Integrcurvcor 2

Exercices - Intégrales curvilignes : corrigé

Formes différentielles

Exercice 1 - - Deuxième année - ?Remarquons d’abord que U est étoilé, par exemple par rapport au point (1, 0). On vérifie

ensuite que ω est fermée. En effet, si on pose

P (x, y) = − y

x2 + y2 et Q(x, y) = x

x2 + y2 ,

on vérifie aisément que :∂P

∂y= ∂Q

∂x= y2 − x2

(x2 + y2)2 .

Par le théorème de Poincaré, ω est exacte. Cherchons ses primitives sur U , i.e. les fonctions fde classe C1 sur U telles que :

∂f

∂x= − y

x2 + y2 ,∂f

∂y= x

x2 + y2 .

On commence par résoudre la deuxième équation, en intégrant par rapport à y. On trouve :

f(x, y) = arctan(y

x

)+H(x),

où H est une fonction C1 qui ne dépend que de x. On introduit cette expression de f dans ladeuxième égalité :

∂f

∂x= H ′(x)− y

x2 + y2 = − y

x2 + y2 .

On a donc H ′(x) = 0 sur U , ce qui entraîne que H est une constante. Les primitives de ω sontdonc de la forme :

f(x, y) = arctan(y

x

)+ C,

où C est une constante réelle.

Exercice 2 - - Deuxième année - ?

1. En posant P (x, y) = 2xy et Q(x, y) = −x2

y , on a :

∂P

∂y= ∂Q

∂x= −2x

y2 .

2. La forme différentielle est fermée, et l’ouvert U est étoilé. D’après le théorème de Poincaré,la forme différentielle est exacte. On peut aussi prouver qu’elle est exacte en calculant sesprimitives, i.e. en recherchant f telle que : ω = df . On doit alors résoudre :

∂f

∂x= 2x

yet ∂f

∂y= −x

2

y.

La première équation donne :

f(x, y) = x2

y+H(y),

http://www.bibmath.net 1


et on introduit dans la seconde pour obtenir :

∂f

∂y= −x

2

y2 +H ′(y) = −−x2

y2 .

On a donc H(y) = Cste, et on vérifie aisément que f(x, y) = x2/y est une primitive deω : ω est exacte.

3. Le calcul ne dépend pas du chemin choisi, mais uniquement des extrémités pour une formedifférentielle exacte. On trouve :∫

Cω = f(3, 8)− f(1, 2) = 9/8− 1/2 = 5/8.

Exercice 3 - Une forme différentielle exacte, une ! - Deuxième année - ?En posant P (x, y) = y3−6xy2 et Q(x, y) = 3xy2−6x2y, on vérifie aisément que les dérivées

croisées :∂P∂y = ∂Q

∂x= 3y2 − 12xy

sont égales. La forme différentielle est fermée, et comme elle est définie sur R2 qui est étoilée, elleest exacte. La recherche d’une primitive par résolution successive des deux dérivées partiellesne pose pas de problèmes ! On trouve qu’une primitive est f(x, y) = xy3 − 3x2y2. On utiliseenfin cette primitive pour calculer l’intégrale curviligne, et on trouve :∫

Cω = f(B)− f(A) = −236.

Exercice 4 - Forme différentielle exacte, et intégration le long d’une cardioïde -Deuxième année - ??

On pourrait remplacer x par r cos θ, etc..., puis utiliser un paramétrage par θ. Il est plussimple ici de constater que ω est une forme différentielle exacte et de calculer une primitive. Eneffet, si on note P (x, y) = X + y et Q(x, y) = x− y, on a l’égalité des dérivées croisées

∂P

∂y= ∂Q

∂x= 1.

La forme différentielle est fermée, et d’après le théorème de Poincaré, puisqu’elle est définie surl’ouvert étoilé R, elle y est exacte. On cherche une primitive f de ω sur R2. On doit résoudre :

∂f

∂x= x+ y

∂f

∂y= x− y.

