Embed Size (px)
Citation preview
CUADERNO DE TRABAJO
CÁLCULO INTEGRAL
ADAPTADO AL PROGRAMA DE ESTUDIO DE NIVEL
BACHILLERATO
NOMBRE DEL ALUMNO:
_____________________________________________________
NUMERO DE LISTA:
_____________________________________________________
GRUPO:
_______________________
PERIODO 2014-B
LA DIFERENCIAL
EJEMPLOS
𝟏. √𝟏. 𝟎𝟐
𝑦 = √𝑥 √1.02 = √1 + 0.2
𝑥 =1
2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
2𝑥−1
2⁄ 𝑥 = 1 𝑑𝑥 = 0.2
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
2𝑥
12⁄
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
2√𝑥 𝑑𝑦 = (
1
2) (0.2)
𝑑𝑦 = (1
2√𝑥) (𝑑𝑥) √1.02 = √1 + 𝑑𝑥
= 1 + 0.1
𝟐. √𝟗. 𝟎𝟖
𝑦 = √𝑥 𝑑𝑦 = (1
2√𝑥) (𝑑𝑥)
𝑥 =1
2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
2𝑥−1
2⁄ 𝑑𝑦 = (1
2√9) (0.08) = 0.0133
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
2𝑥
12 ⁄ 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
2√𝑥 √9.08 = √9 + 𝑑𝑥
𝑑𝑦 = (1
2√𝑥) (𝑑𝑥) = 3 + 0.0133
√9.08 = √9 + 0.08
𝑥 = 9 𝑑𝑥 = 0.08
𝟑. √𝟔𝟑. 𝟕𝟑
√64 − 0.3 √63.73
= √64 − 0.33
𝑦 = √𝑥3
𝑥 = 64 𝑑𝑥 = 0.3
𝑥 = 𝑥1
3⁄ 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
3𝑥−1
3⁄ 𝑑𝑦 = (1
3 √6423 ) (0.3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
3𝑥2
3⁄
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
3 √𝑥3 √63.7
3= √64 − 𝑑𝑦3
𝑑𝑦 = (1
3 √𝑥23 ) (𝑑𝑥) √63.73
𝟒. √𝟕. 𝟕𝟖𝟑
𝑦 = √𝑥3
𝑑𝑦 = (1
3 √(8)23 ) (0.22)
=1.01
= 3.0133
=3.993
𝑥 = 𝑥1
3⁄ 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
3𝑥−1
3⁄ 𝑑𝑦 = (1
3 √643 ) (0.22) =
(1
12) (0.22)
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
3𝑥2
3⁄
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
3 √𝑥23 𝑑𝑦 = 0.018
𝑑𝑦 = (1
3 √𝑥23 ) (𝑑𝑥) √7.783
= √83
− 𝑑𝑥
√7.783
= √8 − 0.22 = √8 − 0.0183
𝑥 = 8 𝑑𝑥 = 0.22 √7.783
𝟓. √𝟔𝟒. 𝟎𝟐𝟔
𝑦 = √𝑥6
𝑑𝑦 = (1
6 √6456 ) (0.02)
𝑦 = 𝑥1
6⁄ 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
6𝑥−5
6⁄ 𝑑𝑦 = (1
6(32))(0.02)
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
5
6𝑥5
6⁄
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
5
6 √𝑥56 𝑑𝑦 = (1
192)(0.02)
𝑑𝑦 = (5
6 √𝑥56 ) (𝑑𝑥)
𝑑𝑦 = 1.041666667𝑥10−04
√64.026
= √64 + 0.026
√64.026
= √64 − 1.041666667𝑥10−046
𝑥 = 64 𝑑𝑥 = 0.02 √64.026
Calcular las siguientes diferenciales
𝟏. √𝟐𝟒. 𝟐𝟖
𝟐. √𝟑𝟏. 𝟒𝟓𝟑
𝟑. √𝟖𝟎. 𝟎𝟐𝟒
𝟒. √𝟓𝟎. 𝟑𝟑𝟑
𝟓. √𝟓. 𝟎𝟖𝟔
=1.82
= 2.000104167
6. √𝟗. 𝟎𝟖𝟔
7. √𝟓. 𝟎𝟐𝟒
8. √𝟐. 𝟎𝟖𝟐
9. √𝟏𝟐. 𝟎𝟖𝟒
10. √𝟏𝟐. 𝟐𝟖
