GIAI TICH HE THONG DIEN NANG CAO - CHƯƠNG 1 MA TRẬN TỔNG DẪN

1

GIẢI TÍCH HỆ THỐNG ĐIỆN GIẢI TÍCH HỆ THỐNG ĐIỆN NÂNG CAONÂNG CAO

Võ Ngọc Điều

Bộ Môn Hệ Thống ĐiệnKhoa Điện – Điện tử

Trường ĐH Bách Khoa

CHƯƠNG 1: MA TRẬN TỔNG DẪN

2

Ma Trận Tổng Dẫn Nút Phương trình ma trận thể hiện mối liên quan điện áp nút với

các dòng điện đi vào và đi ra khỏi mạng thông qua các giá trị tổng dẫn các nhánh mạch.

Ma trận tổng dẫn được sử dụng để lập mô hình mạng của hệ thống có liên kết:- Các nút thể hiện các thanh cái các trạm- Các nhánh thể hiện các đường dây truyền tải và MBA- Các dòng bơm vào thể hiện CS từ MF đến tải

3

Ma Trận Tổng Dẫn Nút Cách thức xây dựng một ma trận tổng dẫn nút (hay Ybus):

- Dựa trên định luật Kirchhoff về dòng điện tại một nút:

- Các tổng trở đường dây được chuyển thành tổng dẫn:

4

Ví Dụ Thành Lập Ma Trận

5

Ví Dụ Thành Lập Ma Trận

6

Ví Dụ Về Thành Lập Ma Trận Sắp xếp lại các phần tử trong phương trình định luật Kirchhoff

Thành lập ma trận cho các phương trình:

7

Ví Dụ Về Thành Lập Ma Trận Hoàn chỉnh phương trình ma trận

8

Các Quy Tắc Xây Dựng Ma Trận

bus bus bus

bus bus bus

1

bus

n

1

n

E Z I

I Y E

E

E

E

I

I

Ei là điện áp nút i.

Ii là dòng điện được bơm vào ở nút i.

9


1 11 1 1

21 22 2 2

1

n

n

n n nn n

I y y E

y y y E

I y y E

Làm thế náo để xây dựng Y hay Z cho một mạng có sẵn?

10


yii và yij là gì?

0all the other whenj

iii

i E i j

Iy

E

Ngắn mạch tất cả các nút khác

11


k

iij

j E 0, k j

Iy

E

ppp

p short circuit all the other buses

Iy

E

1

np

pij

y

Tổng tất cả tổng dẫn các đường dây nối đến điểm p.

Eq

Ep

Ip

Ek

12


Dòng điện bơm vào Ip

qkEtheallq

ppq

kE

Iy

,0

= - (tổng tất cả tổng dẫn các đường dây nốigiữa nút p và nút q).

13


6y

1y 2y

2

3y

5y

7y

3 4y4

ref

6 1 6

6 2 5 6 7 5 7

5 4 5 4

7 4 3 4 7 4x4

y y y 0 0

y y y y y y yY

0 y y y y

0 y y y y y

Ma trận trội đường chéo: n

ii ijj 1

y y

j i

14


Các quan sát cho thấy:

1) Ma trận Y là ma trận vuông

2) Kích cỡ ma trận Y bằng số nút của mạng.

3) Thành phần trên đường chéo chứa nhiều hơn hay bằng các phần tử ngoài đường chéo.

Tất cả các ma trận Y đều đối xứng?

Đúng khi các phần tử là thụ động.

15

Các Quy Tắc Xây Dựng Ma Trận Thực hiện xây dựng ma trận Ybus không hỗ cảm

- Chuyển đổi tất cả tổng trở thành tổng dẫn.- Các phần tử nằm trên đường chéo:

- Các phần tử nằm ngoài đường chéo:

Bài tập tự làm: Xây dựng thuật toán (cho chương trình máy tính) để tính Ybus.