La résolution de ce système se fait contrainte par contrainte. On a d’abord :

f(x, y) = x2

2 + xy +H(y).

On réintroduit dans la seconde équation, et on trouve :

f(x, y) = x2

2 + xy − y2

2 .



On a finalement : ∫Cω = f(0, 0)− f(2, 0) = −2.

Exercice 5 - Rendre une forme exacte - Deuxième année - ??

1. Pour que la forme différentielle soit exacte, il faut qu’elle soit fermée. On a donc :

ϕ′(x) = 2x(1 + x2)2 .

On en déduit queϕ(x) = −1

1 + x2 .

Avec cette condition, la forme différentielle est fermée, et comme elle est définie sur R2

qui est étoilé, elle est exacte.2. Il suffit de résoudre le système d’équations aux dérivées partielles :

∂f∂x = 2xy

(1+x2)2∂f∂y = −1

1+x2 .

On commence par exemple par intégrer la seconde équation :

f(x, y) = −y1 + x2 +H(x).

Si on reporte cette forme dans la première équation, on trouve H ′(x) = 0, et donc

f(x, y) = −y1 + x2

est une primitive de ω sur R2.3. La courbe C est fermée, et la forme différentielle est exacte, donc son intégrale curviligne

le long de cette courbe est nulle.

Exercice 6 - Forme non exacte que l’on rend exacte - Deuxième année - ??

1. Une forme différentielle exacte est fermée. Mais dans notre cas, notant P (x, y) = x2 +y2 − a2 et Q(x, y) = −2ay, on a :

∂P

∂y= 2y et ∂Q

∂x= 0.

Les dérivées croisées ne sont pas égales, et la forme différentielle n’est pas fermée, doncn’est pas exacte.

2. Il faut que la forme différentielle soit fermée. Notant P1(x, y) = f(x)P (x, y) et Q1(x, y) =f(x)Q(x, y), on doit avoir :

∂P1∂y

= f(x)2y = ∂Q1∂x

= f ′(x)Q(x, y) = −f ′(x)2ay.



La condition est suffisante, car alors on une forme différentielle fermée, définie sur unouvert étoilé R2, et qui est donc exacte. La condition vérifiée par f s’écrit donc :

2ayf ′(x) = −f(x)2y.

On en déduit que f ′(x) = f(x)−a . La fonction f(x) = e−x/a vérifie la condition.

3. Soit F (x, y) une primitive de α. Elle vérifie le système d’équations aux dérivées partielles :∂F∂x = e−x/a(x2 + y2 − a2)∂F∂y = −2aye−x/a.

La seconde équation donne par exemple :

F (x, y) = −ay2e−x/a +H(x).

On reporte cette formule dans la première expression :

e−x/ay2 +H ′(x) = e−x/a(x2 + y2 − a2).

On en déduitH ′(x) = x2e−x/a − a2e−x/a.

Il faut encore intégrer. La partie de droite se fait par intégrations par parties pour lapartie en x2e−x/a (et même double intégration par parties).

4. Aucun calcul à faire ! La forme différentielle est exacte, et on l’intègre sur une courbefermée. On trouve 0 !

Exercice 7 - Primitives en dimension 3 ! - Math Spé - ??On pose :

P = 3x2y + z3, . . . Q = 3y2z + x3, . . . R = 3xz2 + y3.

On vérifie que la forme différentielle est fermée, en calculant :

∂P

∂y− ∂Q

∂x,∂P

∂z− ∂R

∂xet ∂Q

∂z− ∂R

∂y,

et en montrant que ces quantités sont nulles. Comme R3 est un ouvert étoilé, le théorème dePoincaré garantit que ω est exacte. On cherche donc une fonction f telle que :

∂f

∂x= P,

∂f

∂y= Q,

∂f

∂z= R.

La première condition donne :∂f

∂x= 3x2y + z3,

ce qui donne :f(x, y, z) = x3y + xz3 + g(y, z),

où g est une fonction de classe C1 sur R2. On a ensuite :

∂f

∂y= 3y2z + x3 =⇒ x3 + ∂g

∂y= 3y2z + x3.



