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ñrüEEffiffia#Fffiffirffiffi
ALGEBRA
570 PROBLEMAS RESUELTOS540 PROBLEMAS PROPUESTOS
ING. Ms. Sc. GALECIO SALINAS J.
DOCENTE DE MATEMATICAAREA DE CIENCTAS BASICAS FACULTAD DE MECANICA
SI]PE,RIOR
ESPOCH
RIOBAMBA. ECUADOR201 1
ALGEBRA SUPERIORJosé Galecio Salinas Jaramillo
Producido y Editado por:José Galecio Salinas Jaramillo
Registro de Autor:No. 025063
ISBN: 97 8-9942-03-7 49-7
Álgebra SuperiorProhibida la reproducción total o parcial de esta obrapor cualquier medio, sin autorización escrita del autor
Dirección General:Ciudadela laPaz- Carondelet No 3, entre Almagro y MoronaRiobamba - Ecuador
Pedidos A:i [email protected]
Teléfonos:(03)294s-331493557367
Tiraje:PrimeraEdición500 Ejemplares ,
Septiembre 20 del201l
a{.ddadaúüú6C
dddIt:ItttTIt¡tIT¡¡It¡¡ttttItIITtTII
EditorialSoluciones Gráficas
Quito - Ecuador
PROLOGO
El ::: ¡--slto de este libro es dar al estudiante que desea ingresar a la Facultad de Mecánica y otras especialidades:; 'a ESPocH' asi como a las diferentes universidades ! Escuelas Politécnicas del país, una fuente directa de:::sulta puefo que en el presente trabajo se encuentran temas cómo: Lógic4 con;uátos, Nn.eros Reales,Fua:iones, Polinomios y-Nú1e1o¡ complejos que corresponden al curso de Algebra superior del primer nivelque 'e aplica en la EIM Facultad de Mecánica de la ESpOCH.
El libro comprende 6 capítulos:En los capítulos I y 2 se trata de: Lógica, Conjuntos y sus aplicaciones.EI capítulo 3 se relaciona a números reales, en el cuál encontramos desarrollados los temas de: Ecuaciones,Inecuaciones de diversos tipos, Aplicaciones al valor Absoluto y su representación gráfica
"";i .j; numérico.El capítulo 4 detalla las .funciones en general, en el mismo se ha incluido-: EcuacioneJ, ln"cra"ior.sExponenciales y Logarítmicas. Además se ha considerado el método gráfico paru r"solvÉ. Ecuaciones,Inecuaciones y su representación gráfica en el plano cartesiano.El capítulo 5 abarca los Polinomios y sus operaciones; Productos y cocientes Notables, Regla de Ruffini,Algoritmo de la División y Aplicaciones; también se ha tomado en cuenta: la descomposi.ioi.n FraccionesParciales, Potenciación, Radicación y Racionalización. Temas fundamentales para iniciai
"l "rtu¿io del AnálisisMatemático.
En el capítulo 6 se expone los Números complejos y relaciona las definiciones de: cantidad Imaginaria, NúmeroComplejo (a + bi), representación Geométrica y Trigonométrica de (a + bi) y ,r, op".uáones. AdemásPotencia y Raíz de un Número Complejo, Función Exponencial, r'órmula de Euler y Forma Exponencial delNúmero Complejo. En este mismo capítulo se expone- brevemente las coordena¿ur poru.", y-iu ro*u pu.uconstruir algunas gráfi cas.
En todos los capítulos encontramos un gran número de problemas resueltos y propuestos, para que el aprendizdesarrolle los procesos e instrumentos del conocimiento matemático, urí^.orno la potenciación de suscapacidades intelectuales, con la finalidad de que los alumnos se vuelvan aprendices autónomos,interdependientes, autorregulados, capaces de aprendei a aprender.
Deseo que el estudio de esta obra, le proporcione al estudiante suficiente destreza en el lenguaje y en las ideasfundamentales del Álgebra para continuai con las técnicas más avanzadas del cálculo, yu quE rrá ,i¿" concebidopara ser empleado como libro de texto o como complemento práctico de los cu.rsos de matemáticas básicas. Esaes la razón para que baya 570 problemas resueltoi y más áe 540 problemas propuestos .on ,u. respecti.".asrespuestas. Pero que, al desarrollarlo, al mismo tiempo se convierta en un desafiá, pr..to que: ..euerer aprendery saber pensar son las condiciones personales básicas que permiten la adquisición de nuer.os conocimienros l. laaplicación de lo aprendido de forma efectiva cuando se necésita,,.
DesafoÍunadamente la información que se basa en demostraciones eminenremeflt. rir¡rir-&S. poco aporta alestudiante que busca aplicaciones p.áciicas a su carrera_ \.a que esra r.roda. ia_r ,-iencias ,leben ser r.ivenciadaspor el educando r orientadas por su maestro.
Erpreso mí profunda era¡itud a lr,s es¡rCie:-r:es Je la El\f. \.:,¡ssugerencias que a fu:uro se me has- _-:,:.i:.J.r.
en general. por la acogida y
1I-'I4:,R.
CONTENIDO
¿!!D!TI¡¡!-I¡
-!!!
, :.i Notación....... ......... 1
, l.l Valor de Verdad......... ................. 1
-: Cc,nectivos Lógicos ...............li .i.1 Negación...... .........21.3.2 Conjunción... .........21.3.3 Disyunción... .........31.3.4 Bidisyunción (Disyunción Exclusiva) .............31.3.5 Condicional o Implicación ..........11.3.6 Bicondicional oEquivalencia.................. ..........41.3.1 Conjunción Negativa ..................41.3.8 Cuadro de los valores de verdad de los Conectivos Lógicos ........................5
I , 2.77.5 Diferencia Simétrica .................2j2.12 Leyes del Algebra de Conjuntos ................27
2.12.1 Problemas Resueltos sobre Conjuntos ................ ..................302.13 Problemas Propuestos.... ..............,.............40CAPITULO 3
Nirv¡nos REALES...... ...............42
i.l Los Reales como un Campo ...................... -13
3.2.1 Axiomas de Igualdad ................l-l3.2.2 Axiomas de la Suma .............. .. +_:
i.2.i Axiomas del Producto. ........... -1-:
1.1.1 Axiomas de Orden ............. -i-:
-1 -1.1 Inecuaciones de Primer Grado........... -1.- -i I lnecuaciones de Otros Tipos............ -'
3.6.1 Definición .............56
3.6.2 Propiedades.. .........56
3.6.3 Problemas Resueltos ..................58
3.6.4 Problemas Propuestos: ...............85
CAPITULO 4RELACIONES Y FUNCIONES................... .........87
4.3 Dominio de laFunción .........92
4.4 Función Biyectiva...... .........-'96
4.5 Función Inversa.......... ...-.......101
4.6 Función Constante ....-......... 105
4.7 Funciones Crecientes y Decrecientes.................... ...'......105
4.8 Funciones Pares e Impares......... ....'...--.'-..106
4.9 Función Valor Absoluto..'....'........" .....'..-. 107
4.9.1 Construcción de Gráficas de las Funciones que contienen valor Absoluto........................110
4.10 Función Sign X.......... ..........1l54.1 I Función Característica o Indicatriz... ..'..'..1l54.12 Función Parte Entera de X.............. .-...-..-. 116
4.13 Operaciones con Funciones ................... ...........'.'....-.---.- 121
4.14 Función Compuesta ..........-.1244.15 Función Lineal ........... ----.-.-127
4.16 Función Cuadnitica.... -..-...-128
4.17 Función Exponencial ..-.--.-.-132
4.18 Función Logarítmica.. -......-. 136
4.18.1 Propiedades de los Logaritmos.............. .......1424.18.2 Fórmula de paso de un Sistema de Logaritmos en Base a, a otro de Base b.......................146
4.18.3 Problemas Propuestos "........'.'. 152
4.18.4 Ecuaciones Exponenciales y Logaritmicas ............... ..........153
4.18.5 lnecuaciones Exponenciales y Logaritmicas................ ......' 165
4.18.6 Problemas Propuestos .'...........1824.19 Método Gráfico para Resolver Inecuaciones .'............... t 89
4.19.1 Resolver Mediante el Método Gráfico las siguientes Ecuaciones,Inecuaciones y Sistemas.... ....-.194
4.19.2 Representación Gráfica de Inecuaciones.................. .-.........200
4.19.3 Representar Gráficamente los siguientes Sistemas: .'..........2044.19.4 Problemas Propuestos ...........'.206
CAPITULO 5
5.1 Definiciones Básicas......... '....................'.2085.2 Símbolos de Agrupación................... .....-.208
5.2.1 Definición de Po1inomios.................... .'........2085.2.2 Función Polinomial ....'........'...2085.2.3 Ecuación Polinomial .......'.......209
5.3 Operaciones con Po1inomios.................. ......'.....-'.......-..209
5.3.1 Suma de Polinomios... .............200
5.3-2 Resta de Polinomios... .............200
5.3.3 Multiplicación de Polinomios ................ .......2095.3.4 División de PoIinomios................... .........-'.-.210
5.4 Productos Notables -...--.-----2ll5.5 Cocientes Notables -.-...-..-..212
5.6 Ecuaciones de Cuarto Grado que se reducen a Ecuaciones de Segundo Grado........... ....................216
5.6.1 Ecuación Bicuadrada... .......---..216
5.6.2 Estudio de las Raíces de la Ecuación Bicuadrada ......---......217
5.7 Ecuaciones que se reducen a Cuadráticas ............'..... .--...-'...........'.....-21 8
5.8 Ecuación de Cuarto Grado cuya solución se transforma en una de Segundo Grado
por medio de la separación del Trinomio.....'........-... ..-.-219
5.g Ecuaciones Reciprocas -.----219
5.10 Condiciones por medio de las cuales la Ecuación axo + bx3 * cx2 + dx + e : 0,
a + 0, b + 0; Se Transforma en una de Segundo Grado-...'...... .....-.-..'.220
aaIaééIIIIs;a;;;C;;CJ;?aJ¿¿¿¿¿ce6qqqttqqt
,l1l
IIII
:.1 I Ecuación del Tipo (x + a)(x + b)(x + c)(x.+ d) : rn............... .............2215.12 Ecuaciones de la Forma (x + a)o + (x + b)a : c................ ....................222
5.13 Ecuación de la Forma * * b* : "2 ) .-.......,............, ¿¿¿px +nx+q px- +mx+q5.14 Regla de Ruffini ................2235-14.1 Primer Caso Especial .................... ................2245.14.2 Segundo Caso Especia1.................... .............2255.14.3 Tercer Caso Especial ..............2255.15 Algoritmo de la División .........................226
5.15.1 División por Coeficientes Indeterminados.............. ............2275.16 Teorema del Residuo y del Factor.. .........22g5.16.1 Teorema del Residuo ..............2195.16.2 Teorema del Factor..... ........-...ZZO5.17 Descomposición en Fracciones parciales ......................2325.18 Problemas Propuestos.... ..........................2415.19 Potenciación y Radicación. ......................242
5.19.1 Potencia ............2335.19.2 Radicación ........2435.20 Transformación de Radicales Dobles en Radicales Simples .....-.........2445.21 Descomposición en Radicales Simples el Radical de la Forma:
^le+ Je +.,8+"6 = Ji+^f, +^li .......................246
5.22 Racionalización................. .........-............24g5.23 ProblemasPropuestos....CAPITULO 6 'oLU).............-... .............260
NÚMERos coMPLEJos ...........2636.1 Cantidad Imaginaria ..........2636.2 Definición de Número Complejo...... .......2646.3 Representación Geométrica de los Números Complejos. ....................2656.3.1 Forma Trigonométrica del Número Complejo...... ..............2656.4 Operaciones con Números Complejos..... ......................2676.4.1 Suma de Números Complejos.... ...................2676.4.2 Multiplicación de Comp1ejos.................. ......2686.4.3 División de Complejos ............2716.5 Potencia y Raíz de un Número Complejo...... ................2756.6 Radicación de Números Complejos dados en Forma Trigonométrica........ ...............2766.7 Función Exponencial con Exponente Complejo y sus propiedades .............. ............2g06.8 Formula de Euler6 e Forma Expon.,.i;r';;i,ü;; ó;;l;j; ...:......:................::.::................ ............... .........f.........:;:l6.10 Problernas Propuestos.... .............:............2g46.1 1 Ccrordenada: Po1ares.......... ......................2g56"1i.1 Relacion con ia: Coordenadas Cartesianas .........................2g6
6.1 I.l Grai-ica: de E;uaciones en Coordenadas polares..... ...........2g76.1 1.-r Prob,lemm PrLlpu::tLrs ............_2991
C {PITLI-ORESPL EST{S 2s2
CAPITL,LO 8
BIBLIOGRAFIA .....3 I 4
CAPITULO I
LGGICA }IAT.E
1.1 DEFINICIÓN: a iógica es la ciencia que enseña a raciocinar con exactitud, estructura el pensamiento y conduce a la razónracia la verdad. Es decir es el estudio de los procesos validos del razonamientá humano.
1.2 PROPOSICIÓN-{cción que propone algo que puede ser verdadero o falso pero no ambos al mismo tiempo.
Ejemplos:1) Juan León Mera escribió el Himno Nacional.l) t1+2+3...)">1-l) Todo número diferente de cero es divisible por cero.+) ¿ Que es el tercer mundo ?
5) El área de un cuadrado de lado 4 es mayor o igual que el área de la mitad del mismo.6) ¡ Que frío !
Son proposiciones 1" ,2",3",5o , mientras que las expresiones 4o, 6o no son proposiciones ya que no afirmanni niegan nada.
1.2.1 NotaciónA las proposiciones se les representa con las letras minúsculas p, q, r, s,1,...
Ejemplos:1) "El General Eloy Alfaro hizo la revolución liberal de l g95 ,,.
se escribe:
p: "El General Eloy Alfaro hizo Ia revolución liberal de l g95 ,,se lee:
p eslaproposición"ElGeneralEloyAlfarohizolarevoluciónliberal delg95,,.
2) " n + I es un número impar si n es par,,.se escribe:
q: " n + I es un número impar si n es par ,,.
se lee:
q es la proposición ,, n + 1 es un número impar si n es par ,,.
-i, "3 l<2 i".se escribe:
s: " 3 + 1<2-3".se Iee:
1.:,1 Valor de Verdad:: . ::ta ialor de r:rdai d: ur:. :::rli:l ¡u -, al¡r de .,:ri:i ¡: :=
ia ':r:e,i : ¡¡lsedai1", .- ;. ::..: .l .,:
le su ;.,r.leril,:. Si una proposición: j: r 3ttlf, ;S '', ,: I = F.
:' :.: :.ri:i3nt3n a una prOpOSiCión.
" Todos los números primos son divisibles por I ". V(p): V" sen 45o < cos 60" ". V(q ): F
" Riobamba es capital de Chimborazo ". V(r )" log x:l para todas las x >0 ". V(s ): F
I.3 CONECTIVOS LOGICOSián partículas gramaticales ( y, o, no, si, etc.), que tienen un carácter enlazante y permiten la formación de
propásiciones compuestas. Serepresentan mediante símbolos estandarizados, que son los siguientes:
Ñeia.ión,,NO ", Conjunción " Y ",Disyunción " O " Inclusiva,Bidisyunción" O" Excluyente,Condicional
" sí..., entonces", Bicondicional " sí y sólo sí".
1.3.1 NegaciónLa negación es un operador lógico que cambia el valor de verdad de una proposición'
^-p en cualquier caso se lee: " no p ". Por definición se tiene: sí V(p): V, V(-p ) : F'
Tabla de verdad.
pr
q:r:S:
2)
4)
FF
1)
2)
3)
4)
,,2":(x+y)o"" l-2,2le R "
I
"2"+(x*y)"""L-2,21ÉP. rr
" (a + b)i tiene un número finito de elementos "- F
I
"(a+b): notieneunnúmerofinitodeelementos ". V,(1+1+l+l+l+...)':il.n)* v, "(1+1+1+l+l+...)-+(l.n)' F-
cIr'trUC{trt'!lJ!,J;CéCItTT;CtCTItI
1.3.2 ConjunciónRelaciona dos proposiciones simples para formar una proposición compuesta a través del operador "Y".
Susímboloes:"¡',.Así pnqleemos "p y q", lamismaqueesverdaderaúnicamentecuandolasdosproposiciones p y q también lo son y falso en los demás casos.
Tabla de Verdad.
Ejemplos:
1) p: "X.X.X...X: Xn "'q: "X+X+X+... +X: nX ".p n q: "X.X.X...X: X' Y X+X+X+...*X : nX "Se tieneV(p): V, v(q): V, luego V ( P n q ): V
3) t: "sen245" + cos245o -- tg45" " .
,," I >o cuandoa<0"-A'
t¡ u : " sen'45" + cos245o :tg45' Y
I--.-;a
Se tieneV(0:V, V(") : F, luego V ( t n u ): F
r:"log*0=1".s:"lne:1".rns:"log*0:I Y lne:1".Se tieneVG) : F, V(s): V, luego V (r r. s): F
v: "1'00 es divisible por l0 ".w: " 10 es divisible por 2 " .
v A w : " 100 es divisible por .10
Y
l0 es divisible por 2 " .
Se tieneV(v): V, V(w): V,luego V (v n w): V
p q DAOV
V F F
F V F
F F F
>0 "
Lógica Matemática
f .3.3 DisyunciónRelaciona dos proposiciones simples para formar una proposición compuesta a través der operador ,, o ,, su;'#::f#''.
Así p v q se ree" p óq",;;ir.u que es verdad.rasiar menos una",.,r".dud".uy farsasilas
Tabla de Verdad.
Ejemplos:
l)
lr
.2p:" 2' =256"q: "para todo número rear \. \- : \ es ula bisectriz que pasa por er primero y tercer cuadrante,,.
ful¿lunr.:,. :--'ó tr paral:,ir:-:;er¡¡eal X.\.:Xesunabisectrizquepasaporelprimeroytercer
Se tiene\tnr F \. -',P', .._:- _.\
r: "J,:l- - '' = -':: :::::-:- :--:=: :;= lr. . ..:i.¡e \: - 1 < 0 ,,.
. : : = - :::::: j:,número real X, setiene X2+ l < 0,,.: - ---. .:--- _;,:::::-. ._:-:.S::*¡:t._,a\_(f rr.S): V
: .: ::. ...-:.::.:_ : S¡n F. porlOtantoV(tVU): F
!E¡¡¡IItI¡¡¡¡¡¡I:!
I3
,
r Dis) unción Exclusiva)
, ...----':;:;:]i:::.ii:i"rffii: proposiciones p, q asocia ra proposición "p o q,,y es.; :r'--{p-q).
_ _. :i r...-::: , r I :i irrrCiOnal... t-- --- ;
:-- - - ;: I r-r r'l'j \ - es un entero"
.-:;"1---,--.^ .;.... .. r.urrsro Vl es un irracional o es un entcro..\-aior de verdad \.(r):V, V(s):F entonces: V(rV s):V
Ejemplos:
i) p: ''Una persona -\ c! :_r:---_:::-.q: "Una persona X.-: in_::,:..p v q : "Lrna per>ona.\ .... :-.=.Valor de r.erdad V1p.¡ : \'. \'i q r = FEntonces: V(p v q) : \'.
3) t: "Un número entero n+l par^.u: "Un número entero n*l impar',tvu:"Unnúmerovaror de verdad
",;1l;:"fii+i'.X';:::.uencia: \ (t ,., , ¡:1,observación'- La o incl.usiva incluye el valor de r erdad. cuando tanto D como n can r¡p..r^r^-^- - .o exclusiva no admite ri.rlár"iauá;1" *;;;:'; I ;:*"
o son verdaderos, mientras que la
p q DVOv Vv F VF VF F F
Algebra Superior
1.3.5 Condicional ó ImplicaciónSe llama implicación de las proporciones p, q a la proposición -p v q, se nota: p -) q, se lee ..si p, entonces q,,ó "p implica q".
Tabla de Verdad
Ejemplos:I
l) ,;"7§:a2 ",ce1 4
-1»Y.I
(p -+ q ): "sí ?áValor de verdad
v(p): vv(q): F "
: a2, entonces2a =2"V(p-+q) -F
2) r: "loguN: f,". V(r) : Vs:"a* :N". V(s):V(r -+ s): "si loguN: X, entonces a*: Nl,.Valor de verdad V(r -+s) -Y
3) t: "Pedro es estudiante sobresaliente". V(t): Vu: "María es feliz". v(u) = V(t + u) : "Si Pedro es estudiante sobresaliente, entonces María es feliz,,.Valor de verdad V(t -+ u) : V
1.3.6 BicondicionalóEquivalenciaSe llama equivalencia de p, q a la proposición (p+q)
^ (q+p), se nota: p<->q se lee "p es equivalente a q,, ó
"p, si sólo si q" (pssiq).
Tabla de Verdad,
Ejemplos:
l') p: "La tierra es habitable".V(P)=Vq: "El sol da calor". v(q):v(p e q): "La tierra es habitable, si sólo si el sol da calor,'Valor de verdad V(peq):V.
r:"aXz + bX + c :0 tiene raíces reales ".I
s:"(b2-4ac;7 >0".
(res) :"aXz +bX + c:0 tiene raíces reales, sí sólo sí (b'-+ac¡* ¿ g,,.
Valor de verdad V(r <+s; : Y
t: "X2+ Y? : 4 es la ecuación de la circunferencia de radio 2,,. V(t): V.u: "X2 + Y2 : 5 es la ecuación de la circunferencia de radio 5',. Viu) : F.(teu): "x2 +Y2:4 es laecuación de lacircunferenciade radio 2, síy sóro sí X2+y2:5 es laecuación de la circunferencia de radio 5".Valor de verdad V(tou) : F.
1.3-7 ConjunciónNegativa
Se nota: p J q, se lee ni p, ni q o (no py no q).Laproposición compuestaes verdadera únicamente cuando p yq son falsas. La conjunción negativa es equivalente a: plq <+ -p ^ -q.
2)
3)
p q D-)qV V V
F FF V vF F V
p q DoO
V F FF FF F V
Lógica Matemática
Tabla de Verdad-
Ejemplos:
-tt-r) p,"JJJ. =ffi'.
q: "1:(-1)-r".. f t _
(P J q ): "ni lJJu = Vi. ni l=(- l)-r"Valor de verdad V(plqfF.
2) r: "Juan es estudiante de la F.I.\I. de la Espoch ,,. V(r): Vs: "Juan es estudiante de la F.L.L. de la U.T.L.',. V(s): F(r J s) : *Ni Juan es esrudiante de la F.LM. de la Espoch, ni Juan es estudiante de la F.L.L. de la U.T.L.,,Valor de verdad V(r i sl = f
3) t: "El perímetro de un riá¡eulo rectán-sulo isósceles de catetos ,.r,, está formado por un número entero,,.v(t): F.3
u,*I(x¡-20)2 =1-.6. Six.:i.r;:10 y x::15,, V(u)=F.i=t
(t J u) : "Ni el perímetro cie un :r:á¡oulo rectángulo isósceles de catetos ..r,, está formado por un número3
entero, ni )(*, -10): = l:i, . Sr r : ¡. x-: l0 y x::15,,.i=l
Valor de verdad \'(t y u r : \,'.
1.3.8 cuadro de los Yalores de Verdad de los Conectivos Lógicos
I..I POLINO}IIOSBOOLE{\OS
Definición.-
p r
F
F
F
F
F
FE
FUna
posibilidad
v(p): vv(q) = F
j
q
F
F
:-r.
F
F
F
Dosposibilidades
Cuatroposibilidades
p q pJqV V F
F FF V FF F
Algebra Superior
I.5 TABLAS DE VERDAD
Es la forma simple y concisa de indicar er varor de verdad de los polinomios.
Ejemplos:
Desanollar las tablas de verdad de los siguientes polinomios
(p, q) J -q
(Pvq) J -q
VFV V FVVF F VF VV F FFFFFV
-(pv-q)nr r -+(q v -p)
-) (q -p)
FFFFVVVV
II-ttIq
ta
teI
tItT
IItttItTttIttttttt!tgttttg;!G!!ttI
- (P v-q)
FVVFFVVFFVVVFVVVVFFFVFFFFFVVFFVV
VVFFV
VV
FVFFFVFFVVFFFVFF
t
VFVFVFVF
vVFVVVVV
VVFFV
FF
t
1.6 ORDEN DE LOS OPERADORESSe necesita mantener cierto jerarquía u orden en el desarrollo de las tablas de verdad de los polinomios.
1'uRegla'- si la proposición compuesta esta encerrada en símbolos de agrupación, la ubicación de estos nosindican cual es Ia conectiva predominante.
Ejemplo:
[(- p ¡ q) --> (q + p)] ^-q.
La conectiva predominante es la conjunción.- [(p v -q) n r]. La conectiva predominante es la negación.(p -+ q) v - (p
^ -g).La conectiva predominante es I-a disyunción.
2do Regla'- Si la proposición compuesta- esta expresada literalmente con signos de puntuación, estos deben serreemplazados por símboros de agrupación y el polinomio quedaá "oro
án lu t-.; R;;ü.Ejemplos:
a) 4-t--6 y l_3:2, o 3:4y3_1=2.Simbolizamos los enunciados con variables.py q o ryt.Elpolinomioqueda (p r, q)v (rnt).
b) Noesverdad qtre, 2+l:6 y 3>5Simbolizando queda: _ (p,.' q),
c) No es verdad que: "Ecuador es un país capitalista o Colombia esta en América del Norte,,,entonces Ecuador y corombia son países en vías de desarroflo.Simbolizando queda: _ (p v q) +( p ¡ q).
3'u Regla'- s.i 3n .la
proposición compuesta no es posible aplicar las regras anteiores se debe considerar elsiguiente orden: -, v, -), +>.
Ejemplos:
p ^ -q v-r -+s. El orden es el siguiente:
[(p ^ -q) v -r] -»s, también podría ser: [p ¡ (_q v _r)] +s
p ^
q +> -q. El orden es el siguiente:(p¡q)o-q.
a)
b)
Lógica Matemática
F¡,¡,l,,D,,¡,3I'-AD
,ZFIF
Fb!tftbDIDFbtEll¡tn¡t¡trtrlI}l)I}!lp
Q=:jiz:- -- ---:. - -::-.
Reallzar ,a disrun"-ión: p,\, q ^
p,^ . J -p. El polinomio queda expresado así:p.. [q .rp ,.rt]+-pl.
l.- T{r roI-ocÍr y coNtRaorcclóN
Ln pllin-'mio representa una tautología si la última columna de la tabla de verdad es verdadera para cualquierr erdacierr- o falso. en caso contrario es una contradicción.
Ejemplc,-.:
trTautología Contradicción
tiTautología
b) I(p -)q) ^ pl
^ -qV VV VV FFV FF FV FVFVVFFFFF VF FF FV
lv q
VVVFVVVF
a) I- (p +> q) -) -qF V V V VFV V F F VVV F F V FFF F V F VV
-) q) ¡ (r -+-q)l -+ - (p ^ r)V V F V FF VF V V VV V V F VF VV V F FF F F V VV VF V V VF F F F VV VV V F FV V F V FF VV F F VV V V F VF VV F F FV F V V VV VV F F VV F V F VV VV F F F
c) tfuVVVVFFFF
:¡ (p ^ q) A - (p v q)
VVVFFVVVV F F F VV F FF F V F VF F VF F F F VF F F
l¡ITContradicción
I
r.8 EeurvALENCrAErMpLrcACróN ¡_ócrc,lEquivalencia.- Dos polinomios son lógicamente equivalentes sí:
a) Al desarrollar las tablas de verdad de los polinomios, y en la última columna de ésta tabla de izquierda aderecha se observa que coinciden.b) Al desarrollar el bicondicional entre los dos polinomios se obtiene una tautología.
Símbolos: <), =.
Ejemplos:
a) Demostrar que:
Desarrollando el bicondicional:vqe>[(pJq)JtuJq)]VV V FVVVFVVF VFFVVFFVV F FVVFFVFF F VFFFVFlrrl
Columnas idénticas.
pvq<)[(pü0ü(pJq)]VVVVVFVVVFVVVFVVFFVVFFFVVVF FVVFFVFFFVF VFFFVF
p
FF
e [(p + Q) ,r (o -+ p)1VVVVVVVVVVFFFFVVVFVVFVFFV F V F VF V F
pV
F
F
psq:[(R+q;"(9-+p)1VVVVVVVVVVVFFVFFFFVVFFVFVVFVFFF V F F V F VF V F
b) Demostrar que:
L=-____lColumnas idénticas.
a)
b)c)
Ejemplos:
Denrostrar que: (p n q) n r = p n (q n r)Demostrarnos a través <iel literal a)
p=qp+q-pvqp^-q
Es una tautología.Es una tautología.Es una contradicción.
-c)FVF
b) -(p n q) v (-p ü.F VVV V F VVVF F V F FVFFV V VFVFFF V VF
a) (p,r q)n r-+ p n (q,^, r)V VV VVV V V V V VVVVFFVVF VF I,-
V F F FVV V F F }- VV F F FF V V F F F FFFVFVVFFVVVF F V FF V F F V F FF F F FVV F F F F VF F F FF V F F F F F
Demostrar que: p n q + -p J -qDemostramos por medio del literal b)
Es una tautología
trt
Es una Tautología.
Desarrollando el bicondicional :
eqVVFFFVVF
t1Es una Tautología.
trmplicación Lógica'- un polinomio implica lógicamente a otro, si cumple con cualquiera de las siguientescondiciones:
Es una tautología
Lógica Matemática
tbfüttrttaaaataaüa)üataaI,ata,aaaaeattaa,taaa;ar,t;,
gn")
1.9 LE\-ES DEL ALGEBRA DE LAS PROPOSICIONES
1*r Leyes de ídem potenciaPvp<+ppnp<+p
3*) Leyes asociativas(pve)vR<+pv(evR)
. (P¡Q)¡Rc>pn(ea.R)5'") Leyes de identidad
-pvF e-p-PvVe VP¡F <> Fp¡Vc> p
1*") Leyes de Morgan-(PvQ)<>-Pn-e-(PnQ)o-pv-e
Leyes BásicasPv Qe(PvQ),^.-(pne)p.l ee-p^-eP-+Qe-pveP<+Qc+(p-+e)n(e-+p)
pe[(qvp)n(p,^,q)]p<+[(pvq)n(paq)]p+'l[{pvq) "pJnqlpe(ir¡q)[p -+ (p ¡ q)] ¡ [(p " q) -+ p][-p . tp . q)] ¡ [-(p " q)., p]
--.l -ip . qil .,[p I (p,r q)].-.. -i q)l .rp"q)-: I lrl [-ip qi,(p.q)].-.: : :1 \-. ; _
\ .._ _
; . + -e--q,-: i, i-Fy-qr
-.¡ j, ,-,-lr -t-.1 rl
-ip'ql - ip-q)\-
20") Leyes conmutativasPvQoevpP.rQeQ^.P
4") Leyes distributivaspr(enR)e(pve),r(pvR)
. p,r(evR)e(pne)v(pnR)6t") Leyes de complemento
pv-p<+VPn-p<+F-(-p) e p
-V €)F8"u) Leyes de.absorción
Pn(pve)<:>ppv(pae)ep
10*") Extremos y medios(-P v - Q) ¡ p v e) <) (-p n e) v (_e,r p)(-P n - Q) v (p
^ e) <3 (-p v e),^. (_e v p)
e -pvq<+ -pvqo "'pvq§ -pvq<> -pvq<) -pvq<> -pvq€) -p\/q€,-p q
=-;,r
=-iit:
Todas estas leyes son equivalencias lógicas y se demuestran mediante tablas de verdad.