16


Dạng tổng quát của Ybus- Các thành phần đường chéo, Yii, là các thành phần tự dẫn bằng với tổng các tổng dẫn tất cả các thiết bị nối vào nút i- Các thành phần ngoài đường chéo, Yij, bằng với “-” của tổng dẫn nối giữa 2 nút- Với các hệ thống lớn, Ybus là ma trận thưa (tức là có nhiều số 0)- Các thành phần ngang, giống như trong mô hình hình , chỉ ảnh hưởng đến các thành phần chéo.

17


Tính thưa trong ma trận Ybus- Các hệ thống lớn có một số ít các đường dây truyền tải nối vào mỗi trạm có công suất lớn.- Ybus có chủ yếu các thành phần 0: Mỗi một nút có một phần tử đường chéo gắn liền với nó và mỗi nhánh được đặt đối xứng ngoài đường chéo.- Ví dụ: Số nhánh 750; số nút: 500Tổng số phần tử khác 0 trong Ybus: (500 + 2*750) = 2000So với trường hợp lắp đầy: 500*500 = 25,000Độ thưa: 0.8%

18

Ví DụVí dụ 1:

19

Ví Dụ

-j0.8

-j4.0

-j4.0

-j0.8

-j8.0 j 5.0

-j2.5

100 900. 0 68 1350.

1

2

4

0

+

-

+

-

3

++

+ +-

-

-

-

Ib

Ia

Ic

Id

IeI f

I g

Ví dụ 2:

20

Ví Dụ

0

0

4

3

2

1

13568.0

9000.1

0

0

3.80.00.55.2

0.08.80.40.4

0.50.40.170.8

5.20.48.05.14

V

V

V

V

jjj

jjj

jjjj

jjjj

Y Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y f

Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

c d f d c f

d b b e b e

c b a b c

f e e f g

0

0

1 2 3 4

1

2

3

4

21

Ví Dụ (Tự Làm) Xây dựng ma trận tổng dẫn nút có các thông số như sau:

22

MBA Có Đầu Phân Áp MBA có đầu phân áp cho phép điều chỉnh biên độ và góc của

điện áp và dòng điện một lượng nhỏ trong mạng điện- Phân bố công suất thực dọc theo nhánh của một mạng được điều khiển bằng độ lệch góc của các điện áp hai đầu.- Phân bố công suất kháng dọc theo nhánh của một mạng được điều khiển bằng độ lệch biên độ của các điện áp hai đầu.- Các công suất thực và kháng có thể được điều chỉnh bằng MBA có điều chỉnh điện áp và các MBA dịch pha.

23

Mô Hình Đầu Phân Áp Tỷ lệ phân áp khác bình thường được tính theo tỷ số 1:a Tỷ số vòng danh định (N1/N2) được xác định theo sự chuyển

đổi của mạng theo pu MBA có đầu phân áp được mô hình thành 2 thành phần liên

kết nhau qua một nút giả định ở nút x:

Phương trình mạch cơ bản

24

Mô Hình Đầu Phân Áp

Thực hiện sự thay thế:

25

Mô Hình Đầu Phân Áp

Đúng cho trường hợp số a là thực Thực hiện thành lập ma trận Ybus, ngắt các thành phần đường

chéo thành 2 thành phần:- Phần tử ngoài đường chéo thể hiện tổng trở nối giữa 2 nút- Các phần tử còn lại là thành phần ngang (shunt).

26

Bài Tập Tự Đọc

Nhánh có ghép hỗn cảm trong Ybus (Sách của Stevenson – trang 245-250).

Ma Trận Nối (Incident Matrix)

a

b

c

de

f

g

0

1

2

3 4

a

b

c

de

f

g

0

1

2

3 4

tree branch: Các nhánh được nối với tất cả các nút của graph mà không hình thành vòng kính

link : Khi một đường link được nối vào một cây sẽ hình thành một vòng kín.

