7

1

6

m

m

≠⇔ =

1

6m⇔ = .

www.VNMATH.com


15

Bài 18. Cho hàm số 2

1

xy

x

+=

− có đồ thị ( )C . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của

( )C . Chứng minh rằng một tiếp tuyến bất kỳ với ( )C luôn cắt hai tiệm cận tại hai điểm ,A B sao

cho tam giác IAB có diện tích không đổi.

Giải Trước hết ta thấy

1

limx

y+→

= +∞ và 1

limx

y−→

= −∞ nên ( )C có tiệm cận đứng là 1

1: x∆ = .

1limx

y→+∞

= và 1

1limx

y→ −∞

= nên ( )C có tiệm cận ngang là 2

1: y∆ = .

Do đó giao điểm của 1

∆ và 2

∆ là ( )1 1;I .

Ta có ( )

2

3

1

yx

−′ =

−. Phương trình d tiếp tuyến với ( )C tại điểm ( )

0 0;x y có dạng

( )

( ) 0

02

00

23

11

xy x x

xx

+−= − +

+− hay

( ) ( )

2

0 0

2 2

0 0

4 23

1 1

x xy x

x x

+ −−= +

− −.

Với 1x = thì ( )

2

0 0

2

0

4 5

1

x xy

x

+ −=

− nên

( )

2

0 0

2

0

4 51

1

;x x

A

x

+ − −

là giao điểm của d và 1

∆ .

Với 1y = thì x =0

2 1x x= − nên ( )0

2 1 1;B x − là giao điểm của d và 2

∆ .

Khi đó 0

6

1IA

x=

− và

02 1IB x= − nên diện tích tam giác IAB là

0

0

1 1 62 1 6

2 2 1. . .

IABS IAIB x

x= = − =

− (không đổi) (đccm).

Bài 19. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C hàm số 2

2

xy

x

+=

−, biết tiếp tuyến cắt Ox và

Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.

Giải

Ta có ( )

2

4

2

yx

−′ =

−. Phương trình tiếp tuyến với ( )C tại điểm ( )

0 0;M x y , ( )

02x ≠ có dạng

d : ( )

( ) 0

02

00

24

22

xy x x

xx

+−= − +

−−.

Do tiếp tuyến d cắt Ox và Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân nên d vuông góc với một trong các đường thẳng

1: y x∆ = hoặc

2: y x∆ = − .

Nếu 1

d ⊥ ∆ thì ( )

2

0

41

2x

−= −

−( )

20

0

0

42 4

0

xx

x

=⇔ − = ⇔ =

.

� Với 0

0x = ta có tiếp tuyến 1y x= − − .

� Với 0

4x = ta có tiếp tuyến 7y x= − + .

Nếu 2

d ⊥ ∆ thì ( )

2

0

41

2x

−=

−. Phương trình này vô nghiệm.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1y x= − − và 7y x= − + .

www.VNMATH.com


16

Bài 20. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C của hàm số 3 23 1y x x= − + , biết tiếp tuyến

đi qua điểm ( )2 3;A − .

Giải

Gọi k

d là đường thẳng đi qua điểm ( )2 3;A − và có hệ số góc k thì ( )2 3:k

d y k x= − − .

Khi đó, k

d tiếp xúc với ( )C( )3 2

2

3 1 2 3 1

3 6 2

( )

( )

x x k x

x x k

− + = − −⇔ − =

có nghiệm.

Thay (2) vào (1), ta được ( )( )3 2 23 1 3 6 2 3x x x x x− + = − − −

3 22 9 12 4 0x x x⇔ − + − =

2

1

2

x

x

=⇔ =

.

Với 2x = , thay vào (2) được 0k = , ta có tiếp tuyến 3:k

d y = − .

Với 1

2x = , thay vào (2) được

9

4k = − , ta có tiếp tuyến

9 3

4 2:

kd y x= − + .

Bài 21. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C của hàm số 33 1y x x= − + , biết tiếp tuyến

tạo với đường thẳng 3: y x∆ = + một góc α sao cho 5

41

cosα = .

Giải

Giả sử tiếp tuyến d cần tìm có hệ số góc k . Các VTPT của d và ∆ lần lượt là ( )1;d

n k= −��

và

( )1 1;n∆

= −��

. Tiếp tuyến d tạo với ∆ một góc α sao cho

5

41

cosα = ⇔ 2

1 5

412 1

k

k

+=

+

( ) ( )2

241 1 50 1k k⇔ + = +

29 82 9 0k k⇔ − + =

9

1

9

k

k

=⇔ =

.

Với 9k = ta có ( ) 2

0 03 3 9f x x′ = − =

02x⇔ = ± . Các tiếp tuyến của ( )C tại

02x = và

02x = − lần lượt có phương trình 9 15y x= − và 9 17y x= + .

Với 1

9k = ta có ( ) 2

0 0

13 3

9f x x′ = − =

0

2 21

9x⇔ = ± . Các tiếp tuyến của ( )C tại

0

2 21

9x = ± có phương trình

1 243 112 21

9 243y x

±= + .

Dạng toán 4. Tìm các giá trị của tham số để giao điểm đồ thị hàm số và đường thẳng thỏa mãn

điều kiện cho trước

Bài 22. Tìm các giá trị của m để đường thẳng :m

d y mx m= − cắt đồ thị ( )2

2 1

1:

x xC y

x

+ −=

−

tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho tam giác ABC vuông tại đỉnh ( )1 2;C .

www.VNMATH.com


17

Giải

Đường thẳng m

d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt 2

2 1

1

x xmx m

x

+ −⇔ − =

− có hai nghiệm phân

biệt, tức là ( ) ( )2

1 2 1 1 0m x m x m− − − + + = (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

( ) ( )( )( )

2

1 0

1 1 1 0

1 2 1 1 0

m

m m m

m m m

− ≠⇔ ′∆ = − − − + > − − − + + ≠

1

1 1

m

m m

m

≠⇔ < ⇔ < ∈

�

.

Với điều kiện đó, gọi 1 2,x x là các nghiệm của phương trình (1); các giao điểm của

md và ( )C là

( )1 1;A x mx m− , ( )

2 2;B x mx m− .

Ta có ( )1 1

1 1;CA x mx m= − − −��

; ( )2 2

1 1;CB x mx m= − − −��

.

ABC vuông tại đỉnh C 0.CACB⇔ =��

( )( ) ( )( )1 2 1 2

1 1 1 1 0x x mx m mx m⇔ − − + − − − − =

( ) ( ) ( ) ( )2

2

1 2 1 21 1 2 2 1 0m x x m m x x m

⇔ + − + + + + + + =

( ) ( ) ( )2

2 11 2 1 2 2 1 0

1.m

m m m mm

+ ⇔ + − + + + + + =

−

( )2 2 1 0m m⇔ − = 0m⇔ = (vì 1m < ).

Bài 23. Cho hàm số ( ) ( )3 23 1 3 1,

my x m x x C= − + − + . Tìm các giá trị của m để đường thẳng

1:d y x= + cắt ( )mC tại ba điểm phân biệt ( )0 1; ; ;A B C sao cho 5 2AC = .

Giải

Giao điểm của ( )mC và d có hoành độ là nghiệm của phương trình

( )3 23 1 3 1 1x m x x x− + − + = + (1)

( )( )23 1 4 0x x m x⇔ − + − =

( )2

0

3 1 4 0 2( )

x

x m x

=⇔ − + − =

.

