Álgebra y trigonometríaRoberto Cruz Rodes

Guías de estudio

Rector de la Universidad de AntioquiaAlberto Uribe Correa

Vicerrector de DocenciaÓscar Sierra Rodríguez

Decano de la Facultad de IngenieríaElkin Libardo Ríos Ortiz

Vicedecano de la Facultad de IngenieríaCarlos Alberto Palacio Tobón

Coordinador del Programa de Educación Ude@Guillermo León Ospina Gómez

AutorRoberto Cruz Rodes

Jefe del Departamento de Recursos de Apoyo e Informática (DRAI) Juan Diego Vélez Serna

Coordinadora de Producción Lyda Yaneth Contreras Olivares

Corrector de estiloDaniel Aldana Estrada

Diagramación y diseñoDuván Mejía Zapata

ImpresiónCátedra Litografía

Primera edición, noviembre de 2010

Esta publicación es un producto del Programa de Educación a Distancia Ude@. Reservados todos los derechos. No se permi-te la reproducción, archivo o transmisión total o parcial de este texto mediante ningún medio, ya sea electrónico, mecánico, óptico, de fotorreproducción, memoria o cualquier otro tipo sin permiso de los editores Ude@.

© Universidad de Antioquia

ISBN: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Impreso en Medellín (Colombia)

PresentaciónUna guía de estudio es un instrumento pedagógico cuyo propósito es orientar al aprendiz para que siga un camino didáctico y metodológico que, a partir de la concepción y expe-riencia de quien la escribe, garantiza mayores posibilidades de éxito en la adquisición de conocimientos.

La guía de estudio se concibe como una ruta de aprendizaje que permite, de una forma lógica y organizada, discriminar y destacar las ideas más relevantes acerca del tema que se va a estudiar, con el fin de centrar al estudiante en aquellas partes específicas del contenido que deben ser abordadas con especial atención y dedicación.

El objetivo general de las guías de estudio que se presentan a continuación está enfo-cado a facilitarle al estudiante el acercamiento y la apropiación cognitiva de los contenidos (conceptuales, procedimentales y actitudinales) que requieren ser estudiados en el curso de Álgebra y trigonometría, según el programa aprobado para la Facultad de Ingeniería, con el fin de que dichos conocimientos puedan ser aplicados en la resolución de ejercicios propues-tos y/o situaciones problemáticas que emerjan en el contexto real del tema estudiado. Es un instrumento que, sin lugar a dudas, propende hacia la obtención de mejores resultados en el aprendizaje.

A continuación se relacionan unas indicaciones generales que son válidas para todos las guías de estudio del curso:

1. Antes de adentrarse en el estudio propuesto de cada guía, cerciórese de que tiene ple-no dominio y un alto grado de comprensión sobre los conocimientos previos que se relacionan en la guía, ya que en las ciencias exactas, más que en otras, la articulación constante de lo que ya se aprendió con lo que se va a aprender es un punto clave; lo que antecede y lo que sigue guardan una estrecha relación que es totalmente indispensable para la comprensión de los temas.

2. Al seguir las indicaciones de cada guía para el estudio de los temas propuestos, haga es-pecial énfasis en la resolución de los ejercicios propuestos. Antes de enfrentar la resolu-ción de un problema, asegúrese de comprender los aspectos teóricos que se relacionan con el problema a resolver. Escriba correcta y cuidadosamente la solución del problema para que practique el lenguaje matemático que se utiliza. Finalmente, presente sus de-sarrollos a su tutor para que él pueda verificar si han sido efectuados correctamente.

3. Si tiene dudas o le surgen inquietudes durante la lectura del texto guía o el desarrollo de los ejercicios propuestos puede anotarlas en su cuaderno de estudio para que después las comparta con su tutor utilizando el medio que estime más conveniente. Con seguri-dad, esto le ayudará a aclarar sus confusiones.

¡Muchos éxitos durante este proceso formativo!

Atención: los enlaces propuestos en estas guías no son permanentes porque a veces sus autores los eliminan. Por ello, le recomendamos que esté pendiente de la plataforma, en donde se le informará si alguno de ellos dejó de funcionar; alli se le propondrán también enlaces nuevos en caso de que el profesor lo considere conveniente.

