Embed Size (px)
Citation preview
SEGUNDO BLOQUE
POR: JORGE CANO
¿QUÉ SON LAS COLUMNAS DE REFERENCIA?
P Q
1 1
0 1
1 0
0 0
Donde Verdadero = 1 yFalso = 0
POSIBLES COMBINACIONES DE VALORES DE VERDAD
2n , donde «n» es el numero de letras proposicionales en relación. La base, el numero de valores en la lógica bivalente son dos.
P 21 = 2P Q 22 = 4P Q R 23 = 8P Q R S 24 = 16P Q R S P’ 25 = 32
P Q
1 1
0 1
1 0
0 0
Si una formula tuviera cuatro letras proposicionales
en la ultima columna. ¿Como se alternarían los
valores en la ultima columna?
P Q R S
1 1 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
0 0 1 1
1 1 0 1
0 1 0 1
1 0 0 1
0 0 0 1
1 1 1 0
0 1 1 0
1 0 1 0
0 0 1 0
1 1 0 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
METODO EN CRUZNos permite conocer los valores de verdad de una forma macromolecular cualquiera.
P (P V Q)P Q
1 010
1100
1110
1111
Esta formula se constituye en una TAUTOLOGIA, ya que el conector de alcance máximo, que define el valor total de la formula, da una columna de solo unos.
P Q
1
0
1
0
1
1
0
0
[(- P w Q) - Q] P
Ejercicios
P Q (P Q) (P Q)
Formulas macromoleculares
Tautología Indeterminada Contradicción
C M
1
1
1
1
C M
1
1
1
0
C M
0
0
0
0
La tautología y la contradicción carecen de sentido
«Pertenecen al simbolismo, del mismo modo que cero es parte del simbolismo de la aritmética» Las condiciones de verdad determinan el campo que la proposición deja libre a los hechos.
La tautología deja a la realidad todo el espacio lógico –infinito-; la contradicción llena todo el espacio lógico y no deja ala realidad ni un punto. Ninguna de las dos pueden ,pues, determinar de ningún modo la realidad.
Ludwig Wittgenstein
Ejercicio
P Q - (P - P)
Determinar si es: tautología, indeterminada o contradiccion.
Se puede determinar el valor de una formula, conociendo el valor de uno de sus argumentos. Por ejemplo:
P v 1 = 1 cualquiera sea el valor de P, porque basta que al menos un disyunto sea verdadero, para que sea verdadera la disyunción inclusiva.
P 0 = 0 cualquiera que sea el valor de P, por que se necesita que los dos conjuntos sean verdaderos.
0 P = - P es decir, la complicación vale lo contrario que lo que valga P, por que si P vale 0 entonces: 0 0 = 1 y si entonces 0 1 = 0
1 P = P porque si P vale 1, entonces 1 1 = 1, y si vale 0, entonces 1 0 = 0
Si el conector vale uno 1Si el conector vale cero 0Si vale lo que valga P P
Si vale lo contrario que valga P - P
EjerciciosConjunción P 1
1 P
P 0
0 P
IncompatibilidadP 1
1 P P 0
0 P
Disy. InclusivaP v 1
1 v 1
P v 0
0 v P
negación conjuntaP ↓ 1
1 ↓ P
P ↓ 0
0 ↓ P
INFERENCIAS TAUTOLOGICAS
Leye
s o re
glas
lógi
cas
INFERENCIAS
EQUIVALENCIAS
Se puede comparar a la lógica con un juego. En la mayoría de los juegos, las reglas son convencionales. Las reglas lógicas, por el contrario, representan leyes naturales por las que se rige el pensamiento
¿Que son las Inferencias?Una inferencia es un proceso lógico en la que de una o varias premisas, se saca una o varias conclusiones.
En un problema lógico, las premisas representan datos conocidos, de los que se infiere una nueva verdad lógica.
« Si llueve, entonces hace frioY llueve
luego hace frio»
Existes las siguientes inferencias tautológicas:
• Autoimplicación• Doble negación• Adjunción • Simplificación• Adición• Ponendo ponens• Tollendo tollens • Tollendo ponens• Ponendo tollens• Transitividad• Dilemas
AUTOIMPLICACION
«Cualquier proposición se implica a si misma»
Por ejemplo: «Están en la B», como premisa podemos sacar la misma proposición como conclusión en la forma: «Si están en la B, están en la B»
AA
A → A
En donde A, es la
proposición
DOBLE NEGACIÓN
«La doble negación ,se constituye en una afirmación»
Podemos ilustrar la ley con el siguiente ejemplo: «No es el caso que en Colombia no llueva». En conclusión, esto quiere decir «en Colombia llueve, Por lo tanto, LA DOBLE NEGACION EQUIVALE A UNA SIMPLE AFIRMACION
- - AA
- - A → A
.