( )mC và d có 3 giao điểm ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

( )

( )

29 18 25 0

3 0

m m m

m

∆ = + + > ∀ ∈⇔ ≠ ∀ ∈

�

�.

Giả sử ( )1 1

1;A x x + và ( )2 2

1;C x x + thì 250AC = ( ) ( ) ( )

22

2 1 2 11 1 50x x x x ⇔ − + + − + =

( )2

2 125x x⇔ − =

( )2

1 2 1 24 25x x x x⇔ + − =

( )2

9 1 16 25m⇔ + + =0

2

m

m

=⇔ = −

.

Bài 24. Tìm các giá trị của m để đường thẳng 2:k

d y kx k= + − cắt đồ thị ( )C của hàm số

2 1

1

xy

x

+=

− tại hai điểm phân biệt A và B sao cho A và B cách đều điểm ( )2 1;D − .

www.VNMATH.com


18

x

y

12

-1

3

O 1

Giải

kd cắt ( )C tại hai điểm phân biệt

2 12

1

xkx k

x

+⇔ = + −

− có hai nghiệm phân biệt

22 3 0kx kx k⇔ − + − = (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

( )2

0

3 0

k

k k k

≠⇔ ′∆ = − − >

0k⇔ > (2)

Giả sử ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các giao điểm của

kd và ( )C . Ta có

AD BD= ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1 2 22 3 2 3x kx k x kx k⇔ − + − + = − + − +

( )( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2

4 2 6 0x x x x k x x k x x k ⇔ − + − + − + − + =

( ) ( ) ( )2 2

1 2 1 2 1 24 2 6 0x x x x k x x k k ⇔ − + − + + − + =

( ) ( )2 2

1 2 1 24 2 6 0x x k x x k k⇔ + − + + − + = (vì

1 2x x≠ )

2 22 4 2 2 6 0k k k⇔ − + − + = (do

1 2;x x là nghiệm của phương trình (1)

1

3k⇔ = (thỏa mãn điều kiện (2))

Dạng toán 5. Các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 25. Từ đồ thị của hàm số ( ) 3 23 3:C y x x= − + hãy vẽ đồ thị của các hàm số sau

a. 3 23 3y x x= − + b.

32

3 3y x x= − + c. 3

23 3y x x= − +

Giải

Trước hết ta vẽ đồ thị ( )C của hàm số ( ) 3 23 3y f x x x= = − + .

a. Ta có ( ) ( )( ) ( )

3 20

3 30

,

,

f x f xy x x

f x f x

≥= − + = − <

, ( )1

C .

Do vậy ta vẽ ( )1

C như sau

� Giữ lại phần đồ thị của ( )C không nằm bên dưới trục hoành,

ta gọi là ( )1

aC .

� Lấy đối xứng phần còn lại của ( )C qua trục Ox, ta gọi là ( )1

bC .

� Đồ thị ( )1

C gồm có hai phần ( )1

aC và ( )1

bC .

b. Ta có ( )( )

32

03 3

0

,

,

f x xy x x

f x x

≥= − + = − <

, đồng thời hàm số ( )f x

là hàm chẵn nên đồ thị của nó đối xứng qua trục tung. Do đó ta

vẽ đồ thị ( )2

C của nó như sau

� Giữ lại phần đồ thị của ( )C không nằm bên trái trục hoành, ta

x

y

-1

2

3

O 1

( )C

( )1

C

www.VNMATH.com


19

gọi là ( )2

aC .

� Lấy đối xứng ( )2

aC qua trục tung ta được ( )2

bC .

� Đồ thị ( )2

C gồm có hai phần ( )2

aC và ( )2

bC .

c. Ta vẽ đồ thị ( )3

C của hàm số 3

23 3y x x= − + như sau

� Từ đồ thị ( )C của hàm số ( ) 3 23 3:C y x x= − + , ta vẽ đồ thị

( )2

C của hàm số 3

23 3y x x= − + .

� Từ đồ thị ( )2

C , ta vẽ đồ thị ( )3

C của hàm số 3

23 3y x x= − + .

Bài 26. Cho hàm số ( )4 24 3,y x x C= − + .

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b. Tìm các giá trị của m để phương trình 4 2

24 3 1 0logx x m− + − + = có 8 nghiệm phân biệt.

Giải a. (Học sinh tự khảo sát)

b. Ta biến đổi 4 2

24 3 1 0logx x m− + − + =

4 2

24 3 1logx x m⇔ − + = − (1).

Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của

( ) 4 2

14 3:C y x x= − + và đường thẳng

21: log

md y m= − .

Vì 4 2 4 2

4 2

4 2 4 2

4 3 4 3 04 3

4 3 4 3 0

,

,

x x x xx x

x x x x

− + − + ≥− + = − + − + <

, nên ta vẽ đồ

thị ( )1

C như sau

� Giữ lại phần đồ thị của ( )C không nằm dưới trục hoành, ta

gọi là ( )1

aC .

� Lấy đối xứng phần còn lại của ( )C qua trục hoành, ta được ( )1

bC .

� Đồ thị gồm có ( )1

aC và ( )1

bC .

x

y

1

-1

3

O 1

x

y

1

-1-2

2

3

O 1

x

y

1

-1

3

O 1

( )C

md

( )1

C

x

y

-1

-2 2

3

O 1

www.VNMATH.com


20

Dạng toán 6. Tìm các điểm trên đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 27. Cho hàm số 2 1

1

xy

x

+=

−, ( )C . Tìm điểm M thuộc ( )C sao cho

a. M có tọa độ nguyên; b. M cách đều hai trục tọa độ; c. Tổng khoảng cách từ M tới hai đường tiệm cận là nhỏ nhất;

d. M cách đều gốc tọa độ O và ( )2 2 5 2;A + ;

e. M có khoảng cách tới 3 2 3 0: x y∆ + − = bằng3 3

2.

Giải

Với ( )M C∈ bất kỳ, ta có 0

0

0

2 1

1;

xM x

x

+ − ,

01x ≠ .

a. Điểm M có tọa độ nguyên, tức là 0

0

0 0

2 1 32

1 1

x

x

x x

∈ + = + ∈ − −

( )0

1 3x⇔ − và 0

x ∈

( ) { }0

1 1 3;x⇔ − ∈ ± ±

{ }0

2 0 2 4; ; ;x⇔ ∈ − .

Vậy có 4 điểm trên ( )C có tọa độ nguyên là ( )1

2 1;M − ; ( )2

0 1;M − ; ( )3

2 5;M và ( )4

4 3;M .

b. Khoảng cách từ điểm M tới các các trục Ox và Oy lần lượt là 0

0

2 1

1

x

x

+

− và

0x .

Yêu cầu bài toán 0

0

0

2 1

1

xx

x

+⇔ =

− ( )

2

0 0 0

2

0 0 0

3 1 0 3 13

1 0 3 13

x x x

x x VN x

− − = = +⇔ ⇔ + + = = −

.

Vậy có hai điểm thoản mãn yêu cầu bài toán là 5

4 133 13

3;M

+ + và

6

4 133 13

3;M

− − .

c. Ta có

1

limx

y+→

= +∞ và 1

limx

y→ −

= −∞ nên ( )C có tiệm cận đứng là 1

1: x∆ = .

