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MODELOS MATEMATICOS
1.- PROGRAMACION LINEAL
1.1.- ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES
Como graficar ecuaciones
Los puntos en el plano no los definimos, los representamos y los nombramos con las letras mayúsculas del alfabeto y los localizamos en el plano utilizando un sistema de referencia. Un sistema de referencia son dos rectas perpendiculares entre si, que llamamos ejes, que se cortan en un punto que denominamos origen. Habitualmente uno de los ejes es una recta horizontal y el otro una recta vertical. Al eje horizontal lo denominamos eje de abcisas y al vertical eje de ordenadas. Sobre cada eje se establece una unidad para medir, no tiene que ser la misma, que establece una correspondencia entre cada punto del eje y un número real y entre cada número real y cada punto del eje.
Ejemplo: Un sistema de referencia y localización de un punto en el plano.
Un punto del plano queda determinado por su coordenada x y por su coordenada y. En el caso de la figura anterior, las coordenada del punto A son: coordenada x=7, coordenada y= 5 y escribimos A(7, 5).
Vectores en el plano
Llamamos vector al par ordenado de puntos AB. Es idéntico al segmento rectilíneo orientado, o sea, recorrido desde A hasta B. Al primer punto lo llamamos origen; al segundo, extremo. Para distinguirlos, en el dibujo, se pone una flecha. Entre los vectores se cuentan los pares de puntos idénticos AA, que son los vectores nulos.
Realmente lo que nos interesa de estos elementos son su magnitud (módulo), dirección y sentido. De forma que todos los vectores que tengan la misma magnitud, dirección y sentido, los agrupamos en una clase, que origina un nuevo objeto, al que llamamos vector libre y que podemos representar por cualquiera de sus elementos, cualquiera de ellos representa a la clase. A los vectores libres los representamos por letras minúsculas del alfabeto, en ocasiones coronadas por una flecha. Dado un sistema de referencia los vectores libres quedan determinados por un par de números reales, llamados sus componentes.
Observar en la figura como el vector v tiene las mismas componentes, independientemente de que en cada uno el punto origen y el punto extremo, son distintos. En adelante cuando nos refiramos a un vector, nos referimos a un vector libre. Como se puede observar en la figura, un vector queda determinado dando su origen y su extremo o dando sus componentes, mediante la siguiente fórmula:
Observación: No hay que confundir un punto con un vector, ambos se determinan por un par de números reales, pero conceptualmente son muy diferentes.
Rectas en el plano.
Una recta en el plano queda determinada por dos puntos o por un punto y una dirección (vector). Como ejemplo, vamos a determinar, en la figura siguiente, la recta dada por el punto A(2, 3) y el vector v (-1, 2). Las coordenadas P(x, y) de los puntos que pertenecen a la recta se obtienen sumando al vector OA, el vector v multiplicado por un número real.
Puede ser motivo de confusión, que las coordenadas del punto P(x, y) coinciden con las componentes del vector OP. Esta circunstancia permite utilizar métodos vectoriales o métodos paramétricos para obtener las coordenadas de los puntos P(x, y) que pertenecen a la recta.
Observación: El vector de componentes (-b, a) es el vector que determina la dirección de la recta y se llama vector director. Todas las rectas con un mismo vector director son paralelas.
Ejemplo: Sea la recta de ecuación:
x - 2y = 5
Para dibujarla en un sistema de referencia , sólo tenemos que determinar dos puntos o el vector director y un punto. El vector director es (2, 1) y para determinar puntos que pertenezcan a la recta, despejamos una de las variables en función de la otra, por ejemplo, la x en función de la y.
x = 5 + 2y
Y dando valores a y, obtenemos valores para x.
Semiplano: Una recta divide al plano en dos regiones, cada una de las cuales se conoce como semiplano. Si la ecuación de la recta es: ax + by = c
Los semiplanos en que divide al plano esta ecuación vienen dados por las soluciones de las inecuaciones : ax + by < c ; ax + by > c
Ejemplo: Sea la recta de ecuación : 3x - 2y = 5 Los semiplanos que define son:
El semiplano determinado por cada inecuación es su conjunto de soluciones. Una vez dibujada la recta en un sistema de referencia, si no pasa por el origen, la forma más practica de determinar el semiplano solución de cada inecuación, consiste en probar con el punto (0, 0) en
la ecuación de la recta y comprobar qué inecuación satisface; si la recta pasa por el origen, se prueba con cualquier otro punto de coordenadas sencillas.
1.2 SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES, INTERPRETACIÓN GRAFICA DEL ÁREA SOLUCIÓN
Es el conjunto de dos o más inecuaciones que se deben satisfacer a la vez. Conjunto solución del sistema o región factible es la región formada por la intersección de los semiplanos solución de cada una de las inecuaciones de un sistema. Polígono convexo o región convexa. Es toda región del plano tal que para dos puntos cualesquiera de la región, el segmento que los une está contenido en su interior.
1. La región factible es un polígono convexo y puede ser: acotado, no acotado y vacío, es decir, que no haya ni un solo punto que verifique todas las restricciones al mismo tiempo.