Ejemplos:
Sirnplificar:
(p-+q)¡"'(q np)(-pvq) n^,(p nq)
"-;9,;llJ-o'-PVF
-p
Demostrar que:
{lEebra Superior
Demostrar la siguiente tautología:
Demostrar que:
Simplificar:
p)¿qe(p n^,q)[(p,, q)
^ - (p ^
q)] +> (p " -q)[(p v q)
^ (-p v -q)] +> (p " -q)
[(-p v -q) n (p v q)] e (p n -q)[(-p n q) v (^.q
^ p)] +> (p ,r -q)
[(-p " q) v (p n -q)] e (p,r -q)
Hacemos un cambio de variableM: (-p
^ q), N: (p
^ ,q)
(MvN)<+N[(MvN)-+N]n§-+(MvN)l[-(M v N) v N] a [-N v (M v N)]lt-M ¡ -N) v Nl
^ [(-N v N) v M][(N v -M) n (N v -N)] ,r (V v M)[(Nv-M)nV]nV(Nv^"M)nVNv-M
-MvN-(-pnq)v(pn-q)
[-(-p)v-q]v(pn-q)(pv-q)v(p¡-q)pv[-qv(-q^p)]
pv-q
(p"q)=(peq)(p"q)-+(peq)-(p"q)v(p+>q)
-(p ¡ q) v [(p + q) ¡ (q -+ p)]-(p ¡ q) v [(-p v q) ¡ (-q v p)]-(p ¡ q) v [(-p ^ -q) v (p n q)][-(p ¡ q) v (p ¡ q)] v (-p ¡ -q)l
Vv(-p n-q)Vv-(pvq)
p v q€) [-(p n q) v-(p v q)],r t(p v q) v -(-p v -q)lp v q <> [-(p " q) v -(p v q)] n [(p v q) v (p n q)]p v q €) [-(p v q) v -(p ^
q)] n [(p v q) v (p,^. q)]p v q <+ [-(p, q) n (p n q)] v [-(p n q) n (p v q)]p v q<) [(-p n -q) n (p n q)] v [-(p ¡ q) ¡ (p v q)]p v q <+ [(-p n p)
^ (-q
^ q)] v [(p v q) n -(p n q)]
p v q €) (F n F) v [(p v q) n ^,(p,r q)]pvq<+ F v[(pvq)n-(pnq)]pvq<> (pvq)^ -(p^q)
pyqe(qlp)J(p-+q)p)¿q+>-(qJp)^-(p+q)pyq+>-(-p"-q)¡-(-pvq)p l¿ q +> [-(-p) v-(-q)] ¡ [-(-p) ,r .'q]pvq+>(p,rq)n(p¡-q)pl¿q<->1tO.rq)npln-ql
l0 Lógica Matemática
-a,f,¡;f;a|I'tttttttt1'tl,1'tttt,?)tttttt)tfi,
'¡
ii)
Demostrar que:
Simplificar:
€)peq€)peqc)peq<>peqc)psq€)psqc)peq<]peqe)peq<>peq<:)peq<>peq<)peq<]peqclpeq
[(pvq)^(-pv-d]J(pvq)- tle " q) n (-p v -q)l n -(p ¡¿q)-] t(n " q) n (-p v -q)l v f p,r 0f-l
!Ío " q) n (-p v -q)l v [(R v q¡ n -(p a q)]l-l ltn v a) n ¡1-O r -q) ,,, -(p n q)l I-1l(p v 9) n [1^, v -q) v (-p v -ql] i-[(pvq)n(-pv-q)]-[(-pv-q)¡(pvq)]-[(-p¡q)v(-qnp)]-(-p¡q)r-(p¡-q)[-(-p) v -q ] r [-p v -(-q)](p., -q)l
^ (-p v q)
(-pvq)l^(^,qvp)(p -+q)^(q-+p)
(peq)
(pedlq-(peq)¡-q^[(p++q)^q]
-jltp -- q) n (q -+ pll ', q !
,-f [(^pvq)n(*qvpr] ,, ql-ltl-pvq)vql
^ [(p \ -q), q]-l [(-p v q) n [p ', r-q , qt] ,
-[(-p v q) n (p'z \-)]-[(-pvq) n\-]
-(-p ,, q)
-(-P) " -qp .-qDemostrar:
[(p v -q)., (-q ,., p)J , 1p.. o,[(p v -q).", (p.^. q]l n I (p,^ _q),. (p . q]j[(p " q) v (p v _q1] r. [p a 1q .i _q r]j t(p " q)
" p1 " -q i .n'ip ,^,'{-¡(pv-q)^pp ^(-qvp)p^(q+p)
Demostrar la siguiente tautología:
<rp^(q_+p)<iprr(q+p)<=pn(q-+p)epn(q-+p)e p,r (q -+ p)epr.(q+p)opzi(q-+p)
f"El?
[-(peq)+_q]vq[--(p ++ q) v _q] v q(p+>q)v(_qvq)
(peq)vVV
I,1O APLICACIONES.- :: Je las aplicaciones rnás importantes del cálculo proposicional, es a la teoría de los circuitos.
. : , ::uiro consta de las siguientes panes:: -.=:le de electricidad, Hilo conducár y un Interruptor.
ui.g;Lrra Superior
Hilo conductor
r?
-JéécJéJJééééé
En forma esquemáticaA.- InterruptorS.T.- Hilo conductor.
Si el intemrptor A esta cerrado yintemrptor esta cerrado su estado es
Analicemos el siguiente circuito:
Sr}T\1/
la fuente esta cargada entonces por S.T circula electricidad;V, y si esta abierto su estado es F.
cuando el
Ir!IIr!grIl!eIfIr;r!r,í!í!l!r!I!Jt,
'T!!;rtt!r!tlü
b)
L.- Lámpara. Si esta prendida su estado es V y si esta apagada su estado es F.
Circuito en Serie
Estados de un circuito en serie.a)l
Los intemrptores A y B est¿in cerrados, entonces L esta prendida.
El interruptor A esta cerrado y B abierto, L esta apagada.
El intemtptor A esta abierto y B esta cerrado, L esta apagada.
c)
d)
A B LV v v
A B LV F F
A B LF V F
A B LF F F
t2
Los interruptores A y B están abiertos, L esta apagada.
Lógica Matemática
tItItl'tttIl}II!ttltttIIttIttitIItiItiIIi
a)
:' 3:rr'¡pamos los cuatro estados del ci¡cuito en una sola tabla, vemos que coresponde a la tabla de verdad de la:,:riunción.
L=A¡B
Circaito en Paralelo
Estados del circuito en paralelo
Los intemrptores A y B están cerrados, L esta prendida.
b) El intemrptor A esta cerrado y B abierto, L esta prendida.
-: \ ::t: :t .::tr- r B cerrado. L esta prendidalrfI!!f!!IIItrl
+.:. .--. --
1
t3
A B LV V VV F FF FF F F
A B LV
A B LF V
{--:=b- Super:t-rr
d) Los intemrptores A y B están abiertos, consecuentemente L esta apagada.
Agrupando los cuako estados en una tabla, observamos que es análoga alatablade verdad de la disyunción.
L=AvB
lnt errupt or C o mp I em ent ar i o
Este intemrptor tiene posiciones opuestas. Si A esta cerrado, entonces A, esta abierto.
,, t ,]-r'"-a- 'E+ .-rn'..,|El circuito complementario es análogo a la negación.
Los intemrptores se designan con las mismas variables de los polinomios p, q, r, t, s, etc.
Ejemplos:
l) Simplificar el circuito representado en la figura.
(p " q) v (p n r) en virtud de las leyes de Ia lógica ésta próposición es equivalente a: p n (q v r).
A B LF F F
A B LV VV F VFF F F
A A' LV F V
14Lógica Matemática
S:mplificar el circuito representado en:
3) Simplificar el circuito de Ia figura
(p¡q) v[(pvr)¡-q](p " q) v [(p n -q) v (rn -q)][(p " q) v (p n -q)] v (r n -q)lpn(q v-q)lv(r^-q)(p¡V)v(rr,-q)
pv(rr,-q)
1-<
[p', (-p ¡ -q)] v (p ,r -q)[(p v -p) n (p v -q)] v (p r -q)I V ¡(pv-q)]v(p^-q)
(pv-q) v(p¡-q)(pv[-qv(p¡-q)]pv-q
4) Construir el circuito correspondiente al siguiente polinomio p <+ q.p+>q€)(p-+q)^(q-+p)p+>q<)(-prrq)n(-qv p)
5) Escribir el polinomio que corresponde al siguiehte circuito.
[(pv-q)v(qn-r)]v-p
Escribir el polinomio que corresponde al siguiente circuito.
{itG "^,q)vrl ¡ (p ¡ q)f v(-rvp)l v ¡1q^ -p)v(-r ¡ -q)I
6)
l.ll
1.
PROBLENIAS PROPUESTOS
p:3 > 1; q: I 'r- 3:5; r:2+ 1:3Enuncie con palabras las siguientes proposiciones.a) (pe q)n (q + r)b) (-p¡q)v-(pvq)c) (q-+r)¡(q¡p)
d)e)
(qvr)n-p-[p r. (q v -r)]
l6 Lógica Matemática
Determinar el valor de r.erdad de los problemas anteriores.
Escriba con simbolos ias proposiciones siguientes, si se conoce que:ñ.< 1-, .. lH.- j .y.r ¡ _.r j-: _{:s:-l-l:5
!'
U' l-J-+
, _- l-. --j-; !-.. - _:_ J;_
ri! I 1 - _
- -J\ - i:\
+- t:5"--1 -i:5"
Determinar el valor de verdad de q, sí v(p) : v, en ras siguientes proposiciones.
b) V[-q -+ (p ¡ -p) ] -- Fd) V(q -+ -p) : V
Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas sí: V(p) : V, V(q) : F-, V(r) : V
Encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
a) -(p¡q)e(pvq)c) (p J 0'(-p J q)
a) V(p-+q)=Vc) V(p n -q): V
a) (.'paq)-+rc) (p .n ,q) e (-r v q)
b) -p e (p.r -q)d) [(-p+ q) n -q] + p
b) -q+-rd) (-pnr)nq
b) (pJq)v(pvq)d) [(pvq)^ (-pv-q)].L rp " q)
9' cuales de las siguientes.proposiciones son tautologías y cuales son contradicciones, (use tablas).a) (p¡q)-+(-pJ-q) b) _(p¡q)v(peq)c) [(p +q)vp l')[(pnq)^-(pvq)] d) t(pvq)^-(p^dln t(p+q),^,1q_+p)l
l0. use tablas y demuestre cuares son equivarencias v cuales son impricaciones.a) [(p-+q)^p]3qb) (p".q)+-(pvq)el_pv[-qv_(q"p)]lc) (-p¡ q)-> (rv p)= [_(q vr)_+p]d) [-p v -(p +> q)] <:> -(p " q)
i l. Realice los siguientes,ejempros usando únicamente las leyes de proposiciones.a ) "simplificar: j l-f p .- q) -+ -ql , q I *, _pb) Demostrarque: i-pv -[_(p e q),n _(p ¡ q)]l<+p -+ qc) Denruestre lasiguientetautología: [p _+ (p v q) ] ^
(_p ,rq) + p J _qd) Demostrar que: [(p _+ q) ,n (q v p)] j _(p
^ q) <] q + _p
- Escriba los circuitos correspondientes a los siguientes polinornios.a) (p+q)n(q-+r)c) (p¡q)+(p+>q)
17
CAPITULO 2
Tn;i::.ji,:;.:i
2.1 CONJUNTO DEF'INICIONConjunto es una colección de objetos que están bien definidos de tal manera que se pueda afirmar sí cualquierobjeto dado esta o no en la colección. Con frecuencia se usan letras mayúsculas como A, B, C, para representarconjuntos.
Ejemplo:
A: { 1,3,s,7 | B: {2,4,6}Cada objeto en un conjunto, se denomina elemento o miembro de un conjunto. Simbólicamente:I e A significa " I es un elemento del conjunto A "2 e A significa" 2 no es elemento del conjunto A "
NOTACIONUn conjunto se puede notar de dos formas: por extensión y por comprensión.- Un conjunto se define por extensión o tabulación sí en el se indican todos y cada uno de los
elementos que forman el conjunto.
Ejemplo:
A : { a, e, c,r,t } Se lee, el conjunto A está formado por las letras a, e, c, r, t.
Ejemplo:
A= {X i X son letras de la palabra matemáticas }
Un elemento forma parte de un conjunto, sí y sólo sí al remplazar dicho elemento en la funciónproporcional convierte esta en una proposición verdadera.
Ejemplo:
B:{XeR/X2+3X+2:01Los elementos del conjunto B se determinan resolviendo la ecuación: X2 + 3X + 2: 0X2+3X+2=0 <)(X+2)(X+1):0
<:> X+2:0 v X+1:0o X:-? v X:-l
Por lo tanto B : { -2, -l }
C:{XeR/X3-8X2-x+8:0}Se determinan los elementos del conjunto Cx3-8x2-x+8:o <= xr(x-8)- (x_8):o
(} (x-8)(x'-l):0<r (X-8)(x-l )(X+1):0€) X-8:0 v X-l:O v X+l:0<+ X:8 v X:l v X:-1
Entonces C: { -1, 1,8 }
2.2 CONJUNTO FINITO E INFINITOEs aquel cuyo número de elementos esta determinado , es decir se puede contar hasta él ultimo elemento porcualquier método en caso contrario el conjunto será infinito.
Un conjunto se define por comprensión si en él constan la o las propiedades que deben cumplirlos objetos para ser elementos del conjunto.
18 Teoría de Conjuntos
¡tttttattttt)?4qrlnttrn
?t?,??,??,f,)?,f;,s),)?);s;)t¡
j t. -. - , i Conjunto finito: .:- >ra ,i¡ número impary menor que l00l ) Conjunto finito,- ,-., .:a 1as estrellas ) Con¡unio lnfinito. --:. -,r. -1. -1, 0, 1,2,3,4,... ) Conjunto Infinito
:J CO\JL\TOYACIO-'- :'.:-'urro sin ningún eremento , se denomina conjunto vacío o nulo. se denota por 0: {}.:-;::plr:
.{={XeR/X+4:X+1 }. B={XeR/X2+t<g¡
C = {X / X sean hombres de 5m de estatura }
2.1 CONJUNTO UNIVERSOEs el conjunto formado de todos los elementos de los conjuntos que estemos considerando, se representa por u.F-iemplo:
A: {X e Z I -5 < X < -l }. El conjunto universo es :
-s,-1,-3,-2,-tI o U:lXe Z-|los conjuntos:
U:SeanB- ,^,1,t",r,,,:),: j':r:.0:!,.8: r9_):?:10, 3,6,e,r5 ].Er conjuntouniversoes:u-{0, 1,2,3,4,5,6,7,s,e, l0,rá,ts'i ó u:i"ó,i,-;,';,i,;,';,";5}:ffi1i1.:?;:,:, 14, l5}
2.5 SUBCONJUNTO
;:* o y B dos conjuntos no vacíos' A es subconjunto de B si sólo si, cada elemento de A pertenece también a
Simbólicamente AcB síVX e U,X e A+X e B o Ac B +> ( VX e A)(X e B )El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto.
Ejemplo:
A : {X / X es múlripto de 12 }B : {X / X es múltiplo de 3 }
DemostrarquéAcBSi X e A' entonces X es múltiplo de 12 ,luego puede escribirse en la forma x:l2p para algún entero
I; !'Xr"l*lffijrtfi:reemplazando aP por i, se tiene que X:3r pero r € z es ¿ecir X es múrtipro
C:{X eZt-3<X <0},D:{X eZ/_3<x<3}C cD+>(VX e C)(x e D) iodosbr;;;;;'de C están contenidosenD.
].6 CONJUNTOS IGUALES
T'.::?$:1,*Jrr"#:isuales si tienen exactamente los mismos erementos (er orden del listado no riene
o A:B <+(VXeA)(XeB),r (VXeB)(XeA)
..= tl.l.3.2l3= lt.a.-r.J)- = \ \ sean letras de la palabra curso )= { c, u, r, o, s }--) = | \ \ sean Ierras de la palabra ,u..o i: i ., ,, ., o, , ¡
.t:B<+AcB n BcA: --.-'
SUBCONJUNTO PROPIOAessubconjuntopropiodeB,siysólosi,AessubconjuntodeByalgunooalgunoselementosdeBnopertenecen a A, y se nota por: E
AgB <)AcB ¡ A+BAgB <)VXeA,Xe B n lXeB,X eA.
Sean A:{X eZlX2:a} y B:{X eZ/-4<X <4},entoncesAcB peroA;eB.En lo posterior no se determinará explícitamente si un conjunto es o no subconjunto propio de otro conjunto, estonos permitirá utilizar indistintamente la notación A c B.
Ejemplo:
B:{X eZl-4<X<lC:{XeZ/-4<X<4B c C puesto que B: 3,-2,-7,0, 1 ) y C: { -4, -3,-2,-1,0,1,2,3,4\
Otrservación 1
Los símbolos € , c tienen significados diferentes.Enefecto,A:{a,b}, entonces aeA o beB, peronoesciertoque: acA o bcA. Encambiolas siguientes afirmaciones son verdaderas {a} c A o {b} c A.Se concluye que a la izquierda de e hay un elemento y a la derecha un conjunto, pero a la izquierda y ala derecha de c hay un conjunto.
Obseruación 2
Todo subconjunto propio es subconjunto, pero no todo subconjunto es subconjunto propio.AgB+ACB VAcB-+AgB F
2.7 CONJUNTOS COMPARABLESDosconjuntosnovacíosAyBsoncomparables,siysólosiAessubconjuntodeBoBessubconjuntodeA.EsdecirA yB son comparablessí: A cB o B cA.
Ejemplo:
A:{ 1,3,5} AyBsoncomparables AcBB: { 1,3,5,7 } CyAsoncomparables CcAC: { 1,3,5 } DyAnosoncomparables DeAD:{3,7} DyBsoncomparables DcB
2.8 CONJUNTO DE CONJUNTOSCuando los elementos de un conjunto son también conjuntos, por ejemplo:
A : {{0}, {0,11, 12,3}, {4, 5}, {5,6,7}}B: {{a}, {a, b}, {a, b, c}, {c, d}}C: {{a, e, i}, {a, e, i, o, u}}
2.9 CONJUNTO POTENCIA O CONJUNTO DE PARTESEste conjunto está constituido por todos los subconjuntos que se pueden formar con los elementos de unconjunto y se nota por:
P(A):{x.rxcA}
Ejemplos: I
a) Hallar el conjunto de partes de A = {0}Los subconjuntos son O, {0}. Luego el conjunto de partes es: p(A): { O, {0}}
20 Teoría de Conjuntos
c)
b)
eüttttttttfa)tttt,,tt,,,),))?
,¡¿
))¡¿
,)))lti,I)
)
)
)
)
II
Hallarel conjuntodepartesdeB: {X e R /2X2+7X+5:0 }Primeramente hay que tabular el conjunto B.
2X2+7Y+5=0 .= l^; Ilzx)'+t12X¡ + 1g ¡ 1= s¿
I
- [ (2X+sx2x+2)l:0¿-2X+5:g .', X+1:g
§x:-J v X:_l2
Entonces B: {- 5 , -t }
2
Los subconjuntos son: O, {- + }, {_l }, t - i ,_r, , por to tanto
P(B) = { a. | -+ }, {-r}. , i ._, ,}
Hallarel conjunto de partes de C: {a, e, i }Los subconjuntos son: O, {a}, {e}, {i}, {á, e}, {a,i}, {e, i}, {a, e, i}por lo tantoP(C) : { o, {a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}
El número de subconjuntos de un conjunto se determina por ra expresión2,,siendo n ernúmero de elementos del conjunto.
Hallar el número de subconjuntos de:
(}
Ejemplos:
a)
c)
I) BcC V2) CeA V3) QcA V4) DcA F
Determinar cual de los siguientes conjuntos son igualesa, {0}, {a}, {}.Soniguales @=1¡
Sean los conjuntosA={u,e,{a,e},{i,o}};B:{a,e}; s:{e,a};D:{i,o};E:{{a,e}};F:{{i,o}}; G:{"}.Cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas.
^- tjB:{l}c: {1,2}D = {1,2,3}E: {1,2,3,4}
20: l,
2t:212-¡
23 :821:16
5) BeA V6) GcC V7) FcA V8)' DeA V
Aclaración del ejemplo b) literales 1) y 12).elementos a, e de A que están sin llaves.
Demostrar qué B c {B}<+ B : O
Pordefinición B : Oe B c- A n O c. Bc>Ac_ O ¡Ac_ B
9) GeE Fl0) FeA F1l) AeA F12) CcA V
Son verdaderos porque se a tomado los
PortantoB:O
Cuales de las siguientes inclusiones son verdaderas.
i) {r,2} c {1,2,3,4} vii) {3} c {1,2,3,4) Viii) {{4}} c {r,2,3,4) Fiv) {1,{2}} c. {1,2,3,4\ F
Determine P( P (P ( P (O »)) sí B : O
Solución P(q=P(B):{o}Sustituimos por C:P(B)P(c): {o ,{a}}: P( P(B) ):P( P( o) )Sustituimos por D:P(C)p(D) : { a,{a}, {{a \}, {o . { o }}'i : p(p(c)) : p(p(p(o)»Sustituimos por E:P(D)p(E) : p(p(D)) : p(p(p(c») : p(p(p(p(B»))P(E) : P(P(P(P(O)))) este conjunto tiene l6 elementos.
Demostrar qué (6) c (2)
(6) : { )VX:6n, n e Z} y (2) : {X/X:2n,n e Z}Sea X e 6n, entonces X es múltiplo de 6X:6nX:2(3n)X:2r , reZEs decir X es múltiplo de 2, y por lo tanto (6) c (2)Equivalencia Lógica del conjunto de partes
XeP(A)<aXcA{a}e P(A)<+aeA
Observación.- Es obvio que O e P(A) y A e P(A), entonces:OeP(A)<>Ac:AAeP(A)<+AcA
Dado el conjunto A: {{3}, {4, 5}, 6} . Determine:
¿Cuales de las siguientes expresiones son verdaderas o falsas?.
a) {3} c P(A) F s) 6eA Vb) {4. 5} e P(A) F h) @eA F
c) OcP(A) V i) A e P(A) Vd) {4,5} cA F {3}, 6} e P(A) Ve) {{3}, 6}c P(A) F k) {{4.5\.{3}}cA VO OeP(A) V l) {4.5}c A F
Para poder contestar hay que formar el conjunto de partes. P(A): {{{3}}; {{+, s}}; {6}; {{3}, {+,5}};{{:}, 6}; {$,5},6}; {{3}, {4, 5},e;al
2.IO DIAGRAMAS DE VENN _ EULERConsiste en representar el conjunto por medio de una área plana, limitada por una curva cerrada la misma quepuede tener distintas formas. Los objetos que se encuentran dentro de la línea cerrada pertenecen al conjunto ycualquier objeto fuera de ella no pertenece al conjunto.
e)
Ejemplo:
A:{XeR/-2<X <4}B : {X / X sean las 5 primeras letras del alfabeto }Entonces A: {-2, -1,0, 1,2,3 } y B: {a, b, c, d, e }
22
OÑA B
Teoría de Conjuntos
ItttI't)Itttsss;,I;ssts,tt;t)t)t))tt))
:.II OPER{CIONES CON CONJUNTOS
:.11.1 Intersección
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto que se forma con los elementos comunes de A y B. seien".tapor: AnB
Interpretación Gráfica
A¡^,B= {XD(eAnXe B}
x2 -1=o
Por tanto:
Sean:
Sí A n B : o . Los conjuntos A y B no tienen erementos comunes y se laman disjuntos.La intersección .o.r"rpond. u ta .ár¡urclá;l{;".
Ejemplos:
1) Sean:
A:{XeP.t2X2+5X-7:0} y B:{XeR/X2_l=0}Tabulemos los conjuntos A y B.2X2+sX_7=0 €), ¡1ZXf+s12X)_t4l:0
<+ t l(2X+7)(2X-2)l :02
<) 2X+7:g , X-1:0<) X:-7 v X:l
2
<+ (x - lxx+l)e X-l:0 v X+1:geX:1 v X:-l
A/rB:{1}
123 -4X+3:g¡
-i\-8:0 {r x,(x_2)_4(X_2 ):0<= r \_2 )( X: I ):0.- ( x_l )( \_2 )( \_t r 0
= , \-l r: r \_li- 0
=,\-lr---r-r -\-l _i)
D: {X e R/-3 <X<4 }
a)a,t127la,,a,
Algebra Superior
C,^D:{-
F
3) Sean:
E : {X e R D( < 3}={...,-2,-1, 0, 1,2} y F:{X e R/X>0} : {1, 2,3,4,5, 6,...}
4)
E ^F
= {r,2}
Sean:
G:{a,{b,c},{a,b,c}} M: { {a}, { {b, c }}, {a b, {c} }}
G ^M:O
PROPIEDADES DE LA INTERSECC]ONSi A, B y C son subconjuntos del conjunto Universo entonces.
{{b, c}}
{a, b, {c}
l'u) AalA=A ídem potencia p^p<+p2") AAB:B.\A Conmutativa p^q€)q^p3'u) A^(B^C):(A/-rB)r)C Asociativa p^(q^r)e(pne)¡r4") Ar)(BuC):(Ar\B)u(Ar\Ci Distributiva p,^,(qvr)e(pnq)v(pnrs'') eu(enc)=GuBtñ (AuB) Distributiva6tu) A(\ O:A Leyes de Identidad p¡F<+F7"*) A^U:A Leyes de Identidad p¡Vc+p8"") A
^ (AuB):A Leyes de Absorción p¡(pvq)<+p
9nu) A.(A 1-\ B.¡ =4 Leyes de Absorc PV(p^q)e>Dl0'") A cB<+ AnB:e trs consecuencia pl qsísolosí pAq<+Dl1*) A f) BcA Es consecuencia directa de p^q-) pl2uu A f) BcB Es consecuencia directa de p^q-) q
2.11.2 Uniónse llama unión o reunión de los-conjuntos A y B al conjunto que se forma con los elementos que pertenecen a Ao a B, o simultáneamente a ambos y se denota por A U B, es decir:
Ejemplos:
AUB:{XiXeAv X€B}.