On en déduit que g(y, z) = y3z+h(z), où h est une fonction C1 sur R. On cherche de même h :

∂f

∂z= 3xz2 + y3 =⇒ 3xz2 + y3 + h′(z) = 3xz2 + y3.

h est constante, et on a prouvé que les primitives de ω sont de la forme :

f(x, y, z) = x3y + xz3 + y3z + c, c ∈ R.

Exercice 8 - Dans l’espace - Deuxième année - ??On peut bien sûr paramétrer et tout et tout... mais c’est un peu compliqué. Il est en fait

plus facile de constater que ω est exacte : pour cela, on peut en rechercher une primitive, et l’ontrouve f(x, y, z) = (xy + xz + yz) (on peut également utiliser un théorème de Poincaré dansl’espace, à l’aide du rotationnel). Maintenant, (C) est une courbe fermée, et donc l’intégralecurviligne de la forme différentielle ω le long de ce cercle est nulle.

Intégrales curvilignes

Exercice 9 - - Deuxième année - ??

1. Il faut commencer par paramétrer γ. Remarquons que l’équation de γ s’écrit encore :

x2 +(y − a

2

)2=(a

2

)2.

On reconnait le cercle de centre (0, a/2), et de rayon a/2. On le paramétrise en posantx = a cos(θ)/2 et y = a/2 + a sin(θ)/2. On a alors :∫

γy2dx+ x2dy =

∫ 2π

0

(a

2 + a

2 sin θ)2 (−a2 sin θ

)+ a2

4 cos2 θ

(a

2 cos θ)dθ

=∫ 2π

0

−a2 sin2 θ

4

= −a2

4

∫ 2π

0

1− cos 2θ2 dθ

= −a3π

4 .

2. Une autre équation de γ est :

(x− a)2

a2 + (y − b)2

b2= 2.

On reconnait l’équation d’une ellipse, qu’on paramétrise en posant :

x = a(1 +√

2 cos θ), y = b(1 +√

2 cos θ).



On a alors :∫γy2dx+ x2dy =

∫ 2π

0b2(1 +

√2 sin θ)2

(−a√

2 sin θ)

+ a2(1 +√

2 cos θ)2(b√

2 cos θ)dθ

=∫ 2π

0−4ab2 sin2 θ + 4a2b cos2 θdθ

=∫ 2π

0−4ab2 sin2 θ + 4a2b cos2 θdθ

= −4ab2π + 4a2bπ

= 4abπ(a− b).

Exercice 10 - Le long d’un carré - Deuxième année - ?Le carré n’est pas une courbe de classe C1, mais est obtenu en recollant des morceaux de

courbes de classe C1. On a donc :∫Cω =

∫C1ω +

∫C2ω +

∫C3ω +

∫C4ω,

où les Ci désignent les côtés successifs du carré. Calculons par exemple l’intégrale le long dusegment [AB]. On paramétrise ce segment en posant :

I = [−a, a], f(t) =(x(t) = −ty(t) = a

).

On a donc : ∫C1ω =

∫ a

−a

x(t)y′(t)− y(t)x′(t)x2(t) + y2(t) dt

=∫ a

−a

0 + a

a2 + t2dt

=[arctan

(t

a

)]a−a

= arctan(1)− arctan(−1)= π

2 .

Sur les autres Ci, on trouve la même chose. On a donc :∫Cω = 2π.

La forme différentielle n’est pas exacte sur R2\0, 0, sinon son intégrale curviligne le long d’unchemin fermé serait nulle.

Exercice 11 - - Deuxième année - ?

1. ∫Cω =

∫ t

−1

(x3 + (x+ x2)× 2x

)dx = 69

4 .



2. ∫Cω =

∫ 1

0x(sin x+ cosx)dx.

On intègre par parties :∫Cω = [x(− cosx+ sin x)]10 −

∫ 1

0(− cosx+ sin x)dx = 2 sin 1− 1.

