Gramáticas y Modelos Matemáticos - Clase 5

GRAMÁTICAS Y MODELOS MATEMÁTICOS

U.T.N. – F.R.T. S. y S. de los L.

CONSTRUCCIÓN DE UNA MT:

Como se pudo comprobar mediante los ejemplos vistos oportunamente, las MT pueden desempeñar muchas actividades además de reconocimiento de lenguajes. También dijimos que esta máquina se toma como modelo teórico de las computadoras y que cualquier

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toma como modelo teórico de las computadoras y que cualquier problema que tenga solución algorítmica tiene una MT asociada.

Veremos ahora como construir una MT capaz de realizar alguna tarea compleja a partir de la combinación de otras MT sencillas.

La idea básica consiste en combinar dos MT permitiendo que compartan la misma cinta, de tal modo que cuando una termine su ejecución la otra comience, tomando como secuencia inicial y posición del cabezal de lectura/escritura, la que dejó la primer MT.



CONSTRUCCIÓN DE UNA MT:

Composición de Máquinas de Turing: Sean MT1 y MT 2 dos MT sobre el mismo alfabeto ΣΣΣΣE y el mismo alfabeto auxiliar ΣΣΣΣA , donde:

MT 1 = ⟨⟨⟨⟨ Q1 , ΣΣΣΣE , ΣΣΣΣA , q01 , F1 , f1 ⟩⟩⟩⟩

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con Q1 y Q2 son disjuntos.La composición de MT1 y MT 2 es la máquina de Turing MT3 con componentes: MT 3 = ⟨⟨⟨⟨ Q1 ∪∪∪∪ Q2 , ΣΣΣΣE , ΣΣΣΣA , q01 , F2 , f3 ⟩⟩⟩⟩ y

f1(q, e) si q∈∈∈∈Q1 y f1(q, e) ≠ ≠ ≠ ≠ (p, s, m) ∀∀∀∀ p∈∈∈∈F1f3(q, e) = f2(q, e) si q∈∈∈∈Q2

(q02, s, m) si q∈∈∈∈Q1 y f1(q, e) = (p, s, m) y p∈∈∈∈F1



EJEMPLOS DE CONSTRUCCIÓN DE MT:

Los siguientes son ejemplos de MT sencillas con alfabeto de entrada {a, b} , que realizan tareas básicas sobre la cinta:

M1: MT que busca el primer M2: MT que escribe una “a”

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M1: MT que busca el primer M2: MT que escribe una “a”blanco de la derecha. en el casillero actual.

(a,a,D)

(∆∆∆∆,∆∆∆∆,D)11 12

(b,b,D)

(a,a,N)21 22

(∆∆∆∆,a,N)

(b,a,N)




M3: MT que mueve el cabezal M4: MT que permite bifurcar un lugar a la izquierda. según lea una “a” o una “b”

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(a,a,I)(∆∆∆∆,∆∆∆∆,I)

31 32(b,b,I)

(a,a,D)

41

43(b,b,D)

42




M5: MT que escribe una “a” después del segundo espacio en blanco a la derecha. Esto se logra con la composición M1-M1-M2.

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(a,a,D)

(∆∆∆∆,∆∆∆∆,D)51

(b,b,D)

(a,a,D)

(∆∆∆∆,∆∆∆∆,D)52

(b,b,D)

(a,a,N)53 54

(∆∆∆∆,a,N)

(b,a,N)




M6: MT que si la secuencia comienza con “b” lo cambia por “a” y sino escribe una “a” después del primer blanco de la derecha. Esto se logra con una composición M4-(M3 / M1)-M2.

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logra con una composición M4-(M3 / M1)-M2.

(a,a,D)

61

(b,b,D)(a,a,I)

(∆∆∆∆,∆∆∆∆,I)

63(b,b,I)

(a,a,D)

(∆∆∆∆,∆∆∆∆,D)62

(b,b,D) (a,a,N)64 65

(∆∆∆∆,a,N)

(b,a,N)



APLICACIÓN : Resolubilidad y Complejidad.

Función Computable: Una función “f” se dice Turing Computable o simplemente Computable, si para la misma existe una MT que es capaz de obtener el valor de f(w) para todo w

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una MT que es capaz de obtener el valor de f(w) para todo w perteneciente al dominio de “f”.

Problemas de decisión: Son aquellos problemas cuyo resultado se puede representar con una función de rango binario con valores (falso/cierto, si/no, 0/1).

Resolubilidad o “Decidibilidad” : Cuando un problema de decisión es computable por una MT se dice que es decidible o resoluble, de lo contrario se dice que es indecidible o irresoluble.




Lenguajes Recursivamente Enumerables: Los lenguajes generados solo por gramáticas irrestrictas o de Tipo 0 según Jerarquía de Chomsky, se conocen como lenguajes irrestrictos o recursivamente

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Chomsky, se conocen como lenguajes irrestrictos o recursivamente enumerables, debido a que sus palabras se pueden generar mediante la aplicación de reglas gramaticales recursivas sobre la cinta de una MT. Esto a la vez permite que una MT sea capaz de reconocer las palabras de un LRE, por lo que se dice que son “aceptables” por una MT.Como vimos en oportunidad de estudiar las MT, existen secuencias del universo del lenguaje aceptado que pueden producir un bucle infinito. Esto significa que los complementos de algunos LRE no son aceptables por una MT y por lo tanto no son LRE.




Lenguajes Recursivos: Los LRE cuyos complementos también son LRE o sea aceptables por una MT, se conocen como Lenguajes Recursivos. Se dice que estos lenguajes son “decidibles” por una

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Recursivos. Se dice que estos lenguajes son “decidibles” por una MT, ya que todas las palabras del universo del lenguaje producen la detención o parada de la MT.

O sea que el problema de decisión que plantea la comprobación de pertenencia para Lenguajes Recursivos, siempre tiene solución algorítmica y por lo tanto es resoluble o decidible.

También podemos afirmar que el conjunto de Lenguajes Dependientes del Contexto o de Tipo 1, es un subconjunto de los Lenguajes Recursivos.




Propiedades de los lenguajes aceptables y decidibles por MT:

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Se puede afirmar que los LRE son cerrados para las operaciones de intersección, unión, concatenación y estrella de Kleene, no así para el complemento.

En el caso de los Lenguajes Recursivos se puede demostrar que son cerrados para todas las operaciones mencionadas anteriormente.




Complejidad Algorítmica:La complejidad de un algoritmo se puede medir en lo temporal y en lo espacial.Desde un punto de vista teórico la complejidad temporal se mide en

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Desde un punto de vista teórico la complejidad temporal se mide en función de la cantidad de pasos que lleva una MT asociada al algoritmo, en detenerse. Se distingue aquellos algoritmos que tienen un tiempo de ejecución acotado por una función polinomial, los que se detienen en un tiempo razonable; de aquellos cuya cantidad de pasos aumenta exponencialmente, provocando demoras en su ejecución que pueden resultar totalmente imprácticas. En cuanto a la complejidad espacial se suele medir en función de la cantidad de casilleros que utilizaría la MT asociada al algoritmo.

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