2limx

y→+∞

= và 2limx

y→−∞

= nên ( )C có tiệm cận ngang là 2

2: y∆ = .

Khoảng cách từ điểm M lần lượt tới các tiệm cận là ( )1 0

1,d M x∆ = − và ( )2

0

3

1,d M

x∆ =

−.

Khi đó ( ) ( )1 2 0

0

31

1, ,d M d M x

x∆ + ∆ = − +

−0

0

32 1 2 3

1.

Cosi

xx

≥ − =−

Đẳng thức xảy ra 0

0

31

1x

x⇔ − =

−

2

01 3x⇔ − = 0

0

1 3

1 3

x

x

= +⇔

= −

.

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là ( )71 3 2 3;M + + và ( )8

1 3 2 3;M − − .

www.VNMATH.com


21

d. Ta có ( )

24 3 2

2 0 0 0 0 0

0 2

00

2 1 2 5 4 1

11

x x x x xMO x

x x

+ − + + + = + = − −;

( )2

2

0

0

0

2 12 2 5 2

1

xMA x

x

+ = − − + − −

( ) ( ) ( )

( )

4 3 2

0 0 0 0

2

0

6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 5

1

x x x x

x

− + + + − + + +=

−.

Khi đó yêu cầu bài toán tương đương với

( )

( ) ( ) ( )( )

4 3 24 3 2

0 0 0 00 0 0 0

2 2

0 0

6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 52 5 4 1

1 1

x x x xx x x x

x x

− + + + − + + +− + + +=

− −

( )

( ) ( ) ( )( )

4 3 24 3 2

0 0 0 00 0 0 0

2 2

0 0

6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 52 5 4 1

1 1

x x x xx x x x

x x

− + + + − + + +− + + +⇔ =

− −

( ) ( ) ( )3 2

0 0 04 4 5 28 16 5 56 20 5 32 8 5 0x x x⇔ + − + + + − − =

( )( ) ( )0 01 2 4 4 5 16 4 5 0x x x

⇔ − − + − − =

0

0

2

1 3 5

4

x

x

=⇔ + =

.

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là ( )9

2 5;M và 10

1 3 53 5

4;M

+ + .

e. Ta có ( )

02

00 0

0

2 13 2 3

3 31

2 2

.

,

xx

x xxd M

++ −

− +−∆ = = .

Do đó ( ) 3 3

2,d M ∆ =

2

0 03 3

3 3

2 2

x x− +⇔ =

( )

2

0 0

2

0 0

0

6 3 0

x x

x x VN

− =⇔ − + =

00x⇔ = .

Vậy có một điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là ( )11

0 1;M − .

Bài 28. Cho hàm số 3 23 2y x x= − − , ( )C . Tìm trên đường thẳng 2:d y = − những điểm mà từ

đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến ( )C .

Giải

Ta có 23 6y x x′ = − . Gọi ( )2;M a d− ∈ bất kỳ. Khi đó, tiếp tuyến ∆ bất kỳ của ( )C qua M có

dạng ( ) 2y k x a= − − . Hoành độ tiếp điểm của ∆ và ( )C là nghiệm của hệ phương trình

( )3 2

2

3 2 2 1

3 6 2

( )( )

( )

x x k x a

x x k

− − = − − ∗ − =

.

www.VNMATH.com


22

Thay (2) vào (1) ta được

( )( )3 2 23 2 3 6 2x x x x x a− − = − − − ( )3 2

2 3 1 6 0x a x ax⇔ − + + =

( )2

0

2 3 1 6 0 3( )

x

x a x a

=⇔ − + + =

.

Từ M có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với ( )C ⇔ ( )∗ có 3 nghiệm phân biệt

⇔ (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

( )2

9 1 48 0

6 0

a a

a

∆ = + − >⇔ ≠

1

3

3

0

a

a

a

<⇔ > ≠

.

C. CÁC BÀI TẬP VÀ ĐỀ THI � Tính đơn điệu của hàm số 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau

a. 25 1y x x= − + − b. 3 2

3 3y x x= − + c. 3 25 7 1y x x x= − + − +

d. 4 24 2y x x= − + e.

1

3 2

xy

x

+=

− f.

3

3 2

xy

x

−=

+

g. 2

2 1

1

x xy

x

+ +=

− h. 2

4y x= − i. 1

3

xy

x

+= .

2. Tìm các giá trị của m để hàm số

a. 3

2 21 1 3 5

3( ) ( )

xy m m x x= − + + + + luôn đồng biến.

b. 2 3 212 3 1

3( )y m m x mx x= − + + − luôn nghịch biến.

c. 2 3 212 1

3( )y m m x mx x= + + + + luôn đồng biến.

d.

3 212 2 1 3 2

3( ) ( )f x x x a x a= − + + + − + nghịch biến trên � .

e. ( ) ( )3

2 21 1 3 5

3

xy m m x x= − + + + + đồng biến trên � .

3. Cho hàm số . Với các giá trị nào của m thì hàm số 21

my x

x= + +

− đồng biến trên từng

khoảng xác định? ( 0m ≤ )

4. Cho hàm số 3 21 21 2 3

3 3( ) ( )y x m x m x= + − + − − .

a. Với các giá trị nào của m , hàm số đồng biến trên khoảng 1( ; )+∞ ? 1( )m ≥

b. Với các giá trị nào của m , hàm số đồng biến trên � ? 2( )m =

5. Cho hàm số 2

2

2

x x my

x

− +=

−, (1) (m là tham số).

a. Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn 1 0[ ; ]− .

b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . ( )9m ≥

6. Cho hàm số ( )3 23 1 4y x x m x m= + + + + .

a. Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số đã cho ứng với 1m = − .

www.VNMATH.com


23

b. Tìm các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên ( )1 1;− . ( )10m < −

7. Cho hàm số ( )3 212 1 2

3y x mx m x m= − + − − + .

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với 2m = .

b. Tìm các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên ( )2 0;− . 1

2m < −

8. Cho hàm số 3 23 1y x mx m= − + − .

a. Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số đã cho ứng với 1m = .

b. Tìm các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên ( )0;−∞ . ( )0m ≥

9. Cho hàm số 3 211 3 4

3( ) ( )y x m x m x= − + − + + − .

a. Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số đã cho ứng với 2m = .

b. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên ( )0 3; . 12

7m ≥

10. Tìm các giá trị của m để hàm số 2

2 1 2

1

( )x m xy

x

+ + +=

+ đồng biến trên ( )0;+∞ . ( )0m ≥

11. Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 21 2 2 3 1y m x m x m x= − − + + + − .

a. Chứng minh rằng hàm số không thể đồng biến trên � .

b. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( )0;−∞ ; ( )1m ≥

c. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0;−∞ ; ( )3m ≤ −

d. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( )1;−∞ ( )1m ≥

e. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( )4;+∞ ( )13m ≥

f. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( )1 4; ( )5 13m− ≤ ≤

12. Cho hàm số 2

3x xy

x m

−=


a. Khảo sát hàm số (1) khi 1m = − .

b. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên 1[ ; )+∞ . ( )1 1m− ≤ <

13. Tìm các giá trị của m để hàm số 2

6 2

2

mx xy

x

+ −=

+ nghịch biến trên 1[ ; )+∞ .

14

5( )m ≤ −

14. Giải các hệ phương trình sau

a.

3 2

3 2

3 2

2

2

2

x y y y

y z z z

z x x x

= + + − = + + − = + + −

; b.