Exercice 12 - Autour d’un carré (bis) - Deuxièmé année - ?On a : ∫

Cω =

∫AB

ω +∫BC

ω +∫CD

ω +∫DA

ω

=∫ −1

1

x− 1x+ 1dx+

∫ −1

1

−1 + y

1 + y2 dy

+∫ 1

−1

x+ 1x2 + 1dx+

∫ 1

−1

1 + y

1 + y2dy

= 4∫ 1

1

dx

1 + x2

= 2π.

Exercice 13 - Même origine, même extrémité, mais chemins différents - Deuxièmeannée - ?

– On paramètre le segment en posant y = x, 0 ≤ x ≤ 1. On a donc :∫C1ω =

∫ 1

0(x2 − x2)dx = 0.

– Un paramétrage de la parabole est déjà donné dans l’énoncé. On a :∫C2ω =

∫ 1

02y5 − y3dy = 1

12 .

Les deux contours précédents ont même origine et même extrémité. La forme différentielle ω nepeut donc pas être exacte, sinon son intégrale curviligne ne dépendrait pas du chemin choisi.On peut également vérifier que ω n’est pas exacte en vérifiant qu’elle n’est pas fermée. En effet,en posant P (x, y) = x2 et Q(x, y) = −xy, on a :

∂P

∂y= 0 et ∂Q

∂x= −y.

Les dérivées partielles croisées ne sont pas égales.

Exercice 14 - Autour d’une hélice - Math Spé - ?On applique simplement la définition :

I =∫ 2π

0(y(t)− z(t))x′(t) + (z(t)− x(t))y′(t) + (x(t)− y(t))z′(t)dt

=∫ 2π

0

(−R2 + hRt(cos t+ sin t) + hR(cos t− sin t)

)dt

= −2πR(h+R).



Exercice 15 - Un contour un peu plus délicat - Deuxième année - ??Les deux domaines sont des disques, que l’on paramétrise en utilisant les coordonnées po-

laires par rapport au centre. Les points d’intersection des cercles étant (0, 0) et (1, 1), le contourest la réunion de :

C1 :x = cos ty = 1 + sin t , t allant de −π2 à 0,

C1 :x = 1 + cosuy = sin u , u allant de −π2 à π.

On intègre ensuite :∫Cω =

∫C1ω +

∫C2ω

=∫ 0

−π/2

(−(1 + sin t) sin t+ 2 cos2 t

)dt+

∫ π

π/2

(− sin2 u+ 2(1 + cosu) cosu

)du

= π

2 − 1.

Exercice 16 - Le long d’une cardioïde - Deuxième année - ??On pose P (x, y) = x+ y et Q(x, y) = x− y. Il est clair que :

∂P

∂y= ∂Q

∂x= 1.

La forme différentielle est fermée, et comme elle est définie sur R2 qui est -évidemment- étoilé,elle est exacte. On calcule une primitive f de ω sur R2.

∂f

∂x= x+ y =⇒ f(x, y) = x2

2 + xy +H(y).

∂f

∂y= x+H ′(y) = x− y =⇒ f(x, y) = x2

2 + xy − y2

2(on a choisi la constante égale à 0). Comme ω est exacte sur R2, on a :∫

Cω = f((0, 0))− f((2, 0)) = −2.

Exercice 17 - Autour d’un cercle de l’espace - Deuxième année - ???Toute la difficulté consiste à paramétrer le cercle. On introduit z = 1 − x dans la seconde

équation. On obtient, après simplifications d’usages :

4(x− 1

2

)2+ 2y2 = 1.

Le cercle se paramétrise alors en : x = 1

2 + 12 cos θ

y = 1√2 sin θ

z = 12 −

12 cos θ,



avec θ ∈ [0, 2π]. On obtient :

I =∫ 2π

0

(12 −

12 cos θ

)(−1

2 sin θ)

+(1

2 + 12 cos θ

)( 1√2

cos θ)

+ 1√2

sin θ12 sin θdθ

=∫ 2π

0

12√

2(cos2 θ + sin2 θ)dθ = π

√2

2 .