INTEGRAL
1.- ∫ (2
√𝑥35 + 9√𝑥23 +
1
𝑥 +
1
3) dx = ∫(
2
𝑥35
+ 93
2 + 𝑥−1 + 1
3)dx = ∫(2𝑥−
3
5 + 93
2 + 𝑥−1 + 1
3)dx =
2
1 𝑥
25
2
5
+ 9
1𝑥
53
5
3
+ln |x|+ 1
3x + C =
10𝑥25
2 +
27𝑥53
5 + +ln |x| +
1
3x + C = 5𝑥
2
5 +27𝑥
53
5 + +ln |x| +
1
3 + C =
5√𝑥25 +
27
5√𝑥53
++ln |x|+ 1
3x + C
2.- ∫ (8𝑥−4 - 16
𝑥2 + 5𝑥3+23x – 8) dx =∫ (8𝑥−4 - 16𝑥2+ 5𝑥3+23x – 8) dx =8𝑥−3
3 -
16𝑥−1
1+
15𝑥4
4 +
23𝑥2
2 – 8 + C =
8𝑥−3
3 -16 𝑥−1 +
15𝑥4
4 +
23𝑥2
2 – 8 + C =
8
3𝑥3 - 16
𝑥 +
15𝑥4
4 +
23𝑥2
2 – 8
+C
3.- ∫(16𝑥1
4 + 8
𝑥−
12
+3
5𝑥−
27
+ 1
4x – 12 )dx = ∫(16𝑥
1
4 + 8𝑥−1
2 + 3𝑥
27
5 +
1
4x – 12dx =
16𝑥54
15
4
+ 8𝑥
12
11
2
+
3𝑥97
59
7
+ 1𝑥2
42
1
– 12x+ C = 64𝑥
54
5 +
16𝑥12
1 +
21𝑥97
45 +
1𝑥2
8 – 12x +C =
64𝑥54
5 + 16𝑥
1
2 + 7𝑥
97
15 +
1𝑥2
8 – 12x
+C
=64 √𝑥54
5 + 16√𝑥 +
7 √𝑥79
15 +
1𝑥2
8 – 12x +C
4.- ∫( 8𝑥5 + 3𝑥2 – 10x + 6) dx = 8𝑥6
6 +
3𝑥3
3 -
10𝑥2
2 +6x +C
= 4𝑥6
3 + 𝑥3 - 5𝑥2 +6x +C
5.- ∫ (1
8𝑥4 + 9
𝑥−3 +6
𝑥2 + 23
5𝑥) dx =∫(
1𝑥−4
8 +9𝑥3+ 6𝑥−2 +
23𝑥−1
5) =
1𝑥−3
83
1
+ 9𝑥4
4 +
6𝑥−1
1 +
23
5+
+ln |x| + C = 1𝑥−3
24 +
9𝑥4
4 - 6𝑥−1 +
23
5ln +𝑐 + C
=1
24𝑥−3 + 9𝑥4
4 -
6
𝑥 +
23
5ln |𝑥|
Resuelve las siguientes integrales:
1. ∫ (19𝑥−1
4 + 1
5𝑥−
13
+19
√𝑥 + 26√𝑥35
- 36
𝑥−5 + 8
𝑥-9) dx
2. ∫ (10
√𝑥 + 9𝑥3- 6√𝑥38
+14
𝑥8+
12
𝑥-2) dx
3. ∫ (9√𝑥8 + 1
4𝑥−
1 2
+ 5√𝑥5
7 +
23
7 √𝑥38 ) dx
4. ∫ (7√𝑥 + 13
2√𝑥5 +
1
4 √𝑥3 -
2 √𝑥37
3 - √3) dx
5. ∫(6𝑥2 - 8
𝑥2 + 6𝑥2+ 5
𝑥 +
1
𝑥−4) dx
6. ∫ (20𝑥−1
4 + 1
6𝑥−
13
+19
√𝑥 + 26√𝑥35
- 36
𝑥−5 +
8
𝑥-8) dx
7. ∫ (12𝑥−1
4 + 1
5𝑥−
13
+19
√𝑥 + 24√𝑥35
- 36
𝑥−5 + 8
𝑥-6) dx
8. ∫ (10
√𝑥 + 8𝑥3- 6√𝑥38
+12
𝑥8 +16
2𝑥-2) dx
9. ∫ (10
√𝑥 + 5𝑥3- 6√𝑥38
+24
3𝑥8 +22
𝑥-2) dx
10. ∫ (3√𝑥 + 11
2√𝑥5 +
1
4 √𝑥3 -
4 √𝑥37
3 - √5) dx
INTEGRAL POR CAMBIO DE VARIABLE
Ejemplo:
1- ∫ 𝟐𝑿𝒆𝒙𝟐
∫ 2𝑋𝑒𝑥2𝑑𝑥=∫2x𝑒𝑢
𝑑𝑢
2𝑥∫𝑒𝑢du=𝑒𝑢+c=𝑒𝑥2
+c
U=x2
𝑑𝑢
𝑑𝑥=2x
𝑑𝑢
2𝑥=dx
Resuelve las siguientes integrales
1-∫xcosx2dx
2-∫sen4xcosxdx
3-∫𝑒3𝑥dx
4-∫𝑑𝑥
6−𝑥
5-∫𝑥
3𝑥−1
6-∫2𝑥+7
𝑥+7𝑥−1
7-∫𝑑𝑥
(𝑥−2)2
8-∫𝑑𝑥
(2𝑥+5)3
9∫-𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥
10-∫𝑥
3𝑥−16dx
INTEGRACIÓN POR PARTES
Formula
∫ 𝒇(𝒙) . 𝒈´(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒇(𝒙). 𝒈(𝒙) − ∫ 𝒇´(𝒙)𝒈(𝒙)𝒅𝒙
Ejemplos
1. ∫ 𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙
Solución
Para comenzar la expresión f(x) la vamos a derivar y g´(x) dx la vamos a integrar
F(x) se deriva f(x)=x f´(x)=1
g´(x) dx se integra g´(x) dx = cosx dx