Gráfica de Sistemas de desigualdades lineales en dos variables
Una ecuación lineal con dos variables x y y, es de la forma:
ax +by + c = 0, a,b ambos no iguales a cero
Donde tiene un conjunto solución que se puede exhibir en forma gráfica como los puntos de una línea recta en el plano xy. Ahora se mostrará que también existe una representación gráfica sencilla de las desigualdades lineales con dos variables:
ax +by + c < 0 ax + by + c < 0ax + by + c > 0 ax + by + c > 0
Antes de ver un procedimiento general para graficar tales desigualdades, se analizará, un ejemplo específico. Supóngase que hay que graficar
2x+ 3y <6 (1)
Primero se grafica la ecuación 2x+ 3y =6, la cual se obtiene de la desigualdad dada reemplazando la desigualdad “<” por una igualdad “=”
Obsérvese que la recta divide al plano xy en dos semiplano: uno superior y uno inferior. Se mostrará que el semiplano es la gráfica de la desigualdad lineal
2x+ 3y >6 (2)
mientras que el semiplano inferior es la gráfica de la desigualdad lineal 2x+ 3y <6 (3)
Para ver esto, se escriben (2) y (3) en las formas equivalentes
y>-2/3x+2 (4)
y<-2/3x+2 (5)
La ecuación de la propia recta es
y =-2/3x+2 (6)
Ahora, se elige cualquier punto P(x,y) que está arriba de la recta L; sea que Q el punto en L que está directamente bajo P.(fig.1). Como Q está en L sus coordenadas deben satisfacer la ecuación (6). En otras palabras, Q se representa como Q(x,-2/3x+2). Al comparar las coordenadas de P y Q y recordar que P está arriba de Q, de modo que su ordenada debe ser mayor que la de Q, se tiene
y>-2/3x+2
Pero esta desigualdad es precisamente la ecuación (4) o, en forma equivalente, la ecuación (2). De manera análoga, se puede mostrar que cualquier punto que se encuentre debajo de L debe satisfacer la ecuación (5) y por lo tanto (3).
Este análisis muestra que el semiplano inferior proporciona una solución a nuestro problema. (La línea punteada indica que los puntos en L no pertenecen al conjunto solución.). Obsérvese que los dos semiplanos en cuestión son mutuamente excluyentes; es decir, no tienen puntos en común. Debido a esto, existe un método alternativo más sencillo para determinar la solución del problema.
Para determinar el semiplano requerido, se elige cualquier punto en uno de los semiplanos. Para simplificar el proceso, elíjase el origen (0,0), que está en el semiplano inferior. Al sustituir x =0 y y =0 (las coordenadas de este punto) en la desigualdad dada (1), se tiene
2(0)+3(0)<6
o 0<6, lo que es cierto. Esto dice que el semiplano requerido es el semiplano que contiene al punto de verificación; esto es, el semiplano inferior.
A continuación se verá que ocurre al elegir el punto (2,3), que está en el semiplano superior. Al sustituir x =2 y y =3 en la desigualdad dada se tiene
2(2)+3(3)<6
o 13<6, lo que es falso. Esto significa que el semiplano superior no es el semiplano requerido, como era de esperarse. Obsérvese también que ningún punto (x,y) que esté en la recta constituye una solución a este problema, debido a la desigualdad estricta “<”.
Procedimiento para graficar
desigualdades lineales
1 Se traza la gráfica de la ecuación obtenida de la desigualdad dada, reemplazando el signo de desigualdad con un signo de igualdad. Se utiliza una línea punteada si el problema comprende una desigualdad estricta, “<” o “>”. En caso contrario, se usa una línea sólida para indicar que la recta forma parte de la solución. 2. Se elige un punto de verificación que esté en alguno de los semiplanos determinados por la recta trazada en el paso 1 y se sustituyen los valores de x y y en la desigualdad dada. Cuando sea posible, se utilizará el origen.3.Si se satisface la desigualdad, su gráfica incluye el semiplano que contiene al punto de verificación. En caso contrario, la solución incluye el semiplano que no lo contiene.
Este análisis sugiere el siguiente procedimiento para graficar una desigualdad lineal en dos variables.
El conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales en los dos variables x y y es el conjunto de todos los puntos (x,y) que satisfacen cada desigualdad del sistema. La solución gráfica de tal sistema se puede obtener graficando el conjunto solución para cada desigualdad de manera independiente y determinando a continuación la región común de los diversos conjuntos solución .
Determinar el Conjunto solución del sistema
4x+ 3y>12 x - y<0
Solución: Al proceder como en los ejemplos anteriores, no tendríamos la dificultad en localizar los semiplanos determinados por cada uno de las desigualdades lineales que forman el sistema. Estos semiplanos aparecen en la figura 3. La intersección de los dos semiplanos es la región sombreada. Un punto de esta región es un elemento del conjunto solución del sistema dado. El punto P, la intersección de las dos líneas rectas determinadas por las ecuaciones, se encuentra resolviendo las ecuaciones simultáneas.