3 2

3 2

3 2

3 3 1

3 3 1

3 3 1

ln( )

ln( )

ln( )

x x x x y

y y y y z

z z z z x

+ − + − + = + − + − + = + − + − + =

;

c.

3 2

3 2

3 2

2

2

2

1

4

1

4

1

4

x x

y y

z z

y

z

x

+

+

+

= = =

; d.

3

3

3

6

6

6

sin

sin

sin

yx y

zy z

xz x

= + = + = +

.

www.VNMATH.com


24

15. Tìm các giá trị của m để phương trình 4 4

2 2 2 6 2 6x x x x m+ + − + − =

có đúng hai nghiệm thực phân biệt. ( )42 6 2 6 3 2 6m+ ≤ ≤ +

16. Cho hàm số 22 2( )f x x x= − .

a. Chứng minh rằng f đồng biến trên nửa khoảng 2[ ; )+∞ .

b. Chứng minh rằng phương trình 22 2 11x x − = có một nghiệm duy nhất.

17. Tìm các giá trị của m để phương trình

3 6 3 6( )( )x x x x m− + − − − − =

có nghiệm. ( )9 6 2 3m− + ≤ ≤

� Cực trị của hàm số 18. Tìm cực trị các hàm số sau

a. 3 22 9 12 3( )f x x x x= − + − b. 3 2

5 3 4 5( )f x x x x= − + − +

c. 3 22 1( )f x x x x= − + − + d. 2 2

1( ) ( )f x x= −

e. 2

2 3( )

xf x

x

+=

− f.

28 24

2( )

x xf x

x

+ −=

−

g. 2

4( )

xf x

x=

+ h. 4( )f x x x= −

i. 4

32

( )f x xx

= − +−

j. 4 22 1( )f x x x= − + .

19. Tìm cực trị các hàm số sau

a. 23( ) sin cosf x x x= − trên đoạn 0[ ; ]π ,

b. 2 2( ) sin cosf x x x= + trên đoạn 0[ ; ]π ,

c. 22 3 2 3( ) sin sinf x x x= + − trên đoạn [ ; ]π π− ,

d. 2( ) sin cosf x x x= + trên đoạn [ ; ]π π− .

20. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu

a. 3 216 2 1

3( ) ( )y x mx m x m= + + + − + 2(m < − hoặc 3)m >

b. 3 22 3 5( )y m x x mx= + + + − . 3 2 1( )m− < ≠ <

21. Tìm m để hàm số 3 2 2 212 3 1 5

3( ) ( )y x m m x m x m= + − + + + + − đạt cực tiểu tại 2x = − .

3( )m =

22. Tìm m để hàm số 3 21 11 3 2

3 3( ) ( ) ( )f x mx m x m x= − − + − + đạt cực trị tại

1 2,x x thỏa mãn điều

kiện 1 2

2 1x x+ = . 2(m = hoặc 2

3)m =

23. Tìm m để hàm số 3 211

3( )f x x mx mx= − + − đạt cực trị tại

1 2,x x thỏa mãn điều kiện

1 28x x− > .

1 65

2(m

−< hoặc

1 65

2)m

+>

24. Tìm m để hàm số 3 2 2 22 1 4 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x x m x m m x m= + − + − + − + đạt cực trị tại

1 2,x x

thỏa mãn điều kiện 1 2

1 2

1 1 1

2( )x x

x x+ = + . 1(m = hoặc 5)m =

www.VNMATH.com


25

25. Cho hàm số ( ) ( )3 2 221 4 3 1

3y x m x m m x= + + + + + − .

a. Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại 1

x và 2

x ; ( )5 1m− < < −

b. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm nằm bên phải trục tung; .( )5 3m− < < −

c. Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại 1

x và 2

x sao cho ( )1 2 1 2

2A x x x x= − + đạt giá trị

lớn nhất. ( )4m = −

26. Cho hàm số 4 2 29 10( )y mx m x= + − + , (1) (m là tham số).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . b. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị. 3(m < − hoặc 0 3)m< <

27. Cho hàm số 33( )y x m x= − − , (1) (m là tham số).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . b. Xác định m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ 0x = . 1( )m = −

28. Cho hàm số 2

2

2

2 2

x x my

x x

+ +=

− +.

a. Với giá trị nào của m , hàm số đạt cực đại tại 2x = . ( )2m =

b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với 2m = .

29. Cho hàm số 2

1

x mxy

x

+=


a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 0m = . b. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số (1) bằng 10? 4( )m =

30. Cho hàm số 2 2

2 1 4

2

( )

( )

x m x m my

x m

+ + + + +=

+, (1) (m là tham số).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 0m = .

b. Tìm m để hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó. ( )1 24 2M M =

31. Cho hàm số 2

1 1

1

( )x m x my

x

+ + + +=


a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m = .

b. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (m

C ) của hàm số (1) luôn luôn có điểm cực đại, điểm

cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 .


2 1 3x mx my

x m

+ + −=

−, (

mC ) (1) (m là tham số).


b. Tìm m để đồ thị (m

C ) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung. ( )1 1m− < <

33. Cho hàm số 2

2 2

1

x mxy

x

− +=


a. Khảo sát hàm số (1) khi 1m = . b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị ,A B . Chứng minh rằng khi đó đường thẳng

AB song song với đường thẳng 2 10 0x y− − = . 3

2m <

www.VNMATH.com


26

34. Cho hàm số 3 23 4y x x m= − + , (1) (m là tham số).

a. Khảo sát hàm số (1) khi 1m = . b. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị. Khi đó xác định m để một trong hai

điểm cực trị này thuộc trục hoành. ( 0m = hoặc )1m =

35. Cho hàm số 3 22 3 3 11 3( )y x m x m= + − + − .

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với 3m = . b. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng nối hai điểm cực trị của

đồ thị đi qua điểm 0 1( ; )A − . ( )4m =

36. Cho hàm số 3 23 2 1 3( )y mx mx m x m= − + + + − .

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với 1m = . b. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rẳng đường thẳng nối các

điểm cực trị luôn đi qua một điểm cố định. ( )0 1m m< ∨ >

37. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) ( )3 22 3 2 1 6 1 1y x m x m m x= − + + + + đạt cực đại và cực

tiểu sao cho 1CD CT

y y+ = .

39. Cho hàm số 4 2 42 2y x mx m m= − + + .


b. Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều. ( )33m =

40. Cho hàm số 4 21 1 2( )y mx m x m= + − + − .


b. Tìm các giá trị của m để hàm số có đúng một điểm cực trị. ( )0 1m m≤ ∨ ≥

41. Với giá trị nào của m , gốc tọa độ thuộc đường thẳng nối các điểm cực trị của đồ thị hàm số 2

1 1( )x m x my

x m

+ + − +=

−.