g(x) =∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 g(x)= senx +C
Se sustituyen los valores.
∫ 𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 =(x) (senx) ─∫(1)(𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑥
= x senx ─∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
Resultado =
2. 𝒙 𝒆𝒙𝒅𝒙
Solución
f(x) f(x)= x f´(x)= 1
g´(x)dx
g´(x) dx = 𝑒𝑥 𝑑𝑥
g(x) =∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶
Sustituimos
𝒙 𝒆𝒙𝒅𝒙 = (X) (𝑒𝑥) – ∫(1)(𝑒𝑥)𝑑𝑥
= x 𝑒𝑥─∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥
Resultado=
X senx + cosx + C
x 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶
3. ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙
= ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
Encontrar f(x) y g(x)
f(x) f(x)= senx f´(x)= cosx
g´(x) dx
g´(x) dx = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
g(x)=∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
g(x) = ─cosx + C
Sustitución
= (senx) (─cosx) ─∫(𝑐𝑜𝑠𝑥)(−𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥
=─ senx. cosx ─∫(−𝑐𝑜𝑠2 𝑥) 𝑑𝑥
=─ senx cosx ─ (─𝑠𝑒𝑛2𝑥) 𝑑𝑥
= ─ senx cosx + (senx) (senx) + C
Resultado=
4. Hallar ∫ 𝒙 𝟏𝒏 𝒙 𝒅𝒙
Solución
Encontrar f(x) y g(x)
F(x) f´(x)= 1 n x
g´(x) dx g´(x) dx = x dx
g(x)= ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2
2
Sustitución
=∫ 𝑥 1𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 1𝑛 𝑥 . 𝑥2
2 ─ ∫
𝑥2
2 .
𝑑𝑥
𝑥
Resultado =
─ senx cosx +𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶
𝑥2
2 1𝑛 𝑥 –
𝑥2
4 + 𝐶
5. Hallar ∫ 𝒙 𝒆𝒂𝒙 𝒅𝒙
Encontrar f(x) y g´(x) dx
F(x)
F´(x) =𝑒𝑎𝑥 . 𝑎 𝑑𝑥 g´(x) dx
g(x)=∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2
2
Sustitución
∫ 𝑥 𝑒𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑎𝑥 .𝑥2
2 − ∫
𝑥2
2 𝑒𝑎𝑥 𝑎 𝑑𝑥
Resultado=
Ahora hazlo tú…
Resuelve los siguientes ejercicios
1.- Hallar ∫ 𝑥2 𝑒𝑎𝑥 𝑑𝑥
2. Demostrar ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 – 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶
3. Hallar ∫ 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥
4. Hallar ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥
5. Hallar∫ 𝑥𝑛 1𝑛 𝑥 𝑑𝑥
6.- Hallar ∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥
7.- Hallar ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
8.- Hallar ∫ 𝑥 2𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥
9.- Hallar ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑒𝑥 𝑑𝑥
10.- Hallar ∫ 𝑠𝑒𝑛 2𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝑥2 𝑒𝑎𝑥
2 −
𝑎
2 ∫ 𝑥2 𝑒𝑎𝑥 𝑑𝑥
SUMATORIA
Ejemplos:
1.-
∑ 𝑖3
𝑛=20
𝑖=1
− 6𝑖
-5 + -4 + 9 + 40 + 95 +… + 940
2.-
∑ 𝑖2
𝑛=20
𝑖=1
− 1
0 + 3+ + 8 + 15 + 24 +…. + 399
3.-
∑ 𝑖3
𝑛=10
𝑖=1
− 𝑖
0 + 6 + 24 + 60 + 120 +… + 990
4.-
∑1
𝑖
𝑛=20
𝑖=1
1 + 1
2 +
1
3 +
1
4 +
1
5 + ⋯ +
1
20
5.-
∑ 5𝑖2
𝑛=15
𝑖=1
5 + 20 + 45 + 80 + 125+ …. +
1125
Ejercicios a resolver:
1.-
∑ =
𝑛=
𝑖=1
2 + 5 + 10 + 17 + 26 + … + 101
2.-
∑ =
𝑛=
𝑖=1
6 + 13 + 32 + 69 + 130 +…+ 1005
3.-
∑ =
𝑛=
𝑖=1
0 + 9 + 16 + 25 + 36 +…+ 256
4.-
∑ =
𝑛=
𝑖=1
8 + 64 + 216 + 512 + 1000 +…+
216000
5.-
∑ =
𝑛=
𝑖=1
-3 + 27 + 237 + 1017 + 3112 +
… + 102399957
6.- Hallar el valor de la siguiente suma:
E = 249 + 251 + 253 +… + 317
7.- Hallar el valor de la siguiente suma:
E = 0,008 + 0,013 + 0,018 +… 0,158
8.- Hallar el valor de la siguiente suma:
E = 1/2 + 5/4 + 2 +… + 19/2
9.- En una autopista se colocan 51 marcadores de kilómetros, cada uno de los cuales se
distancian 3 kilómetros entre si. La cantidad total de kilómetros que ellos marcan es de 4233
kilómetros. Halle Ud. El producto de lo que marcaba el primero y el último marcador.
10.- Hallar el valor de la siguiente suma: E = 1 + 1/5 + 1/25 + 1/125 + 1/625 +… ∞
INTEGRAL DEFINIDA
Ejercicios:
1.- ∫ 2𝑥23
1=
2
4𝑥4 ∫ =
2
4[(3)4 − (1)4] =
2
4[(81 − 1)] =
2
4[80] = 𝟒𝟎𝒖𝟐3
2
2.- ∫ (2𝑥 − 2𝑥2 )𝑑𝑥1
0=
2𝑥2
2−
2𝑥3
3∫ = 𝑥2− 2𝑥3
3[(1)2 − (0)2] −
2
3[(1)3 −
1
0
(0)3] = [1 − 0] −2
3[1 − 0] = [1] −
2
3[1] = 1 −
2
3=
1
3𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝒖𝟐
3.- ∫ (𝑥2 − 2𝑥 )𝑑𝑥2
0=
1
3𝑥3 −
2
2𝑥2 ∫ =
1
3
2
0[(2)3 − (0)3] −
2
2[(2)2 − (0)2] =
1
3[8 − 0] −
2
2[4 − 0] =
1
3[8] −
2
2[4] = 2.66 − 4 = −1.34𝒖𝟐
4.- ∫2
𝑥𝑑𝑥
−1
−3= ∫ 2𝑥−1−1
−3𝑑𝑥 = ∫ 2𝑙𝑛 ∕ 𝑥 ∕
−1
−3 = 2𝑙𝑛 (−1)⁄ − (−3) ∕=
2𝑙𝑛 2 = 1.3862𝒖𝟐⁄⁄
5.- ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥𝜋
0∫ [(𝜋) − (0)] = − cos[𝜋] = −0.998𝒖𝟐𝜋
0
Resuelve los siguientes ejercicios:
1.- ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥𝜋
20
2.- ∫ (2𝑥2 − 2𝑥)𝑑𝑥4
2
3.- ∫ 𝑥3 𝑑𝑥2
−1
4.- ∫ (6𝑥2 − 4𝑥)𝑑𝑥4
2
5.- ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥𝜋
24
6.- ∫ (4𝑥2 − 3𝑥)𝑑𝑥5
3
7.- ∫ (4𝑥2 + 2𝑥)𝑑𝑥6
2
8.- ∫ (8𝑥2 − 7𝑥)𝑑𝑥8
4
9.- ∫ sen 𝑥 𝑑𝑥𝜋
25
10.- ∫ 𝑥4 𝑑𝑥2
−1