Gráficamente
l) Sí A:{XeRtX2-g:0}: {_3,3} y B:{XeR/X2*4X+3:0}: {1,3}}
24
AUB:{-3,1,3}
Teoría de Conjuntos
htrirf¡1¡r:tIriatitaqás;eaá4tIt???I?tt,t?tt??1'
)
'?t))It
)I
l) sí c={XeRtx2+4:6x_5} y
Tabulando los conjuntos se tiene:
c:{3} y D:{1,2} ... cuD:{1,2,3}
G:{XeR/-4<X<0} v
Tabulando los conjuntos se tiene:G:{-4,-3,-2,-r} v H:{_1,0, I}G u H : { -4, -3, -2, -1, 0, I }
D:{XeR/X:_3X+:=g1
3)
1)
sí E: {x /xesunestudiantejoven } v F = {x/Xtienemásde 30años }E uF: {XlXes un estudiantejoven o tiene más de30 años }
H:{XeP.t-2<X<l}
PROPIEDADES DE LA LINIO]V
Si A, B y C son subconjuntos del conjunto U, entonces:
2.11.3 Diferencia
Sean Ay B subconjuntos de U. LadiferenciadeAyB que se nota O_O.E,el subconjuntode U constituidopor aquellos elementos que representan a A pero no peftenecen a B, es decir:
A-B:{Xi Xe A nXeB}
Ejemplos:
l) A:{X _l<\<t} B - {\ = [-+. -+] r X sean impares ]
I'u) AuA=AAuB:BuA Conmutativa3'") Au(Buc)=GuB)ut Asociativa v (qvr)(:)(pvq)vr4") ew a-Á
A cAuBTa A cB=,AuB-
sísolosípvq€)
.{lgebra Superior
A B = { -+. _2.0. 2.1 ,
25
2)
3)
C:{XlXeZ} y
C-D : {XlXeZ*}
E: {u, b, c, d} y
E-F :{b,c}
G: { {1}, {2,3\, {4,sl}
G-H : {{2,3), {4,5}}
H-G : {0, {1,2,3}}
D:{XlXeZ )
F: {a, d, e, f}
H: {0, {1}, {1,2,3} }
!J //¡/..¡ J,/
| {2.31 1
4)
PROPIEDADES
1'u) (A-B)cA2du) (A-B) C\ B:O3'u) (A-Il) n (A ñ B):U,4'') Au B:(A-B)..;(A ñ B)u(B-A)5'u) A-a : A
6'u) o-A:o7*u) Si A f) B:O, entoncesA-B=A
2.11.4 ComplementoSi U es el conjunto universo y A unaparte deU (A c U ). Se llama complementario de A en U al conjunto
notadopor: A': U-A: {XlX e U,nX e A }
Representación Gráfi ca:
Otras notaciones Á, A" , Cuo
Ejemplos:
l) Sí U:{XeR/-5<X<5}
A',: {-2,A,2}
Sí U:{XeR/ 0<X<10}B':U_B:{0, 1,2,3,4,5\
2)
-541-45 3
-3 -l
26
B:{XeRiX>5}
Teoría de Conjuntos
3) Sí. U : {XeR / X sean números enteros del I al 20 }primos del I al 19 )
C' : U - C : { l, 4, 6, g, g, lO, 12, 14, 15, 16, 1g,20 }
2,4.6,8. r0. t:. 14.28 l17,19.2t.23.2s i
2, 4,6,9, 10, 12, 14, 17, 1g,21,23,25,251
y C:{XeR/ Xseannúmeros
PROPIEDADES: Sean A, B y C subconjuntos de U, entonces
2.11.5 Diferencia Simétrica
Sean A y B subconjuntos del conjunto universo u. Se denomina diferencia simétrica de A y B al conjunto( A -B ) u ( B -A ). La diferencia simétrica se representa por:
A^B:(A_B)u(B_A)
Representación Gráfi ca:
Ejemplos:
r) Sí A:
A-B:B-A=
AAB=
{XeR/X númerospares positivos, menores que30 } y B : {X/16 <X <26}
PROPIEDADES:
1'") a¡n:(aua)-tans.)2"") AAB:B^A3") A'A BJ= A A B+'") (a¡e)ra:ATGAC)f1 A^o:Á6'u) AAA--o
2.12 LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUN'TOS
Leyes de idem potencia:A nA:AAuA=A
Leyes Asociativas:An(BnC):(AnB)nCAu(BuC)=(Au B)uC
¡;.:!///./-r,a
t4'41s
l') A-B=A rlB'
(AuB)':A'a B' A r)B)': A'u, B'8"u) A -Á€rB;;TA-(BuC) =(A_B) ñ(A_C
Algebra Superior27
Ejemplos:Simplificar
1)
2) AAB
Leyes Conmutatiyas:AuB= BuAA nB: BnA
Leyes Distributivas:Au(BnC):(AuB)n(AuC)An(BuC):(AnB)u(AnC)
Leyes de Identidad:An@:AAwA: AA uU:UA nU:A
Leyes del Complemento:AnA':OAt-¡A': U
(A')' : AU,:A@':IJ
AnB' : A-B
Leyes de Morgan:(A n B)' : A'LJ B'(A u B)' : A'n B'
Leyes de Absorción:An(AuB)=4Au(AnB):A
:U:U-U:U:U
5) AAo =A
(A-?)u(o-A)(An0')u(OnA')(AnU)uo(AnU)
A
(AuB)u[An(C uB)]Realizamos un cambio de variableAUB=M y CUB:N(A u B)u [A n (C uB)] : Mu (A nN)
: (MuA)n(Mu,N): (A r_.,8 t-.r A) n [(A u B) u (C u B)]: [(A u A) u B] n [(A u C) u (B r._.,8)]: (AuB)n[(AuC)uB]: (AuB)n[(AuB)uC]: (AuB)
(A uB)-(A nB)
[(AuB)-A]u[(AuB)-B][(A uB) n A' ] u [(A u B) n B' ][(A nA' )u (B.\A' )] u [( An B' ) u ( B nB')][ou(BnA'»u [(AnB') u o]BnA')u(AnB')AnB')u(BnA')A-B )u(B-A )
AAB
3)
4)
(A n B) u (A n B' ) u ( A' n B) u ( A'nB' ) : ¡
[(A n B) u ( AnB' )] v [(A' n B) u ( A'nB' )][A n (B t-,r B'» v [(A'n (BuB')](An U)u(A'nU)(A r-,rA')
U
A'AB' : AAB
(A'-B')u(B'-A') :AABA'o(B')' uB'.r(A')' :AAB(A'nR)u(B'nA) :AAB(AnB') u(BnA') :AAB(A-B)u(B*A) :AAB
28 Teoría de Conjuntos
6r (AnB)n(AnB') :A 7)
(AnA)n(BnB') :AA¡A :Oo:o
(AnB)-C:(A^B)-(AnC)
(An B)-C : [(AnB)_A]u[(AnB)_c]= [(A n B) n A'] u [ (A nB) n C,]: [(A nA' ) nB] u [ (A nB)n C, ]= (A^B)u[(AnB)nC,]: Aw [(AnB)nC,]: (AnB)nC': (AnB)-C
También podemos demostrar
(AnB)-(AnC) = (AnB)_C
: (AnB)nC': [(AnB)nC']uOl: [(A nB )n C'] u IA'n(A nB)]: [(A nB )n C'] u [(AnB) nA']: (A n B) n (C'u A'): (AnB)n(An C)'= (AnB)-(AnC)
(A-B) = A-(A nB)
= An(AnB)'= An(B'uA,)= (AnA') u (AnB'): @ w (AnB'): (AnB')= (A-B )
AuB : (A-B)u(AnB )u(B_A )
: (AnB')u(AnB)u(BnA,): (A nB,)u ( A nB )l u (A,nB ): [An(B'uB)]u(A,nB): (AnU)u(A'nB): Au(A,nB): (AuA')n(AuB): Un(AuB)= (AuB)
AnB: A-(A-B)
: A_(AoB'): An (A n B'),: An(A'u(B')': (An(A,uB): (AnA')u(AnB)-- Ow (AoB): AnB
También podemos demostrar:A-(A
^B) : (A-B): (AnB,)uO: (AnB')u(AnA,): An(B,uA,)= An (AnB),= A-(AnB)
También podemos demostrar:
A-(A-B):AnB: (AnB')uO: (AnB')ut_{^A,: An(B'uA,): An (,\r-¡Bl,=A-(A¡Bt
(A nB)u (A n B') :A
An(BuB,)AnU
A
:A:A
8)
e)
l0)
t1)
?9
t2) A' n C : t C - ( A uB )l u [(B n C)-(AnB n C)l
: t C - (A u B )l u {(B n C)- KB n C)n Al}: t c -(A uB )l u {[(B^C)-(B n C)] u [(B n C)*A]]: t C - ( A uB )l w {ow[(B n C)-Al]:tc-(AuB)lu[(BnC)-A]: I C n( AUB )'] u[(B n C) nA,]: I C n (A' nB' )] u t(B n C) nA'l: I A'rr (B'n C )] u [A'n (B n C) )]:A'n[(B'nC)u(BnC)]:A'.rICu@'nB)]=A'n(CwO\:A'nC
lA-(B u C)l u(B-A ): t(AuB) n(B nA)'l n [(Cn A)'Á (B u C,)]
t(A-B)^(A-c)lu(B-A)[(A nB')n(AnC')] u (B n A') =[(AnA)n(B'nC')]u(A'nB) :[A n (B'.r C')] u (A'n B )[A u (A'n B )] n[(B'n C') u (A'n B )][(A u A') n (A uB )] n {[(B'u (A'n B )] n t C'u (A'n B»]I U n(A uB )] n {[(B'uA)n (B' uB )] n [(C' uA')n (C' uB»](A uB ) n {t( A'rr B') n Ul n [(A' uC') n (B u C' )]](A uB ) n {( A'u B') n [(A n C)'n (B r.-.,C')]](A uB ) n ( A n B)' n (A n C)' n (B u C' )[(A uB ) n ( B n A)'] n [(C n A)' n (B u C' )]
[(A u B) u (B n A)]' u{[(A n B) u (B u, A)]n[ (A n B) u (A r._, B)]']ut(A u B) n (B n A)l:(A u B)'t-., (A n B)
{[(A u B) u (B n A)]' u [(A n B) u (B u A)]] n {[(A u B) r_., (B n A)]' u[(A n B) u (A u B)]'] u [(A u B) n (B nA)]:
{U n [(A uB)u (B n A)]'] u [(A uB) n (B n A)][(A u B) u (B n A)]'u [(A u B) n (B n A)][(A u B)'n (B n A)'] u [(A u B) n (B n A)][(A u B)'u (B n A)] n [(B ñ A),u (A u B)][(A u B)'u (A n B)] n [(A'u B ') u (A u B)][(A u B)'u (A n B)] n [(A'u A ) u (B 'u B)][(AuB)'u(AnB)]n(UuU)
l3)
l4)
[(A u B)'u (A n B)] n U[(A u B)'u (A n B)](A u B)'u (A n B)
2.12.1 Problemas Resueltos sotlre Conjuntos
1) Determine los elementos del conjunto A, si se conoce que:
6eA3eAf , §\ - ^t!rJ, L 1r
A -: {1,5}{l, s} c {1,5, 10} c AA + {4,7,8}
Luego A: {1,2,5,6, 10}
30 Teoría de Conjuntos
"t Encuentre los elementos del conjunto B sí:
B+AByAsoníntersecantesByCsoncomparablesA : {u, b, c, ch, d}C:{a,b,c,g,h}deB, cheB, eÉB{b,d,g}cB
Luego el conjunto B : {a, b, c, ch, d, g, h}3) Dados los conjuntos grafiquelos con un diagrama de Venn.
A={2,4,6, 8, t0}, B:{2,6,8}, C={2, 4,6,12, 16,20}, D:{12,14,16. t8)
4)
5)
Grafique los siguientes conjuntos
E:{a, b, c, ch, d, e}, F:{b, c, d}, G:{ch, e, C, h}
En un curso.del prepolitécnico de la EIM en la Espoch, estudianse comprobó lo siguiente:
Solución:Vamos a suponer que los conjuntos
28 Alumnos olte cnmhrañ.ta- r-\.,i.35 eru.nn'lXff:::iliffiill?lü,,i1,,.,.,"33 Alumnos que comprend", ÁlÉ"u.u15 Alumng Alum
los que comprenden Química y Trigonometríae A'um;::;xI::ili::lÍ!lff#;",i.f,,f,T**."7 Alumn É
{l final ¿.1 ,.*.rt." l;;;".t :[:-prenden Química' Trigonom-etría v Álgebra
a) Cuantos alumnos no sabían nada?b) Cuanros alumnos aprobaron ,áio t.igonor.t.iuZc) Cuantos alumnos alrobaron ,Olo qrjri."zd) Cuantos alumnos aprobaron ,oi" iü.u.":
100 alumnos. Al realizar una encuesta
. B. C son respecti\.amente euímica. Trigonometna y Álgebra.
U
U
U
UU
Algebra Superior
3l
Respuestas:
a) 29 alumnos no sabían nadab) l8 alumnos aprobaron sólo Trigonometríac) 12 alumnos aprobaron sólo euímicad) 23 alumnos aprobaron sólo Álgebra
En un colegio de 500 alumnos se tiene que:
U
6)
329 Juegan fútbol186 Juegan básquet295 Juegan ping - pong83 Fútbol y ping - pong217 Fútbol y básquet63 Básquet y ping - pong45 No practican ningún deporte
Pregunta: a)
Solución:
Cuantos alumnos practican los tres deportes?
Necesitamos determinar I\,I n N n O : X
I, U, III son regiones
M = 329N - 186o :295MnO :83MnN :217NnO =63
Con lo que se obtiene:
M nN:217 *X MnO:83-X
149+x
oril
NnO:63-X
vamos anombraral conjunto M = futbol,N: básquet y o: ping-pong, conocemos además que:
M u N u O : 500 alumnos, menos 45 que no practican ningún deporte.500 - 45 :455 alumnos
Determinamos la región I:Cómo N : 186, la región I del diagrama tendrá:186 -U217 * X )+ x + (63 _ X )l :186 -217 + X-X -63 + X : - 94 + X
Para obtener la región II apricamos er mismo razonamiento que en ra región I:Cómo M:329, entonces32e _ [(217 _ X )+ X + (83 _ X )] :329 -217 +X -X- 83 + ¡ : 29 +X
La región III se obtiene de Ia misma manera que ras regiones anteriores:Cómo O :295, entonces.295 - [(83 - X )+ X + (63 - X » = 295 _ 83 + X _ X _ 63 + X = 149 + XFinalmente:
455 :X + 29 +149+ X+X - 94 + Zll_X+ 83 - X+ 63 _X+X455 :X + 4478:X
Respuesta: 8 alumnos practican los tres deportes.
utilice un diagrama de venn y raye la superficie correspondiente a los conjuntos.7)
-tlTeoría de Conjuntoi
TIrD
IItIDDI,t,ttttttttttttt,,I,I,,,)l)
)
)
)
ll
)
)
)
I
I
(AuBucuD)_(Auc)
ICu(A^B)]-(AnC)
A'-[(BnC)-D]
9^rnC)u(AnCnD)
{[(B n C) u (C^ D)]-(B n C nD)] u (A n B nD)
(BuD)-(AuC)
(A u B u C uD)-[(A nB) u (A nD) u (B n D) u (B nC)u(CnD)l
{t C - (A u B)l u [( A n B)_ c ]],
(A uB u C)' u t(B n C)_A I u [(A n B)_C ] u t(A n C)_B l
ir::bra Superior
8) Determinar los elementos de los conjuntos A, B y C sí:
(AuB)n(BuC) : Í3,4,5,6,7,8,9, 13, l5 )(AuB)n(AuC) : {1,2,3,4,5,6,7,8,15\
(AnC)uB'Bn(AuC)
(B'u C' )'BUC'U
- {1,2,6,7,8,10, ll,12,14 }= {3,4,5,7,8, ls }
: {5,7,8, 15 }: {1,2,3,4,5,7,8,9,11, 13, 15 }: {1,2,3,4, 5, 6,7,8,9, 10, 11,12, 13,14, l5 }
Indicaciones:
1.- Graficamos cada operación y numeramos las regiones.2.- Indicamos las operaciones mediante el rayado.3.- Sacamos las regiones rayadas de cada conjunto.4.- Determinamos los elementos tachando uno por uno.
Solución:
I:TIIIIV
VI
(AnC)uB'Bn(AuC)
lt, 2, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14\: {3,4,5,7,8, 15}(AuB)n(BuC)=Bu(AnC) : {3,4,5,6,7,8,9,13, 15}(AuB)n(AuC):Au(BnC) : {1,2,3,4,5,6,7,8, l5}(B'ur C')'= [(B r.lC)'] ': B n C {5, 7, 8, 15}B u C' : {1,2,3,4,5,J,8,9, ll, 13, 15}
r er ^doI y ¿ pasos
Graficación , numeración de regiones e indicación de las operaciones mediante el rayado.I II TTT
.1..
V VI
34
Gráfica que corresponde a la solución (8)
Teoría de Conjuntos
e)
_. Paso
Regiones rayadas de los conjuntos
I : Rr, &, Rs, Rz, Rs,II : &, Rs, RoIII : &, R:, &, Rs, RrIV : Rr, Rz, &, Rs, &,V =Rs,R6VI : Rl, Rz, R3, R5, R6, Rg
4to paso
Ubicamos los elementos tachando uno por uno.
I e I, IV y vI' Las regiones comunes de esos conjuntos son Rr, R5 , debe quedar una sola región, lasrestantes se eliminan en los conjuntos que no intervienen para ese ele;ento.1 está en R1 así cómo el 2.6 e I, III, IV. Regiones comunes &, Rr, se elimina R5. 6 esta en Ra.7 e l,ll,III, IV, V y VI Regiones comunes R5, en esta misma región esta el g.10 e I' Regiones comunes R,, R¿, Rs, Rr, Rs, de estas queda R7 (Las otras regiones se eliminan en II, ,,I,IV, V, VI).l0 está en R7 así cómo 12 y 14.3 e II, III, IV y VI. Regiones comunes Rz, Rs, R6, queda R2.También esta en R¿ el 4.5 e II, rI, IV, v y vI- Regiones comunes Rs, &, queda R6.En esta misma región esta er 15.9 e III, vI. Regiones comunes Rz, R:,Rs, R6, queda R3.En esta misma región esta er 13.1 1 e I, VI. Regiones comunes Rr, Rs, R3, queda RgVer gráfica de la solución (pagina anteriorj
Finalmente los conjuntos son:
A : {t,2,3,4,6,7,8}B : {3,4,5,7,8,9, 13, t5 }C : {5,6,7,8,10,12,14,15 }
NorA'- se debe hacer una gráficaadicional para ir ubicando los elementos que se van determinando.
Determinarlos elementos de A, B y C si se conoce queB c A c C.
[(A nB)'n (A n B')']' : {2,5,6,7,8,9, 10, 11}[(AuB)'uB]' : {9, 10, 1l}[C'u(AuB)]' : {12,13}
Solución:I :(A.,8)'l'u[(AnB')],=(AnB)u(AnB')=An(BuB,):AnU:A : {2,s,6,7,8,g,10,11}II : [(A uB)'l'n B,:(Ar-,B)nB':(A u B)_B : {9, l0, tr}III :[c'u(AuB)],:(c,)'n(AuB)':cn(AuB),:c_(AuB)
={12, t3}
I "' y 2do pasosGraficación , numeración de regiones e indicación de las operaciones mediante el rayadoItI III
@ mWt-5
{lgebra Superior
,@Gráfica que coresponde a la solución (9)
3"'pasoRegiones rayadas de los conjuntos
I :Rz,R,il :RzIII :RI
4ro paso
Ubicamos los elementos tachando uno por uno y relacionándolos con los conjuntos y las regionescomunes, se tiene:
2 e l- Las regiones comunes son : R2, & ; queda R3, en esta misma región se ubican 5, 6, 7 y g.9 e I, II. Regiones comunes R2, también en esta misma región están 10 y I l.12 e lll. Regiones comunes R, , en esta misma región esta el 13.Finalmente los conjuntos son:Ver gráfica de la solución.
A : {2,5,6,7,8,9, 10, ll}B = {2,5,6,7,8)c : {2,5,6,7}
10) Determinar los elementos de los conjuntos A, B y C . Si :
[(A n B)'n (B n C)'n (A ^ C)']'
A n ( B' ,.r C')'[(B n C)'n A'l '
[(A nB)'n C]'[(A u C)'n B]'
Solución:I : [(A^B)']'u [(B n C)']'u [(An C)]':(AnB)u(BnC)u(An C ) : {3,4,5,6}II :An(B't.rC)':An(BnC) : {5}
il} : [8:;]:i::5:[::;]:5 r l1:,\,];,t, ?1,,v : [(A u C)' ]'u B' : (A u C) ur B, : 11,2,3, 4, 5,0, S, S]
i er adoI y ¿ pasosGraficación , numeración de regiones e indicación de las operaciones mediante el rayado.
I 1I III
: {3,4,5,6}: {5}: {5,6,7,8,9}: {1,2,3,5,7,9): {1,2,3,4,s,6,8, e}
@[r836 Teoría de Conjuntos
+-:
Gráfica que corresponde a lasolución (10)
1l)
-' Pas.rRegiones raladas de los conjuntos
I : R:, &, Rs, RrII :R:m : Rr, Rr, &, Rz, &IV : Rr, Rz, R3, R5, RgV : Rr, Rz, &, Rs, Re, Rz, R,
-l'o paso
Determinamos los elementos.
3 e I, IV y V. Regiones comunes R2, R5 : R24 e I y V. Regiones comunes R2, &, Rr, Ru I R,5 e I, II, III, IV y V. Regiones comunes R.6 e I, Ill y V. Regiones comunes Rs, R* -&7 e Ill y IV. Regiones comunes R¡, Rs, R¡ : Rr8 e lll y V. Regiones comunes Rs. Rr, Re : Rz9 e III, IV y V. Regiones comunes R5, R3 : Rg1,2 e lY , V. Regiones comunes Rr, Rz, R5, Rs = R,
Finalmente los conjuntos son:Ver gráfica correspondiente de la solución
A : {1,2,3,4, s}B : {3,5,6,7}c : {4,5,6,8}
Determinar los elementos de los conjuntos A, B, C y D . Si :
DcCAnCB y D no ínter secantes(B-A)-c(C'u B)'U-D(A'-B)'(B'- c)'B'u C'U
Solución:
:a
= {b, c, d}: {l e,l, m}:
{u,b,c, d, e, f, g, h, i,j, k, n}: {a, b, c, d, e,j, k, n}: {a, b, c, d, e, f g, j, k,l, m}.: {a, b, c, d, e, f, g, h, i, l, m, n}: {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n}
IIIIIIIV
VI
: (B - A) - C : (B n A') n C, : B n (A, n C, ) : B n (A. y C), : B _ (A u C) : {b, c, d}: (C'uB)':(C'),nB':CnB,:C_B :{lg,l,m}: U_D:D': (A' - B)' - (A, n B, ), : (A, ), u (8, ), : (A u B) : IX; j, i; j; !;rl f; |'rt'
;, *,',: (B'-C)':(8,^C,),:(B,),u(C,),:(BuC) : iu,U, ",a,r',í,g,;,l, r, 11: B'u'C':(BnC), :i",U,.,a,.,ii,í,i,f,_,r,
\lgebra Superior3/
l"'y 2do pasosGraficación , numeración de regiones e indicación de las operaciones mediante el rayado.
I¡
Iv
V
Gráfica que corresponde a la solución (11)3"'pasoRegiones rayadas de los conjuntos
I:&II : Rs, RrIII : Rr, Rz, R:, Rq, Ro, RrIV :RI, Rz, R¡, R¿
V : Rz, &, R+, Rs, RoVI : Rr, Rz, Rr, R5, R6, R7
4to pasoDeterminamos los elementos.d, c, b e I, III, IV, V, VL Regiones comunes R3g, f e II, ru, V, VI. Regiones comunes Rgm, I e II, V y VI. Regiones comunes Rs, Re : Rse, a e III, IV, V, VI. Regiones comunes Rz, R¡ : Rzi, h e III, VI. Regiones comunes Rr, Rz, R:, Ru, Rz : Rrk, j e III, IV, V. Regiones comunes Rz, R:, & : &n e III, IV, VI. Regiones comunes Rl, R.2, R: : Rr
Los elementos de los conjuntos se extraen de la gráfica del conjunto sorución
A:{a,e,n}B : {a, b, c, d, e,j, k}C : {i g, j, k,l, m}D:{l,m}
38 Teoría de Conjuntos
FIt¡D¡rt¡ttttttttttttttttttttttt,
''))
)
)
)
)
I
-l ¡
IIIilIIVV
Determinar los elementos de los conjuntos A, B, C . Si :
BcABnCcAY-1 ={8,9,10,71,12,13,14,Is,16}A t-, C : {t.2,3, 4, s. 6, z. ró, r i I
-' "(B u C) uA' = {1,2,:,1, 1,g,7,s,g, to, tt, tZ, 13,14, 15, l6}lJ-c^ = {1,2,3,8,s,12,13"tq,l\,iz¡BuC' :{1 ')¡,, o,3,4, 5, g, g, 12, 13, 14, 15, 16}
Solución:
: Y-A_:A' : {8,9, 10,11,12,13, 14, 15, 16}:AuC : {1,2,3,4,5,6,7,10,f 11 ':(B uC)uA' = {1,2,1, 4,s,6,7,8,s, t0, tt, 12, 13, 14, ts, t6 }=Y-c^:c' : {r,2,1,l,e, tz,n,ru,ts,io t=B uC' : U,2,3,4,5,8,5,t2,t1,1'q,15, t6]
f'y_2do pasosGraficación, numeración de regiones e indicación de ras operaciones mediante er rayado.
Gráfelgue corresponde a la solución ( I2)
r paso
Regiones rayadas de cada conjunto.
I =Rs,ReII : Rr, Rz, R¡, &, R,III = R:, R:, &, Rs, &IV = Rr, Rz, &\' : Rr, R2, Rr, R,¡
II
llgebra Superior
39
4to pasoDeterminamos los elementos.16, 15,14,13,12,9,8 e I, III, IV, V. Regiones comunes R.6
11, 10 e I, IL III. Regiones cornunes Rs3,2,7 e II, III, IV, V. Regiones comunes R25,4 e II, III, V. Regiones comunes Rz, Rr = R¡7,6 e ll, III. Regiones comunes Rz, &, &, Rs : &Los elementos de los conjuntos son:Ver gráfica correspondiente a la solución
A : {1,2,3,4,5,6,7}B : {1,2,3,4,51C : {4,5,6,7,10,11}
2.13 PROBLEMASPROPUESTOS
1) Sean: A: { d, f, h,j, l} , B: {., C, e, i} y C: {d, e, c, k}
2) Utilizando las leyes del álgebra de conjuntos demostrar que:
a) (/ruC)n(AuB)n(A,^B')' :Au(BnC)b) An[(B-c)u(c-B)] :[(AnB)_A]ut(A^B)_clu[(A^c)_(AnB)]c) [(BnC)-(BuC)]nA :o
-d) Au[(C-B)u(B-C)] :(AvCuB)n(A'nBnC)'e) (A-B)nC :(AnC)-(B^C):(AnC)_B:(A*B)n(C_B)0 An(B-c) :(AnB)_(A^c):(A_c)nB:(AnB)_(BnC)
3) Determinar los elementos de los conjuntos A, B, C, D, sí :
AyB, AyC, ByC soníntersecantesDyC, AyD, ByD sonnoíntersecantes.
(A'u B)' = {a, e}(A n B)t-,, (B nC) u (A n C) : {b, c, d, e, f}
4) Determinar los elementos de A, B y C sí:
An(BuC)BUCB-CUn(BnC)'Un(AuBuC)'U
40
c) (A-c)-Bh) (A-B)u(B-c)i) (A-B)n(B-A)j) (AnB)aBk) (A n B)'u Cl) (AurC)'-A
: {a, b, c, d, e, f, i,j, k, l}.:{a,b,c,d,e,f,i}- {a. b. c, d, e. g, h}: {k, r}: {a, b, c, e, f, g, h, i,j, k, l}: {a, b, c, d, e, f, g, h, i,j, k, l}
:{1,4,5,1t}= {t,2, 3, 4,s, 6, 7, 8,9, 10, 1l}:14,7,8,9,10,11): 11,2,3,4,7,8,9, 10, 11, t2,13, 14, l5): {14, r5}: {1,2,3, 4,s, 6,7,8,9, 10, 1 1, 12, 13, 14, 15}
Hallar:a) AnBb) AuBc) Bucd) (AnB)nCe) (Ar.-,,C)nBO C-A
U-DAuBAuD(AuBuCuD)'U-(AnBnC)U
Teoría de Conjuntos
:I Encontrar los elementos de A, B, C y D sí :
A cD; B cD; C cD; AyB; B y C son intersecantes.Ay Csondisjuntos.
B u (A uC)' : {3,4,5,6,12,13,14,16,17,18,19,20,21,22,23}U-D:AC u (A u B)' : {9, 10, 14,15,17,18,19,20,21,23}A uB : {1,2,3,4,5,6,7,9,11,12,13,14,16,17,22}A uB' : {1,2,3,4,7,8,9, 10, 11,12, 15,19,19,20,21,23}Du(AuBuC)' :{1,2,3,4,5,6,7,9,9,10, 11,12,13,14,15,16,17,1g,1g,20,21,22,23}
Determinar los elementos de los conjuntos A, B y C sí :
AyBsoníntersecantesAyC;ByCsondisjuntos.
(A nB)' : {2,3,4, 5,8, 9, 10, tt, t2, t3}c' -- {2,3,4,5,6,7,9,9}A'r-i B : {6,7,8,9, 10, 11,12,13}A uB' : {2,3,4,5,6,7,10,11,12,13}
6)
.11
CAPITULO 3
3.1 DEFINICIONES
La noción acerca de los números surgió en la antigüedad ampliiindose y generalizándose con el tiempo. Losnúmeros l'2'3,4," aparecieron debido a Ia necesiád a. "ortu.
o¡i"t* de diferentes conjuntos. Esta sucesiónde números se llama Números Naturales y se nota por: N .Es decir N : {1, 2,3,4,...), si se agregi a este conjunto el cero se obtiene el conjunto de los números enteropositivo_s, que se designan por Z*: {0, l, 2,3,4,...}:Las deficiencias de los números enteros positivos pueden ser remediadas en parte extendiendo este sistema alconjunto de los enteros que se notan por:
La medición de diferentes magnitudes n,r" f".r{r*'";3i,;1'.1'";í;}; l" ros números enreros e introducir losnúmerosracionales; notadospor: Q:{A ¡* ez ¡ nez,n+0},unnúmeroracionalpuedeescribirseenforma de fracciones diferentes cómo:
!:?:7 :y3 6 2r iottt''
.3630300':i=,--=-etc.;
Cómo el uso de los números es ilimitado. por ejemplo ar resorver Ia ecuación x2 * 2:0 = x= Jr , se tiene queJi r Q' surge entonces la necesidad de un sistema más amplio que incruya este tipo de números. Los númerosdecimales indeflnidos no periódicos se llaman irracionales y se notan por: I = {xlx son números decimalesindefi nidos no periódicos)El con'iunto de números racionales e irracionales se denominan reales y están representados por: R : {xlx esraciorial o x es irracional), es decir:
R:QuI.Los números reales pueden ser expresados por medio de puntos en el eje numérico. Se llama eje numérico a unarecta infinita en la cual están definidos:
_ [Jn punto cero que se denomina origen.- Una dirección positiva que se indicá con una flecha.- Una escala para medir longitudes.
En general el eje numérico se dispone en posici-ón horizontal, considerando positivo la dirección a la derecha delpunto 0.
cómo en la matemática la res-olución de problemas es infinita, y particularmente al resolver Ia ecuación x.+ 1: gcuya solución no pertenece al campo de los reales, ya que no existe un número cuyo cuadrado sea negativo, portalrazónsurgeunnuevosistemailamadoconjuntodenúmeroscomplejosysenotapor:C={a+bilaefr¡b
e 9r, i : ./-l ) . a, er siguiente diagrama se irustra er conjunto de números.
-2. -4 -20_:-= , =_etc.JÓ30
012
NúmerosRacionales
oNúmerosEnteros
ZNúmerosReales
R
NúmerosComplejos
CNúmerosIrracionales
I
42Números Reales
f ] LOS RE.{LES COMO UN CAMPO
ii.l Axiomas de Igualdad
Propiedad ReflexivaPropiedad SimétricaPropiedad TransitivaPropiedad de la suma de igualdadPropiedad Multiplicativa
Axioma de Clausura ..
AsociativaConmutativa,
Idéntico AditivoInverso Aditivo
a:aSía:b+b:aSía=b y b=c=a:cSía:b yc=c=)a*s=611.Sía:byc:c= a.c:b.c
1
:
J
3.2.2 Axiomas de la Suma
(V a, b e R) (l c e R) (a+ 6 =";(V a, b, c e R) [(a+b) + c :a+(b + c)](Va,beR)(a+b:b+a)(VaeR)(lX:0)(a+Q:¿;(V a e R) [3 (-a) e R] [a+ (-a) = 0]
El conjunto.que cumpla con ros axiomas de clausura, asociatividad, idéntico aditivo eesrructura algebraica llamada grupo, y si cumple con el axioma de conmutatividad se-\beliano.
3.2.3 Axiomas del producto
inverso aditivo forma unallama grupo conmutativo
6
7
8
9
t0
(V a, b, c e R)(! c e R)(a. b :")(V a, b, c e R) [a.( b .c ): (a. b) .c](Va,beR)(a.b:b.a)(V a e R)(l X: 1)(a. I :1. a)
(v a e R) (r x=+) r"( *l= 11t.q
I os reales forman un grupo ya que cumplen con los axiomas de clausura, asociatividad, idéntico Multiplicativo ern\ erso Multipricativo, y si cumple con el axioma de conmutativid;á fo,,,un un grupo Aberiano.
