Exame escrito de estat. i 2006-2007

Exame escrito de Estatística I – 2006/2007

Grupo – II

4. Os dados a seguir referem-se às vendas de combustível, em milhares de Kwanzas, realizadas em 50 estações de venda, no intervalo das 12 às 13 horas do dia 28 de Julho de 2005.

10,3 11,1 9,6 9,0 14,5 11,6 15,1 12,5 6,5 7,5

13,0 6,7 11,0 8,4 10,3 10,0 12,9 9,2 10,0 12,8

13,0 11,2 7,3 5,3 12,5 12,5 9,3 10,4 12,7 10,5

8,0 11,8 8,7 10,6 9,5 9,3 11,5 10,7 11,6 7,8

11,1 10,2 11,1 9,9 9,8 10,5 7,6 10,1 8,9 8,6

e, após o primeiro tratamento, obteve-se a seguinte distribuição, sendo os intervalos (todos) fechados à esquerda e abertos à direita, com a excepção do último:

Li Ls fai

5,3 - 6,93 0,06 6,93 - 8,57 0,18 8,57 - 10,20 0,46

10,20 - 11,83 0,80 11,83 - 13,47 0,96 13,47 - 15,10 1,00

fai: - frequência relativa da modalidade i

Das alíneas que se seguem, responda apenas a quatro, valendo cada 1 valor devendo escolher duas entre a) e d) e outras duas entre e) e h)

a). Calcule e interprete a amplitude total desta distribuição. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

b). Diga que passos seriam necessários para determinar o valor mediano. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

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____________________________________________________________________

c). Diga se esta distribuição por intervalos obedeceu à fórmula de Struges. Prove (com cálculos).

____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

d). Quantas estações venderam no mínimo KZ 8.570,00 cada durante o intervalo a que

se referem os dados? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

e). Indique os intervalos mediano e modal e escreva os dados concretos (da tabela acima) que permitiram obter a(s) respectiva(s) frequência(s).

____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

f). Sendo , diga em que intervalo estará este valor. Sem qualquer

cálculo, que conclusão pode tirar sobre a configuração do gráfico quanto à (as)simetria? Justifique.

2653,10.6

1=∑

=iii xf

____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

g). Interprete a distribuição nas ópticas dos seguintes indicadores: e

1888,0=Cv

0911,0. =GiniInd

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h). Quantas e quais são as medidas que intervêm na determinação do coeficiente do grau de curtose.

____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

Grupo – III

Resolva apenas um dos dois exercícios seguintes:

5. Se ( ) )().( BPAPBAP =∪ , o que pode dizer sobre os acontecimentos A e B?

____________________________________________________________________ 6. Sejam os acontecimentos Ω⊂BA, , com e . Sabe-se ainda que

. Prove que. 0)( >AP 0)( >BP

)()\( APBAP = )()\( BPABP = .

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Grupo – IV

Escolha e resolva dois dos seguintes problemas:

7. Uma empresa produz para o mercado nacional e para exportação, sendo a produção para o mercado nacional metade da destinada à exportação. Com base no controlo de qualidade efectuado à produção anterior, admite -se que 10% dos produtos lançados no mercado interno apresentam deficiências, sendo essa percentagem de 3.3% na produção destinada ao mercado externo. [Cada aluno deve resolver apenas 3 alíneas, sendo (a) e (d) obrigatórias]. a). Qual a percentagem de produtos defeituosos na produção total da empresa?

______________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

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____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

b). Sabendo que um determinado produto foi considerado defeituoso, determine a

probabilidade de ter sido produzido para exportação?

____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

c). Admitindo agora que um outro produto foi considerado sem defeitos de fabrico,

calcule a probabilidade de ter sido produzido para o mercado nacional?

____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

d). Qual a probabilidade de, numa amostra de 3 produtos dessa empresa, haver

exactamente 1 defeituoso?