( )1m = −

42. Cho hàm số 2

8

1

x mx my

x

+ − +=


a. Khảo sát hàm số (1) khi 1m = − . b. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (1) luôn có cực đại và cực tiểu với mọi giá trị m . Tìm giá

trị của m để 2 272

cd cty y+ = . ( )2m = −

43. Tìm m để hàm số 3 2 23( )f x x x m x m= − + + có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường

thẳng 1 5

2 2y x= − . 0( )m =

44. Tìm m để hàm số 3 211

3y x mx x m= − − + + có khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu

là nhỏ nhất. 0( )m =

45. Cho hàm số ( ) ( )3 23 3 1 ,

my x x m x C= + − − . Tìm các giá trị của m để

a. ( )mC đạt cực trị tại ,A B sao cho ABO∆ vuông tại O; ( )1m =

b. ( )mC đạt cực trị tại ,A B nằm khác phía đối với trục hoành; { }

11

4; \m

∈ +∞

www.VNMATH.com


27

c. ( )mC đạt cực trị tại ,A B cách đều đường thẳng 5y = ; ( )2m =

d. ( )mC đạt cực trị tại ,A B nằm trên đường thẳng cách gốc tọa độ một khoảng bằng 1; ( )m ∈ ∅

e. ( )mC có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với trục hoành một tam giác có diện tích bằng

1

6.

12

2m m = ∨ =

46. Tìm các giá trị của m để hàm số ( )4 3 24 3 1 1y x mx m x= + + + + chỉ có cực tiểu, không có cực

đại. { }1 17 1 17

18 8; \m

− + ∈ −

47. Tìm m để hàm số 2

1 1( )x m x my

x m

+ + − +=

− có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía trục

Ox . 3 2 3(m < − − hoặc 3 2 3)m > − +

48. Tìm m để hàm số 2

2

1

x mx my

x m

+ − +=

− + có cực tiểu có hoành độ nhỏ hơn 1.

49. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số 3 21 2 2 2( ) ( )y x m x m x m= + − + − + + có hai

điểm cực trị, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. 1(m < − hoặc 5 7

4 5)m< <

50. Tìm các giá trị của m để hàm số 3 2 212 5 4 1

3( ) ( )y x m x m x m= + − + + + + đạt cực trị tại

1 2,x x thỏa mãn điều kiện

1 21x x< − < .

73

2m

− < < −

51. Tìm các giá trị của m để đồ thị mỗi hàm số sau có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành

a. 33 1y mx mx= − +

1

2m

>

b. 3 22 2 1y x mx m= − + −

3 1

2 2

3

4

m m

m

< − ∨ > ≠

52. Cho hàm số 3 2 32 3 2 6 5 1 4 2( ) ( ) ( )y x m x m x m= − + + + − + . Tìm m để đồ thị hàm số có

a. Đúng một điểm cực trị có hoành độ lớn hơn 1. 0( )m <

b. Hai điểm cực trị có hoành độ nhỏ hơn 2 . 1

03

( )m− < <

c. Có ít nhất một điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng 1 1( ; )− . 2

03

( )m− < <

d. Có ít nhất một điểm cực trị có hoành độ lớn hơn 9 . 16( )m >

e. Có ít nhất một điểm cực trị có hoành độ 4i

x > . 16(m > hoặc 25

9)m < −

� Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 53. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

www.VNMATH.com


28

a. 3 23 9 1y x x x= + − + trên đoạn 4 4[ ; ]− ; b.

2

xy

x=

+ trên nửa khoảng 2 4( ; ]− ;

c. 1

21

y xx

= + +−

trên khoảng 1( ; )+∞ ; d. 2

2

2

1

xy

x x

+=

+ +;

e. sin cosy a x b x= + 2 20( )a b+ > ; f. 4 2sin cosy x x= + ;

g. 1

3

sin cos

sin cos

x xy

x x

+ −=

− +; h.

22

2 2

cos

cos

xy

x=

+;

i. 3 26 9 5cos cos cosy x x x= − + + ; j. 3

2 2sin cos siny x x x= − + + ;

k. 24y x x= + − ; l.

2

1

1

xy

x

+=

+ trên đoạn 1 2[ ; ]− .

54. Chứng minh rằng

a. 3 3 5

3 3 5sin

! ! !

x x xx x x− < < − + , với mọi 0x > ; b.

2 2 4

1 12 2 4

cos! ! !

x x xx− < < − + , với mọi 0x ≠ ;

c. 2sin tanx x x+ > , với mọi 02;xπ ∈

; d. 1xe x> + , với mọi 0x > ;

f. 2

12

ln( )x

x x x− < + < , với mọi 0x > ; g. 1sin cosx x x+ > , với mọi 02;xπ ∈

.

� Tiệm cận của đồ thị hàm số

55. Cho hàm số 4

1

xy

x

− +=

−.

a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho.

b. Xác định tọa độ giao điểm E của hai tiệm cận của ( )C . Chứng minh rằng nếu một đường

thẳng d qua E và cắt ( )C thì số giao điểm là 2 và hai giao điểm đối xứng nhau qua E . Từ đó

suy ra E là tâm đối xứng của ( )C .

56. Cho hàm số 2

1

1

x mxy

x

+ −=

−.

a. Khảo sát hàm số khi 1m = . b. Với giá trị nào của m thì tiệm cận xiên của hàm số tạo với các trục tọa độ một tam giác có

diện tích bằng 4. ( )1 2 2m = − ±

57. Cho hàm số 1

2

xy

x

+=

−, ( )C .

a. Tìm trên ( )C những điểm có tọa độ nguyên.

b. Tìm trên ( )C những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

( )1 22 3 1 3

,( ; )M ± ±

58. Cho hàm số 1

1

xy

x

−=

+, ( )C . Chứng minh rằng khoảng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ

trên ( )C đến hai đường tiệm cận của ( )C là một hằng số.

59. Cho hàm số 1

1

xy

x

+=

−, ( )C . Tìm tất cả các điểm ( )M C∈ sao cho khoảng cách từ M đến giao

điểm của hai đường tiệm cận của ( )C là ngắn nhất. ( )1 21 2 1 2 1 2 1 2( ; ), ( ; )M M+ + − −

www.VNMATH.com


29

60. Tìm trên hai nhánh khác nhau của 4 9

3( ) :

xC y

x

−=

− các điểm

1 2,M M để độ dài của đoạn thẳng

1 2M M là nhỏ nhất.

61. Tìm trên hai nhánh khác nhau của 2

2 5

1( ) :

x xC y

x

− + −=

− các điểm

1 2,M M để độ dài của đoạn

thẳng 1 2

M M là nhỏ nhất.

� Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 62. Cho hai hàm số

21 1

4 4( )f x x x= − + + và 2

1( )g x x x= − +

a. Chứng minh rằng đồ thị ( )P của hàm số f và đồ thị ( )C của hàm số g tiếp xúc nhau tại điểm

A có hoành độ 1x = . b. Viết phương trình tiếp tuyến chung ( )d của ( )P và ( )C tại điểm A .

c. Chứng minh rằng ( )P nằm phía trên đường thẳng ( )d và ( )C nằm phía trên đường thẳng ( )d .

63. Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số

23 4( )f x x x= − + ,

11( )g x

x= + và 4 6( )h x x x= − +

tiếp xúc nhau tại một điểm.

64. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C của hàm số 33 5y x x= − + khi biết

a. Hoành độ tiếp điểm là 1

1x = − , 2

2x = .

b. Tung độ tiếp điểm là 5 3,y y= = .

65. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C của hàm số 3 23 2 1y x x x= + + + xuất phát từ

điểm uốn của ( )C . ( )y x= −

66. Cho hàm số 3 22 3 9 4y x x x= − + − , ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại các giao

điểm của ( )C với các đồ thị sau

a. Đường thẳng ( )d : 7 4y x= + ; b. Parabol ( )P : 28 3y x x= − + − .

67. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C : 3 23y x x= − , biết tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng 1

3y x= . 3 1( )y x= − +

68. Cho hàm số 3 212 4

3y x x x= − + − ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C , biết tiếp tuyến

a. Có hệ số góc 2k = − ; b. Tạo với chiều dương trục Ox một góc 060 ;

c. Song song với đường thẳng 2y x= − + ; d. Vuông góc với đường thẳng 2 3y x= + ;

e. Tạo với 1

32

:d y x= − + một góc 030 ; f. Qua điểm ( )0 4;A − .

69. Cho hàm số 33 7y x x= − + ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C , biết tiếp tuyến:

a. Có hệ số góc bằng với hệ số góc của đường thẳng 12 2 1 0x y− + = ;

b. Song song với đường thẳng 6 1y x= − ; c. Vuông góc với đường thẳng 1

29

y x= − + ;

d. Tạo với chiều dương Ox một góc 045 ; e. Tạo với đường thẳng 2y = một góc 0

45 ;

f. Tạo với đường thẳng 2 3y x= + một góc 045 ; g. Qua điểm ( )1 9;A − .

www.VNMATH.com


30

70. Viết phương trình tiếp tuyến với 3 2

1( ) :

xC y

x

−=

− tạo với trục hoành một góc 0

45 .

2 6( , )y x y x= − + = − +


2 5

xy

x

−=

− + ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến:

a. Song song với đường thẳng 1

12

y x= + ; b. Vuông góc với đường thẳng 4y x= − .

c. Tạo với đường thẳng 2y x= − một góc 045 ; d. Tạo với đường thẳng y x= − một góc 0

60 ;

72. Cho hàm số 3 21 1 42

3 2 3y x x x= + − − , (1).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C , biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d :

4 2y x= + . 26

43

(y x= − và 73

46)y x= +

73. Cho hàm số 21 2( ) ( )y x x= + − .


b. Xác định các giáo điểm của ( )C với trục hoành và chứng minh ( )C tiếp xúc với trục hoành tại

một trong các giao điểm đó.


1

xy

x

−=

−, (1).


b. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( )C . Tìm điểm ( )M C∈ sao cho tiếp tuyến của

( )C tại M vuông góc với đường thẳng IM . ( )1 2

0 1 2 3( ; ), ( ; )M M

75. Cho hàm số 3 212 3

3y x x x= − + , (1).


b. Viết phương trình tiếp tiếp ∆ của ( )C tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của

( )C có hệ số góc nhỏ nhất. 8

3y x = − +

76. Gọi ( )m

C là đồ thị của hàm số 3 21 1

3 2 3

my x x= − + , (1) (m là tham số).


b. Gọi M là điểm thuộc ( )m

C có hoành độ bằng 1− . Tìm m để tiếp tuyến của ( )m

C tại M song

song với đường thẳng 5 0x y− = . 4( )m =

77. Cho hàm số 1

y xx

= + , (1).


b. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C qua 1 7( ; )M − . 15 8(y x= − và 3 4)y x= − +

78. Cho hàm số 2

2 2

1

x xy

x

+ +=

+, (1).


b. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( )C . Chứng minh rằng không có tiếp tuyến

nào của ( )C qua I .

www.VNMATH.com


31

79. Cho hàm số 2

1

2

x xy

x

+ +=

+, (1).


b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C , biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên

của ( )C . ( )2 2 5y x= − ± −

80. Cho hàm số 1

1

xy

x

+=

−, (1).


b. Xác định m để đường thẳng d : 2y x m= + cắt ( )C tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho các

tiếp tuyến của ( )C tại A và B song song với nhau. ( )1m = −

81. Cho hàm số 2

2

1

x mx my

x

+ +=


a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m = . b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho các tiếp

tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại A và B vuông góc với nhau. ( )4 17m = ±

82. Cho hàm số 31y x mx m= − − + , (1) (m là tham số).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1) khi 1m = .

b. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến đó qua điểm 0 2( ; )A .

c. Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục Ox . 3(m = hoặc 3

4)m =

83. Cho hàm số 3 23 3 5y x x x= + + + ( )C .

a. CMR không tồn tại hai điểm nào trên ( )C để các tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau.

b. Tìm k để trên ( )C luôn tồn tại ít nhất một điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với

đường thẳng y kx m= + . 0( )k <

84. Cho hàm số 3 23 1y x x mx= + + + ( )

mC .

a. Tìm m để ( )m

C cắt đường thẳng 1y = tại ba điểm phân biệt 0 1( ; ), ,C D E . 9

04

m ≠ <

b. Tìm m để các tiếp tuyến của ( )m

C tại D và E vuông góc nhau. 9 65

8m ± =

85. Cho hàm số 3 23 2y x x= − + ( )C .

a. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C đi qua 23

29;A

− .

5 612 9 25

3 27, ,y y x y x

= − = − = − −

b. Tìm trên 2:d y = − các điểm kẻ đến ( )C hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. 55

227;M

−

86. Cho hàm số 3 22 3 5y x x= + − .


b. Chứng minh rằng qua điểm ( )1 4;A − có thể kẻ được ba tiếp tuyến phân biệt của ( )C .

87. Cho hàm số 3 26 9 1y x x x= − + − .


www.VNMATH.com


32

b. Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng 2x = , có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến của ( )C .

88. Cho hàm số 33 2y x x= − + + ( )C . Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ

thị ( )C . ( )0 2( ; ,M m m > hoặc 2

13)m− ≠ < −


1

xy

x

−=

− ( )C và điểm ( )M C∈ . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tiếp

tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B . a. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB . b. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB là một hằng số.

c. Tìm M để chu vi tam giác IAB bé nhất. ( )1 2

0 1 2 3( ; ), ( ; )M M−

90. Cho hàm số 4 21 53

2 2y x x= − + .


b. Tìm các điểm thuộc ( )C sao cho tại đó, tiếp tuyến của ( )C có ba điểm chung phân biệt với

( )C . 4 21 53

2 2;A x x x

− + , với ( )3 3 1; \ { }x ∈ − ± .

� Giao điểm của đường cong và đường thẳng

91. Cho hàm số 311

3( )y x m x= − + .


b. Tìm các giá trị của m để phương trình 33 1 0( )x m x− + = có ba nghiệm phân biệt?

9

4m >

92. Cho hàm số 4 22 3y x x= − + + .

a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4 2 4 22 2x x m m− = − .

93. Cho hàm số 32( )y x m x m= − + + , m là tham số.

a. Tìm m để hàm số đã cho có cực trị tại 1x = − . b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số ứng với 1m = .

c. Biện luận theo k số giao điểm của ( )C với đường thẳng y k= .

94. Cho hàm số 3 2 2 3 23 3 1( )y x mx m x m m= − + + − + − , (1).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) ứng với 1m = .

b. Tìm k để phương trình 3 2 3 23 3 0x x k k− + + − = có 3 nghiệm phân biệt.