27

Ma Trận Nối

28

Ma trận A có các phần tử aij:i = chỉ số nhánh; ví dụ: a -> bj = chỉ số nút; vì dụ: 1 -> 4

Ma trận A có:Số hàng = số nhánhSố cột = số nút

Ma Trận NốiGraph tuyến tính cho hình vẽ trên:Ma trận nối A:

0 Nếu nhánh i không nối tới nút

1 Nếu dòng điện trên nhánh i đi ra từ nút

-1 Nếu dòng điện trên nhánh i đi vào nút

aij

0 0 1 0

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

0 0 0 1

1 2 3 4

29

Abr = A V

a

b

c

d

e

f

g

Điện áp nhánh

Điện áp nút

(NLx1) (NBx1)(NLxNB)

Ma Trận Nối

30

Ibr = A I (Dòng nút)

(Dòng nhánh)

Ybr * Vbr = Ibr

AT*Ybr*Vbr = AT*Ibr

AT*Ybr*(A*V) = I

(AT*Ybr*A)*V = I

Ybus * V = I Ybus = AT*Ybr*A

Ma Trận Nối

31

Bài tập tự đọc:

- Ví dụ 7.5 (sách Steventon, trang 262): Xác định Ybus theo ma trận nối theo sơ đồ graph.- Ma trận nối có thêm hỗ cảm

Ma Trận Và Graph

32

Các ma trận và graph gắn liền:

Xem xét ma trận đối xứng và graph liên kết gián tiếp,

trong đó đỉnh hay nút

rìa hay nhánh

ijA a

G V,E

Ma Trận Và Graph

33

2

3

1

V 1,2,3

E 1,2 , 1,3

1 2 3

X X X

A X X 0

X 0 X

ĐN: Mức độ của một nút là tổng số các nút trực tiếp nối với nó, tức là

ĐN: Ánh xạ một-một từ các nút của G vào tập số nguyên {1,2,…,n} được gọi là lập thứ tự.

i jV ,V E, j 1, ,Deg i

1,2,3

2 1 3

Ma Trận Và Graph

34

ĐN: Graph thu gọn là graph có được sau khi loại bỏ một tập một nút từ các graph nguyên thủy.

ĐN: Sự loại bỏ nút và hóa trị (valency)

Trong một graph có hướng, nếu đường đi có hướng tồn tại giữa các nút nằm kề với nút K, sao cho nếu nút K bị loại đi, dòng chảy trong graph không bị ngắt, sau đó K có thể bị khử mà không ánh hưởng đến graph.

Ví dụ 1:

Nếu không có đường định hướng tồn tại, các đường mới hình thành.

2

4

3

1

2

4

3

Ma Trận Và Graph

35

Ví dụ 2:

nhánh thêm vào

Hóa trị của nút: tổng số các đường dẫn mới được tạo ra sau khi quá trình khử

Ví dụ 1 Hóa trị (1) = 0

Ví dụ 2 Hóa trị(1) =1

2

1

2

4

3

4

3

Ma Trận Và Graph

36

ĐN: (Hóa trị của một thứ tự) Nếu các nút của một graph được xếp theo thứ tự α nào đó, thì tổng số của các đường mới sẽ được tạo ra do kết quả của quá trình khử nút (căn cứ theo α) chính là hóa trị của thứ tự (lắp đầy).

Bổ đề: Có sự tương ứng 1-1 giữa hóa trị của một nút của một điểm G đã cho và tổng số khác 0 (lắp đầy) được tạo ra bởi thừa số hóa riêng phần (hay khử Gauss) của nút đó.

Chúng ta sẽ tạo ra sự lắp đầy khi không có đường nối định hướng khi nút bị khử.

Ma Trận Và Graph

37

Sơ đồ Markovity Tinney-2 (Mức độ tối thiểu)

F(i) – vị trí của nút i, ban đầu đặt bằng 0

D(i) – mức độ của nút i

Thuật toán:

1. K=1

2. Cho iN

nếu F(i) = 0, kiểm tra nếu D (i) là cực tiểu

đặt F(i) = K

Đặt D(j) = D(j) –1 cho mỗi lân cận với i với F(j) = 0

Optimal ordering is an N-P complete problem (take time to solve), we shall find suboptimal ordering which is extremely good by

Ma Trận Và Graph

38

3. Cho mỗi cặp m & n kế cận nút i nhưng không kế cận với nút hác sao cho F(n)=F(m)=0. Tạo ra một rìa (edge) mới m-n và tăng D(m), D(n) thêm 1.

