BAI GIẢNG ĐỒ HOẠ KỸ THUẬT

Phần IHình họa

Chương 1Mơ đầu

Cơ sơ của biểu diễn

Trong ky thuât, ban ve ky thuât( trên giây) đươc sư dung trong san xuât va trao đôi thông tin giưa cac nha thiêt kê.

Ban ve ky thuât la môt măt phăng 2 chiêu con hâu hêt vât thê đêu la cac vât thê 3 chiêu.

Vây lam sao đê biêu diên cac đôi tương 3 chiêu lên măt phăng 2 chiêu?

Hinh hoa

Gaspard Monge

1.1- Đối tượng môn học- Nghiên cứu cac phương phap biêu diên cac hinh không gian trên môt măt phăng- Nghiên cứu cac phương phap giai cac bai toan không gian trên môt măt phăng

1.2- Các phép chiếu1- Phép chiếu xuyên tâma) Xây dựng phép chiếu

- Cho măt phăng Π, môt điêm S không thuôc Π va môt điêm A bât kỳ.- Goi A’ la giao của đường thăng SA với măt phăng Π.

*Ta có các định nghĩa sau:+ Măt phăng Π goi la măt phăng hinh chiêu+ Điêm S goi la tâm chiêu+ Điêm A’ goi la hinh chiêu xuyên tâm của điêm A lên măt phăng hinh chiêu Π+ Đường thăng SA goi la tia chiêu của điêm A

A

A’

Hình 0.1 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm

S

П

- Nêu AB la đoan thăng không đi qua tâm chiêu S thi hinh chiêu xuyên tâm của nó la môt đoan thăng A’B’.- Nêu CD la đường thăng đi qua tâm chiêu S thi C’=D’.(Hinh chiêu suy biên) (Hinh 0.2.a)- Hinh chiêu xuyên tâm của cac đường thăng song song nói chung la cac đường đồng quy. (Hinh 0.2.b)

A

A’

Hình 0.2a,b Tính chất phép chiếu xuyên tâm

S

B’

B

C

D

C’=D’

b) Tính chất phép chiếu

S

C’

A’

B’D’

F’

E’

T’

a)

b)

A

B

E

F D

C

П

П

2- Phép chiếu song songa) Xây dựng phép chiếu

- Cho măt phăng Π, môt đường thăng s không song song măt phăng Π va môt điêm A bât kỳ trong không gian.- Qua A kẻ đường thăng a//s . A’ la giao của đường thăng a với măt phăng Π.

* Ta có các định nghĩa sau:+ Măt phăng Π goi la măt phăng hinh chiêu+ Đường thăng s goi la phương chiêu+ Điêm A’ goi la hinh chiêu song song của điêm A lên măt phăng hinh chiêu Π theo phương chiêu s+ Đường thăng a goi la tia chiêu của điêm A

A

A’

Hình 0.3 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm

s

П

a

A

A’

Hình 0.4a,b Tính chất phép chiếu song song

s

B’

B

C

D

C’=D’

b) Tính chất phép chiếu - Nêu đường thăng AB không song song

với phương chiêu s thi hinh chiêu song song của nó la đường thăng A’B’

- Nêu CD song song với phương chiêu s thi hinh chiêu song song của nó la môt điêm C’=D’

- Nêu M thuôc đoan AB thi M’ thuôc A’B’+ Tỷ sô đơn của 3 điêm không đôi:

- Nêu MN//QP thi:

- Nêu IK// Π thi:

a)

b)

П

M

M’

M

s

N’

N Q

P’

Q’П

M’

P

K’I’

I K

PQMN

Q'P'N'M'

Q'//P'N'M'

IKK'I'//IKK'I'

MBAM

B'M'M'A'

3- Phép chiếu vuông góc- Phép chiêu vuông góc trường hơp đăc biệt của phép chiêu song song khi phương chiêu vuông góc với măt phăng hinh chiêu.- Phép chiêu vuông góc có đây đủ tính chât của phép chiêu song song, ngoai ra có thêm cac tính chât sau:

+ Chỉ có môt phương chiêu s duy nhât

+ Gia sư AB tao với П môt góc φ thi:

A’B’=AB.cosφA’B’ ≤ AB

- Sau đây la nhưng ứng dung của phép chiêu vuông góc ma ta goi la phương phap hinh chiêu thăng góc

A

A’

Hình 0.5a,b. Phép chiếu vuông góc

s

П

a

A

A’

s

П

B

B’φ

a)

b)

Chương 2Biểu diễn, liên thuộc

2.1 – Điểm2.1.1 Đồ thức của một điểma) Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

- Trong không gian lây hai măt phăng vuông góc nhau П1 va П2.

- Măt phăng П1 có vị trí thăng đứng.

- Măt phăng П2 có vị trí nằm ngang.

- Goi x la giao điêm của П1 va П2

(x = П1∩П2 )

- Chiêu vuông góc điêm A lên măt phăng П1va П2 ta nhân đươc cac hinh chiêu A1 va A2

- Cô định măt phăng П1, quay măt phăng

П2 quanh đường thăng x theo chiêu quay

đươc chỉ ra trên Hinh 1.1.a cho đên khi П2

trùng vớiП1. Ta nhân đươc đồ thức của điêm

A trong hệ hai măt phăng hinh chiêu (Hinh 1.1.b)

Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

a)

b)

AA1

A2

Axx

AA1Π1

x Ax

Π1

Π2

A2

Π2

* Các định nghĩa và tính chất- Mặt phẳng П1: măt phăng hinh chiêu đứng

- Mặt phẳng П2: măt phăng hinh chiêu bằng

- Đường thẳng x : truc hinh chiêu- A1: hinh chiêu đứng của điêm A

- A2: hinh chiêu bằng của điêm A

- Goi Ax la giao của truc x va măt phăng (AA1A2)

- Trên đồ thức, A1,Ax, A2 cùng nằm trên môt đường thăng vuông góc với truc x goi la đường dóng thăng đứng.

Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

a)

b)

AA1

A2

Axx

AA1Π1

x Ax

Π1

Π2

A2

Π2

* Độ cao của một điểm- Ta có: goi la đô cao của điêm A- Quy ước:

+ Độ cao dương : khi điêm A nằm phía trên П2

+ Độ cao âm: khi điêm A nằm phía dưới П2.

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:+ Độ cao dương: A1 nằm phía trên

truc x+ Độ cao âm: A1 nằm phía dưới

truc x

Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

a)

b)

AA1

A2

Axx

AA1Π1

x Ax

Π1

Π2

A2

Π2

AAAA 21x

* Độ xa của một điểm- Ta có: goi la đô xa của điêm A- Quy ước:+ Độ xa dương : khi điêm A nằm phía trước П1

+ Độ xa âm: khi điêm A nằm phía sau П1.

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:+ Độ xa dương: A2 nằm phía dưới

truc x+ Độ xa âm: A2 nằm phía trên truc x

*Chú ý: Với một điểm A trong không gian có đồ thức là một cặp hình chiếu A1, A2. Ngược lại cho đồ thức A1 A2 , ta có thể xây dựng lại điểm A duy nhất trong không gian. Như vậy đồ thức của một điểm A có tính phản chuyển Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một

điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

x Ax

A2

Π2

AAAA 12x

a)

AA1

A2

Axx

Π1

Π2

b)A1

b) Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu- Trong không gian, lây ba măt phăng

П1’ П2,П3 vuông góc với nhau tưng đôi môt.

+ Goi x la giao điêm của П1 va П2 (y = П1∩П2)

+ Goi y la giao điêm của П2 va П3 (y = П2∩П3)

+ Goi z la giao điêm của П1 va П3 (z = П1∩П3)

- Chiêu vuông góc điêm A lên măt phăng П1,

П2 va П3 ta nhân đươc cac hinh chiêu A1 , A2 va A3

- Cô định măt phăng П1, quay măt phăng П2

quanh đường thăng x, quay măt phăng П3 quanh truc z theo chiêu quay đươc chỉ ra trên Hinh 1.2.a cho đên khi П2 trùng với П1,П3 trùng với П1. Ta nhân đươc đồ thức của điêm A trong hệ hai măt phăng hinh chiêu (Hinh 1.2.b)

Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

b)

AA1

x Ax

A2

a)

A2Π2

xA

A1

Ax

A3

A2

Ay

AzΠ1

Π3

z

y

Π1Π3

Π2

A3z

y

yO

Az

Ay

Ay

O

b) Các định nghĩa và tính chấtBô xung thêm cac định nghĩa

va tính chât sau: - Mặt phẳng П3: măt phăng hinh chiêu canh

- Đường thẳng x, y, z : truc hinh chiêu - A3: hinh chiêu canh của điêm A

- Goi

- Trên đồ thức:+ A1, Ax, A2 cùng nằm trên môt đường

thăng vuông góc với truc x goi la đường dóng thăng đứng+ A1, Az, A3 cùng nằm trên môt đường

thăng song song với truc x goi la đường dóng nằm ngang.

Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

b)A

A1

x Ax

A2

a)

A2Π2

xA

A1

Ax

A3

A2

Ay

AzΠ1

Π3

z

y

Π1Π3

Π2

A3z

y

yO

Az

Ay

Ay

O

)AA(AzAz)AA(AyAy)AA(AxAx

31

32

21

b) Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo)* Độ xa cạnh của một điểm

- Ta có: goi la đô xa canh của điêm A

- Quy ước: + Độ xa cạnh dương : khi điêm A nằm phía bên trai П3

+ Độ xa cạnh âm: khi điêm A nằm phía bên phai П3.

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:+ Độ xa cạnh dương: A3 nằm phía bên

phai truc x+ Độ xa cạnh âm: A3 nằm phía bên trai

truc x

Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

b)A

A1

x Ax

A2

a)

A2Π2

x

AA1

Ax

A3

Ay

AzΠ1

Π3

z

y

Π1Π3

Π2

A3z

y

yO

Az

Ay

Ay

O

AAOAAAAA 3x2y1z

A2

2.1.2 Một số định nghĩa khác2.1.2.1– Góc phần tư

- Hai măt phăng hinh chiêu П1, П2 vuông góc với nhau chia không gian thanh bôn

phân, mỗi phân đươc goi la môt góc phân tư.+ Phân không gian phía trước П1, trên П2 đươc goi la góc phân tư thứ nhât. (I)

+ Phân không gian phía sau П1, trên П2 đươc goi la góc phân tư thứ hai. (II)

+ Phân không gian phía sau П1, dưới П2 đươc goi la góc phân tư thứ ba. (III)

+ Phân không gian phía trước П1, dưới П2 đươc goi la góc phân tư thứ tư. (IV)

Ví dụ: Tự cho đồ thức của cac điêm A, B, C, D lân lươt thuôc cac góc phân tư I, II, III, IV

Hình 1.4. Góc phần tư I, II, III, IV

A2

Π1

Π2

( I )

( IV )

( III )

( II )

x

A2

A1

Π2

Π1

Hình 1.5. Các điểm A,B,C,D thuộc các góc phần tư I, II, III, IV

B2

B1

C1

C2

D2

D1

2.1.2.2 – Mặt phẳng phân giác- Có hai măt phăng phân giac

+ Măt phăng đi qua truc x chia góc nhị diện phân tư (I) va góc phân tư (III) thanh cac phân bằng nhau goi la măt phăng phân giac I. (Pg1)

+ Măt phăng đi qua truc x chia góc nhị diện phân tư (II) va góc phân tư (IV) thanh cac phân bằng nhau goi la măt phăng phân giac II.(Pg2)Ví dụ: Ve đồ thức của cac điêm A, B thuôc măt phăng phân giac I; C, D thuôc măt phăng phân giac II, A thuôc góc

phân tư (I), B thuôc (III), C thuôc (II), D thuôc (IV)

Hình 1.6. Mặt phẳng phân giác I và II

A2

Π1

Π2

( I )

( IV )

( III )

( II )

x

A2

A1

Π2

Π1

Hình 1.7. Đồ thức các điểm A,B,C,D thuộc mặt phẳng phân giác (P1) và (P2)

(Pg1)

(Pg2)

B1

B2

C1

=D2D1

=C2

xAx Bx Cx Dx

2.1.3- Ví dụ: Vẽ hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thứcBài toán: Cho hinh chiêu đứng va hinh chiêu bằng của môt điêm, tim hinh chiêu canh của điêm đó trên đồ thức.Ví dụ: Ve hinh chiêu canh của cac điêm A, B, C, D, E đươc cho trên đồ thức

x(+) Ax

A2

A3

z(+)

y(+)

O

Az

Ay

Ay

A1 ΔΔ’

y(+)x(+) Bx

B2

B3

z(+)

y(+)

O

Bz

By

By

B1 Δ

Δ’

x(+) Cx

C1

C3

z(+)

y(+)

O

Cz

Cy

Cy

C2

Δ

Δ’

x(+) Dx

D2

D3

z(+)

y(+)

O

Dz

Dy

Dy

D1 Δ

Δ’

y(+)

x(+) Ex

=E2

E3

z(+)

y(+)

O

Ez=Ey

E1

Δ

Δ’

a)

d)

c)

e)

b)

y(+)

y(+)

y(+)

By

Ey

2.2 - Đường thẳng2.2.1 Biểu diễn đường thẳng

Vì một đường thẳng đươc xác định bởi hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng đó.

Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l;

- l1 đi qua A1B1 gọi là hình chiếu đứng

của đường thẳng l- l2 đi qua A2B2 gọi là hình chiếu bằng

của đường thẳng l

Hình 2.1. Đồ thức của một đường thẳng

A1

B1 l1

l2

B2

A2

)B,B(B)A,A(A

B AAB

21

21

,l

BA1

B2

Π1

Π2

A

x

A2

B1

l1

l2

l

Chú ý: Nếu từ hình chiếu l1 và l2 của đường

thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy nhất trong không gian thì đồ thức đường thẳng có tính chất phản chuyển, khi đó ta không cần cho các điểm A, B thuộc đuờng thẳng l

2.2.2- Điểm thuộc đường thẳng1- Đường thẳng không song song với Π3

Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không không song song với Π3 là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu

bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng.

Hình 2.8. Điểm thuộc đường thẳng

A1

l1

l2

A2

A1

Π1

Π2

Ax

A2

l1

l2

l

x

22

11

3 AA

)//(A

ll

ll

PQIQPIPQIQPI

333

333

2- Đường thẳng song song với Π3 (đường cạnh)Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11)

Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu:

Hình 2.10. Cách 1. Xét điểm thuộc đường cạnh

y

x

Q2

P3

z

y

Q3

P1

O

P2

222

111

QPIQPI

I1I3

I2

Q1

PQIQIPI

QIPI

PQIQIPI

QIPI

22

22

11

11

22

22

11

11

Cách 2: Dựa vào tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng. Nếu:

Hình 2.11. Cách 2. Xét điểm thuộc đường cạnh

- Qua P1 kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với P1Q1 một góc α tùy ý (nên lấy α<90o ).

- Trên t lấy:

- Vẽ 22

221

QPQI

IPIP

IQ

x

Q2

P1

P2

I1

I2

I’1

Q1

t

α

11 Q Q//I' I

PQI- Nếu thì tỉ số đơn khác nhau11 I'I PQI - Nếu thì tỉ số đơn bằng nhau11 I'I

2.2.3- Vết của đường thẳngVết của đường thẳng l là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu

(Hình 2.12)- Vết đứng: ký hiệu M, M≡ l ∩ П1 M1l1 , M2x

- Vết bằng: ký hiệu N, N≡ l ∩ П2 N1x , N2l2

Hình 2.12. Vết của đường thẳng

N1

M2

Π1

Π2

x

N2

M1

l1

l2

l N1

l1

l2

x

M1

N2

M2

Ví dụ: Hãy xác định vết của đường thẳng l(l1,l2) được cho như trên đồ thức và

xét xem đường thẳng l đi qua góc phần tư nào trong không gian.(Hình 2.13)

Hình 2.13. Ví dụ vết của đường thẳng

Giải:* Tìm vết M, N của đường thẳng l: M2x M2≡ l2∩x M1l1

N1x N1≡ l1∩x N2l2

* Xét l đi qua góc phần tư nào?- Xét AMN: A có độ cao dương, độ xa âm A thuộc góc phần tư thứ II l đi qua góc phần tư thứ II. - Xét BMN: B có độ cao âm, độ xa âm; B thuộc góc phần tư thứ III l đi qua góc phần tư thứ III - Xét CMN : C có độ cao dương, độ xa dương; C thuộc góc phần tư thứ I l đi qua góc phần tư thứ I. Vậy, đường thẳng l đi qua các góc I, II, III

