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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves
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(01)
Solução
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves
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(02) Determine os valores de x e y nas figuras planas abaixo:
Solução
(a) (b)
(a) (b)
(c) (d)
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(03)
Solução
(c) (d)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves
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(04) Um ponto interno de um ângulo reto dista 4 m e 8 m dos lados do ângulo. Qual a distância desse ponto à bissetriz desse ângulo? Solução
(05)
Um ponto P, interno de um ângulo reto, dista, respectivamente, √ m e 2 m de um lado e da bissetriz do ângulo. Determine a distância entre P e o vértice desse ângulo. Solução
(06) Um ponto P, interno de um ângulo de 60°, dista 6 m e 9 m dos lados desse ângulo. Qual a distância entre P e a bissetriz do ângulo? Solução
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(07) Um ponto P, interno de um ângulo de 60°, dista 3 m e 6 m dos lados do ângulo. Determine a distância entre P e o vértice desse ângulo. Solução
(08)
Um ponto P, interno de um ângulo de 30°, dista 3 m de um lado e √ m do vértice do ângulo. Quanto esse ponto dista do outro lado do ângulo? Solução
6 m
A
O C B
D
6 m
30°60°
3 m
x
𝑆𝑒𝑛 30° =𝐶𝐷
𝐵𝐷→
1
2=
3
𝐵𝐷→ 𝐵𝐷 = 6 𝑚;𝐴𝐵 = 12 𝑚
∆𝐴𝑂𝐵:𝑇𝑎𝑛𝑔 60° = 𝐴𝐵
𝐴𝑂→ √3 =
12
𝐴𝑂→ 𝐴𝑂 = 4√3
∆𝐴𝑂𝐷: 𝑥² = 𝐴𝑂 2 𝐴𝐷 2 → 𝑥2 = 48 + 36 → 𝒙 = 𝟐√𝟐𝟏 𝒎
Prolongando o segmento de medida 6 m, obtemos o
triângulo BCD com 𝐶𝐵 𝐷 = 30°. Daí:
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(09)
Um ponto P, externo de um ângulo de 60°, dista √ √ dos lados do ângulo, sendo que nenhuma destas distâncias é até o vértice do ângulo. Qual é a distância entre P e a bissetriz do ângulo? Solução Na figura abaixo precisamos determinar a distância PT. Assim, temos:
a
30°
3√13
x
w
y z
60°
3
90°
9√3
30°
30°
P
R S
x
x
60°
T
60°
60°
W
90°
90°
y
𝑦2 + 33 = 3√13 2→ 𝒚 = 𝟔√𝟑𝒎
𝑡𝑎𝑛𝑔 60° =3
𝑧→ √3 =
3
𝑧→ 𝒛 = √𝟑𝒎
𝑆𝑒𝑛 60° =3
𝑤→
√3
2=
3
𝑤→ 𝒘 = 𝟐√𝟑
∆𝐴𝐵𝐶: 𝑆𝑒𝑛 30° = 𝑥 +𝑤
𝑦 + 𝑧→
1
2=𝑥 + 2√3
7√3→
𝒙 =𝟑√𝟑
𝟐𝒎
Prolongamos o segmento cuja medida vamos determinar e obtemos o triângulo ABC. Temos:
A
B
C
𝟏 𝑵𝒐 ∆𝑷𝑸𝑾:
𝑠𝑒𝑛 60° =3√3
𝑦→
√3
2=
3√3
𝑦→ 𝒚 = 𝟔 𝒎
𝟐 𝑵𝒐 ∆𝑷𝑹𝑺:
𝑠𝑒𝑛 60° =9√3
𝑃𝑆→
√3
2=
9√3
𝑃𝑆→ 𝑷𝑺 = 𝟏𝟖 𝒎
𝟑 𝑪𝒐𝒎𝒐: 𝑷𝑺 = 𝟏𝟖
𝑦 + 2𝑥 = 18 → 6 + 2𝑥 = 18 → 𝒙 = 𝟔 𝒎
𝑷𝑻 = 𝒙+ 𝒚 → 𝑃𝑇 = 6 + 6 → 𝑷𝑻 = 𝟏𝟐 𝒎
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(10) Determine o ângulo que a diagonal de um trapézio isósceles forma com a altura do trapézio, sabendo que a altura do trapézio é igual a sua base média
multiplicada por √ . Solução
(11) Determine a tangente do ângulo “â”, sabendo que “E” é o ponto médio do lado ̅̅ ̅̅ do quadrado ABCD.
2a
AB
CD
E
Solução
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(12) Determine o raio de um círculo inscrito num setor circular de 60° e 6 dm de raio. Solução
(13) Seja AB = 3r, tangente em “A” a uma circunferência de centro “O” e raio “r”. Traça-se por “B” a tangente ̅̅ ̅̅ , que tem “C” por ponto de contato. Calcule a
distância “C” à reta ⃡ . Solução
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(14) Consideremos um triângulo retângulo ABC, onde a medida de um ângulo agudo é . Determine a medida do raio da circunferência inscrita em função de e da hipotenusa “a”. Solução
(15) Um paralelogramo tem lados respectivamente iguais a 10 cm e 8 cm. Sabendo que um de seus ângulos internos vale 120°, calcule o perímetro do quadrilátero convexo formado pelas bissetrizes de seus ângulos internos. Solução
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(16)
Solução