Kalkulus

Nilai maksimum dan minimum

Nilai ekstrim

Nilai Ekstrim Lokal Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan

apabila terdapat suatu selang terbuka yang mengandung bilangan c sedemikian rupa sehingga f mempunyai nilai terbesar (maksimum) atau terkecil (minimum). Setiap harga f yang mempunyai harga maksimum atau minimum disebut ekstrim lokal.

Nilai Ekstrim Mutlak

Jika f(c) adalah nilai maksimum mutlak dari fungsi f, maka kita dapat menyimpulkan bahwa titik (c, f(c)) merupakan titik tertinggi pada garafik f. Sebaliknya f(c) adalah minimum mutlak dari fungsi f, maka titik (c,f(c)) merupakan titik terendah pada grafik f. Nilai maksimum dan/atau minimum sering disebut juga dengan nilai ekstrim fungsi f.

Penyelesaian Permasalahan Maksimum dan Minimum

I. Memahami Permasalahan Bacalah permasalahan dengan teliti Tentukan informasi-informasi yang Anda butuhkan

Contoh permasalahan:Akan dibuat persegi panjang dengan bagian bawah berada pada sumbu-x, dan bagian atas di dalam kurva

y = 12 – x2. Tentukan luas maksimum persegi panjang yang dapat dibuat!

Informasi-informasi:Persamaan

parabola y = 12 – x2. Rumus untuk

luas persegi panjang

luas = panjang x lebar

II. Membangun Model Matematika

Gambarkan permasalahan dalam model yang mudah dipahami!

Berikan tanda pada bagian2 yang penting

Buatlah variabel yang akan diamati untuk menyelesaikan permasalahan

Tuliskan sebuah fungsi yang memberikan informasi nilai ekstrim yang akan dicari

Tentukan domain dari fungsi

-5

0

5

10

15

-6 -4 -2 0 2 4 6X

y

Variabel yang akan dihitung: x Informasi yang ada: y=12-x2

Fungsi : luasLuas: f(x) = 2xy = 2x(12-x2)Domain: x > 0

X

III. Tentukan Titik – titik Kritis

Tentukan titik-titik yang memenuhi f ’(x) = 0 atau f ’(x) tidak ada

• Gunakan dasar-dasar perhitungan untuk memperoleh titik-titik tersebut.

f (x) = 2x(12-x2)=24x – 2x3

f ‘(x) = 24 – 6x2

f ’(x) = 0 24 – 6x2 = 0 6x2 = 24 x2 = 4 x = 2 atau x = -2 (tidak dipakai)

Untuk semua x, f ’(x) ada (tidak dipakai)Karena x = 2, diperoleh y = 12 – 4 = 8

IV. Kembalikan ke permasalahan yang sebenarnya

Luas maksimum=2xy=(2)(2)(8) = 32

Contoh soal (1)

Seorang pengusaha persewaan truk sudah melakukan penelitian mengenai usahanya. Hasil penelitian menyebutkan bahwa dia bisa menyewakan seluruh truk miliknya (30 buah) apabila tarif sewa 200 ribu per truk per hari. Setiap ia menaikkan tarif sewa sebesar 10 ribu per hari, maka truk yang disewa berkurang 1 buah. Ia juga telah menghitung besarnya perawatan truk yang disewa adalah 50 ribu per hari. Berapa tarif sewa truk yang harus ia tetapkan supaya memperoleh keuntungan maksimal?

tarif jumlah truk200 30 = 30 - 0210 29 = 30 - 1220 28 = 30 - 2X ?Misal diambil tarif 220, ternyata membuat truk

yang tidak disewa sebanyak 2 buah. Secara umum diperoleh:

Jumlah truk yang tidak disewa = (x – 200)/10Jadi jumlah truk yang disewa = 30 – (x - 200)/10

Banyaknya truk yang disewa = 30 –(1/10)(x-200) = 50 – x/10 Pendapatan = tarif x jumlah truk yang disewa

= (x)(50 –x/10)= 50x – x2/10

Pengeluaran = biaya perawatan x jml truk yg disewa= (50)(50 – x/10)= 2500 – 5x

Keuntungan, K(x) = Pendapatan – Pengeluaran= (50x – x2/10) – (2500 – 5x)= -x2/10 + 55x -2500

Titik Kritis, K’(x) = 0 = -2x/10 + 55 = 0 -2x/10 = -55 x = (-55)(-5) = 275

Dalam ribuan

Untuk tarif : 270 diperoleh: Jumlah truk yang disewa = 30 – 7 = 23 Pendapatan = (23)(270) = 6210 Pengeluaran = (23)(50) = 1150 Keuntungan = 6210 – 1150 = 5060

Untuk tarif : 280 diperoleh: Jumlah truk yang disewa = 30 – 8 = 22 Pendapatan = (22)(280) = 6160 Pengeluaran = (22)(50) = 1100 Keuntungan = 6160 – 1100 = 5060

Diperoleh keuntungan maksimal = 5060, yaitu dengan memasang tarif 270 ribu atau 280 ribu per truk per hari.