1 3( k− < < và 0 2, )k k≠ ≠

c. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). ( )22y x m m= − +

95. Cho hàm số 4 2 22 2 5 5( )y x m x m m= + − + − + , ( )

mC

a. Khảo sát và vẽ đồ thị( )C của hàm số khi 1m = .

b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C và trục hoành. 16

15S =

c. Tìm giá trị của m để đồ thị ( )m

C cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 5 5

12

m − < <

96. Cho hàm số 3 23 9y x x x m= − − + .

www.VNMATH.com


33


b. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập

thành cấp số cộng. ( )11m =

97. Cho hàm số 3 2 23 1 2 4 1 4 1( ) ( ) ( )y x m x m m x m m= + − + − + − − .



thành cấp số cộng. ( )1m ≠ −

98. Cho hàm số 3 2 23 2 4 9( )y x mx m m x m m= − + − + − .



thành cấp số cộng. ( )1m =

99. Cho hàm số 32y x mx= + − .


b. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng một điểm. ( )3m > −


2 4

2

x xy

x

− +=

−, ( )C (1).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b. Tìm m để đường thẳng 2 2y mx m= + − cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt. ( )1m >

101. Cho hàm số 3 22 3 1y x x= − − , (1).


b. Gọi k

d là đường thẳng qua 0 1( ; )M − và có hệ số góc bằng k . Tìm k để đường thẳng k

d cắt

( )C tại 3 điểm phân biệt. 9

8(k > − và 0)k ≠


3 3

2 1( )

x xy

x

− + −=

−, (1).


b. Tìm m để :m

d y m= cắt ( )C tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho 1AB = . 1 5

2m ± =


21

xy x

x= − +

+.


b. Chứng minh rằng một tiếp tuyến tùy ý của ( )C luôn tạo với hai tiệm cận của nó thành một

tam giác có diện tích không đổi.


1

xy

x

−=

−.


b. Chứng minh rằng với mọi giá trị m , đường thẳng 2 0:d x y m+ + = luôn cắt ( )C tại hai

điểm phân biệt. Xác định m để khoảng cách giữa hai giao điểm này nhỏ nhất.

105. Cho hàm số 33 2y x x= − + , (1).


www.VNMATH.com


34

b. Gọi m

d là đường thẳng qua 3 20( ; )A và có hệ số góc là m . Tìm m để m

d cắt ( )C tại 3 điểm

phân biệt. 15

4(m > và 24)m ≠


4

1

x xy

x

− +=

−.

a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b. Tìm a để đường thẳng y a= cắt ( )C tại hai điểm phân biệt? 3(a < − hoặc 5)a >

107. Cho hàm số 2x x m

yx m

− + +=

+, ( )

mC với m là tham số khác 0.

a. Khảo sát và vẽ đồ thị 2

( )C của hàm số khi 2m = .

b. Tìm m để tiệm cận xiên của ( )m

C đi qua điểm 3 0( ; )A .

c. Với giá trị nào của m thì ( )m

C cắt đường thẳng d : 1y x= − tại hai điểm phân biệt?

6 4 2(m < − − hoặc 6 4 2m > − +

và 0)m ≠


2

xy

x

+=

+, (1).


b. Chứng minh rằng đường thẳng 1

2y x m= − cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt ,A B . Xác định m

sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất. ( )2m = −


22

y xx

= + ++

, (1).


b. Tìm m để đường thẳng y m= cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách giữa

chúng bằng 12 . ( )4m = ±


1

mx x my

x

+ +=

−, ( )m

C (1).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = − .

b. Tìm m để ( )mC cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.

10

2m

− < <

111. Cho hàm số 21( )( )y x x mx m= − + + , ( )m

C (1) (m là tham số).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 4m = .

b. Tìm m để ( )mC cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. 0(m < hoặc 4m > và

1

2)m ≠ −

112. Cho hàm số 3 23y x x m= − + , ( )m

C (1) (m là tham số).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 2m = .

b. Tìm m để ( )mC có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ. ( )0m >


1

x x my

x

+ −=

−, (1).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m = . b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm ,A B phân biệt và các tiếp tuyến

của đồ thị hàm số (1) tại ,A B vuông góc với nhau.

www.VNMATH.com


35

114. Cho hàm số 3 2 23 1 2 4 1 4 1( ) ( ) ( )y x m x m m x m m= − + + + + − + ( )

mC . Tìm m để ( )

mC cắt

trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. 1

12

m < ≠

115. Cho hàm số 3 2 2 22 2 1 1( ) ( )y x mx m x m m= − + − + − ( )


mC cắt trục hoành tại

3 điểm phân biệt có hoành độ dương. 2

1

3

m < <

116. Cho hàm số 3 2 2 23 3 1 1( )y x mx m x m= − + − − + ( )


mC cắt trục hoành tại 3

điểm phân biệt có hoành độ dương. ( )3 1 2m< < +

117. Cho hàm số 3 23 3 1 1 3( )y x x m x m= − + − + + ( )


mC cắt trục hoành tại 1

điểm, 2 điểm, 3 điểm phân biệt. � Điểm cố định của đường cong

118. Cho hàm số 1mx

yx m

−=

−, 1m ≠ ± ( )

mC .

a. Chứng minh rằng với mọi 1m ≠ ± , đường cong ( )m

C luôn đi qua hai điểm cố định ,A B .

b. Gọi M là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( )m

C . Tìm tập hợp các điểm M khi m thay

đổi.

119. Cho hàm số 3 23 3 2 1 1( )y x mx m x= − + − + , ( )

mC .

a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , ( )m

C và đường thẳng m

d : 2 4 3y mx m= − + luôn có

một điểm chung cố định.

b. Tìm các giá trị của m sao cho m

d cắt ( )m

C tại ba điểm phân biệt.

c. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với 1m = .

120. Cho hàm số 3 21 2 1 2( ) ( )y x m x m x m= + − − + + − , ( )

mC .

a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , ( )m

C luôn đi qua một điểm cố định.

b. Chứng minh rằng mọi đường cong ( )m

C tiếp xúc với nhau tại một điểm. Viết phương trình

tiếp tuyến chung của các đường cong ( )m

C tại điểm đó.

121. Cho hàm số 3 29 9y x mx x m= + − − .

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với 3m = . b. Chứng minh rằng với mọi giá trị m , đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định. Với

giá trị nào của m , trục hoành là một tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho ? ( )3m = ±

122. Cho hàm số 31 2 1 1( ) ( )y m x m x m= + − + − + .

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với 1m = . ` b. Chứng minh rằng với mọi giá trị m , đồ thị hàm số luôn đi qua ba điểm cố định thẳng hàng. � Xác định điểm trên đường cong


3

xy

x

+=

−.

a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C hàm số đã cho.

b. Tìm các điểm ( )M C∈ sao cho cách đều hai đường tiệm cận của ( )C . ( )3 5 1 5;M ± ±


2

xy

x

−=

+.

www.VNMATH.com


36


b. Tìm các điểm ( )M C∈ sao cho tổng khoảng cách từ M tới Ox và Oy là nhỏ nhất. ( )0 1( ; )M −


1

xy

x

−=

−.


b. Tìm các điểm ( )M C∈ sao cho M cách đều hai điểm 0 0( ; )O và 2 2( ; )A . ( )1 2

0 2 2 0( ; ), ( ; )M M

126. Cho hàm số 3 21 113

3 3y x x x= − + + − , (1).


b. Tìm trên ( )C hai điểm phân biệt ,M N đối xứng nhau qua trục tung. 1 2

16 163 3

3 3; , ;M M

−


2 2

1

x xy

x

− +=

−, (1).


b. Tìm trên ( )C hai điểm ,A B sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng 4 0x y− + = .