4x+ 3y = 12x – y = 0
Trazar el conjunto solución del sistema
x + y – 6 <0 2x+ y –8 <0 y>0 x>0
Solución: La tercera desigualdad del sistema define el semiplano derecho (todos los puntos a la derecha del eje y, más todos los puntos que están sobre el propio eje y). La cuarta
desigualdad del sistema define el semiplano superior, incluyendo el eje x. Los semiplanos definidos por la primera y segundad desigualdad aparecen indicados mediante flechas en la figura 4. Así la región requerida, la intersección de los cuatros semiplanos definidos mediante las cuatros desigualdades en el sistema dado de desigualdades lineales, es la región sombreada. El punto P se determina resolviendo las ecuaciones simultáneas x + y – 6 =0 y 2x+ y –8 =0.
El conjunto solución que se encontró en el ejemplo 2 es un ejemplo de conjunto acotado. Obsérvese que el conjunto se puede encerrar en un círculo de radio 10 con centro en el origen, se verá que el conjunto está completamente dentro del círculo. Por otro lado, el conjunto solución del ejemplo 1 no se puede encerrar en un círculo y se dice que no está acotado.
Conjunto solución acotados y no acotados
Un conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales está acotado si se puede encerrar en un círculo. En caso contrario, no está acotado
Ejemplos de resolución sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas
1.- Resolver las inecuaciones siguientes, dibujando la solución.
a) b) c)
2.-Resolver los sistemas de inecuaciones siguientes, dibujando la solución.
a) b)
3.- Resolver los sistemas de inecuaciones siguientes, dibujando la solución.
a) b)
1.3 FORMA GENERAL DEL PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS: TABLA DE DATOS, VARIABLES, FUNCIÓN OBJETIVO, RESTRICCIONES, ANÁLISIS DIMENSIONAL, SOLUCIÓN.
Muchas personas clasifican el desarrollo de la Programación Lineal (PL) entre los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad es una herramienta común que ha ahorrado miles o millones de dólares a muchas compañías y negocios, incluyendo industrias medianas en distintos países del mundo. ¿Cuál es la naturaleza de esta notable herramienta y qué tipo de problemas puede manejar? Expresado brevemente, el tipo más común de aplicación abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir, en forma óptima). Este problema de asignación puede surgir cuando deba elegirse el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos para realizarlas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción es sin duda muy grande, y va desde la asignación de instalaciones productivas a los productos, hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país; desde la planeación agrícola, hasta el diseño de una terapia de radiación; etc. No obstante, el ingrediente común de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades.
Supuestos de la programación lineal.
Existe un número de suposiciones realizadas en cada modelo. La utilidad de un modelo está directamente relacionada con la realidad de los supuestos.
El primer supuesto tiene que ver con la forma lineal de las funciones. Ya que el objetivo es lineal, la contribución al objetivo de cualquier decisión es proporcional al valor de la variable de decisión. Producir dos veces más de producto producirá dos veces más de ganancia, contratando el doble de páginas en las revistas doblará el costo relacionado con las revistas. Es una Suposición de Proporción.
Además, la contribución de una variable a la función objetivo es independiente de los valores de las otras variables. La ganancia con una computadora Notebook es de $100, independientemente de cuantas computadoras Desktop se producen. Este es un Supuesto de Adición.
Análogamente, ya que cada restricción es lineal, la contribución de cada variable al lado izquierdo de cada restricción es proporcional al valor de la variable e independiente de los valores de cualquier ora variable.
Estas suposiciones son bastante restrictivas. Veremos, sin embargo, que ser claros y precisos en la formulación del modelo puede ayudar a manejar situaciones que parecen en un comienzo como lejanos a estos supuestos.
El siguiente supuesto es la Suposición de ser Divisible. Es posible tomar una fracción de cualquier variable. Por ejemplo, en un problema de marketing, qué significa comprar 2.67 avisos en la televisión?. Es posible que la suposición de ser divisible sea insatisfecha en este ejemplo. O puede ser que tales unidades de 2.67 avisos correspondan a 2,666.7 minutos de avisos, en cuyo caso redondeando la solución serían 2,667 minutos con una mínima duda que esté cercana a la solución óptima. Si la suposición de divisible no es válida, entonces se usará la técnica de Programación Lineal Entera.
La última suposición es el Supuesto de Certeza. La Programación Lineal no permite incertidumbre en los valores.
Será difícil que un problema cumpla con todas las suposiciones de manera exacta. Pero esto no negará la factibilidad de uso del modelo. Un modelo puede ser aún útil aunque difiera de la realidad, si se es consistente con los requerimientos más estrictos dentro del modelo y se tiene claras sus limitaciones al interpretar los resultados.
Formulación de modelos de Programación Lineal.
Los Modelos de Programación lineal planteados y resueltos con cualquiera de sus métodos deberán cumplir cuatro condiciones necesarias y suficientes1.- Función ObjetivoEs la función lineal que expresa la cantidad que va a ser maximizada o minimizada según el objetivo planteado, en función de los márgenes de contribución. utilidades y/o costos. El criterio para elegir las mejores variables de decisión, se describe en los coeficientes de esta función lineal
Maximizar (Minimizar) Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn,Z= Objetivo del problemacn = Margenes de contribución unitarios (ganancias, precios, costos, etc)xn = Variables de decisión objeto del problema (incógnitas)
2.- Limitaciones o RestriccionesLas reglas de operación que definen todo proceso, se expresan mediante un conjunto de funciones lineales (ecuaciones o inecuaciones), conocidas como restricciones o limitaciones, que representan condiciones finitas del problema y disponibilidad de recursos, como: capitales, mano de obra, materia prima, maquinaria, etc.
