Sección 8 – 4Funciones Racionales

Matemática AvanzadaUndécimo Grado

Warm Up

• Encuentra los ceros de cada función.1. f(x) = x2 + 2x – 152. f(x) = x2 – 49

• Simplifica. Identifica cualquier valor de x para los cuales la expresión está indefinida.

2

2

5 43.

1

x x

x

2

2

8 124.

12 36

x x

x x

Objetivos

• Graficar funciones racionales.• Transformar funciones racionales cambiando

parámetros.

Funciones Racionales

• Una función racional es una función cuya regla puede ser escrita como una razón de dos polinomios.

• Su gráfica se conoce como una hipérbola

1Su "parent function" es .f x

x

Asíntota vertical x = 0

Asíntota horizontal y = 0

Funciones Racionales

• Transformaciones

f xx

a

hk

|a| → factor de estiramiento o compresión vertical.a < 0 → reflexión a través del eje de x.

k → translación vertical

h → translación horizontal

Transformando Funciones Racionales

1Utilizando la gráfica de como guía, describe la transformación

y grafica cada función.

f xx

1

3g x

x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

Transformando Funciones Racionales

1Utilizando la gráfica de como guía, describe la transformación

y grafica cada función.

f xx

12g x

x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

Transformando Funciones Racionales

1Utilizando la gráfica de como guía, describe la transformación

y grafica cada función.

f xx

1

2g x

x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

Transformando Funciones Racionales

1Utilizando la gráfica de como guía, describe la transformación

y grafica cada función.

f xx

13g x

x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

Funciones Racionales

Para una función racional de la forma ,

la gráfica es una hipérbola.

hay una asíntota vertical en la recta , y el dominio es .

hay una asíntota horizontal en recta , y el alcanc

af x k

x h

x h x x h

y k

e es .y y k

Determinando Propiedades de Hipérbolas

• Identifica las asíntotas, dominio y alcance de la siguiente función.

14

2g x

x

Determinando Propiedades de Hipérbolas

• Identifica las asíntotas, dominio y alcance de la siguiente función.

15

3g x

x

Determinando Propiedades de Hipérbolas

• Identifica las asíntotas, dominio y alcance de la siguiente función.

12

3g x

x

Funciones Racionales

• Una función discontinua es una función cuya gráfica tiene uno o más saltos, interrupciones u hoyos.– Ej. Funciones racionales

• Una función continua es una función cuya gráfica es una línea recta o curva continua, sin espacios ni interrupciones.– Ej. Funciones lineales, cuadráticas, polinomiales,

exponenciales, etc.

Ceros y Asíntotas Verticales

Si , donde y son funciones polinomiales en forma estándar

sin factores en común, diferente de 1, entonces la función tiene:

ceros en cada valor real de para el cual 0.

una asíntota

p xf x p q

q x

f

x p x

vertical en cada valor real de para el cual 0.x q x

Graficando Funciones Racionales con Asíntotas Verticales

• Identifica los ceros y asíntotas verticales de la siguiente función. Luego grafícala.

2 2 3

2

x xf x

x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

x

y

Graficando Funciones Racionales con Asíntotas Verticales

• Identifica los ceros y asíntotas verticales de la siguiente función. Luego grafícala.

2 7 6

3

x xf x

x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

x

y

Graficando Funciones Racionales con Asíntotas Verticales

• Identifica los ceros y asíntotas verticales de la siguiente función. Luego grafícala.

2 3 4

3

x xf x

x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

x

y

Asíntotas Horizontales

Sea , donde y son funciones polinomiales en forma

estándar sin factores en común, diferente de 1. La gráfica de tiene,

como máximo, una asíntota horizontal.

Si el grado de grado de , n

p xf x p q

q x

f

p q

o hay asíntota horizontal.

Si el grado de grado de , la asíntota horizontal es la recta 0.

Si el grado de grado de , la asíntota horizontal está dada por la

coeficiente lider de recta

p q y

p q

y

.coeficiente lider de

p

q

Graficando Funciones Racionales con Asíntotas Verticales y Horizontales

• Identifica los ceros y asíntotas de cada función. Luego grafica.

2 6x x

f xx

Graficando Funciones Racionales con Asíntotas Verticales y Horizontales

• Identifica los ceros y asíntotas de cada función. Luego grafica.

2

1xf x

x

Graficando Funciones Racionales con Asíntotas Verticales y Horizontales

• Identifica los ceros y asíntotas de cada función. Luego grafica.

2

2

2 2

4

xf x

x

Graficando Funciones Racionales con Asíntotas Verticales y Horizontales

• Identifica los ceros y asíntotas de cada función. Luego grafica.

2 3 4x x

f xx

Graficando Funciones Racionales con Asíntotas Verticales y Horizontales

• Identifica los ceros y asíntotas de cada función. Luego grafica.

2

2

1

xf x

x

Graficando Funciones Racionales con Asíntotas Verticales y Horizontales

• Identifica los ceros y asíntotas de cada función. Luego grafica.

4 12

1

xf x

x

Hoyos (en una Gráfica)• Punto omitido en una gráfica. Si una función

racional tiene el mismo factor x – b tanto en el numerador como en el denominador, y la recta x = b no es una asíntota vertical entonces hay un hoyo en la gráfica en el punto donde x = b.

• Ejemplo:

2 2

tiene un hoyo en 2.2

x xf x x

x

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Graficando Funciones Racionales con Hoyos

• Identifica hoyos en la siguiente gráfica. Luego grafica.

2 4

2

xf x

x

Graficando Funciones Racionales con Hoyos

• Identifica hoyos en la siguiente gráfica. Luego grafica.

2 6

2

x xf x

x

Graficando Funciones Racionales con Hoyos

• Identifica hoyos en la siguiente gráfica. Luego grafica.

2 9

3

xf x

x

Asignación

• Página 597– Ejercicios 18 – 38 (pares), excepto el 32