Guía de estudio 1

Amigo estudiante:Lea con atención la presente guía de estudio; con toda seguridad, ello facilitará que los resultados de estudio sean los mejores.

Tema: Elementos de aritmética

Contenidos1. Razones y proporciones2. Sistemas numéricos3. Progresiones aritméticas y geométricas

Material de estudio requeridoTexto guía. Capítulo 1. Elementos de aritmética

Módulo 1. Razones y proporcionesMódulo 2. Sistemas numéricosMódulo 3. Progresiones aritméticas y geométricasEjercicios del capítulo 1

Recuerde que los contenidos del curso deben ser estudiados en el texto guía del curso. Sin embargo, es recomendable que adicionalmente consulte las fuentes de información presen-tadas al final de esta guía para profundizar en los diferentes temas.

ObjetivoPara identificar los objetivos específicos que se pretenden alcanzar al seguir las recomenda-ciones de la presente guía de estudio es necesario leer en el texto guía tanto la presentación del capítulo 1 como los objetivos planteados para los módulos 1, 2 y 3. Conocimientos previos requeridosCon el fin de facilitar la aprehensión de los contenidos que abarca la presente guía, se reco-mienda que el estudiante esté previamente capacitado para:

▪ Identificar las propiedades de las operaciones de suma y producto de números rea-les.

Indicaciones1. Para comenzar el estudio se recomienda hacer una lectura cuidadosa tanto de la pre-

sentación del capítulo como de los objetivos planteados para los módulos 1, 2 y 3; esto le ayudará a identificar en su estudio los conceptos y procedimientos fundamentales que deberá aprender.

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Guía de estudio 1

2. Haga una lectura rápida del módulo 1, observando la forma como se presenta el tema de las razones y las proporciones y su aplicación al cálculo porcentual, identificando en las definiciones los objetos matemáticos con los que se va a trabajar, además de las propiedades de dichos objetos.

3. Comience ahora una lectura detallada de las secciones 1.1 y 1.2. Concéntrese en las definiciones de razón y proporción prestando especial atención a las diferencias entre las magnitudes directamente proporcionales y las magnitudes inversamente proporcionales.

4. Estudie el concepto de regla de tres en la sección 1.2.4 y su utilización para hallar el cuarto término de una proporción, de la cual se conocen los restantes tres términos.

5. Estudie los ejemplos resueltos 2, 3, 4 y 6 de las páginas 25, 26 y 27, que ilustran la apli-cación de la regla de tres, e intente resolver los ejercicios propuestos 9 y 14 de la página 51.

6. Haga una lectura detallada de la sección 1.3, identificando los elementos del cálculo porcentual y la forma de hallar estos elementos como una aplicación directa de la regla de tres.

7. En los ejemplos resueltos 7, 8, 9 y 12 de las páginas 28, 29 y 30 se resuelven problemas de cálculo porcentual de diferentes tipos: cuando se requiere hallar un porciento, cuando se da el porciento y el valor base para hallar el valor del porcentaje y cuando se da el porciento y el valor del porcentaje para hallar el valor base. Intente resolver los ejercicios propuestos 4, 6, 7 y 8 de la página 51.

8. Comience ahora una lectura detallada del módulo 2. Concéntrese en la definición de los diferentes sistemas numéricos. Haga especial énfasis en la tabla de la página 35 y en entender la descripción de cada sistema y las relaciones de inclusión entre los diferentes sistemas numéricos.

9. Haga una lectura rápida del módulo 3 observando la forma como se presenta el tema de las progresiones e identificando en las definiciones los objetos matemáticos con los que se va a trabajar, las propiedades de dichos objetos y las diferencias entre las progresio-nes aritméticas y geométricas.

10. Comience ahora una lectura detallada de la sección 3.1. Concéntrese en la definición de progresión aritmética prestando especial atención a los elementos que la componen: primer término, diferencia común y número de términos.