N1

l1

l2

x

M1

N2

M2

B1

B2

Góc(I)Góc (II)Góc (III)

A2

A1

C2

C1

2.3- Mặt phẳng2.3.1 Biểu diễn mặt phẳngTrên đồ thức có 4 cách để xác định một mặt phẳng

A1 l1

l2

A2

A1

A2

B1

B2

C1

C2

Hình 3.1.Đồ thức của mặt phẳng

I1

b1

b2

I2

a1

a2

d1

d2

c1

c2

a)

d)

c)

b)

Chú ý:Từ cách xác định mặt phẳng này có thể chuyển đổi thành cách xác định khác. Do đó phương pháp giải bài toán không phụ thuộc vào cách cho mặt phẳng

2.3.1.1- Hai đường thẳng cắt nhaua) Cả hai đường thẳng không phải đường cạnh

Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh cắt nhau là trên đồ thức: các hình chiếu đứng của chúng cắt nhau, các hình chiếu bằng cắt nhau sao cho các điểm cắt này cùng nằm trên một đường dóng thẳng đứng. (Hình 2.14)

Hình 2.14. Hai đường thẳng không phải là đường cạnh cắt nhau

I1

a1

a2

I2

xb1

b2

xIIIbaIba

)//b,a(Iba

21

222

111

3

b) Một trong hai đường thẳng là đường cạnh Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường thẳng l thỏa mãn: l1∩P1Q1 ≡ I1

l2∩P2Q2 ≡ I2

Xét xem l và PQ có cắt nhau không? (Hình 2.15)Giải:

Ta có: Il PQ∩l IPQ Do đó để xét xem l và PQ có cắt nhau hay không ta đưa về bài toán điểm thuộc đường cạnh đã xét ở trên

Hình 2.15. Hai đường thẳng cắt nhau (một trong hai đường thẳng là đường cạnh)

I

x

Q2

P1

P2

I1

I2

I’1

Q1

t

Q

αl1

l2

22

11

3 b//ab//a

)//b,a(b//a

2.3.1.2- Hai đường thẳng song songa) Định nghĩa:

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung nào.

b) Điều kiện song song của hai đường thẳng trên đồ thức* Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh

Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh song song với nhau là trên đồ thức các hình chiếu đứng của chúng song song và các hình chiếu bằng của chúng cũng song song. (Hình 2.16)

Hình 2.16. Hai đường thẳng song song không phải là đường cạnh

a1

a2

x

b1

b2

2.3.2- Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc)2.3.2.1- Bài toán cơ bản 1

Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó. Biết hình chiếu đứng l1, tìm hình chiếu bằng l2 (Hình 3.11)

Hình 3.11. Bài toán cơ bản 1

I1

b1

b2

I2

a1

12

l1

l2

11

21

a2

22

b1

b2

I2

a1

12

l’1

l’2

21

a2

22

a) l1 cắt cả hai đường a1 b1

- Dựa vào các điểm 1(11,12); 2(21,22)

b1

b2

I2

a1

12

l1

l2

11

a2

I1I1

11

K2

K1

b) l1 đi qua I1

- Dùng đường thẳng l’(l’1,l’2)

Kl’→l qua IK c) l1 song song với một trong

hai đường a1 b1

- VD: l1//b1

- Dựa vào điểm 1(11,12)

l2 đi qua 12, l2//b2

l1

l2

Ví dụ 1: Mặt phẳng α( mα, nα) . Biết l1, tìm l2

(Hình 3.12)Giải: - Lấy M1≡ l1 ∩ mα → M2x

- Lấy N1≡ l1 ∩ x → M2nα

- l2 qua M2 và N2 là đường thẳng cần tìm

Hình 3.12. Ví dụ về bài toán cơ bản 1

M2

l1

l2

M1

N1

N2

mα

nα

x

Chú ý: - Sử dụng vết của đường thẳng và mặt phẳng

- Ví dụ này dành cho các bài toán mặt phẳng (α) cho bởi vết

2.3.2.2- Bài toán cơ bản 2 Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I,điểm K thuộc mặt phẳng α đó. Biết hình chiếu đứng K1, tìm hình chiếu bằng K2 . (Hình 3.13)

Giải: - Gắn điểm K vào một đường thẳng l(α) - Khi đó l1 qua K1. Tìm l2 ?

(bài toán cơ bản 1) - K2 l2 (Điểm thuộc đường thẳng)

Hình 3.13. Bài toán cơ bản 2

b1

b2

I2

a1

12

l1

l2

21

a2

22

I1

11

K2

K1

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng α(mα, nα). Điểm K thuộc (α). Biết K1, tìm K2

(Hình 3.14) Giải:

- Gắn K vào đường thẳng a(α) → a1 qua K1. Tìm K2?

- K2 a2

Hình 3.14. Ví dụ về bài toán cơ bản 2

αx

a1

a2

M1

M2N1

N2

x

K1

K2

Chú ý:Trong hai bài toán cơ bản trên,

nếu cho hình chiếu bằng của đường thẳng và của điểm, tìm hình chiếu đứng của chúng, ta cũng làm tương tự

mα

nα

2.3.3- Vết của mặt phẳng Vết của mặt phẳng là giao tuyến của của mặt phẳng đó với các mặt phẳng hình chiếu

Cho mặt phẳng (α):* Vết đứng m: m ≡ (α) ∩ П1

* Vết bằng n: n ≡ (α) ∩ П2

* Vết cạnh p: p ≡ (α) ∩ П3

Để phân biệt các mặt phẳng ta viết tên vết của mặt phẳng kèm theo tên của mặt phẳng đó.Ví dụ: Mặt phẳng (α) → -Vết đứng : mα

-Vết bằng : nα

-Vết cạch : pα

x

Π1

Π3

yΠ2

pm

n

z

x

z

y

O

m=m 1

p=p3

n=n2

m2=n1=p2

p1

Hình 3.2. Vết của mặt phẳng

Oy

m α

nα

pα

α

- Ta có thể cho mặt phẳng bởi các vết của nó. Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại αx x (Hình 3.3a,b) hoặc mặt phẳng có vết song song với trục x (Hình 3.3c)

- Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng người ta có thể dùng ký hiệu m1, m2

và n1,n2 (Hình 3.3a) - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng α ta kèm theo tên của mặt phẳng đó

ký hiệu mα, nα (Hình 3.3b,c)

x

m1

n2

x

mα

nα

αx x

mα

nα

a) c)b)

Hình 3.3. Một số cách cho mặt phẳng bằng vết trên đồ thức

αx m2=n1=x

Ví dụ: Xác định vết của mặt phẳng α (a,b) được cho trên đồ thức , a cắt b tại I. (Hình 3.4)

Hình 3.4. Ví dụ tìm vết của một mặt phẳng αx

mα

a2

b1

a1

b2

M’1

M1

M’2 M2

I1

I2

N1

N2

N’1

N’2

x

Giải: - Nhận xét mặt phẳng (α) đi qua a và b do đó vết

của mặt phẳng (α) đi qua vết của các đường thẳng a và b.

+ Tìm vết đứng M(M1,M2) của đường thẳng a

+ Tìm vết đứng M’(M’1,M’2) của đường thẳng b

mα đi qua M1, M’1

+ mα ∩ x ≡ αx

+ Tìm vết bằng N(N1,N2) của a

+ Vết bằng nα đi qua αx và N2

nα

Chú ý: Không cần tìm vết bằng

N’(N’1 ,N’2 ) của đường thẳng b

vì αx , N2 , N’2 thẳng hàng

2.4- Mặt (Mặt cong, đa diện)2.4.1 Biểu diễn đa diện mặt cong

Để biểu diễn một đa diện, trên đồ thức ta cho các yếu tố đủ để xác định đa diện đó. Ví dụ: - Hình chóp ta cho đồ thức của đỉnh và đáy. (Hình 5.1.a) - Lăng trụ ta cho đồ thức của đáy và phương của cạnh bên.(Hình 5.1.b)

Để dễ dàng hình dung đa diện và giải các bái toán, ta nối các đỉnh để tạo nên các cạnh và mặt đa diện, đồng thời xét tương quan thấy khuất giữa các cạnh và các mặt của đa diện.

