Experimentální ověření vybraných fyzikálních modelů a aproximací

Ústav fyzikální elektronikyPřírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně

Experimentální ověření vybranýchfyzikálních modelů a aproximací

Brno 2010 Michal Černý

2 MICHAL ČERNÝ

Anotace

Cílem bakalářské práce je experimentálně ověřit některé, běžně uváděné aproximace a fyzikální modely, které se objevují v učebnicích pro střední a případně i vysoké školy. Úkolem je nejen v rámci přesnosti experimentálně potvrdit či vyvrátit uváděné modely, ale také (alespoň v některých příkladech) uvést možnosti realizace v běžném gymnaziálním praktiku. Experimenty budou doplněny matematickým modelem a stručným pedagogicko-fyzikálním komentářem, který bude v případě potřeby obsahovat také návrhy na možné změny modelu či aproximace.

Klíčová slova: experiment, Newtonův vztah, balistické kyvadlo, fyzikální model, střelba.

Annotation

This thesis realizes collection of experiments which concern mechanics of liquids and gases. Each chapter of mechanics of fluid is presented by experiment. Each experiment is represented by list of aids, description of realization a explanation. Some of them are going to choose. These experiments are going to realize during the sixty minutes in the block which represent secondary school mechanics. // Bude doplněno dle mé práce.

Experimentální ověření vybraných fyzikálních modelů a aproximací 3

Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracoval samostatně pouze s použitím uvedené literatury.

V Brně dne 16. 4. 2010 Michal Černý

Rád bych poděkoval vedoucímu bakalářské práce doc. RNDr. Zdeňkovi Bochníčkovi, Dr. za dobré připomínky a nápady, trpělivé vedení i pomoc při realizaci celé řady nebezpečných experimentů. Rád bych poděkoval Monice Vaňkové za tvorbu celé řady původních ilustrací a schémat. Taktéž bych si dovolil poděkovat RNDr. Pavlovi Konečnému, Csc. za pomoc, konzultace a návrhy.

4 MICHAL ČERNÝ

Obsah:

1 Úvod................................................................................................................................12 BALISTICKÉ KYVADLO....................................................................................................2

2.1 Úvod........................................................................................................................22.2 Matematické řešení.................................................................................................2

2.2.1 Matematické kyvadlo..........................................................................................32.2.2 Fyzické kyvadlo..................................................................................................4

2.3 Uspořádání experimentu.........................................................................................62.3.1 Užité aproximace................................................................................................7

.2.3.1.1 Zanedbání kinetické energie rotace kyvadla...............................................7

.2.3.1.2 Harmonická aproximace.............................................................................8

.2.3.1.3 Rotace odrazného zrcadla...........................................................................82.4 Naměřené hodnoty..................................................................................................9

2.4.1 Měření č.1 - ilustrace........................................................................................112.4.2 Měření č.4 – užití kamery jako detektoru velikosti výchylky..........................122.4.3 Zhodnocení měření...........................................................................................12

2.5 Stručný pedagogický komentář.............................................................................132.6 Balistické kyvadlo v gymnaziální učebnici...........................................................14

3 ROTUJÍCÍ KOTOUČE.......................................................................................................163.1 Matematický popis................................................................................................163.2 Uspořádání experimentu.......................................................................................173.3 Naměřené hodnoty................................................................................................173.4 Stručný pedagogický komentář.............................................................................193.5 Rotující kotouče v gymnaziální učebnici...............................................................19

4 RYCHLOST PADAJÍCÍ KAPKY..........................................................................................214.1 Úvod......................................................................................................................214.2 Matematický popis................................................................................................21

4.2.1 Volný pád bez odporu prostředí........................................................................224.2.2 Volný pád v odporovém prostředí při užití Stokesova vztahu pro kouly.........224.2.3 Volný pád v odporovém prostředí při užití Newtonova vztahu........................23

4.3 Uspořádání experimentu.......................................................................................244.4 Naměřené hodnoty................................................................................................26

4.4.1 Padající kapka z menší kapiláry osvětlovaná frekvencí 286,7 Hz....................264.4.2 Další naměřené hodnoty...................................................................................29

4.5 Interpretace výsledků a stručný pedagogický komentář.......................................294.6 Výpočet maximální rychlosti padající kapky v učebnicích...................................30

5 URČOVÁNÍ KOEFICIENTU ODPORU CX............................................................................325.1 Matematický popis................................................................................................325.2 Uspořádání experimentu.......................................................................................335.3 Naměřené hodnoty................................................................................................34

5.3.1 Ilustrativní příklad soft tenisový míček ozařovaný frekvencí 155,57 Hz.........345.3.2 Souhrnná tabulka s odhady chyb......................................................................35

5.4 Stručný pedagogický komentář a interpretace výsledků.......................................366 ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Z FOTOGRAFIÍ A VIDEA.............................................38

6.1 Zpracování výsledků měření z fotografie..............................................................38


6.1.1 Optická chyba objektivu...................................................................................396.2 Zpracování video měření......................................................................................40

LITERATURA..........................................................................................................................41PŘÍLOHY................................................................................................................................42

6.1 Balistické kyvadlo.................................................................................................426.1.1 Druhé měření....................................................................................................426.1.2 Třetí měření.......................................................................................................426.1.3 Čtvrté měření – video........................................................................................436.1.4 Ilustrační fotografie...........................................................................................44

6.2 Rotující kotouče....................................................................................................466.3 Rychlost padající kapky........................................................................................49

6.3.1 Ilustrativní fotografie........................................................................................516.4 Měření koeficientu cx............................................................................................54

6.4.1 Růžová koule....................................................................................................54.6.4.1.1 Měření č.1 při 151 Hz...............................................................................54.6.4.1.2 Měření č.2 při 75 Hz.................................................................................54

6.4.2 Vypuklá polokoule............................................................................................556.4.3 Badmintonový míček........................................................................................56

.6.4.3.1 Měření č.1 při 62,1 Hz..............................................................................56

.6.4.3.2 Měření č.2 při 30,0 Hz..............................................................................576.4.4 Soft tenisový míček...........................................................................................58

.6.4.4.1 Měření č.1 při 155,6 Hz............................................................................58

.6.4.4.2 Měření č.2 při 80,24 Hz............................................................................59

.6.4.4.3 Měření č.3 při 31,74 Hz............................................................................606.4.5 Badmintonový míček - oblepený......................................................................616.4.6 Ilustrativní obrázek...........................................................................................62


1 ÚvodBakalářská práce se zaměřuje na studium některých vybraných fyzikální modelů a aproximací z oblasti rychlých mechanických dějů, pro jejíž měření bylo často laseru. Práce je rozdělena na dva hlavní bloky – první se věnuje vybraným možnostem určení rychlosti střely a druhý popisuje vybrané partie z oblasti volné pádu v odporovém prostředí v tíhovém poli Země. Závěrečná část pak jen shrnuje uvedené postupy zpracování měření.

První kapitola studuje problematiku balistického kyvadla v podobě, jak je běžně uváděno v učebnicích mechaniky. Cílem bylo prozkoumat, zda je možné balistické kyvadlo v uvedené podobě využít k zjištění rychlosti střely. V této kapitole byla prováděna měření za pomocí fotoaparátu a videokamery a na základě získaných výsledků byla navržena drobná modifikace obvyklého učebnicového zadání tak, aby odpovídala více experimentální realitě.

Druhá, nejkratší kapitola tématicky navazuje na předchozí a klade si otázku, zda je možné s přiměřenou přesností, s využitím běžně dostupných materiálů, určit rychlost kulky z průstřelu dvou rotujících kotoučů. Zde se ukázalo, že pro běžné materiály, ze kterých mohou být kotouče vyrobeny, se tento experiment lze realizovat jen s velmi omezenou přesností.

Třetí kapitola se snaží odpovědět na dvě otázky – jaký tvar má kapka a jak lze popsat její pohyb v homogenním tíhovém poli země. Porovnávány byly tři možné modely – volný pád bez odporu prostředí, pohyb ovlivněn odporovou silou lineárně závisející na rychlosti (Stokesův vztah) či na druhé mocnině rychlosti (Newtonův vztah). Právě poslední varianta se ukázala býti nejpřesnější i pro poměrně malé kapky při malých rychlostech.

Čtvrtá kapitola se pak zabývala možnostmi určení koeficientu odporu cx různých těles. V tomto integrálně navazovala na předchozí úvahy a již vybudovaný matematický aparát.

Poslední pátá kapitola se zabývá problematikou zpracování fotografií a videa. Kromě samotného popisu se snaží upozornit na některé možné problémy a nabídnout užitečné informace k této problematice. Kromě samotného postupu, poskytuje informace o vhodném softwarovém vybavení.

Celá práce se snažila klást maximální důraz na pedagogické využití získaných poznatků, navrhnout možnost případného realizovaní některých experimentů ve výuce – ať již jako demonstračních nebo v rámci fyzikálního praktika. Také proto se v práci objevuje celá řada poznámek o softwaru, který poslouží pro efektivnější zpracování dat nebo připomínky týkající se některých praktických úskalí realizace jednotlivých pokusů.

2 MICHAL ČERNÝ

2 Balistické kyvadloZjišťování rychlosti střely z výchylky balistického kyvadla patří k základním příkladům řešeným v rámci mechaniky na gymnasiu. V tradičním provedení je úloha demonstrací postupného užití dvou významných zákonů zachování – hybnosti a mechanické energie. Obvyklým přístupem je aproximace úlohy matematickým kyvadlem.

2.1 Úvod

My se pokusíme o prozkoumání dvou základních modelů, které je možné v této úloze použít – jednak je to aproximace kyvadla na matematické kyvadlo, druhou aproximací bude fyzické kyvadlo předpokládající skutečnost, že kyvadlo jest dokonale homogenním kvádrem. Kromě výchylky budeme též měřit i rychlost střely. Kulka bude po část své trajektorie ozařovaná vysokofrekvenčním pulsním laserem a tuto část trajektorie je pak zaznamenána na digitální fotografii. Odečteme pozici jednotlivých záblesků v Px a pomocí převodního vztahu (získaného s fotografie na níž je vyfocené délkové měřidlo) je převedeme na jednotky délky (mm). Každé pozici, přepočtené pomocí kalibrační fotografie na polohu v milimetrech, náleží též relativní čas t a tyto hodnoty vyneseme do grafu. Body proložíme přímku a z její směrnice zjistíme rychlost kulky v okamžiku blízkém zásahu kyvadla.

V našem experimentálním uspořádání jsme nemohli přesně určit těžiště kyvadla, potažmo délku závěsu. Proto byla změřena perioda kmitů, objekt zvážen a změřen a následně pomocí vztahů pro výpočet periody kmitů matematického a fyzického kyvadla zpětně dopočítaná délka závěsu.

2.2 Matematické řešení

Klasické školské úvahy předpokládají následující postup:

Závaží má počáteční hmotnost M a nulovou rychlost, jeho hybnost je tedy nulová. Kulka má hmotnost m a rychlost . Po dokonale nepružné srážce, v pohybu pokračuje pouze jeden

objekt o hmotnosti M+m a rychlosti , tedy tento objekt má určitou hybnost. Pro tento ráz platí zákon zachování hybnosti a tedy získáváme následující rovnici:

. (2.1)

Jelikož vše probíhá pouze v jednom směru, což je zajištěno tím, že závaží je upevněné na závěsu a srážka přímá, můžeme uvažovat jen velikosti vektorů rychlosti. Po jednoduché úpravě tak získáme vztah pro v0:

. (2.2)

Nyní uvažujme že se závaží dostane do maximální výšky h v první periodě svého pohybu. V tuto chvíli musí již platit zákon zachování mechanické energie v následujícím tvaru:

, (2.3)

kde g jest tíhové zrychlení.

Nyní již jen vyjádříme v1 a dosadíme do předchozí rovnice:


, (2.4)

což představuje náš požadovaný výsledek.

My budeme postupovat nepatrně odlišně a to z toho důvodu, že dokážeme změřit v0, avšak h s dostatečnou přesností nikoli. Lépe měřitelnou veličinou je výchylka ve vodorovném směru x, která typicky nabývá mnohem větších hodnot než zdvih h.

Nyní se situace rozdělí na dva uvažované modely. Prvním je matematické a druhým fyzické kyvadlo.