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn b2
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn bm
3.- No negatividadLas Variables de decisión (x1, x2, …..xn) del problema deben ser NO NEGATIVAS
x1 0, x2 0, ..., xn 0
4.- OptimalidadSon la soluciones que se van obteniendoa.- Solución Factible: Es aquella que satisface las restricciones del problemab.- Solución Básica Factible: es aquella que satisface las restricciones del problema dando resultados solo positivosc.- Solución Optima Factible: aquella que satisface tanto las restricciones como la función objetivo del problema
1.4 MÉTODO GRAFICO PARA PROGRAMACIÓN LINEAL
Para la solución gráfica de programas lineales con dos variables, lo que se tiene que hacer es trazar un eje de coordenadas cartesianas, para graficar las desigualdades dadas por el problema, después encontrar el Área de Soluciones Factibles y proceder a graficar la función objetivo para conocer el valor óptimo (maximizar o minimizar) que será la solución del problema. Ejemplo: Problema de mezcla de productos.
Un fabricante está tratando de decidir sobre las cantidades de producción para dos artículos: mesas y sillas. Se cuenta con 96 unidades de material y con 72 horas de mano de obra. Cada mesa requiere 12 unidades de material y 6 horas de mano de obra. Por otra parte, las sillas usan 8 unidades de material cada una y requieren 12 horas de mano de obra por silla. El margen de contribución es el mismo para las mesas que para las sillas: $5.00 por unidad. El fabricante prometió construir por lo menos dos mesas.
Paso 1: formulación del problema.El primer paso para resolver el problema es expresarlo en términos matemáticos en el formato general de PL. ¿Cuál es el objetivo? Es maximizar la contribución a la ganancia. Cada unidad de mesas o sillas producidas contribuirá con $5 en la ganancia. Así las dos alternativas son la producción de mesas y la producción de sillas. Ahora puede escribirse la función objetivo:
Maximizar Z = 5x1 + 5x2
en donde: x1 = número de mesas producidas x2 = número de sillas producidas
¿Cuáles son las restricciones o limitaciones del problema? Existen tres restricciones. Primero, el material está limitado a 96 unidades. Cada mesa se lleva 12 unidades de material y cada silla usa 8 unidades. La primera restricción es, entonces:
12x1 + 8x2 ≤ 96 La segunda restricción es el total de horas de mano de obra. Una mesa se lleva 6 horas, una silla 12 horas y se dispone de un total de 72 horas. Así:
6x1 + 12x2 ≤ 72 Existe una limitación más. El fabricante prometió producir por lo menos dos mesas. Esto puede expresarse como:
x1 ≥ 2 Por último, las restricciones de no negatividad son:
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Poniendo todo junto el modelo se tiene:
Maximizar Z = 5x1 + 5x2
Restricciones: 12x1 + 8x2 ≤ 96 6x1 + 12x2 ≤ 72 x1 ≥ 2 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Paso 2: gráfica de las restricciones.El siguiente paso en el método gráfico es dibujar todas las restricciones en una gráfica. Esto puede hacerse en cualquier orden. Por conveniencia se comenzará con las restricciones de no negatividad. Éstas se muestran en la siguiente figura:
En esta gráfica, una solución se representaría por un punto con coordenadas x1 (mesas) y x2
(sillas). Las coordenadas representarían las cantidades de cada artículo que se deben producir. El cuadrante superior derecho se llama Región Factible puesto que es el único cuadrante en que pueden estar las soluciones. Los otros tres cuadrantes no son factibles, ya que requerirían la producción de cantidades negativas de mesas o de sillas o de ambas. La siguiente restricción es x1 ≥ 2. La manera más sencilla de dibujar las restricciones de recursos es en dos pasos: (1) convertir una desigualdad en una ecuación y graficar la ecuación y (2) sombrear el área apropiada arriba y abajo de la línea que resulta en el paso 1. Convertir una igualdad en una ecuación aquí significa ignorar la parte de “mayor que” o “menor que” de la restricción. Así, en el ejemplo, x1 ≥ 2 se convierte en x1 = 2. Esta ecuación está trazada en la siguiente figura:
Cualquier punto en la línea x1 = 2 satisface la ecuación. Sin embargo, la restricción es más amplia, ya que cualquier punto x1 > 2 también la cumplirá. Esto incluye todos los puntos que están a la derecha de la línea x1 = 2. Entonces, la región factible incluye todos los valores de x1
que están sobre o a la derecha de la línea x1 = 2. La limitación sobre las horas de mano de obra es la siguiente restricción. Como antes, primero se convierte en una ecuación: 6x1 + 12x2 = 72. Puede graficarse esta línea si se encuentran dos puntos sobre ella. El par de puntos más sencillos de localizar son las intersecciones con los ejes X1 y X2. Para encontrar la intersección con el eje X2 se hace x1 = 0. La ecuación se reduce, entonces, a:
12x2 = 72 x2 = 6
La intersección con el eje X1 se encuentra haciendo x2 = 0. Así:
6x1 = 72 x1 = 12
Estos dos puntos y la línea que los une se muestran en la siguiente figura:
Cualquier punto que está sobre o abajo de esta línea cumplirá con la restricción. Cualquier
punto arriba de esta línea requerirá más de 72 horas de mano de obra y no es aceptable. En la
siguiente figura se combina esta restricción con la anterior. En la región factible, ambas
restricciones se cumplen.