4. Nếu K=N, dừng, ngược lại K=K+1, trở về bước 2.

1 2

F =

4 3 D =

1 2

Thứ tự tối ưu là để giảm số phần tử khác 0 trong ma trận Lđể làm giảm tính toán floating point trong máy tính tuần tự.

1 2

1 2 3 1 1

Phương Pháp Khử Liên Tiếp(Còn gọi là khử Gauss – Gauss Elimination)

Phương trình nút của hệ thống có 4 nút:

Y V Y V Y V Y V I

Y V Y V Y V Y V I

Y V Y V Y V Y V I

Y V Y V Y V Y V I

11 1 12 2 13 3 14 4 1

21 1 22 2 23 3 24 4 2

31 1 32 2 33 3 34 4 3

41 1 42 2 43 3 44 4 4

Giảm hệ thống 4 phương trình này theo V1, V2, V3 và V4 chưa biết thành một hệ thống 3 phương trình có V2, V3 và V4 biết được.

1

2

3

4

39

Phương Pháp Khử Liên Tiếp

4444'

343'

242'

3434'

333'

232'

2424'

323'

222'

'

'

'

IVYVYVY

IVYVYVY

IVYVYVY

+

-+-

2

3 4

0

Tương đương với mạch nguyên thủy

40


Bước 1: Chia phương trình (1) cho Y11, sẽ có

Bước 2: Nhân phương trình trên cho Y21, Y31 và Y41, và trừ các kết quả lần lượt từ các phương trình (1) đến (4), ta có

VY

YV

Y

YV

Y

YV

YI1

12

112

13

113

14

114

111

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

YY Y

YV Y

Y Y

YV Y

Y Y

YV I

Y

YI

YY Y

YV Y

Y Y

YV Y

Y Y

YV I

Y

YI

YY Y

YV Y

Y Y

YV Y

Y Y

YV I

Y

Y

2221 12

112 23

21 13

113 24

21 14

114 2

21

111

3231 12

112 33

31 13

113 34

31 14

114 3

31

111

4241 12

112 43

41 13

113 44

41 14

114 4

41

11

1I

41


• Quá trình khử bất ký một nút nào cũng đều thực hiện theo 2 bước trên.

• Tổng quát, khi khử một nút p (tức hàng p, cột p trong ma trận), các phần tử (nút) còn lại ở hàng i cột j (đều khác p) sẽ được tính như sau:

42

pp

pjipcuijmoiij Y

YYYY )()(


-j0.8

-j4.0

-j4.0

-j0.8

-j8.0 j 5.0

-j2.5

100 900. 0 68 1350.

1

2

4

0

+

-

+

-

3

++

+ +-

-

-

-

Ib

Ia

Ic

Id

IeI f

I g

Mạng ban đầu

43

Ví dụ:


Mạng tương đương sau khi nút 1 được khử



4

0

-j1.43028135738 110 74660. .

+

-

V4

44

Khử Nút (Khử Kron)

Xem xét phương trình:

4

3

2

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211 0

I

I

I

V

V

V

V

YYYY

YYYY

YYYY

YYYY

Nếu I1 = 0 thì nút này có thể bị khử bỏ:

45


46

4411

1441443

11

1341432

11

124142

3411

1431343

11

1331332

11

123132

2411

1421243

11

1321232

11

122122

)()()(

)()()(

)()()(

IVY

YYYV

Y

YYYV

Y

YYY

IVY

YYYV

Y

YYYV

Y

YYY

IVY

YYYV

Y

YYYV

Y

YYY

pp

pkjpoldjknewjk Y

YYYY )()(

• Tổng quát:

0414313212111 VYVYVYVY

411

143

11

132

11

121 V

Y

YV

Y

YV

Y

YV


47

-j0.8

-j6.25

-j6.25

-j0.8

-j8.0 j 5.0

-j2.5

100 900. 0 68 1350.