2.2.1 Matematické kyvadlo

Z předchozích úvah je také zřejmé, že výšku h, vypočítáme pomocí vztahu:

. (2.5)

Jelikož neměříme výšku výstupu h, ale výchylku ve směru osy x, musíme použít ještě geometrickou úvahou. Měříme hodnotu výchylky x, kterou získáme jako x složku bodu, který bude představovat průsečík kružnice o poloměru l a se středem v bodě [0, l] a přímkou y = h, kde za h dosadíme požadovanou hodnotu (viz. obrázek). Po těchto úvahách Získáme dvě rovnice pro dvě neznámé1:

, (2.6)

. (2.7)

Nyní dosadíme do druhé rovnice za h, do první rovnice za y a vypočítáme hodnotu x:

. (2.8)

Jelikož neznáme délku závěsu l, musíme jí určit nepřímo z naměřené periody kyvu. Délka se l se nazývá efektivní délkou. Určíme ji ze známého vztahu:

, (2.9)

odsud po úpravě:

. (2.10)

Tuto hodnotu je pak již možné dosadit za l.

1 K výpočtu je možné užít také jednodušší úvahu založenou na užití Pythagorovy věty:

,

Z ní pak snadno určíme že

.

4 MICHAL ČERNÝ

Obr. 2.1: Matematické kyvadlo.

2.2.2 Fyzické kyvadlo2

Zákon zachování mechanické energie musíme zapsat ve tvaru:

, (2.11)

kde Jz je moment setrvačnosti vzhledem k těžišti kyvadla, H výška výstupu těžiště a ω úhlová rychlost.

Jelikož je ale příspěvek rotační složky kinetické energie zanedbatelně malý oproti složce translační (podrobnější analýza problému je v odstavci 2.3.1), můžeme po dosazení za v1 ze zákona zachování hybnosti rovnici přespat do tvaru:

. (2.12)

Z ní můžeme snadno určit výšku výstupu H:

, (2.13)

který je identický s modelem matematického kyvadla, stejný je i vztah pro výpočet výchylky ve směru osy x:

(2.14).

2 Někdy též nepřesně označované jako fyzikální kyvadlo.


Jelikož neznáme délku závěsu L, musíme jí určit nepřímo z naměřené periody pro kyvu. Délka se L se nazývá redukovanou délkou. Určíme ji ze známého vztahu:

, (2.15)

který upravíme na tvar

, (2.16)

kde JT je moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení kyvadla. Moment setrvačnosti vypočítáme díky aproximaci rotující desku obdélníkového tvaru, rotujícího kolem svého středu, pro níž platí vztah:

. (2.17)

a a c jsou délky stran obdélníka. Nyní užijeme předpokladu, že, se těžiště nachází přibližně ve středu obdélníku, tedy ve vzdálenosti

(2.18)

od osy otáčení, kde r1 je vzdálenost horní hrany obdélníka od osy otáčení (viz obrázek). Po užití Steinerovy věty získáme výsledný vztah pro výpočet momentu setrvačnosti vzhledem k ose otáčení

. (2.19)

Po dosazení již můžeme určit redukovanou délku kyvadla pro model fyzického kyvadla.

Obr. 2.2:Fyzické kyvadlo.

6 MICHAL ČERNÝ

2.3 Uspořádání experimentu

Uspořádání experimentu je zachycené na přiložených fotografiích a lze jej rozlišit na tři, relativně izolované celky. Jednak je to vzduchová puška Slavia 630, která je dle manuálu produkuje střely rychlostí přibližně 150 ms-1. Ta je upnuta ve svěráku tak, aby bylo možné ji nabíjet, aniž by byla změna poloha hlavně při střelbě. Na pušce je umístěn optický zaměřovač, který slouží k usnadnění nastavení laseru. Zelený laser je umístěn za puškou tak, aby značná část svazku paprsků podélně protínala trajektorii vystřelené kulky (viz. obrázek). Laser je připojen na generátor pulsů. Pro realizaci pokusu je nutné mít k dispozici generátor s frekvencí alespoň 5 kHz. My jsme pro měření používali hodnoty mezi 10 – 19 kHz.

Druhým celkem je kyvadlo, tvořené papírovou krabicí kvádrového tvaru, s papírovou výplní pro zachycení kulky. Aby bylo závaží těžší a výchylky menší, kvůli možné aproximaci

, (2.20)je v krabici umístěn olovněný plát. Ten zasahuje také do prostoru za krabicí a je

natvarován tak, aby s vodorovnou rovinou svíral úhel 45°. Na něm pak je přilepen vyleštěný křemík, sloužící jako zrcadlo pro odraz modrého laseru (viz. níže). Toto závaží je zavěšené na dřevěném závěsu pomocí obyčejných provázků, tak aby byl umožněn téměř výhradně pohyb pouze ve dvou směrech, tedy nikoli do stran. Zvláštní pozornost je nutné věnovat samotné konstrukci, která kyvadlo drží. Ta musí být dostatečně pevná, aby byly eliminovány vibrace. V našem případě to bylo zajištěno pomocí několika závaží a pomocí provazů. Ve výšce asi jeden centimetr pod závažím se nachází luminiscenční fólie, která je citlivá na modré laserové světlo, které je na ni odráženo ze zrcátka umístěného na kyvadle. Stopa zůstává na fólii několik sekund, takže je relativně snadné provést odečet. Délka stopy odpovídá pro malé výchylky a malé vzdálenosti velikosti výchylky ve směru osy x kyvadla.

Třetím prvkem je modrý laser. Modrý laser má, na rozdíl od zeleného, dostatečnou energii na to, aby vytvořil stopu na fosforescencenční fólii. Je potřeba tento nastavit laser tak, aby paprsek po celou trajektorii kyvadla zasahoval zrcátko. Z maximální výchylky ve směru pohybu kulky (krajního bodu vzniklé úsečky) a polohy, kterou určíme jako klidovou (což je jeden bod), získáme velikost výchylky ve směru osy x.

Obr. 2.3: Schéma uspořádání experimentu. Pohled od fotoaparátu. Nalevo je modrý laser sloužící k tvorbě stopy na fólii, napravo pulsní laser a zbraň.


Mezi závažím a hlavní je umístěn fotoaparát nastavený na delší expozici. Ideální se ukázala doba mezi 1,5 – 2 s. Po výstřelu je kulka osvětlena pulzujícím laserem podél své dráhy letu. Po vytvoření kalibrační fotografie, pořízené ze stejného místa jen za světla a se svinovacím metrem místo kulky získáme snadným přepočtem závislost polohy na relativním čase. Lineárním proložením křivky získáme rychlost, kterou představuje člen úměrnosti.

Během střelby je nutné mít maximální možné zatemnění. I tak tvoří odrazy laseru od předmětů i od částeček prachu nepříjemný „světelný smog,“ který má ale částečně estetické následky na snímek a nepatrně omezuje možnosti analýzy získaných dat.

Jako optimální střelivo se ukázaly kulaté střely (broky), které prokázaly nejlepší odrazivost. Zvláštní pozornost je nutné věnovat papírové výztuze uvnitř závaží, aby kulka neprolétla po několika výstřelech skrze závaží.

Potřebné vybavení: Vzduchová puška; luminiscenční fólie; modrý laser; další laser, laser s možností pulsního výstupu; papírová krabice s výztuží; zrcátko; dostatek munice; svěrák; nastavitelné stolky a stojany na lasery; váhy; fotoaparát; svinovací metr; trojúhelník s ryskou pro namodelování úhlu 45°; plát olova; provázek; stojany a desky na závěsnou na konstrukci; počítač se software na analýzu a zpracování dat a grafickým editorem. tlusté skleněné desky na ochranu laseru či fólie.

2.3.1 Užité aproximaceBěhem odvozování matematického popisu pohybu bylo provedeno několik aproximací, které nejsou vždy samozřejmě splněny. V následující kapitole se pokusíme odhadnout chyby způsobené těmito aproximacemi.

2.3.1.1 Zanedbání kinetické energie rotace kyvadla.

Pro posouzení oprávněnosti této aproximace porovnáme čistě rotační část kinetické energie (rotace kolem těžiště) s částí translační. Kinetická energie rotačního pohybu je dána vztahem

, (2.21)

kde ω je úhlová rychlost a určíme ji snadno s obvodové rychlosti poloměru otáčení, tedy

, (2.22)

8 MICHAL ČERNÝ

kde rychlost v1 určíme ze zákona zachování hybnosti:

. (2.2)

Jelikož se jedná o řádový odhad, můžeme užít jednoduché aproximace na rotující obdélník kolem svého těžiště umístěného ve středu osy otáčení Moment setrvačnosti válce je tedy:

, (2.17)

kde a a c jsou příslušné rozměry kyvadla (viz obrázek). Vypočítanou hodnotu pak můžete dosadit do vztahu pro výpočet rotační složku kinetické energie a získáme přibližně3

.

Takto nízkou hodnotu energie, lze vzhledem k energii translační v rámci přesnosti měření zanedbat, neboť kinetická energie translační má přibližnou velikost:

; (2.23)

člen rotační energie ní nutné ve výpočtu zvažovat, vzhledem k tomu, že je tisíckrát menší než translační část.

2.3.1.2 Harmonická aproximace

Další důležitou aproximací je , která vede na harmonické řešení pohybové rovnice, které bylo použito pro výpočet délky závěsu délky závěsu z doby kmitu. Námi požadovaná přesnost je v řádu desetiny procenta. Námi měřené úhly mají velikost (za využití délky závěsu a velikosti výchylky) menší než 1,65°. Zde je důležité porovnání periody T naměřené a Tneaprox, která nebere v potaz aproximaci . Pro toto porovnání můžeme užít vztahu:

. (2.24)

Je tedy důležité, aby byl první člen rozvoje zanedbatelný oproti 1. Snadným dosazení získáme

, (2.25)

což představuje výsledek podstatně menší než 1. Proto i tuto aproximaci můžeme zvolit.

2.3.1.3 Rotace odrazného zrcadla

Vodorovné vychýlení kyvadla je experimentálně měřené pomocí stopy světelného svazku, který se odráží na zrcátku (viz. obrázek). S vychýlením kyvadla se zrcátko současně natáčí, což vede k systematické chybě prodlužující světelnou stopu na luminiscenční fólii. Při uvážení geometrického uspořádání, je velikost úhlu ξ, který značí pootočení kyvadla:

. (2.26)

Paprsek se odráží pod úhlem 2ξ. Pro malé úhly platí známá aproximace

3 Odhad proveden na základě naměřených hodnot.


, (2.27)můžeme proto psát:

, (2.28)

Po dosazení naměřených hodnot získáme výsledek:.

Vzhledem k velikosti úhlu je také patrné, že ani úhel 2ξ není na fotoluminiscenční fólii měřitelný, neboť výška paprsku nad fólií byl přibližně 5 cm. Přibližná chyba průmětu je tedy asi 6·10-5 m. Je tedy zřejmé, že prodloužení průmětu stopy do vodorovného směru nepůsobí žádnou měřitelnou chybu. Naše měřící schopnosti na fotoluminiscenční fosforescenční fólii je ±1 mm.

Obr. 2.3: Ilustrace prodloužení stopy laseru.

2.4 Naměřené hodnoty

Podrobný popis analýzy snímků je uveden v kapitole 6. Jelikož jsme pohyb považovali za rovnoměrný (což se ukázalo, že na daném úseku není nikterak chybný či nepřesný přístup), data jsme prokládali lineárně. Získaná přímka byla ve tvaru

, (2.29)kde t představuje čas a y prostorovou (odpovídající v dalších úvahách souřadnici x). Člen a byl roven velikosti rychlosti v0. Parametr b byl volen roven nule4, což je ale pouze otázkou volby počátku souřadnic.

Měření rychlosti se ukázalo jako velice přesné. Relativní chyba proložení přímky byla v řádu 0,2%. Vzhledem k nepřesnosti měření výchylky na luminiscenční fólii, kde je absolutní chyba asi ±1 mm a naměřené hodnoty okolo 50 mm (relativní chyba je tedy přibližně 2%), můžeme v dalším hodnotu velikosti rychlosti považovat za naprosto přesnou. Podobně i určení hmotnosti závaží M, bylo určeno s chybou do 0,2%, také tuto hodnotu je možné uvažovat jako přesnou. Podobně při měření hmotnosti m tedy také menší 0,2%. 4 Jelikož se jedná a o proložení dat, není parametr b roven nule zcela přesně. Chyba je ale v řádu nejvýše 10-2 mm, což chyba pro naše měření zcela zanedbatelná.