B1

A1

C1

S1

A2

B2

C2

S2

B1

A1

C1

l1

A2

B2

C2

l2

Hình 5.1. Biểu diễn đa diện

a) b)

Trên đồ thức, để biểu diễn một mặt cong ta cho các yếu tố đủ để xác định mặt cong đó. Ví dụ: - Hình nón ta cho đồ thức của đỉnh và vòng tròn đáy nón (hay đường chuẩn của nón)

- Hình trụ ta cho đồ thức của đáy trụ và phương của đường sinh.

Để dễ dàng hình dung mặt cong và giải các bái toán về mặt cong ta vẽ các đường bao ngoài, (các đường biên), đồng thời xét tương quan thấy khuất cho mặt cong đó.

O1

S1

S2

O1

l1

l2

O2O2

Hình 6.1 Biểu diễn mặt cong

2.4.2 Điểm thuộc mặtVí dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt của hình chóp S.ABC. Biết M1, N1, P1, Q2, tìm

hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.2)Giải: * Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng đi

qua đỉnh S, đó là SE và SE’. * Tìm N1: Gắn điểm N vào đường thẳng SA

* Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng song song với

cạnh đáy của hình chóp. Ví dụ PJ: có P2 và P’2

* Tìm Q1, ngược lại: Có thể gắn Q vào đường

thẳng qua đỉnh S. Ví dụ SI hoặc gắn vào đường thẳng song song cạnh đáy hình chóp. Lưu ý có một điểm Q’1 thuộc đáy chóp.

B1A1 C1

A2

C2

S1

B2

E ≡E’1

N1

N2

J2

J1

Q2

P2

P1

M’2

M2

E’2

E2

Q1

Q’1

I2

I1

M1

P’2

S2

Hình 5.2. Ví dụ 1: Tìm M2, N2. P2, Q1

Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt của lăng trụ. Biết M1, N1, P1, Q2,

Tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.3) Giải: * Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng

t song song với cạch bên của lăng trụ. * Tìm N2: Gắn điểm N vào đường thẳng a1

* Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng s (s//a,b).

Pb P1b1

* Tìm Q1, ngược lại: gắn Q vào đường

thẳng k (k//a,b)

B1

A1

C1

A2

B2

C2

N1

N2

P2

P1

P’2

M2

M’2

M1

G2

G1

H1

H2

Q2

Q1

Q’1

E1≡E’1

E’2

E2

B’2

Chú ý: Ta cũng có thể tìm hình chiếu các điểm bằng cách gắn các điểm vào đường thẳng song song với cạch đáy lăng trụ

Hình 5.3. Ví dụ 2: Tìm M2, N2. P2, Q1

a1

b1

k1

k’1

c1

t1

k2

t’2

t2

s’2

≡ s 1

b2

c2

a2

≡ s2

Điểm thuộc mặt congVí dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt nón.

Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các

điểm đó. (Hình 6.2)Giải:

- Tìm M2: Vẽ đường sinh SE, SE’ chứa M

- Tìm N1: Gắn N vào đường sinh SJ

- Tim P2: Vẽ đường tròn song song đáy chứa

điểm P - Tìm Q1: Vẽ đường sinh SI chứa Q.

Chú ý còn một điểm Q’1 ở đáy nón

O1J1

S1

O2

E1≡E’1

N1

N2

J2

K1

Q2

P2

P1

M’2

M2

E’2

E2

Q1

Q’1

I2

I1

M1

P’2

S2 ≡

Hình 6.2. Điểm thuộc mặt nón. Tìm M2 , N2, P2, Q1

K2

Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt trụ. Biết M1,

N1, P2, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó.(Hình 6.3).

O1

J1

T1

J2

T’2

N1

P2

P1

M2

M’2

M1

G2

G1

H1

H2

Q2

Q1

E’2

E2

T2

Hình 6.3. Điểm thuộc mặt trụ. Tìm M2 , N2, P1, Q1

Giải: - Tìm M2: qua M1 vẽ đường sinh a1.

Chân đường sinh: E1, E’1.

Trên hình chiếu bằng có E2, E’2.

Qua E2, E’2 vẽ các đường sinh a2, a’2.

M2 a2, M’2 a’2

- Tìm N2: Gắn N vào đường sinh s.

N1 s1, N2 s2 .

- Tìm P1: Ngược lại cách tìm M2

- Tìm Q1: Qua O2 vẽ đường thẳng O2T2

O2T2 l2.

Từ T1 vẽ đường sinh l1 Q1 l1

Chú ý: Nếu hình chiếu của đáy trụ là hình tròn, ta có thể gắn các điểm vào đường tròn song song đáy trụ

N2

P’1

E1≡E’1

s1

s2

a1

a’2

a2

k’1

k1

k2

l1

l2

O2

Ví dụ 3: Cho các điểm M, N, P thuộc mặt cầu. Biết M1, N1, P1, tìm hình chiếu còn lại của các

điểm đó. (Hình 6.4) Giải: - Tìm M2: Qua M vẽ đường tròn của mặt cầu

sao cho đường tròn này thuộc mặt phẳng song song với П2

- Tìm N2 , P2:

Xét đường tròn (u) và (v) của mặt cầu: N1 (u1) N2 (u2)

P1 (v1) P2 (v2)

* Nếu biếu M2, N2, P2, tìm M1, N1, P1 ta làm

tương tự.

O1

O2

N1

N2

E1

P2

P1

(u1)

M’2

M2

E2

M1

P’2

(u2)

(v1)

(v2)

Hình 6.4. Điểm thuộc mặt cầu. Tìm M2 , N2, P2 ?

2.5- Biểu diễn các đối tượng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu)2.5.1- Các đối tượng song song với mặt phẳng hình chiếu2.5.1.1 Các đường thẳng đồng mức (là các đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu)a) Đường bằng* Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2.

B

A1

Π1

Ax

B1

B2

x

A1

B1h1

h

A2

h1

h2

* Tính chất : - Hình chiếu đứng h1//x

- Nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng h thì hình chiếu bằng A2B2=AB

- Góc h2,x = h, П1= α

Hình 2.2. Đường bằng

Π2

A2h2

B2

b) Đường mặt* Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1.

Ví dụ: CD// П1

* Tính chất : - Hình chiếu bằng f2//x

- Nếu có một đoạn thẳng CD thuộc đường mặt f thì hình chiếu đứng C1D1=CD

- Góc f1,x = f, П2= β

Hình 2.3. Đường mặt

DC1

Π1

x

D1

D2

x

C1

D1

f1

f

C2

f1

f2

β

Π2C2

f2

β

D2

β C

c) Đường cạnh* Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3.

* Tính chất : - p1 và p2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x

- Nếu có một đoạn thẳng EF thuộc đường mặt p thì hình chiếu cạnh E3F3=EF

- Góc p3,z = p, П1= α

- Góc p3,y = p, П2= β

Hình 2.4. Đường cạnh

A2

Π2

x

E

F2

F1

F3

E3

Π1

Π3

z

y

O

F

α

β

x

F2

E3

z

y

F3

E1

y

p1 p

p2E2

E1

Ax O

F1

p1

p2

E2

α

β

p3

p3α

β

Hình 2.4. Đường cạnh

A2

xF3

E3

Π1

Π3

z

y

O

F

α

β

x

F2

E3

z

y

F3

E1

yAx

OF1

p1

p2

E21

α

β

p3

p3

Π2

E

F2

F1

p1 p

p2E2

E1

Chú ý: Với đường cạnh p, nếu biết các hình chiếu p1, p2 ta không xác định được đường

thẳng p duy nhất trong không gian. Do đó ta phải cho đồ thức của hai điểm phân biệt.

Ví dụ: Cho E, F thuộc đường thẳng p. Hai điểm E, F xác định một đường thẳng p duy nhất. (Hình 2.4)

x//m

2.5.1.2- Các mặt phẳng đồng mức ( là các mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu)a) Mặt phẳng bằng

* Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2.

Ví dụ: Mặt phẳng (α)//П2

*Tính chất :

Π1

x

B1

B2

x

A1

A2C2

Hình 3.8. Mặt phẳng bằng

B

A1

A

B1

Π2

A2

C

B2

C1mα

mα C1

C2

Chú ý: (α)//П2 do đó (α) П1 , cho nên (α) cũng là mặt phẳng chiếu đứng

ABCCBA)(ABC 222

α1

ABCCBA)(ABC 111

b) Mặt phẳng mặt* Định nghĩa: Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1.

