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Funciones y sus Propiedades Bsicas Funciones y sus Grficas Tangentes y Asntotas Inyectividad y Sobreyectividad Funciones Crecientes y Decrecientes Funciones/Funciones elementales/Propiedades bsicas

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Funciones Una funcin es una aplicacin que asigna a cada elemento del dominio de la funcin un elemento de un conjunto, llamado imagen del dominio. Ejemplos La balanza es una funcin. Asigna a cada persona que se coloca sobre ella, el peso de dicha persona. 1 1 El termmetro es una funcin que mide la temperatura en un lugar determinado a lo largo del tiempo. El dominio de la funcin es un intervalo de tiempo, y la imagen es el conjunto de temperaturas que alcanza ese termmetro en particular. 2 2 Las horas de luz de un da es una funcin. 3 3 f Grficamente Dominio de la funcin Imagen

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Horas de luz en el da 123456789101112 24 18 12 6 0 Mes Horas Helsinki Miami Para entender cmo varan las horas de luz de da en un ao, uno puede medir la duracin del primer da de cada mes. Estos datos se pueden representar. Uniendo dichos puntos con lneas rectas o curvas suaves obtenemos una grfica que permite entender como vara la luz del da a lo largo del ao. Las horas de luz del da es una funcin, y su grfica, que corresponde a las mediciones, es la grfica de la funcin. Funciones/Funciones elementales/Propiedades bsicas

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Definicin de Funciones Sean los conjuntos A y B. Una funcin f : A B es una aplicacin que asigna un elemento f(a) del conjunto B a todo elemento a del conjunto A. Si los conjuntos A y B son finitos, entonces la aplicacin puede ser expresada a travs de una tabla o un diagrama. Normalmente, los conjuntos A y B no son finitos. En este caso, la aplicacion en cuestin se expresa normalmente en forma de una expresin algebraica, incluyendo posiblemente funciones especiales, para f(a). La aplicacin para calcular f(a), para una a dada, puede ser un programa en el que se introduce a como dato y se obtiene f(a) como resultado. Definicin Sea f : A B una funcin. El conjunto A es el dominio de la funcin f. El conjunto B es el conjunto imagen de la funcin f. El conjunto f(A) = { f(a) | aA } B es el rango de la funcin f. Ejemplo Es una funcin que est definida para x 1. Funciones/Funciones elementales/Propiedades bsicas

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Grficas de Funciones Ejemplos En clculo estamos familiarizados con funciones del tipo que asignan un nmero real a otro nmero real. Estas funciones vienen definidas normalmente por una expresin explcita para f(x). El conjunto es el plano. Se representa normalmente dibujando el eje x horizontalmente, y el eje y verticalmente. La grfica de la funcin es la del conjunto. Abajo estn las grficas de las funciones f(x) = sin(x 2 ), g(x) = x 4 2x 3 x 2 + 2x and h(x) = 2 sin(x). Cul es cul? h(x) = 2 sen(x) f(x) = sen(x 2 )g(x) = x 4 2x 3 x 2 + 2x Funciones/Funciones elementales/Propiedades bsicas

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Curvas y Grficas Problema Cul de las siguientes curvas en el plano son grficas de funciones? Solucin Las primeras dos curvas no son grficas de una funcin, ya que no se corresponden con ninguna aplicacin que asocie un nico valor de y a un valor de x dado. Grficamente, esto significa que hay lneas verticales que tienen ms de un punto de interseccin con las dos primeras curvas. Funciones/Funciones elementales/Propiedades bsicas

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Rectas Secantes y Tangentes Una recta que corta la grfica de una funcin en dos puntos es una recta secante. Si se modifica una recta secante rotndola alrededor del primer punto de interseccin de modo que el segundo punto se aproxime al primero, se obtiene en el lmite una recta tangente. Recta secante Recta tangente Puede ocurrir que, en el lmite, no obtengas una nica recta definida. En estos casos, la grfica de la funcin no tiene tangente en ese punto. No hay tangente en este punto Funciones/Funciones elementales/Propiedades bsicas

