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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Razones trigonométricas para
ángulos notables
ÁNGULOS DE 30° Y 60°
Para determinar las razones trigonométricas de los ángulos de
30° y 60°, se utiliza una construcción
auxiliar de un triángulo equilátero.
CONSTRUCCIÓN DE LOS ÁNGULOS DE 30° Y 60°
60°
30°
l
l /2
h
A
C
B
Razones trigonométricas de ángulos notables
• Como el ABC es equilátero, se observa que A = B = C = 60° ; CD es la altura sobre AB, mediatriz de AB y bisectriz de C.
• Por lo anterior CDB = 90° , DCB = 30° y DB = además:
l2
1
Razones trigonométricas de ángulos notables
22
2
2h
ll
Por Pitágoras
lll
lh2
3
4
3
4
222
Despejando h y simplificando
Razones trigonométricas del ángulo de 30°
• Ahora podemos calcular las razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60° del triángulo.
230csc 3
3
3
130tan
3
32
3
230sec
2
330cos
31
330cot
2
130
sen
Razones trigonométricas del ángulo de 60°
3 1 3 60 cot 60
2 331
cos60 sec 60 22
3 2 2 3tan60 3 csc 60
1 33
sen
Razones trigonométricas del ÁNGULO DE 45°
°Para determinar las razones trigonométricas del ángulo de 45°, se utiliza un triángulo rectángulo isósceles.
CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE 45°
45°
45°
l
l
A B
C
Razones trigonométricas de ángulos notables
• Como el ABC es rectángulo se verifican , entre otras, las siguientes propiedades:
B = 90°, A = C = 45°, AB = BC = l Además:
2 2 2 22
2
h l l l
h lPor Pitágoras
Razones trigonométricas del ángulo de 45°
• Ahora podemos calcular las razones trigonométricas del ángulo de 45°.
1 2 45 tan45 1 sec45 2
22
1 2cos45 cot 45 1 csc45 2
22
sen
Razones trigonométricas de ÁNGULOS de 0° y 90°
Recordemos que según los visto en el tema de funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales:
0 0 tan0 0 sec0 1
cos0 1 cot 0 csc0
90 1 tan90 sec90
cos90 0 cot 90 0 csc90 1
sen
I nd I nd
sen I nd I nd
Razones trigonométricas de ángulos notables
Nota: Recordar siempre las siguiente equivalencias:
tan
coscos
cot
1sec
cos1
csc
sen
sen
sen
Razones trigonométricas de ángulos notables
Ejemplo: Determinar el valor de la siguiente expresión:
Solución: como yentonces.
) 30 60a sen sen
1
302
sen 3
602
sen
1 3 1 3 30 60
2 2 2sen sen
Razones trigonométricas de ángulos notables
Ejemplo 2: Determinar el valor de la siguiente expresión:
Solución: Sabemos por conversión de ángulos del sistema cíclico a sexagesimal que:
) tan sec
3 6b
603
306
rad
rad
Razones trigonométricas de ángulos notables
Entonces:
entonces
tan sec tan30 sec303 6
0 3 3
tan sec 3
3 6
Razones trigonométricas de ángulos notables
Ejercicios para practicar: Hallar el valor de las siguientes expresiones:
) 45 60° ) sen 90° tan45
2 45°c) tan sec d)
4 3 30°
a sen sen b
sensen