Ví dụ: Mặt phẳng (β)//П1

*Tính chất :

Hình 3.9. Mặt phẳng mặt

Π1

x

C1

C2

x

A1

A2

CA1

C1

Π2A2

β

B2

AB

B1

C2

B1

B2

nβnβ

Chú ý: (β)//П1 do đó (β) П2 , cho nên (β) cũng là mặt phẳng chiếu bằng

x//n

β2

ABCCBA)(ABC 333

.xnxm ,

c) Mặt phẳng cạnh* Định nghĩa: Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3.

Ví dụ: Mặt phẳng (γ)// П3

*Tính chất :

Hình 3.10. Mặt phẳng cạnh

x

Π1

Π3

y

A3

B3

z

O

p3

Π2

B

C2

A1p

B2

B1

AA2

C

C1

C3

γmγ

nγ

mγ

nγ

x

A2

B3

y

A3

B1

OA1

C2

E2

C3C1

y

z

(γ) vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu bằng

2

13 )(

)(//)(

Chú ý:

xBA 22

2.5.2.- Các đối tượng chiếu 2.5.2.1Các đường thẳng chiếua) Đường thẳng chiếu đứng* Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П1.

Ví dụ:

B

A1

Π1

A

x

≡ B1

B2

x

A1=B1

A2

* Tính chất : - Hình chiếu đứng của AB là một điểm A1 ≡ B1

- Hình chiếu bằng - A2B2=AB

Hình 2.5. Đường thẳng chiếu đứng

Π2

A2

B2

xBA 22

1AB

xDC 11

2CD

b) Đường thẳng chiếu bằng* Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2.

Ví dụ:

D

C1Π1

C

x

≡D2

D1

x

C2

D1

C1

* Tính chất : - Hình chiếu bằng của CD là một điểm C2≡ D2

- Hình chiếu đứng - C1D1=CD

Hình 2.6. Đường thẳng chiếu bằng

Π2

C2≡D2

xDC 11

c) Đường thẳng chiếu cạnh* Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3.

* Tính chất : - Hình chiếu cạnh của EF là một điểm E3 ≡ F3

- E2F2//E1F1//x - E1F1=E2F2=EF

Hình 2.7. Đường thẳng chiếu cạnh

Π2

x

E

F2

F1

≡F3E3

Π1

Π3

z

y

OF

x

F2

E3

z

y

≡F3E1

E2

E1

O

F1

E2

*Tính chất : -Vết bằng -

- mα , x = (α) , П2 = φ (Hình 3.5) mCBA)(ABC 111

xn

2.5.2.2- Các mặt phẳng chiếu ( là các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu)a) Mặt phẳng chiếu đứng* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П1.

Ví dụ: Mặt phẳng

Hình 3.5. Mặt phẳng chiếu đứng

xn Π1

x

C1

C2

x

A1

A2

φ

CA1

C1

mα

Π2

φ

A

B

nα

B1

B2

B1

mα

nα

1)(

αx

α1

Chú ý: mα là hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng (α) nên

thường thay mα bởi α1

xm

b) Mặt phẳng chiếu bằng* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2.

Ví dụ: Mặt phẳng

Hình 3.6. Mặt phẳng chiếu bằng

*Tính chất : -Vết đứng

- - nβ , x = (β) , П1 = φ (Hình 3.6)

nCBA)(ABC 222

Π1

x C1

C2

x

A1

A2

C

A

Bh1

Π2

A2nβ

φ

C2

B2

mβ

B1

B2 nβ

φ

mβ

2)(

β

x

β2

Chú ý: nβ là hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng (β) nên thường thay nβ bởi β2

3)(

pCBA)(ABC 333

c) Mặt phẳng chiếu cạnh* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình

chiếu cạnh П3.

Ví dụ: Mặt phẳng

*Tính chất :

xC3

Π1

Π3

z

y

x

A3

z

C3

A1

C1 OB1

α

β

pγ

A3

O

B3

α

β

pγ

Π2

A

C

B

mγ

nγ

mγ

nγ

B3

y

y

Hình 3.7. Mặt phẳng chiếu cạnh

1,z,p

x//n ,x//m

2,y,p

γ

2.5.3- Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc2.5.3.1- Định nghĩa

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả các đường thẳng nằm trong mặt phẳng. (Hình 3.38.a)

2.5.3.2- Định lý Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng. (Hình 3.38.b)2.5.3.3- Chuyển sang đồ thức

- Dựa vào định lý, ta chọn hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng là đường đồng mức (đường bằng, đường mặt, đường cạnh)

- Nếu mặt phẳng không phải mặt phẳng chiếu cạnh mà cho bởi vết đứng, vết bằng, thì ta dùng hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng chính là vết đứng và vết bằng đó.

)(a)( ll

Hình 3.38. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc

α

β

a

a

l

b O

l

a)

b)

* Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc vuông (Hình 2.20)

- Cho mặt phẳng П và góc xOy, x’O’y’ là hình chiếu vuông góc của xOy lên mặt phẳng П.

- Nếu hai trong ba điều kiện sau đây được thỏa mãn thì điều kiện còn lại được thỏa mãn:

Hình 2.20. Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc vuông

Oy// ,Ox 3)90y'O' x'2)

90 xOy)1

O’y’

O

x’

x

y

a)

П

4- Ví dụ:Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(ABC), I(I1, I2).

Tìm hình chiếu vuông góc H(H1, H2) của điểm I lên mặt phẳng (α).(Hình 3.39) Giải: - Vẽ đường bằng Ah (A1h1, A2h2)

- Vẽ đường mặt Cf (C1f1, C2f2)

- Qua I vẽ l α(ABC): +Vẽ I1l1 C1f1

+ Vẽ I2l2 A2h2

- Tìm H(H1, H2) ≡ l ∩ α(ABC)

(Bài toán giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng) Ta có : H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên mặt phẳng α(ABC)

h1A1

B1

A2

C2

B2

C111

≡ φ1l1

I1

I2

l2

g2

≡ g1

h2

D1

D2

E2

E1

H1

H2

21

22

12

f1

f2

Hình 3.39. Tìm hình chiếu vuông góc H(H1, H2) của điểm I lên mặt phẳng (α).

Ví dụ 2: Xác định độ lớn thật khoảng cách từ I(I1, I2) đến mặt phẳng α(mα, nα) được cho trên đồ thức. (Hình 3.40) Giải: - Qua I vẽ đường thẳng l α(mα, nα) :

+Vẽ I1l1 mα

+ Vẽ I2l2 nα

- Tìm H(H1, H2) ≡ l ∩ α(mα, nα)

- Tìm độ lớn thật của IH Ta có: H1I là độ lớn thật khoảng cách từ

I đến α(mα, nα)

xN1

N2

M2

M1

g2

H1

H2

l2

mα

nα

I1

I2

Δy

IĐLT: IH

Δy

Hình 3.40. Xác định độ lớn thật khoảng cách từ I(I1, I2) đến mặt phẳng α(mα, nα)

≡ φ1

l1≡ g

1

Ví dụ 3: Cho mặt phẳng α(mα,nα). Đường thẳng a(a1,a2). Hãy dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi qua a và vuông góc với (α). (Hình 3.41)

Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là trong mặt phẳng này có chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Áp dụng: - Trên đường thẳng a lấy điểm I- Vẽ đường thẳng Ib α(mα, nα)

- β(a,b) là mặt phẳng qua a và β(a,b) α(mα, nα)

x

b2

mα

nα

I1

I2

b1

a2

a1

Hình 3.41. Dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi qua a và vuông góc với (α)

Chương 3Thay mặt phẳng hình chiếu

Các bài toán về lượng

Đặt vấn đề: Mục đích của các phép biến đổi là đưa các yếu tố hình học ở vị

trí tổng quát về vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải các bài toán. Dưới đây là một số phương pháp biến đổi.

3.1- Thay mặt phẳng hình chiếu3.1.1- Thay một mặt phẳng hình chiếua) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1

Điều kiện: * Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu:- Gọi x’ ≡ П’1∩П2 là trục hình chiếu mới.