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Asntotas Una asntota de una curva es una recta que se aproxima a la curva si uno se mueve suficientemente lejos a lo largo de la curva. Aqu vemos la grfica de la funcin y sus asntotas, la recta y = x, y la asntota vertical x = 2. Una grfica puede cortarse con su asntota infinitas veces. Las asntotas nos dan informacin sobre el comportamiento de una grfica cuando nos movemos suficientemente lejos a lo largo de ella. Las rectas tangentes nos dan informacin local sobre cmo se comporta la grfica cerca del punto de tangencia. Funciones/Funciones elementales/Propiedades bsicas

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Funciones Inyectivas Definicin Una funcin uno-a-uno asocia como mucho un punto de A a cualquier punto dado del conjunto B; e.j. f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Problema Cules de las siguientes grficas pertenecen a una funcin uno-a-uno? Solucin Ninguna de las grficas de arriba es de una funcin uno-a- uno, ya que a cada valor de y le corresponden varios valores de x. Esto se puede apreciar viendo cmo una recta horizontal corta a la grfica en varios puntos. Una funcin f: A B es inyectiva o uno-a-uno si dos elementos diferentes de A tienen imgenes distintas en B; e.j. si x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Funciones/Funciones elementales/Propiedades bsicas

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Funciones Sobreyectivas (sobre) y Biyectivas Definicin Una funcin f: A B es sobreyectiva o sobre si su rango es el conjunto imagen B; es decir si y B: x A tal que f(x) = y. Una funcin f: A B es biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva; es decir si y B: ! x A tal que f(x) = y. La notacin ! x A, significa que hay un nico elemento en el conjunto A que cumple dicha propiedad. Sobreyectiva No inyectiva. Biyectiva Funciones/Funciones elementales/Propiedades bsicas

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Funciones Crecientes y Decrecientes Definicin Una funcin f es creciente si a > b f(a) > f(b). Una funcin, cuyos valores crecen al crecer el valor de la variable independiente, se llama creciente. Si los valores de la funcin decrecen cuando el valor de la variable crece, la funcin es decreciente. Una funcin f es decreciente si a > b f(a) < f(b). Una funcin f es montona si es creciente o decreciente Teorema Una funcin montona es uno-a-uno (inyectiva). Demostracin Tenemos que demostrar que, si x 1 x 2, entonces tambin f(x 1 ) f(x 2 ). Supongamos f creciente.Si x 1 x 2, ser x 1 > x 2 o x 1 < x 2. Si x 1 > x 2, f(x 1 ) > f(x 2 ), ya que f es creciente. Si x 1 < x 2, f(x 1 ) < f(x 2 ). En ambos casos, f(x 1 ) f(x 2 ). Funciones/Funciones elementales/Propiedades bsicas

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Resumen Las funciones son aplicaciones que asignan un elemento de la imagen a cualquier elemento del dominio de la funcin. Las funciones se definen normalmente por expresiones algebraicas como El dominio de la funcin es el conjunto de valores para los que la expresin algebraica est definida. Las rectas tangentes a la grfica de una funcin dan informacin local sobre la funcin cerca del punto de tangencia. Las asntotas dan informacin global sobre la grfica de la funcin. Las funciones son inyectivas, o uno-a-uno, si asignan diferentes elementos de la imagen a distintos elementos del dominio. Las funciones son biyectivas, si son inyectivas y si cada elemento de la imagen se corresponde con algn elemento del dominio. Las funciones montonas son inyectivas, y establecen una biyeccin entre el dominio y el rango de la funcion. Funciones/Funciones elementales/Propiedades bsicas

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Clculo en una variable Autor: Mika Seppl Traduccin al espaol: Flix Alonso Gerardo Rodrguez Agustn de la Villa