7 23 15 23 7 23 15 23

2 2 2 2; , ;A B

− + + −

128. Tìm 2

1, ( ) :

xA B C y

x∈ =

− đối xứng nhau qua 1:d y x= − .

1 1 1 11 1

2 2 2 2

; , ;A B − − − −

129. Cho đồ thị 2

2

2( ) :

x xC y

x

+ −=

−. Viết phương trình đồ thị ( )C ′ đối xứng với ( )C qua đường

thẳng 2y = . 2

3 6

2

x xy

x

− + − = −

130. Viết phương trình đồ thị ( )C ′ đối xứng với ( )C : 2

2 3 7

1

x xy

x

− +=

− qua đường thẳng 2x = .

22 13 17

3

x xy

x

− + = −


5 4

2

x xy

x

− +=

−, (1).


b. Tìm trên ( )C các điểm có tọa độ nguyên.


xy

x=

+, (1).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C hàm số (1).

b. Tìm trên ( )C các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 3 4 0x y+ = bằng 1.

www.VNMATH.com


37

1 2 3 4

1 61 9 61 9 21 1 21

6 2 6 2, ,

; , ;M M

± ± −

∓ ∓


1

1

x xy

x

+ −=

−, (1).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1).

b. Tìm các điểm trên ( )C mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thị ( )C vuông góc với đường

thẳng qua hai điểm cực trị. 1 2

2 5 2 51 3 1 3

3 36 6

; , ;M M

− − + +


1

xy

x

−=

−, (1).


b. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( )C . Tìm trên ( )C điểm M sao cho tiếp tuyến

của ( )C tại M vuông góc với đường thẳng IM . ( )1 2

0 1 2 3( ; ), ( ; )M M

135. Tìm trên 3 4

2 1( ) :

xC y

x

+=

− các cặp điểm đối xứng với nhau qua điểm ( )1 1;I .

( ) ( )( )1 3 1 3 1 3 1 3; , ;A B− − + +

� Hàm số chứa dấu GTTĐ

136. Cho hàm số 33 1( )y f x x x= = − − , (1).


b. Từ đồ thị ( )C , hãy suy ra đồ thị 1( )C của hàm số 3

3 1y x x= − − .

c. Từ đồ thị ( )C , hãy suy ra đồ thị 2

( )C của hàm số 3

3 1y x x= − − .

d. Từ đồ thị ( )C , hãy suy ra đồ thị 3

( )C của hàm số 3

3 1y x x= − − .


3 3

2

x xy

x

− +=

−, (1).


b. Từ đồ thị ( )C , hãy suy ra đồ thị 1( )C của hàm số

23 3

2

x xy

x

− +=

−.


1

1

x xy

x

+ +=

+, (1).


b. Với các giá trị nào của m , thì phương trình 2

1

1

x xm

x

+ +=

+ có 4 nghiệm phân biệt? 3( )m >

139. Cho hàm số 4 24 3y x x= − + , (1).


b. Tìm m để phương trình 4 24 3 2 1 0x x m− + + − = có 8 nghiệm phân biệt.

10

2m

< <

140. Cho hàm số 3 22 9 12 4y x x x= − + − , (1).


www.VNMATH.com


38

b. Tìm m để phương trình sau 3

22 9 12x x x m− + = có 6 nghiệm phân biệt. ( )4 5m< <


1

xy

x

+=

−.

a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b. Tìm các giá trị của m để phương trình 2 1 1 0x m x− − + = có hai nghiệm.

142. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 23 1( )x x m+ = + .


1

xy

x

+=

−.

a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 1 1 0x m x− − + = .

144. Cho hàm số 3 23 6y x x= − − .

a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 21 12 0

3 3

mx x

+− − − = .


1

1

x xy

x

+ +=

+.

a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2

1 1 0( )x m x m+ − + − = .

� Đề thi các năm gần đây


2 1 4

2

( )x m x m my

x

+ + + +=


a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = − . b. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa

độ O tạo thành một tam giác vuông cân tại O . ( )4 2 6m = − ± (ĐH A_2007)


3 2 2

3

( )mx m xy

x m

+ − −=


a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . b. Tìm m để góc giữa hai đường tiệm cận của hàm số (1) bằng 0

45 . 1( )m = ± (ĐH A_2008)

3. Cho hàm số 2

2 3

xy

x

+=

+, ( )C (1).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại

hai điểm phân biệt ,A B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O . ( 2y x= − − )(ĐH A_2009)

4. Cho hàm số 3 22 1( )y x x m x m= − + − + , (1) (m là tham số).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1m = . b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ

1 2 3, ,x x x

thỏa điều kiện 2 2 2

1 2 34x x x+ + < .

11 0

4m m

− < < ∧ ≠ (ĐH A_2010)

5. Cho hàm số 1

2 1

xy

x

− +=

−.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho.

www.VNMATH.com


39

b. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y x m= + luôn cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A

và B . Gọi 1

k và 2

k lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại A và B . Tìm m để tổng 1 2

k k+ đạt

giá trị lớn nhất. ( )1m = − (ĐH A_2011)

6. Cho hàm số 3 2 2 23 3 1 3 1( )y x x m x m= − + + − − − , (1) (m là tham số).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số (1) cách đều gốc tọa

độ O . 1

2m = ±

(ĐH B_2007)

7. Cho hàm số 3 24 6 1y x x= − + , (1).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm

1 9( ; )M − − . (ĐH B_2008)

8. Cho hàm số 4 22 4y x x= − , (1).


b. Với các giá trị nào của m , phương trình 2 22x x m− = có 6 nghiệm thực phân biệt?

0 1( )m< < (ĐH B_2009)


1

xy

x

+=

+, ( )C .


b. Tìm m để đường thẳng 2y x m= − + cắt ( )C tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho tam giác

OAB có diện tích bằng 3 . 2( )m = ± (ĐH B_2010)

10. Cho hàm số ( )4 22 1y x m x m= − + + (1)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị , ,A B C sao cho OA BC= , trong đó O là gốc tọa

độ, A là cực trị thuộc trục tung và ,B C là hai cực trị còn lại. ( )2 2 2m = ± (ĐH B_2011)

11. Cho hàm số 2

1

xy

x=

+, (1).


b. Tìm ( )M C∈ sao cho tiếp tuyến của ( )C tại M cắt các trục ,Ox Oy lần lượt tại các điểm ,A B

sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1

4. ( )

1 2

12 1 1

2; , ;M M

− − (ĐH D_2007)

12. Cho hàm số 3 23 4y x x= − + , (1).


b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng qua điểm 1 2( ; )I với hệ số góc k ( 3k > − ) đều cắt ( )C tại

3 điểm phân biệt , ,A I B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB . (ĐH D_2008)

13. Cho hàm số 4 23 2 3( )y x m x m= − + + có đồ thị ( )

mC (m là tham số).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 0m = .

b. Tìm m để đường thẳng 1y = − cắt đồ thị ( )m

C tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.

1

1 03

( , )m m− < < ≠ (ĐH D_2009)

14. Cho hàm số 4 26y x x= − − + , ( )C .

www.VNMATH.com


40


b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

11

6y x= − . 6 10( )y x= − + (ĐH D_2010)


1

xy

x

+=

+.


b. Tìm k để đường thẳng 2 1y kx k= + + cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho

khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. ( )3k = − (ĐH D_2011)

www.VNMATH.com

Education

khao sat ham so và các bài toán liên quan