Contoh soal (1)

Seorang pengusaha persewaan hotel sudah melakukan penelitian mengenai usahanya. Hasil penelitian menyebutkan bahwa dia bisa menyewakan seluruh kamar hotel (100 kamar) apabila tarif sewa $40 per kamar per hari. Setiap ia menaikkan tarif sewa sebesar $1 per kamar per hari, maka kamar yang disewa berkurang 2 kamar. Ia juga telah menghitung besarnya perawatan kamar yang disewa adalah $2 per kamar per hari. Berapa tarif sewa kamar yang harus ia tetapkan supaya memperoleh keuntungan maksimal?

Jumlah total kamar = 100

Tarif (dalam $) Jml kmar yg tidak disewa

40 041 242 4x f(x) =?....... (f(x)=ax+b

0 = (a)(40) + b2 = (a)(41) + b-2 = -a a = 2 (2)(40) + b = 0 b = -80Jadi jumlah kamar yang tidak disewa, f(x) = 2x - 80

pendapatan

Banyaknya kamar yang disewa = 100 – (2x – 80) = 180 – 2x Pendapatan = tarif x jumlah kamar yang disewa

= (x)(180 – 2x)= 180x – 2x2

Pengeluaran = biaya perawatan x jml kamar yg disewa= (2)(180 – 2x)= 360 – 4x

Keuntungan, K(x) = Pendapatan – Pengeluaran= (180x – 2x2) – (360 – 4x)= - 2x2 + 184x - 360

Titik Kritis, K’(x) = 0 -4x + 184 = 0 - 4x = - 184 x = (-184)/(-4) = 46

Contoh soal (2)

Sebuah kawat sepanjang 300 meter akan dipotong-potong untuk membuat halaman bermain yang terdiri dari tiga daerah bermain seperti pada gambar 5.1. tentukan panjang x dan y sehingga luas daerah bermain maksimum.

x x x

y

6x + 4y = 300 ==> 4y = 300 - 6x

==> y = 75 - (3/2)xLuas=L(x) = 3xy = 3x(75 - 1,5x)

= 225x - 4,5x2

L'(x) = 225 - 9xL'(x)= 0 ==> 225 - 9x = 0 ==> x = 225/9 = 25diperoleh y = 75 - (3/2)(25)

= 75 - 75/2 = 75/2 = 37,5

Contoh soal (3)

Kota A dan kota B berada di sisi-sisi berlawanan dari suatu bukit yang memanjang seperti digambarkan pada gambar 5.2. Akan dibuat sebuah jalan dan sebuah terowongan yang akan menghubungkan keduanya. Biaya pembuatan jalan di lereng bukit diperkirakan 5 milyar/km dan biaya pembuatan terowongan 20 milyar/km. Tentukan biaya minimal untuk membuat jalur tersebut.

A

B

Bukit memanjang

5 km

0,5 km

B(x) = 25 – 5x + 20(x2 +0,25)1/2

Titik Kritis, B’(x) = 0 atau B’(x) tidak adaB’(x) = -5 + (20)(1/2)(x2 + 0,25) -1/2(2x)B’(x) = 0 -5 + (20x)(x2 + 0,25) -1/2 = 020x(x2 + 0,25) -1/2 = 54x = (x2 + 0,25)1/2

16x2 =x2 + 0,2515x2 = 0,25x2 = 0,25/15 = 0, 0166667x = 0,1291 Biaya minimum=25 – 5(0,1291) +20(0,0166667+0,25)-1/2

= hitung sendiri pakai kalkulator

Contoh soal (4)

Misalkan biaya produksi, C, bergantung dengan banyaknya barang yang diproduksi, x, dengan mengikuti fungsi

C = 0,001x3 – 10x +128Tentukan banyaknya barang yang harus

diproduksi sehingga rata-rata biaya produksi (AC = C/x) minimal

Contoh soal (5)

Misalkan biaya produksi, C bergantung dengan banyaknya barang produksi,x, mengikuti fungsi

C = 50 + 40 xBanyaknya barang produksi dipengaruhi oleh harga, p,

dengan rumusx = 80 – p

Tentukan berapa harga barang sehingga diperoleh keuntungan maksimum

Jawab:Keuntungan = Pendapatan – Pengeluaran

= p.x – C.x

Contoh soal (6)

Tentukan jarak yang terpendek antara titik (5, 2) dengan garis y=3x + 2

(5,2)