ESPACIOS VECTORIALES

HEINER ARBEY RODRIGUEZELCY CAROLINA GUZMANJAIDER CASTRO ROMEROMAYERLI DONATOGABRIEL ALBERTO MEDINA

Definición

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados

vectores, junto con dos operaciones denominadas suma (denotada por x 1 y) y multiplicación por un escalar

(denotada por ax)

Axiomas

Cerradura bajo la suma

• Si x P V y y P V, entonces x 1 y P

V

Ley asociativa de la suma de vectores

•Para todo x, y y z en V, (x 1 y) 1 z

5 x 1 (y 1 z)

El 0 se llama vector cero o idéntico aditivo.

•Existe un vector 0 P V tal que

para todo x P V, x 1 0 5 0 1 x 5 x

-X se llama inverso

aditivo de x

•Si x P V, existe un vector 2x en V tal que x 1 (2x) 5

0

Ley conmutativa de la suma de vectores

•Si x y y están en V, entonces x 1 y

5 y 1 x

Axiomas

Cerradura bajo la multiplicación por

un escalar

• Si x P V y a es un escalar, entonces

ax P V

Primera ley distributiva

•Si x y y están en V y a es un escalar,

entonces a(x 1 y) 5 ax 1 ay

Segunda ley distributiva

•Si x P V y a y b son escalares, entonces (a 1 b)x 5 ax 1 bx

Ley asociativa de la multiplicación

por escalares

•Para cada x P V, 1x 5 x

SUBESPACIO VECTORIAL

Definicion

Un subespacio H de un espacio vectorial Ves un

subconjunto de V que es en sí un espacio vectorial.

• Un subespacio no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si las dos

siguientesreglas se cumplen:

•Si x P H y y P H, entonces x 1 y P H.• Si x P H, entonces ax P H para cada

escalar a. (p. 309)

Un subespacio propio de un espacio vectorial V es un

subespacio de V diferente de {0} y de V