Clausura
AsociatividadConmutatividad
Idéntico MultiplicativoInverso Multiplicativo
l1 Distributividad (V a, b, c e R) [a.(b + s;: a.b + a.c]
Este axioma relaciona la suma y la multiplicación.
h:il)nffireales cumpltn ton los I I axiomas anteriores por lo que constituyen una estrucrura algebraica
3.2.J Axiomas cle Orden
( V x,v e R)(X+y) e R*, X.y e R*XeR*v-XeR vX:00eR'
t :s srrnL'olos que representan Ias relaciones de orden son:
> \fa1,or o igual que< \fenor o igual que- \la¡ or que_: \fenor que
,\>\'+>(X-y)eR*\>Y<+y<X
.13
3.2.5 Teoremas
Teorema ITeorema 2Teorenia 3
Teorema 4Teorema 5
Teorema 6
Teorema 7Teorema 8
Teorema 9Teorema l0Teorema l1
Teorema 12
Vx,v,z eRVx,veR, VzeR+Vx,v,zeRVx,veR,Vz eR*Vx,veR,Vz eRVx,veR,Vz eR-Vx,y,a,b eRVx,v,a,b eRVx,Y,a,b eR*Vx,y,a,b eRVa,c eR Vb,d eR-{0}
Ley de TransitividadVx,Y,zeRX<YnY <Z-+X<ZX>Y¡Y>Z-+X>Z
Ley de ReflexividadVxeRX:X
X<Y+ (X+Z)<(Y +Z)X <Y ¡ Z> 0 -+X.Z<Y.ZX>Y-+(X+Z)>Y+ZX>Y¡Z>0-->X.Z>Y.ZX<YnZ<0-+X.Z>Y.ZX>Y¡ Z<0-+X.Z<Y.ZX<Y¡a<b-+(X+a)<(y+b)X>Y¡a>b-+(X+a)>(Y+b)X<Yna<b->a.X<Y.bX>Y¡a>b-->a.X>Y.bac
+> a.d : b-cbdac-< - ->ad<b.chd
Ley de TricotomíaVx,veRX>YvX<YvX=YX>Y+>(X-Y)eR*X<Y<+(Y-X)eR.X:Ye(x-Y):0
Va,c eR, Vb,d eR*
3.3 INTERVALOS
Definición: Seanqb e R y a<b.1) Intervalo Cerradosellamaintervalocerradodeextremosa y b,al conjuntodelasX e Rtalesque: a<X<b.Se nota:
[a,b]: {X e Ria<X<b}
Gráficamente en el eje numérico
2) Intervalo AbiertoSe llama intervalo abierto de extremos ay b, al conjunto de las XSe nota:
la,b[:{XeR/a<X<b}Gráficamente en el eje numérico
3) Intervalo Semiabierto a derechaSe llama intervalo semiabierto a derecha al conjunto de las X e R tales que: a < X < b.Se nota:
[a,b[:{XeR/a<X<b}
Gráficamente en el eje numérico
4) Intervalo Semiabierto a izquierdaSe llama intervalo semiabierto a izquierda al conjunto de las XSe nota:
la,bl:{XeRia<X<b}Gráficamente en el eje numérico
Y¡%'¡FWZ?¿ _- __,- _ =do
eRtalesque:a<X<b.,.,- -.-.--..-'-__. --
dD
w4 ,_ab
+_---->ab
-_ gr?,f."Wv¡...'.4 ,_
eRtalesque:a<X<b.
ab
_ W¡:ir:.lW%L ,_
44 Nirmeros Reales
ll Interyalos Infinitosa) [q*[:{XeRlX>u¡
a
@a
c) ]-"o,al={XeRlX<u¡ d)
<-:ft-.-
a
§a
6) Otros Intervalos
la,-[:{XeRlXru¡,-a;
a
%al--,a[:{XeR lX<a}
<-a
ña
,l . L
b)
b) [a,a] :{X.R/a<X<a}:{a} , l
c) l-co, m[ : R ,l
Operaciones con intervalos .
Entre intervalos realizamos todas ras operaciones que se ejecutan con ros conjuntos.Sean A y B dos intervalos cualesquierá de R. Se tiene entónces:
AnB :{XeR/XeAaXeB}AuB :{XeR,D(eAvXeB}A-B :{XeRiXeAr.XeB}A' :{X.RD(ÉA}=R_AA+B :(A-B)u(B-A)
Ejemplos:Hallar:
a) 12, a[ o]3,6[d) 12,41n[3,4[c) 12,3t'j) [], 5[ u ]4, 5lm) {2} wl2,3l
Solución:a) 12,4[ r-t)3,6[ : ]3, 4[
b) l0, e[ n ]1,81 c)e) 12,3[ o p, af 0h) [0,6] - 10,4t . i)k) l-*,2[n [0, +oo[ t)
12,3[ ol3,4ll--, 1['[1, 5] u 15, 6ll-10, m['
02
12, 3[ n ]3, a[ =a
b) lo, 9[ n ]1, 8l = ll, Bl
0.1
)2,4)np,af : t3]c)
e)
§\§zzA\iJl,/ _r _§_
0 2 3 4
[2,3[o[3,4[ :Ats§l
ZZ.\Na 23 4
d)
0
4
=R-l-o. 1[-[1.:.[
\igebra Superior+5
c) 12,31', : R - 12, 3[ : ]-*, 2l u [3, co[ h) [0, 6] - 10, 4[ : [0,0] u [4,6 ]
0 23
[, 5] u l5, 6l : [1, 6]
01 56
)-*,2[ n [0, +"o[ : [0,21
i)
0
[,5[ u ]4,5l
01
]-10, co['
45
= R - l-10, m[: ]-oo, -l0lr)
m) {2} v12,3)
3.4 INECUACIONES3.4.1 Inecuaciones de Primer Grado
Son inecuaciones de primer grado las siguientes:
1) aX+5>62) aX+6>g3) aX+6<64) aX+b<0 dondea,b,X e R,a+0
Una inecuación está resuelta cuando al reemplazar los valores reales de X se satisface la desigualdad.
Ejemplos:Resolver las inecuaciones siguientes:a) 2X-5>0b) 3X+2>6c) -x+2<od) 5X-2<3+2Xe) 2+x _ 2(x-l)
> -5x+ 7 _ 3(x+t)37-3.1
0 2x2+7y<x(2x+l)+3x-2
Solución:
a) 2X-5>-0 <)2X>5€x>:
2
EI conjunto solución es:
s:{x.R lx>!}:t!,*t))
b) 3X+2>g e3X>-2<>Xr-2
f
k)
46
: u,5l
46Números Reales
El conjunto solución es:
s:{x.Rlxr-?}=l- , "O[
2;J
Ir3
c) -x+2<0 c)-X<-2<>X>2
El conjunto solución es:S: {x . R lx >_2} =12,a[
d) 5X-2<3+2X <+5X_2X<3+2<33X<5<+x< 5
J
El conjunto solución es:
s:{xen.lx.l}:l--,J
2 ¡X_ 2ü-t)_-5X-7 l(X Ft)
7(2 + X)- 6(X - 1) > 7(_5X + 7) _ 9(X +14 + 7y- 6X + 6> - 35X + 49 _ 9X_ 9x + 20 >- 44X+ 40
r)
<> 45X> 20
<+X> 20
45
<.)x>19
El conjunto solución es:
s:{xuRlx>1}:11,*t99
2x2+!-X<X(2X+l)'JX-21\
2X2+ 7 X<2X2+ **rr-,3t7 x<16 x- 2 ^7
-)
<, 13
l5<3 13X > 30
<>x> 30
13El conjunto solución es:
s:{x.Rlx,*l:119,*t13 13
3.1.2 Inecuaciones de Otros Tipos
P: i medio de las propiedades de los números reales, se puede resolver las siguientes inecuaciones.
{ax-b)(cx+d) >g ./ ,
ia.x - b) (cx + 61 ;' g,ax-b)(cx+d)<0,ar-b)(cx*d)<0,ar-t)(cr-d)(ex+¡>g
e)
0
x- 16 x<-25
x>2
_-.-r._.-0
{:g=b= Superior
ax +b < 0 etc.cX +d
Ejemplos:Resolver las siguientes inecuaciones:a) (2x-3)(4-x)>0c) (2X+4)(9-X)<0e) (4X-5)(x-2)(X+3)>0c) X-2
=uX+2
b) (3x-t)(x-2)>0d) (l-x)(3x-s)<00 (l-2x)(x+3)(x_l)<0h) (X - r)fX + 3)
-(U
2X-l
Solución:
a) (2x-3)(4-x)>0Para resolver esta inecuación utilizaremos la siguiente propiedad:
a.b>0<+
Análisis de
2X-3>0¡
* f "L,,r
I u'o
Iu.oI
,.,b>0v Entonces: (2X - 3) (4 - X) > 0¡b<0
2X-3>0 n 4-X>0V
2X-3<0 ¡.4-X<0
Sr={XeR/1<x<4}:11,+¡22
Sl: A
,tr4inecuación que no sea lineal, es a través de una tabla y
.0
(2x-3) (4-x)
Análisis de II.2X*3<0¡4-X<0
4-X>0 é2X>3 ¡-X>-4<)X> 3 n X<4
2
<] I :, cc[ n ]-co, 4[2
= ] 3,4[2
<>2X<3 n-X<-4€>X< 3 zrX>4
2
<+l-*, 1[n]a,coI2
oZLa solución total es: Sr = Sr \J Sn : ) 1,4[
2
Existe una manera abreviada de resolver unaconsiste en lo siguiente:
Si X > 0, se conserva los signos de la recta numérica.
Si X < 0, se invierten los signos de la recta numérica.
2X-3:0 v 4-X:0X:1 v X:4
2"
1') Igualamos a cero cada factor.2o) ordenamos las raíces de cada factor en foram ascendente haciendo pertenecer cada raíz a una
columna de la Tabla.3") Ubicamos los factore.s en el casillero de la primera columna de la izquierda, antes de (-co).4') Ubicamos los ceros de cada factor y analizamos los signos antes y dispués del mismo.
l')
3')
Resolvemos el ejemplo anterior por este método (2X - 3) (4 - X) > 0 0
2') --; 4 a:
-@ _¡
2
(2x 3) (4-x)
48
Se observa que la solución es: ] ] , +[
4')
Números Reales
-co +1
2q
iix- 1)(x-2)>0
p.f:(3X-1)(X-2)
(2X+4)(9-X)<0
-ó-)qM
2x+4
9-x
d) (1 -X)(3X-5)<0
-@1+o
e) (4X-5)(X-2)(X+3)>0
-o-3 | z ü
Luego la solución:
S= {X . R lX< 1vX>2} = l-*. ll,, IZ,-t3 - l" L
2X+4:0 v 9-X:0x: -2 v X:9
El conjunto solución es:S : {x . R lx < -2vX >9}: l-*, -2lu [9, co[
3X-t:0x:1
J
x-2:AX=2
v 3X-5:0v X::
J
v X-2:0v X:2
c)
1-X:0x:1
4X-5:0X::
1
-- I
2
El conjunto solución es:
S:{X e R lx. I vX> l}:l--, tlul l,-[
v X+3:gv X:-3
El conjunto solución es:
S:{X e Rl -3<X< 5 vx>2}:t_3,:lu[2,cc[44
os24
(l -2x)(x+3)(X_ l)<0 l-2X:0 v X+3:0v X:-3
El conjunto solución es:
S:{XeR -3< X<l v2
S : l-3, i ¡u 1t,-¡2
v X-l=0v X:l
x ,l)
o 15
{igebra Sup:riort9
h)
aa!aIaaaaaaIeaeJee.l
c)
a- I
X+lx- 1 .-l
X+l( zx-n l9- 2x| --+=-<
)x)42I zx*ts x-l x
>
--+_1353
I 1r-r< 3x-1l1l"
1 *-l rxn1112 4
Ixrz-x)<x(x-r.)f xt-tox'+zlx-18 > o
l.
LX',-t lx'+38x-40 < 0
_ 19-2Xt+ _-- > 0x'-2x-ls
Y_?" ">0X+2
-ú -2
(x-lxx+3)
-<o
2X-r
El conjunto solución es:S : {X . R lX <-2 vX> 2} :l-*, -2lw 12, a[
x-2:0x:2
x-l:0x:t
v X+2=gv X:-2
v X+3=6v X:-3
2X-l:0x:f
2
Resolver Ias siguientes inecuaciones:
Solución:
a) 2. 1 <>
X+l()
qJ
Determinamos las raíces de los factores2X+1:6 v X+l:0
El conjunto solución es:
S: {X e n lx<-3 v i.^.1} =l--.-:¡u1 1, r¡
- X+l I
X+3 3
r)
.xl? < L¿{X-3 X
12X2 +4X+2XX+.j)-. --_' --- . ,<0X+6
a)
c)
e)
b)
d)
-l_<2x-l2X-j .19X 12 . 2X+1 I
3 5 t5 3 5(t-x ^ j+4xL -i<--4
J
lsl;X+51a-X)<2(4-X)IJ
0
h)c)
i)
k)
^1¿<_<oX+1
2(X+l)-lr<0X+1
2X+2-l_-__<0X+l
2X+1
--.-<0X+l
x=-12
1-,16-o -3
50
rz X:-l
Números Reales
-*-1-á6
_1 02
_I<) ' -2<ox-l<) -1-2(X_l) <0x-I
-1-2X+2(_) --<ox-lt-2x€) _<0x-l
Determinamos las raíces de los factoresI - 2X:0x:l
2
-"o!tcoL - /
x-1
se excluye el valor de X der denominador ya que la división por cero no esta definida.
S= {x. R l-t <x<-1 } =l-1,-1 t2z
b) -l_<2x-t
v X- l:0v X:1
c) _- Ix_-- < _l €)X+l
ErtrtrirlDtrt
Determinamos las raíces de los factores:X:o v X+2:gX:O v X=-2
-$-2-1 0 rc
2X-7 l9x 12
3 5 ls5(2X-7) +3(l9X)+ t2l0x - 35 + 51X+ 1267X - t0x57XX
v X+1:gv X:-1
S : { X e R/X <-2v-l <X < 0 }:l _-, _2 [ u ]_1, 0[
2X+l I>
--+_35
> 5(2X+l)+3> lOX+5+3> 8+23>31
> 3l57
S:{X eR Ix< I vX> l}:l-*, 1lull,*t22
IX- - +1<0X+lX(X+l)-l+X+l
-<0
X+lX2+X+X.'--.-<0
X+lX2 +2X.-<0
X+1X(2+X)
-<0
X+l
^ -: \ r:-,1r
e)
s:{x.Rlx=11:tl-|,*t57 57 0 :r
51Solución de los sistemas de inecuaciones( zx-tl rs-2xl--+--<2xl2X+15 X-l x
> _+_t353La solución de cualquier sistema de inecuaciones, es la intersección de las soluciones 51 n 52 ¡. sr etc.Determinamos 31 Determinamos S,
o (t-x - ir4X) , -t. -l--*)s[;x*st+-x)
< 2(4- x)
er) zx-ll t9-2X <2X42
2X-tt+z(19_2X) <8X2X-11+38-4X <8X-8X-2X <_27_l0x <_27tOx >27x >27
l0S,:{XeRlx .4l:l!,*t
10 l0
51: S¡ n 32
Sr:{Xe R,X> !):)!,*¡l0 10
Determinamos S¡
fr) 7 -x2
5(7-x)-3035-5X-30-5X+5-5X - 8X-13Xl3xX
e) 2X+15 X-l X_---__:_ > -.-.+_3535(2X+15) >3(X_1)+sxlOX+75 >3X-3+5X10X+75 >8X-3lox _ 8x > _75 _32X > _78
x >49
Sz: {X e n lx>-39} :l-39, "o[
Determinamos 52
f.) s_. _x +5(4*XI < 2(J*X)3
5X+15(4-X) <6(4_X)5X+60_l5x <24-6X60 - lOx <24 _ 6X-l0X + 6X <24 - 60-4x <-364x >36X >9
S::{XeRlX>9}:l9,coI
3+4X< -45
<2(3+4X)-40<6+8X-40<8X-34<-34-5< -39>39>39
t3
s,:{X.Rlx>3}:l3,co[
51: S¡ n 52
Sr:{XeR/X>9}:l9,co[
g) ll*-r.¡x-1)2 3
1 x-r 7l_>X+112 4
[-xrz-xr<x(x-¡]
52Números Reales
Determinamos S¡
9,) 5-, ^-x- I2
15X _ t215X _ 18X-J,\
3X
X
B:) x(2 - X)2-X_2X
2X
x
Determinamos 52
<3x-13
<18X-2<12-2<10> -10
l03
S, : {X e R,& > -10/3} : l-10/3, co[
Determinamos Sj
S, : {X e R/)( < -2} :l--, -2[
8z) x-1D
x-1x-12X-1lXX
rx+14
> l2X+ 21>21 +1>22<-2
<x(x-1)<x-1:-J
>3>1
2
h)
S.-{XeR/X>11:[1,*[22
Sr:Srn52nS3Sl= A
-3. 11!. 1 Es decirX+3 3
Determinamos S1
h,) X+l_-+ 3 > 0
X+l+3(X+j)-_.......-=-- > l,
- X+l+3X+9 ^-_ _>o
X+3
4X+19=9 vx:_10 v
4
Sr:{X e R,l)( < -3 vX > -2.5}= l-o,_3[ u ]_2.5,co[
Determinamos S,
-co -3 -2.5 o
-6 -3
3 (x+3 )
X+l_ >_l^
+JX+i I
X+3 3
X+l_>_.t I
^+J
¡'ri¡l-414!!It!!
hz) X+t IX+3 3
4X+10--_-> 0X+l
X+3:gx: -3
S, : {X e RA3. X <0} :l-3, 0[
Sr: {X e R/-2.5.X.0} : l_2.5, 0t
4á11
-3 -2.5
_<j
7'
f x'- tox'+27x- l8>0lx'- ilx2 F38X-40<0 +
Buscamos St y Sz a través de la tabla
-aaJbó -co245co
S2:{X e RiX < 2 v 4 <X < 5}: l-*, 2lw14, 5l
Como se observa la solución esta sólo en eldenominador, ya que 3X2 - 5X + 3 tieneraíces imaginarias, para cualquier relación deorden > ó <. Por tanto no se debe tomar encuenta puesto que, no afecta al resultado
-603a
Se debe, a que (X - 2)' ,0 VX e R - {2},entonces la solución esta en el denominador.O se puede resolver tomando en cuenta todoslos factores, aplicando la tabla. Si lamultiplicidad de Ias raíces es par. entoncesantes y después del cero es positivo; y si esimpar, antes del cero es negativo y despuéspositivo.
-.ó -3 5 co
f tx- rl(x-3)(x-6)>oItx-zl(x-4)(x-5)<o
i)
S¡ :{X e R/l < X <3 vX > 6}=11, 3[u ]6, o[
Sr:Sr n52:11 ,2[Sr={X e R/1 <X<2:11 ,2Í
X+2 l-2Xx-3 xX+2 l-2X___.-<()X_3 XX+2 2X-1"-+__<0X-3 XX(X + 2)+ (2X - IXX -3) <(x-3)xX2 +2X+2X2 -6x-x+3
(x-3)xlx2 -5x +3 <0 <a(x-3)x
S:{XeR/0<X<
I.=--<0(x -3)X
3)
- t9-2XI* .-->0x'-2x-15x2 -2x-15+1g-2x
<0
k)
>0(x-s)(x +3)
x2 _ 4x+4.--..-=-->0(X-5)(X+3)
(x-2\2>o
(X-5XX+3)
54
S-{XeR/X<--ivX>5}
Números Reales
r)
PROBLEMAS PROPUESTOS
Resolver las siguientes inecuacionesa) 3X+2>X-1
b) x+2<-x+9
Como (X + l)' < 0 (S : {-l}), entonces seresuelve sólo la equivalencia indicada
-co -6 -3
<0
0
c)
d)
e)
0
c)
h)
i)
i)
k)
1)
ll)
m)
nl
., 1
:,
3X+1<4X-3
l-x>3x-5
3X+ 4>X-7
5X -2 <2X+ 5
(x-1)(2X+1)>0
(2X+3)(3X-2)<0
3x2-5x+2>0
.(2X+s)(X+1)(2-3X)>0(3X+7)(3-X)(x_4)<0
2X2+¡-3a6l
<4x5:x-l > 3lY_l
X+l
\-512X
x-r 3
q)
r)
s)
u)
v)
w)
x)
v)
z)
Observación:
.1r+!x+c<0 ->
Raíz real única: S = A; g- 1j2 <0
Raizimaginaria: S=A; x2 +2x+3<0- I Rarz real n .u. 5:{rl: (x - l)r < 0
axr+bx+c<0 +{[-Rri, i.aginaria.. S: e; x, + 2x + 3 < 0
I Raiz real única: S =R, {r}; (x - t), > 0ax-+bx+c>0 +{
[-Raizimaginaria: S-R: xz+2x r3>0ax2+bx+c)0 -+
Raíz real, todo el eje numérico:S:R; (x-l)'?>0
Raíz imaginaria: S = R; x2 +2x+ 3 > 0
:;l:.L > -tr3nor
(x + 3)(2 -X)
2) Resolver por cualquier método las siguientes inecuaciones
a) x-2 > 1x L\ 3X+1 xx+4- x_2 b) ;;.ñc) x-1 < 2X - x r\ l-x3' x -X+l x_1 d) x+i+3x.0e) \.-". X+8 A X+4 x. 2
-s) -l-= =X-3 L\ .X'+4X+4 x2 -4
X¿ +4- X2 +X+4 h) , = '1!, lXX
i) I:2 x2 X2 +2X +3" X*2'X, *2 J)
->l-X3.6 VALORABSOLUTO
3.6.1 DefiniciónSeaX e R. elvalorabsolutodeX sedenota lXl yest¿definidopor:, , f x;paraX>o . (x,o"r.;ilolxl-jo;paraX-o o lxl=j
L -X ;paraX<O L_X ,paraX<0i-sl:s, lsl:s, lol =0, l6l =0"t".
3.6.2 Propiedades
l") El valor absoluto de un número, es un número no negativo lX I > O.2') T];i'_T ii;i]*t
de un número negativo, es igual at valor absoruto der mismo con signo contrario
3") Cualquier número ¡eal X, es menor o igual que su módulo X < I X I .4') Lainecuación lXf.", para a>0esiguala Iadobleinecuación -a<X<a.5') Lainecuación lXl rr, para a>0esiguala: X<_a v X>a,6) El valor absoluto de la suma algebraica de,varios números reales, es menor ó igual que la suma de losvalores absolutos de sus suman¿os lx + y I < lx I * lyf. -
Demostración sí X + y > 0 entonceslx *yl :xporranto l><ill i"ifiT'i?,RroRiedadx<
lxl vv < lvl'SíX iY<0, entoncesI x * Yl . - X - y,Rorlapropiedad(3
)setiene que:-x< l-Xlcomo l-xl='lxl \- '
-y< l-ylcomo l-vi,: i,"i,.r,on."s _X_ys lxl* lvl.Finatmente ix* yl< lxl+ lvl -
Esta propiedad se demuestrg para cualquier número de sumandoslX¡ f X:rX: F,...+X"t< lx,l, lxrl, lx,l_...+ lx"l.
7") El valor absoluto de la diferencia de dos números, no es menor que la diferencia de los varoresabsolutosdetminuendoysusrraendo lX _Vl > lXl _ lrf-Demostración:Sea t: X - Y despejemos X : y+ tSí
lxl= ly, tl < lvl , lrl pu.uroralprimernriembro lvl,lxl- lvl< l,lIxl lvl s ix-yl " lx-il;'lrr ryr queesroquequeríamosdemosrrar.
El valor absoluto del nroclucto. es igual al producto de los valores absolutos de sus flactores.lx.v.zl -lxl ivI lzr
56Números Reales
EFrEFEl"hPtsi|,,,itár,r,I}¡,rtIJ?nII?a)1'
Iqt,ttistt;))
-__l
Ei I alor absoluto del cociente, es igual al cociente de los valores absolutos del dividendo y del divisor.lxl- lxlivl
- Itl
El valorabsoluto¿" I lxl - lvl I < lx_vlDemostración
i*l= l(4-y)+yl< lx-vl* lvllxl- lvl< lx-ylde Ia misma manera con ylYl= l(y-41*Xl< lv-xlo lxlIvl- lx,l
=. lv-xlp..o l;,:x¡':'l_1x_v)l
enronces lvl- lxl<'l x_vl ' \rrsi en Ia inecuación 12) s¿mfi¿rnss de signolx-vl= lvl- lii-lx-vl= lxl- lvlFinalmenre de (l) y (3)-Íx-vl< lxl- lv'l i lx-ylqu.esetresultadode
Jx': lxl
lxl':r'IX | . ¡y I e X2 < y, (Cuando se trabaja con valores positivos)
(l)
(2)
(3)
llxl- lvll< lx-vlll')
1l')
l:lo)
Demostración
lxl. lyl e lxl lxi. lxl lvl
I txt txl . lxl lvl
It"ttvl,lxllvl(J l*l lxl.lxllvi\_1r I sumandot -l"l lvl._lxllvl
<+ lxllxl.lvllvlc) lxl,.lyl,€> x2 <y2
l-1'r IXI:, <+ X:-a v X:aGeomérricamentl en lT I :" iepresenta la distancia entre X y cero; es decircur,a distancia a cero es igual a a
" lxl lvl. ¡vllvlEn forma recíproca
X'.Y' .? lXlr. ¡y¡,<) lx l, - ly'I,. ' '
<> (lxi- lvl) (lxl u<) lxllxl ,-lxllvl_c) lxl,- lyl,.o€) lxl . lvi
lv l). o
lxllvl-lvllvl.o
lxl:u,Xesnúmero
\ ---a -+ S:A
i, >-a-->S:fra
\ <= X:-Y rz Y=\'
3.6,3 ProblemasResueltosl) Resolver:
a) lx-:l:sb) [x-: I .sc) o. lx-:l <sd) lx-¡l'sSolución:a) Geométricamente en lX - : I se representa la distancia entre
X es un número cuya distancia a 3 ei igual a 5.X y 3;esdeciren lX_:l:S;
JJItJtIIttttlx-:l:s
Gráficamente
<) X-3:-5<+ X: -2
x-3:5x:85
Geométricamente en lx - s | <5, X es unnúmero cuyadistanciaa3 es menorque 5.
lx-:l.s €) -5<x-3<sc) 3-5<X<5+3<+ -2<X<8
b)
c)
d)
0 ' Ix - : I ' 5, significa que X es un número cuya distancia a 3 es menor que 5, pero X nopuede seriguaia3 esdecir: O. lX_: I <S, Xr.3
Gráficamente
Geométricamente en5.
lx-:lrs €)c)
Gráficamente
v X-3>5v X>8
)BX
lX - ¡ | > 5, significa queX es unnúmero cuyadistanciaa3 esmayorque
x-3<-5x<-2
2)
a)
c)
e)
c)i)
k)
m)
o)
q)
b)
d)
0h)
i)r)
n)
p)
r)
NorA'- Los números 2 y 8 no son elementos de los intervalos que se discuten en los casos b, c y dR'esolver:
lx'-:l:zlzx - rl _,lx+rl
-'llx-rl-zl:rlx-rl*lz*3xl:z
lx'-zl:q*zxlx*ll,-:lx+rl-+:o
I I -:xl *:xl :+x2 + 4x+ 3l * lzx, *./x+ sl : r _x,
l:x-¿l:12
lx*lx+1ll:s
l-x'+zx-31 : t +2xlzx*rl-lx-31:rslz*xl :r-zxlx'+tl:lzx-:llsx*zl : r -xx'-slxl+o:ox'- lxl-o:o
58Números Reales
Solución:
a) lx'-:l:z
b)l' I.;x -41= 't"'- 'l- 2 e
La solución es: S :
e) llx-rl-zl=r
<) x2-3:-2e) X2= 1
- I-Resolvemos las ecuaciones I y II
I) X2:l e lxl:t éD X2:5 <+ lxl:Js .-'
Portanto la sclución es: S : {_J5, _1, l, J5}
v X2-3:2v X2:5u-
X:-I VX:- J5 V
X:1x: J5
3x-4 = 12
q3X =:
2
2
3X-4=-l2
3x=12
x=76
lt 3lIA''I
2X-r<_> =-lX+l__-r-I) 2x-l
--=_lX+1
Resolvemos las ecuaciones I. IT
I) 2x*1, -.-
= _1X+l
II) 2x-l_*tX+l
II) 2x-t, --=tX+l
v X+ lx*t l=s
" lx+rl:s-x_--il.-
<-) 2x-1 :_x_l+> 3X :0
X :O
t, lx-rl-z:-l ve lx+tl- r vI
s 2X-l :X+l<-> X :2
d)
La solución es: S : {0, 2}
lx' ¡¡.,,¡ ¡--, *-, xn lx.rl--slx*r ¡: -, - ,
-___Tl-I) lXnl I : -5 - x : -(5 + X) (por definición no es posible)
II) lx*tl:5-¡ .-, x+l :-5+x v X+t:5_*<-> 1=-5 v 2X:4
A v x:2Consecuentemente la solución es: S : {2}
lx-r I -z= r
lx-rl::II
Resolvemos las ecuaciones I y II
<+ X- l:-l+> X:0
x-l:lX:2
t.J=:ra Superior
t) lx-rl-l
59
r) Ix-rl=: <+ X-1:-3x: -2
v X-1:3v X=4
Por tanto la solución es: S : {_2, 0,2, 4}
l-x'-rzx-31 , : r+zxl-«x'-2X+3¡l :l+zxlx'-zx*tl : I*zx +> x2-2x+3:-t_2x v
+> X2+4:6 v+> X2 =-4 v+> imposible v
xz - 2x +3 :1+2Xx2 -4x + 2 :o(x-3,4XX_0,6):0X=3,4; X:0,6
La solución es: S : {0,6 ; 3,4}
c) lx-rl*lz-zxl=zPara resolver esra ecuación hacemos lo siguiente:1) Eliminamos los_valores absolutos por medio de una tabla.
', |;',:T*"mos las regiones en la iabla, y
"**";;;;; ri, ,igno, de ros sumandos en cada3) Se resuelve la ecuación en cada región.Solución:I') 2") Las regiones son:
)-*,?); ¡?,r1;¡r, *¡
r--, ;r, lx- r I :-G- r); lz-:xlt3',1, l, - , | :-G- r); lz -:xltr,*[, lx _ I I : +(x _ r); lz -:x I3o) Resolvemos las ecuaciones de cada región.