11. Estudie la fórmula para el término enésimo de una progresión aritmética. Para esto le servirá mucho entender el proceso mediante el cual se obtiene esta fórmula.

12. En el ejemplo resuelto 15 de la página 38 observe la forma de hallar un término especí-fico de una progresión aritmética si se dan los primeros términos de ésta, como una apli-cación directa de la fórmula del término enésimo. Intente resolver el ejercicio propuesto 26 de la página 52.

13. Otro problema común que se plantea para las progresiones aritméticas es hallar el primer término o la diferencia común si se dan dos términos no consecutivos de la progresión. Estudie el ejemplo resuelto 16 de la página 38, donde se resuelve uno de estos proble-mas, e intente resolver el ejercicio propuesto 28 de la página 52.

14. Estudie la fórmula para la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. Para esto le servirá mucho entender el proceso mediante el cual se obtiene esta fórmula.

15. Estudie los ejemplos resueltos 19, 20 y 21 de la página 40. En estos ejemplos se ilustra la forma de resolver problemas en los que se emplea la fórmula, para lo cual se necesita conocer el primer término y la diferencia común. Intente resolver los ejercicios propues-tos 29 y 30 de la página 52.

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Elementos de aritmética

16. Comience ahora una lectura detallada de la sección 3.2. Concéntrese en la definición de progresión geométrica prestando especial atención a los elementos que la componen: primer término, razón y número de términos.

17. Estudie la fórmula para el término enésimo de la progresión geométrica. Para esto le servirá mucho entender el proceso mediante el cual se obtiene esta fórmula.

18. En el ejemplo resuelto 23 de la página 41 observe la forma de hallar un término especí-fico de la progresión geométrica si se dan los primeros términos de ésta, como una apli-cación directa de la fórmula del término enésimo. Intente resolver el ejercicio propuesto 31 de la página 52.

19. Otro problema común que se plantea para las progresiones geométricas es hallar el pri-mer término o la razón si se dan dos términos no consecutivos de la progresión. Estudie el ejemplo resuelto 24 de la página 41, donde se resuelve uno de estos problemas, e intente resolver el ejercicio propuesto 34 de la página 52.

20. Estudie la fórmula para la suma de los n primeros términos de una progresión geomé-trica. Para esto le servirá mucho entender el proceso mediante el cual se obtiene esta fórmula.

21. Estudie los ejemplos resueltos 25 y 26 de las páginas 42 y 43. En ellos se ilustra la forma de resolver problemas en los que se emplea la fórmula, para lo cual se necesita conocer el primer término y la razón. Intente resolver el ejercicio propuesto 33 de la página 52.

22. Vea los módulos 1, 2 y 3 del programa de televisión Álgebra y trigonometría y escuche los programas de audio La divina proporción, Razones famosas del número pi, Da Vinci, Historia del ajedrez, La paradoja de Zenón y La divina proporción.

23. En la sección de Ejercicios al final del capítulo 1 hay varios ejercicios propuestos que puede realizar como entrenamiento para afianzar los conceptos estudiados, además de los recomendados en esta guía.

24. Consulte la bibliografía y la webgrafía que se le presentan en esta guía.25. Finalmente, tome la guía de autoevaluación 1 y desarróllela paso a paso, aplicando los

conceptos estudiados.

Bibliografía Buriticá, B. (2010), Álgebra y trigonometría, 4.ª ed., Medellín, Universidad de Antioquia (Pro-

grama Ude@), pp. 20-55 (texto guía). Swokowski, E. W. y J. A. Cole (2006), Álgebra y trigonometría con geometría analítica, 11.ª

ed., Thomson Editores, pp. 748-763.

Webgrafíahttp://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometriahttp://matematicas.inemitas.com/talleres/proporcion_perf.htmhttp://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/seriegeom/progregeom.html

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Guía de estudio 1

Nota:Ha finalizado la guía de estudio 1. En ella se han tratado de plasmar aquellas estrategias y técnicas que, desde la experiencia docente, se configuran como una ruta certera para lograr el aprendizaje requerido a partir de los objetivos planteados.

¡Muchos éxitos durante este proceso formativo!