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Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
15 Integrais Mltiplas
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15.1 Integrais Duplas sobre Retngulos
3 3
Reviso da Integral Definida
4 4
Reviso da Integral Definida
Antes de tudo, vamos relembrar os fatos bsicos relativos
integral definida de funes de uma varivel real. Se f (x)
definida em a x b, comeamos subdividindo o
intervalo [a, b] em n subintervalos [xi 1, xi] de comprimento
igual x = (b a)/n e escolhemos pontos de amostragem em cada um desses subintervalos. Assim, formamos a
soma de Riemann
e tomamos o limite dessa soma quando n para obter
a integral definida de a at b da funo f:
5 5
Reviso da Integral Definida
No caso especial em que f (x) 0, a soma de Riemann
pode ser interpretada como a soma das reas dos
retngulos aproximadores da Figura 1 e
representa a rea sob a curva y = f (x) de a at b.
Figura 1
6 6
Volumes e Integrais Duplas
7 7
De modo semelhante, vamos considerar uma funo f de
duas variveis definida em um retngulo fechado
R = [a, b] [c, d ] = {(x, y) | a x b, c y d }
e vamos inicialmente supor que f (x, y) 0. O grfico f a
superfcie com equao z = f (x, y).
Seja S o slido que est acima
da regio R e abaixo do grfico
de f, isto ,
S = {(x, y, z) | 0 z f (x, y), (x, y) R}
(Veja a Figura 2.)
Volumes e Integrais Duplas
Figura 2
8 8
Volumes e Integrais Duplas
Nosso objetivo determinar o volume de S.
O primeiro passo consiste em dividir o retngulo R em sub-
retngulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a, b] em m
subintervalos [xi 1, xi] de mesmo comprimento
x = (b a)/m e dividnido o intervalo [c, d ] em n
subintervalos [yj 1, yj] de mesmo comprimento
y = (d c)/n.
9 9
Volumes e Integrais Duplas
Traando retas paralelas aos eixos coordenados,
passando pelas extremidades dos subintervalos, como na
Figura 3, formamos os sub-retngulos
Rij = [xi 1, xi] [yj 1, yj] = {(x, y) | xi 1 x xi , yj 1 y yj }
cada um dos quais com rea A = x y.
Figura 3
Dividindo R em sub-retngulos
10 10
Volumes e Integrais Duplas
Se escolhermos um ponto arbitrrio, que chamaremos
ponto de amostragem, , em cada Rij, poderemos
aproximar a parte de S que est acima de cada Rij por uma
caixa retangular fina (ou coluna) com base Rij e altura , como mostrado na Figura 4. O volume dessa
caixa dado pela sua altura vezes a rea do retngulo da
base:
Figura 4
11 11
Volumes e Integrais Duplas
Se seguirmos com esse procedimento para todos os
retngulos e somarmos os volumes das caixas
correspondentes, obteremos uma aproximao do volume
total de S:
(Veja Figura 5). Essa soma dupla
significa que, para cada
sub-retngulo, calculamos o valor
de f no ponto escolhido,
multiplicamos esse valor pela
rea do sub-retngulo e ento
adicionamos os resultados. Figura 5
12 12
Volumes e Integrais Duplas
Nossa intuio diz que a aproximao dada em
melhora quando aumentamos os valores de m e n e,
portanto, devemos esperar que
Usamos a expresso da Equao 4 para definir o volume
do slido S que corresponde regio que est abaixo do
grfico de f e acima do retngulo R. (Pode-se mostrar que
essa definio coerente com nossa frmula de volume
da Seo 6.2, no Volume I.)
13 13
Volumes e Integrais Duplas
Limites do tipo que aparecem na Equao 4 ocorrem muito
frequentemente, no somente quando estamos
determinando volumes, mas tambm em diversas outras
situaes mesmo f no sendo uma funo positiva. Assim, faremos a seguinte definio:
14 14
Volumes e Integrais Duplas
O significado preciso do limite da Definio 5 que para
todo > existe um inteiro N tal que
para todos os inteiros m e n maiores que N para qualquer
escolha de Rij.
Uma funo f dita integrvel se o limite na Definio 5
existir. mostrado em cursos de clculo avanado que
todas as funes contnuas so integrveis. Na realidade,
a integral dupla de f existe contanto que f no seja descontnua demais.
15 15
Volumes e Integrais Duplas
Em particular, se f limitada [isto , existe uma constante
M tal que | f (x, y) | M para todos (x, y) em R], e se f for
contnua ali, exceto em um nmero finito de curvas suaves,
ento f integrvel em R.
16 16
Volumes e Integrais Duplas
O ponto de amostragem pode ser tomado como
qualquer ponto no sub-retngulo Rij, porm, se o
escolhermos como o) canto superior direito de Rij [ou seja,
(xi, yj), veja a Figura 3], a expresso da soma dupla ficar
mais simples:
Figura 3
Dividindo R em sub-retngulos
17 17
Volumes e Integrais Duplas
Comparando as Definies 4 e 5, vemos que o volume
pode ser escrito como uma integral dupla:
A soma na Definio 5,
chamada soma dupla de Riemann e usada como uma
aproximao do valor da integral dupla. [Observe a
semelhana dessa soma com a de Riemann em para
funes de uma nica varivel.]
18 18
Volumes e Integrais Duplas
Se f for uma funo positiva, ento a soma dupla de
Riemann representa a soma dos volumes das colunas,
como na Figura 5, e uma aproximao do volume abaixo
do grfico de f.