1

2

4

0

+

-

+

-

3

++

+ +-

-

-

-

Ib

Ia

Ic

Id

IeI f

I g

bVeV

dV

cV fV

aVgV

j3.75

Ví dụ: Khử nút 2 và 1


48

1 2 3 4

1

2

3

4

0

0

4

3

2

1

13568.0

9000.1

0

0

30.8000.550.2

080.550.250.2

00.550.225.1975.11

50.250.275.1175.16

V

V

V

V

jjj

jjj

jjjj

jjjj

Phương trình ma trận: YV = I


49

0

0

4

3

1

13568.0

9000.1

0

00130.764935.055195.5

64935.047432.502597.4

55195.502597.457791.9

V

V

V

jjj

jjj

jjj1 3 4

1

3

4

57792.925.19

)75.11)(75.11(75.16

22

211211)(11 j

j

jjj

Y

YYYY new

02579.425.19

)50.2)(75.11(50.2

22

231213)(13 j

j

jjj

Y

YYYY new

55195.525.19

)00.5)(75.11(50.2

22

241214)(14 j

j

jjj

Y

YYYY new


50

-j0.8

-j4.02597

-j0.8

-j5.55195

100 900. 0 68 1350.

14

0

3

-j0.64935

Mạng đã được khử bằng phương pháp Kron (nút 2)


51

Tiếp tục khử nút 1:


52

Sơ đồ sau khi khử tiếp nút 1

Thừa Số Hóa Tam Giác

53

Ybus LU

L

Y

Y Y

Y Y Y

Y Y Y Y

11

21 221

31 321

332

41 421

432

443

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

U

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

1 12

11

13

11

14

11

1 231

221

241

221

1 342

332

1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Y YY Y

Y

Y YY Y

Y

Y YY Y

Y

jk jk

j k

jk jk

j k

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

1 1 1

11

2 1 21

21

221

443

442 43

234

2

332

cho j và k = 2, 3, 4

cho j và k = 3, 4

ILUVIYV


54

ILUVIYV

• Để giải bài toán, thông qua phương pháp thừa số hóa tam giác giải gián tiếp:

- Giải thay thế theo chiều tiến (forward) V’

- Giải UV = V’ theo chiều lùi (backward) V

Đặt: UV = V’

LV’ = I


55

V’

V

* Ví dụ tự đọc: Ví dụ 7.9 sách Stevenson, trang 277.


56

Thừa số hóa: A = LDU (Gaussian Elimination)

31

31

11

l

a

a


57


58


59


60

11 1

21 21

31 31

1 1

1 0 1

1 1 0

0 1 0 1 I

0 1 0 0 1n n

L L

A=LDU

1 1 1 11 2 1 1 2 1( . )n n nL L L L L L L

- Chỉ thay dầu trừ phía trước lij có được L-1

- L và U luôn luôn thưa nếu A thưa.

Thừa Số Hóa Tam GiácỞ mỗi bước thừa số hóa:

không có số náo bằng 0, 0 and 0ij ija a

0a,0a,aand0a ijkjikij pivot:k,aa

aaa kj

kk

ik • ijij-=¢

61

Thừa Số Hóa Tam GiácThay thế thuận

Ly = P•b = c

62


63


64

1

5

6

9

1

1

1

2

1

3

2

3

4

7

8

Cây thừa số hóa

1

0


65

Ví dụ:

Bằng cách sử dụng khử Gauss

1 4 7

0

0

3 6

6 11

Amod


66


67

*


68


1u

u 1 2

1 1 1u 1 2 2 1

A u u D

A DU where U u u u .u

1 0 0 1 4 7 1 4 7

0 1 2 0 1 0 0 1 2

0 0 1 0 0 1 0 0 1

-u23

-u13

-u12

69

Thứ Tự Tối Ưu

70

2

43

2

4 3

1

4

23

1

Ybus ban đầu

X X X XX

X XX

X XX

X X

1

Ybus sau khi khử Kron

2 3 4

1

2

3

4

2

3

4

2 3 4


71

1 1

11

., 2,3, 4

bus

bus

i jijij new ji new

Y after kron reductionInitial Y

y yy y y i and j

y

x xx x

x xx x

x xx x x

x x x x

1 2 3 4

1

2

3

4

2

3

4

2 3 4


72

Quá trình khử

Ở bước 1 của quá trình khử tiến, chọn biến sẽ được khử tương ứng với phần tử trên đường chéo của hàng với nhiều phần tử 0 nhất. Nếu có 2 hay nhiều biến đáp ứng điều kiện này, chọn biến nào ít gây lắp đầy nhất cho bước kế tiếp.