La última restricción es la de material. Siguiendo el procedimiento anterior, primero se encuentran las intersecciones para la igualdad. Éstas son x1 = 0, x2 = 12 y x1 = 8, x2 =0. Se localizan los dos puntos en la gráfica; se traza la línea, y como la restricción es del tipo menor o igual que, se sombrea el área que está abajo de la línea. El resultado se muestra en la siguiente figura:
Cualquier solución que esté en la frontera o dentro del área sombreada cumplirá con todas las restricciones. Ahora se utilizará la función objetivo para seleccionar la solución óptima. Paso 3: obtención de la solución óptima: líneas de indiferencia.Para encontrar la solución óptima, se grafica la función objetivo en la misma gráfica de las restricciones. La función objetivo en este problema es Z = 5x1 + 5x2. Como todavía no se conoce el máximo valor factible de Z, no puede trazarse el óptimo de la función objetivo. No obstante, es posible suponer algunos valores para Z y graficar las líneas resultantes. En la siguiente figura se muestran las líneas para Z = 25 yZ = 50:
Las líneas de este tipo se llaman líneas de indiferencia, porque cualquier punto sobre una línea dada da la misma ganancia total. Nótese que la distancia perpendicular del origen a la línea aumenta al aumentar el valor de Z. También, todas las líneas de indiferencia son paralelas entre sí. Estas propiedades gráficas pueden usarse para resolver el problema. En la siguiente figura, se ilustran todas las restricciones y las dos líneas de indiferencia supuestas. En la gráfica puede observarse que la línea de indiferencia para Z = 50 está completamente fuera de la región factible. Para Z = 25, parte de la línea cae dentro de la región factible. Por tanto, existe alguna combinación de x1 y x2 que satisface todas las restricciones y da una ganancia total de $25. Por inspección, puede observarse que hay ganancias más altas que son factibles.
Imaginando que la línea de indiferencia Z = 25 se mueve hacia la línea Z = 50, de las propiedades de la gráfica que se hicieron notar antes, el punto óptimo estará sobre la línea de indiferencia más lejana al origen pero que todavía toque la región factible. Esto se muestra en la siguiente figura:
Con el punto óptimo localizado gráficamente, la única tarea que queda es encontrar las coordenadas del punto. Nótese que el punto óptimo está en la intersección de las líneas de restricción para materiales y horas de mano de obra. Las coordenadas de este punto se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones que forman estas dos restricciones utilizando cualquiera de los métodos de solución (suma y resta, sustitución o igualación). Las coordenadas de este punto resultan ser (6, 3). La sustitución de este punto en la función objetivo da la ganancia máxima:
Z = 5(6) + 5(3) = $45
Resumen del método gráfico.Para resolver gráficamente problemas de programación lineal:1. Exprésense los datos del problema como una función objetivo y restricciones.2. Grafíquese cada restricción.3. Localícese la solución óptima.
Uso del método gráfico para minimización.
Consideremos un Problema de PL en el cual el objetivo es minimizar costos. La solución del problema de minimización sigue el mismo procedimiento que la de problemas de maximización. La única diferencia es que ahora se quiere el menor valor posible para la función objetivo. Supóngase que se tiene el siguiente problema: Ejemplo: Problema de dieta.
Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos (tabla). ¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?
Marca A Marca B Requerimientos mínimosHierro 40 mg 10 mg 2400 mgVitamina B-1 10 mg 15 mg 2100 mgVitamina B-2 5 mg 15 mg 1500 mgCosto por píldora (US$)
0,06 0,08
Paso 1: formulación del problema.Sea x el número de píldoras de la marca A e y el número de píldoras de la marca B por comprar. El costo C(Z), medido en centavos, está dado por
Minimizar C = 6x + 8y
que representa la función objetivo por minimizar.
La cantidad de hierro contenida en x píldoras de la marca A e y el número de píldoras de la marca B está dada por 40x+10y mg, y esto debe ser mayor o igual a 2400 mg. Esto se traduce en la desigualdad.
40x+10y>2400
Consideraciones similares con los requisitos mínimos de vitaminas B-1 y B-2 conducen a las desigualdades:
10x+15y>2100 5x+15y>1500
respectivamente. Así el problema en este caso consiste en minimizar C=6x+8y sujeta a
40x+10y>2400 10x+15y>2100 5x+15y>1500
x>0, y>0 Paso 2: gráfica de las restricciones.El procedimiento para graficar es el mismo que se usó antes: (1) graficar cada ecuación de restricción; (2) graficar el área apropiada.