ADJUNCIÓN
«Si dos proposiciones son verdaderas por separado también lo serán unidas
o conjuntamente»
Representaremos con A la proposición «Colombia participara en el mundial de futbol» y con B «Brasil participara en el mundial de futbol» ; esta claro de que si son verdaderas por separado, también lo serán unidas o conjuntamente.
AB
A B∙
A, B → (A B)∙
SIMPLIFICACIÓN
Es lo contrario a la adjunción; esta es: si es verdad que «Colombia y Chile son países dependientes mundial» podemos concluir que A y B son dependientes.
Las conclusiones en la simplificación serán:
A B∙AB
(A B) → A∙ (A B) → B∙
ADICIÓN
Representemos por A «Panamá esta al norte de Colombia y por B «Ecuador esta al norte de Colombia». De unirlas mediante el conjuntor resultaría una proposición falsa: pero si las conectamos mediante el disyuntor inclusivo dado que una es verdadera la proposición será verdadera.
La representación esquemáticamente seria:
AA v B
A → (A v B)
A continuación . . .Nos vamos a referir a los cuatro modos, que en la lógica moderna conservan la misma terminología que en la tradicional.
Ponendo ponens (poniendo pone) Tollendo tollens (quitando quita) Tollendo Ponens (quitando pone) Ponendo Tollens (poniendo quita)
Modos
PONENDO PONENS
Utilicemos el siguiente ejemplo: «Si llueve, entonces hace frio» es verdadera, y si además, el antecedente llueve es verdadero, entonces se puede sacar la verdad de consiguiente, es decir: hace frio.
A → B A B
[(A → B) A] → B∙
Simbolizando la proposición
«llueve» por A y «hace frio» por B
EjerciciosEn los siguientes esquemas en los que se afirma la verdad no solo de la condicional sino también del antecedente de la misma; saque en cada caso las condiciones pertinentes por «ponendo ponens»
- A → B A → - B -A A
TOLLENDO TOLLENS
«Si se niega la verdad del consiguiente, por consiguiente se negara la del antecedente»
Veamos el siguiente ejemplo:
Si llueve, entonces hace frio,Y no hace frio: entonces no llueve.
A → B -B -A
[(A → B) - B] → - A ∙
Ejercicios
Los siguientes esquemas son de «tollendo tollens», saque las conclusiones correctas:
A → - B - - B
-A → B -B
ATENCION
Los dos modos estudiados, el ponendo ponens y el tollendo tollens, se llaman también silogismos hipotéticos, porque una de las premisas es una proposición hipotética o condicional.
TOLLENDO PONENS
«Si no se cumple una de las condiciones, se cumple la otra»
Dianeth sabe alemán y/o ruso, Y no sabe alemán: luego sabe ruso.
La partícula «y/o», que expresa una disyunción inclusiva, significa que que al menos sabe una de las dos lenguas; por lo tanto es logico que al menos sabe una de las dos lenguas.
A v B - A B
[(A v B) - A] → B ∙
PONENDO TOLLENS
«Si una proposición es verdadera, entonces la otra es falsa»
Una de dos, esta soltero o casado, y esta soltero: luego no está casado.
Al tratarse de una disyunción exclusiva, no pueden ser ambas. Por tanto, conocida la verdad de una, se puede determinar la otra.
El esquema seria el siguiente:A w B
A - BEn forma lineal queda:
[(A w B) A] → - B∙
TRANSITIVIDA
D Si hay escases, los precios suben,Si los precios suben hay inflación:luego si hay escases hay inflación.