10 MICHAL ČERNÝ

Pro všechna měření jsou společné tyto hodnoty, udávající rozměry závaží:

Tab. 2.1: Tabulka rozměrů balistického kyvadla.

Obr. 2.4: Rozměry kvádru.

Odsud tedy jednotlivé parametry a = (11,8±0,1) cm; b = (12,0±0,1) cm; c = (17,5±0,1) cm. Parametr a udává výšku, b šířku a c délku závaží. Dalším neměnným parametrem je délka závěsu pro matematické kyvadlo l, která byla určena s periody kmitů a tíhového zrychlení, tak jak je uvedeno výše.

Tab. 2.2: Tabulka doby kyvu balistického kyvadla pro měření č. 1-3.Z naměřených hodnot je tedy zřejmé určení periody T = (2,50±0,01) s. Odsud pak délka

závěsu matematického kyvadla jest l =(1,56±0,02) m.Pro každou kulku zvlášť byla vážena hmotnost m. Hmotnost M také není pevným

parametrem úlohy, neboť kulky se zachytávají v krabici a její hmotnost nepatrně roste. Pevnými parametry pro fyzické kyvadlo avšak jest r1 = (168,9±0,1) cm.

Pro čtvrté měření muselo být určení periody opakováno, neboť došlo ke změně uspořádání vnitřní výplně kyvadla. Naměřené hodnoty pro T' (užito pro čtvrté měření):


Tab.: 2.3: Tabulka doby kyvu balistického kyvadla pro měření č. 4.

T'=(2,57±0,01) s. Výpočet všech hodnot probíhá stejně jako v předchozích případech. Jen místo T dosadíme T'.

Přehledně můžeme všechny hodnoty zanést do tabulky:

Fyzické kyv. Matemat. kyv. Naměřené hodn.č. m. Δx [cm] Δx [cm] Δχ [cm]

1 (4,7±0,3) (4,3±0,3) (4,5±0,1)2 (7,8±0,5) (7,0±0,4) (6,4±0,1)3 (6,7±0,5) (5,9±0,4) (5,7±0,1)4 (2,9±0,2) (2,8±0,2) (2,7±0,1)

Tab.: 2.4, 2.5: Souhrnné tabulky s výsledky. Měření číslo 4 bylo provedené pomocí digitální kamery.

V tabulce jsou zachyceny jednotlivé parametry k prováděnému měření. Porovnávány jsou parametry Δχ (naměřená hodnota) a Δx (spočítaná hodnota), což jsou výchylky ve vodorovném směru. Hodnoty l respektive L značí vypočítanou délku závěsu, h respektive H výšku, do které vystoupalo těžiště kvádru, m je hmotnost kulky, M hmotnost kyvadla před srážkou, v0 označuje rychlost zjištěnou z analýzy grafu. Hodnota f udává frekvenci pulsního laseru. Čtvrté měření Δχ bylo provedeno pomocí kamery, první tři pomocí fotoluminiscenční fólie.

12 MICHAL ČERNÝ

2.4.1 Měření č.1 - ilustrace

Obr. 2.5: Závislost polohy na čase – určení v0.

Naměřená data byla proložena přímkou s rovnicí x = 0 + (-7671 ± 155) t. Po provedení derivace podle t, získáme hodnotu pro rychlost v0 = (767,1±0,2) cm s-1, což je po převodu do základních jednotek SI (76,7±0,2) ms-1. Nyní již jen dosazujeme do vztahů uvedených výše.

2.4.2 Měření č.4 – užití kamery jako detektoru velikosti výchylkyČtvrté měření bylo poněkud odlišné od předchozích tří. Pro měření délky výchylky nebyla užita fotoluminiscenční fólie, ale videokamera. Stopa laseru se odrážela od dřevěné desky a byla viditelná v kameře, která celý pohyb snímala. Převod byl zajištěn na základě kalibrační fotografie poměrem 1 Px = 0,179 mm. Výchylka v Px byla tedy 152 Px s chybou při každém odečtu maximálně 3 Px díky šíři stopy, což znamená relativní chybu 2,4%. Pro výpočet délky závěsu byl použit nový výsledek měření T', neboť bylo nutné vyměnit část papírové výstelky závaží.

Chyba měření při použití kamery byla přibližně 3,8 %. Největším zdrojem chyby bylo určení rychlosti5, na druhém místě pak hmotnosti M. Obě hodnoty navíc ve výpočtech vystupují v druhých mocninách.

2.4.3 Zhodnocení měření1. Balistické kyvadlo představuje standardní gymnasiální úlohu, jejíž realizace se zdá být

na první pohled poměrně jednoduchá. Avšak ukázalo, že provést tato měření ani s chybou řádu jednotek procent není snadné. Je nutné zajistit, aby se kyvadlo mohlo pohybovat pouze v jednom směru (vhodným bifokálním závěsem), minimalizovat

5 Což jest zapříčiněno nepříliš kvalitním snímkem v tomto konkrétním případě.


vibrace závěsné soustavy i kyvadla samotného. Střelbu je nutné provádět přibližně do středu závaží, aby se omezily nežádoucí vibrace.

2. Dle naměřených výsledků je optické měření rychlosti kulky velmi přesné a to i s velmi průměrným fotoaparátem. U optického měření je potřeba se vypořádat se dvěma problémy. Předně je to otázka poměrně přesného nastavení plsního laseru, aby ozařoval kulku po co nejdelší trajektorii. Snadnému nastavení přitopím brání hlaveň zbraně. Druhým faktorem, je pak oblak plynu, který učiní kulku v oblasti v těsné blízkosti hlavně fotoaparátem nezachytitelnou (nebo alespoň ne dost přesně).

3. Výchylka byla měřena dvěma způsoby; pomocí fólie, ze které byla odečítána vzdálenost a pak pomocí kamery. U fólie je právě tento odečet výchylky zdrojem největší chyby, výhodnější se ukázalo měření pomocí kamery, i když jeho zpracování je časově mnohem náročnější a méně visuálně zajímavý, než postup s kamerou.

4. Pro dané uspořádání experimentu (délka závěsu přibližně 1,5-2 metry a velikost závaží 0,4 kg) je aproximace matematickým kyvadlem zcela vyhovující s tím, že obtížně proveditelné měření polohy těžiště závěsu lze obejít určením jeho efektivní délky z doby kmitu.

5. Vzduchovka nestřílí stále stejně rychle, proto měření rychlosti střely a výchylky kyvadla je nutné dělat současně pro každý individuální výstřel. To může být zapříčiněno tím, že pro střelby byly užity kulaté broky6, místo obvyklých diabolek.

2.5 Stručný pedagogický komentář

Celý experiment lze provést i poněkud méně náročně na vybavení. Pro měření rychlosti kulky, lze užít dvou papírových (či z tenké lepenky vytvořených) kotoučů, otáčejících se konstantní rychlostí (viz. kapitola 3.). Z rozdílu poloh průstřelů na kotoučích, lze pak snadno určit rychlost kulky. Také luminiscenční fólii lze užít jiné metody; můžeme měřit výšku výstupu kyvadla pomocí digitální kamery. Jelikož výška nebude příliš velká lze pomocí kamery snadno zachytit pohyb závažíčka a výšku určit pomocí vedle stojícího délkového měřidla. Běžné dnešní kamery generují 30 snímků za sekundu což je pro určení výšky dostatečně přesné měření.

Experiment demonstruje úlohu, která je svým způsobem vrcholem středoškolského snažení se v mechanice, neboť propojuje dva nejvýznamnější zákony zachování (v gymnaziálním přiblížení) do jednoho příkladu a je škoda z něj učinit pouze objekt matematického zájmu. Navíc umožňuje rozšíření celé problematiky o další mechanické úvahy související s momenty setrvačnosti, kinetické energie rotačního pohybu a připravuje prostor pro obecnější úvahy o opodstatněnosti různých aproximací a modelů ve školním kurzu fyziky.

Pokus je také mimořádně zajímavý pro studenty i po vizuální stránce – předně může být estetický a pak určitou přitažlivost bude hrát jistě i přítomnost střelné zbraně a manipulace s ní. Zde je zřejmě největší problém v realizaci tohoto experimentu, tedy v otázce bezpečnosti. Je potřeba uvážit skutečnost, že se kulka může nejrůzněji odrážet či neukázněného žáka během svého letu přímo zasáhnout. Pokud však bude celý experiment v místě realizace předem řádně vyzkoušen, vyladěn a žáci vykazují obvyklou míru kázně, je zřejmě možné jej provádět. Pro větší bezpečnost doporučuji jako ochranu před kulkou tlustší sklo umístěné v

6 Z důvodu lepší odrazivosti laseru.

14 MICHAL ČERNÝ

přiměřeném úhlu (nejlépe 45°) umístěnou za balistickým kyvadlem. Podle předpisů bezpečnosti práce jej ale lze realizovat, při zajištění odpovídající bezpečnosti.7

Alternativou pro školské experimenty jsou jiné možnosti střelných „zbraní“, které nejsou tak nebezpečné jako vzduchovka. Tím že má střelivo nižší rychlost, je ale potřeba uzpůsobit i tvar a hmotnost balistického kyvadla. Nabízí se možnost střelby z kuličkové pistole poháněné vzduchem či pružinou, která je běžnou dětskou hračkou. Další možností jsou kuličkové pistole poháněné CO2, ty již ale produkují střely rychlosti kolem 120 ms-1 8, což již opět není zcela bezpečné., K dispozici jsou i slabší kuličkové zbraně s přijatelnou rychlostí okolo 67 ms-

1 9, které se pro případ školních potřeb jeví jako poměrně vhodné s poměrem rizika a efektivnosti . Dále jsou k dispozici i pistole elektrické a další. Možností je samozřejmě i výroba vlastní zbraně poháněné nejrůznějším způsobem stlačeným vzduchem – ať již mechanicky nebo pomocí sifonové bombičky. Spíše žertovné využití může mít balistické kyvadlo i pro měření rychlosti střelby lukem. Zde je ale vyžadována určitá netriviální dovednost lukostřelců. Možné je měřit i rychlost hodu nějakým předmětem (pomocí dostatečně dlouhého závěsu a velkého závaží). Dále je možné například měřit rychlost hodu studenta, což může být zajímavá disciplína například na nějakém sportovním dni. Variant využití se nabízí velké množství.

Pokud jde o jeho reálný průběh (tak jak byl v rámci práce měřen) pak je potřeba upozornit především na následující úskalí. Je nutné dobře zajistit závěs kyvadla – to musí být nuceno pouze k pohybu jedním směrem(viz. fotografie v příloze), čehož je možné dosáhnout dobrou kombinací bifokálního závěsu, který musí být vhodně upevněn tak, aby vykazoval jen minimální míru vibrací pomocí ukotvení provazy a jeho zatížení pomocí závaží (viz. fotografie v příloze). Kulku je vhodné volit kulatou (tedy brok), neboť vykazuje lepší odrazivost světelného paprsku. Nutné je velmi přesné nastavení laseru ozařujícího kulku – nepřesnost v řádu milimetrů znemožní přesné měření. Dále je pak nutné dbát na dobré zatemnění místnosti (v rámci možnosti užívání dvou výkonných laserů) a optimální polohu fotoaparátu. Jeho pozice bude záviset na jeho parametrech (především množství MPx a citlivosti snímače) a na zvolené frekvenci.

2.6 Balistické kyvadlo v gymnaziální učebnici

Příklad je přejat z učebnice Mechanika pro gymnázia. Jedná se o 7. příklad ze strany 235 [1] a je doplněn obdobným obrázkem jako v našem matematickém řešení. Jediný rozdíl je v označení hmotností. Hmotnost střely je zde označena m1 a závaží jako m2.

Zadání: Na provaze je zavěšena dřevěná kostka o hmotnosti 3,6 kg. Těžiště kostky je ve vzdálenosti 2,5 m od místa závěsu. Na kostku je vodorovným směrem vystřelena střela o hmotnosti 0,020 kg a je zachycena v kostce. Vektorová přímka rychlosti střely prochází těžištěm kostky. Provaz s kostkou se odchýlí o 35° od svislého směru. Určete rychlost střely v okamžiku nárazu na kostku. Odpor vzduchu zanedbejte.