Figura 5
19 19
Exemplo 1
Estime o volume do slido que est acima do quadrado
R = [0, 2] [0, 2] e abaixo do paraboloide elptico
z = 16 x2 2y2. Divida R em quatro quadrados iguais e
escolha o ponto de amostragem como o canto superior
direito de cada quadrado Rij. Faa um esboo do slido e
das caixas retangulares aproximadoras.
20 20
Exemplo 1 Soluo
Os quadrados esto ilustrados na Figura 6.
O paraboloide elptico o grfico de f (x, y) = 16 x2 2y2 e a rea de cada quadrado A = 1.
Figura 6
21 21
Exemplo 1 Soluo
Aproximando o volume pela soma de Riemann com
m = n = 2, temos
= f (1, 1) A + f (1, 2) A + f (2, 1) A + f (2, 2) A
= 13(1) + 7(1) + 10(1) + 4(1) = 34
continuao
22 22
Exemplo 1 Soluo
Esse o volume das caixas aproximadoras mostradas na
Figura 7.
Figura 7
continuao
23 23
A Regra do Ponto Mdio
24 24
A Regra do Ponto Mdio
Os mtodos usados para aproximar as integrais de
funes de uma varivel real (a Regra do Ponto Mdio, a
Regra dos Trapzios, a Regra de Simpson) tm seus
correspondentes para integrais duplas. Consideraremos
aqui somente a Regra do Ponto Mdio para integrais
duplas. Isso significa que usaremos a soma dupla de
Riemann para aproximar a integral dupla, na qual o ponto
de amostragem em Rij tomado como o ponto
central Rijj. Em outras palavras, o ponto mdio
de [xi 1, xi] e o ponto mdio de [yj 1, yj].
25 25
A Regra do Ponto Mdio
26 26
Exemplo 3
Use a Regra do Ponto Mdio com m = n = 2 para estimar o
valor da integral R(x 3y2) dA, onde
R = {(x, y) | 0 x 2 , 1 y 2}.
SOLUO: Usando a Regra do Ponto Mdio com
m = n = 2, calcularemos f (x, y) = x 3y2 no centro dos
quatro sub-retngulos mostrados na Figura 10.
Figura 10
27 27
Exemplo 3 Soluo
Logo, e A rea de cada
sub-retngulo Assim,
Portanto, temos
continuao
28 28
Valor Mdio
29 29
Valores Mdios
Na Seo 6.5, no Volume I, mostramos que o valor mdio
de uma funo f de uma varivel definida em um intervalo
[a, b]
De modo semelhante, definimos o valor mdio de uma
funo f de duas variveis em um retngulo R contido em
seu domnio como
onde A(R) a rea de R.
30 30
Valores Mdios
Se f (x, y) 0, a equao
A(R) fmed = f (x, y) dA
diz que a caixa com base R e altura fmed tem o mesmo
volume que o slido que est sob o grfico de f. [Se
z = f (x, y) descreve uma
regio montanhosa e voc
corta os topos dos
morros na altura fmed, ento
pode us-los para encher os
vales de forma a tornar a
regio completamente plana.
Veja a Figura 11.] Figura 11
31 31
Exemplo 4
O mapa de contorno na Figura 2 mostra a precipitao de
neve, em polegadas, no estado de Colorado em 20 e 21 de
dezembro de 2006. (O Estado tem a forma de um
retngulo que mede 388 milhas de Oeste a Leste e 276
milhas do Sul ao Norte). Use o mapa de contorno para
estimar a queda de neve em todo o Estado do Colorado
naqueles dias.
Figura 12
32 32
Exemplo 4 Soluo
Vamos colocar a origem no canto sudoeste do estado.
Ento, 0 x 388, 0 y 276 e f (x, y) a queda de neve,
em polegadas, no local x milhas para leste e y milhas para
norte da origem. Se R o retngulo que representa o
estado do Colorado, ento a precipitao mdia de neve
no Colorado em 20 e 21 de dezembro foi
onde A(R) = 388 276.
33 33
Exemplo 4 Soluo
Para estimarmos o valor dessa integral dupla, vamos usar
a Regra do Ponto Mdio com m = n = 4. Em outras
palavras, dividimos R em 16 sub-retngulos de tamanhos
iguais, como na Figura 13.
Figura 13
continuao
34 34
Exemplo 4 Soluo
A rea de cada sub-retngulo
Usando o mapa de contorno para estimar o valor de f no ponto central de cada sub-retngulo, obtemos
A[0 + 15 + 8 + 7 + 2 + 25 + 18,5 + 11
+ 4,5 + 28 + 17 + 13,5 + 12 + 15 + 17,5 + 13]
= (6 693)(207)
= 6 693 mi2
continuao
35 35
Exemplo 4 Soluo
Logo,
Em 20 e 21 de dezembro de 2006, o Colorado recebeu
uma mdia de aproximadamente 13 polegadas de neve.
continuao
36 36
Propriedades das Integrais Duplas
37 37
Propriedades das Integrais Duplas
Listaremos aqui as trs propriedades das integrais duplas.
Admitiremos que todas as integrais existam. As
Propriedades 7 e 8 so conhecidas como linearidade da
integral.
[f (x, y) + g(x, y)] dA = f (x, y) dA + g(x, y) dA
c f (x, y) dA = c f (x, y) dA, onde c uma constante
Se f (x, y) g(x, y) para todo (x, y) em R, ento
f (x, y) dA g(x, y) dA