Primeros pasos con Geogebra

Geogebra es un programa de Geometría Dinámica que nos va a permitir

estudiar la Geometría de una forma más visual, explorar las propiedades de las

figuras geométricas e investigar sobre las mismas y sus aplicaciones.

Lo primero que debemos hacer es descargarlo en nuestro ordenador para

trabajar con él. Para ello sólo debemos ir a la página oficial del programa

http://www.geogebra.org/cms o con escribiendo Geogebra en el buscador de tu

ordenador

y hacemos clic con el ratón en el enlace Webstart con lo que se nos descargará

e instalará en nuestro equipo la última versión disponible.

Aparecerá una

pantalla como

la siguiente.

En la última

versión existe

también la

opción de Hoja

de Cálculo.

Cada uno de

los iconos de

la barra de

herramientas

se puede desplegar pinchando en la esquina inferior izquierda de los mismos y

obtenemos nuevos menús que iremos conociendo a lo largo de estas prácticas.

Actividad 1: Investigar los distintos iconos de la barra de herramientas

Practicar con ellos. Hacer un dibujo y guardarlo en vuestra carpeta de trabajo

como Inicio1. Para guardar un archivo desde el menú Archivo.

Actividad 2: Modificar el área de trabajo y las propiedades de los objetos.

Y desde la opción Vista ponemos la cuadrícula y ponemos o quitamos los ejes:

Actividad 3: en la zona inferior izquierda tenemos la Barra de Entrada

compuesta de izquierda a derecha, por el botón de ayuda, el campo de entrada

y tres listas desplegables con operadores y funciones, letras griegas y

comandos.

En el campo de entrada escribimos (3,1) Intro. A continuación escribimos 2 A,

pulsamos Intro y observamos que ocurre. Movemos A. Si ponemos los ejes y la

cuadrícula podemos ver mejor que ha pasado.

Ahora escribimos seg y aparecerá Segmento [ ] dentro del corchete escribimos

A, B, pulsamos Intro y vemos que nos aparece el segmento a que une los

puntos A y B.

Se puede redefinir cualquier elemento en cualquier momento, por ejemplo

podemos escribir en el campo de entrada B = 3

En esta primera práctica se trata sobre todo de investigar con las distintas

herramientas de Geogebra, averiguar sus posibilidades. Sería interesante que

los alumnos diseñasen un primer dibujo realizado por ellos.

ACTIVIDAD 4: realizar un dibujo que te represente a modo de icono. Debe de

ser algo sencillo pero que te permita conocer las herramientas del programa y

sus posibilidades.

Una vez realizados sus dibujos debéis guardarlos como ficheros de Geogebra

pero también como Imágenes para poder ponerlos como Icono en vuestro perfil

dentro del TwinSpace, es decir:

1º.- Para guardarlos como fichero de Geogebra:

2º.- Para guardarlo como Imagen y poder ponerlo en su perfil se hace con

Exporta, Vista gráfica como imagen png:

3º.- Si queremos que utilicen el dibujo en otros trabajos, es decir, sólo la Vista

Gráfica se puede pasar al Portapapeles de esta otra forma:

El Teorema de Pitágoras

En primer lugar preparamos el escenario:

Puedo cambiar el trazo de la Cuadrícula pinchando con el botón derecho del

Ratón o Mouse dentro de la Ventana Gráfica, Cuadrícula y Estilo de trazo.

También puedo cambiar el color del fondo, poner las líneas más negras o

preparar un Tablero Isométrico.

Ajustamos a la Cuadrícula desde el Menú Opciones, Atracción de Punto a

Cuadrícula y Activa (Cuadrícula)

Comenzamos con el Teorema de Pitágoras:

Se puede hacer de varias formas, yo he elegido ésta para que vean que el

diámetro de una circunferencia es la hipotenusa de todo triángulo apoyado

sobre la circunferencia:

Con el botón derecho del Mouse voy pinchando sobre los distintos objetos

que se quieren ocultar

Y con la herramienta Polígono Regular construyo 3 Cuadrados sobre los lados

del Triángulo Rectángulo:

Con el Botón Derecho del Mouse sobre cada cuadrado puedo ir cambiando las

propiedades de la figura y que me aparezca el Área desde Básico, Mostrar

Rótulo con Nombre y Valor

Para practicar puedes dibujar otros polígonos y verás que siempre se cumple el

Teorema de Pitágoras.