El conjunto factible S definido por el sistema de restricciones aparece en la figura. Los vértices del conjunto factible S son A(0,240); B(30,120); C(120; 60) y D(300,0).
Paso 3: localización de la solución óptima.
Los valores de la función objetivo C en estos vértices en la tabla que sigue
Vertice C=6x + 8y
A (0,240) 1920
B(30,120) 1140
C(120,60) 1200
D(300,0) 1800
1.5 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y RECURSOS
La búsqueda de la solución de un modelo de decisión es sólo el primer paso del análisis. También es importante que el gerente comprenda cuán sensible es la solución a los cambios en las suposiciones y a los factores exógenos. Esto también se aplica a los modelos de programación lineal, y una de las características agradables de los modelos de programación lineal es que gran parte de este análisis de sensibilidad proviene directamente de la solución del problema. Primero veremos estos conceptos en forma gráfica y después por medio de la interpretación de las salidas de los programas de computación que se usan par resolver problemas de programación lineal. Par entender mejor el análisis de programación lineal partiremos del siguiente ejemplo.
Problema.
Una empresa fabrica dos productos A y B, de los cuales sus utilidades son 2$/u y 5$/u respectivamente.Para elaborar una unidad de A se requiere 4 unidades de la materia prima M y 8 horas-hombre, y para elaborar una unidad de B se requiere 5 unidades de la materia prima M y 3 horas-hombre.Se dispone como máximo 204 unidades de M y como mínimo 184 horas-hombres.El objetivo es saber cuantas unidades de cada producto se debe de fabricar para maximizar las utilidades y cuanto recurso se utilizo.
Planteamiento.
x1= número de unidades fabricadas del producto Ax2= número de unidades fabricadas del producto B
(Utilidad en $)Restricciones
(Disponibilidad máxima de unidades de M)(Disponibilidad mínima de horas-hombre)
(No negatividad de las variables de decisión)
GRAFICO 1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96
102
108
114
120X2
X1: 4.00 X1 + 5.00 X2 = 204.00
: 8.00 X1 + 3.00 X2 = 184.00
Payoff: 2.00 X1 + 5.00 X2 = 182.00
Optimal Decisions(X1,X2): (11.00, 32.00)
: 4.00X1 + 5.00X2 <= 204.00
: 8.00X1 + 3.00X2 >= 184.00
Interpretación de la solución:
x1= 11 (se fabricara 11 unidades del producto A)x2= 32 (se fabricara 32 unidades del producto B)U= 182 (la utilidad al producir y vender estos producto se de 182$)h1= 0 (se utilizo 204 unidades de materia prima M)h2= 0 (se utilizo 184 horas-hombre)
Análisis de Sensibilidad
1.-Variación de los recursos, precios sombra ó variables duales e intervalos de variación de estos recursos para este valor de la variable dual.
Precio Dual, valor marginal o precio sombra.Es el cambio incremental en los beneficios por cambio unitario en el término independiente de una restricción.
Restricciones Activas.Al incrementar en una unidad el recurso y hallar la nueva solución óptima, la variación de la función objetivo, es decir, la diferencia entre el nuevo valor y el valor anterior, representa el valor de la variable dual asociada a esta restricción y significa que por cada unidad que se incremente en ese recurso la función objetivo se incrementara en el valor de la variable dual.
Restricciones inactivas.Al incrementar en una unidad el recurso y hallar la nueva solución óptima, notaremos que no hay variación en el valor de la función objetivo, esto quiere decir que el valor de la variable dual asociada a esta restricción es cero.Vamos ha proceder a incrementar una unidad al primer recurso para hallar el valor dual asociado a esta restricción y luego lo haremos con el segundo recurso.
Geométricamente se ve en el gráfico siguiente.Y Analíticamente se procede a resolver el sistema de ecuaciones de todas las restricciones con los cambios y la solución de este sistema se sustituye en la función objetivo y la variación de este valor será el valor de la variable dual ó el precio sombra de la restricción.
Si incrementamos en una unidad el primer recurso (materia prima M), se tiene:
luego
Esto quiere decir que el valor de la variable dual del primer recurso es y1= 17/14, y se interpreta de varias maneras, una de ellas es: Si el primer recurso se incrementa en 14 unidades (pasa de 204 a 218), la función objetivo se incrementa en 17 unidades, es decir, para de 182 a 199
GRAFICO 2 (SE INGREMENTA EL PRIMER RECURSO EN 14 UNIDADES)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96
102
108
114
120X2
X1
: 4.00 X1 + 5.00 X2 = 218.00
: 8.00 X1 + 3.00 X2 = 184.00
Payoff: 2.00 X1 + 5.00 X2 = 199.00
Optimal Decisions(X1,X2): (9.50, 36.00)
: 4.00X1 + 5.00X2 <= 218.00
: 8.00X1 + 3.00X2 >= 184.00
Si incrementamos en una unidad el segundo recurso (horas-hombre), se tiene:
luego
Esto quiere decir que el valor de la variable dual del segundo recurso es y2= -5/14, y se interpreta de varias maneras, una de ellas es: Si el segundo recurso se incrementa en 14 unidades (pasa de 184 a 198), la función objetivo se reduce en 5 unidades, es decir, para de 182 a 177
GRAFICO 3 (SE INCREMENTA EL SEGUNDO RECURSO EN 14 UNIDADES)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96
102
108
114
120X2
X1
: 4.00 X1 + 5.00 X2 = 204.00
: 8.00 X1 + 3.00 X2 = 198.00
Payoff: 2.00 X1 + 5.00 X2 = 177.00
Optimal Decisions(X1,X2): (13.50, 30.00)
: 4.00X1 + 5.00X2 <= 204.00
: 8.00X1 + 3.00X2 >= 198.00
Luego el valor del precio sombra para el primer recurso es: y1 = 17/14 y el precio sombra para el segundo recurso es : y2 = - 5/14
Vamos ahora ha ver cuanto se puede aumentar y reducir los recursos de las restricciones activas.