En ]-"o, 2 ] se tiene:
3 En [3, lJ se tiene;
-X+l+2-3X:2 3
-4X :-l -X+l-2+3Y:2
x=l 2X:34x=l
1 -. 2pero
; é t í . 1 I, por tanto la solución en esta región es Z
En [1,co[ se tiene:x_ I _2+3X =2
4X :5x =¡
Finalmente la sorución ., ru,Írio, de los puntos obtenidos en cada región, es decir:.: Il 5l" 14'71
h) lzxntl - lx-:l - rs
I")
-ó i 1co
-- -+ 3 c¡
2")
l--. =l
I. I zx*l I : -tzx* r lr I x_: I2
t],:1, lzxn tl :zx+ l; lx -: I2
[3, *[, lzx*11 :zx+r; lx-:l
:2-3X
= -(2 _ 3x)
:-(2-3X)
: -(x-3)
=-(x-3)
:x-3
60Números Reales
3')En]-co, _t1
2
-2X-1+X-3:15-x :19x :-19
En [3, oo[
2X+1-X+3 :15X : l1
La solución total es: S : {- I 9, I I }
l:x'*2x-81 - lzx'+7X-51 : 1
l1:X.¡' + 2(3X). 24 (2X\2+7(2X)+l0iI 3- ,-,- - i-t -'l"i)l
lr3X+órr3x-{¡j r(2X+5X2X+2)ri l-l , l='l1x+z¡(3x-4)l - ltzx+s)(x+1)l :r
1') Eliminamos los valores absolutosutilizando la tabla
xl=-1, Xz= -2, X¡: -1,
-co -+ -2 -1 1 ooZ1
x+1
Pr:(X+2)(3X_4)P2: (2X + 5) (X + 1)
3") Resolvemos la ecuación en cada región..En R, : ]--, -i ](x I 2)(3x - 4) - (2x 15)(x + l):3X'f2X-g-{2{,+7X+5)3X' ,2X -g-2x'_7X_ 5x2-5x-13-lx2-5x-14(x-7)(x+2)x--2,x=7La solución es el conjunto vacío, ya queninguna de estas raíces pertenecen alintervalo l--, -i l.
l- 1, :1 entonces la solución en esta región es el conjunto vacío.2
En [-1,3]2
2X+t+X-33XX
=15=17:17;
Jl7eJ
x^:!J
2")
l-*,]1, lp, | :p,; lp,l :p,2
L*-1, -zj, lp, I :P,; lP,l :-p,2-
l-2, -11, lp, I : -Pr; lP,l :-p,,r, 1,, lp, I : -pr; lp, | : p,
t1.-t. lp,l:P,; lP:l =p,4
En Rr: l-* ,-zl(x+ 2¡(3X-4) + (2X +5)(X + tt= I
3X'+2¡-8+2X2+7X+5 =l5X2+9¡-3 : I
I:l:l:0:0=0
5X2+9Y-4 =0
,_ -qtJsr*so = 2l.u/iet _ -s t12.6
l0 t0 10
,_ -9r 12.ó - -9-12.0, ^=.----10 10
x:0,36 , x:-2,17
ilgebra Superior
En esta región 0.i6 e [-= . -f ]
61
En&:L-2,-1)-(x 1z'¡ (3x - 4) + (2¡ + 5) (X + l)-(3X'+2X-8)+2X2+7X+54X¿-2X+8+2X2+7X+5-l-x2+5x+12x2 - 5x- 12(x - 6,77) (X + 1,77)X:6,77 ; X: -1,77En esta región 6,77 e l-2, -l)En Ro: t-1,+ l-3x2-2x+B-2x2-jx-5 = I-5x2-9x+3-l :o-5x2-9X+2 :o5X2 +9y-2 : o(5X)2+9(5X)-10
5
(5X + 10) (5X _ l)5
x: -2 , x: +:0.2
Pero -2 e t-r,]J
En la figura se observa que: -
lx'-zl=q*zxlx'-zl:q*zx
1 -2X> 0 t [2+X : -(l -2X) v2 + ¡=+(l _2X)]-2X>-1 ^f2+X:- t + 2X v 2+X: f _jXl
I
^rr^(-X:-3v3X:_t)I*=;n(X-:"x=-]t
, - l*,;],entonces
la solución *, r :{-;}
En R5: [1,-[3X2+2Y-8-2X2-7X-5x2-sx-t:x2-5x-14(x-7)(x+2)X:7 , X:-2pero -2 e t1,*tLa solución total es:
S : {-2.17; -1.77; 0.2:
=l:l:0-0:0=0
:l:l=0:0
=0
=0
7l
jl lz *¡l:l*zxlznxl =t- 2x e
_13
I I 1ll=.1--'r] '
k)
4+2X > 02X>-4 ¡X>-2 A
X>-2 A
X>-2 A
I JX'-2=-t++ 2X)vX2- 2-- r(4rZX)l[X' 2--4-2x v X2-2=412X1(X'+2X+2:0 v X2- 2X*6 :O(No tiene solución en R v (X + l.6XX _ 3.6)(X: -1.6 v X:3.6)
Ambas raíces pertenecen a la región, es decir {-1.6, 3.6} e n_2, *,f, entonces:s : {-1.6, 3.6}
lx'+ll= lr*-31. s.aplicalapropiedad: l.l : lbl e u:-b v a:blx'.11-lzx:l -r: ;i=:i;;"rj ,,x,-'r :,1ix_:jc> X: t 2X-2 =0 v X2 2X+q-_O'<> (X + 2.73)(X - 0.73): 0 v No tiene solucióne X--2.73 v X:0.73s: {-2.73,0.73}
62Números Reales
n) l:x*zl:r-xlsx*zl :r-x <+ l-X>0 n (3X +2-_1+X v 3X+z:1_x)
é -X>-l n (2X:-3 v 4X:-1)c) X<t n1X:-1 v X=-lt2 4'
s = f_l _]Jl2 4)
I I r -:xl -:xl =¿
<3
I) lt*¡xl::x-¿
o)
Ix- r l'-:lx+ tl -+:0. sí lx* r I :t,entoncesr-3t-4=0(t-4Xt+1):0t:4 v t: -llx*ll=a,rlx+rl:-r,lX+1¡ =4 a X r-¡:-4 v X +t:4
eX:_5 v X:3s : {-5, 3}
jr +:xl -3x:-4, lr+3xl -3x=4I t +:xl :-¿*:x,
_l i" jit :l.rx
I ---L.---<+ 3X-4> ¡ (l+3X:-3X+4 v l+3X:3X_4)<)3X>4 n(6X:3 vt=-4)
¿-1<+ X> - "tX=- v F)l)
c> X> 1 ^ ,*-l 'a ,)
lX * I I : -1 No riene solución
+3X=q+3X)
1423
II)
St: A
It*3¡l :q*3X e 4+3x>0 n (l +3X:-4_3X v I<+ 3X>-4 n (6X=_5 v l:4)
.<] x--+^(x:-: v F)36€) x=-1 ,'' (X---5r
3 6',
_56
I' sl1- uJ' entonces la solución total es:
= J 5ltel
_13
Su=
S=S¡ u, S11
63
p) x'-slxl+o:ox'-slxl *6:o e -slxl: -6-x,
e slxl:e +x'lSXl:O+X' <+ 6+X'>0 n (5X:-6-X2 v 5X:6+X2)
€) R n(X2+5X+6:0 v-X'+5X-6:0)<) R n ((X+3Xx+2):0 v (X-3XX-2):0)<+ R ^(X:-3vX=-2 v X:3vX:2)
S: {-3, -2,2,31El mismo ejemplo se puede resolver al considerar lX l': X'lxl'-slxl+a:orlxl -¡x lxl -zr:olx I : : " lx I : z. Al resolver en forma simultánea las dos ecuaciones se obtiene:X:-3 v X:3 v X---2 v X:2; portanto S:{-3,-2,2,3\
lx' + +x+ 3 I - lzx' -7x+ 5l : r -x,l6+:¡x+l) l- l(zx-5XX-1) l:r-x,Estructuramos una tabla con las raíces de cada sumando, para luego resolver por regiones
-o-3-1 15/z*
En R, : [-1, l]. Es el resultado de la primera región; X : € R¡ .'. sn,: f¿IUlJ
EnR": I -X2
q)
En R1 :l-*, -3], X2+4X +3 *2Xz +7X-5 : I -X2-X2+llX_ 2-l_X2llx :3
x=1e n, Snr:Zll
En R, : [-3, -l], -x2 - 4x -3 _ 2X2 + 7X-5 : I -X2-2*+3x-9:o2x2 - 3x + 9: oNo tiene solución en R :. Sp2: A
"- Sn+: O
€ Rs .'. Sp5: Z
-)
11
¡,;], x2 +4X + 3 + 2x2 *7x+ 5 =
r)
4X2 _ 3X+ 7 :0. No tiene solución en Ra- r
En R, - I l. -l Es el resultado de la primera región: X - 3- L2 L -- '- r---'--'-'-D'--" . I IFinalmente la solución total es:
S : S*, U S¡2 t-t S¡¡ \J S¡a t-.,Sns - 11)Lltl
x'- lxl-o:ox'.- lxl-o=o <+ (lxl-:x lxl*z'l:oe lxl-::o " lxlnz:o
<r lxl:: v lx I :-z<) X: -3 v X :3 v No tiene solución
s : {-3, 3}
3) Resolver:
.,
-<Jlxl
Iz*llrrtxtlx-zl
c)b)
e)
h)
a)
d)
c)
lr-rl= u13 I
lx-rlt_t <4lx+21
Iá* rl, ,12 I
I:x*+l=s
lx+ l-xll.z
> 1/10
64
lsx - zll_l >llX+6 |
Números Reales
flx+al< e (r) I sx-z k) )
I x.e't 1
m) lzx-:l<t-zx n)
p) lx*:lrzx q)
Solución:
l*'-,1 . ,
lx+zl4--<0x-2
lx'+zl.:x-x'-3lxl*r
Estos ejemplos se resuelven por medio de las propiedades
ll-J.e e-6 =L -z=ol: l-' 3
l) lz*:xl.x*t
o) lx*sl )3X+1<o 0 x'+zlxl -+<o
lxl." y lxl ''a siendoa>0.
S: l-12,241a)
<+-6 + z<L <o+z3
<+-+< I <s3
<+ -72 <X<24
b) l:x*+l.g <)-8<3x+4<8<+ -12 <3X < 4
1, -12¡¡a 4
33
c) l.r-111.,lxl lxl
lrl
lll. ¡.-> -3.1.llxl x
Aquí apareció un sistema de inecuaciones.
Solución de I)
l-:-+3>0x3+3X_>0
X
Sr: l--, -lI u ]0, cc[
51 :51 nS¡1
Sr:l--,-1[u]l,cc[
1:_J<0YI -3x=..-<0
x
-a0
s : l-4, 1rJ
[" ]'-:
t,, f.:Solución de II)
-r-i0¡
-i.- +3 + ii.
.{leebra Superior
Srr : ]-"o, 0[ u ]1, co[
65
d) llll= 4 <-> -4= X-l
= o
lX+ 2l X+2
Escribimos en forma de sistema.
frl X-1,-*I x+z1rl X-r.4L X+2
Solución de I)
x-l_> _4X+2x-l_+4>0X+2X-l+4X+8
->0
X+25X+7
->0X+2
Solución de II)x-1
-<4X+2x-l____4<0X+2x-l-4x-8_<0
X+2-3X-9_<oX+2
-iX+9_>0X+2
Solución de IIlxl <z-X <+ -2+
[-z+xlX (imposI 2-X>X ." 2Ix
Sr: l-"o, -2lw [_!,al5
-ó 31
e)
Su: ]--, -31 u l-2, co[
51: S1 n S¡
Sr:l--,-3lu[-{,"o[ _1-5
lx* l-xll.zlx* ¡¡ll <zlx* ¡¡l I <z <+ -2<x+ lxl <z
<+ -z-xslxl.z_xEscribimos en lorma de sistema.
a
l,rl lxl>-Z -X (imposiblepordefiniciónypropiedad 5o,severificaVX e R)I[ru lxl<z-x
x<ible )>2X<l
X < 2 - X. Tenemos otro sistema:
-+ co5
-q -2
66
S: ]-co, 1]
Números Reales
ft - 5 l2X+51:+-t>t++ i>lxi i x l-:X+51 - 2X+5
-l
¿l (-l rzxl xI
Solución de I)
2X+5_<_lx
2X+5_+l<0x
2X+5+X_<0x
3X+5_<0x
Solución de II)
2X+5-.->lx2X+5__l>0
x2X+5-X
-->0x
X+5_>0X
Solución de I )
5X-2
--<_1X+65X-2
-+l<0X+65X-2+X+6
<0X+6
6X+ 4_-<0X+6
2X+5_->lxII
Sr: ,0[
Su : l-.o, -51 u 10, co[
r-:J
c) l¡2
Sa: S1 u S¡
Sr : l-"o, -51 u ¡-5, 0[ u ]0, co[-1
+ll>z <+ x+7 <-22
x <_g2
x<-18
S : l-*, -18[ u ]-10, oo[
Isx-zl 5Y-)I__l >[++"_. -<_l vI x+ó I X+6- I-
-6-50co
x+7>22
x >-52
x>-10
-18 -10
h) 5X-2--->l
Solución de II )
5X-2-->1X+65X-2__l>0X+6sx -2-x -6..-.
---__-.-->0X+64X-8-->0X+6
iige'ora Superior61
-a-co -b -á o
')S,:l-6, -i I
3
Sr: Sr u Sn
Sr : l-"o, -2/31- l-6\ u 12, o[
lx-zl> I <)x-2<-1l0 10
+> X<2-lvl0
e x<19 vl0
S:l-ó,9l..rt ?1,*l10 l0
El sistema inicial se ha transformado en:
Solución I)x+4 >-gx >- 13
S¡ : l-13, co[
Solución de III)5X-2_>lX+6§Y-)X+65X-2-X-6
X+64X-8_>0X+6
Sr:Sr n S¡ nS¡1
Sr:l-13, -6[w]2,sf
Sn: l-@, -6[ u ]2, co[
-6
x-2> 1
10
X >2+
x >21l0
_2 03
I10
1,9 2710 10
i)
flx,a¡.0 l-o<X+4<elsx-2,, " '1 5x-2>lLX+O [X+6
f»
tIt,
x+4>-gx+4<g5X-2
-->lX+6
Solución II)x+4 <gx <5S¡¡ : ]-co, 5[
>0 Frac.
68
Snr : l-@, -6[ u ]2, co[
Números Reales
k) /I lr, -,1I l____t < I
I lx+zlI o .nI Y-?\ -'
Transformamos el sistema en: I
tSolución de I)
x2 -l_>_lX+2x2 -l +l>0X+2x2 -l+x+2
-_>0
X+2X2 +X+l-_--->0
X+2
Solución de II)
x2 -l_<lX+2x2 -l__l<0X+2x2 -1-x-2
--<0X+2
x2 -x-3---<0X+2
(X+0.3XX-3.3):-__-i-t_____ < 0X+2
Solución de III)
4_-<0x-2
Sr: St n S¡ n S¡¡
sr: l-0.3, 2[
r)
r)
nr)
x2 -l_>_lX+2x2 -l_<lX+24-_<0
x-2
-úJ -2 ó
Ya que X2 + X + 1 > 0, Vx e R, entonces:S1: l-2, co[
-q -2 *0.3 3.3 co
x + 0.3
x - 3.3
x+2
Su: l-.o, -2[ u ]-0.3, 3.3[
-@ 2 m
S¡1 : ]-co, 2[
l) l2+3xllz +:x
I
<x+ I<x+l <) x+l>0
<) X>-1 ¡
<) X>-1 ¡
€) X>- l n
a[-(X+1)<2+3X<(X+lX(-X-l<2+3X<X+l)
lz+zx<X +l
Iz+:x > -x-l
{zx<-tl+x , -:
iieebra Superior69
r
<f X>-l ¡l*.-1)2lr, -ll+
I _34
_1 02
m) lzx-zl <r-zxlzx-:l <r-2x é
<+
t: {r.*,-1.*.-;}
l*2x>0-2X > -1
x=-!2
x=12
,= f2
a
¡ [-(l -2X)<2X-3n (-l + 2X<2X-3
lzx-z < l-2x" tr*-3>-1+2Xn {+x<+
|.-3r-l¡A
[-3x<x2+2<3x]
[xz +z <sX
lx2+z>-:x
fx'-:x +2 <o
lx2+:x+2>0I f(x-2Xx-t)<oulfx+2Xx+l)>o
Tabla II
< +(t _ 2x)l<1-2X
n)
S=A
lx'+ zl . sxlx'+zl.¡x €) 3X>0 ¡
X >0 n
X >0
X >0 A
Tabla I
-óL2@
-2 -lS-{X eR/l<X<2}
lx*sl>3X+1lx*sl >3x+1 e X+5< -(3x+1) v
() X+5<-3X-l ve 4X<-6 v
<] X < -l ',2
S:{XeR/X<2}
-6 2-l
o)
x+5 > 3X+l-2X> -4x<2x<2
70 Números Reales
p) lx*:llx+3 i
>2X>2X €)
.g
a
S:{XeR/X<3}
-x'-:lxl+t<o-x'-:lxl+t<o
l:xl > l-x2 <+9
.,9
9
Tabla I
-o -0.3 3.3 o
x - 3.3
x + 0.3
S:{Xe R/X<-0.3v X>0.3}
x2+zlxl-+<ox'?+zlxl-+<oe>lzxl aa-y' ;
<> [-2,2] n
Tabla I
-ú -3-2 L-2 @
x+3.2
S:{XeR/-t.2<X<1.2}
X+3<-2XvX+3>2X3X<-3 v -X>-3X<-l v X<3
c> -3lXl<-r+x'c> 3lxl > r-x,3X< -(1-X') ''r 3X>l_X23x<x2-1 v 3X+x2_1>0-x1*:x+l<o v X2+3x-1>ox2-3x-l >o v X2+3x_l;ó
(X-3.3XX+0.3)>0 v (X +3.3XX_0.3)>0
' ,rbl" 1Ir
q)
r)
zlxl <q4-x2 >(2 * xx2
[-2,2) t
-x20 ,^. [-(a _ xr) < 2X + (4 _x1]+X)>0 a (-4 +X2<2X<4-Xr)
[zx<+-x,[zx > -++x,t [tx+].2Xx -t.2)<o¿ '-tt [1x -:.2.¡1x + 1.2) < o
Tabla II
-o -3.3 0.3 o
x + 3.3
w -\.2 J-/ @
Y- ? a
x+7.2pf
i,geb'ra Superior
Observación.- Cuandoseaplicalaspropiedades: lXl :u, lXl.uV lXl >aparaa>0,sedebe considerar lo siguiente:
Aclaración para los ejemplos q) y r)-X2-3lXl*f <0. Pordefinición lXl':X2, entonceslainecuaciónsetransformaen:- I x I ' - ¡ I x I + 1 < 0, introduciendo una variable auxiliar I X I : t, luego:
I rl
It+'l>1.8 cr t*j.-1.8 v t+1rr.81 ?l ) ')| -l
-t2_ 3-t+l<o
t2 + 3t* 1
(,.;)'
I ¡\2It+- |I )lI :lIt+- >
)l
>0
_! =,4
13>_4
,rilt-\+
S-{XeR/X<-0.3 v X>0.3}xz+zlxl-¿l¡1,+zlxlentonces
f2+2t-4<0
(t+l)2-5<0
(t+l)2 <5
It*rl<JlS:{XeR/-1.2<X<1.2}
Resolver:
Solución:a) lx-zl.:lx+zl <+
c> -3.2 <t< 1.2
It <t.z* 1; , _;, reemplazando t = ll
X It'- "'-
[lx l< r.z
[|xl>-:.2
[l x l< r.zHln.+ lxl<r.z
€)t<-3.3v't>0.3
e lxl <-:.: ., lxl >0.:
e a v lxl>o.s
e lxl>0.:
<> X<-0.3 v X>0.3
10. Aplicando el mismo razonamiento del ejemplo anterior (q)
-4<0, si lxl: t. lt*tl<2.2e-2.2<t+t<2.2
4)
a) lx-zl<:lx+zl b) lzx-sl .lx*+lc) zlzx-:l.lx+rol d) zlx+olrl:x-rlEstas inecuaciones se resuelven usando la propiedad ( 13' )
lxl.lYl<->x2<Y2
lx-zl. l:x*ztl(x-2)2<(3X+21)'zX2-4X+1 <9X2+126X+441-8X2 - 130X - 437 <08x2+t3ox+437>o(X + 4.75) (x + 11.5) > 0
I
I
I
I
I
I
xXXxXxxx
: a. Cuando a> 0y además constante:a c) X:-a v X:a: a,. Cuando a,2 0 y además es variable:& <3 &,)0 n (X:-a" v X:a,)<a. Cuando a>0 y ademásconstante<a (3 -a<X<a< a,. Cuando a" > 0 y además es variable<a., <+ a, >0 n (-a,,<X<
Xl>a. Cuando a20 y ademásconstanteXl >a <>X<-a v X>a
lx | , u,. Cuando a,2 0 y además es variablelxl ru" <+ X<a, v X>a,Se aplica indistintamente sólo la propiedad, comosi fuese constante
)l 10
24
x + ll q
72 Números Reales
b) lzx-:l.lx
zlzx-tll+x-o I .
+al<+ 1zx-s¡'<(x+4)2é 4x2-2ox+25 < x2+gx+16c>3X2-28X+9<0
., (¡x)'-zs(¡x)*zz.oJ
e (3X-27XX_l)<o3
<)(X-9)(3x-1)<0<+(x-9)(3x-1)<0
.lx*rollx+¡6¡€ (4x - 6)2 < 1x + t6¡2
€) l6x2-4gx+J6 < X2 r20x+ I00<+l5X2-6gx-64<0<)(x+0.8)(X-5.3)<0
S : l-*, -l1.5[ u ]-4.75, al
-co -0.8 5.3 o
-q -2.2 13 q
':ri,,rc)
d)
-0.8 0
s : l_0.8, 5.3[
zlx+ al ,l:x- ll crl¡x- rl .zlx ,ol<+l:x-rl.l2x+t2le (3X - t)2 <(zx+ tz)z<> 9x2-6X+1 < 4X2+43¡a1 14<>5X2_54X_143<0€) (X _ 13) (X + 2.2) <0
l) Resolver:a) lr-xl- lzx n¡lc) lx'-¡x-zl rlxe) lr-xl-lzx+31Solución:
s:1-2.2, 131
z- lxl* lx+zl,¿lzx-sl-lx'ql*lq-xl,z
<7+41<s+ lx+zl.s
b)d)
a) lr-xl-lzx*:l<z1') E.liminamos los valores absolutos a través de la tabla_
1-€ -- I 6)-
r-"1*14-r2x + 3 I -o t I * l___ t. I
_o13
9co
/1
2) Sacamos las regiones con sus respectivos signos, para reemplazarlos en la inecuación enel tercer paso.
l-*, ll -+ lr2
-xl :r -x; lzx+sl : -ex+3)
t],rl -) ll-xl:l-X; lzx*zl :zx*:2
[r,-[ -) I r -xl :-(t -x); lzx+El -- zx*t3") Resolvemos la inecuación en cada región.
En R1 :l--, :31; I -X+ 2X +3 <72..
Este resultado lo intersecam", "", J;¿rvalo de la región.
s,:l-*, -3I2
En R2: tl, ll2
1-X-2X-3 <7-3X <9x >-3
s2 - [-3t2, 1]
En R3 : [1, co[
-1 +X -2X-3<7-Xx
53 : [1, co[
< 11
> -11
b)
La solución total es launión de las soluciones, es decir 31 : Sr u S, u S,Sr: l-oo, :]l r., [], t] u [1, co[: R))
z- lxl * lx +21>+ *-lxl + lx+21>2l') 2")
-q-20o)-*.-2[;lxl :-x: lx+zll-2. o[;lxl :-x; lx*zilo, *[; lxl : x; lx*zl3) En R, : l-*, -2[
x-x-2>20 > 4 absurdoSt: AEn R, : l-2, 0[x+x+2> 22X> 0x>0
:-(x+2)=X +2=X+2
74
sr: o
Números Reales
c)
En R3 : ]0, co[
-x+x +2>22 > 2 absurdo
St: ASr=Sru52US¡:A
lx'-:x+zl+ lx++l1")
<: <+ lG - 2Xx - l)l2")
lx+¿l<s
l-*, -+l; lP I
t-a, tl; lPlI t, zl; lPlI Z, "o[; lf I
:-(x+4):X+4:X+4:X+4
=P;=P;= -P;=P;
lx*+llx*+llx*¿llx++l
P:(x-2)(x- l)
3o) En R1 : l-co, -4]x2-3x +2-x-4 <5x2-4x-7 <o(x + 1,3) (X - 5,3) < 0
-4 -1.3 0
St: AEn R2: [-a, l]x2-3x+2+X+4 <5x2 -2x+ 6
x2 -zx+ |(x-lFA esta inecuación verifica el intervalo [], l]
Sr: [, 1] n [-a, l]: [1, l]
En &:U,21-x2+3X -2+X+4 <5-X2+4X-3 <0x2-4x+3 >o(x-3)(x- l) >0
Sj : [1, l]
En Ra: [2, co[
x2-3x +2+x+4 <5x2-2x+l <o(x-l)' <0I <X< 1 (Propiedades de intervalos)
St= ASr : Sr r.-r 52 r.-r S-, ur S¿ : A w fl,1l v [, \w A= tl, I'l
-co -1.3 5.3 co
-co 7
x-3
<0<0
Aleebra Superior 75
d) lzx-sl - [x* ql + lq-xl 'zl")
2")
l-*, -41; lzx - s I
[-4,5/2];lzx-sll5/2,41; lzx-sl[4, *[; Jzx - s I
: -(2x- s); lx + + I
= -(2x- s); lx + + I:2X-5; lx*+l:2X-5; lx*+l
=-(x++l; l+-xl- x+4; l+-xl- r+4i l+-xl- r+4; l+-Xl
:4-X:4-X-4-X:-(4-X)
3') En R¡:l-co,-4[-2X+5+X+4+4-X>2-2X> -ll
llx<-2
Sr = ]-"o, -4[En nr: ]-4, I I)-2X+5 -X-4+ 4-X>2-4X > -34X <3
x< -4
Sz : l_4,
En &=l1,+[2
2X-5-X-4+4-X>2-5 > 2 absurdo
St: OEn &:la,-[2){-5-X-4-4+X>22X>15x >15
2
s,=l f .*tSr : Sr u 52 r-.r S: u S¿ = l-*, -a[ w]-4,3141w A w, f , *,Sr: l-ú, -4[ u ]-4, 3ta[w] ],-t
lr-xl- lzx*:l+ lx+zJ.s1)
-q-2 J 1 m2-
;t
-4§?
e)
I a oo-ú -4
76Números Reales
2')
l-2,1t; lr-xl2
I:1,It; lr-xl2
11, *[; lr - xl
3o) En R1 :]-oo,-2[
I -X+2X+3-X-2<52<5
Sr:Rr
En & :1-2, -1[2
l-X+2X+3+X+2<52X<-lx.-l
2
S, = l-2, -1 t2
En R3 = I -1, lt;2
l-X-2X-3+X+2<5-2X<52X >-5
2
Sr:l_;,ttEn &=ll,-[;-l +x-2x-3+ X+2<5-2<5
Sa: ]1, co[
Sr : Sr u 52 u 33 tr Sr: Rr \-/Sr: R
Resolver:
7'*,-21; lr-xl lzx*:Ilzx *: I
lzx +: I
;lzx*:l
-(2X + 3);
-(2x + 3;'
2X+3;
2X+ l;
:1-X ;:t-X;
:t-X;=-l+X
lx*zllx*zllx+zllx*zl
-(x + 2)
x+2
x+2(x-2)
6)
R2uR3ufu
lx -zl-:a)
d)
px-zl-lo-xl _"_:J r-lx-rl
trH#>lx+zl
b) It-xl+l:+zxl > 2 c) llxl .lr * ,ll_lx_ll , ,
Solución:
a) px-zl-lo-xl _ ,
-i,
r*lx - rl
1') Determinamos los valores que reducen a cero al denominador, puesto que la división porcero no esta definida.
r-lx-ll*o o-lx-ll*-rsilx-rl:r : li,']]r1'',
x-r:r<> X:0 v X:2
e) lx+rl'+lx+rl-o<o 0 lx-:1'?+olx-:l+s>16
{igebra Superior 77
Lueso:l-[x-ll+o eX+o¡X+2
3") Sacamos las regiones y los términos con sus signos, para reemplazarlos en Ia inecuaciónen el siguiente paso.
:-(3x-zt; lo-xl :(6*x); l*-,1 =-(x-r)=3X-2; lu-*l :(6-x); lx-rl:-ir-,t=3x-2; lo-xl :io-xl' ix-ri :i-r:3x-2; lo-xl :-(6-x); lx-rl:(x-1)
haciendo intersección con el intervalo ]--, ? I - {O }
-"o-| o of
-o086
<0
_4 0 z53
!u
2") Eliminamos los valores absolutos a través de la tabla.
l-oo,2/31 - {0}; llX-z[2t3,1]; lzx - ztr,6l - {2}; lsx-z[6, -[; ltx-z4") Resolvemos la inecuación en cada región.
En R¡ :l-oo, ?l - tOl-)
-3X+2-6+X -.
--:J
l+X-l-3X+2-6+X
-3<0x-3X+2-6+X-3X
x-5X-4-.--<ox5X+4_>0
xBuscamos S¡1,
Snr = l-oo, -11 u 10, 2153
EnRr:[2,1]3
3X-2-6+X _.
---SJ1+X-l
4X-8X
4X-8
-_J<0
X4X-8-3X
-_<0
xx-8 <0x
Buscamos S¡2, haciendo intersección con el intervalo I1S*r:['.ll,
78 Números Reales
:; R.: Li,6l - {Z};
r\ - 2 - 6 + X
-
<1l-X+l
.tx-81J
2-X4X-8é- i s u2-x4X-8-6+3X-,.,
2-X?X - 14 <U2-x-'1t2-X) ^<U2-x-7 <0
Cómo la proposición es verdadera, por tal razón la solución es Ia región:
Sn: : &rr = Il, 6l - {2}En R":[6, -[3X-2+6-X -"
l-X+12X+4 ,----<
J2-X2X+4 _.J<U2-X2X+4-6+3X -^
2-Xsx-2-'--<(,2-X
S¡a : [6, co[
S.r: Snt L, SR2 L-, S¡3 tl S¡a
-l-*,+l ul0,¿lu [2, l] u [1, 6] - {2} u [6, co[
533: l--, -a I u 10, .o[ - {2}
5
h-xl+l¡+zxlt | | t >2lx - zl-r
1") Determinamos los valores que reducen a cero al denominador'
lx-zl-3+o <> lx-zl+¡ri lx-zl -¡ <= X-2-3 v x'2=3
<.> X: -1. v X:5Luego:
lx-zl -3+o <+ X*-1
02 25
b)
,r X+5
2") A través de la tabla eliminamos los valores absolutos '
-- -: t 2 co
-co Z 2cñ
ilgebra Superior,19
3") ff;:*
las regiones; con los signos de los sumandos para reemplazarlos en el siguiente
l-a, -312[;
l-3t2,1[;11,2f;12, co[ - {s};
:l-X;=l-X;: -(1 - X);= -(l - x);
4") Resolvemos la inecuación en cada región.En R, :]-"o, - 3
12-t-x -3- 2X=__....--->?-X+2-3-3X-2 \,-l-x
_ lt¿ _,
-l-x-3X-2+2+2X
_l_x-x--->0-1-X
x_->0l+X
S*, = l-m, -3 ¡2'
en Rr:1:1, l¡2'
l-X+3+2X>?
-X+2-3X+4
>7-l-xX+4__2 >0-t-x
X+ 4+2X+2.....->0-l-x
3X+6'-.->0-l -x3X+6--.-<0X+l
:l(3*zxl; lx-zl =-(x-2)=3+2X: Jx_z,l =_6_2)= j3'2x): lx_2[ =_Á_2)=3+2Xi lx_zl =X_2
l-xlI -xll-xl1-xl
l:*zxl3 +2Xl3+2Xl3+2Xl
En R3:11,2[-l+X+3+2X- --- r )
-X+2-3 "3X+2
-ó-1 0 m
-6 -2 -1
Sn::]
3X+2+2X+2
-i .,,
-l_x5X+ 4--->0-l-x5X+4.--<0X+l
-+ --co -l
80
>0
Números Reales
c) #=x.r¡*fr-lx+zl<o
Sn::Z
En Ra:12, *[ - {5)
-l+X+3+2X_> Ix-2-33X+2x-5
-@-72 5 o
-a. -2
>2
o zlxl-lx + zl(r -lx - rl). o
I -Jx-rl
e lx-ll+t<) X- I =-l v X- l:1<+ X:0 v X:2
<+X*0 ¡X+2
3X+2-2X+10>0x-5
X+12_->0x-5
S¡a: ]5, co[
Sr: Snr u S¡2 u Sq3 u S¡*Sr:l-.o, - 3 [r.r] _ 3 ,-1[u]5,m[22
3X+2__) >()x-5
l')t-lx-tl,.osi lx-rl:rLuego:
l-lx-rl+o
3") Sacamos las regiones.