- Giả sử điểm A trong hệ thống (П1 , П2) có hình chiếu

là (A1 , A2).

- Chiếu vuông góc điểm A lên П’1 ta có hình chiếu A’1.

Cố định П2 xoay П’1 quanh trục x’cho đến khi П’1≡П2.

( Chiều quay xác định như trên hình 4.1). - Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ thống

(П’1, П2), A’1 là hình chiếu đứng mới của điểm A.

*Tính chất: - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П’1, П2):

Gọi A’x ≡ A’1A2 ∩ x’

+ A’1 , A’x , A2 cùng nằm trên một đường dóng

vuông góc với x’ + A’xA’1=AxA1 (Độ cao điểm A không thay đổi)

21'

A1

x Ax

A2x’

A’1

A’x

Π1

Π2

Π2

Π’1

Hình 4.1.a,b Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1

a)

b)

x

Π1

Π2

A1

A’1

A2

Π’1

A A’1

A’x

x’

Ax

Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2,B2).

Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П2

Giải: Dựa vào tính chất của đường mặt- AB đã cho ở vị trí bất kỳ.- Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ thống mới

(П’1, П2) đoạn thẳng AB là đường mặt .

Khi đó hình chiếu đứng mới A’1B’1 là độ lớn

thật của AB và A’1B’1,x’ = φ là góc giữa AB với П2.- Để thực hiện: +Chọn x’//A2B2

+Tìm A’1B’1 (dựa vào tính chất)

- Chú ý : Độ cao các điểm A’1, B’1

A1

x Ax

A2

x’

A’1

A’x

Π1

Π2

Π 2

Π’ 1

B1

B2

B’1

B’x

Bx

φĐLT: AB

Hình 4.2. Ví dụ: Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П2

b) Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2

Điều kiện:

Cách xây dựng như thay П1 thành П’1

* Bài toán: Cho điểm A (A1,A2).

Hãy tìm hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2

biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1. (Hình 4.3)

*Tính chất:- Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П1, П’2)

+ A1A’xA’2 cùng nằm trên một đường dóng

vuông góc với x’+ A’xA’2 =AxA2

12'

A1

x Ax

A2

Π1

Π2

x’

A’2

A’x

Π1

Π’2

Hình 4.3. Thay mặt phẳng П2 thành П’2

Ví dụ 2: Tìm hình dạng độ lớn thật của tam giác ABC được cho trên đồ thức. (Hình 4.4)

Giải: Dựa vào tính chất của mặt phẳng đồng mức - (ABC) đã cho là mặt phẳng chiếu đứng. - Thay mặt phẳng П2 thành П’2 sao cho П’2 //(ABC)

Muốn vậy, chọn trục hình chiếu x’// A1B1C1.

Tìm A’2B’2C’2? - Kết quả ΔA’2B’2C’2 là hình dạng độ lớn thật

của ΔABC.

Π1

Π2

C1

C2

x

A2

B2

B1

A1

x’

A’2

A’x

Π1

Π’2

B’2

B’xC’2

C’x

Hình 4.4.Tìm hình dạng thật của tam giác ABC

Ax Bx Cx

3.1.2- Thay hai mặt phẳng hình chiếua) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1

rồi thay П2 thành П’2

Điều kiện:

Bài toán: Cho điểm A (A1,A2).

Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П1thành П’1 rồi П2 thành П’2, biết trước

trục x’ là giao của П2 với П’1, trục x” là

giao của П’1 với П’2 . (Hình 4.5)

Giải: - Tìm A’1: A’1A2 x’ ; A’xA’1=AxA1

- Tìm A’2: A’2A’1 x” ; A’xA”2=AxA’2

12

21

'''

A1

Hình 4.5. Thay mặt phẳng П1 thành П’1

rồi thay П2 thành П’2

Chú ý: Không được nhầm độ xa AxA2 với A’xA2

A1

x Ax

A2

x’

A’1

A’x

Π1

Π2

Π 2

Π’1

x’’

A’2A”x

Π’2Π’1

Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2B2). Bằng phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu hãy đưa đoạn thẳng AB về vị trí là đường thẳng chiếu bằng trong hệ thống mới.(Hình 4.6)

Giải: - Thay П1thành П’1 để trong hệ thống

(П’1,П2), AB là đường mặt. + Muốn vậy, chọn trục x’//A2B2.

+ Tìm A’1B’1?

(Độ cao điểm A âm)- Thay П2 thành П’2 để trong hệ thống (П’1,П’2), AB là đường thẳng chiếu bằng.

+ Muốn vậy, chọn trục x”A’1B’1.

+ Tìm A’2B’2? (A’2 ≡B’2 vì có độ xa bằng nhau, AB chiếu bằng)

A1

x Ax

A2

x’ A’x

Π1

Π2

Π 2

Π’ 1

B1

B2

B’1

B’x

Bx

Π’1

Π’2

x’’

A”x ≡ B”x

A’2 ≡ B’2

Hình 4.6. Ví dụ 3

Độ cao âm

A’1

b) Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2

rồi thay П1 thành П’1

Điều kiện:

Thực hiện phép thay tương tự như mục a)Bài toán: Cho điểm A (A1,A2).

Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành

П’2 rồi П1 thành П’1, biết trước trục x’ là giao

của П’2 với П1, trục x’’ là giao của П’1 với П’2.

(Hình 4.7).Giải:Tìm A’2: A1A’2 x’ ; A’xA’2=AxA2

Tìm A’1: A’1A’2 x” ; A’’xA’1=A’xA1

21

12

'''

A1

xAx

A2

Π1

Π2

x’

A’2

A’x

Π1

Π’2

x’’A’1

A’’x

Π’1Π’2

Chú ý: Không nhầm độ cao A1A’x với A1Ax

Hình 4.7. Thay mặt phẳng П2 thành П’2

rồi thay П1 thành П’1

Ví dụ 4: Tìm hình dạng, độ lớn thật của tam giácABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.8)Giải:- Thay П2 thành П’2 sao cho trong hệ

thống (П1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng

chiếu bằng. Muốn vậy, vẽ đường mặt Af. Chọn trục x’A1f1. Tìm A’2B’2C’2?

- Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ

thống (П’1, П’2) thì (ABC) là mặt

phẳng mặt. Muốn vậy, chọn trục x’A’2B’2C’2. Tìm A’1B’1C’1?

- Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn

thật của tam giác ABC.

Π1

Π2

C1

C2

x

A2

B1

A1

A’2

A’x Π’2

Π’1

B’2B’x

C’2

C’x

B2

C’1

A’1B’1

x’’x’

Bx CxAx

B”x

A”x

C”x

Π’2Π

1

Hình 4.8. Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật của tam giác ABC

f2

f1

11

12

Chương 4Giao của các đối tượng

4.1- Mặt phẳng cắt các đối tượng4.1.1 Trường hợp đặc biệta)Mặt phẳng cắt một đối tượng chiếuNguyên tắc: Đã biết trước một hình chiếu của

giao. Hình chiếu đã biết của giao nằm trên trên hình chiếu suy biến của đối tượng chiếu, hình chiếu còn lại tìm bằng bài toán liên thuộc

Ví dụ 1: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α) . Cho l vuông góc với П1, mặt phẳng α(a,b).

Giải: - l П1 K1 ≡ l1

- Tìm K2 đưa về bài toán cơ bản 1

(điểm thuộc mặt phẳng) K2 ≡ l’2 ∩l2

l2

a2

l1

x

K1 ≡

K2b2

a1

b1

l’1

l’2

12

22

11

21

Ví dụ 2: Cho α(α1) , β(ABC) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước

Giải:- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1≡ α1

- Để tìm g2 quy về bài toán đường thẳng

thuộc mặt phẳngA1

B1

A2

C2

B2

C1

12

11

21

22

g 1 ≡

g2

α 1

Ví dụ 3: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(mα, nα) với mặt trụ

chiếu bằng được cho như trên hình 6.8. (Trụ chiếu bằng là trụ có trục hay đường sinh vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2).

Giải: Giao tuyến (α) với trụ là đường elíp. Vì mặt trụ là mặt trụ chiếu bằng nên biết trước hình chiếu bằng của giao tuyến. + Tìm điểm giới hạn thấy khuất U, V. + Tìm điểm thấp nhất và cao nhất A, B. + Tìm CD: đường kính liên hợp với AB.