Lo primero que tenemos que hacer es mover la restricción hacia arriba y hacia debajo de tal manera que las restricciones sigan siendo activas, los limites de esos movimiento serán los valores que tomara el recurso y esto a su vez representa los valores extremos del intervalo por los cuales se moverán los valores del recurso y la diferencia con el valor original del recurso representa el intervalo del incremento del recurso.
Lo mas que puede subir la primera restricción de tal manera que sigan siendo activas es que el recurso tome el valor 306,67; es decir se incremente su valor en 308/3Ver el grafico siguiente
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96
102
108
114
120X2
X1
: 4.00 X1 + 5.00 X2 = 306.67
: 8.00 X1 + 3.00 X2 = 184.00
Payoff: 2.00 X1 + 5.00 X2 = 306.60
Optimal Decisions(X1,X2): (-0.00, 61.33)
: 4.00X1 + 5.00X2 <= 306.67
: 8.00X1 + 3.00X2 >= 184.00
Lo más que puede bajar la primera restricción de tal manera que sigan siendo activas es que el recurso tome el valor 92; es decir se reduce su valor en 112Ver el grafico siguiente
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96
102
108
114
120X2
X1
: 4.00 X1 + 5.00 X2 = 92.00
: 8.00 X1 + 3.00 X2 = 184.00
Payoff: 2.00 X1 + 5.00 X2 = 46.00
Optimal Decisions(X1,X2): (23.00, 0.00)
: 4.00X1 + 5.00X2 <= 92.00
: 8.00X1 + 3.00X2 >= 184.00
Analíticamente se hace de la siguiente manera:La primera restricción se moverá entre los puntos de corte con los eje de la segunda restricción, después se sustituye esos valores en la primera restricción y los valores que den son los valores en que pueden cambiar el primer recurso.La segunda restricción corta en los ejes en los puntos (0, 184/3) y (23,0)Si se sustituye esos valores en la primera restricción nos da los siguientes valore
Esto quiere decir que el recurso ó que la variación del primer recurso esta entre los siguientes valores (-112; 308/3), es decir, el primer recurso que tiene un valor de 204 se puede reducir en 112 ó se puede incrementar en 308/3
Este procedimiento se repite para la segunda restricción, y sus valores son los siguientes:La primera restricción corta en los ejes en los puntos (0; 40,8) y (51; 0)Si se sustituye esos valores en la segunda restricción nos da los siguientes resultados8(0)+3(40,8) = 122,48(51)+3(0) = 408Esto quiere decir que el segundo recurso b2 (122,4; 408) ó que la variación del segundo recurso esta entre los siguientes valores (-61,6; 224), es decir, el segundo recurso que tiene un valor de 184 se puede reducir en 61,6 ó se puede incrementar en 224
2.- Variación de los coeficientes de la función objetivo y rango en los cuales puede cambiar estos valores.
Lo que se persigue con esto es ver hasta donde puede cambiar estos coeficientes por separado de tal manera que el punto donde se alcanzo el óptimo en la función objetivo siga siendo el mismo. Y esto se logra rotando la función objetivo de manera que la función objetivo sea paralela a las restricciones activas, es decir, que las pendientes sean iguales en el giro
Los pasos ha seguir son los siguientes:
a) Hallar las pendientes de las ecuaciones lineales de las restricciones activas.b) Hallar la pendiente de la ecuación lineal de la función objetivo partiendo que no se
conoce los valores de los coeficientes.c) Igualando estas pendientes y despejando el coeficiente que no se conoce, con esto se
obtiene los rangos de valores en los cuales puede cambiar este valor, si el giro es menor de 90° hacia arriba ó hacia abajo.
d) Si el giro es mayor de 90° el valor que toma el coeficiente es infinito
En nuestro caso particular de este problema se tiene que la función objetivo sus coeficientes son los siguientes para el producto A su valor es 2 y para el producto B su valor es 5Queremos saber cuanto podrá cambiar el coeficiente del producto A que ahora es 2 de tal manera que el punto donde se alcanzó el óptimo no cambie.