Simbolizando las proposiciones A, B, C respectivamente:
A → BB → CA → C
En forma lineal queda:
[(A → B) (B → C)] → (A →C)∙
DILEMAS
SIMPLE
CONSTRUCTIVO
DESTRUCTIVO
COMPLEJOCONSTRUCTIVO
DESTRUCTIVO
SIMPLE CONSTRUCTIVO
«Si los libros dicen lo mismo que el Corán, hay que
quemarlos (están de mas)
Si dicen algo distinto, también hay que quemarlos
(porque contradicen al Corán)»
Omar, justificación de la quema de la Biblioteca de Alejandría
Todas las hipótesis, nos conducen a que hay que quemarlos. Simbolizando las premisas, sacaremos el siguiente esquema:
M → QD → QM v Q
{[(M → Q) (D → Q)] (M v D)} → Q∙ ∙
SIMPLE DESTRUCTIVO
«Si ganamos, entonces vamos a comer, Si ganamos, entonces vamos a cine»
En ambos casos, se presenta el mismo antecedente, pero la consiguiente varia. Entonces si negamos ambos consiguientes, entonces también se niega el antecedente.
M→ Q M→ R
- Q v – R - M
Determinar la expresión lineal:
Donde M, es « Si ganamos», Q
«vamos a comer» y R es «vamos a cine»
COMPLEJO CONSTRUCTIVO
«Si Dayro estudia, entonces gana sus exámenes,Si Dayro trabaja, entonces gana dinero.
Si Dayro estudia y trabaja, entonces gana sus exámenes y gana dinero»
En este caso, las proposiciones presentan antecedentes y consiguientes diferentes. Si mediante un disyuntor inclusivo se unen sus antecedentes, esto implicara respectivamente a sus conclusiones.
D → KL → ND v LK v N
Determinar la expresión lineal:
Donde D es «Si Dayro estudia», L es «Si Dayro
trabaja, K significa «gana sus exámenes» y N es
«gana dinero
COMPLEJO DESTRUCTIVO
«Si Dayro estudia, entonces gana sus exámenes,Si Dayro trabaja, entonces gana dinero.
Si Dayro no gana sus exámenes y no gana dinero, entonces no estudia y no trabaja»
Resulta ser lo contrario que el complejo constructivo. Aquí pasa que si se niegan los consiguientes, entonces por regla se negaran los antecedentes.
D → KL → N
-K v - N- D v - L
Determine entonces, la expresión lineal:
Donde D es «Si Dayro estudia», L es «Si Dayro
trabaja, K significa «gana sus exámenes» y N es
«gana dinero
NOMBRES ABREVIATURAS ESQUEMAS
Autoimplicación AUT AA
Doble negación DN - - AA
Adjunción ADJ A, BA B∙
Simplificación SIMP A B A B∙ ∙ A B
Adición ADC AA v B
Ponendo ponens PP A → B A
B
Tollendo tollens TT A → B - B - A
NOMBRES ABREVIATURAS ESQUEMAS
Tollendo ponens TP A v B A v B - A - B
B A
Ponendo tollens PT A w B A w B A B - B - A
Transitividad TRANS A → BB → CA → C
Dilema simple:constructivo
DSC A → CB → CA v B
C
Dilema simple:destructivo
DSD C → AC → B-A v -B
- C
Dilema compuesto: constructivo
DCC A → CB → DA v BC v D
Dilema compuesto:destructivo
DCD A → C B → D
-C v – D- A v - B
SACANDO CONCLUSIONES A PARTIR DE PREMISAS DADAS
Utilizando las reglas, ya tratadas en el Ítem anterior, vamos a resolver algunos problemas lógicos, sacando conclusiones a partir de premisas dadas:
Utilizaremos el siguiente problema:A → BA C∙
Primer pasoColocaremos las premisas una debajo de la otra, enumerándolas, y y trace la raya que va a separar las premisas de las conclusiones.
A → BA C∙
1)2)
Segundo pasoEmpezaremos a sacar conclusiones: por ejemplo aplicando la regla de la simplificación en la segunda premisa, se podrían sacar las siguientes conclusiones:
1) A → B 2) A C∙
Tercer pasoRelacionando por ultimo, 1) y 3) se forma el esquema del modo Ponendo ponens, podemos sacar la conclusión requerida:
1) A → B 2) A C∙ 3) A 4) C
3) A
4) C
5) B
En efecto, lo que se quería demostrar era B
EJERCICIOS
Veamos el siguiente problema que consiste en demostrar -A v B, a partir de las premisas 1) y 2):
1) C K∙ 2) C → - A
Demostrar : -A - F∙
2) - A2) B v A
3) F → - B
Demostrar: - P v Q Demostrar: T
1) - R v S 1) K v L2) - R v - P 2) (M v H) → (A v D)3) N → - S 3) L → H4) W N 4) K → M∙ 5) A → T 6) D → - (M v H)
MAS EJERCICIOS
EJERCICIOS PARA REPASAR
(A B) → A∙ [(A v B) - B] → A∙
[(A → B) - B] → - A∙ [(A w B) A] → - B∙
Equivalencias tautológicas «Si conmutamos 2 + 3, obtenemos la formula equivalente 3 + 2»
Análogamente, en el lenguaje común, las proposiciones «Cali es una ciudad colombiana y Popayán es una ciudad colombiana», «Popayán es una ciudad colombiana y Cali es una ciudad colombiana» son equivalentes.