2") La inecuación se a transformado en:
zlxl- lx + zl+ lrx , zxx - lil . or-lx-4Hacemos la tabla:
l--, -21;
l-2,01;10, 1l;
[1, co[ -{2};
l1x+:.¡(x- t)llix+21(x- r)ll1x*z¡1x- rrlItx*zr(x- l)l
lxllxllxllxl
:-x; lx+zl :-1x+2); lx-=-x; lx+21 :(x+2); lx-=x; lx+zl :tx+2); lX-=x: lX+21 (x+2); lx-
: -(x - l);: -(X - l);:-(x- l);=X-1;
: (x+2)(x-r):-(x+2)(x-1):-(x+2)(x-1): (x+2) (x - l)
{lgebra Superior
4o) Resolvemos la inecuación en cada región.
81
En R1 :]-co, -2]
-2X+X+2+(X+2XX-t)-nI+X-1
-X+X2 +X-2+2
.<0
<0
En R, =[-2,0[
-2X-X-2-(X+2XX-l) .n1+X-l
-2x-x-2-x2 -x+2 <0x
-x2 -4x_<0x
X2+4X >0x
XIX+4). , >0x
X+4>0x >-4En R3:10, l]2X-X-2-(X+2xX-t) <0l+X-l2X-X-2-X2 -I'+2___x_ < 0
-x2_ <0x
X2+4X
-->0x
-x<0x>0
Sru :10, 1l
En Rq:[,.o[ - {2}
2X-X-2+(X+2XX-l) <0l-X+l
2X-X -2+X2 +X-2' <02-X
X2 +2X-4
<:---
2-X(X+3.2Xx-1.2)
2-X
Sn¿ : [1; 1.2] w 12, af
3.2
Sr: S¡ u SR2 u S¡3 U Spa
: I--,-21u [-2,0[ u ]0, 1l u [], 1.2] u 12, co[
:)-a,1.2)- {0} ul2,oo[
-ú -1 2 1 ) )
1 1.2
<0
X2x
x
-4
SR : [-2, 0[
-2
<0
<0
82 Números Reales
d) x - tl- lx +.¡l', '
"> lx+zl3-lx+ll I
l'):-lx+tl+osilx+tl::
lx+tl+¡X+l:-3 vx:-4 v
X*-4 A
_Jx+lX:2
X+2Luego::-lx+ll+o <>
2")
-co -3 -2 -7 1 co
3")
l-co, -31 -{-4}l-3, -21
l-2, -rl[-1, I ][1, "o[ - {2}
:-(x-1):-(x-1):-(x- 1):-(x- 1): (x- 1)
:-(x+3):(x+3):(x+3):(x+3):(x+3)
:-(x+l):-(x+t):-(x+1):(x+l):(x+l)
:-(x+2)=-(x+2): (X+2): (x+2)= (x+2)
;lx+zl;lx*zl;lx+zl;lx+zl;lx+zl
;lx+;lx+;lx+;lx +
;lx+
;lxn:l;lx*:l;lx*:l; lx+: I
;lx+:l
; lx-; lx-; lx-; lx-; lx-
X+4X2 +6X+12
X+4
4o) Resolvemos la inecuación en cada región.
En R1 :l-co, -31 - {- 4}
-X+l+X+3 >-x-23+X+1
A' +X+2 >04+X4+X2 +6X+8
Si el numerador tiene raíces imaginarias, para cualquierrelación de orden, ya sea para ) o ( que cero.Entonces la solución está en el denominador
-co -4
X'+6X+x+4
-3
t¡l , ¡,, ¡^fa^Ío
>0
>0
S¡1 : ]-4, -3]
En R2:[-3, -2]
-X+l-X-33+X'+l
-2X-2 (X+2\4+X
-2X-2+X2+6X+8X+4
X2+4X+6X+4
-4
>-(X+2)
>0
>0
>0
.{lgebra Superior 83
S¡2 = [-3, -2]
En R3 = l-2, -t)
-X+ 1-X-33+X+l
Sn¿: Z
-2X-2.--(X F2) >04+X-2X-2-(X+4XX+2)
>UX+4-2X-2:X2 _6X_8
> oX+4
- x2 -8x- loX+4 >o
X2+8X+10X+4 <o
(X+ l.5XX+6.4tX+4
sR3: [_2, _1,5]
En P.a:[-1, 1]
-X + 1-X -33-X-l
-2X-2,-x
-)v_,:,'::'-(x + 2)¿-x-2X-2_12_xxx+2)
2_x-2X-2-4+X2
2_xx2 -2x-6
(X-3.6Xx+r.6)2_x
-6 -6.4 -4 -1.5 6
x + 6.4
x+4
-o-1 .6 2 3.6q
Frac -
x - 3.6
x + 1.6
>(X+2)
<0
>X+2
>X+2
>0
>0
>0
>0
>0
En R5:[, co[
x-t-x-33-X-1
-4* -(X+ZI
-4+X2 -42-X
x2 -82-X
>(X+2)
>0
>0
>0
_lN+-- | \\§ .72v=a_wL/12_Za-44, I\\ I Lr_]_ -__1.6_1 0123.6
-ú 2.8 2 2.8 o
tx-z,t?xx+zJil'>f)2-X
SR5 : 12, 2.81
Sr- Snr u SR2 u S¡, u S¡a ur So,
84Números Reales
<-3 n Ix+rlra
e) Ir+rlr*lx+ll-e<0. si lx*rl:tt'+t-6<0 <> (t+3Xt_2)<0
(+ (l >-3 n t<2) v (t<-3 ¡ t>2)<+(lX*¡l >-3,' lx+ll <zl "l'lx* rl<+ (R n lxnrl s2) v @ " lx+ll >2)e lxrll<2 v a<, lx +11 <zó -2<X+ 1<2<r -3<X<1
lx-:l:r+9>16. Si(t + :)'> t6l,*:l>¿llx-:l*lx-: | ":Ix-:J <-
alx-:l>rx-3 <-l
x <2
g = [_3, 11
lx-:l'+olx-¡lt2+6t+g>16 €)
1'
9
S : l-*, 2l u [a, co[
Problemas Propuestos
lx+: l:z2
x'?-sl:rozlxl-rol:3-2x2 - 5x+: I :2X +:x-zl+ lz-sxl:z3x-11-lx-zl:r2x2+X-:l+ l3X2+7y¡213X-ll<3r-+x'l<z
lx-:l +3 >4lx-:l >rlx-:l>r
: I >+<-4 v7v
v X-3 > 1
v X >4
t7.
18.
19.
20.21.22.
z) -
24.
25.
26.
27_
28.
29.
3.6.4
{zx n:, -r
I lx'- sx + 61 <z
Ilzx+r¡.,1tx-tllx2 -5x++>o
=6
<8
2
-(l
-lx+zl
l:x*zlrslz-:x'lr:lzx - rll--l < rlsx + 3l
z-lx+tl
lxl- zl: - xlI I I l- ¡
-a+
r-lxl
lxi-l? xl . tx+.¡rr-lxl ' I
lx+tl--r---r- > lxl2-lx-31
l,-r,l-lxl -
-2J
3-lx+21
l+.'l' ,>]
11*-,1-"l) |
fl*'-ol .,1
Lx'<+
f lI-zl.¡Lx''o - x
t4.
15.
16.
: Recordar: ,
lxlr-" : álxl.-u =o
3x-2l.lx-:lX+llr lzx-:l4x+31 < lr-zxl2-xl+ll*xl.zx-rl-l+-xl>:x-ll-z+l:+oxl
Algebra Superior85
30.
31.
32.
JJ.
34.35.
36.
38.
39.
40.
41.
42.
lx+ll'-slx*ll-o:ol*]-rI +zl + l2x,+5x- zl =¡x+ I
tx'- 4l :4 -X-x'+2lxl+r:oIx,+:l: lzx*rlIt*:xl:l*xl:x*zlrzxI lzx * sl *21-xl I <slx*:l> lx-rllz-:x I, ,<5X+2
lz+xl, r>5lxl-: -"lx*zl'-alx+zl+s<olx'* :x l + x'-zr o
43.44.45.46.47.48.49.50.
51.
52.
'53.
-6<0
x'-+lxl+:=olr-xl=l+x+rlllz-xl-:lxlllr-:xl.x*llzx*:l.r-xlx*sl>lx*lllr -xl'+ ll -xlIt-x'l.x*zlz*xl<lr+xl
=4
, X .'?Ir-x I -
Ir¿-T It"''llxl'*zlxl * r r+lz+xl-z!-<4lx+s l-l
observación: Ar resolver la inecuación lzx
2 +:x + tl- lx, + x - zi < t . n, ra región desde l_co, -21, se obtienela inecuación x2 +2x+2<0.Yal sustituirlos valores como: G3)o (3) laproposición es siempre fálsa, portanto 51 : a' Pero si fuese verdadera al remplazar los mismos valores.en la inecuación, entonces la soluciónseria la región.
54.
55.
86Números Reales
CAPITULO 4
4.I RELACIÓNuna relación de A en B, es un subconjunto del producto cartesiano Ax B; que indica una correspondencia entrelos elementos del conjunto A llamado dominio con los elementos del conjunto B llamado .".ooiao o rango; talque, a cada elemento del dominio le corresponde uno o más elementos en el recorrido.
Ejemplo:
Sea:A:{ o, l, l6,25lyB:1 0,-1, l, -4,4,-5,5 l.Unarelación deAenBestádadapor:I (o,o), ( l,- I ), ( 1, I ), ee,-+¡, (1 6,4), (25,'-s¡, tis,s) |Notación A--r+B ( r-denotarelación )A--L-+BX----> + JXA--r+B : { (o,o), (1,-1), (1,1), (16,-4), (16,4), (2s,_s), (25,s) I
una relación se puede representar fácilmente mediante un diagramay establecer un apareamiento natural entre los elementos <L losconjuntos A y B.
A -i-* B
0
1
l6
25
-+0->l+-l-r4'> -4
-'5-+_5
4.2 FUNCIÓNuna función es una relación, con la restricción de que a cada elemento del.dominio le corresponde, uno y sólo unelemento del recorrido' El conjunto A se denomina conjunto de sarida de f o dominio ¿. i ,á r"i"'.omo Dom(f).El conjunto B se denominl cgnjunto de lregada de f o iecorrido, se nota Rec(f).si (x'Y) es un elemento de f. se dice quá Y
". la imagen d; )i;";6-se escribe y:f(x), lo cual se lee ..y
esigualafdeX".Notación.
f: A +BX -+Y
o A---I-rnX-----+ f(X)
El recorrido o rango de Ia función se puede definir como, el conjunto constituido por todos los elementos de Bque están asociados con los de A.Rec(f) :{ y . s/Y : f(x), X e A I
La variable X recibe el nombre de variable independiente. La variabre y recibe el nombre de variabledependiente.En general una variable se ha definido como un símbolo que puede ser sustituido por cualquier elemento delconjunto universal.
Ejemplos:1. SeanA:1 u,",i I y B:l r,:,S,2 Ia. Una función f de A en B esta dada por:
r :1 (a,l), (e,3), (i,7) |
Haciendo uso de la definición de una función escribimos:
I : f(a) .-. 1 es la imagen de a por f3 : f(e) .'. 3 es la imagen de e por f7: f(i) ... 7 es la imagen de i por f
Dom(f):l u,.,i I y Rec(f)={ l,:,7 i -.i 5l
.fA-->B
Álgebra Superior87
b- Un1 fun_ción
g de A en B esra dada por:8: I (a.5), (e,3), (i,t) |
e5B
Sea h el subconjunto de
hA--+B
u\g./
i-
,7\¡J
\5
,7l. El dominio es el subconjunto del eje X, constituido oorrecta vertical u"r"J" p"Ii
"án" l" gráfica. r los puntos X tales que, una
II' El recorrido o rango tt "l
ru¡"onjulto d"r .;. y, constituidos por los puntos y, talesque, una recta horizontal trazadapor y corteia g.¿i*;.,.Ir' y.?i"T?[**:'"]ffi!]",'":*; "l "",".-,,'"".l.ilpu.ur"ru ar eje y, esta corra ra
Indique cuales de las siguientes expresiones son funciones.
a) f:R+RX+3X2+l
d) f:R-+R
b) f:R-+Rx -+ lx7
e) f:R-{ o l-+R
f:[0,4]-+RX-+2
b) rñ) = lxt
c) fiR+RX-+3+X
0 f:R-+R
X- I
vt'-'x+l
*2c) h)
Dom(O : RRec1fl :R* u{0}Es una función.
x + /p:$f:R+R
X -++Solución:
a) f(X):3X2 + I
Dom(f¡ = PRec(f):Il,co[Es una firnción ya que cualquier paralelaal eje Y, corta la gráficaen un sóio punto.
por definición :
5:g(a) A _-_c_+ B g: A _+ B1r\J_g(e, z _-s 5 a _) 5l:g(i) e _+ 3 e _> 3l-+1Dom(g):A,Rec(g):s_{zl -+ I
AxB dado po.l h : { 1a,:¡, 1u,s;, (e,l), (i,7) |3: h(a)5: h(a)I : h(e)7 : h(i)
Observamos que el elemento a tiene asignados dos valores delconjunto B lo cual dice que h no es frrr;;;.'":;::J::i*::.
er siguiente .¡.*pL n"üiturno, ru, siguienres
88
Relaciones y Funciones
c) f(X): 3 + x
Dom(f) : R
Rec(f) : REs una función.
f(x): +.X+ox'
d) (x): {G:X)
Dom(f) -- [ 0, 4 ]
nec(0 :l2 IEs una función.
0e)
Dom(f): ]-*,+]Rec(f.¡ : REs una Relación.
f(x):+Jk,_ r)
Dom(f):l-"o, - Jl tw) Ji,*ÍRec(f) :n- j O IEs una Relación.
f(x):2
Dom(f):n-{ o IRec(f) :R.-l0lEs una función.
c) f(x) : r h)
Dom(Q=l-.o,-llrf]2' '2
Rec(f.¡ = B
Es una relación.
r^.s-bra Superior
,co I
89
3. Cuales de los siguientes conjuntos representan una fünción.Escriba la notación de función-pa.u .udu caso y construya su gráfica.a) f : I (x,y). nÍx:y,i. il e:16,v¡ e nÍry:x2+xlc) h= jG,Y) eF/x'-y2:01 di í: j.f*,", e R2/X2 +y2<qle) ,:jG,De R'xy:ll i *:l6,v)eR2,x2_y2=11c) ,:l(x,v).rúr [xl+ kr: rl il x:]or,De n,¡ ñ-l* r"t=r^ x,+y2<41i) p=1(X,v) eR2/y* lxl=ol j; lG,ge R2/xz+yr<4".x2+yr>rl
Solución:a) r:1 (x,y) e R2 ix = y2 |
X: Y2 <> Y2: X
<+ Jv, = Jx<+y:t Jx
b) s:l1x,v¡ e nÍry:x2+xlY:X2+X13f(X):X2+X
f: [0, co[ -+ R
x -+t JxEs una Relación.
c) tr:{6,v¡eR2,D(2-y, :olx2-Y2:0<>Y2:X2
o Jv'=Jt'c) lvl : lxl<.l y =tlxl
g:R+[-114,aIX+X2+X
Es una función
v:R-i ol +R-lx+ 1
XEs una función.
h: R +Rx -+tlx I
Es una relación
d) u:J(x,y) e R2/x2+yz<41X' + Y'< 4 . Es Ia ecuación de la circunferenciacon centro (0, 0) y r = 2
e) , :11x,v1 E R, /xy : r i
0lX-++
Es una relación
4-x2
90Relaciones y Funciones
iv:JG,Y)€R2D(2-y':tlX2 - Y': i' e> -y2 = | _ X2
<+ y2 :X2- I
<+ y :t J;, -l
f =Jtx.,vt e R2/ | x l+ I vl: lilxl+ lyl= I <+ lvl= r _ lxi'
c>y:t( r _lxl I
g)
h)
u:l-oo,-l]u[l,co[-+R
X-->+Es una relación
x={6,9e R2/ lxl+ lvl>2¡X2+y2<ql
z;l-1,1 I -+ [-1, I ]X++(r_lx
DEs una relación
p:{ü,v)en3/y+ lxl=oiv+ lxl =o <+ v:- lxl
p:R+]- co,0lx-+ - lxl
Es una funcióni)
La solución es el área rayada,que resultade la intersección de soluciones .
lü,Y) . R2 / x2 + y2 < 4 ¡x2 + y2 > I i
La solución es el área rayada,que resultade la intersección de soluciones .
Deten{inar cuales de los siguientes conjuntos representan una función sí:
A:11,2,3,41 y B= jt,u,r,*i
+.
a)
b)c)d)
e)
r, : { ( 1 ,0, (2,u), (3,v), (a,w) |f, = 1r r.r). (2.r). 11.1¡, 14.r)lr, - i tt,ul, (2,v), (4,wt Iq- l1t.vr. (2.t¡.1:,yu¡ 14.r,¡f,, - 1( l.l ). (2.r). (3.v). t4.w) |
Álgebra Superior9l
Solución:
a)
Función Función
Función Relación
4.3 DOMINIO DE LA FUNCIÓN
Para determinar el dominio de la función es necesario recordar lo siguiente:
1o) Expresiones que se encuentran en un denominador, no pueden tomar el valor de cero.
2o) Expresiones afectadas por una raizpar,deben ser no negativas.
Ejemplos:
l) Hallar el dominio de (X):
c)
Relación
2) Hallar el dominio de (X):Dom(f): R. u {0}
3) (X):2X2 - 3X + sDom(f): R
Jxl+X
Solución:x2-l>o(x-lxx+t)>0
-ó1-1 6
bom(f.¡: I - *, -lI u [], co I
4) ry): J€x+r-.fú-li)
La solución del sistema es el dominio de la función l"--+- t'= +
2X+3>0
1-2X>0
Dom(f):l-1,1122
01
I
2
J
4
;t>u
92Relaciones y Funciones
,i) (x) --!G;,+r¿x'-20 +¿J-x+1
f -ex'+tzx-20 >o| -X+t>O <)
S, : Ay Su : I - *, 1[, Portanto:Dom( f ): S¡ n S¡ :O
EJxl6) f(X): .l , ,
li X+14_lxl_-- > 0 , Resolvemos esta inecuación aplicandoX+l
En R1 : l-m, 0l4+x
-->ux+1
-o*4 -1 a
-1 0
Sr : l-6 -al u l-1,01
Dom(f): l- co, -41 u l-1, 4l
7) f(x): x+lx-1
Dom(fl:R- {l}
Í tl o* - t2x+20 <o1ut x-1<o
-co-1 4 o
-6-5 1 m
I-*, -51 ull, co I
Dom(f):R
la definición de valor absoluto.
En R2: [0, co[
4-X_>0x+1
8) rrxl:/¡+a¡¡--f--l¡2r 2X_31
X2 + 4x - 5 >0(x+5)(x_1)>0
x2 +2x-3 +0(X+3Xx-1)+0X + -3 ¡' X * I son valores que se deben excluir, por lo tanto Dom(f):rtxl: -LJx'* t
X2 + I > 0. Se verifica V X e R, entonces: Dom(f) :RDeterminar el dominio y el recorrido de: y = -1 -
l+1,*Ñ
Solución:
*,_ -l _ -1 _ -l -lxl-r,*.-! r+ lxl - lxl+r+fi -rltl,r
t * trr lxl+ t lxl+ t
Para determinar el recorrido se debe despejar el I X I
e)
10)
-lxl-rv- I I' - ¡x'!L
\lgebra Superior
-+ Y(2 lxlnr)--lxl-l
93
zvlxl+y :- lxl - I
zvlxl*lxl =-i-vlxl tzv+ r)=-r -y
lxl = -r-Y2y +l
Luego el recorrido se determina al considerar que:
-1- Yñ> 0 (Pordefinición devalorabsoluto lxl > Ol.
Se debe tomar en cuenta que hay dos regiones: para X < 0,
.'. Rec(f): [-,,-+[y: -x1 y parax>0, y_- -X-l
-¿x+t 2X+lX -J 1 IY -0.57 -0.6 -0.66
(x< 0) 0 I 2 .,
Y I -0.66 -0.6 -0.57(x>0)
-3-2-10% t
-1
il) Determinar el Recorrido de: Y = 2
l-x2Para determinar el recorrido se debe resolverDominioY(l -x1:2Y-YX2 -2:0-YX2+Y_ 2:OYXz-Y +2:oYXz:Y -2
. Y-?
X respecto a Y, para luego aplicar las mismas reglas del
Y= X
X2 +l12) Determinar el Recorrido de:
Y(X'?+ l): XYX2+Y X:0Yx?-X+y:0
En consecuencia:
Y*2-->0Y
*co02a
Luego: Rec(f) = l-*, 0[ u [2, m[Y : 0 .es una asíntota horizontalElDom(f)=n-J-r, rlDe donde X: -l y X: I sonasíntotas verticales
En consecuenciar) [r-4y2>orI¡l v+ o
I) (1-2YXt +2Y)>0
Y-2Y
I2
@
94Relaciones y Funciones
Luego Rec(f) : [-i, i]- t o], y : 0 es una asíntota horizontal; el Dom(f) : R
li) Determinar el Recorrido de:
Y(X + l): X2
YX+Y-X2 :0-x2 +Yx +Y: oxz-YX -y : o
r--:-y+{yr +4y2
-,2Y=^
X+lEn consecuenciaY2+4Y >0Y(Y+4)>0
-co-4 0 m
Luego Rec(f) : ]-*, -41 u [0, co[, Dom(f) : R- {-1}; X : -l es una asíntotavertical
tlr Determinarel Recorrido 0",, =fr
r'.,&t+r : r
v:1xr + 1;: 1
Y:X2+Y2=1\':Xr = 1-Y2
I -Yl\ - -_Y-
En consecuencia
r) f t-Y'?>oil)1 Y+ o
I) l-Y2>0
(1-YXr +Y)>01 6
r.t Jl-Y'Y
95
Luego Rec(f) = t-1, ll - {0}, y: 0 es asíntota horizontal; Dom(fl = ¡
l5) Determinar el Recorrido de:
Y(x- l):X+ I!.x-Y:X+ 1
YX-Y-X_ t:0YX*X:Y+ IX(Y-l):y+1x =I11y-l
X+lI ==--x-l
En consecuencia Rec(l) - R - { l}Dom(fl: R-{t}
4.4 FUNCIÓN BIYECTIVA
4.4.1 Definición.- Sea f una funciónsiguientes:
de A en B, f se dice biyectiva si cumple con las dos propiedadesa) Si fes inyectivab) Si fes sotreyectiva
4.1.2 Función Inyectiva._ Sea f una función ,
erementos: i,, x,, A; (X,): r6,j,l;;,f"il!1i:T," tñ[::"j:,i;,[ili"", sí para
f
todo par de
También podemos decir que una función es inyectiva, si a elementosdiferentes de B. Es decir: V X¡, Xz e A; X, *ir] qr,l + (Xr)
Inyectiva
Gráficamente se puede distinguir cuando una función es inyectiva, si secortar la gráfica en un sólo punto.
96
diferentes de
a --tt
A corresponden imágenes
B
No es Inyectiva
trazan paralelas al eje de las X, estas deben
A-j-B
Relaciones y Funciones
F.iemplos:f es Inyectiva
(x): I - 3xPor definición:(x,) : f(xr -+ X1 : X21-3Xr: l-3X2-3Xr =-3X2 -+ Xr:Xz
Todos los elementos de B sonfes sobrey'ectivaf(A)=B
h no es inyectiva
c(X): X2 - IPor definicióng(Xr) : g(Xz) -+ Xr = Xz(x, )' -l : (xz)' -1(*,)' : (x,)2
l,,l = l.,l(x,:-xr)v(x¡ : x2)no hay solución única
A-)B
1-
3-
5-
:u>e
>i
También se dice que f es sobreyectiva, si no existe en B elementos que no sean imágenes de algún elemento de A.A
f es Inyectiva
l.{.3 lu:lci.ón Sobreyectiva._ Una función es sobreyectivaX de A, tal que (X): y..
g no es inyectiva
o sobre si, "todo y e B es la imagen de al ¡nenos un
No todos los elementos de B son imágenes de Ag no es sobreyectivaf(A) E e
i:s¡L'ra Superior
imágenes de A
97
Otra manera de indicar una función sobreyectiva es: f : Aal conjunto de llegada).
A
-> B cuando Rec(| = g : f(A). (Recorrido de f es igual
Rec.(f): Bf es sobreyectiva
A ht B
h es sobreyectiva i no es sobreyectivayaquebyceBnoson imágenes de A
una función es sobreyectiva, si altrazar paralelas al eje X; estas deben cortar Ia
A ------> B
g no es sobreyectivapuestoque aeBnoes imagen de ningúnelemento de A
Gráficamente se puede distinguir sigrafica al menos en un punto.
No es sobreyectiva Es sobreyectiva No es sobreyectiva
Ejemplos:
a)
b)
f: R--+ RX -+Y-2X+3
Verificamos que (X): Y
cómof(X) :Y : 2X+3 -+ X - Y-3 .
2
f(x)-r(Y:3;-21Y-l¡*322(X): Y por tanto f es sobreyectiva.
g:R-+R-u{0}X+Y:X2
Ya que (X): Y: X2 -+ X: + J?(x):r(r J7t= rG): r(-Jv) v r(x):rtJIl
/ _\i
> r(x): (- J?f = y v rrxr= (Jl|: v
98
portanto g es sobreyectiva.
Relaciones y Funciones
Gráficamente una función es biyectiv4 cuando cualquier paralela al eje de las x esta corta la grafica en un sólo punto.En los si*suientes diagramas ilustramos funciones biyectivas
a
b
c
-'l>9
- ll
Biyectiva
ABFHILiltil
No es biyectiva
Ejemplos:
i. Sea i R* u {0} + 10, 1l una función definida por f(X): -'i probar que es biyectivax'+l -
Biyectiva
Lo mris práctico es graficar la función
Si trazamos una paralela al eje de las X, esta corta la gráfica en un sólo punto.La función es biyectiva.
Sea f: R -+ R probar si es biyectivaX -+ (x): X2 - 4x
Graficamos Ia función.
f no es inyectiva: por tanto la función noes biyectiva. Pero podemos convertirlaen biyectiva si se restringe el dominio.
Consideramos:
f,:l--,21-+[-4, oo I yX-+x2-4x
f2:12, a [-+ [-4, co IX +x2-4x
De esta manera hemos obtenido dos funciones biyectivas.
0
-1
-1,
a
-4
fi(X):*-+x
0
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
-3
-3,5
-4
-4,5
f, (x): x2 - 4x
.{lgebra Superior99
Escriba las funciones biyectivas que encuentre en la siguiente relación.h:[-2,2] -+L-2,21
x-, JF-',)
En esta relación encontramos 4h1: [0, 2] -+ 10,21
x -+ +rfi-¡J
h3: [-2, 0] --; [-2,01
x-, -JF:F)
funciones biyectivas.
h2: l-2,01-+ 10,2)
X -++ JF:y,)
ha:[0,2) -+ [-2,0]
x + -JF-r)
4.
Cualquier paralela al eje X corta la gráfica en un sólo punto.
Analice las funciones biyectivas que encuentre en:
g:[-2,2] --» t-:. -1 I5
X --+ f(X)= -j-x'tl
r00Relaciones y Funciones
ttFrtrtbbLtf'at1qq44á444aIt¡
D,r¡tE,¡}eaDbDEII!-41;,141;11a
Et: l-2,01 -+ t-:, - J I
X -+ f(X) = -:-x'fl
0
-1
-2
directa (f).f:A-+B
s:10,2) - t-r, -ll1
^--)- x2+1
4.s. ruNcróN TNvERSA
4.5.1 Definición.- Sea f : A -; B unafunción biyectiv4 es decirque v y eB, f X eA, tal queY: f(X); locualpermitedefinirunanuevafunción g de B-+A,delasiguieniemanera: Vye B,c(Y):X e Y=(x).
Teorema.- si f esunabiyeccióndeAenBy g lafuncióndeB enA definidapor:c: {(Y, x),r.:(x),xeA}.Entonces g define una función inversa de f. Se nota f -r , es decir que g: f -r.
observación'- La notación t ' * i . designa una función cuyo conjunto de salida es el conjunto de llegada de la
x + Y: (X) Y+ f -r(Y): XSi la correspondencia inversa a la dada también es función, entonces se cumple que:
r'[flx)]--t[fr(x)]-x.En un mismo sistema de coordenadas cartesianas rectangulares las curvas Y : (X) y y : f -r1X)
son simétricasrespecto a la bisectriz que pasa por el primero y tercer cuadrante y: X.
Aclaración de:r'If(x)]:f tr1(x)l:xEjemplo:
Si y : 3x + 4 directa y y: *;4
inversaEntonces: / . +)f -r 13x+4): rl l::l\3)
I x-a\3t _ t+4: x[3)
f-r:B+A
Y=f(X)
Y=f-1 (x>
Aclaración de:f'' [(x)]-f tf 1(x)l:xEjemplo:Si a* directa yy: logu x inversa
Entonces:
f. -' (a^) f ( log" x) -ulogux:"
(f) despejar X y resolver respecto de y, oPara determinar la inversa de una función es necesario de la directaintercambiando variables para nuevamente despejar y.
Ejemplos:
I. Y:2X-3DespejamosX,2X:Y+3
¡: Y+32
Álgebra Superior l0l
¡-rg;:I11
Si intercambiamos variables.X : 2Y * 3 para nuevamente despejary
x+3I --
2
f(x): x u3
2
Portantoy=2X-3 directa , f-l(y)= xll inversa
2
En general si, Y : aX + b directa. La inversa se determina al considerar:
nuevamenteY, entonces Y: X-b es lainversa
a
Gráfica
Y=2X-3
X : aY + b. Despejamos
Gráfica
J.
f: [0, 2] + [0,4]X + Y:X2
Determinamos la inversa de:Y: X2X:Y2Jv2:Jxlvl= JrY=rJx
En consecuencia f-l: [0, a] -+ [0, 2]
Y -+ r-t(y) = Jx
f: R-+RX -+Y :X3 -2
Determinamos la inversa de:Y :X3 -2X :Y3-2Y3:X+2Y: vi;t
Por tanto: f -l: R -+ R
Y+f-'(Y):t8.2
f(x): x3 - 2
4.
f-'(x):'"'Ei
Halla¡ las funciones inversas de f: R -+ RX-+y:x'-4x+3
Graficamos (X) , para lo cual es necesario los siguientes pasos:a) Determinar los interceptos con el eje X (I.)b) Determinar los interceptos con el eje y (I,)c) Determinar las coordenadas del vértice
X 1 0 I 2Y l0 -J a 6
X -10 -3 n I 6Y l
1 0 I 2
ta2Relaciones y Funciones
Solución:a) Ix-- Interceptos X, y: 0,
X'-4x+3:o(x-3xx-l):0X-3:0 v X-l=0X:3 v X:l
: (2, -1)
ly.-InterceptosY X:0, y:3
,t :( *'É#g-') tco-a"nadas del vérrice)
( c -ts+tz\=l-;' ' 1
b)
c)
Así tenemos:
fi: I - *,21-+ [-1, co IX -+ Y :X2-4X+3
y f2:f2, * [+[-t, * [
Si Y: X2 - 4X + 3 directa, entonces la inversa es:X:Y'z - 4Y + 3; para poder despeja. y-"o-pt"turno.