Řešení:

7 Zajímavý a přínosný může být experiment zvláště tam, kde při školním zařízení existují střelecké volnočasové kroužky realizované školou.8 Jen pro ilustraci uvádíme příklad: CZ 75D Compact <http://www.kentaurzbrane.cz/zbrane-volne-prodejne/pistole-cz-75d-compact-co2-blowback-dual-tone> .9 Jen pro ilustraci uvádíme příklad: STI M1911 Clasic <http://www.kentaurzbrane.cz/zbrane-volne-prodejne/sti-m1911-clasic> .

http://www.kentaurzbrane.cz/zbrane-volne-prodejne/sti-m1911-clasic

http://www.kentaurzbrane.cz/zbrane-volne-prodejne/sti-m1911-clasic

http://www.kentaurzbrane.cz/zbrane-volne-prodejne/pistole-cz-75d-compact-co2-blowback-dual-tone

http://www.kentaurzbrane.cz/zbrane-volne-prodejne/pistole-cz-75d-compact-co2-blowback-dual-tone


(2.30)

Postup: Stejně jako v našem modelu se zde uvažuje zákon zachování hybnosti těsně před srážkou a zákon zachování mechanické energie v čase po ní. Zajímavé je, že právě měření výchylky ve stupních se užívá pro dnešní balistická kyvadla, která jsou ale řešena poněkud technicky důmyslněji10.

Ze zákona zachování hybnosti, který užijeme před srážkou plyne:

, (2.1)

kde v je rychlost kulky a v1 je následná výsledná rychlost soustavy závaží a kulka. Po srážce je možné užít zákon zachování mechanické energie ve tvaru:

, (2.3)

nyní vyjádříme výšku výstupu závaží jako funkci délky závěsu a úhlu φ:. (2.31)

Tento výraz dosadíme do zákona zachování mechanické energie a z něj vyjádříme v1. Ten pak dosadíme do zákona zachování hybnosti a získáme požadovaný výsledek:

, (2.32)

po úpravě a zkrácení

, (2.33)

po dosazení do zákona zachování hybnosti

, (2.34)

což plně souhlasí s předem avizovaným, autory uváděným výsledkem. Dle zadání se tedy předpokládá řešení matematického kyvadla a střelby přímo do těžiště. Dle uvedeného nákresu, je ale realizace takovéhoto počinu dosti obtížná a lze předpokládat, že vzhledem k vibracím, které by získalo závaží po zásahu by naměřený úhel mohl být značně jiný a nešlo by o pohyb v rovině.

Gymnasiální úloha také obvykle neuvažuje o rotační složce kinetické energie. Její příspěvek je sice zanedbatelně velký, ale součástí diskuse problému by měl být alespoň jednoduchý odhad toho, že zvolená aproximace matematického kyvadla je vhodná a dobře použitelná.

10 Například <http://en.wikipedia.org/wiki/Ballistic_pendulum> , nebo ilustrace na <http://sakshat.amrita.ac.in/VirtualLab/vlab/PHY/CLA/Ballistic%20Pendulum/balastic.jpg> .

http://sakshat.amrita.ac.in/VirtualLab/vlab/PHY/CLA/Ballistic%20Pendulum/balastic.jpg

http://en.wikipedia.org/wiki/Ballistic_pendulum

16 MICHAL ČERNÝ

3 Rotující kotoučeJak jsme již uvedli v předchozí kapitole, dalším způsobem jak změřit rychlost kulky je užití dvou rotujících kotoučů. Toto měření mělo spíše informativní charakter a jeho cílem bylo provést další nezávislé měření rychlosti kulky.

Velmi často se vyskytujícím příkladem v gymnasiálních sbírkách příkladů z mechaniky jsou uváděny dva rotující kotouče, které slouží k určení rychlosti střely. Následující krátká kapitola se pokusí stručně vyložit experimentální zkušenost s tímto měřením a okomentovat běžně zadávané hodnoty v početních příkladech.

Co se týče realizace představuje dvojce rovnoměrně rotujících kotoučů známou rychlostí, jenž jsou od sebe vzdáleny známou délku jeden z nejsnazších způsobů, jak určit rychlost střely.

Obr. 3.1: Obrázek ilustrující uspořádání experimentu a zadání úlohy.

3.1 Matematický popis

Předpokládejme, že je pohyb mezi dvěma kotouči přibližně rovnoměrný. Pak můžeme použít známý vztah z kinematiky

, (3.1)

kde v je rychlost kulky mezi kotouči, t je čas průletu a l je vzdálenost mezi nimi.Pokud je rovnoměrné i otáčení kotoučů (což jsme ověřili) lze pro úhlový posun užít vztahu

, (3.2)pokud není rychlost kulky natolik velká, aby způsobila posun o více než 2π. Po dosazení získáme vztah

. (3.3)



Experiment je poměrně nenáročný, pokud máme experimentální možnost, jak určit rychlost rotace kotoučů. Mezi nejznámější způsoby měření, patří optická závora propojená se systém ISES,11 který je na školách hojně rozšířen. Je možné užít ale i jiné možnosti, například motorek s připojeným měřičem otáček.

Potřebné vybavení: vrtačka; kartónové kotouče (3 kusy – dva na střelbu a jeden s výřezem pro určený na stanovení

rychlosti rotace vrtačky); ISES; Optická závora; počítač s potřebným software; puška s municí; duralová tyč (či jiný vhodný nosič kotoučů – ideální je lehká a pevná tyč); stojan pro zapření konce rotující tyče.

Prvním krokem je stanovení rychlosti otáček vrtačky. Jelikož měření otáček ISESem neprobíhá současně s měřením rychlosti střely, je nutné zajistit, aby v obou případech byly otáčky pokud možno shodné. Z našich experimentů se ukázalo, že maximální otáčky jsou v mezích požadované přesnosti reprodukovatelné.

Jeden s kotoučů upevníme na tyč, která je napojena na vrtačku či jiný vhodný motor. Vyrobíme do něj štěrbinu přiměřené velikosti a laserem osvětlujeme kotouč. Měření je založené na tom, že do čidel přichází světelný signál z laseru jen ve chvíli, kdy je kotouč díky štěrbině pro svazek světla průchozí. Naměřená data se projeví jako píky v hodnotách naměřených ISES. Ze vzdáleností píků je možné určit v rychlost otáčení kotouče.

Druhým krokem je připevnění dvou kotoučů do přiměřené vzdálenosti od sebe na duralovou tyč. V závislosti na druhu střelné zbraně a otáčkách vrtačky, je vhodné zvolit přiměřenou vzdálenost těchto kotoučů. Pomocí olovnice na kotoučích vyznačíme preferovaný svislý směr, který bude sloužit k odečítání úhlů. Na kotouče dále vyznačíme směr jejich otáčení, a zda je ten který kotouč přední či zadní.

Jako vhodný způsob připevnění kartónových kotoučů se ukázala být tavná lepící pistole. Po upevnění kotoučů na tyč, jejíž jeden konec je napojen na vrtačku a druhý volně položen do stojanu je možné provádět samotnou střelbu. Po každém výstřelu je navíc nutné na kotoučích vyznačit číslo výstřelu, aby bylo možné výsledky vyhodnotit (spárovat jednotlivé zásahy). Jednu sadu kotoučů z kartonu je možné použít přibližně pro 5–8 výstřelů.


Vzdálenost l = 1 m, hodnoty pro změnu úhlu a frekvenci otáčení uvádíme ve dvou tabulkách:

11 Alternativou může být například systém Verinier < http://www.vernier.com/soft/lpl/> .

http://www.vernier.com/soft/lpl/

18 MICHAL ČERNÝ

průstřel č. Δ [rad]1 3,42 3,523 4,324 4,035 4,22

Tab. 3.1: Velikost úhlu pootočení kotoučů vůči sobě při jednotlivých výstřelech.

V tabulce je uvedeno odečítání úhlů na jednom a na druhém kotouči (kotouč č. 1 byl umístěn blíže k hlavni pušky) a jejich rozdíl v radiánech.

Tab. 3.2: Tabulka s kalibračními měřeními rychlosti otáčení kotoučů.

Rychlost odečítání udává vzorkovací frekvenci sbírání dat použitou v systému ISES. Data byla vynesena do grafu a ze vzdálenosti píků, které udávají informaci o tom, že v daném čase prochází čidlem část kotouče s přerušením. Ukazuje se, že je nutná vyšší odečítací frekvence k určení přesného výsledku. Pro naše výpočty užijeme výsledky dvou nejpřesnějších měření Z doby jednoho průchodu zle snadno určit frekvenci f = (39,7 ±0,2) Hz.

Nyní již můžeme snadno určit rychlost kulky, ze vztahů které jsme uvedli výše.

Tab. 3.3: Stanovení rychlosti kulky mezi dvěma kotouči.

V tabulce můžeme snadno vidět, že rychlost vystřelené kulky není možné považovat za konstantu. Toto zjištění nás utvrzuje v tom, že je nutné měřit současně výchylku závaží i rychlost kulky, a to i přes všechny obtíže, které to může přinášet.

Vzhledem k materiálu, který byl na kotouče použit (karton) má také poměrně velký vliv to, jakým místem kulka prošla. Ukázalo se, že kantor má zásadní vliv na zpomalení kulky. Mimo to, z předchozích optických měření víme, že někdy je výstřel silnější někdy slabší, rychlost kulky se dosti zásadním způsobem mění. Do analýzy důvodů není potřeba nějak zásadně vstupovat. Vliv bude mít zřejmě nejen puška, ale také tvar a hmotnost broků. Vzduchová puška je přece jen primárně vyrobena na střelbu s diabolkami nikoli s kulovými broky. Přesto během tohoto měření byla rychlost kulky poměrně stabilní. Hodnota její rychlosti je na základě měření (64±6) ms-1.

K uvedeným hodnotám je potřeba uvážit, jakou mají míru přesnosti. Chyby mohou pramenit s toho, že se nepodařilo střílet přesně rovně a jisté nejistotě, kde byl přesný střed otáčení a nemalé velikosti dírek po výstřelu. Asi největší míru chyby, ale může mít na svědomí samotná vzduchová puška, která (dle výsledků předchozích měření) nestřílí stále stejně rychle. Proto je i míra chyby asi okolo deseti procent. Toto měření je tedy ve stávající


konfiguraci spíše vhodné k tomu, aby byl učiněn přibližný odhad o tom, jakou rychlostí se kulka pohybuje.

Vše by šlo zřejmě zpřesnit užitím homogenějších kotoučů menší mocnosti (respektive odporem při průchodu), které by neměli takový vliv na průchod kulky. Již z čistě optického zkoumání kotoučů je patrné, že rychlost na prvním a druhém kotouči byla značně odlišná (například podle míry poškození kotouče střelou), což mění měření spíše na problém, určení rychlosti střeli mezi kotouči a nikoli při výstřelu.

Přibližně pět až šest těchto kotoučů, umístěných těsně za sebe, je schopné kulku zcela zastavit. U lehčích materiálů je ale problém s příliš širokou stopou a přílišnými vibracemi. Přesto je toto měření poměrně nenáročné, snadno a rychle realizovatelné a zajímavé. Pokud se přeneseme přes riziko spojené obecně se střelbou ve školním prostředí12, pak můžeme být tento pokus zařazen i jako frontální úloha v praktiku s tím, že vyučující sám realizuje střelbu, neboť její realizace ani analýza nevyžaduje žádné pokročilé znalosti či dovednosti.

Pro tento experiment byly užity místo kulatých broků diabolky. Výsledky měření tak nelze přímo srovnávat se závěry předchozích měření. Pro získání přesnějších a representativnějších výsledků by bylo nutné provést větší množství měření a dokonaleji zvolit materiál kotoučů i realizaci a spojit ji třeba s nějakou další metodou – ať již pomocí optického měření nebo balistického kyvadla.

3.4 Stručný pedagogický komentář

Téměř vše podstatné bylo zmíněno již výše. Tento pokus je poměrně snadný na realizaci a představuje hezké orientační měření kulky. Jistě je možné dopředu proměřit rychlost otáčení a studentům ji zadat jako známý parametr úlohy.