Problemas sobre construcción de triángulos y figuras geométricas

0.- Introducción: antes de comenzar los siguientes ejercicios escribe en el

buscador de Google Geogebra Manuel Sada. Verás que te salen una serie de

páginas. Quiero que visites especialmente estas dos:

http://docentes.educacion.navarra.es/m sada all/ geogebra /index.htm

http://roble.pntic.mec.es/jarran2/ geogebra /index.html . En ésta hacia abajo

encontrarás la siguiente página sobre la geometría del triángulo:

http://www.dmae.upct.es/~pepemar/triangulo/index.htm Visítala e investiga

sobre las propiedades de los triángulos.

1.- Demostrar que para poder construir un triángulo, el lado mayor debe

ser menor que la suma de los otros dos:

- Abrimos Geogebra, cerramos la ventana algebraica y los ejes. Hoy vamos a

crear unos Deslizadores a, b y c, modificamos el intervalo entre 0 y 10 y los

ponemos a 0.

- Punto A y círculo d con radio c. Movemos c para ver que efectivamente

hemos creado el círculo. Punto B en el círculo d

- Círculo e con centro en el punto A y radio b.

- Círculo f con centro en B y radio a.

- Punto C intersección de los círculo e y f.

- Construimos el triángulo A, B, C

2.- Demostrar que la suma de los ángulos de un triángulo suman 180º.

Comprueba también la igualdad de los ángulos alternos situados entre

paralelas

3.- Demostrar que en un triángulo cualquiera, si el triángulo es

obtusángulo y si el triángulo es acutángulo:

Construye una circunferencia cuyo diámetro sea a. Construye un triángulo cuyo

lado mayor sea a, marca la altura e investiga sobre el valor de los lados b y c y

los ángulos. Contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Qué ocurre cuando el vértice A está sobre la circunferencia?. ¿y

cuando está dentro?. ¿Y cuando está fuera?.

b) Observa el valor de los ángulos y de los lados. ¿Qué ocurre en cada

caso?.

Elementos notables en el triángulo

1.- Las mediatrices y el circuncentro: una mediatriz es la recta

perpendicular que divide a un segmento en dos partes iguales.

Geogebra: ejercicio 1 – construye la mediatriz de un segmento. Guárdalo en tu

carpeta de trabajo con el nombre mediatriz

1 – Abres el programa. Dentro de la opción de rectas, pinchas en el

icono “segmento entre 2 puntos”

Una vez que tienes el segmento construyes dos circunferencias con centros en

cada uno de los extremos del segmento. Remarca la mediatriz y guarda el

archivo como mediatriz1

Geogebra: ejercicio 2 – en un triángulo, las mediatrices son las rectas

perpendiculares a los lados que pasan por sus puntos medios.

Construye las tres mediatrices de un triángulo cualquiera. Comprueba que se

cortan en un punto que llamaremos Circuncentro. Marca dicho punto y

comprueba que es el centro de la circunferencia circunscrita. Para ello dibuja

dicha circunferencia. Guárdalo en tu carpeta de trabajo con el nombre

mediatriz2

2.- Las bisectrices y el incentro: la bisectriz de un ángulo es la semirrecta

–con origen en su vértice- que divide al ángulo en dos partes iguales.

Geogebra: ejercicio 3 – Dibuja un ángulo cualquiera y construye su bisectriz.