"lcuadrado.
Puesto que: fr V ü son biyectivas, enrnversa.
Determinamos las inversas
ü-': [-1, o [ -+ [2, co I
X + Y: X2-4x+3consecuencia tienen
X:Y2-2.(4t2)y+4+3-4X = (Y2 - 2.14t2)y + 4) -lx=(Y -2)2 -1X+1:U-42(Y-2)2:x+l
lv-zlY-2
Y = 2tJET1) entonces lás inversas son:
Yr+fr'(y):z+ rtfi+[
fz'':z+ JEl,
=Jkl,=rrt[;r)
fr': [-1, .o[ + ]- *,2)Yr+fr-'(y):2- rtfi;l)
Para graficar necesitamos algunos pares ordenados.
fi':2- {il,
Gnífica
Cómo esta función no es biyectiva debemos restringir eldominio para obtener dos funciones que separadamentecumplan las condiciones de función inversi.
X I 0 2 ., 4Y z 0.6 0.3 0 .0.23
x I 0 I 2 J 4Y 2 J 3-4 5-t 4 4.2
Algebra Superior103
4.6 FUNCIÓN CONSTANTE
La función X-l.)f o f fi): K se llama función constante. Donde K es una constante arbitraria, todo elemento Xde R se aplica sobre un mismo número K.Se podría definir de otra manera
f;A+RX-+f(x):K
1)otz/e-4 c4 l1¿-,?En la notacíón se ve que Dom(Q : A , Rec(f) : {K}.Ejemplos:
1) f:l-4,4\-+2 2) SeaA=[-1,5] y f(x):-2,V Xe[-1,5]
AYAX
3)
t;;t;eqaeaa,tqt?etIetIat,),a,;;eq4'1'a;an
x -+ f(x):2
f: [0,3'l -+ 0X -+ f(x):0
4.7 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTESa) Una función real f, es creciente en un subconjunto A de R, si para todo X¡, X2 e A, Xt < X2 implica que
(X,) < f(Xr).También se define una función creciente a través de sus incrementos, cómo se ilustra en la figura.
M1 es un punto frjo, M2 es un punto móvil, sus coordenadas son M1 (Xr, Yr), Mz (Xz, y2) respectivamente.
Y=f(X)
AX - X2 - X¡ incremento XAY: Y2 - Y1 incremento Y
La función es creciente porque sus incrementos tienen signosiguales, entonces la
tgü:tgo>0, sio'<nlZ
A.lgebra Superior 105
b) Una función es decreciente, si paraincrementos tienen signos opuestos.
todo X,, )iu e A, Xr < Xz implica que f(X1) > (Xr) o cuando sus
Ejemplos:1) Sean (X): -3X + 1,
AYtgc¿:-"^xtg cr < 0, si a> nl2
cü):3x - 1,
Y=f(X)
h(x):3
f Decreciente g Creciente h Creciente
NOTA.- La función constante es creciente
4.8 FUNCIONES PARES E IMPARESuna función cuya gnífica es simétrica con respecto al origen de coordenadas se denomina función impar, es decir(-x) = -(x)
€(-X)=-
Ejemplo:(x): x'" f(-x): cxf : -x,
106Relaciones y Funciones
Una función cuya gráfica es simétrica con respecto al eje vertical se denomina función par.Es decir fCX): (X)
Ejemplo:(x):x'(-x): cxF: x',Nota.- la función constante es
f(-X)=f(X)
par
I x s¡xro{ix)-lxl-i 0 siX:0
L -x .ix.o
4.9 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTODefinición.- La función de R en R definida por (x): lX I se denomina función valor absoluto.
Dom(f) :RyRec(f -R*u {0}, yaque Ix I > oEs par f(-X) : l-x I : lx I
Gráfica
I X, siparaX>0o (X):lxl:lL-X. s¡paraX<0
Ejemplos:
Graficar las siguientes funciones:
a) fix)- | ? x* ll-)
b) f(x):-¡xu ] ¡ +z, 2,c) f(x):2lx+rl- lx+:l
Álgebra Superior
+ lz-xl
t07
d)e)
(x):.1,^-xl: lz-xl- l:-xl- l+-xl(x): Ix'+xl -z
Solución:
a) f(x):l?x+11
b) (x):- 1x+ )l +z
I lX+1, si X>-3 :0,l¡ ;t-t,l-zx-l,si X<-3[.t ,{
2X+1, si 2X+1>033
0, si zX+1:03
-2X- l,si 2 X+l<033
x+ 1 >g2
X+: -02
X+: <02
x>--2
x:- 3
2
x.-32
r(x):-lx *; ,-r-l¿t
It
-(X+ : )+22
')
X+: +22
- l" i .*''
l.. i.,
x>-:2
X:_:2
x<-'2
: l-3, -11:-2(X+l)-X-3+2-X= -2X-2-X-3 +2-X:-4X-3
-x+ 1 .2
2
x+72
c) Ixl:rlx+rl - lx+:l + lz-xlPara graficar este tipo de funciones eliminamos los valores absolutos a través de una tabla.
-ó -3 -1
Resolvemos la función en cada región.Rr : l- *, -31(X) :-2(X+ l)+X+ 3+2-X:-2X-2+X+3+2-X
: -2X+ 3
R2
f(x)
108Relaciones y Funciones
R,(x)
: l-r,2):2(X+l)-x-3+2_X:2X+2-X-3+Z*X:1
Gráfica
& =]2,-[f(x) :2(X+ t)-x- 3-2+x:2X+2-X-3 -2+X=2X-3
::I I
-s -rlo a
d) l1r:-l r -xl - lz-xl - l: -xl - l+-xlEliminamos los valores absolutos por medio de la tabla.
-6 l234co
Resolvemos la función en cada región.Rr :]- -,1](X) :-l +X -2+X-3+X -4+X
:4X _ l0
& :12,3)(x) :l-x+2-X-3+X_4+X
:.4
R5 :la,aÍ(x) :l-x+2-x+3_X+4_X
:-4X+ t0
Gráfica
& :lt,2l(X) :l-X-2+X-3+X_4+X
:2X_8
& -13,41f(x) =t-x+2_X+3_X _4+X
: -2X+2
e) (x): lX'+xl -z
Hay que resolver la inecuación X2 + X > 0x2+x>0 <> x(x+l)>o
Desde l- co, -ll y [0. co[(x) : x'+x-zf(-3) : (4), + G3) -2 = 4f(-2) : (-4, +(2)-2:0(-1) : (-l)'?+ (-l) -2: -2
Para graficar f vamos a aplicar la definición de furrción valor absolutof X2'X-2. X2+X>0
(x) =lL-x'-x -2, x2+x<o
-ó-1 O o
-{lgebra Superior109
(0) : -2(l) :1+l-2:0(2) : 4+2-2:4
En el intervalo l-1, 0[,(x) : -x2 -x-2(-1): -2f(-1/2): -(U4) + (U2) - 2: -(7/4): _1,7s
f(0) : -2
Gráfica
4.9.1 Construcción de Gráficas de las Funciones que contienen valor AbsolutoExisten 3 casos:
1)Y2") Y3) lvl:
Y=f(lxl)
Y=f(X)Ejemplos:
Graficar las siguientes funciones: Y : Jt¡,":á,Y :l xl +r,y : y2 -t1x1+z .
(lxl)lml(x)
PrimerCaso.- Para construir la gráfica de Y: flxl es suficiente analizar la función y: f(X), las partes de lacurva que se encuentran a la derecha del eje vertical, es decir para X > 0 permanecen inalterables,mientras que, para X < 0 se trasladan al lado contrario
"n io..a siméirica con relación al ejé
vertical, por cuanto y = fl X I es par.
Paragraficar Y :X2- : lXl + Z
Interceptos Ix, Y:0
x2-3x+2 =o
(x-2)(x-l)=0X:2 v X=l
110
, es suficiente que analicemos
Iv,X=o
Y:X2 -3x+2.b -h2 + 4acc.v.:(__. "
).2a 4a
3 -9+8: (_.-.-.) .24: iJ.5, - 0.25j
Y:2
Relaciones y Funciones
Y:X2-:lxl+z
segundo caso'- Para construir la gráfica de Y : l(X) | , es suficiente analizar y: (x) sin ninguna restricción.
Las partes de la curva donde_y > 0 permanecen inarterables;p..r9 l.ar partes de la gráfica donde y< 0 se inviertenslmetncamente respecto al eje de las X. Es decir toda lagráfica se encuentra sobre el eje de las X
Y: l(x)l
Ejemplos:Graficar:Y:lx3-11, v:lx-rl, y:lx,_6x+sl
--a,,)a,a,21',1',aaea
Algebra Superiorlll
Tercer Caso.- Para construir la grírfica de lV | : (X), es suficiente analizarY: (X). Las partes de la curva en laque f(X) > 0 se invierten simétricamente respecto al eje de las X , pero las partes de la gráficadonde (X) < 0 se eliminan.
Se observa que lV I : «Xl tiene doble signo es decir Y = * (X) es una relación
lvl:«xtEjemplos:
Graficar:
Ejemplos:a) lvl: I
lvl : x+4,
I Yl = -!-,x'+ l
lvl:xr+t.
lYl:x2-5x+4
lvl:
lYl:x2+2,
lv l- 'l¡l-,,
Ix
lYl=x2-sx*r
a graficar en caden4 es decir primero
I « lxl) L v u este resultado se le aptica et
Si en una tunción se tiene I v l: | ( lx ll I . Se procede
Y : ( | X I ), a este resultado se le aplica el segundo caso y :rertercaso lvl : l«lx ll I
X2
X]
-lX2(+
-slxl+ol
b)
c)
d)
112
lr - !ry= --=1-lx-lvl: lx *lxl-ol
zl l:-xlY :(x
Relaciones y Funciones
:olución:ar lvl: lx'-slxl+al
Graficamos primero Y: X2 -lx, Y :0 (interceptos x)
x2-5x+6 :o(x - 3) (x -2)= 0
X:3 v X:2
s lx I + 6, pwalo cual es necesario analizary: X2 - 5x + 6Iy, X:O(interceptos y) coordenadas del vértice
Y:6 c.r.:{-!,-* J.1N ¡: (2.s, - 0.2s )
Y:x2-slxl+aA este resultado le aplicamos el segundo caso
Y: lx'-slxl+olFinalmente a este resultado le aplicamos el tercer caso.
{lgebra Superior
lvl- lx'-slxl+ol
l13
b)l: - lxlly: l=__1,_ll
llxl-rlEn este ejemplo hay dos casos, se resuelve en cadena.Eliminamos los valores que reducen a cero al denominador.
3-lxlY = --l--llxl-rlxl-r*osr lxl:rlxl+r
<+ lxl*t<+ X:-l v X:1<+ X+-l n X+1
=3 +Y:3 +Y
Las rectas verticales X : -l y X: 1, se llamanasíntotas verticales.Para obtener las asíntotas horizontalesresolvemos para X
Y : l: ' j (En base al primer caso)x-1Y(x-1) :3-XxY-Y :3-XXY-Y-3+X:0XY+Xx(Y+ 1)
3+Yx:--Y+l
La recta horizontal Y : - I es una asíntota horizontal.
A este resultado le aplicamos el segundo caso.
-b2 +4ac
Y:X2+ lxl-o
lvl : lx'" lxl -o I
4a: (- 0.5; - 6.2s)
c) lvl: lx'+lxl-olGraficamos primero:Y:X2+ lxl-o -+Ix, Y:0x2+x-6:o(x+3)(x-2):0X: -3 o X:2
Y:x2+X* 6IY, X :0
Y: -6
CV. :4.2a
l14
Y: lx'+ lxl-o I
Relaciones y Funciones
ri\ I,]
\/
f=V\
d) Y:(x*z) l:-xlPor definición
Y:(x+2) lr* I :{
{
(x+2x3-X)0
-(x+2x3-x)
-x2+x+60
x'- x -6
3-X>03-X:03-X<0
x<3x:3x>3
4.10 FUNCIóN srcNo xEsta función esta definida y notada por:
Y: Siglt(x)si X<0si X:0siX>0
{.11 FUNCIÓN CARACTERÍSNCI O INDICATRIZSi A es rm subcoqjunto no vacío de R, la función f de R en R definida por:
{i
Ir,sixea(x)-{ óLo..i x e e
Se llama función característica de A
Ejemplos:
[.t,six.af(x):lLo..ixeR-A
r) Sea A: [-2, 2]
f-t, sixeef(x) =-{
[0. 'ix*n
{leebra Superior 115
2)
,sl,si,si
fx'rtxt: i o
| -x'- +x -:
3) l*'(x): il-lxl *o'
4) (-:-,I X'+l
(x): iI-lxl *:,(.
X e [0,oo]X e [-3,0]X e ]-co, -3]
si X e [-2,2]
siX e [-2,2f
siX e [-3,3]
siX e l-co, -3[u]3,co[
siX e [-3,3]si X e l-4, -31 u [3, a[siX e l-7, -alw[a,7[siX e l-9, -7)v17,9[si X e l-co, -91 u [9, "o[
s) -lx I *:0
-lxl*+-3
-lxl*o
(x):
-6
116 Relaciones y Funciones
J.I] FT}CION PARTE ENTERA DE XSi\ = Rel enteron,talque n<X<n*l sedenominaelmayorenteromenoroigualqueX,ysedenotacon[X],{¿e :e lee pa¡te entera de X, se tiene ademas que [X] . X . [X] * 1.E¡tonces 1a función f de R en R defrnida por f(x) : [x], se llama fi¡nción parte entera de X.Esa función es creciente y no es biyectiva. Para graficar cualquier función parte entera de X asignamos valores a la¡¿nción para obtener los valores de las abscisas.
txl: 0 <3 0<X< 1
txl:lé1<x<2ixl:2 <> 2<X< 3
txl:3 €) 3<X< 4
txl:-1 <+-l<X< 0
lx):-2c)-2<x<-1txl:-3 <>-3<x<-2
Ejemplos:Graficar las siguientes funciones:
a) (x): tx - 4l c)
0
b)
e)
(x): x + [x]lxlf(x):ii
f(x): txl - x(,.)=ffid) f(x): x [x]
c) 1(x): lx I xlSolución:a) (x): tx - 4l
[x-4]:0 <+
[x-4]:1 <+
[x-a]:2 <+
[x - 4]:3 <>
[x-4]:4 <+
[x-4]=s <>
[-a]=-1 <+
fx-41:-2 e
[x-4]:-3 <>
[x - 4]: -4 <>
0<x-4<l4<X<51<X- 4 <25 <X<62<X- 4 <36<X<73<X-4<47<X<g4<X-4<58<X<g5<X-4<69<X<10-1 <X-4<03<X<4-2<X-4<-12<X<3-3<X-4<-21 <X<2-4<X-4<-30<x<l
b) f(x): x + [xl[X]:0 <3 0<X<1,[X]: I <> l<X<2,lxl:2 c> 2<X<3,[X]:3 <+ 3<X<4,[x]- 4 <> 4<X<5,
(x):x, (l,l)(x):x+1, (2,3)(x): x + 2, (3, 5)f(x):x+3, (4,7)(x): x + 4, (5, e)
117
Y
H
H
H
1234X-1
-tH
H
J
4
3
a
1
H
tl-..-O
H
tH
H
t234567A910._o
H
H
Álgebra Superior
txl:-l <+-l<X<0,txl:-2 o-2<X<-1,[X]: -3 €) -3 < X<-2,txl:-4 <+-4<x<-3,
(x):x- l,f(x):x - 2,f(x)=x-3,f(x): x - 4,
( 0, -1)
cl, -3)(-2, -5)(-3, -7)
Los valores que hemos asignado a cada función es el extremo derecho de su respectivo intervalo.
c) f(x): [x] -x
txl :0 €) 0 < x < 1, f(x): -Xlxl:l c>l<X<2, f(X):l-Xlxl:2 c>2<X<3, (X):2-3txl:3 <)3<x<4, f(X):3-xlxl:4 <>4<X<5, f(X):4-Xlxl:-l €)-l <X<0, (X)--l -Xlxl: -2 c) -2< X < -1, (X): -2 - Xlxl : -3 <>-3 <x< -2, f(x) : -3 - x[x]: -4 <> -4 < X < -3, (X): -4 - X
NOTA.- En esta tabla hemos asignado a X el extremo derecho de su respéctivo intervalo.
-6 -5 -4 -3 -? -1 12345
d) f(x):xlxl
[X]:0 <)0<X<1,txl.: I <:) I <X <2,
IXI:2 c)2<X<3,[x]:3 <>3<X<4,[X]:4 <+4<X<5,El--1 <>-1<X<0,[x]: -2 <> -2< x < -1,
lxl:-3 <>-3<x<-2,[x]:-4 (]-4<x<-3,
(x): 0
f(x): x(x):2x(x):3x(X):4X(x): -x(x):-2x(x): -3x(x): -4x
0
2
6
12
20
0
2
6
12
I2
3
45
0
-1a
-3
d./v
J
7J
6
5
4
3
¿
I
12345
va'
I/
118 Relaciones y Funciones
lxle) f(x) = Ig".Xt-
I lxl'ry):]lx
Im'-- x v-"-Itl'^'[X]:0 <+ 0 <
txl:l €)l<lxl=2 a2<
IXI:3 <+ 3 <
txl:4 €4<
siX>0
siX<0
-., :{ l,
0
x.< l,
x<2,
x<3,
x<4,
x<5,
V,: X'0Yr: XY,: I
2
Y,: XJ
xI¡-
-4
No esta
2
-)
4
5
definido
2J
,4;Jt4
Yr=."".X<0- txl.txl:-l <)-l<X<0, yz:Xlxl:-2 <>-2<X<-1, Yr: I'2
txl:-3 <>-3<X.-2, Yr:L-3
txl:-4 c)-4<X<-3, yr: I-4
txl:-5 c>-5<X.-4, yr: {il
f(x) :
(x) :
0
-1
1
-3
-4
Y2
0
_12
2_;J
J-¡_!
5
E]lxl
llxl
JX,I t*l[-
si X >0
, Xe,
{-1
\leebra Superior
, siX<0
il9
r
Y,= Irl, si X > o
lxl:0 <+0<X<1,
[X]:1 <]1<X<2,
[X]:2 e2<X<3,
txl:3 <+3<X<4,
[X]:4 <+4<X<5,
[x]:5 <+5<X<6,
Y,:4, siX<o
[X]:-l <+-l<X<0, Yz:
lxl=-2 e-2<X<-1, Yr=
tXI: -3 €> -3 < X<-2, Yr:
[X]:-4 <]-4<X<-3, Y2:
[X]:-5 <]-5<X<-4, Yr:
Yr= 0
Y,: fX
Y,: 2,xY,: 3,x
4Y,: Í5Yr= -x
I
x2
XJ
x4
X5
X
c) (x): lx lrxt
xtxl, x > 0
-XH], X<O
l, x>0<+0<X<1, Yr:0<f l<X<2, Yr: X<+2<X<3, Yt:2X<)3<X<4, Y1 -3X<>4<X<5, Y¡:4X
(x)
Yr:txl =
lxl =
txl:txl:txt:
Yr:-XlXl, X<0[X]:-1 <;-l<X<0, Yz: Xlxl:-2 <)-2<X<-1, Y2:2Xtxl: -3 <r -3 < X<-2, Yz:3X[X]:-4 <]-4<X<-3, Y2:4X[X]:-5 <+-5 <X<-4, Y2:5X
11
4/
.fa
{XE0
I2
.,
4
I2J
45
0
26
12
20
Yz
0..>
-6-12-20
0
-la
-3
-4
01
,?J
J
14
=)¡6
J-a_!
J
-:4
120 Relaciones y Funciones
obsen'ación.- Las tablas que coresponden a las funciones: d, e, f y g pertenecen al extremo derecho decada intervalo.
.I.13 OPERACIONES CON F'UNCIONESSean f ¡' g funciones reales de A en R.
1.13.1 suma de Funciones.- se llama suma de f con g a la función de A en R definida por:tf- sxx) : f(x) + g(X). V x e A.
Eldominiode f+g o de f-g, eselconjuntodetodosloselementosXquesoncomunesalosdominiosdefyg;es decir:
Dom(f+ g): Dom(f) n Dom(g) o Dom(f - g): Dom(f) n Dom(g).
Ejemplos:
1) f:R-{-l}-+R y g:R-{2}+RIx-+
X+l x-+ Ix-2
La suma de f con g esta definida por:(f+g)(x):(x) + e(X)
llX+l X-2X-2+X +l
g: R-+ Rx- lxl:-x+ lxl
siX20
, siX<0
r) f:R -+ RX-+ -X
(f + gxx):
(f + g)(x):
f: [-3,3] -+X -->
-tr;,)EA
f(x) + g(x)
f(-3) + g(-3)
f(-2) + g(-2)
f(-1) + g(-l)
f(-1Q + 91-1lr;
v
(x) + g(x)
[-x*x,)L -* *,-*,
Io'L-r.,
RytJx
siX>0
siX<0
-rl g: [-3,3] + R
X+-X2
:l/x -x'- V-: -C:l' : -r0,4
- 'Ji -tzt' - -s,2
- 3/-¡ -1-t)': - -2
: rE-f-1)' --,\ z \ z)
2X-l
i,:e'lra Superior121
(f+g)(O)
(f+eXlá)
(f+eXl)
(f+gXz)
(f+eX3)
= 0,5
:0- a1
= -7,s
Graficar: Y: sign (¡ + ZD + lX I
Aplicando Ia definición de sign X se tiene:
l-r* ¡¡¡'Y:signt:+zx)+lxl :1 o*lxl,
Lr*¡1¡
0
iE (r',vl - (lr'Ji -e),
'Ji -e)'
4)
l,*:1 0+
I
Il+
lxl ,
lxl ,
lxl ,
3+2X <03+2¡:93+2X >0
x<-:2
X: -:2
x>-'2
4.13.2 Producto de F unciones.- Se llama producto de f con g, a la función de A en R def¡rida por:(f .s)(X):(X).g(x)paracadaX e A.
En el producto se multiplican los valores de las funciones. Dom(f.g): Dom(f) n Dom(g).Ejemplos:
1) f: [-2,2] -+ R yx-+X2- 1
El producto (f.gXx) : (x) .efi): (x'- lxx + 1): X3+x2-x-l
'-r-2-
-3-
-4-
t2 x
g: [-2, 2] -+ RX-+X+ I
x Y
1 -J
0
-0.5 -0.375
0 I
0.5 1.125
0
2 9
122 Relaciones y Funciones
lr Sean las funciones:f: [-a, a] -+ R y g: l-4,4)-+
X+-X X -->(f.eXX)
x(x+ l), x>0
x<0
(f.e)C+)(r.e)C3)(r.e)C2)(r-e)Cl)(f.eXo)(f.eXl)(f.eX2)(f.eX3)(r.gX4)
R*
6427
8
I0-l-8-)1-64
3) Sea f(x): lx I y e(X): (x + l)El producto es: (f.g)(X) = (X) .g(X)(f.eXx): lX | (X + 1)
(r.rXD:{-x(x+ l),
4) Sean las funciones:f: R-+R g:R+R
X -+ l*X X-+ sign XEl producto es: (f.g) X : f(X) . g(X)
(f.e) G): (1 -X) sign X(r -x) G1), X < 0(l -x) (0) , x:0(l-x)(1), x>0
x-1,x<00 ,x:0l-x, x<0
4.13.3 División de Funciones.- Sean f, g funciones reales definidas sobre A.
Sedenne ratunción i *. (i),")=H, vx e A, g(X)+ 0.
Ejemplos:l) Seanf:R-+R, g:R--> R
X+X2 X-+-X3
x2 l
-x' x
*-[:)=R-{o}
{
{
Elcociente ll)r*l=Úl( e.J*
-' c(x)
Algebra Superior t23
2) Seaf:R-+R g:R+RX-+-4X X-+>3++
pt cocientell) ,*l: t(*) = - 4x\e/,. c(x) 4+X2
,o-ll): *(e
'/
3) Seaf:R-+R, g:R-+RX-+2 X-+4-X2
Ercocienre l!.],*,- lgl = -]-(.eJ' ' e(x) 4-x2
,"*ftj : R- {-2,2}l.l\ b./
4.14 nuNcróN coMpuESTASean los conjuntos A, B, C, y las funciones:
Silogismo, razonamiento deductivo que constade tres proposiciones la última de las cuales sededuce de las otras dos
La función h definida por h(X): g[(x)], se denomina función compuesta de g con f , h: g o f
o(Y)=o [r<x>lLJ
Enel diagramaobservamos que lafunciónf trasformaalpuntoX e A en f(X):y e B,ylafuncióng trasformaalpuntof(X) e B eng[(X)] e C.EsdecirqueX e Asetransformaeng[f(x)] e C,atravésdelafunción h, en laqueintervienen f y g .h se denomina función compuesta.
De la definición de función compuesta tenemos que (g o 0ü): glry» V X e APara definir h, se debe tener presente que el conjunto de llegada de f , tiene que ser el conjunto de salida de g.
Observación.- La composición de funciones no es conmutativagof+fog
f: A-+Bg:B-+Ch:A+C
Y= f(X)
124 Relaciones y Funciones
:Y2 +3Y +2t----------- ---
= l(x-r)'+:/(x -r)+z
sof :lx-rl+:rtfi-l+z
f(x) :'.'tr*t
etrü)l : e(v)
-l " )'(v+tJ/.-r3I 'r/X+l I
IVx+r *rJ
^ X+laot" f./x.r *rf
f(x) :3X2 + t
etr(x)l : e(Y): lv*zl: l:x'+t+zlgof : l:x'*:l4) Dada la función compuesta g o f :3X + 2
Hallar (X)Solución:
sof : et(x)Icü) : Y2 -3'Y2 -3 : 3x+2Y2 3X+5
fog
v s(x)
{e(x)l
fog
Por definiciónLa función g con variable YFunción compuesta
cq) :(*)'rle(x)l : f(g)
= 1/c.t
c(X):)f +3X+2Pordefinición f o g es:rtg(x)l : (e)
: f,(F,-: Jtr;';']
ros = Jtr.3x{
Fjemplos:Determina¡gof y fog si:
1 r flx): J8-:¡-Pordefinición g o fes:ctrCx» : c(Y)
2)
)) : lx+zl: (e):3s2 + I=:Tx+ 2ll,+r=: lx + 2lt'+ t
y g(X): X2 - 3.
fit+3x'+3X+l(X+1)
y cG):i/x. Haturr(x)§)
: +/pÍTs)(x) : +f§l+s)Dada la función compuesta g o f: J2x + 2.3x + ISolución:
s o f ct(x»cü) : vYV? 32x +2.3x+lY (3'* + 2.3* + l)'(X) : (3'*+2.3x+1)3
Dada Ia función compuesta g o f= aX2 + bX + cg o f clf(x)l
lYl
cG) - 2lzl
!221 - aX2+bX+c
6)
Por definición
La función g con variable YFunción compuesta
Por definición
Función g con variable Y
Función compuesta
y c1x):rlll. r.,."oinar r(x)
Algebra Superior 125
EIlog2(aXz+bX+c)
2log2(aX2+bX+c)+ 2 log r(aX2 + bX + c¡+2logr(ú'+bX+c)
7)
lvlY(x)
,rry
Dada Iafunción compuesta g o f: X2 - 2X + S y g(x) : X2 + 3X + l. Determinar f(X)gof :Ct(X» Pordefinicióng(Y) : Y2 + 3Y + I Función g con variable YY2 + 3Y + I : X2 - 2X + 5 Función compuesta
,z+3.( T¡* 9 +l- 9:*-2X+5, secompletael cuadradoeny244tY+( 1)1',- I : x2-2X+s
1n
[Y+(1)l' = x2-2x+5+ 5
24tY+(:)l'
2
: x2 -2x+ 25
4
1".11l2lY
Y
f (x)
X]XO
2
t J4x' - 8x' + 25J
)
-31,,,[;'-g¡a252
-3sJa¡'-s¡alJ2
8) Determinar g(X), si se conoce que:Solución:
gof:2X2 +3X+ 4 y (X):X- I
Sea g(X): AX2 + BX + 6 Esta función debe ser del mismo grado de g o fsof:ctffi)lg(Y)-2x2+3x+4AY2 + BY+ C:2X2 + 3X +4 Es unafunción enY con coeficientes indeterminados, es decir es latunción g con variable Y. (Y: f(X): X-1).
A{X2-2X+l)+BX-B+C : 2X2+3x+4AX2-2AX+A+BX-B+C : 2X2+3x+4Ax2+(-2AX+BX)+A-B+C : 2X2+3x+4AX2+(-2A+B)X+(A-B+C) : 2X2+3X+4Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de X para formar un sistema de ecuaciones.x'I A:2
_24+B :3 _+ B : 3+2A : 3+4 __ 7A-B+C:4 -+ C:4+B-A :4+7-2:9
e)
Entonces g(X) : AX'? + BX + C = 2X2 + 7X + g
Determinar g(X),siseconocequego f :ZX-3 y f(X):XSolución:
c(X) : Ax+Bsof : clf(x»s(Y) : 2x-3AY+B : 2X-3 (función g convariable y)AX+B: 2X-3 -+ A:2 y B:-3por tanto g(X) : 2X - 3
-8X+25
-8X+25
126 Relaciones y Funciones
r 1)
t2)
13)
t4)
Sí f(X- 1) :X -2 y (eof)(X + 2) : 2Ir2-X. Calcular g(X)Solución;
Se necesita determinar f(X). Ya que (X - l) : X - 2 --> f(X) : (X + 1) _ 2 : X _ I(go0(x +2):2X2 -X -+ (g"0(x):2(x_2)2_(x_2):2x2_9X+ roYa se puede determinar g(X).(g o 0(X) :2X2 - 9X + 19
c(f(x»=2x2-9X+¡gC(X- l):2X2-9X+ 10 -+ s(X):2(X+ 1f -9(X+ l)+ l0 =2X2_5X+3
Sí f(X+ 1) : 3x + l, s(x) :2X-3. Haltar(fo g)(X+ l)Solución:
Si f(X+ l):3X+ I + f(X) :3(X_ t) + 1 :3X_2Luego se determina la función compuesta(f o g)(x) : (g(x)) : f(e) : 3 e - 2 : 3(2x - 3) - 2 : 6x - I 1
Entonces (fo g)(X + l)= 61¡ + 1)- 11 =6X -5Sí (f o g)(X - 1): X' -2X y C1y): X + 3. DeterminarSolución:(f o g)(X - 1): X' -2X -+ (f o gXX): (X + 1), - 2(X +(foeXX):X2-1f(e(X))=x2-lf(x+3):X2- 1 -+ f(X):(x-3f - t:X2-6X+9* 1:X2-6x+ 8
Sí f(2X+3):4X+l y C(X):X2+3. Determinar(fogXX) y (go0(X)Solución:
f(2X+3):4x+ 1 + f(X):4= + I =2(x-3)+ 1 :2X-6+ 1 : zX- s2
Luego(f o g)(X) : fG) : 2e - 5 : 2(X2 + 3) - 5 : 2X2 + 6 - 5 : 2X2 + t(g
" 0(X): Cü): Y2 + 3 : (2X_5)2 + 3 : 4x2 _ 20X+25 +3:4X2 - 20X+2g
Sí (go0(X):X+2 t f(X):X3+6X2+12X+8. Hallar g(X)Solución:(g
" 0ü) :X+2s(f(X» =X+2g(X+2)3:x+2 + c(x):*(Jx-z): Vx- 2+2:1lx
Comprobación
sí (x) : X3 + 6X2 + l2X+ 8 y g(x): ,Jx . Determinar: (go 0(X)
Solución: (go0(X):c(Y): 3JV : :X+2
{.I5 FUNCIÓN LINEALUna función polinomial real de primer grado se denomina función lineal.
fiX) : aX + b lraratodo X e & donde 4 b e Ry a+ 0.si a - 0. (X) - rü + b es crecientesi a < 0, (X): aX + b es decrecienteDom(f): R, Rec(f): R
Esta función tiene un único cero, o lo que es lo mismo la ecuación aX + b: 0 tiene una única solución, X :^hdecir f ( - : ) : 0 es el punto de intersección con el eje X. Ademas cómo f(0) = b, es el punto de intersección con ela
;ie Y en b.