Opět je nutné zachovat všechna nutná bezpečnostní opatření, která souvisejí s užíváním vzduchové pušky ve třídě, jak jsme je zmiňovali v kapitole 2.5.

3.5 Rotující kotouče v gymnaziální učebnici

Tento příklad nalezneme dokonce jako řešený v základní učebnici Mechanika pro gymnázia na straně 215 jako příklad 1. [1]:

Zadání: na nepružné ose motoru jsou upevněny ve vzdálenosti 0,80 m od sebe dva papírové kotouče, které se rovnoměrně otáčejí s frekvencí 80 Hz. Kotouče jsou proraženy střelou letící rovnoběžně s osou otáčení. Podle otvorů způsobených střelou v kotouči bylo zjištěno, že se kotouče otočily o úhel 30°. Vypočítejte rychlost střely.

Postup: Zcela analogický s tím, který jsme uvedli v naší úvodní diskusi problému. Uvažujme přímočarý pohyb, pak dráha uražená za čas t

, (3.4)za tutéž dobu se kotouče otočí o úhel

. (3.2).Dosadíme za čas t z prvního vztahu do druhého a vyjádříme v

. (3.3)

12 Střelba vzduchovkou je zřejmě z bezpečnostních důvodů nerealizovatelná, ale jisté možnosti jsou ve vyzkoušení tenčích kotoučů a méně nebezpečných střelných zbraní (viz. kapitola 2.5).

20 MICHAL ČERNÝ

Po dosazení získáme rychlost v = 480 ms-1. Řešení příkladu je zcela jednoznačné a nekomplikované. Snad jen chybí úvaha o možnosti, že by se kotouče mohli během průchodu kulky otočit o více než 2π. V příkladu by měla být zmínka o tom, že měříme rychlost nikoli střely před střetem s prvním kotoučem, ale rychlost mezi kotouči. Vzhledem k uvedené rychlosti by bylo nutné užít jiných kotoučů, než jaké sloužily v našem experimentálním uspořádání.

4 Rychlost padající kapkyExperiment si kladl za cíl, zkoumat vlastnosti odporových sil působící na padající kapky různých rozměrů. Cílem bylo zhodnotit, zdali je pro padající objekt dostatečným způsobem přijatelná aproximace pro odporové síly pomocí Newtonova vztahu, či zdali lepší popis poskytne Stokesův vztah nebo prostý volný pád bez odporu.

4.1 Úvod

Jednou s poměrně obvyklých gymnasiálních úloh je výpočet rychlosti padajícího předmětu. Mějme těleso určitého tvaru, pro které uvádějí tabulky odporový koeficient cy o příčném obsahu S a hmotnosti m. Těleso se pohybuje ve vzduchu, jehož hustota je ρ. Na těleso působí síla tíhová

, (4.1)

která ho urychluje směrem dolů a proti ní síla odporová, která závisí, podle Newtonova vztahu, na druhé mocnině rychlosti:

. (4.2)

Pro ilustraci uvádíme několik konkrétních příkladů hodnot koeficientu cy: [2] [3] [4]

Tab. 4.1: Tabulka s tabulkovými koeficienty cy. Literatura často nerozlišuje mezi tvarem různých rovných tenkých desek.

Koeficient C závisí na tvaru tělesa, jeho poloze vůči proudící tekutině a na charakteru proudění, které popisuje vyjadřuje Reynoldsovo číslo. [2] Jak je vidět hodnoty je možné brát spíše jako orientační.

Námi realizovaný experiment se zaměřil na posouzení, zda odpor prostředí letící kapky na dráze jednotek metrů je možné popsat jako pád v neodporujícím prostředí a pokud ne, je li pro tento popis odporové síly výhodnější Newtonův a nebo Stokesův vztah.


Na padající kapku působí tíhová síla a síla odporová, která závisí na rychlosti. V běžné praxi se používají dva aproximativní vztahy vyjadřující tuto závislost. Stokesův, kde odporová síla roste lineárně a Newtonův, kde je růst odporové síly v závislosti na rychlosti kvadratický. Jako první případ, ale vyřešíme příklad volného pádu.

22 MICHAL ČERNÝ

Budeme předpokládat, že výpar kapalin je dostatečně malý na to, aby neměl na výsledek měření podstatný vliv. Dále uvažujeme pouze pohyb podél osy y, proto nemusíme psát rovnice ve vektorovém tvaru.

4.2.1 Volný pád bez odporu prostředíZ druhého Newtonova zákona získáme rovnici:

, (4.3)odtud pro tíhovou sílu Země, působící na padající kapku platí:

, (4.4)kde g je tíhové zrychlení Země. Na těleso nepůsobí, kromě tíhové, žádné síly, takže se jedná o pohyb rovnoměrně zrychlený, ve směru tíhového zrychlení – kolmo dolů. Po dvojnásobné integraci rovnice 4.4 po dráze y, získáme známý vztah:

, (4.5)

kde h0 je počáteční dráha, před započetím studia pádu, v0 je rychlost v tomto okamžiku, t jest čas a g tíhové zrychlení.

4.2.2 Volný pád v odporovém prostředí při užití Stokesova vztahu pro koulyPopis pohybu tělesa v prostředí s odporem, závisejícím na první mocnině rychlosti nalezneme v literatuře [5] [6], ze které byl postup převzat. Stokesův vztah [7] patří k nejčastějším aproximacím odporových sil, zvláště když předpokládáme, že se těleso pohybuje v kapalině, případně je pokud předpokládáme, že proudění je laminární, tedy rychlosti jsou nízké a rozměry obtékaného tělesa malé.

Pohybová rovnice má tvar: , (4.6)

po úpravě a substituci:

, (4.7)

kde

, (4.8)

se nazývá útlumový parametr a k vyjadřuje konstantu definující míru závislosti odporu na první mocnině rychlosti. Pro Stokesův vztah [5] získáme

, (4.9)

kde η je dynamická viskozita a R poloměr tělesa.Dále pak

, (4.10)

což jest konstanta, která má fyzikální význam mezní rychlosti tělesa pohybujícího se viskózní kapalinou. Pokud zvážíme ještě podmínku, zcela přirozenou podmínku

, (4.11)získáme pomocí substituční metody při integraci pohybové rovnice (4.7) vztah:

. (4.12)

Stejně jako u volného pádu předpokládejme, že dříve než těleso začneme pozorovat urazilo dráhu y0. Odsud získáme druhou integrační podmínku:

Experimentální ověření vybraných fyzikálních modelů a aproximací23

, (4.13)takže druhou integrací přes dráhu získáme:

, (4.14)

což je výsledná rovnice, popisující závislost polohy na čase. Do rovnice je možné ještě dosadit, čímž jest dán konečný vztah:

. (4.15)

Nyní již máme jen měřitelné veličiny a počáteční podmínky. Ke způsobu zjištění počátečních podmínek se vrátíme až v kapitole Uspořádání experimentu.

4.2.3 Volný pád v odporovém prostředí při užití Newtonova vztahuJak jsme již uvedli výše popis odporových sil v závislosti na rychlosti je spíše empirický. V učebnicích se nejčastěji setkáme s modelem, který předpokládá závislost odporové síly rychlosti kvadratickým způsobem který je popsán Newtonovým vztahem:

, (4.16)

kde S je příčný průřez obtékaného tělesa, C je konstanta související s tvarem tohoto tělesa, v je rychlost a ρ je hustota obtékající kapaliny. Pro popis pohybu jako funkce y (t) použijeme postup, který opět nalezneme v literatuře [5] [6].

Pro tento případ je možné uvažovat pohybovou rovnici ve tvaru: . (4.17)

Zavedeme substituci:

(4.18)

a

. (4.19)

Pohybovou rovnici je pak možné přepsat do tvaru:, (4.20)

rozkladem na parciální zlomky získáme rovnici:

, (4.21)

jenž lze již přímo integrovat za získání vztahu

, (4.22)

kde C je integrační konstanta, a ze které lze již přímo vyjádřit rychlost, odlogaritmováním a několika dílčími úpravami získáme

, (4.23)

z čehož již za užití obvyklých počátečních podmínek (viz. vztah 4.11) získáme

, (4.24)

24 MICHAL ČERNÝ

odtud koeficient C

. (4.25)

Rovnici 4.23 je možné přímo integrovat a získáme (po zvážení podmínky stejné jako v rovnici 4.13) rovnici:

, (4.26)

což jest hledaná rovnice. Dosazení za koeficienty A, B, C by již vztah zbytečně příliš znepřehlednilo.


Experiment byl uspořádán podle následujícího schématu [8]:

Obr. 4.1: Pohled ze strany („záběr fotoaparátu“).

Kde G označuje generátor periodických obdélníkových pulsů. Na obrázku je dále vidět kapilára, zdroj vody (láhev případně přímo vodovod). Voda byla použita běžná, z vodovodního potrubí. Pomocí tlačky byl v hadičce regulován průtok, a tak byla ovlivněna rychlost generování kapek tak, aby fotografické snímání bylo co nejsnazší. Jako optimální se jevila perioda mezi 2 až 5 sekundami. Na generátor byl připojen laser, který osvěcoval padající kapku ve snímané části trajektorie, tak že se světelný paprsek odrážel od zrcadla umístěného v těsné blízkosti kapiláry. Fotoaparát byl umístěn ve stativu, aby byla omezena jeho pohyblivost.

Generátor pulsů napojený na laser zajišťoval osvit kapky s pravidelnou frekvencí, s obdélníkovou modulací signálu, kterou bylo možné odečíst na nezávislém měřiči frekvence, který je součástí generátoru. Bylo potřeba volit takové frekvence aby bylo na snímku co nejvíce záblesků (tedy zobrazených stop padající kapky) a současně byly tyto světelné stopy dobře identifikovatelné a rozlišitelné. Na volbu frekvence má vliv také vzdálenost fotoaparátu od kapkostroje. Jako minimální možná se jevila frekvence okolo 100 Hz, ale i s frekvencí o něco nižší lze získat alespoň ilustrativní (i když ne tak přesná) data. Volba frekvence je pochopitelně úzce spojena s výkonem laseru i kvalitou fotoaparátu.


Lepších výsledků by bylo možné dosáhnout například kvalitnějším fotoaparátem s větším rozlišením a ukládáním snímků nikoli do kompresního formátu JPG či JEPG, ale do bezztrátového RAW. V některých místech fotografie jsou lokálně přeexponovaná místa, což by bylo možné odstranit například překrytím odrazových ploch černou clonou. Pro dobré výsledky experimentu je důležité co možná nejlepší zatemnění místnosti.

Pro měření byla použita „běžná“ voda z vodovodního řádu. Větší roli by tak nemělo hrát, zdali je umístěná v láhvi, nebo přímo dodávaná z vodovodu. Měření probíhala při teplotě (20 ±2) °C. Tento rozptyl teploty by neměl mít na výsledky měření žádný zásadní vliv.

Kapky se utrhávaly z kapiláry, což zajišťovalo jejich značnou homogenitu. Přesto je potřeba u každého uspořádání provést alespoň dvě měření, aby bylo zabráněno zanesení náhodné chyby do měření.

Kapkostroj byl sestaven z běžně dostupných chemických stojanů a svorek, což mělo za následek mírnou nestabilitu konstrukce, která se stala poměrně náchylnou na otřesy. Při konstrukci systému je důležité zajistit dostatečný spád vody, na což je potřeba myslet především tehdy, když nám jako zdroj slouží láhev. U připojení přímo na vodovod sice není regulace průtoku tak jemná, ale odpadá případný problém s nedostatečným tlakem.

Hmotnost kapek byla určena na základě vážení na laboratorních vahách. Pokud budeme chtít získat maximálně přesné výsledky je potřeba pracovat poměrně rychle, abychom snížili vliv výparu vážených kapek.

Potřebné vybavení: laboratorní váhy; generátor pulsů; laser; chemické stojany a spojky; kádinka či jiná nádoba na zachycení odkapávající vody; kapilára; stativ; fotoaparát; svinovací metr či jiné měřidlo délky s nejmenším dílkem alespoň 1 mm; zrcadlo; počítač a příslušné programové vybavení.

Experiment lze provádět také se stroboskopem, což je sice náročnější na zatemnění, ale není potřeba laser a generátor pulsů. Slabší laser, je možné do značné míry kompenzovat kvalitnějším fotoaparátem atp.