Para ello seguimos los siguientes pasos:

Dibujamos una pequeña circunferencia con , ocultamos el punto sobre la

circunferencia y dibujamos 2 semirrectas con origen en el centro de la

circunferencia y que pasen por ella. Ocultamos esta circunferencia y con centro

en C se dibuja otra circunferencia que pase por D y otra con centro en D que

pase por C:

Con la herramienta Ángulo marcar el ángulo formado por D, el centro de

la circunferencia y C. Con el icono Intersección entre 2 puntos se marcan

los puntos de corte de ambas circunferencias y se trazan las rectas que los

unen:

Modificar las propiedades de las líneas y puntos obtenidos y comprobar que al

mover C y D, se modifican las circunferencias y el ángulo pero la recta obtenida

sigue siendo la bisectriz. Comprobar también que pasa por el vértice del

ángulo. Guardar el archivo en vuestra carpeta con el nombre bisectriz1.

Geogebra: ejercicio 4 – En un triángulo, las bisectrices de los vértices, son las

semirrectas que dividen a los ángulos en dos partes iguales.

Construye las tres bisectrices de un triángulo cualquiera. Comprueba que se

cortan en un punto que llamaremos Incentro y que es el centro de la

circunferencia inscrita. Compruébalo resaltando dicho punto y dibujando dicha

circunferencia inscrita. Cuidado con esta circunferencia!!.

Guárdalo en tu carpeta de trabajo con el nombre bisectriz2.

3.- Las medianas y el baricentro: la mediana de un triángulo es la recta

que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto.

Geogebra: ejercicio 5 – para dibujar la mediana correspondiente a un vértice

hay que buscar el punto medio del lado opuesto y construir la recta que une el

vértice correspondiente con dicho punto.

Para ello, se dibuja un triángulo cualquiera y se halla el punto medio de uno de

sus lados

Construye las tres medianas de un triángulo cualquiera y comprueba que se

cruzan en un punto llamado Baricentro que es el centro de gravedad del

triángulo. Demuestra que dicho punto siempre es interior sea el triángulo que

sea modificando el triángulo, observa que ocurre según el triángulo sea

obtusángulo, rectángulo o acutángulo. Apúntalo en tu cuaderno.

Guárdalo en tu carpeta de trabajo como mediana1

4.- Las alturas y el ortocentro: las alturas de un triángulo son las rectas

perpendiculares a cada uno de los lados trazadas desde cada vértice.

Geogebra: ejercicio 7 – construye las 3 alturas de un triángulo cualquiera y

comprueba que se cruzan en un punto llamado Ortocentro. Averigua las

posiciones del ortocentro según el tipo de triángulo, apúntalo en tu cuaderno.

Guarda el archivo como altura 1

Geogebra: ejercicio 8 – Dibuja un triángulo cualquiera y dibuja todas las rectas

que hemos hallado antes. Marca cada una de un color diferente: las medianas

de un color, las alturas de otro, ..etc. Marca bien los puntos donde se cruzan

cada una de ellas.

Une el ortocentro y el circuncentro con una recta. Mueve los vértices del

triángulo. Observa muy bien lo que ocurre y apúntalo en tu cuaderno. Guarda el

archivo como euler1.

Geogebra: ejercicio 9 – Se conoce

como circunferencia de los nueve

puntos o circunferencia de Feuerbach

a la circunferencia asociada a cada

triángulo. Su nombre deriva del hecho

que esta circunferencia pasa por

nueve puntos notables, seis de ellos sobre el mismo triángulo (salvo que el

triángulo sea obtusángulo). Estos son:

el punto medio de cada lado del triángulo,

los pies de las alturas, y

los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los

vértices del triángulo.

Como trabajar con Deslizadores:

1.- Objetivos que se pretenden: saber que es un deslizador y sus utilidades:

un deslizador es la representación gráfica de un número o un ángulo y

aparece en la barra de herramientas. Permite animar la construcción de un

segmento o de un ángulo.