Ở mỗi bước kế tiếp, chọn biến sẽ bị khử bằng cách áp dụng quy tắc giống như đã áp dụng cho ma trận hệ số đã thu gọn.


73

Sơ đồ thứ tự gần tối ưu Vẽ một graph tương ứng với Ybus

Ở bước 1, chọn nút đầu tiên để khử từ graph có ít nhánh nối vào nhất và nó tạo ra ít nhánh mới nhất. Ở mỗi bước kế tiếp, cập nhất biến đềm nhánhở các nút còn lại và áp dụng tiêu chuẩn chọn lọc bước 1 để cập nhật graph.

Ví dụ: Graph trong hình vẽ diễn tả một mạng 5x5 Ybus. Xác định theo graph trình tự trong đó các nút a, b, c, d, và e nên được đánh số sao cho cực tiểu hóa số hệ số lắp đầy trong LU của Ybus.


74


75


76

Ví dụ: Số nút của graph dưới dây theo một thứ tự tối ưu cho thừa số hóa tam giác của ma trận Ybus tương ứng.

a b c d e a b

f gf g i jh

0002000000

0122211211

gfbacdijeh

10987654321Số bước

Nút bị khử

Số nhánh tích cực

Kết quả lắp đầy


77

xxx

xxx

xxx

xxxa b f g

a

b

f

g

Khía Cạnh Lập Trình

Thứ tự gần tối ưu- Mục đích là xử lý những phần tử khác 0- Tránh điền thêm số khác 0 trong trường hợp khử Gauss và thừa số hóa tam giác.

Tại sao? Cải thiện tốc độ tính toán, độ chính xác và không gian lưu trữ.

78


Tập tuyến tính của phương trình thưa:

79

nxn n i n iSparse Full

A . X b A-1 thường đầy, trường hợp bài

toán lớn X = A-1b không hiệu quả.

Các ma trận thưa:

1) Cấu trúc dữ liệu:

A-X = b

Xếp thứ tự& thừa số hóa:

LUPAQ

orderA


Tập tuyến tính của phương trình thưa:

80

nxn n i n iSparse Full

A . X b A-1 thường đầy, trường hợp bài

toán lớn X = A-1b không hiệu quả.

Các ma trận thưa:

1) Cấu trúc dữ liệu:

A-X = b

Xếp thứ tự& thừa số hóa:

LUPAQ

orderA


81

0 0 1 1 2 3 0 0 1 9 8 7

0 1 0 4 5 6 0 1 0 6 5 4

1 0 0 7 8 9 1 0 0 3 2 1

P A Q PAQ


82

Thay thế tiến: P

1 3

2 2

3 1

0 0 1 b b

0 1 0 b b

1 0 0 b b

L.y P.b

AX b

PAX P.b Let QX X

PAQX P.b

LUX P.b Let UX y

Ly P.b

Thay thế lùi:ux y

Reoder :

Qx X (rearrange)


83

Lưu trữ dữ liệu

Danh sách liên kết hay chuỗi:

81.0 0 0 2.0 50%160 7.0 0 6.0

e.g. A Normally, it is 5 10%.0 3.0 5.0 4.0

8.0 0 0 0

12.4


84

NZ: # of nonzero=8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A : 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 12.4

Col. : 1 4 2 4 3 4 2 1 3

Next : 2 1 4 5 1 1 6 1 1

Row : 1 7 3 8 9


85

A(i,j)

Access any row i:

j = row(i)

j = Next(j)

Retrieve A(2,4)

Row(2) = 7

Check Col.(7) = 4 No.

Next(7) = 6

Check Col.(6) = 4 yes

A(2,4) = 6

?

?


86

Ví dụ: Lưu trữ Ybus theo từng dòng


87

* Bước 1:


88

* Bước 2 & 3:

* Bước 4:


89

* Bước 5:


90

* Bước 6:

Education

GIAI TICH HE THONG DIEN NANG CAO - CHƯƠNG 1 MA TRẬN TỔNG DẪN