Výšku y0 určíme odečtením z kalibrační fotografie. Obvykle porovnáme pozici nějakého jasně identifikovatelného bodu na kalibrační fotografii a na snímku s padající kapkou a ze znalosti toho, jaký je vztah mezi délkou v mm a pozicí v Px určíme požadovanou výšku y0. Jedná se ale pouze o aditivní konstantu, kterou přičítáme ke všem modelům i k odečteným hodnotám. Přesnost jejího určení tedy nemusí být příliš velká, neboť nemá žádný vliv na výsledek ani na sledované jevy.

26 MICHAL ČERNÝ

Další potřebnou počáteční podmínkou je hodnota v0. Pro každé měření vytvoříme graf závislosti absolutní pozice na relativním čase. Jako první bod volíme první rozlišitelný bod v nepřerušené řadě kapek a relativní čas v něm klademe rovný nule. Grafem závislosti proložíme polynom druhého stupně a rovnici, která jej popisuje zderivujeme a dosadíme za čas definičně nulu. Získaná hodnota odpovídá rychlosti v0.

4.4.1 Padající kapka z menší kapiláry osvětlovaná frekvencí 286,7 HzPro tuto fotografii platí, že poloha kapiláry, ze které jsou utrhávány kapky je y0 = 290 mm nad snímkem. Fotografii bylo nutné nepatrně otočit, aby kapka padala opravdu svisle. Použitá fotografie je vyobrazena v příloze.

Grafy analyzují přesnost aproximaci modelují pohyb pomocí počátečních podmínek. Předchozí pohyb kapky (až na informaci y0 a v0) nebereme v potaz. Pokud bychom tedy sledovali pohyb od počátku, byly by grafy v daném okamžiku začátku našeho měření vzájemně posunuty. Hmotnost kapky byla určená vážením většího množství kapek kapající z téže kapiláry a stanovena na (0,086±0,004) g. Pro matematické modely předpokládáme, že kapka má tvar koule, což dokumentuje řada literatury. [9]

Zde jsou pro přehlednost uvedeny pouze grafy, které ilustrují chování kapky. V grafu je vynesena závislost polohy na čase. Ta je pak proložena polynomem druhého stupně, který když zderivujeme a dosadíme za t = 0 s, získáme počáteční rychlost v0. Tímto parametrem jsou určeny všechny potřebné počáteční podmínky a pohyb kapky můžeme popsat také na třech dalších modelech – volném pádu, pohybu při působení odporové síly dle Stokesova vztahu a dle Newtonova vztahu. Již zběžným pohledem na grafy je zřejmé, že se kapka pohybuje přibližně dle modelu, který je určen nárůstem odporových sil podle Newtonova vztahu.

Obr. 4.2: Závislost polohy na čase.


Obr. 4.3: Studium pohybu a různé teoretické aproximace. Newtonův vztah pro hodnotu

C = 0,5.

28 MICHAL ČERNÝ

Mohla by vzniknout námitka, že jelikož Stokesův vztah nemá žádný volný parametr a Newtonův vztah ano, je Newtonův vztah pro pohyb v odporovém prostředí oproti vztahu Stokesově v jisté principiální vývoje. Jak však ukazují následující grafy, jistá variabilita

koeficientu cy nezpůsobí zásadní nefunkčnost modelu a ten je pro vyšší rychlosti stále věrnější naměřené skutečnosti, než Stokesův vztah.

Obr. 4.4: Detail grafu pro teoretické modely pro různá C u Newtonova odporového vztahu. Vzhledem k rozměrům kapky je Newtonova aproximace stále lepší pro vyšší

rychlosti.


Obr. 4.5: Graf vývoje relativní chyby v čase.

4.4.2 Další naměřené hodnotyMěření bylo více a všechny odpovídají závěrům uvedených v předchozím odstavci. Měření bylo prováděno pro dvě velikosti kapek generovaných dvěma různými kapilárami větší o hmotnosti (0,104±0,003) g a menší o hmotnosti (0,086±0,004) g. Pro obě velikosti a různé frekvence osvitu se podařilo ukázat, že náš předpoklad o kulatosti kapky nebyl v rozporu s experimentem, a že se kapka pohybuje dle Newtonova vztahu pro pohyb těles v odporovém prostředí. Na základě analýzy pohybu je možné určit hodnotu cy=(0,5±0,1). Ukazuje se, že pro vyšší rychlosti je Newtonův model stále lepší aproximací, což je ve shodě s teorií. Jednotlivé grafy jsou uvedeny v příloze.

4.5 Interpretace výsledků a stručný pedagogický komentář

Měření ukázalo, že se kapky v odporovém prostředí vzduchu při přibližné teplotě 20°C pohybují dle modelu, vycházejícího s Newtonova vztahu pro odporovou sílu. Největším zdrojem nepřesností může být jednak optické zkreslení způsobené vadami čočky fotoaparátu13, dále chyby související s tím, že fotoaparát užívá ukládání snímků do JPG a nikoli do RAW. Jako problematické se jevilo užití nepatrně prasklé kapiláry, která pak negeneruje stejně velké kapky. Při měření naopak není důležitým parametrem absolutní poloha, protože se jedná o čistě aditivní parametr.

Využití v běžném školním praktiku je problematické vzhledem k užití výkonného laseru. Pro gymnasiální vybavení učeben bude asi největším problémem laser s generátorem pulsů. Málo výkonný laser je možné nahradit stroboskopem, jehož nevýhoda spočívá především v tom, že osvětluje vše okolo. Výsledkem tedy nebudou tak pěkné snímky. Nižší frekvenci je

13 Tento problém je diskutován v poslední kapitole této práce.

30 MICHAL ČERNÝ

pak možné snadno kompenzovat kvalitnějším fotoaparátem (s větším množstvím MPx), který je dnes již téměř běžným „občanským“ standardem a snímám většího úseku trajektorie.

Pokud je k dispozici laser dostatečně výkonný14, avšak bez modulátoru pulsů je možné užít generátor mechanický. Může se jednat o kotouč s vhodně umístěnými otvory, který je nasazený na vrtačce a jehož frekvenci otáčení proměříme například pomocí ISES.

Při všech měřeních je nutné dostatečné zatemnění a je vhodné užít také užití černých zástěn v ose měření, umístěných za padající kapkou. Černým materiálem je dobré také odstínit všechny kovové části stojanu, aby nezpůsobili odlesky lokální přeexponovaní snímku. Během celého měření je nutné chránit oči před zásahem laserového paprsku.

Zajímavé je určení relativní chyby aproximace, při užití Newtonova vztahu. Jednak se ukazuje, že nejlepších výsledků nedosahujeme s koeficientem cy=0,5, ale s nepatrně vyšším cy=0,6. Dále možné vidět přechod z kladných výchylek chyby do záporných. To lze možná zdůvodnit tím, že se podařilo zachytit fázi letu kapky, kdy je přechod aproximativních vztahů od Stoksova k Newtonovu. Tuto skutečnost také dokumentují další grafy. Porovnáme li naměřená data pro kapku vody s vyšší hmotností (viz. příloha) s těmi pro kapku s hmotností menší, je zřejmé, že čím větší je kapka, tím menší jsou rozdíly mezi jednotlivými modely. To je opět očekávaný výsledek.

4.6 Výpočet maximální rychlosti padající kapky v učebnicích

V gymnaziálních učebnicích i základních vysokoškolských kurzech se vyskytuje téměř vždy velice podobné zadání. Po studentech je žádáno, aby vypočítali mezní rychlost kapky v odporovém prostředí při zadaných parametrech. My se přidržíme zadání, které nalezneme v učebnici Fyzika [10], kde je uveden jako řešený příklad číslo 6.6 na straně 125.

Zadání: Dešťová kapka o poloměru R = 1,5 mm padá z mraku, který je ve výšce h = 1200 m nad zemským povrchem. Odporový koeficient kapky je 0,60. Předpokládejme, že kapka má celou dobu pádu kulový tvar. Hustota vody ρv = 1000 kg m-3 a hustota vzduchu ρvz = 1,2 kg m- 3. Vypočítejte mezní rychlost kapky a rychlost kapky pokud by se pohybovala bez vlivu odporových sil.

Řešení: Předně je potřeba si povšimnout, že je zde předpoklad na stálý kulovitý tvar. Ten zajišťuje povrchové napětí, které by jakýkoli jiný tvar okamžitě vrátilo zpět do koule. Tento předpoklad je možné hodnotit jako poměrně rozumnou míru aproximace. Samotné matematické řešení je pak poměrně přímočaré:

Objem koule je

, (4.27)

hmotnost pak

, (4.29)

a účinný průřez odpovídá kruhu o poloměru R: . (4.30)

Z Newtonova vztahu pak dostáváme:

14 Čím méně výkonný laser, tím náročnější je kalibrace. Pro lasery s výkonem použitelný v gymnasiálním prostředí nebylo měření prováděno, ale zřejmě není vyloučena jeho úspěšná realizace


, (4.31)

po dosazení získáme hodnotu 7,4 ms-1. Použití Newtonova vztahu se jeví jako dobrá aproximace v kontextu našich experimentálních poznatků. Pro volný pád se úloha redukuje pouze na dosazení do vztahu:

, (4.32)čímž získáme hodnotu v = 150 ms-1. Je tedy zřejmé, že pro případ padající kapky nelze aproximovat na bezodporové prostředí.

32 MICHAL ČERNÝ

5 Určování koeficientu odporu cx

Určování koeficientu odporu cx pro různá tělesa kolem nás je poměrně obtížný úkol. Standardně je tedy pro jeho určení užíván experiment, dnes již hojně doplňovaný či zcela nahrazovaný numerickými počítačovými modely.

Práce tématicky navazuje na třetí kapitolu čtvrtou, která se zabývala studiem padající kapky. Zde byl položen předpoklad, že má kapka kulovitý tvar a ukázalo se, že se velmi dobře řídí (při volném pádu vzduchem) podle Newtonova vztahu pro pohyb těles v odporovém prostředí. Právě předpoklad, že se těleso upuštěné v homogenním tíhovém poli země ve vzduchu takto chová byl užit u této části bakalářské práce.


Za použití fotoaparátu byla zachycena trajektorie padajícího předmětu ozařovaného pulsním laserem. Tato data byla zanesena do grafu a proložena polynomem druhého řádu. Z něj se derivací určila rychlost v bodě na počátku měření a tím byla dána jedna z počátečních podmínek. Druhá je určená z fotografií a udává počátek měření, tedy x0. Pak již je jen otázkou matematické techniky nalézt příslušnou nejlepší hodnotu koeficientu cx.

Máme k dispozici analytické řešení vztahu trajektorie a času pro všechny tři modely pohybu – volný pád, Stokesův vztah pro odpor a Newtonův vztah. Na výběr konkrétní realizace hledání koeficientu cx jsou k dispozici dvě základní možnosti - regresí hledáme koeficient cx, nebo cx měníme ručně a posuzujeme shodu s experimentálními daty. V této práci byla vybrána 2. možnost, z důvodů snazší realizace výpočtu i případnému využiti v gymnasiálním praktiku.

Pro vyjádření popisu dráhy postupujeme stejně jako v článku 4.2.3.[5] Vyjdeme tedy z pohybové rovnice ve tvaru:

. (5.1)Jelikož pohyb se odehrává pouze podél jedné osy, nemusíme řešit vektorové, ale pouze

skalární rovnice. Do rovnice dosadíme:

,

(4.16)následně budeme dvakrát integrovat podle času a po dosazení počátečních podmínek a několika úpravách získáme konečný vztah:

. (4.26)

kde

, (4.18)

, (4.19)


. (4.25)

Podrobnější postup byl diskutován právě ve zmiňované kapitole 4.2.3.


Uspořádání experimentu se nepatrně liší od toho, který byl popsán v předchozí kapitole. Laser je tentokráte umístěn dole a za pomoci zrcátka je světlo promítáno kolmo vzhůru. Nad zrcátkem je umístěno sklo, přibližně pod úhlem 45%, které zrcátko chrání proti padajícím tělesům. Světlo laseru je rozšiřováno pomocí rozptylky aby jeho svazek byl pokud možno co nejširší a přitom relativně homogenní. Místo odkud budou tělesa upouštěna je označeno olovnicí. Právě její poloha na snímku určuje přibližnou výšku, kterou kalibrujeme pozici předmětu na fotografii (která ale není pro experiment nijak příliš významná).