Circulation d’un champ de vecteurs

Exercice 18 - - Deuxième année - ?On paramètre le cercle par x(t) = R cos t et y(t) = R sin t, où t décrit l’intervalle [−π, π].

On a :V (x(t), y(t)) = (− sin(t)/R; cos(t)/R),

tandis que(x′(t), y′(t)) = (−R sin t;R cos t).

On a donc : ∫C

~V .−−→dM =

∫ π

−πsin2 t+ cos2 dt

= 2π.

Le champ de vecteurs ne peut pas dériver d’un potentiel, car quand on intègre un tel champ devecteurs le long d’une courbe fermée, on trouve nécessairement zéro.

Exercice 19 - Dans l’espace ! - Deuxième année - ?

1. Par définition, ∫Γ1

~F .dM =∫ 1

0(t2 − t)× 2t− 3t2 × 2t× 2 + t4 × (−1)dt

=∫ 1

0−t4 − 10t3 − 2t2dt

= −[t5

5 −52 t

2 − 23 t

3]1

0

= −10160 .

2. Le segment de droite [O,P] se paramétrise en :

(t, 2t,−t).

On a donc : ∫[OP ]

~F .dM =∫ 1

0(t− t)− 12t2 − t2dt

=∫ 1

0−13t2dt

= −133 .



On trouve donc des résultats différents. Ceci signifie que le champ de vecteurs ne dérive pasd’un potentiel scalaire !

Exercice 20 - Quelques calcul - Deuxième année - ?

1. On a : ∫(C)

~F . ~dM =∫ π

0(ab cos2 t+ ab sin2 t) = πab.

On pouvait aussi interpréter ceci en termes d’aire, car la formule donne le double de l’airede la demi-ellipse (formule de calcul d’aire issue de la formule de Green-Riemann).

2. On peut faire un calcul direct, ou bien remarquer que la forme différentielle associée estfermée sur R2 (égalité des dérivées partielles croisées). Comme R2 est étoilé, la formedifférentielle est exacte, ou, autrement dit, le champ de vecteur dérive d’un potentielscalaire. Comme on cherche sa circulation le long d’un chemin fermé, on trouve 0.

3. Là-encore, un calcul direct est possible, mais c’est plus facile si on remarque que le champde vecteurs dérive du potentiel scalaire f(x, y, z) = x2y2z2− z2. A nouveau, la courbe estfermée, et la circulation du champ de vecteurs est nulle.

Formule de Green-Riemann

Exercice 21 - - Deuxième année - ?Le domaine correspondant a pour paramétrage :

Ω =

(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤√x.

On pose P (x, y) = 2xy − x2 et Q(x, y) = x+ y2. On a :

I =∫ ∫

Ω

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy

=∫ 1

0

∫ √xx2

(1− 2x)dydx

=∫ 1

0(1− 2x)(

√x− x2)dx

=∫ 1

0

√x− 2x

√x− x2 + 2x3dx

= 130 .

Exercice 22 - - Deuxième année - ??On va utiliser la formule de Green-Riemann. Pour cela, on commence par chercher P et Q

tels que :∂Q

∂x= 2x3 et ∂P

∂y= y2

2 .



On prend par exemple Q(x, y) = x4/2 et P (x, y) = y2/2. Le domaine considéré est l’intérieurd’une ellipse, que l’on paramétrise en posant :

x = a cos θ et y = b sin θ.

On a donc :

I =∫∂D

Pdx+Qdy

=∫ π/2

0

b2 sin2 θ

2 × (−a sin θ) + b4 cos4 θ

2 × (b cos θ)dθ.

On finit de calculer cette intégrale en linéarisant :

I = 415a

4b− ab2

3 .

Exercice 23 - Comparaison de deux méthodes de calcul - Deuxième année - ??

1. Le bord de K peut être partagé en 3 parties :

C1 = (t, 0); t va de 0 à 1 .