La pendiente de la primera restricción activa es -4/5 y de la segunda restricción activa es -8/3La pendiente de la función objetivo partiendo que no se conoce el primer coeficiente, es decir, c1 será –c1/5Igualamos la pendiente de la primera restricción con la de función objetivo y hallamos el valor de c1 (este giro es menos de 90°) y da:
, es decir, cambia de 2 a 4 se incrementa en 2 unidades.
Como la función objetivo tiene que girar más de 90° para ponerse paralela a la segunda restricción, el valor de c1 es -infinito
Vamos a repetir el procedimiento pero ahora con el coeficiente c2 y con el valor de c1=2.
Esto da: quiere decir que el coeficiente cambio de 5 a 2,5 se redujo en
2,5 y como la función objetivo tiene que girar más de 90° para ponerse paralela a la segunda restricción, el valor de c2 es infinito
Esto mismo se obtendría planteando el Dual y haciendo el análisis de sensibilidad en las restricciones del dual.
Si resolvemos el problema usando SOLVER (ver ANEXO 2) , este tiene el informe de sensibilidad que es el siguiente:
Valor Gradiente Coeficiente Aumento DisminuciónNombre Igual reducido objetivo permisible permisible
VALOR X1 11 0 2 2 1E+30VALOR X2 32 0 5 1E+30 2,5
Valor Sombra Restricción Aumento Disminución
Nombre Igual preciolado
derecho permisible permisibleRESTRICCIÓN 1 204 1,214285714 204 102,6666667 112
RESTRICCIÓN 2 184-
0,357142857 184 224 61,6
1.6 ANÁLISIS DE RESULTADOS DEL MÉTODO GRAFICO. USO DEL WINQSB
El programa WinQSB cuya propiedad intelectual es del Dr. Yih-Long Chang y es aplicable a todos los problemas de Investigación de Operaciones.
Pasos a seguir:1.- Ingresar al modulo de programación lineal
1. El Primer paso es dar click en el botón inicio de Windows posteriormente seleccionar programas desplazarse hasta Winqsb encontrara módulos de :
Planificación. Análisis de Decisión . Programación Dinámica Proyección y Líneas de Regresión
Teoría de inventarios Gráficos PERT Y CPM Programación Lineal y No Lineal
2. Para ingresar al modulo de programación lineal deberá dar click en Inicio – Programas – Winqsb – Seleccionar (Linear and integer-Programing) es decir programación lineal
VENTANA DE PRESENTACION DEL MODULO PROGRAMACION LINEALCOMO INGRESAR UN PROBLEMA NUEVO DE PROGRAMACION LINEAL
Primero en el Menú del modulo de programación lineal elegir File (Archivo) Luego elegir
Sub menú New Problem ( Nuevo Problema)
Aparecerá el cuadro de dialogo Problem Especificación ( Especificar detalles del problema )
como sabemos todo problema de programación lineal contiene una función objetivo a maximizar o minimizar , un conjunto de restricciones y condiciones de no negatividad Bien en la casilla Problem Title : Ingresamos nombre del problema nuestro primer caso será el ejemplo desarrollado en clase cuyo nombre es problema de la dieta .Numbre of variables : Se refiere al numero de variables del problema de programación lineal en este caso el nro. de variables es X1 Y X2 en este caso el numero de variables es 2 lo ingresamos a la casillaObjetive Criterion : Solicita si el problema se va a maximizar o minimizar en el caso del problema de la dieta se minimiza costos seleccionar botón de opción Minimization ( Minimizacion )Default Variable Type : Elegir Nonnegative continuous ( Condiciones de no negatividad )Number of Constrains : Se digita el numero de restricciones en el caso del problema presenta tres restricciones Dar click en el boton OK DE Problem Specification aparecerá la siguiente pantalla donde se ingresara el problema de programación linealMinimizar C = 0.6X 1+ X2
Sujeto a :
En X 1 se ingresa los valores correspondientes a X1tanto de la función objetivo como de las restricciones 0.6 para la función objetivo 10,5,2 para las restricciones
0,
1262
2055
20410
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
En X2 se ingresan los valores correspondientes a x2 tanto de la función objetivo como de las restricciones 4, 5 ,6 .Luego se ingresa las restricciones en la casilla RHS 20,20,12
SOLUCIONAR EL PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL Elegir menú Solve the Problem ( Solucionar el Problema )
Dar Click y aparecer la solución del problema de la dieta con la solución optima para X1 = 3 Y X2 = 1 tal como se calculo algebraicamente en clase el resultado de la función objetivo a minimizar es 2.8 resulta de reemplazar los valores óptimos en la función objetivo
METODO GRAFICO El problema de Programación Lineal puede ser solucionado por el método gráfico para el calculo se elige :
1. Menú Solve and Analize2. Elegir Sub- Menú Graphic Method3. Dar Click Entonces aparecerá la siguiente caja de dialogo
Dar click en Ok de la caja de dialogo (Select Variables for Graphic Method )
Inmediatamente aparecerá la solución gráfica del problema de programación lineal de la dieta Observamos que los puntos óptimos son X1 =3 y X2= 1 y el valor de la función objetivo es 2.8 es decir el costo es mínimo exactamente en 2.80 En el gráfico observamos la función Objetivo las ecuaciones de las restricciones y la región factible.