Potřebné vybavení: laboratorní váhy; generátor pulsů; laser; chemické stojany a spojky; ochranné sklo; olovnice; stativ; fotoaparát; svinovací metr či jiné měřidlo délky s nejmenším dílkem alespoň 1 mm; justovatelné zrcadlo; rozptylka (například starý objektiv z fotoaparátu); měřený předmět; optická lavice; počítač a příslušné programové vybavení.

Pro generátor pulzů stačí frekvence okolo 20-150 Hz, takže je možné jej sestavit poměrně snadno i mechanicky jako rotující kotouč s děrováním. Výhodou by byly krátké pulsy s delší „tmavou“ oblastí, takže mechanický přerušovač bude možná ještě vhodnější než námi užitý elektronický generátor obdélníkových pulsů.

Stejně jako u předchozí úlohy hraje významnou úlohu právě jemné nastavení experimentu a kalibrace fotoaparátu. V případě jeho využití ve školním praktiku je nutné tuto kalibraci provést předem. Předměty byly vrhány s místa, kde je umístěná olovnice a bylo odečítáno to místo, kde se olovnice dotýkala předmětu.

Stejně jako v případě kapky je možné místo laseru užít také stroboskop. Laser se ale jeví jako lepší varianta nejen kvůli estetické, ale i kvůli funkčnímu významu. Dle závěru kapitoly 6.1.1 není vhodné užívat pro analýzu přímo okraje snímků, neboť se v nich vyskytují zobrazovací optické vady.

U předmětů větších velikostí je poměrně značný problém s převodem z pixelů na milimetry. Je totiž zajistit, aby ozařovaná část tělesa padalo podél trajektorie, pro kterou je známý přepočet Px na mm. Nepřesně upuštěné těleso, způsobí, že se může na snímku zdát

34 MICHAL ČERNÝ

těleso větší či menší, než je ve skutečnosti, což značně nepřesní (až znehodnotí) výsledky. Nutné je také zajistit to, aby byla osvětlována stále stejná část tělesa, ze které jsou odečítány hodnoty polohy.

Výběr vhodných těles je velmi důležitý – je potřebné, abychom mohli snadno určit jejich plochu v rovině kolmé na směr pohybu a musí mít vhodně umístěné těžiště (co nejníže), aby se v průběhu letu neměnila velikost plochy kolmé ke směru pohybu.

U některých těles může být obtížné určit čelní plochu. Podstatný je jejich součin plochy a koeficientu cx. Příkladem v našem měření může být například badmintonový míček. Ten je téměř vždy stejný - opomeneme-li existenci péřové a plastové verze. Pro studium pohybu bylo užito badmintonových míčků při dvou druzích měření – v prvním byl měřen běžný plastikový míček a v druhém ten stejný míček, jehož „tělo“ bylo oblepeno izolepou.


Měření byla realizována pro celou řadu předmětů, které jsou uvedeny v následující kapitole podkapitole ve shrnující tabulce. Analýza všech hodnot byla identická – předmět byl zvážen a změřen. Byla pro něj naměřená závislost polohy na čase a s proložení polynomem druhého stupně byla získána rovnice s jednotlivými koeficienty. Následně byla provedena derivace polynomu a za t byla dosazena nula. Tím byla zjištěna počáteční rychlost v0. Počáteční poloha byla určena se znalosti souřadnic místa, odkud byl předmět vypuštěn. Koeficient cx byl určen, tak jak bylo avizováno v kapitole 5.1, z teoretického modelu pro volný pád v odporovém prostředí, jenž se řídí Newtonovým odporovým vztahem. Chyby byly určeny ze zákona šíření chyb.

5.3.1 Ilustrativní příklad soft tenisový míček ozařovaný frekvencí 155,57 Hz.Míček měl poloměr r = (3,40±0,01) cm a hmotnost m = (11,1837±0,0003) g. Polynom naměřených dat je ve tvaru: y = a0+a1x+a2x2 , kde:

a0 = (13,9 ± 2,2) mma1 = (792,4 ± 20,1) mm s-1

a2 = (4497,2 ± 38,4)mm s-2

Koeficient cx byl pro toto měření určen na cx = (0,67±0,02).


Obr. 5.1: Proložení naměřené závislosti polynomem druhého řádu.

Obr. 5.1: Graf ukazující naměřené hodnoty a teoretický model s koeficientem cx = 0,67.

5.3.2 Souhrnná tabulka s odhady chybNásledující tabulka shrnuje provedená měření. Pokud byl k dispozici pouze jeden výsledek koeficientu cx, pak je jeho hodnota dána odhadem chyb jednotlivých naměřených hodnot s uvážením chyb relativních u jednotlivých měření, tak jako tu ilustrují grafy v předchozím článku.

36 MICHAL ČERNÝ

Tab. 5.1: Souhrnná tabulka výsledků koeficientů.

Jak je z tabulky patrné, údaje přibližně korespondují s hodnotami, které byly uvedeny v tabulce v kapitole 4.4. Do zadaných hodnot se dobře vejde především koule. Vypuklá polokoule má větší koeficient odporu než tabulková hodnota. To může být způsobeno například tím, že nemusela být puštěna přesně s místa kalibrace nebo ne zcela ideálním povrchem. Soft tenisový míčem má dle očekávání vyšší cx než koule, což je dáno zřejmě jeho strukturou – jednak je zde pórovitý molitan a pak jednak rýha podél celého obvodu. Míček je také lehký, vzhledem ke svému objemu, což způsobuje jeho náchylnost k ovlivnění například prouděním vzduchu či jemné vibraci při vypuštění z ruky. U badmintonových míčků se splnil předpoklad, že neoblepený má nižší koeficient odporu cx, než oblepený.

5.4 Stručný pedagogický komentář a interpretace výsledků

Zde by bylo možné téměř doslovně zopakovat to, co bylo řečeno v kapitole předchozí. Provádění měření větších objektů je snazší na kalibraci a se samospouští ji zvládne i student samostatně. Jen je potřeba mít k dispozici zatemněnou místnost a užít jen bezpečný zdroj světelných paprsků.

Pokud dostane student již před vyplněnou šablonu pro Calc či Excel je také vyhodnocování laboratorní práce poměrně bezproblémovou záležitostí, kterou zvládne bez obtíží téměř kdokoli.

Laboratorní práci na měření koeficientu odporu vzduchu, lze tedy doporučit jak pro vysokoškolské, tak pro gymnasiální praktikum. V případě, že je nastavení provedeno předem, je naměření jednoho tělesa záležitostí v řádu maximálně půl hodiny. Časově náročnější je pak analýza fotografií – odečítání hodnot, jejich přepis, zanášení do grafu atd.

Pro přesvědčivější data, která by mohla být brána opravdu přesně, bylo by nutné naměřit větší množství fotografií. To se v našem případě podařilo například pro soft tenisový míček, kde koeficient odporu vyšel cx=(0,70±0,05). Pokud jde o výpočet chyby, pak asi největším zdrojem nejistoty se jeví jednak rozměr tělesa a pak především určení rychlosti, tedy chyba v členu a1 v prokládaném polynomu. Celkovou chybu je tak možné odhadnout na přibližně 5%, pokud zanedbáme možnost změny plochy tělesa či případnou jeho rotaci. Měřitelná je například i čajová svíčka či IKEA tužka (obyčejná, krátká tužka), ale ty vyžadují větší množství měření.

Měření prokázalo, že existují předměty, pro které je sice obtížné stanovit plochu příčného průřezu, ale poměrně dobře pro něj lze stanovit hodnotu součinu nějaké aproximační plochy s koeficientem cx. Zde je možné upozornit na to, že právě tento součin představuje parametry, které jsme u běžných pohybových situací schopni ovlivnit. Jejich součin pak například určuje odpor vzduchu u pohybujícího se automobilu a je tak bezpředmětné uvádět koeficient cx bez plochy S, jak činní drtivá většina výrobců automobilů. Také tato poznámka může vést k tomu, že měření fyzikálního problému může mít pro studenty přesah i do jiných disciplín a oblastí.


Práce s koeficienty odporu cx jsou součástí běžného středoškolského kurzu fyziky, [3] a jistě není neužitečné, když se s důsledky odporu prostředí seznámí i studenti v běžně dostupném experimentu.

38 MICHAL ČERNÝ

6 Zpracování výsledků měření z fotografií a videaV rámci většiny kapitol bylo užíváno fotografie či videa jako záznamníku dat o probíhajícím měření. Byla stanovována rychlost kulky, studován pohyb těles v odporovém prostředí, případně kamerou měřená výchylka. Jelikož získávání a analýza dat byla u těchto přístupů téměř totožná, zařazujeme tuto problematiku do samostatné kapitoly, jejíž poznatky jsou společné pro všechny uvedené případy.

6.1 Zpracování výsledků měření z fotografie

U všech experimentů uvedených výše bylo užito pulsujícího laseru, který se známou frekvencí ozařoval pohybující se tělesa. Informace, kterou jsme získali, je tedy pozice tělesa (absolutně známá) a relativní čas. Na fotografiích jsou jednotlivé okamžiky ozáření obvykle zaznamenány jako více či méně protáhlé čáry. Pro měření není podstatné, zda odečítáme hodnotu horní či dolní hrany, ale spíše, abychom tak činili konzistentně. Generátor měl generovat obdélníkové pulsy, ale po proměření na osciloskopu se ukázalo, že přední hrana pulsu má zřetelně vyšší intenzitu. To také ovlivní zřetelnost hrany (podle směru jakým je předmět ozařován).

Fotografie byly pořizovány ze stativu a vždy byla pořízena kalibrační fotografie s metrem, pomocí které bylo možné snadno stanovit převodní vztah pixelů na metry či milimetry. K problematice možné chyby dané optickým zkreslením se dostaneme v samostatném odstavci.

Pro měření byla užita pravítka grafického editoru GIMP 2.6.6. Přesnost odečítání je ±1 Px. Z pohledu odečítání hodnot a jejich zápisu je vhodné užít díky práci s okny Unixové OS s grafickým prostředím GNOME (bylo užito operačního systému Ubuntu), nebo jiné umožňující rolování kolečkem myši a odečítání polohy kurzoru i v neaktivním okně, či užít dvou počítačů, jeden na záznam dat, druhý na odečítání hodnot. V "klasickém" odečítání na jednom počítači pod MS Windows by se celý proces značně prodloužil a stal velmi nepohodlným.

V námi použité konfiguraci udávala pravítka v programu GIMP stálou informaci o poloze kurzoru jako souřadnice [x,y]. Jako výhodné se jevilo užití nástroje měřič vzdáleností, neboť pak má kurzor tvar kříže, což umožní snazší odečítání. Tento nástroj je možné také užít na snadné měření vzdáleností na snímku v Px.

Fotografie bylo nutné často drobně pootočit tak, aby se předmět pohyboval opravdu jen podél jedné ze souřadnic. Pro tento úkon bylo v GIMP užit nástroj rotace kolem středu obrázku bez přepočtových úprav snímku, aby se zabránilo zkreslení dat.

Na analýzu naměřených hodnot byl užit nástroj QtiPlot 0.9.7, který v podstatě pro naše účely odpovídá programu Origin, jen je k dispozici pro Linux zdarma. Pokud bychom chtěli pracovat ve Windows, je možné použít fork QtiPlotu SciDAVis, který je k dispozici zdarma pro více platforem. Jeho možnosti jsou poněkud skromnější než u QtiPlotu, ale jeho výhodou je multiplatformita spojená s nulovou cenou, českou lokalizací a snadné ovládání, pro které je vhodný i pro studenty gymnasií.[11] Svými možnostmi, ale postačí i pro základní universitní praktika.


Pokud by byly některé výpočty pro studenty příliš složité, je možné užít program Maxima, případně jeho grafickou nástavbu wxMaxima. To se týká například integrací či možnosti zadávat do jednoho výrazu různé hodnoty konstant. První oblast může být užitečná i analýze pohybu v odporovém prostředí, druhá pro studium balistického kyvadla.

Pro práci s tabulkami byl použit OpenOffice.org Calc, pro textové zpracování pak OpenOffice.org Writer. Až na program ISES běžící v MS DOS byl tedy všech použitý software open source, a proto zdarma dostupný jak studentům, tak také škole.