2.- Herramientas que vamos a utilizar:

Barra de herramientas Herramienta Definición

General

Elige y mueve

Puntos

Punto

Circulares

Circunferencia dada el

radio

Mediciones Ángulo dada su amplitud

Interacción

Deslizador

3.- Ejercicios resueltos paso a paso: vamos a resolver dos casos

a) Construcción de una circunferencia que va a ir aumentando o

disminuyendo según el valor del radio. Lo primero, como siempre, preparar el

escenario: en el Menú Vista sin ejes, sin cuadrícula y sin Vista algebraica y en

el Menú Opciones desactivar cuadrícula. Para ello vamos a utilizar un

Deslizador de Número

Seleccionamos la Herramienta Deslizador y tenemos que pinchar en un lugar

de la Vista Gráfica. Aparece una ventana como la de la imagen. Fijarse que en

Nombre aparece a, es el nombre del deslizador.

Ahora, en la pestaña Intervalo modificamos el mínimo de -5 a 0.

En la pestaña Deslizador la dejamos en Horizontal y en la de Animación

cambiamos Oscilante por Incremento. Pinchamos en Aplica y modificamos a=1

por a=0 simplemente moviendo el punto.

¡¡Acordarse antes de cambiar la selección de la Barra de

herramientas de a !!

Escogemos ahora la herramienta Circunferencia dado su radio,

pinchamos en la ventana gráfica, y cuando nos pida el radio escribimos a.

Damos a OK y en principio parece que no ha hecho nada pero si

seleccionamos otra vez y movemos el punto a observamos que ocurre.

Pinchamos con el botón derecho sobre el deslizador, nos aparece el Menú

Contextual y seleccionamos Animación automática y observamos que ocurre.

Abajo a la izquierda aparece un botón de Pausa y Reproduce Lo

paramos y cambiamos en Propiedades Incremento por Oscilante. Observa la

diferencia.

En el mismo archivo dibujamos otra circunferencia cuyo radio sea a/2 y otra

cuyo radio sea a/4.

Alinea las circunferencias, oculta sus centros y con el botón derecho abre los

menús de las circunferencias y cámbiales el color y pon el sombreado a 100.

Guardar el fichero como deslizador 1

b) Vamos a crear ahora un deslizador de ángulo: igual que antes pero ahora

seleccionamos el ángulo. Dejamos todo como está y pinchamos en Aplica

Dibujamos una circunferencia de radio 4 y colocamos un punto sobre ella de

forma que forme un ángulo de 0º. Nos podemos ayudar con los ejes.

Escogemos la herramienta Ángulo dada su amplitud y marcamos en B

en A y cuando nos pida la amplitud escribimos directamente :

Animamos el ángulo y vemos que ocurre!!.

Teorema de Tales:

1.- Realiza la siguiente construcción que te permite demostrar el Teorema

de Tales:

- Abrimos Geogebra, cerramos la ventana algebraica y quitamos los ejes.

Construimos 2 rectas que se cruzan en un punto A, al que renombramos como

O desde el menú contextual.

- Trazamos 3 paralelas que corten a las dos rectas. Marcamos los segmentos y

nombramos los puntos de intersección

- Siempre con el menú contextual, botón derecho sobre el elemento,

cambiamos las propiedades, el color, el grosor, ponemos su nombre y su valor.

- Después de obtener una imagen similar, con la herramienta Texto

calculamos las razones entre diversos segmentos. Si éstos están bien

seleccionados se debe cumplir el Teorema de Tales:

- “ h/i = “+h+” / “+i+” = “+(h/i)

- “ j/k = “+j+” / “+k+” = “+(j/k)

- Calcula tú alguno más, por ejemplo entre los segmentos c y e ó entre OB/OB’.

- Mueve los puntos azules para que compruebes que efectivamente se cumple

el Teorema de Tales entre segmentos homólogos.

2.- Aplicando el Teorema de Tales divide un segmento AB = 14 cm, en 5

partes proporcionales. Hemos creado un deslizador para comprobar que da

igual la medida que se tome,

el segmento se divide en 5

partes proporcionales

Una herramienta útil en esta

práctica es el compás .