A1

A2

U1

U2

V1

V2

B1

B2

O2

C2

D2

X2

Y2

X1

Y1

12

2211

21

h1

h2

f2

f1

D1

C1

O1

Hình 6.8. Tìm giao tuyến của α(mα, nα) với mặt trụ chiếu bằng

Hình 6.9.Giao của (α ) với trụ chiếu đứng trong không gian

d2

d1

mα

nα

Π2

nα

Π1

O2

A

B

mα

U

V

D

O

α

d

x

C

b- Mặt phẳng chiếu cắt các đối tượngNguyên tắc chung: Đã biết trước một hình chiếu của giao. Hình chiếu biết trước của giao trùng với

hình chiếu suy biến của mặt phẳng chiếu.

Ví dụ 1: Cho α(α1) , β(β2) (Hình 3.24) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.

Giải:- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ α1

- (β) là mặt phẳng chiếu bằng nên g2 ≡ β1

β2

α1

g1

g2

x

Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Ví dụ 2: Cho α(α1) , β(β1) (Hình 3.25) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.

Giải:

- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ α1

- (β) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ β1

- Ta có: g là đường thẳng chiếu đứng: + g1≡ α1∩ β1

+ g2 x

β1

α1

g1

g2

x

11

1 g)()(

Hình 3.25. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(α1) , β(β1)

S1

I1J1

A1

B1

α1

A2 B2

C2

D2

J2

S2

Ví dụ 3: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α1) với

mặt nón tròn xoay trong 3 trường hợp:Trường hợp mặt phẳng (α) cắt tất cả các đường sinh của nón, giao tuyến là elíp (E) - (α) cắt mặt nón theo đường elíp (E) có hình chiếu đứng là đoạn A1B1.

- A2B2 là trục dài của elíp trên hình chiếu bằng.

- Lấy I1 là trung điểm A1B1 I2 là trung điểm

của A2B2 . I2 là tâm đối xứng của elíp trên hình

chiếu bằng. - C1 ≡ D1, Tìm C2D2 (bài toán điểm thuộc mặt nón).

C2 D2 là trục ngắn của elíp (E).

- Để thuận lợi ta tìm thêm các điểm trung gian khác.

Chú ý: S2 là tiêu điểm của elíp

(E2)

(E1)

X1

X2

X’2

K1

K2

C1≡D1≡

I2

4.1.2 Trường hợp tổng quátTrường hợp tổng quát ta chưa biết được hình chiếu nào của giao. Muốn tìm giao ta phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ.a) Đường thẳng cắt mặt phẳngHãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α)

Giải: - Dùng phương pháp mặt phẳng phụ: + Lấy mặt phẳng (φ) chứa đường thẳng l + Tìm giao tuyến g của (φ) và (α) + Lấy K ≡ l ∩ g thì K ≡ l ∩ (α)

g

l

K

α

φ

Chú ý: Áp dụng trên đồ thức, ta chọn mặt

phẳng phụ (φ) là mặt phẳng chiếu để dễ dàng tìm được giao tuyến phụ g

Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α)Ví dụ 1: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(ABC).Giải: - Dùng phương pháp mặt phẳng phụ Tìm được K ≡ l ∩ (α) * Xét thấy khuất đường thẳng l với mặt phẳng (ABC) -Xét cặp điểm đồng tia chiếu (P1

l,P2l) và

(P1BC, P2

BC): P1ll1 ; P1

BCB1C1 ; P2l ≡ P2

BC

Trên hình chiếu đứng P1l cao hơn P1

BC

trên hình chiếu bằng P2l thấy, P2

BC khuất

P2lK2 thấy.

- Xét cặp điểm đồng tia chiếu (11,12) (11l,12

l )

Trên hình chiếu bằng: 12 xa hơn 12

l

trên hình chiếu đứng : 11 thấy, 11l khuất

11lK1 khuất.

A1

B1

A2

C2

B2

C1

12

11

21

22

φ 1 ≡l 1

K1

K2

l2

PP BC

2

l

2

Pl

1

PBC

1

g2

≡ g 1

≡ 11l

12l

Ví dụ 2: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(mα,nα). (Hình 3.37)Giải: Dùng phương pháp mặt phẳng phụ: - Lấy (φ) chứa l (φ1 ≡ l1)

- (φ) ∩ (α) ≡ g : g1 ≡ φ1 ≡ l1

- Tìm g2 (Bài toán cơ bản 1)

- Lấy K2 ≡ l2 ∩ g2 K1l1

K(K1,K2) ≡ l ∩(α)

x

l1

N1

N2

M2

M1

g2

K1

K2

l2

mα

nα

Hình 3.37. Ví dụ tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Cho l(l1,l2), α(mα,nα).

Chú ý: Nếu lấy (φ) là mặt phẳng chiếu bằng

(φ2 ≡ l2) thì ta cũng làm tương tự.

φ1 ≡ ≡ g

1

b) Mặt phẳng cắt mặt phẳngDùng phương pháp mặt phẳng phụ. (Hình 3.29) Giả sử cho hai mặt phẳng (α), (β). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đó bằng phương pháp mặt phẳng phụ như sau: - Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β). - Gọi: k ≡ (φ)∩(α)

l ≡ (φ)∩(β) J ≡ k∩l Ta có J là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng (α) và (β). - Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β). - Gọi: k’ ≡ (φ’)∩(α’)

l’ ≡ (φ’)∩(β’) J’ ≡ k’∩l’ Ta có J’ là điểm chung thứ hai của mặt phẳng (α) và (β).

Dựng đường thẳng g đi qua J và J’ thì g≡ (α) ∩ (β).

Hình 3.29. Phương pháp mặt phẳng phụ

Chú ý: (φ) và (φ’) là các mặt phẳng chiếu.

Lấy (φ’) // (φ) thì k’//k, l’//l

αg

l

β

k J

φ

k’ l’

φ’

J’

Giải:

Ví dụ 3: Cho α(a,b) , β(c,d), a∩b=I, c//d. Tìm giao của hai mặt phẳng

C2

D2

x

C1

d1

d2

c2

c1

D1A1 B1

E1 F1

a1 b1

a2

b2

A2

B2E2 F2

J’1

(φ1)

(φ’1)

J1

J2

J’2

Hình 3.30. Vẽ giao tuyến g của mặt phẳng α(a,b) và β(c,d) bằng phương pháp mặt phẳng phụ

g1

g2

k1

k2

k’1

k’2

l1

l2

l’1

l’2

Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Ví dụ 4: Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ) . (Hình 3.28)

Đây là trường hợp tổng quát, chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến. Ta phải tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đóGiải:

- Tìm hai điểm chung M, N của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (β): + M1≡ mα∩mβ x

+ N2≡ nα∩nβ x

- g1 đi qua các điểm M1 và N1

- g2 đi qua các điểm M2 và N2

Ta có g(g1,g2) ≡ α(mα,nα) ∩ β(mβ,nβ)

x

mα

N1

N2

M1

M2

g1

g2

nα

mβ

nβ

Hình 3.28. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ)

b) Mặt phẳng cắt đa diên, mặt cong (Xem sách giáo khoa)

4.2 Đường thẳng cắt mặt(mặt cong, đa diện)4.2.1 Trường hợp đặt biệtNguyên tắc: Đã biết trước một hình chiếu của

giao điểm, tìm hình chiếu còn lại nhờ bài toán điểm thuộc mặt hoặc điểm thuộc đường thẳng.

Ví dụ 1: Vẽ giao của đường thẳng chiếu bằng l với mặt nón được cho như trên hình 6.10.

Giải: - Vì l là đường thẳng chiếu bằng , do đó biết hình chiếu bằng I2 ≡ K2≡ l2

- Tìm I1, K1: Bài toán điểm thuộc mặt nón

l1

O1

S1

S2

O2

T1

T’1

H2 ≡ G2

l2

H1

G1

I1

K1

≡I2≡K2

A1

B1

C1

B2 C2A2

K1

K2

I1

I2

D2

D1

Hình 5.7. Ví dụ 1 : Tìm giao điểm của

đường thẳng l(l1,l2) với lăng trụ chiếu đứng

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng vẽ. ( Lăng trụ chiếu đứng là lăng trụ có cạnh bên

vuông góc với mặt phẳng chiếu đứng П1)

Giải: Giả thiết lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng, do đó ta đã biết trước hình chiếu đứng I1, K1 của

giao điểm. Tìm I2 K2: Bài toán điểm thuộc đường thẳng :

I2 , K2 thuộc l2.