C1 = (cos t, sin t); t va de 0 à π/2 .C3 = (0, t); t va de 1 à 0 .

Il est facile de vérifier que l’intégrale de ω le long de C1 ou de C3 est nulle, puisque ou xou y est nul et que ω fait toujours intervenir un produit xy. On a donc :

I =∫γω =

∫ π/2

0cos t(sin t)2(− sin t) + 2(cos t)2 sin tdt.

On utilise les nombres complexes pour linéariser les expressions en sinus et cosinus :

−(sin t)3 cos t = −(eit − e−it

2i

)3(eit + e−it

2

)

= 116i

(e4it − e−4it + 2(e2it − e−2it)

)= sin 4t

8 + sin 2t4 .

On a de même :cos2 t sin t = sin 3t

4 + sin t4 .

D’où :

I =∫ π/2

0

(sin 4t8 + sin 3t

2 + sin 2t4 + sin t

2

)dt

=[−1

6 cos(3t) + 18 cos(2t)− cos t

2

]π/20

= 512 .



2. On a : P (x, y) = xy2 et Q(x, y) = 2xy. D’après la formule de Green-Riemann :∫γω =

∫ ∫K

(2y − 2xy)dxdy.

On calcule cette dernière intégrale en passant en coordonnées polaires : x = r cos θ ety = r sin θ. On a (x, y) ∈ K ⇐⇒ 0 ≤ r ≤ 1 et 0 ≤ θ ≤ π/2. D’où :

I =∫ 1

0

∫ π/2

0(2r sin θ − 2r2 sin θ cos θ)rdθdr

=∫ 1

0

∫ π/2

0(2r2 sin θ − r3 sin 2θ)dθdr

=∫ 1

0(2r2 − r3)dr

= 512 .

On trouve (bien sûr !) le même résultat, mais le calcul par la formule de Green-Riemannest plus facile !

Exercice 24 - Aire de l’astroïde - Deuxième année - ??D’après la formule de Green Riemann, si γ est le bord orienté du domaine, on a :

A = 12

∫γxdy − ydx.

On calcule ensuite l’intégrale d’une forme différentielle de la façon habituelle :

A = 12

∫ π/2

0a cos3 t

(3a cos t sin2 t

)− a sin3 t

(−3a sin t cos2 t

)dt

= 3a2

2

∫ π/2

0cos4 t sin2 t+ sin4 t cos2 tdt.

On linéarise les fonctions trigonométriques à l’aide des nombres complexes :

cos4 t sin2 t =(eit + e−it

2

)4(eit − e−it

2i

)2

= −126

(ei4t + 4ei2t + 6 + 4e−i2t + e−i4t

) (e2it − 2 + e−2it

)= −1

26

(ei6t + 2ei4t + ei2t − 4 + ei2t + 2ei4t + ei6t

)= −1

25 (cos(6t) + 2 cos(4t) + cos(2t)− 2) .

On en déduit : ∫ π/2

0cos4 t sin2 t = −1

25

∫ 2π

0cos 6t+ 2 cos 4t+ cos 2t− 2dt

= π

32 .



Un calcul similaire (ou le changement de variables u = π/2− t) prouve que∫ π/2

0sin4 t cos2 tdt = π

32 .

L’aire recherchée est donc3a2π

32 unités d’aire.

Exercice 25 - Aire d’une arche de cycloïde - Deuxième année - ??Soit γ le bord du compact. Alors, par la formule de Green-Riemann, on sait que, au signe

près :A =

∫γxdy = −

∫γydx = 1

2

∫γ(xdy − ydx).

Choisissons par exemple la première forme. L’intégrale sur l’axe (Ox) de xdy est nulle, il suffitde choisir le paramétrage x(t) = 0 et y(t) = t. Il reste :

A =∫ 2π

0a(1− cos t)× a(1− cos t)dt

= a2∫ 2π

01− 2 cos t+ cos2 tdt

= a2∫ 2π

0

32 − 2 cos t+ cos 2t

2 dt

= 3πa2 unités d’aire.