3.- Dibuja un pentágono

cualquiera y construye uno semejante con razón 2 y otro con razón 1/2: -

Dibuja en primer lugar el pentágono. A continuación pon un punto cualquiera,

renómbralo como O y traza rectas desde cada vértice del pentágono a O. Con

la opción puedes hacer semejanzas marcando la figura, el centro de semejanza u

homotecia y la razón o factor por el que debes multiplicar:

Escalas:

Objetivo: calcular distancias reales en un mapa. Aplicar los conceptos de

semejanza en un plano y el cálculo de medidas

1- Desde Maps de Google buscamos el camino entre Toro y Morales de Toro y

hacemos una captura de pantalla teniendo mucho cuidado de que entre la

escala, es muy importante.

Al recortar la imagen tenéis que guardarla en vuestra carpeta de trabajo.

2- Abrimos Geogebra y dejamos la Vista gráfica en blanco, sin ejes ni

cuadrícula. Antes de comenzar, seleccionar Vista Éstandar desde el menú

contextual de la Vista gráfica para que la imagen quede proporcionada.

3- Con el icono pegamos la imagen. Para cambiar sus propiedades y que

quede recta pinchamos con el botón derecho y en Propiedades/Posición, en

Esquina 1 (0,0) y en Esquina 2 (25,0). Estilo, sombreado a 75 para aclarar la

imagen y en Básico, escoger Imagen de fondo.

4- Con colocar la imagen para verla adecuadamente en la esquina inferior

izquierda. Marcamos el recorrido desde Toro a Morales mediante segmentos

con el icono . Dibujamos el segmento que representa la escala, en

Propiedades, cambias el color a rojo y Estilo 9 para que se vea bien. Nos

fijamos en como se llaman los puntos extremos y el segmento: en mi dibujo se

llama f y como tal están los apuntes.

5- Sobre dicho segmento f seleccionamos Muestra rótulo/Nombre y Valor y lo

movemos hasta que se vea con claridad.

6- Definimos el recorrido como la suma de segmentos que hemos utilizado para

llegar desde Toro a Morales. Para ello escribimos en la Barra de entrada:

camino=a+b+c+d+e

Queda así definida una variable que NO se ve en la ventana algebraica pero

que podemos utilizar en una fórmula.

7- Con el icono Inserta texto pinchamos donde queremos que aparezca el

texto y escribimos:

“Distancia Toro a Morales según plano= “+camino

“Distancia real = “+(camino*500/f)+” metros” que es la distancia en metros.

“Distancia real = “+(camino*500/(1000*f))+”Km” es la distancia en kilómetros

Recordar que: 500 es la escala del mapa y f es el segmento que marca la

escala.

Áreas y Volúmenes I

Todos los ejercicios de esta hoja están tomados del libro de 3º de ESO de la editorial Bruño,

ed. 2007. Págs. 246 y 247

1º.- Dibuja un rectángulo cuyos lados midan 6 cm y 4 cm, y calcula el perímetro

y el área

- Elige Vista y desactiva los ejes. En el campo de

entrada escribe b = 6 y pulsa Enter. Introduce también a = 4. Se elige la

herramienta Segmento dado punto extremo y su longitud. Haz

clic en la Vista gráfica y aparece un punto A, a continuación escribe b en la

ventana que aparece y ok. Sitúate en los puntos y con el botón derecho

ponles rótulo.

- Dibuja dos rectas perpendiculares al segmento AB por los puntos extremos

A y B, herramienta Recta perpendicular. Dibuja una circunferencia de

centro B y radio a y marca la intersección de la recta perpendicular que

pasa por B con la circunferencia que acabas de dibujar y llámalo C.

Dibuja una recta paralela al segmento AB por este punto C .

- Halla la intersección de la intersección de esta recta paralela con la

perpendicular que pasa por A y llama al punto D.

- Oculta todos los elementos menos los 4 puntos o vértices. Elige la

herramienta Polígono y dibuja el rectángulo sobre los 4 vértices.

- En el menú contextual de la base (recuerda que se obtiene pinchando con

el botón derecho sobre el segmento de la base del rectángulo) elige

Propiedades/Básico/Muestra rótulo. A continuación elige Nombre y valor

y renombras el segmento como Base. Haz lo mismo con la Altura.

