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Función lineal
Una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya
representación en el plano cartesiano es una línea recta.
La función lineal del tipo:
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
Ejemplo:
Y = 2 X
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
http://www.vitutor.com/fun/2/c_a.html
Si x=0
Y=2(0)
Y=0
Si x=1
Y=2(1)
Y=2
X
Y ANÁLISIS
La gráfica es una recta que pasa por el origen.
Tiene una inclinación hacia la derecha.
La pendiente es positiva o mayor que cero: m=2
El dominio es el conjunto de los números reales.
El recorrido es el conjunto de los números reales.
m=2 m˃0
y = mx
ACTIVIDAD
Representa y anal izar las siguientes rectas:
y = x
X 6 3 0 -2 -4
y = x
ANÁLISIS
X
Y
y = −2x − 1
X
y = -2x-1
ANÁLISIS
Y= 3x+5
X
y =3x+5
ANÁLISIS
Función Cuadrática
Es función pol inómica, es de segundo grado, su gráfica es una parábola .
Representación gráfica de la parábola
Podemos construi r una parábola a parti r de estos puntos:
1. Vértice
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:
2. Puntos de corte con el eje X; Y=0
En el eje de abscisas o eje X, la segunda coordenada Y es cero, por lo
que tendremos:
ax² + bx + c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje Y; X=0
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que
tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)
http://www.vitutor.com/fun/2/c_5.html
f(x) = ax² + bx + c a˃0, la función es cóncava. Tiene un mínimo absoluto.
a˂0, la función es cónvexa. Tiene un máximo absoluto.
Ejemplo:
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.
1. Vértice
( )
V(2, −1)
2. Puntos de corte con el eje X:
(3, 0) (1, 0)
1. Punto de corte con el eje Y:
y=(0)² − 4(0) + 3
y=3
(0, 3)
X Y
2 -1
3 0
1 0
0 3
ANÁLISIS
La gráfica es una parábola.
a=1 → a˃0, la función es
cóncava.
Tiene un mínimo absoluto
La asíntota es : x=2
Dominio : R
Recorrido: [-1,+∞)
𝑥 𝑏 ± 𝑏 𝑎𝑐
𝑎
a=1 , b=-4, c=3
V
Y
X
ACTIVIDAD
Representa y anal izar las siguientes parábolas:
y = −x² + 4x – 3
ANÁLISIS
X y
X
Y
1. Vértice
2. Punto de corte con el eje x: y=0
3. Punto de corte con el eje Y: x=0
y = x² + 2x + 1
ANÁLISIS
X y
X
Y
1. Vértice
2. Punto de corte con el eje x: y=0
3. Punto de corte con el eje Y: x=0
y = x² + x + 1
ANÁLISIS
X y
X
Y
1. Vértice
2. Punto de corte con el eje x: y=0
3. Punto de corte con el eje Y: x=0
𝒇(𝒙) 𝒑(𝒙)
𝒒(𝒙)
Función Racional
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
O
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el
denominador.
Ejemplo:
Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:
Función de proporcionalidad inversa
Ecuación general
Su representación gráfica es una hipérbola.
K es un número real y k ≠ 0 siempre
Valores de los parámetros de la ecuación
o Si k>0 → función decreciente
o Si k<0 → función creciente
Estudio de la gráfica
Dominio : Dom(f)=R-{0}
Recorrido: Rec(f)=R-{0}
No tiene puntos de corte con los ejes
Los ejes de coordenadas son asíntotas de la función
Es continua en todo el dominio
No tiene ni máximos ni mínimos
Tiene simetría impar ( con respecto al origen). F(-x) = - f(x)
Representación gráfica
Las hipérbolas son las más senci l las de representar.
Sus así tontas son los ejes
El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las
asíntotas, es el origen.
Ejemplo:
1. Representa la función inversa ( )
Determinamos valores mayores y menores que el valor X=0
x Y=
5 0.2
4 0.25
3 0.3..
2 0.5
1 1
-1 -1
-2 -0.5
-3 -0.3..
-4 0.25
-5 0.2
𝒇( 𝒙) 𝟏
𝒙
𝟏
𝒙
𝒇(𝒙) 𝟏
𝒙
𝟏
𝒙
ANÁLISIS
Es una función de proporcionalidad inversa.
Su representación gráfica es una hipérbola.
Dominio : Dom(f)=R-{0}
Recorrido: Rec(f)=R-{0}
No tiene puntos de corte con los ejes.
Los ejes de coordenadas son asíntotas de la función.
Es continua en todo el dominio.
No tiene ni máximos ni mínimos.
Tiene simetría impar ( con respecto al origen). F(-x) = - f(x)
K=1, k>0 la función es decreciente.
k
ACTIVIDAD
Representar y anal izar las siguientes hipérbolas: X
f(x) = - 6/x
x f(x) =
−6
−3
−2
−1
1
2
3
6
2
3
𝒇( 𝒙) ⬚
( )
𝒇(𝒙) ⬚
⬚
ANÁLISIS
Es una función
Su representación gráfica es una
Dominio : Dom(f)=
Recorrido: Rec(f)=
No tiene puntos de corte con los ejes.
Los ejes de coordenadas son asíntotas de la función.
Es continua en todo el dominio.
No tiene ni máximos ni mínimos.
Tiene simetría impar ( con respecto al origen). F(-x) = - f(x)
K= , k 0 la función es
f(x) =
X Y
𝒇( 𝒙) ⬚
( )
𝒇(𝒙) ⬚
⬚
ANÁLISIS
Es una función
Su representación gráfica es una
Dominio : Dom(f)=
Recorrido: Rec(f)=
No tiene puntos de corte con los ejes.
Los ejes de coordenadas son asíntotas de la función.
Es continua en todo el dominio.
No tiene ni máximos ni mínimos.
Tiene simetría impar ( con respecto al origen). F(-x) = - f(x)
K= , k 0 la función es
f(x) =
X Y
ANÁLISIS
Traslaciones de hipérbolas
A parti r de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación .
1. Traslación vertical
El centro de la hipérbola es: (0, a).
Si a>0, se desplaza hacia arriba a unidades.
Ejemplo:
El centro de la hipérbola es: (0, 3)
Si a<0, se desplaza hacia abajo a unidades.
Ejemplo:
El centro de la hipérbola es: (0, -3)
2. Traslación horizontal
El centro de la hipérbola es: (-b, 0).
Si b> 0, se desplaza a la izquierda b unidades.
Ejemplo:
El centro de la hipérbola es: ( -3, 0)
Si b<0, se desplaza a la derecha b unidades.
Ejemplo:
El centro de la hipérbola es: (3, 0)
3. Traslación oblicua
El centro de la hipérbola es: (-b, a)
Ejemplo:
El centro de la hipérbola es: (3, 4).
Para representar hipérbolas del tipo:
se divide y se escribe como:
Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de
asíntotas paralelas a los ejes.
Ejemplo:
El centro de la hipérbola es: ( -1, 3)
ht tp://www.ditutor.com /fun ciones/func ion_ra cional.html
ACTIVIDAD
Representa las funciones racionales y determina su centro:
1 f(x) = 6/x
2
2
3
4
3
4
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_racional.html