Los puntos (-bla 0) y (0, b) son suficientes para trazar la línea recta de f.
(x)
1) : x' + 2x+ 1-zx_ 2:x2 - 1
_!. p,a
(X+2)3
.\lgebra Superior127
La expresión Y = aX * b, se denomina una ecuación de la recta, donde a pendiente, y mide la inclinación de la rectacon respecto al eje X.
Ejemplos:
l) f(x): -3x + 4
siX=6, X:13
Y=4, y:0
2) f(x):2x + I
siX=O, X:-12
siY: I, y:0
3) (x):
x= 9
2
Y:O
x332
si X:0,
Y: -4"2
4.16 FUNCIÓNCUADRÁTICAuna función polinomial real de segundo grado se denomina función cuadrática.(x):{'+bx+ c, paratodoX e R. Dondea,b, c e Ry a+ 0. cómoa+0 sepuedecompletarel cuadraiJof(X):aX2+bX+c
: u[*'*l!')**9-1L (a)' a)
: ^l(*,*?!r*-4)*e- b' I
Ll 2a- 4a2) a a"')
: "[l**a)'* +ac-b2.1
-[t '' z"J 4a2 ]= u(* *a)' * 4ac-b2
[ 2a) +u
128Relaciones y Funciones
si x=-4. Y=2a'
-b2 +4ac4a
.--e -.n las coordenadas del vértice. au - [- u - - u' + +u..]
(2u 4a )
?:-.a determinar donde crece o decrece f, es suficiente estudiar el comportamiento de la expresión "[".*]'',1 :no el cuadrado de un número no puede ser negativo
[, - *]' =
| ,, cuando X: - (bt2al
[..*]'= ][
[-**]'>0, cuando x+-(b/2a)
0, VxeR seconcluye:
P: r medio del coeficiente a podemos juzgar si la función tiene m¿iximo o mínimo.
cuando a > 0, la función tiene mínimo en el ( a - h2 + 4ac )punto [-; _. J
La parábola se abre hacia arriba.
l-, cuando a < 0, la función tiene m¿Lrimo en [- u - - u'z + +ac )
[ ,u' 4a )La parábola se abre hacia abajo.
Car¿cterísticas de las raíces por medio de Discriminantesf . .) . I
fi,mo f(xl=al|,**a]- *-b'+4ac I
L\ 2a ) 4a2 ,l
:¡xt=0
b ): _ b2 +4a.'.-rJ .-:¿_:::=n
-,- b)t-b2-4ac)a) 4a
, - o ',1 -b2 -4ac
t--¿ . 4a'
E'1*t__\ +o'
..ibt - 1o,1-
',1vD - +ac
__i _a---:-que es la formula general, y la expresión b2 - 4ac: a, se llama discriminante
129
Para a> 0I) Si
^>0,f1*12
la función tiene raíces reales y distintas
- -b*J6,-4*J,t - --=Za-- -b-J6t-*)lr-<-2a
La parábola corta el eje de las X en 11 ) 12
il) Si A : 0, las raíces de la función son iguales r1 : 12
La parábola corta el eje de las X en un sólo punto.
III) Si ^
< 0, ia función no tiene raíces reales.
Paras<0I) Si A > 0, la función tiene raíces reales y distintas r¡ + 12
La parábola no corta en el eje de las X.
II) Si A:0, la función tiene raíces iguales r1 : 12
[II) Si A < 0, la función no tiene raíces reales
130Relaciones y Funciones
?a= =rafrcar
u¡a función cuadrática es necesario lo siguiente:
''' T§#rTfl-:11#iptosX(Ix)'ParalocualY:0,entoncesax2+bx+c:0.eueseresuelvefacrorandoopor
l=, htermina¡nos interceptos y (Iy). para lo cual X : 0, entonces y: b.
l' r Determinar coordenadas del vértice.
F-iemplos:
Grafica¡ las siguientes funcionesa) f(X):x,+X+1d) f(x): -x, _ 6x _ s
Solución:
a) f(X):X'z+X+ I1) Interceptos (Ix): y:0, X2 + X + I2) Interceptos (Iy): X: 0, y: I
3) cv -( --b ,-b' +qu"):.u =l-'l2a 4a I - I t\ / \-4) (-1)=l -l+ 1 : I Puntoadicional
cv=f.:L.-u'*¿u')(.2, 4a -)
b) (x):x,-6X+ee) (X):-X'+4x-4
c) f(X¡=¡z+X-60 (x):_x,+3X-5
:0 No existen raíces reales.
-1+4\, , l: (-0.s.0.75)+)
b) f(x):x,-6X+e1) Interceptos(Ix): y:0, >3_OX + g :0
(x_3xx_3):o
2)-Interceptos(Iy): X:0, y:9 X'z :3
3) cv =[,],-u2 ++ac]:cv =lg lo*:o)''-t,zu'--u .,l--n={.r' + ]: (3'o)
4) (4) : 16 - 24 + 9: 1 punto adicional
c) (X): X'+ X - 61) Interceptos(Ix): y:0, x2+x-6 :0
(x+3xx-2) :0X+3:g '', X-2:¡
X: -3 v X:22) Interceptos (ly): X:0, y : -6
3) cv=(*r*l:", =(;1f): (-0.5, _6.25)
Algebra Superiorl3l
d) (x): -x'- 6x-5l) Interceptos(Ix):Y:0, -X2-6X-5 :0
X2+6x+5 :0(x+sxx+ l) :0X+5:0 v X+1:6
X:-5 v X:-12)
3)
Interceptos(Iy): X:0, Y:-5
., = [*,.qt*) = ., =(+,-.yl : c,,,r
e) (x):-x'+4x-4l) Intercept'os (Ix): Y:0, -X2 + 4X- 4 = 0
xz-4x+4 :o
ÍX-3§-'r 13
2) Interceptos (Iy): X :0, Y: -4 Xr z :2
3) cv=(*+*)=." =(=-.#l :,,.0,
4) f(4):-16+ 16*4= -4. Puntoadicional
(x): -x'+ 3x - 5
1) Interceptos(Ix):Y:0, #:*;::;
3tE Noexisten raíces reales.
2)
3)
4)
Interceptos (Iy): X : 0, Y = -§
.u = [-q, - o'.* ou.) :.u = (- ¡. - g * zo']
[zu' 4a )"'-\_2' 4 )f(3):-9+9-5:-5 puntoadicional
= (1.5,-2.7s)
4.r7 ruxcróNExpoNENCIALLa función (X) : a*, a e R, a > 0 ¡ a + I se llama exponencial.
Dom(f): R, Rec(f1: R..Propiedades
1) La ñrnción exponencial es positiva para cualquier valor de X, la gráfica esta dispuesta por encima del eje de lasx.
2") Si la base a , es mayor que uno, la función es creciente.
3) Si Ia base esta entre 0 < a < 1, la función es decreciente.
4) Para cualquier base positiva a' : 1 cuando X : 0; por lo tanto, la función exponencial tiene un puntocaracterístico que es (0, l).
t32Relaciones y Funciones
c) f(x) = 2lxl*'
0 f(X¡ = 2-x'z
i) r(x) : (j) ,Y *,
r) r( x ) : [-! '1 *'-''*
'- '
(zJ
,,*', = l1)"lrl\L '/
b) n",= [;)e) f(X) = -2x
h) f(x)= (i),:k) f(x)=-22x
b)
F.iemplos:
Graficar las siguientes funciones:
a) f(X; = 2x
d) ,,*, = l1)l"l' t)l\. /
g) f(x)=l-3x-'
1xll f(x) = --: -
1 +2^Solución:
a) f(X) = 2x
, x<0
, x>0, X:0, x<0X > 0 z-x+t
c) f(X): 2lxl+'
f 2**'r(x) ={ 2l
[2-** '
?X+ I
x 1 I 0 I 2
Y 4 2 I2
I
¡
x a 0 1 2
Y I4
t2
2 4
I J-)\lsebra Supeúor
x>0
X:O
x<0
[(;).: I (;)'
Lt+) '
>0
d) r,r,=[])' '
r(x) = (i)'''
[i)., *
r1x;: t-:x-3
e)
h) r(x) = lr) ,i\ 121
r I ) -'- x<0lrlx --l a
1
Y It 1
¡I
,
X 2 3
Y I2
I4
II
f (X¡ = 2-x'z
X a 0 I 2
YI
loI
, I1
,I
16
f(X) = -2xX 1 0 2
Y _l4
I_,1
1 -4
X 11 0 2 3 4 5
Y 0.04 0.0s 0.08 0.1 r 0.l6 0.23 0.33 0.41
X -2 I 0 I 2 f
Y 0.99 0.98 0.96 0.88 0.66 0
Relaciones y Funciones134
X a1 0 1 2
Y 1.1r 1.16 1.23 1.33 1.47
rrxr = 1.2J
x-lT+t i)
1Xf(x) = --:-
l+2^
k) (x):2"
La función f(X) : e' , donde e = 2,718281 es número irracional.Una aproximación de esta función es el polinomio:
- x2 Y3 Xne^:l+X+" +"21 3! n!
Esta función tiene una característica propia, su gráfica forma con el eje de las X en el punto (0, l) unringulo de 45". Ademris con esta ñ.mción se definen otras que aparecen en la matemát;ca eleÁeátal.
"X _ "_X oX _ -*Xcomo: Shx=" ' Chx=s rs22
Y: ex
Notación Y: lx es una función constante.
, v2-rLrrr rrxr:11i""-''*'-r\2)
Si se elimina el valor absoruto, la función queda y = f ^L)-'-'-- , completando el cuadrado:\2)
x: - 2x - I : (x - 1)' -2, entonces "
= f 1l --
'' -'
, .n consecuencia el vértice de esta parábola\¿)
x a -l 0 I 2 -l
Y 0.2 0.33 0.5 0.6 0.8 0.88
i.eet'É Superior135
. . _)/1\ 'es: x:1,
"=[';J =4,como X:lesejedesimetríadelaparábola,portantoessuficiente
dar valores a la izquierda y derecha de ese punto.
z. r x2-2lxr-l
"=[;lNota: Esta función es par
4.I8 FUNCIÓNLOGARÍTMICA
La inversa de 'la función exponencial se llama logarítmic4 si Y : a' direct4 entonces la inversa será: X = ay .Y:log"Xdonde, a>0ya+l
Propiedades:
1 - La función loguX esta definida vx > 0, su gráfica se encuentra a la derecha del eje de ordenadas.2.- Para a > l. log" X es creciente.
3.- Para 0 < a < 1, log"X es decreciente4.- La función logarítmica tiene un punto característico (1, 0).
Ejemplos:Graficar las siguientes funciones:
a) (X): log2Xb) f(X): togsX3c) (X): log2lx * r I
d) f(X): log2 VFllllre) ftx¡ - ltog ,1x * + jl. I
0 l16ll:loe,ll-xlc) (X): log I VE-:,
2
h) (X): log3 (3 - x)
136
i)i)k)
D
m)
(x):(x):(x):(x)=
f(x):
logr(X2 + 2X)log2(X2-4X+5)ln (1 + X2;
tog,lt-lxll2 / -¡
tog,lx2 -:lxl+l ))l
X Y
-l 1
¡0 21 42 2
3 I4
Relaciones y Funciones
X YI4
a
1
,0
2 t
4 28 3
Solución:a) Y: log2X, Dom(f)= ¡ ¡ 6
2Y: X Forma exponencial
b) Y: logsX3, Dom(f): 10, *[8Y =X3-F_Vg' :x2Y :X Formaexponencial
c) Y = Iog2l x + r l. Dom(f)-- R- {-t}2"- lx r ll Formaexponencial
lX*f l=2Y<+X+l :-2Y v X+l :2Y<+x :-ZY -l v x :2Y -l
Hemos obtenido dos funciones X, : -(2Y + t) v Xr:Zv - 1
x":2v
d) v : tog, /{ Dom(f): R - {-1}
?Y : Jx;if Forma exponencial
(r'I = Jii+l'2:\' = lx*tlJ\' : lxnrl
x +l
x1 _14
J-, a -J -5 -9
Y 1 I 0 I 2 J
x2J-1 _1
20 3 7
Y 1 I 0 2 J
\lgebra Superior t37
lx"rl:4Y <»9
X+1:-4vX=-4Y- I
X+1:4vX:4Y - I
Xr:-(4Y+l)
xr -17l6.:
41 -5 t7
Y .| -l 0 I 2
e) v: lr"s,{x*+)l
aouri^-ostansólo y: tog,(x+4)
OD)v : (X+4) porma exponencial, Dom(f):l-4, "o[
x: ll)'-¿\2)
lvl=togrlt-xl Dom(f):l_co,0 jwl2,
alvl = lr - xl Forma exponencial
lt-xl=4Y <+ l-X:-4Y v l_X:4Y€) -X :_4Y_l v _X :4y_l<] Xr =4Y+l v Xz:l-4Y
Hemos analizado la función v = logrlt _ XlX,:(4Y+ t¡
coI
Xz: l- 4\
Xz:4Y - |
x2 _15l6
_14
0 1 l5Y a I 0 t 2
x 0 1 -3 _72
_154
Y .)I 0 2
XI17
l6I4
2 5 l7
Y a1 0 I a
x2 l516
14
0 -J l5Y 1 I 0 I 2
138Relaciones y Funciones
c) Y=losr lx{1
[;)" = vt{lf']" =r-, <>\8/
Dom(f):l1,* [
,=(f)".,
h) Y = toe:(3-x)3t :3-X3"-3 :-x <)
Dom(f):3-X>0Forma exponencialX:3 - 3Y
v = tog, (x'? + zx)
2Y :X2 + 2X
2Y :X2 *2'2 x*t-l2
Z" = (X+ t;2_t2Y+l:1x + 1;2
llft.rf =Jl+r'
lx+rl =Jl+r\ <+ X+l =-[+r'
xr = -rll*2" -t
Dom (f):X2 +2X > 0:x(x+2)>0
Dom (f.¡: ] --, -2lwl 0, * [
Completamos el cuadrado para despejar X
X+1=.[./
€Xr =-ú+2t -l v x, =d;i-t
x 64 8 2 z8
65
64
Y .,0
.l2
x 2.88 2.66 2 0 -7
Y a I 0 I 2
x, -2.1 aa -2.4 -2.7 -J.L -4Y a I 0 2 J
x2 = ',ll+21 -1X¡ 0.1 0.2 0.4 0.7 t.2 2 3.1Y .., 0 I 2 J ,4
Algebra Superior 139
i)" = tosr(x'-+x+s)2r:(Xr_4X+5)
).t2, = (X, _;x +4) _4 +s
2v : 1X -Z¡2+t2Y-t :(x-2),
Dom (f): R , Rec(f): R- u {0}Completamos el cuadrado para despejar X
lx-zl
xr
éXr x2
x2=2-.JY a
=Jz'-t ex-2=-JrY I v X-2=Jr' j=z-Jz" -t v =2¡^12'j
=2a,{¡ -1
k) Y: ln(1+X2)
e" :1t+x)e"-1 =x2
Dom (f): R , Rec(f): R. u {0}
G"-r=¡x¡ €) xr=-SY{ X, =JJJ
r) v=r"r,lr-lxll2
Solución:El dominio de esta función es: R - { -1, I }
flog,lr-xl. x>oY = tos , lt-lxll = l. ,-; ,,' llog,ll+Xl,x<02l
L2Para X >0
Y :tog,lr-Xl2
[r"
x, 2 1.56 1.35 I 0.3 -0.6Y 0 0.25 0.5 I 2 J
x2 2 2.43 2.6 J 3.t 4.6 5.8Y 0 0.25 0.5 2 J 4
X, 0 -0.5 -0.8 1.3 -2.5 -4.3Y 0 a.2s 0.5 I 2 J
x" 0 0.5 0.8 1.3 2.5 4.3 7.3Y 0 0.25 0.5 I 2 3 4
140
=ll -xl
Relaciones y Funciones
Resoh'iendo esta ecuaciónz- rYr-xl=fl)' ., r-X=-lt)"\2) \z)
c? -, = _ll)" _,\2)
€) x, =ll)'*,' \2)
'-'=(;)"
-, =(*)'-'
Xz =1-(r'
Para X< 0 trasladamos ésta curva simétricamente respecto al eje vertical (revisar sección 4.9.1)
Eliminar losvaloresdeX<0
Eliminar losValoresdeX>0
Uniendo estos resultados se tiene
v=tog,it-lxll2
X 5aJ 2 1.5 t.2s
Y I 0 2X, -3 0 0.5 0.75Y 1
0 2
\lgebra Superior141
t " ,,xt*llm) f(X): logr[X' - 2 )
Si se elimina el valor absoluto la función toma la forma: y=log:(x'-:x*l).r-"
determinar el eje de simetría de la curva es necesario completar el cuadrado.
Y = I"c, [[x -;]'
- -]l , en consecuencia el vértice de esta parábola está en: *:1 , y -2 .-L\ ¿) 4)
Forma Exponencial: 2Y = [t', - :)' . ]lat:¿ =L[^-r)-¡)
2'- t =l,"-1)'4 \ 2)
v X, =1+'2
Rec (fl: z" -1> o41:2Y>!4
- oY: I -2_ L 'L: Y>-2
: [-2, -[
-1.18.t Propiedades de los Logaritmos
lr Ellogaritmodeuno,esigualacero logul=0, a0=ll) Ellogaritmodelabase,esigualauno logua=1, al=aIt Si log,X¡=log"Xz = Xr=Xz
-i) X=¿loB"X , 1,=uloguY , 3=21ogrl ,5:7logfj ) El logaritmo de un producto de dos o varios números positivos, es igual a la suma de los logaritmos de
sus factores.
logu b.c = logu b + logu c
Demostración, Ios^b los-cD=a "" ;C=a ""
b.c: ulo8ub.ulogu" - b.c: ulogub+loguc
Si en esta igualdad tomamos logaritmos en base a , se tiene:
F==l*-¿lv +l2l
xr 1.5 2 2.3 2.8 3.4
Y ", 0 2
x2 1.5 I 0.6 0.3 -0.5
Y 1 0 2
112 Relaciones y Funciones
log" b.c = log" u'o'" b+logu c
logu b.c = (log" b + logu c)log" alog, b.c = Iog" b + loga c
Logaritmo de un cociente. Es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador..b,o*"; logub-log"c
Demostración, loq" bD=a --
los" cc=a -*, Ios- bD a"c ulo8u "
b los ^ r, -tn.--a "^ .u'-ou - Tomandologaritmosenbasea
.blogu : = log, u'ot' b-log u c
c
htIog, i=tog, b-log, .)tog
" u
C
hlogu -=logub-loguc
1 Logaritmo de una Potencia.-Es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
logu b" = c log, b
Demostración
b = ¿lo* u b Elevamos a la potencia c ros dos miembros de la igualdad
bc - a clos a b
Tomamos logaritmos en base a
logu b" = logu u "'o* " o
log" b" = c logu b.logu a .
logu b" = c logu b
s I Logaritmo de una raíz'- El logaritmo de una raíz de un número positivo, es igual al logaritmo delradicando dividido por el índice d,e laraí2.
1
tog, Vb = llogu bc
I':nplos:t'''; :;¡ ett.forma logarítmica
1 x = fJ;.b.c
.l-{(a+b[a-b)]
-.___.-=¡+
Va
x=
X=
x=2.
4.
I 4a ..la.bl-
l su Vu'u
-^ luo Ju.u
ilb'?ñlog" (a + f)roe "
(a+u¡
)t-r:¡rrI
r- _:-:- Superior
X= 6.
143
Solución:
r. x: fJ;b.clogX loe2 . Va-b-c
= tos2 + rog(a.b.c)l
= log2 + l tog a.b.cJ
log2 + ] {,"*" + Iogb + logc)
= log2* 1 logu *1logb*1tog"
2. x=
logX - Ios @! su Vuru
loeX = f rorqalai- 2 "s¡Va2u
rogX ] (,* aa Jli- rog 5b il6 )
* [,*- + roga *
]{,o*u + rosr))-
[,"r, + rogb *
](r"e,, . ,"*rr]]
! l.,eq * llosu* lrogu * f togu - lu,es- lrog¡ - llogu -1 rogu
! beq* aroeu - lrogu - l,,ss
logz -1togs * alogu - alogu
logX
logX
logX
logX
rogX= *,**,8rogX= *[,**.,"*f)rog X = * l(,"r,
- rog(a rl" ,,
,* l)lrog X = *[F'* a - rog b)+ ] (r"s u - r"s
")]
log X = *[(-,* a - rog b)+ 1,og u - 1 lo, u]
144Relaciones y Funciones
rogX = *(- j.-" - i.*o)logX = -lto*u --]-logu
4. x- ,/u'J3-u! u, {/u"
5.
rtlogX = j[r.s r' fi - rog u, t/uc]
rogX = 1[,* "- + rog(u.r)] - (r"s u, . ,"* tu Oi)]
rogX = 1[0,", u * )Q,ru+ rogb)-(r.* o* ](rosu..r.rl
rogX = 1[0,", u * L,,ru*1loeu -2tosu-]roeu-i"r"]
rogX = i[i,* u -l,,ea- i,*.]logX= 2beu-Lrcra-1tog"
logX= lloru -Lbea-Lu,e"
logX =
rog 1fJiu{u-uf - togu}
j [r.*(" * o) * rog(" - u)' ]- 1ro, u
logX = i,"*(" + u)+ ltog(a-b)- lroeu
x = log, (a + 6)loe " (a+u)
log X = log log" (a + b)los " (u*u)
log X = log"(a+ b)log.log"(a+ b)
logX: log(togu(a+U))'z
logx= 2loglog"(a+u)]
logX =
logX =
logX =
Es c r ib ir en forma exponencial
I.
2.
6.
rogX = *[i.-,"-ol-],"*"]+3 rog(a+b)
IogX = 1[,"r" *]{ro*u*zroe.)] -[oe¡+4 log(c+a)-log(a+b)]
rogX : ][r,"r{" -b)+2log(a+b)-aloga]
(a+uXa-¡)3
Va
.*JGa#:lL
Alsebra Superior145
Solución:
t.
los,Nloe.N= "'logna
El factor - I
log oalogaritmos de base
146
2.
logX =
logX =
logX =
logX=
logX =
logX =
logX:
logX =
logX=
#B.tt" - ul- Jr"e"]
+ 3 rog(a + b)
*,*F+rog(a+b)3
,o- 'ffi + log(a + b)3
r"s,ÍF.(a+b)3
ffi.(a+b)3
i[,*". it os u + z tos ")] - [og b + a tog(c + a)- log(a + b)]
1(rog u*log ú7)- [rog o* rog (c+a)a - rog (a+b)]
i(,"'"ú7)-bc#
'o*i[i6e -,"*oiÍ'#
,onffi" b_td1(a+b)
üT;7 (a+b)b.(c+a)a
] t, ,"r{" - b)+ 2 |og(a + b) - 4 log a]
][.* t" - bf + log (a + b)2 - rog u' ]
|["* t" - bf .1a + u¡'? - rog aa ]
logX =
IogX=
logX=
logX=
logX=
4.18.2 Fórmula de paso de un sistema de Logaritmos en Base a, a otro de Base b
o log,*:r]=tog6N Orogba
se llama módulo de paso de un sistema de logaritmos de base a, a otro sistema de
b.
(a-bI.(a+b)'?
Relaciones y Funciones
Demostración
Consideremos log.N=X -) ax=NTomando logaritmos en base b.
logoax =
Xlogsa =
log6N
logoN
logoNlog ra
Por tanto log " N =
logoNlogoa
Si N: b, entonces la fórmula de paso se transforma en log "
b = #;
Ilog *N=^log"N
log,N log6NloguoN=;aft o logu¡N=l*lt"u_ l+logoaDemostraciónde @ y @
La formula @ se demuestra utilizando @
rog *N:-f - = I I = fron Nlog*aK Klogra K
La formula @ se demuestra haciendo cambio de base
r^^ \r IoguN loguN loguN_ t\=_
loguab logua+logub l+logubLa relación entre logaritmos decimales y naturales esta dada por:
. log"Nlog . l0
Ejemplos:
l. Calcular log 2 5 .log , l0.log ,o 16
Pasamos toda la expresión alabase 2.
rog,5ffi#tr# = rosz16 = tog222=4
2. Calcular log ,7.log ,49 .log 0n243Pasamos la expresión a la base 3.
tog,7 fi# tr# = .,st243 - ros,35=s
3. Dadolog2:a y log5:bDeterminar log ,r 40
Convertimos log rr40 abase l0
los,.40_ log40 _log 5.8 _ log 5+log8log 25 log 52 2 log 5
o
@
log 5+3log2 3a+b2log 5 2b
Áleebra Superior 147
4. Dado logro3=a y log
Pasamos log ,o g a base 2.
r^_ " logrg 3log12
rog 2 30 log ,2.3.5Necesitamos determinar log ,3
Como logr63=a luego
Como logro5:b luego
365=b. Encontrar log 3s 8
log22+logy log r5
logr3
,3+logr5 l+logr3+log]
l+log r3+log r5
log25l+log 25,3+log
(1)
=a y
=b
log
Iog
log
log
log
log
log
log
,:=a[+log23+logr5),l=(a+alogr3+alogrs)2 3 (1-a)= a+atog , 5
,5=![+tog ,3+tog r5) e), s=(b+blog 2 3+btog ,5), s(t-u)= b+btog r 3
- b+blogr3' (t-u)
a+aloe .52J=- ,- --;-
0 -r)Reemplazamos log 2 3 en el resultado de Ia ecuación
tog,5=u[r* u*l't-* rt +log,sl( l-u )
(2)
log 25=O(f -u+a+alog 25+log r5-alogrr)*
log r5=bl.l+loe.s) I
" " 'l-aIogr5= (O*btogrr+
l-alogrs(t-a) = 6*Ulogr5)log r5(t-a-U)=U
blog,)=-(t-a-b)
Este valor reemplazamos en el resultado de (l)ba+a=--
-
N.log"N+log"N.log"N=
y diferentes de 1.
log,3:- l,-e-o -a(l-a-u)+au _ a-a)-ab+ab a- (r-u) (r-a[r_u_b) -Tr;Xr_;:b)-=[_"_-ü
Por tanto
Iogrr8=l+log r3+log r5 ab +=_-l-a-b 1-a-b
=3(l-a-b)
Demostrar que:
log"N.log6N+logo
N, a, b, c mayores que 0
.,=-l-a-b+a+bl-a-b
loguN. logoNlog"Nlog u6" N
Donde
148Relaciones y Funciones
FIhlthFDhtttthbbi"l"!}lrrtaI'7'a4Da¡tD¡,
t1¡?¡tt!B1;),aa4,a,aa)tsal,
Solución:
6.
log u N. log o N + logo N. log "
N + log u N. log "
N :11l
logNa.log*b log*b.log"c logNa.log*c
log*c+log*a+log*b _ log*abclog * a.log * b.log¡i - Gg - "
j"g,.., b l"g. "
loguN.logoN.log"N _
loguo"N
I
calcular: * = 'EG'*roe"1 r25
\ztConvertimos los términos del exponente a una base común
ll5l"gr3 = lo8¡5
log 06125 = log ^ ,(S)' = log ,* ,53l2zz 3 2
Por tanto
f rlJIogss*!rog,,I / \r 15 -- 5
x = lF-'F IL]x=(:fl l'"',,x : (:f ir.c, s
X: (3)r'e ' s-s
_1X=5 5
1
Vs'
Calcular: X=23-tog t3 *r2tog72+l13
X = ---'- +72l"ct z .,2t'E q t
*: 8 -1log14n--.;-;-+/ -,..7
2"2'8x=.--+.1 .7
:los , l22 ''
8x=_---+29
,tog 2Zl
x={-+za.,/3
X:32.6
)=3log 55 =3alos,5.; 5 --
8.
6-los,-55 "'
Por propiedad (4 )
Calcular: X=3ltlos ¡4 + 2log23-2
v ".logr4 2log27^=J.J +--i
2'
X=3.a+14
x=
.\lgebra Superior
9.
a)
b)
c)
d)
e)
0
c)
Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones
I(log2 + log5 + log300 - log:).: 5be, :
(o.z¡ 1('t* o' 2 - 3 tos s 7 4)
log., 2.log o 3.log, 4.log 6 5.
fr72tos ,li ,"* ,r'J2 * lorog
2
lOi,orr-,orro toc2
.7toc aJl2i
P+(:o r-r"e e2 +4e-.r,u)logr9'
log r 6.lo9.7
tT)
h)
i)
i)
k)
1 3-log a3 , 12los1Z+l
[,", ,.f + 6 ,og
i(}) -,,* *(i)]*,og ¿ '6
ros , [ros]
(i) - ,.- , Jr * rf
,.r,, (*'Jr).,"*,, [+). "*,,,(+)
m) (o.t) : r"e1o r;-r'srog(0 r). (o.r) -( tosg+z-roe2o)
Solución;
a) (log z + tog 5 + Iog 300 - rog :) .3 ñh
- iorr+ tog5 +1os22.52 .3-tog3 ) : ,*r,.
(ogz + tog5 + tog22 +log52 +log3-log:).: r*rtrÉ
(tog2 + log 5 + 2tog2 + 2tog5 + log 3 _ tog 3). 516
(: tog z + : tog s) .5J1
(togs.rzs).'.,6
( tog r ooo) . 5Jt
log 103,V5
3.vt
b) 1o.z¡i(n'.c622-3rog624)
(o.z¡'l(|* 62 zo -tog 62 +r)
Í. zo)
1o'z¡ il'"'o'
'; '1
(o'z¡ it"'o' " )
1
(0'2) t"c 0222
3
21
150Relaciones y Funciones