- En el menú contextual del rectángulo coge Propiedades/Básico/Nombre y

valor y en lugar de poligono1 escribimos Área.

- En el campo de entrado escribimos P = 2(a + b) todo seguido sin espacios

en blanco. Elegimos la herramienta Texto y hacemos clic en la Zona

gráfica. En la ventana Texto que aparece escribimos “Perímetro =”+P+”cm”

y pulsa ok. En el menú contextual del texto escogemos Propiedades y le

pones color azul.

- Interactividad: en el campo de entrada escribe b = 10 y pulsa Enter. Elige

la herramienta Desplaza y en la ventana Álgebra haz clic sobre la

medida b=10 . Pulsa reiteradamente las teclas [+] y [-] y

observa como el valor de la base va cambiando de 0,1 en 0,1. Para cambiar

de 1 en 1 pulsa [Ctrl] [+] o [Ctrl] [-]. Haz lo mismo con la altura.

2º.- Dibuja un pentágono regular. Mide el lado, la apotema y el área.

Comprueba el área utilizando la fórmula.

- Dibuja una circunferencia de centro A y en la parte superior un punto B.

Como el ángulo central de un pentágono regular mide 360º : 5 = 72º,

introduce en el campo de entrada .

- Elige la herramienta Rotación de un objeto en torno a un punto según el

ángulo indicado . Haz clic en el punto B, luego en el punto A y,

cuando te pregunte el ángulo introduce . Obtienes el punto C.

- Gira de igual forma el punto C y obtienes el punto D. Logra de la misma

forma el resto de vértices del pentágono regular y dibuja el polígono.

- Arrastrando los puntos A o B puedes cambiar el tamaño del pentágono y

girarlo. Renombra los vértices como D, E y F y el centro como O

- Dibuja la apotema y oculta todos los objetos que no necesites. Mide el lado,

la apotema y el área. Comprueba que está bien introduciendo en el campo

de entrada la fórmula del área de un polígono regular.

“Resultado = “+R+” cm2” siendo R el valor del área obtenida con la fórmula

- Interactividad: arrastrando el centro o el punto B comprueba que se sigue

verificando la igualdad.

Áreas y Volúmenes II

1º.- Dibuja u hexágono regular con de lado 4 cm. Pon los ejes y fija los

vértices A y B en (0,0) y (4,0) respectivamente.

Haz el siguiente dibujo y calcula:

- Los lados del triángulo equilátero.

- La altura del triángulo.

- El área del hexágono.

- El área del triángulo

2º.- Haz ahora el siguiente dibujo y calcula:

- Las áreas de los rombos AOEF, ABCO y

OCDE obtenidos.

- La altura de cada triángulo equilátero.

- El segmento que va desde el punto medio de

ED hasta el punto medio de AB.

- El área de cada triángulo equilátero. Multiplícala por 6 y comprueba que

es igual al área del hexágono.

3º.- A un cuadrado de 5 cm de lado le cortamos triangulitos isósceles en las

cuatro esquinas. Calcula cuanto debe valer m para

que el octógono resultante sea regular.

- Calcula su área y la apotema.

- Calcula el área de un octógono regular de

perímetro 48 cm.

4º.- Calcula el área del triángulo construido sobre

los centros de tres circunferencias tangentes cuyo

radio mide 5 cm.

- Halla el área del triángulo curvilíneo comprendido

entre las tres circunferencias.

Dibujando Poliedros

1º.- Dibuja el desarrollo de un cubo con Geogebra:

En primer lugar necesitas dibujar, lógicamente un cuadrado, utiliza la

herramienta Polígono regular y colócalo sobre los ejes de forma que

obtengas un cuadrado de 2x2. Ahora tienes 2 opciones:

- Seguir dibujando cuadrados del mismo tamaño para obtener el desarrollo

del cubo. Lo único que debes de tener en cuenta es que sean del mismo

tamaño. El problema es que al cambiar un cuadrado NO se cambia el otro

- O utilizar una nueva herramienta que te permita repetir el mismo cuadrado

en el lugar que quieras, así, al cambiar un cuadrado, cambian todos los

cuadrados y SIGUES manteniendo el

desarrollo del cubo!!.