Exercice 26 - Aire comprise entre un disque et une hyperbole - Deuxième année -???

On recommande de faire un dessin pour suivre la preuve. On va appliquer la formule deGreen-Riemann. Remarquons que l’intersection de x2 + y2 ≤ 4, xy ≥ 1, x > 0 est donnée pardeux points :

x2 + 1x2 = 4 ⇐⇒ x4 − 4x2 + 1 = 0

⇐⇒ x2 = 4−√

122 ou x2 = 4 +

√12

2 ,

ce qui donne, puisque x > 0,

x0 =√

2−√

3 ou x1 =√

2 +√

3.

Les ordonnées correspondantes sont :

y0 =√

2 +√

3 ou y1 =√

2−√

3.

Le bord orienté de D se constitue donc de deux parties : C1 correspond à la partie sur le cerclecomprise entre (x1, y1) et (x0, y0), C2 correspond à la partie sur l’hyperbole comprise entre(x0, y0) et (x1, y1). On a alors :

aire(D) =∫C1xdy +

∫C2xdy.



On calcule d’abord la deuxième intégrale, en utilisant le paramétrage :

C2 =

(t, 1/t); t va de√

2−√

3 à√

2 +√

3.

On a donc : ∫C2xdy =

∫ √2+√

3√

2−√

3t× −1

t2dt

= [− ln t]√

2+√

3√2−√

3

= −12 ln

√

2 +√

3√2−√

3

= −ln(

√2 +√

3).

On va paramétrer C1 à l’aide de coordonnées polaires :

x(θ) = 2 cos(θ) y(θ) = 2 sin(θ),

où θ va de θ1 à θ0, θi désignant l’angle polaire associé à (xi, yi). On a donc :∫C1xdy =

∫ θ0

θ12 cos θ(+2 cos θ)dθ

= −2∫ θ1

θ0(cos(2θ) + 1)dθ

= − sin(2θ1) + sin(2θ0)− 2(θ1 − θ0).

Il reste à évaluer ces quantités. Mais :

sin(2θ1) = 2 sin(θ1) cos(θ1) = fracx1y12 = 12 .

On prouve de même que :sin(2θ0) = 1

2 .

D’autre part,

sin(θ1 − θ0) = sin(θ1) cos(θ0)− sin(θ0) cos(θ1)

= 14(2−

√3− 2−

√3)

= −√

32 .

Puisque en outre θ0 − θ1 ∈ [0, π/2], on obtient que :

θ0 − θ1 = π

3 .

Finalement, en regroupant tous nos résultats, on a prouvé que :

aire(D) = 2π3 − ln(2 +

√3),

le résultat étant bien sûr exprimé en unités d’aires.



Longueur d’un arc de courbe

Exercice 27 - Longueur d’un arche de cycloïde - Deuxième année - ?En notant f(t) = (a(t− sin t), a(1− cos t)), on a :

‖f ′(t)‖ =√

4a2 sin2(t/2) = 2a sin(t/2).

L’arc a donc pour longueur :

L =∫ 2π

02a sin(t/2) = 8a.

Exercice 28 - Longueur d’une spire d’hélice - Deuxième année - ?Un calcul rapide montre que :√

x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2 =√a2 + h2.

La longueur de la courbe vaut donc :∫ 2π

0

√a2 + h2dt = 2π

√a2 + h2.

Exercice 29 - Longueur de la cardioïde - Deuxième année - ?On a x(θ) = ρ cos θ = a(1 + cos θ) cos θ et y(θ) = ρ sin θ = a(1 + cos θ) sin θ. On en déduit :√

x(θ)2 + y(θ)2 = a√

2 + 2 cos θ = 2a cos(θ/2).

On en déduit :L =

∫ 2π

02a cos(θ/2) = 8a.

On pouvait aussi, à condition de connaitre la formule, utiliser directement l’expression de l’abs-cisse curviligne en coordonnées polaires :

(ds)2 = (dρ)2 + ρ2(dθ)2.


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