6.1.1 Optická chyba objektivuPři analýze dat bylo předpokládáno, že je optická chyba velmi malá. Na podporu tohoto tvrzení, je ale nutné pro konkrétní fotoaparát s konkrétním nastavením zoomu provést kalibrační měření. To je triviálně jednoduché – stačí vyfotografovat metr a určit kolik Px odpovídá zvolené délce (například 5 cm) u okraje a někde uprostřed. Čísla porovnat a stanovit, zda se jedná o chybu závažnou či nikoli. Pokud má fotoaparát problém zaostřit dostatečně na celý metr, je možné provést dva snímky s příslušným manuální ostřením bodovým.

Pro naše měření byl užit fotoaparát Sony H2, který má poměrně malou optickou chybu.[12] Během kalibračního měření se podařila zjistit chyba přibližně 7 %, při průměrném pořizování fotografie. Jedná se o rozdíl délky 20 mm v bodě v blízkosti okraje a 20 mm ve středu snímku v Px. Jedná se sice o zjevnou systematickou chybu, kterou je nutné zvažovat, ale u velkého množství dat se obvykle rozloží mezi mnoho prvků a u kratších úseků (některé kapky, padající předměty i rychlost kulky) je vzhledem k velikosti měřeného zcela zanedbatelná. Větší přesnosti by mohlo být dosaženo, pokud bychom ke každému snímku připojovali kalibrační snímek a odečítali pozici Px a pozice na metru s nějakou rozumnou interpolací v rámci jednoho milimetru či centimetru. Pro běžná měření, ale nepředstavují žádné zásadní ohrožení, vzhledem k přesnosti měření.

Žádné měření nebylo prováděno hned od okraje až k prostřední části snímku a chyba rychle klesá k méně než 3%. Pokud je rozložení chyby symetrické (tak jak ukazuje snímek), tak pro měření přes (téměř) celou fotografii klesá vliv chyby tím, že tato data byla prokládána polynomem všemi hodnotami. Chybu lze významným způsobem snížit (a tak tomu bylo i během měření), pokud zvolíme odečet kalibrační vzdálenosti pro přepočet z Px na jednotky délky z vhodného místa snímku. I tak je nutné připustit, že na určité skreslení výsledků (například stanovení počáteční rychlosti předmětů) tato chyba určitý vliv měla.

Daleko větším problémem je to, že předměty se nemusejí pohybovat vždy přesně podle přesné oblasti vymezené kalibračním měřidlem. To se stalo u některých objektů měřených v kapitole 5, které pak nebyly zahrnuty do prezentovaných výsledků.

40 MICHAL ČERNÝ

Obr. 6.1: Optická chyba fotoaparátu SONY H2

6.2 Zpracování video měření

Pro účely zpracování videa byl užit nelineární střihový (open source) program Kdenlive15, který je k dispozici uživatelům Linuxu zdarma. Ten umožňuje přehrávání videa snímek po snímku (námi užitá kamera měla snímkování 30 fps16) a jednak vyexportování konkrétního snímku jako obrázek ve formátu png.

Toto měření bylo prováděno u balistického kyvadla. Postup byl tedy takový, že metodou snímek za snímkem byl zjištěn záběr s největší odchylkou, ten byl vyexportován jako obrázek. Stejně byl vyexportován i snímek v rovnovážné poloze a kalibrační snímek. Obrázky pak byly zpracovány obvyklou metodou v programu GIMP. Jelikož se kamera během měření nepohybovala, mohli být vzdálenosti určeny prostým rozdílem poloh.

15 Obecně je možné použít libovolný program s těmito vlastnostmi. 16 frames per second = snímků za sekundu.


Literatura[1] BEDNAŘÍK, Milan, ŠIROKÁ, Miroslava. Fyzika : Mechanika pro gymnázia. 3. vyd.

Havlíčkův Brod : Prometheus, 2000. 288 s. ISBN 80-7196-176-0.[2] HORÁK, Zdeněk; KRUPKA, František; ŠINDELÁŘ, Václav. Technická fysika. 3.

vyd. Praha : Státní nakladatelství technické literatury, 1961. 1435 s. [3] SVOBODA, Emanuel, et al. Přehled středoškolské fyziky. 3. vyd. Olomouc :

Prometheus, 2001. 497 s. ISBN 80-7196-116-7.[4] Součinitel odporu In Wikipedia : the free encyclopedia [online]. St. Petersburg

(Florida) : Wikipedia Foundation, 10.6.2003, 28.4.2009 [cit. 2010-05-01]. Dostupné z WWW: <http://cs.wikipedia.org/wiki/Sou%C4%8Dinitel_odporu>.

[5] TOMSA, Jan. Jan Tomsa [online]. 2008 [cit. 2010-04-18]. Pohyb v homogenním poli s odporem prostředí. Dostupné z WWW: <http://www.volny.cz/jtomsa/odpor.htm>.

[6] HORSKÝ, Jan; NOVOTNÝ, Jan; ŠTEFANÍK, Milan. Mechanika ve fyzice. 1. vyd. Praha : Academia, 2001. 412 s. ISBN 8020002081.

[7] KVASNICA, Jozef. Mechanika. Vyd. 2. Praha : Academia, 2004. 476 s. ISBN 80200126802.

[8] BARTOŠ, Jiří. Měření koeficientu odporu vzduchu "C" pomocí digitální fotografie. In Veletrh nápadů učitelů fyziky. 1. vyd. Brno : Pedagogická fakulta Masarykovy univerzity v Brně, 2004. od s. 9-12, 4 s. ISBN 80-7315-084-0. Dostupné z WWW: <http://kdf.mff.cuni.cz/veletrh/sbornik/Veletrh_09/09_02_Bartos.html>.

[9] TYC, Tomáš. Zajímavá fyzika aneb Nevšední jevy všedního dne [online]. 2009 [cit. 2010-04-18]. Kapky. Dostupné z WWW: <http://zajfyz.physics.muni.cz/index.php?web=kapky2009>.

[10] HOLIDAY, David, RESNICK, Robert, WALKER, Jearl. Fyzika. 1. vyd. Brno : Vutium, 2000. 1198 s. ISBN 80-214-1869-9.

[11] ČERNÝ, Michal. Program konference Open Source Conference 2010 [online]. 2010 [cit. 2010-04-18]. Nástroje pro vizualizaci a analýzu dat ve (nejen) fyzikální praktiku. Dostupné z WWW: <http://www.oscon.cz/files/prezentace_os10/cerny_osc.pdf>.

[12] LINDNEROVÁ , Lenka. Střílejte do daleka : Sony Cyber-shot H2 (recenze). DIGIarena.cz [online]. 2006, [cit. 2010-04-26]. Dostupný z WWW: <http://digiarena.zive.cz/Testy/Strilejte-do-daleka-Sony-Cyber-shot-H2-recenze/Obrazova-kvalita-testy-demosnimky/sc-64-sr-1-a-3327-ch-48829/default.aspx>.

http://digiarena.zive.cz/Testy/Strilejte-do-daleka-Sony-Cyber-shot-H2-recenze/Obrazova-kvalita-testy-demosnimky/sc-64-sr-1-a-3327-ch-48829/default.aspx

http://digiarena.zive.cz/Testy/Strilejte-do-daleka-Sony-Cyber-shot-H2-recenze/Obrazova-kvalita-testy-demosnimky/sc-64-sr-1-a-3327-ch-48829/default.aspx

http://www.oscon.cz/files/prezentace_os10/cerny_osc.pdf

http://zajfyz.physics.muni.cz/index.php?web=kapky2009

http://zajfyz.physics.muni.cz/index.php?web=kapky2009

http://kdf.mff.cuni.cz/veletrh/sbornik/Veletrh_09/09_02_Bartos.html

http://www.volny.cz/jtomsa/odpor.htm

42 MICHAL ČERNÝ

Přílohy

6.1 Balistické kyvadlo

Přílohový aparát ke kapitole 2. Balistické kyvadlo. V této části doplníme jen přehled grafů, jenž byly sestaveny z naměřených dat, pocházejících z jednotlivých měření. Hodnoty jednotlivých naměřených parametrů jsou uvedeny v textu práce v tabulkách 2.4 a 2.5. Na závěr jsou uvedeny některé ilustrativní obrázky z měření, které zobrazují uspořádání a realizaci experimentu.

6.1.1 Druhé měření

Obr. P.1: Graf pro měření č.2.


6.1.2 Třetí měřeníObr. P.2: Graf pro měření č.3.

6.1.3 Čtvrté měření – videoObr.

P.3: Graf pro

měření č. 4, při užití kamery jako detektoru výchylky kyvadla.

6.1.4 Ilustrační fotografie

44 MICHAL ČERNÝ

Obr. P.4: Detail kulky z prvního měření.

Obr. P.5: Balistické kyvadlo a stopa na fotolumiscenční fólii.


Obr. P.5: Ukotvení nosné konstrukce a zavěšení kyvadla.

Obr. P.6: Pohled ve směru střelby vzduchové pušky.

46 MICHAL ČERNÝ

6.2 Rotující kotouče

Grafy, ze kterých byla zjištěna rychlost rotace kotoučů. Data byla získaná pomocí systému ISES a zanalyzována v QtiPlot.

Obr. P.7: Snímání 1000 Hz.




48 MICHAL ČERNÝ



6.3 Rychlost padající kapky

Obr. P.11: Studium pohybu a různé teoretické aproximace. Newtonův vztah pro hodnotu C = 0,5.

50 MICHAL ČERNÝ

Obr. P.12: Studium pohybu a různé teoretické aproximace. Newtonův vztah pro hodnotu C = 0,5. Detail grafu.

Obr. P.13: Závislost polohy na čase.


6.3.1 Ilustrativní fotografie

52 MICHAL ČERNÝ

Obr. P.14: Větší kapka při 1008,8 Hz.


Obr. P.15: Menší kapka při 286,7 Hz.

54 MICHAL ČERNÝ

Obr. P.16: Kapkostroj a laser z pohledu od fotoaparátu.


6.4 Měření koeficientu cx

Pro každý předmět udáváme jen ta měření, která byla realizována úspěšně, vždy uvedeme graf s naměřených hodnot a proložení teoretickým výpočtem. Na závěr bude samozřejmě vyjádřen i koeficient odporu cx, pro každý předmět. Pro některé uvádíme i graf zobrazující vývoj relativní chyby jako funkci času.

6.4.1 Růžová koule

6.4.1.1 Měření č.1 při 151 HzFrekvence osvitu: 151,06 Hz

cx = 0,49.

Obr. P.17: Určení cx pro růžovou kouli při 151,06 Hz.

6.4.1.2 Měření č.2 při 75 HzFrekvence osvitu: 74,95 Hz

cx = 0,44.

56 MICHAL ČERNÝ

Obr. P.18: Určení cx pro

růžovou kouli při 74,95 Hz.

6.4.2 Vypuklá polokouleFrekvence osvitu: 26,09 Hz

cx = 0,73.

Obr. P.19: Určení cx pro vypuklou polokouly při 26,09 Hz.


6.4.3 Badmintonový míček

6.4.3.1 Měření č.1 při 62,1 HzFrekvence osvitu: 62,1 Hz

cx = 0,61.

Obr. P.20: Určení cx pro badmintonový míček při 62,1 Hz.

58 MICHAL ČERNÝ


cx = 0,65.

Obr. P.21: Určení cx pro badmintonový míček při 30,0 Hz.


6.4.4 Soft tenisový míček


cx = 0,78.

Obr. P.22: Určení cx pro soft tenisový míček při 155,6 Hz.

60 MICHAL ČERNÝ


cx = 0,65.

Obr. P.23: Určení cx pro soft tenisový míček při 80,2 Hz.



cx = 0,67.

Obr. P.24: Určení cx pro sof tenisový míček při 31,7 Hz.

62 MICHAL ČERNÝ

6.4.5 Badmintonový míček - oblepenýFrekvence osvitu: 80,94 Hz

cx = 1,65.

Obr. P.25: Určení cx pro badmintonový míček oblepený při 80,9 Hz.


6.4.6 Ilustrativní obrázek

Obr. P.26: Fotografie padající růžové koule při ozařování 151,6 Hz. Ve spodní části snímku je viditelný odraz koule.

Education

Experimentální ověření vybraných fyzikálních modelů a aproximací