Obtenemos las siguientes formulas:C P∙
que de forma conmutada seria:P A∙
«Cali es una ciudad
colombiana» por C y «Popayán es
una ciudad colombiana por P
El signo de equivalencia en lógica es el bicondicionador ↔, con el cual se podrían relacionar las dos formulas anteriores, quedando representada la equivalencia en la forma.
(C P) ↔ (P C)∙ ∙
Consiguientemente, si unimos dos formulas equivalentes mediante el bicondicionador y verificamos su valor de verdad, el resultado será forzosamente tautológico.
Por ejemplo: verifiquemos la formula, completando los valores del C.M.A
C P (C P) ↔ (P C)∙ ∙
Se trata pues de una equivalencia:
Existen pues numerables equivalencias tautológicas, nosotros estudiaremos pues, alas mas utilizadas en los procesos lógicos y también en matemáticas, en cuanto estas se rigen por reglas lógicas.
Leye
s o re
glas
lógi
cas
INFERENCIAS
EQUIVALENCIAS
• Conmutación.• Trasposición• Asociación• Distribución• Disyunción exclusiva • Bicondicional • Condicional • Distribución• Disyunción exclusiva• Bicondicional • Condicional • Leyes de Morgan • Corolario• Idempotencia• Flecha y barra
CONMUTACION
«El orden de argumentos, no altera el resultado, excepto en la implicación»
La formula: (A → B) ↔ (B→ A) , seria claramente una conmutación incorrecta, por que se trataría de una implicación.
El mayor uso de la conmutación tiene lugar en el caso de la conjunción y de la disyunción inclusiva; realicemos pues las siguientes conmutaciones.
(A B) ↔∙(A v B) ↔
TRASPOSICION
«Si llueve, hace frio» y «Si no hace frio, es que no llueve»
Estas proposiciones son equivalentes por trasposición.
(A → B) ↔
Si representamos «llueve» por A y «hace frio» por
B
(-B → -A)
Como se puede observar, la transposición es una especie de conmutación, con ayuda del negador. La implicación es el único caso que admite la transposición.
ASOCIASION
Representemos por A, B, C series de proposiciones unidas por el conjuntor y el disyuntor inclusivo:
«Barranquilla, Cali y Bogotá son ciudades millonarias»
«Podemos ir a casa o al cine o a una discoteca»
Haciendo uso del paréntesis, los argumentos en las formulas anteriores podrían quedar asociados de las siguientes formas:
(A B) C (A v B) v C∙ ∙
A (B C) A v (B v C)∙ ∙
A B C∙ ∙
A v B v C
En estas formulas, las distinta colocación de los signos de agrupación, no hace variar el valor de verdad de las mismas.
PASEN DOS ALUMNOS AL
TABLERO
Concluyendo, complete las formulas equivalentes por asociación:
[(A B) C] ↔∙ ∙
[(A v B) v C]↔
[A (B C)]∙ ∙
[A v (B v C)]
Esto, nos quiere decir, que en realidad, los signos de agrupación en estos casos son innecesarios y por lo mismo, podrían suprimirse. Además de los casos especificados, se pueden asociar otras series, menos en el caso de la implicación.
DISTRIBUCION
Observemos la siguiente formula: A (B v C). Donde el conjuntor une evidentemente ∙A con B y C.
Por tanto, la letra A en la formula anterior se puede distribuir conjuntivamente con B y C, por ser factores comunes. Resultando las siguientes formulas equivalentes:
[A (B v C)] → (A . B) v (A C)∙ ∙
Análogamente, realice las siguientes distribuciones:
[A v (B C)] ↔ ∙
[A→(B C)] ↔∙
[A →(B v C)]↔
[(A v B) (A v C)]∙
[(A → B) (A → C)]∙
[(A → B) v (A →C)]
DISYUNCION EXCLUSIVA
Si confronta las tablas de verdad del disyuntor exclusivo y del bicondicionador observara que sus valores son contrarios.