Chú ý: Nhất thiết các đoạn I1K1, I2K2 phải khuất.

l1

l2

4.2.2 Trường hợp tổng quáta)Đường thẳng cắt đa diệnVí dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với hình chóp

được cho trên đồ thức.Giải: Giả thiết đường thẳng l(l1,l2) bất kỳ, đa diện là hình chóp,

ta chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến, do đo phải dùngphương pháp mặt phẳng phụ trợ: (Hình 5.10) - Lấy một mặt phẳng (α) chứa đường thẳng l - Tìm giao tuyến của (α) với chóp : Δ123 - Gọi I, K là giao điểm của l với cạnh của Δ123 thì I, K là giao điểm của đường thẳng l với hình chóp đã cho.

B1A1

S1

31

J121

B2

C1

A2

C2

11

22

J2

12

32

S2

≡ α 1l1

l2

K1

K2

I1

I2

Chú ý: Mặt phẳng (α) được chọn là mặt phẳng chiếu.

α

l

B

A

S

3

2

C1

KI

b)Đường thẳng cắt mặt cong* Tìm giao của đường thẳng với mặt nón trong trường hợp tổng quát

- Lập mặt phẳng phụ trợ α(S, k)- Kéo dài đường thẳng k cắt mặt phẳng đáy nón tại 2.- Trên k lấy điểm K tùy ý, kéo dài SK cắt mặt phẳng đáy nón tại 1.- 12 cắt đáy nón tại hai điểm F, J . Nối SF, SJ cắt k tại I và I’. I, I’ là giao điểm cần tìm. * Trường hợp giao điểm của đường thẳng k với mặt phẳng đáy nón quá xa, ta có thể lấy thêm một điểm R trên đường thẳng k

1

S

2

K

F J

II’

1

S

2

K

F J

II’ R

kk

αα

- Lập mặt phẳng phụ trợ α đi qua k và song song với trục của trụ.- Kéo dài đường thẳng k cắt mặt phẳng đáy trụ tại 2.- Trên k lấy điểm K tùy ý, qua K kẻ đường thẳng song song với trục của trụ, cắt mặt phẳng đáy trụ tại 1.- 12 cắt đáy nón tại hai điểm F,J . Qua điểm F, J kẻ hai đường thẳng song song với trục của trụ cắt k tại I và I’. * Trường hợp giao điểm của đường thẳng k với mặt phẳng đáy trụ quá xa, ta có thể lấy thêm một điểm R trên đường thẳng k

1O

2

K

F J

II’

a) b)k

O

k

R

* Tìm giao của đường thẳng với mặt trụ trong trường hợp tổng quát (Hình 6.15)

α

1 2

K

F J

I I’α

*Đường thẳng cắt mặt cầuVí dụ 2: Vẽ giao của đường mặt f với mặt cầu (S) được cho như trên hình 6.11.Giải: - Trong bài toán này, chưa biết hình chiếu nào của giao điểm, do đó ta phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ. - Lấy mặt phẳng φ(φ2) chứa đường f(f1, f2),

φ(φ2) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến phụ là

đường tròn (C): (C2) ≡ (φ2).

- Tìm (C1).

- Ta có: I1, K1 ≡ (C1)∩ f1

I2, K2 f2

f1

K2

I1

K1

f2

O1

O2

I2 ≡ φ2(C2)

(C1)

Hình 6.11. Ví dụ 1: Vẽ giao của đường mặt f với mặt cầu (S)

(S1)

(S2)

12

11

4.3 Giao hai đa diệnVí dụ 1: Tìm giao của hình chóp với lăng trụ chiếu đứng . (Hình 5.11) Giải: - Nhận xét: Lăng trụ xuyên qua hình chóp, do đó giao tuyến có hai đường gấp khúc khép kín. - Hình chiếu đứng của giao tuyến trùng với đáy của hình lăng trụ: 11, 21, 31, 41, 51.

- Tìm hình chiếu bằng: Giải bài toán điểm thuộc mặt của hình chóp. - Để nối và xét thấy khất, ta dùng phương pháp khai triển như hình 5.12

BA

S SD

E

F

D

C A

S S

1

1

5

43

2

1’5’

3’

1’

B1A1

S1

41

21

B2

C1

A2

C2

11=1’1

22

12

32

S2

1’2

31 ≡3’1

3’2

42

51 ≡5’1

52

5’2

D1

E1

F1

D2 F2E2

(-)

Ví dụ 2: Tìm giao của hai lăng trụ trong đó có một lăng trụ là lăng trụ chiếu bằng (Hình 5.13)

Hình 5.14. Bảng nối và xét thấy khuất giao tuyến trên hình chiếu đứng

E F

C

B

A

C

D E

5

6

4

2

4’

31

3’(-)

(-)

B1

A1

B2

C1

A2

C2

D1 E1

F1

D2

E2

F2

4’1

21

42≡4’2

12

31

11

32≡3’2

41

62

51

52

3’1

61

H2G2

H1

G1

22

4.4- Giao của đa diện với mặt cong Mỗi một mặt đa diện cắt mặt cong bậc 2 theo một đường bậc 2.Vì vậy, giao của đa diện với mặt cong là tổ hợp của các đường bậc 2.

Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của lăng trụ chiếu đứng với hình

nón tròn xoay được cho trên hình 6.16. Giải: - Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng, do đó đã biết hình chiếu đứng của giao tuyến là các đoạn 1-2-3-4 - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến : bài toán điểm thuộc mặt nón. Bổ xung thêm các điểm 5-6 để vẽ giao tuyến được chính xác. - Nhận xét: + Mặt (AA’B’B) song song với đáy hình nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung tròn 1-2 + Mặt (BB’C’C) song song với một đường sinh của hình nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung parabol: 2-5-3 + Mặt (AA’C’C) cắt tất cả các đường sinh của hình nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung elip 3-6-4.

S1

61

A1 ≡A’1

B2

32

3’2

A2

S2

C2

12

22

11

21

≡31

2’2

41

42

62

6’2

52

5’2

51

B1 ≡B’1

C1 ≡C’1

A’2 C’2B’2

4.5- Giao của hai mặt congVí dụ 1: Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoay (Hình )Giải: - Giao của trụ chiếu đứng và nón tròn xoay là đường cong ghềnh bậc 4. - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng của giao tuyến. - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau: + Điểm 1,4 thuộc đường sinh biên của nón cắt trụ. + Điểm 2 là điểm xét giới hạn thấy khuất. + Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất. - Để vẽ đường cong ghềnh chính xác hơn có thể tìm thêm các điểm X, Y...

Hình 6.18Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoay

S1

S2

11

41

31

21

32

22

2’2

42

3’2

12

X1

Y1

X2

X’2

Y2

Y’2

Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu (Hình )Giải: - Giao của trụ chiếu đứng và mặt cầu là đường cong ghềnh bậc 4. - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng của giao tuyến. - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau: + Điểm 2,6 là điểm xét giới hạn thấy khuất. + Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất của trụ. + Điểm 5 là điểm thuộc đường sinh cao nhất của trụ + Điểm 7 là điểm tiếp xúc của trụ với cầu.

Hình 6.19Tìm giao của mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu

61

31

21

7151

32

22

62

52

72

2’2

3’2

5’2

6’2

Chú ý: Hai mặt cong tiếp xúc nhau tại một điểm thì chúng cắt nhau theo đường cong ghềnh bậc 4, tại điểm tiếp xúc của hai mặt cong đường cong ghềnh bậc 4 đó tự cắt nó.

Định lý 1: Nếu hai mặt cong bậc hai đã cắt nhau theo một đường bâc hai thì chúng sẽ cắt nhau theo một đường bậc hai thứ hai.

S1

S2

11

31

21

32

22

2’2

3’2

12

Định lý 2: Nếu hai mặt cong bậc hai tiếp xúc với nhau tại hai điểm thì chúng sẽ cắt nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai điểm tiếp xúc đó.

S1

S2

61

31

21

71

51

81

32

226252

6’2

72

2’2

3’2

5’2

82