____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

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8. Um corrector da Bolsa de Lisboa, seleccionou para uma apreciação contínua da

evolução do mercado mundial, as informações das Bolsas de Londres, New York e Tóquio. Recebe em média por hora 12 chamadas de New York, 18 de Tóquio e 20 de Londres. Admitindo que todas as chamadas são recebidas, calcule:

a). a probabilidade de receber em meia hora 7 chamadas de New York; ~

____________________________________________________________________. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________. ____________________________________________________________________

b). a probabilidade de receber mais de 12 chamadas (apenas de uma das três bolsas)

num quarto de hora,

____________________________________________________________________. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________. ____________________________________________________________________

c). a probabilidade de numa hora, receber exactamente 2 chamadas de New York, 4 de Londres e 3 de Tóquio

____________________________________________________________________. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________. ____________________________________________________________________

9. Suponha X uma variável aleatória discreta representando o número de aprovações na prova de Estatística em 4 estudantes seleccionados ao acaso, cuja função de probabilidade é. , com xxx qpC −4

4 pq −= 1 , sendo p , a probabilidade de um aluno aprovar. Tendo sido obtida a seguinte função de distribuição:

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X 0 1 2 3 4

F(x) = P(X ≤ x) 0,0256 0,1792 0,5248 0,8704 1

a). Determine o valor de p

____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________.

b). Calcule a probabilidade de pelo menos dois aprovarem .

____________________________________________________________________. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

c). Se tivessem sido seleccionados 25 estudantes, quantos, você esperaria, venham aprovar.

____________________________________________________________________. ____________________________________________________________________

Grupo – V

Resolva apenas um dos dois seguintes problemas:

10. A função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias X e Y, é tal que:

x e y,,,; y,,,, x/yxf ≤=== 43214321101contrário. caso , 0),(

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Calcule o coeficiente de correlação das variáveis aleatórias X e Y, e diga, justificando, se as variáveis são ou não independentes.

X \ Y 1 2 3 4

1 2 3

4

X \ Y 1 2 3 4

1 2 3 4

____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

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11. Considere o par aleatório com densidade conjunta

010)1(6contrário. caso , 0),( >−<<−−= x; xy, yxyxf

a). Deduza a função de distribuição conjunta.

______________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

b). Calcule .21\

43

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ >< YXP

____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

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____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

c). Sem qualquer cálculo, diga, justificando, se as variáveis X e Y são independentes. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

Anexo: Extracto da tabela com os valores da função de Probabilidade de poisson, dado λ.

x

2 2,5 3 4 4,5 5 6 10 12

0 0,135335 0,082085 0,049787 0,018316 0,011109 0,006738 0,002479 0,000045 0,000006 1 0,270671 0,205212 0,149361 0,073263 0,049990 0,033690 0,014873 0,000454 0,000074 2 0,270671 0,256516 0,224042 0,146525 0,112479 0,084224 0,044618 0,002270 0,000442 3 0,180447 0,213763 0,224042 0,195367 0,168718 0,140374 0,089235 0,007567 0,001770 4 0,090224 0,133602 0,168031 0,195367 0,189808 0,175467 0,133853 0,018917 0,005309 5 0,036089 0,066801 0,100819 0,156293 0,170827 0,175467 0,160623 0,037833 0,012741 6 0,012030 0,027834 0,050409 0,104196 0,128120 0,146223 0,160623 0,063055 0,025481 7 0,003437 0,009941 0,021604 0,059540 0,082363 0,104445 0,137677 0,090079 0,043682 8 0,000859 0,003106 0,008102 0,029770 0,046329 0,065278 0,103258 0,112599 0,065523 9 0,000191 0,000863 0,002701 0,013231 0,023165 0,036266 0,068838 0,125110 0,087364 10 0,000038 0,000216 0,000810 0,005292 0,010424 0,018133 0,041303 0,125110 0,104837 11 0,000007 0,000049 0,000221 0,001925 0,004264 0,008242 0,022529 0,113736 0,114368 12 0,000001 0,000010 0,000055 0,000642 0,001599 0,003434 0,011264 0,094780 0,114368 13 0,000000 0,000002 0,000013 0,000197 0,000554 0,001321 0,005199 0,072908 0,105570 14 0,000000 0,000000 0,000003 0,000056 0,000178 0,000472 0,002228 0,052077 0,090489 15 0,000000 0,000000 0,000001 0,000015 0,000053 0,000157 0,000891 0,034718 0,072391 16 0,000000 0,000000 0,000000 0,000004 0,000015 0,000049 0,000334 0,021699 0,054293 17 0,000000 0,000000 0,000000 0,000001 0,000004 0,000014 0,000118 0,012764 0,038325 18 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000001 0,000004 0,000039 0,007091 0,025550 19 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000001 0,000012 0,003732 0,016137 20 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000004 0,001866 0,009682

λ

10

Education

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