Disyunción exclusiva BicondicionadorP Q P w Q
1 1 0
0 1 1
1 0 1
0 0 0
P Q P ↔ Q 1 1 1
0 1 0
1 0 0
0 0 1
Por otra parte si se niega el bicondicionador, resultaran debajo del negador los valores: - (A ↔ B)
1001
0110
(A w B) ↔ -( A ↔ B)
BICONDICIONAL
«A ↔ B», donde «A» implica a «B», y a su vez, B implica a «A». Ambas letras son por tanto, implicantes e implicadas.
De la situación anterior, podemos deducir la siguiente equivalencia:
(A ↔ B) ↔ [(A → B) (B → A)]∙
↔ → →
CONDICIONALEn términos de conjunción
«No es el caso que sea dependiente y no subdesarrollado»
Lo cual equivale a la condicional: si es dependiente, entonces es subdesarrollado.
«A» = es dependiente«B» = es subdesarrollado
(A → B) ↔ -(A -B)∙
En términos de disyunción inclusiva
La condicional equivale a una disyuntiva, en la que se niega el primer disyunto, como podemos demostrar verificando la siguiente operación:
A B (A → B) ↔ (- A v B)
LEYES DE MORGAN
August de Morgan
Una conjunción negada - (A B)∙equivale a una disyunción de negaciones (- A v – B)Y viceversa.
Una disyunción negada -(A v B)equivale a una conjunción de negaciones (- A - B)∙
PARA CERCIORARNOS. . .A B -(A B) ↔ (-A v – B)∙ A B -(A v B) ↔ (-A – B)∙
Como consecuencia o COROLARIO de las leyes de Morgan, podríamos establecer las dos equivalencias que siguen:
(A B) ↔ - (A v –B)∙(A v B) ↔ -(-A -B)∙
1010
1100
1000
0111
1111
0101
0111
0011
1010
1100
0001
1110
1111
0101
0001
0011
LEYES DE IDEMPOTENCIAEs lógico, que «llueve y llueve», equivale a «llueve». Por tanto (P P) tiene la ∙misma potencia que P, y (P v P) tiene la misma potencia que P. POR TANTO:
(P P) ↔ P∙(P v P) ↔ P
LEYES DE FLECHA Y BARRAEn términos de conjunción
La expresión «ni hace ni deja hacer», equivale a la conjunción «no hace y no deja hacer» y que por consiguiente:
Se trata de negaciones conjuntas.
De modo análogo, decir que dos proposiciones son incompatibles, equivale a afirmar que no pueden ser ambas a la vez verdaderas. Por consiguiente:
Se trata, pues de una anticonjunción.
P ↓Q ↔ - P -Q∙
P │ Q ↔ - (P Q)∙
NOMBRES ABREVIATURAS ESQUEMAS
Conmutación CONM A B A v B∙B A B v A ∙
Trasposición TRASP A → B- B → -A
Asociación ASOC (A B) C (A v B) v C ∙ ∙A (B C) A v (B v C)∙ ∙
Distribución DISTR A (B v C) A v (B C)∙ ∙(A B) v (A C) (A v B) (A v ∙ ∙ ∙C)
Disyunción DISY A w B-(A↔B)
Bicondicional BIC A ↔ B(A →B) (B → A) ∙
Condicional COND A → B A→B -(A -B) –A v B∙
NOMBRES ABREVIATURAS ESQUEMAS
Morgan MORG -(A B) -(A v B)∙ -A v –B –A -B ∙
Corolarios COR A B A v B∙-(-A v –B) -(-A -B)∙
Idempotencia IDP A A A v A∙ A A
Flecha FL A ↓ B-A -B∙
Barra BAR A │ B-(A B) ∙
EJERCICIOS FINALESEn la solución de los problemas que siguen, debe servirse de las equivalencias, además de las inferencias, utilizando las mismas técnicas del capitulo anterior.
Ejemplo:
Demostrar: - K → -H
1) C v (H →I)2) -C -I∙
3) –C SIMP en 2)4) –I SIMP en 1)5) H → I TP en 1)3)6) –H TT en 5)4)7) –H v K ADC en6)8) H → K COND en 7)9) –K → -H TRASP en 8)
Resolver las siguientes ejercicios:
Demostrar: -K v F
-(D v k)F → D
Demostrar: S v R
(P → Q) → (-R → S)-Q → SP → -S
Demostrar: A
A v (B C)∙-B v (C A) ∙
GRACIAS POR SU ATENCION!
