Funciones booleanas

FUNCIONES BOOLEANAS, DIAGRAMAS DE KARNAUGH Y COMPUERTAS LÓGICASProfesor: Roberto Rodriguez

Universidad Nacional del NordesteFacultad de Ciencias Exactas, Naturales y Agrimensura

INTRODUCCIÓN En 1815 George Boole propuso una herramienta matemática llamada Álgebra de Boole. Luego en 1938 Claude Shannon propuso que con esta álgebra es posible modelar los llamados Sistemas Digitales.

ÁLGEBRA DE BOOLE: DEFINICIÓN Sea , es un álgebra de Boole si se verifica:

PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE Idempotencia Propiedades de acotación. Propiedades de absorción. Propiedades de los complementos: Involución: Leyes de Morgan

EXPRESIONES BOOLEANAS Una expresión booleana es una suma de productos (llamados minitérminos) o un producto de sumas (llamadas maxitérminos). Ejemplo:

DUALIDAD Dada una expresión booleana P, se llama dual de P, a la expresión booleana que resulta de intercambiar sumas y productos por productos y sumas, 0 por 1 y viceversa. Ejemplo en B: Si P es +0su dual es: Principio de Dualidad:

Si una proposición es derivable a partir de los axiomas del álgebra de Boole, su dual también lo es.

FUNCIONES BOOLEANAS

Sea un álgebra de Boole. es una función booleana de grado n si:es una función

Ejemplo: B={0,1}

MINIMIZACIÓN DE FUNCIONES BOOLEANAS Cuando se plantea un problema, no siempre, la expresión dada u obtenida de una función booleana es la óptima. Por ello, generalmente, dicha expresión puede ser simplificada, mediante: Tablas de verdad. Propiedades del álgebra de Boole. Mapas de Karnaugh.

TABLAS DE VERDAD Toda función booleana puede ser escrita en una forma estándar, llamada forma normal o canónica. Forma Normal Disyuntiva (FND): suma de minitérminos. Forma Normal Conjuntiva (FNC): producto de maxitérminos.

TABLAS DE VERDAD: FND

Situación

Minitérmino

𝐹 ( 𝐴 ,𝐵 ,𝐶 ,𝐷 )=𝐴´ 𝐵𝐶 ´+𝐴´ 𝐵𝐶+𝐴𝐵 ´𝐶+ 𝐴𝐵𝐶

TABLAS DE VERDAD: FNC

Situación

Maxitérmino

𝐹 (𝐴 ,𝐵 ,𝐶 ,𝐷)=¿

APLICACIÓN DE PROPIEDADES

Utilizando los axiomas y las propiedades vistas del álgebra de Boole podemos simplificar una función booleana.

MAPAS DE KARNAUGH

Si f es una función booleana de grado n (n variables), el mapa de Karnaugh correspondiente consiste en una tabla de celdas. Dicha tabla puede ser utilizada para simplificar funciones booleanas. Cada celda representa un minitérmino y se coloca un 1 si dicho minitérmino aparece en la expresión de la función. Para simplificar la función booleana se agrupan los 1 que se encuentran en celdas adyacentes formando bloques cuadrados o rectangulares, llamados subcubos, de celdas. En los subcubos se descartan las variables cuyo valor cambia de una celda a otra.

DIAGRAMAS DE KARNAUGH Para dos variables.

Región A Región B Región A’.B’ Región A’.B

Región A’ Región B’ Región A.B’ Región A.B’

DIAGRAMAS DE KARNAUGH Para tres variables. 4 minitérminos



DIAGRAMAS DE KARNAUGH Para tres variables. En las extremidades

DIAGRAMAS DE KARNAUGH Ejemplo para 4 variables. S = A’B’C’D+A’B’CD’+A’B’CD+A’BC’D+A’BCD++AB’C’D’+AB’C’D+AB’CD+ABC’D’+ABC’D+ABCD

DIAGRAMAS DE KARNAUGH Ejemplo para 4 variables. S = A’B’C’D+A’B’CD’+A’B’CD+A’BC’D+A’BCD++AB’C’D’+AB’C’D+AB’CD+ABC’D’+ABC’D+ABCD

S = D+AC’+A´B´C

COMPUERTAS LÓGICAS

Se utilizan para representar gráficamente funciones booleanas. Estos gráficos son utilizados en distintas áreas: mecánica, electricidad, electrónica e informática, entre otros.

COMPUERTA LÓGICA AND

COMPUERTA LÓGICA OR

COMPUERTA LÓGICA NOT

COMPUERTA LÓGICA NAND

COMPUERTA LÓGICA NOR

COMPUERTA LÓGICA XOR

BIBLIOGRAFÍA BOGART, K. (1998): “Matemáticas discretas”. Editorial Noriega. México. GRIMALDI, R. (1998): “Matemáticas discreta y combinatoria. Una introducción con aplicaciones”. 3ra Edición. Editorial Prentice Hall. México. JIMENEZ MURILLO, J. (2009): “Matemáticas para la computación”. Alfa Omega Grupo Editor S.A. México. KOLMAN, B.; BUSBY, R. y ROSS, S.(1997): “Estructuras de Matemáticas Discretas para la Computación”. Tercera Edición. Pearson- Prentice Hall-México. ROSEN, K.(2004): “Matemática discreta y sus aplicaciones”. Quinta Edición. Editorial Mc Graw Hill. España.

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