- La nueva herramienta se llama VECTOR,

y te permite enviar el dibujo donde quieras

mediante un movimiento llamado

TRASLACIÓN. Observa….!!!!

- Seleccionamos y, POR FAVOR…lee la pantalla: “Objeto a trasladar y

vector”…. Pincha el cuadrado y el vector de acuerdo??.

- Hasta aquí tendrás 4 cuadrados. ¿Qué harás para completar el desarrollo

del cubo?. Pues HÁZLO!!.

2º.- Dibuja el desarrollo de un tetraedro. Traslada, gira…!!!

3º.- Dibuja el desarrollo de un prisma pentagonal

4º.- Dibuja el desarrollo de una pirámide hexagonal. Cuidado con los ángulos!!.

Y recuerda que existe algo llamado mediatriz, … por algo será!!!

5º.- Dibuja algo más complicado: el desarrollo de un dodecaedro, un

icosaedro……

POR FAVOR: pon un nombre adecuado a los ficheros o archivos:

MOVIMIENTOS

TRASLACIONES: en primer lugar dibujamos un vector

Con la herramienta Polígono dibujamos un triángulo cualquiera.

Y con la herramienta “traslada vector” seleccionada, pinchamos en el

interior del triángulo y después en el vector.

Más información en el tema 11 del libro de 3º de ESO, ed. Bruño.

GIROS:

Ponemos un punto y dibujamos un triángulo cualquiera. Con la herramienta de

Rotación giramos el triángulo 45º en sentido antihorario y otras 2 veces 45º.

Obtenemos la siguiente figura:

Unir el centro con uno de los vértices de triángulo y comprobar que

efectivamente se forma un ángulo de 45º.

SIMETRÍA AXIAL:

Dibujamos un triángulo y una recta que nos va a servir de eje de reflexión. Con

la herramienta que refleja un objeto obtenemos la siguiente figura:

Marca los segmentos que unen los puntos simétricos y comprueba que su

punto medio pasa por el eje de simetría con lo cual podemos ver que es

su mediatriz.

SIMETRÍA RESPECTO A UN PUNTO:

Ponemos un punto y dibujamos un triángulo. Con la herramienta que

refleja un objeto respecto a un punto O obtenemos la siguiente figura:

Comprueba que equivale a un giro de 180º. Traza los segmentos

correspondientes a los puntos homólogos y comprueba que pasan por el punto

O que es el centro de simetría.

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS:

Dibuja una figura sencilla cualquiera, por ejemplo la letra F y averigua:

1º.- ¿Qué ocurre cuando a esta figura le aplicas dos traslaciones distintas?

2º.- Qué ocurre cuando le aplicas 2 giros distintos?.

3º.- ¿Qué ocurre cuando le aplicas dos simetrías axiales de distinto eje que

sean paralelos?

4º.- ¿Qué ocurre cuando le aplicas dos simetrías axiales con dos ejes distintos

que se cortan?

5º.- ¿Qué ocurre cuando aplicas 2 movimientos diferentes, por ejemplo un giro

y una traslación o una traslación y una simetría axial?. Prueba con todas las

combinaciones posibles.

FRISOS: se llama Friso o Cenefa a un dibujo que se genera por la traslación

de un motivo o figura base. Los frisos se clasifican en 7 tipos atendiendo a los

movimientos que hay que aplicar al elemento generador para obtener la base.

Figura base Friso o cenefa

Tipo 1:

elemento generador

Tipo 2: la base tiene simetría

horizontal

Tipo 3: la base tiene simetría vertical

Tipo 4: la base tiene simetría y

deslizamiento

Tipo 5: la base tiene simetría central

Tipo 6: la base tiene giro y deslizamiento

Tipo 7: la base tiene simetría horizontal y vertical